2021届高考数学复习教学案：反函数 (1)
大学数学教案反函数
一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解反函数的概念，掌握反函数的定义和性质。
（2）掌握求反函数的方法，能够求出给定函数的反函数。
（3）了解反函数在实际问题中的应用。
2. 过程与方法：（1）通过实例分析，使学生理解反函数的概念。
（2）引导学生运用反函数的定义和性质，求解反函数。
（3）通过实际问题，使学生体会反函数在数学中的应用。
3. 情感与价值观：（1）培养学生对数学问题的探究精神。
（2）激发学生对数学的兴趣，提高学生的数学素养。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）反函数的概念及性质。
（2）求反函数的方法。
2. 教学难点：（1）理解反函数的定义和性质。
（2）掌握求反函数的方法。
三、教学过程（一）导入1. 提出问题：什么是反函数？反函数有什么性质？2. 学生思考，教师总结：反函数是指一个函数y=f(x)的反函数y=f^(-1)(x)，它满足y=f(x)和x=f^(-1)(y)的关系。
（二）新课讲解1. 反函数的定义及性质：（1）定义：若函数y=f(x)在定义域D上单调，则它的反函数y=f^(-1)(x)存在，且反函数的定义域为D。
（2）性质：a. 反函数的图像关于直线y=x对称；b. 反函数的值域为原函数的定义域；c. 反函数的导数与原函数的导数互为倒数。
2. 求反函数的方法：（1）将原函数的y值替换为x，x值替换为y，得到反函数的解析式；（2）求反函数的导数，然后利用反函数的导数与原函数的导数互为倒数的关系，求出反函数的解析式。
（三）实例分析1. 分析一个具体实例，让学生理解反函数的概念和性质。
2. 引导学生运用反函数的定义和性质，求解反函数。
（四）实际问题1. 提出一个实际问题，让学生运用反函数解决。
2. 学生尝试解决问题，教师点评、总结。
（五）课堂小结1. 回顾本节课所学的反函数的概念、性质和求法。
2. 强调反函数在实际问题中的应用。
四、作业布置1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 分析一道实际问题，运用反函数解决。
反函数知识点总结讲义教案
一、教学目标1. 理解反函数的概念及其与原函数的关系。
2. 学会求解基本函数的反函数。
3. 掌握反函数的性质及其在实际问题中的应用。
二、教学内容1. 反函数的概念：反函数是指如果两个函数的定义域和值域相同，且它们的自变量和因变量互换位置后，这两个函数仍然相等，这两个函数互为反函数。
2. 反函数的求解方法：对于基本函数（如线性函数、指数函数、对数函数等），可以通过交换自变量和因变量来求解其反函数。
3. 反函数的性质：反函数的定义域等于原函数的值域，反函数的值域等于原函数的定义域；反函数的图像与原函数的图像关于直线y=x 对称。
三、教学重点与难点1. 重点：反函数的概念、求解方法及其性质。
2. 难点：反函数在实际问题中的应用。
四、教学过程1. 导入：通过复习原函数的概念，引出反函数的概念。
2. 讲解：讲解反函数的定义、求解方法及其性质。
3. 例题：求解线性函数、指数函数、对数函数等的基本函数的反函数。
4. 练习：让学生独立求解一些基本函数的反函数。
五、课后作业a) y = 2x + 3b) y = 3^xc) y = log2(x)2. 运用反函数解决实际问题，如：已知一个函数的图像经过点(2, 3) 和(4, 5)，求该函数的反函数。
六、教学策略1. 采用案例教学法，通过具体的例题来引导学生理解和掌握反函数的概念和求解方法。
2. 利用数形结合的方法，通过反函数的图像来帮助学生理解反函数的性质。
3. 鼓励学生进行自主学习，通过课后作业和实际问题来巩固反函数的知识。
七、教学评价1. 通过课堂讲解和例题练习，评价学生对反函数概念的理解程度。
2. 通过课后作业和实际问题的解决，评价学生对反函数求解方法和性质的掌握情况。
3. 通过课堂提问和小组讨论，评价学生对反函数在实际问题中应用的理解和运用能力。
八、教学拓展1. 引导学生思考反函数与原函数的关系，探讨反函数在数学和其他学科中的应用。
2. 引导学生探究反函数的性质，如反函数的单调性、奇偶性等。
数学教案-反函数
数学教案－反函数教案：反函数目标：学生能够理解反函数的概念、性质和应用，能够求解简单的反函数。
一、引入1. 引导学生回顾什么是函数，回顾函数的定义和性质。
2. 引出反函数的概念，提问学生是否知道什么是反函数，对于一个函数，如何求它的反函数。
二、概念和性质的讲解1. 定义：对于函数f，如果对于任意的y，都有x=f(y)，则称g为f的反函数。
记作g=f^(-1)。
2. 性质：a. 函数f有反函数的充要条件是f是一一对应的函数。
b. f的反函数的定义域是f的值域，值域是f的定义域。
c. 如果f(x)=y，则f^(-1)(y)=x，即函数f和它的反函数是互逆的。
d. 垂线检测法：函数f和它的反函数在y=x上对应的点。
三、求反函数的方法1. 把函数方程y=f(x)看作x=g(y)，解该方程即可得到反函数。
2. 求反函数的步骤：a. 交换x和y，即将函数方程改写为x=f(y)。
b. 解出y，得到y=f^(-1)(x)。
c. 判断反函数的定义域和值域。
d. 将交换后的方程改写为y=f(x)，将x和y互换，验证函数和反函数的互逆性。
四、示例演练1. 案例1：已知函数f(x)=2x+3，求它的反函数。
步骤：a. 交换x和y，得到x=2y+3。
b. 解出y，得到y=(x-3)/2。
c. 判断反函数的定义域和值域：由于原函数f(x)的定义域是R，值域也是R，所以反函数的定义域是R，值域也是R。
d. 将交换后的方程改写为y=f(x)，即y=f^(-1)(x)=(x-3)/2，验证函数和反函数的互逆性。
2. 案例2：已知函数f(x)=3x^2，求它的反函数。
步骤：a. 交换x和y，得到x=3y^2。
b. 解出y，得到y=sqrt(x/3)或y=-sqrt(x/3)。
c. 判断反函数的定义域和值域：由于原函数f(x)的定义域是R，值域是[0, +∞)，所以反函数的定义域是[0, +∞)，值域是R。
d. 将交换后的方程改写为y=f(x)，即y=f^(-1)(x)=sqrt(x/3)或y=f^(-1)(x)=-sqrt(x/3)，验证函数和反函数的互逆性。
高中数学反函数教案人教版
高中数学反函数教案人教版1. 知识与技能：理解反函数的概念，掌握求反函数的方法，并能够应用反函数解决问题。
2. 过程与方法：通过讲解、示范、练习等方式，引导学生建立正确的反函数概念及求解方法。
3. 情感态度：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新思维和解决问题的能力。
二、教学重、难点1. 教学重点：理解反函数的概念，掌握求反函数的方法。
2. 教学难点：理解反函数与原函数之间的关系，正确求解反函数。
三、教学准备1. 教学资源：教材、多媒体设备等。
2. 教学内容：反函数的概念、求反函数的方法、反函数与原函数的关系等。
3. 教学步骤：引入、概念讲解、示范演练、练习等。
四、教学过程1. 引入：通过实例引入反函数的概念，如f(x) = 2x + 3，问学生如何求出反函数。
2. 概念讲解：解释反函数的概念及原函数与反函数的关系，引导学生理解反函数的定义和特点。
3. 示范演练：通过几个具体的例题，向学生展示求反函数的方法，并让学生跟随演示过程，逐步掌握反函数的求解技巧。
4. 练习：让学生进行练习，巩固所学知识，检验理解程度。
可以设置不同难度的练习题，帮助学生提高解题能力。
5. 总结：总结本节课的重点内容，强调反函数的重要性和应用价值，鼓励学生多加练习，提高解题能力。
五、作业布置1. 完成课堂练习，并对错题进行复习和订正。
2. 自主练习，巩固所学知识，提高解题能力。
六、教学反思本节课主要围绕反函数的概念和求解方法展开，通过引入、讲解、演示和练习等环节，帮助学生建立正确的反函数概念，掌握反函数的求解方法。
在教学过程中，要注重引导学生灵活应用所学知识，提高解题能力，激发学生对数学的兴趣，达到提高学生学习能力和解决问题能力的目的。
《反函数》教学设计
《反函数》教学设计教学设计：反函数一、教学目标1.理解函数与反函数的概念和性质。
2.掌握如何求函数的反函数。
3.能够应用反函数解决实际问题。
二、教学重难点1.函数与反函数的概念和性质。
2.求反函数的方法。
3.应用反函数解决实际问题的能力。
三、教学过程1.引入与概念讲解（20分钟）将一些简单的实际问题引入，如小明走了10公里，再走回来时总用时是2小时，看电影用了3小时，求小明的速度。
从这个问题入手引出函数与反函数的概念，并让学生思考反函数可能的意义。
定义函数：函数是一种映射关系，将一个数域中的数映射到另一个数域中的数。
定义反函数：设有函数y=f(x)，如果对于函数f(x)的定义域上的任意一个元素x，都存在定义在f(x)的值域上的一个元素y与之对应，使得f(x)=y，且对于f(x)定义域上的任意一个元素x1，x2，有f(x1)=f(x2)必然导致x1=x2，那么我们称函数y=f(x)的反函数为y=f^(-1)(x)。
2.反函数的求解方法（20分钟）根据定义可知，求反函数的关键是找到y和x的对应关系。
将已知函数表示为y=f(x)，用x来表示y，即x=f^(-1)(y)，解方程f^(-1)(y)=x 即可求得反函数。
以一个简单的例子来演示求反函数的方法：已知y=2x+1，求y=2x+1的反函数。
解：将y=f(x)表示为x=f^(-1)(y)，即x=f^(-1)(2x+1)。
交换x和y 得到y=f^(-1)(2y+1)。
将y=f^(-1)(2y+1)视为一个关于y的方程，解方程可得f^(-1)(y)=(y-1)/2通过多个例子让学生掌握求反函数的方法，并进行简单练习。
3.函数与反函数的性质（20分钟）函数和反函数有以下性质：性质1：函数f(x)与它的反函数f^(-1)(x)互为反函数。
性质2：函数f(x)与它的反函数f^(-1)(x)关于直线y=x对称。
性质3：函数f(x)有反函数的充分必要条件是f(x)是一一对应的。
反函数的教案设计
反函数的教案设计一、教学目标1.了解反函数的概念、性质及其与原函数之间的关系。
2.能够掌握反函数的求法及其应用。
3.能够灵活运用反函数的相关知识，解决实际问题。
二、知识导入1.通过示例，介绍什么是函数的反函数。
2.通过一定的问题和分析，引导学生研究反函数的性质和应用。
三、教学过程1.理解反函数的概念基本概念：定义域上的函数 f 和值域上的函数 g，若对于所有x∈D（f）都有 f (x) =y，则对于所有y∈R,f 中恰好存在一个唯一的 x 满足 f (x) =y.则称 g(x)=y 为 f(x)=y 的反函数，记作 g=f^-1。
2.反函数的求法（1）对于 y=f (x)，如果 y=f(x)是严格单调递增函数，先把f(x)对y求导，然后解出dx/dy，最后再把dy换成dx即可。
（2）对于 y=f (x)，如果 y=f(x)是严格单调递减函数，先把f(x)对y求导，然后解出dx/dy，然后把dx取相反数即可得到反函数的导数。
3.反函数的性质（1）反函数与原函数的图像关于一条直线相互对称。
（2）反函数的导数等于原函数导数的倒数。
（3）反函数与原函数之间的对应关系是一一对应的。
4.反函数的应用（1）求解反函数使得它们可以互相转化；（2）使用反函数的定义特性进行不等式求解；（3）应用反函数解决函数复合问题；（4）使用反函数解决实际问题四、教学方法1.课堂讲解法2.启发式探究法3.案例教学法五、教学重点和难点1.教学重点反函数与原函数的关系，反函数的求法及应用。
2.教学难点反函数的理解及应用。
六、教学反思1.课时的安排比较紧张；2.应用案例多讲练习。
3.加强学生的实际应用能力。
4.帮助学生提高数学素养、掌握思维方法。
七、教学评估1.小测验2.课后作业3.学生参与度4.课程效果参考文献1.李瑞兰.数学分析(修订版) [M].北京: 中国科学技术大学出版社,2001.2.程志之.高等数学(第五版) [M].北京:科学出版社,2010.3.张慕智.数学分析 [M].上海: 华东师范大学出版社,2003.。
高中数学教案——反函数 第一课时
课题：2.4.1 反函数（一）教学目的：掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数教学重点：反函数的定义和求法教学难点：反函数的定义和求法授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教材分析：反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系深化了对概念的理解和掌握教学过程： 一、复习引入：我们知道，物体作匀速直线运动的位移s 是时间t 的函数，即s=vt,其中速度v 是常量,定义域t ≥0,值域s ≥0；反过来，也可以由位移s 和速度v （常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即vs t =，这时，位移s 是自变量，时间t 是位移s 的函数,定义域s ≥0,值域t ≥0.又如，在函数62+=x y 中，x 是自变量，y 是x 的函数，定义域x ∈R ，值域y ∈R. 我们从函数62+=x y 中解出x ，就可以得到式子32-=y x . 这样，对于y 在R 中任何一个值，通过式子32-=y x ，x 在R 中都有唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数：y 为自变量，x 为y 的函数，定义域是y ∈R ，值域是x ∈R.综合上述，我们由函数s=vt 得出了函数v s t =；由函数62+=x y 得出了函数32-=y x ，不难看出，这两对函数中，每一对中两函数之间都存在着必然的联系：①它们的对应法则是互逆的；②它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函数.二、讲解新课：反函数的定义一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=ϕ(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ(y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=ϕ(y) (y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -=,习惯上改写成)(1x f y -=开始的两个例子：s=vt 记为vt t f =)(，则它的反函数就可以写为vt t f =-)(1，同样62+=x y 记为62)(+=x x f ，则它的反函数为：32)(1-=-x x f . 探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数)(x f y =来说，不一定有反函数，如2x y =,只有“一一映射”确定的函数才有反函数，2x y =,),0[+∞∈x 有反函数是x y =探讨2：互为反函数定义域、值域的关系从映射的定义可知，函数)(x f y =是定义域A 到值域C 的映射，而它的反函数)(1x f y -=是集合C 到集合A 的映射，因此，函数)(x f y =的定义域正好是它的反函数)(1x fy -=的值域；函数)(x f y =的值域正好是它的反函数)(1x fy -=的定义域x x f f x x f f ==--)]([,)]([11（如下表）：探讨3：)(1x f y -=的反函数是？若函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，那么函数)(1x f y -=的反函数就是)(x f y =，这就是说，函数)(x f y =与)(1x fy -=互为反函数三、讲解例题：例1．求下列函数的反函数： ①)(13R x x y ∈-=； ②)(13R x x y ∈+=；③)0(1≥+=x x y ； ④)1,(132≠∈-+=x R x x x y 且. 解：①由13-=x y 解得31+=y x ∴函数)(13R x x y ∈-=的反函数是)(31R x x y ∈+=， ②由)(13R x x y ∈+=解得x=31-y ,∴函数)(13R x x y ∈+=的反函数是)(13R x x y ∈-=③由y=x +1解得x=2)1(-y , ∵x ≥0，∴y ≥1. ∴函数)0(1≥+=x x y 的反函数是x=2)1(-y (x ≥1); ④由132-+=x x y 解得23-+=y y x ∵x χ{x ∈R|x ≠1}，∴y ∈{y ∈R|y ≠2} ∴函数)1,(132≠∈-+=x R x x x y 且的反函数是)2,(23≠∈-+=x R x x x y 小结：⑴求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明 ⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到 ⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射例2．求函数23-=x y （R x ∈）的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图像解：由23-=x y 解得32+=y x ∴函数)(23R x x y ∈-=的反函数是)(32R x x y ∈+=， 它们的图像为：例3求函数 211x y --=（-1<x<0）的反函数 解：∵ -1<x<0 ∴0<2x <1 ∴0<1 -2x < 1∴ 0 <21x -< 1 ∴0 < y <1 由：211x y --= 解得：22y y x --= (∵ -1< x < 0 ) ∴211x y --=(-1<x < 0)的反函数是：22x x y --=(0<x<1 )例4 已知)(x f = 2x -2x(x ≥2),求)(1x f -.解法1：⑴令y=2x -2x ，解此关于x 的方程得2442y x +±=， ∵x ≥2，∴2442y x ++=，即x=1+y +1--①, ⑵∵x ≥2，由①式知y +1≥1，∴y ≥0--②,⑶由①②得)(1x f -=1+x +1（x ≥0，x ∈R ）；解法2：⑴令y=2x -2x=2)1(-x -1，∴2)1(-x =1+y ，∵x ≥2，∴x-1≥1，∴x-1=y +1--①,即x=1+y +1,⑵∵x ≥2，由①式知y +1≥1，∴y ≥0,⑶∴函数)(x f = 2x -2x(x ≥2)的反函数是)(1x f -=1+x +1（x ≥0）；说明：二次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求x ，也可以用配方法求x ，但开方时必须注意原来函数的定义域.四、课堂练习：课本P63练习：已知函数)(x f y =，求它的反函数)(1x fy -= （1） 32+-=x y （x ∈R ） （2）x y 2-= (x ∈R ，且x ≠0) （3） 4x y = （x ≥0） （4）53+=x x y (x ∈R ，且x ≠35-) 五、小结 本节课学习了以下内容：反函数的定义及其注意点、求法步骤六、课后作业：课本第64习题2.4：1七、板书设计（略）八、课后记：。
《反函数》教学设计
《反函数》教学设计一、教学目标1.理解反函数的概念和性质；2.能够找出函数的反函数；3.能够应用反函数解决实际问题。
二、教学内容1.反函数的定义和性质；2.如何找到一个函数的反函数；3.反函数的应用。
三、教学过程1.导入教师可以通过一个简单的例子引入反函数的概念，如y=x+3，让学生想一想如何找到这个函数的反函数。
2.概念讲解首先，教师向学生介绍反函数的概念，即如果一个函数f(x)和它的反函数f^(-1)(x)满足条件f(f^(-1)(x))=x，则称f^(-1)(x)是f(x)的反函数。
接着，教师讲解反函数的性质，如反函数之间互为倒数、关于y=x对称等。
3.如何找到一个函数的反函数教师通过几个例子来展示如何找到一个函数的反函数，让学生掌握具体的操作步骤。
例如，对于函数y=2x-1，要找到它的反函数，首先将y=2x-1表示成x=2y-1，然后交换x和y的位置得到y=2x-1，最后将y记为f(x)的反函数即可。
4.反函数的应用教师通过一些实际问题来引导学生应用反函数解决问题，如求解线性方程组、计算复合函数等。
例如，如果一个物体从高处落下，已知它的高度与时间的关系为h(t)=4.9t^2，求落地时的时间。
在这个问题中，物体的高度h(t)是时间t的函数，通过找到h(t)的反函数就可以求解出问题中的未知量。
5.案例分析教师提供一些具体的案例让学生练习应用反函数解决实际问题，通过分组讨论或小组合作来解决问题。
例如，已知函数y=3x+7，求出它的反函数并计算f(2)的值。
6.练习与拓展教师布置一些练习题让学生巩固所学知识，并提供一些拓展题目来挑战学生的思维。
例如，已知函数f(x)=2x^2+3x，求出它的反函数并计算f^(-1)(5)的值。
7.总结与作业教师对本堂课的内容进行总结，强调反函数的重要性和应用，并布置相关的作业来巩固学生的学习成果。
四、教学手段1.PPT课件：用于呈现反函数的定义、性质及操作步骤等内容；2.教学案例：用于让学生实际操作，巩固所学知识；3.讨论与合作：激发学生思维，促进学生合作交流。
高三数学高考考前复习：反函数教案
第五节 反函数一、复习目标：理解反函数的意义，会求一些函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用)(x f y =与)(1x fy -=的性质解决一些问题。
二、重难点：反函数的求法，反函数与原函数的关系。
三、教学方法：讲练结合，探析归纳。
四、教学过程 （一）、谈新课标要求及考纲要求和高考命题考查情况，促使学生积极参与。
新课标要求及考纲要求：1、了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用)(x f y =与)(1x fy -=的性质解决一些问题。
2、不仅从认识上，而且从处理函数问题的指导上达到从三要素总体上把握函数概念的要求，对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识，对于给出解析式的函数，会求其反函数。
3、其次在于确定函数三要素、求反函数等内容的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合。
高考命题考查情况简析：确定函数三要素、求反函数等内容的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合。
因此求一些简单函数的反函数掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用)(x f y =与)(1x fy -=的性质解决一些问题，是高考命题的重点。
预测2010年高考，会以选择题或填空题的形式考查，难度不会大，以求一些简单函数的反函数掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用)(x f y =与)(1x fy -=的性质解决一些问题仍为命题重点来考查。
（二）、知识梳理整合，方法定位。
（学生完成复资P20填空题，教师准对问题讲评） 1、反函数的概念：设函数y=f(x)的定义域为A ，值域为C ，由y=f(x)求出()y x ϕ=，若对于C 中的每一个值y ，在A 中都有唯一的一个值和它对应，那么()y x ϕ=叫以y 为自变量的函数，这个函数()y x ϕ=叫函数y=f(x)的反函数，记作()y f x 1-=，通常情况下，一般用x 表示自变量，所以记作()x fy 1-=。
教案设计高中数学《反函数》
教案设计高中数学《反函数》一、教材分析1.教学内容本节教材内容涉及反函数的概念，反函数的求法。
函数从本质上讲是函数，原函数与反函数互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。
2.本节教材地位与重要性“反函数”一节课是《高中数学》第一册的重要内容。
这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为日后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用。
3.重点与难点重点：反函数的概念及反函数的求法。
理解反函数概念并求出函数的反函数是高一数学教学的重要内容，这建立在对函数概念的真正理解的基础上，必须使学生对于函数的基本概念有清醒的认识。
难点：反函数概念的接受与理解。
学生对于反函数的来历、反函数与原函数间的关系都容易产生错误的认识，必须使学生认清反函数的实质就是函数这一本质问题，才能使学生接受概念并对反函数的存在有正确的认识。
教学中复习函数概念，进而引出反函数概念，就是为突破难点做准备。
4.课时安排本节内容将安排1课时时间完成教学。
二、教学目标知识目标：○1理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；○2掌握反函数的求法，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；能力目标：通过观察、分析、抽象、推理得出数学规律，培养学生的数学意识。
通过作图，加强学生对数形结合的数学思想的理解，训练学生自主地获取知识的能力，和在所学知识的基础上进行再创新的能力。
情感目标：使学生树立对立统一的辩证思维的观点。
三、教法与学法分析1.教法分析根据本节课的内容及学生的实际水平，将采取引导发现式教学方法并充分发挥电脑多媒体的辅助教学作用。
引导发现法作为一种启发式教学方法，体现了认知心理学的基本理论。
教学过程中，教师采用点拨的方法，启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”和接受，进而完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。
反函数概念教学设计
反函数概念教学设计反函数是高中数学中的重要知识点，这个概念对于理解函数的复合、解方程组和图像翻折等内容都有着重要的意义。
为了帮助学生更好地理解、掌握反函数的相关知识，本文将介绍一个综合性教学设计，以帮助教师在教学中更好地引导学生理解反函数。
1.预习环节在课前，教师可以将关于反函数概念的知识点、定义和定理等相关材料提供给学生进行预习。
教师可以通过对学生的预习情况进行简单的调查，以了解学生对于反函数概念的初步认知情况。
2.引入环节在课堂上，教师可以根据学生预习的情况，提出相关的问题，引导学生思考反函数的概念。
例如，教师可以提问：“什么是反函数？为什么需要研究反函数？”等问题。
3.理论讲解环节在学生对于反函数概念有了初步的认识后，教师可以进行反函数的理论讲解。
首先，教师可以讲解反函数的定义，即如果函数f的定义域为X，值域为Y，如果存在一个函数g，满足g(Y)=X且f(g(y))=y，那么g就是f的反函数。
然后，教师可以引入反函数的性质和定理，例如反函数的复合等。
4.练习环节在学生对于反函数概念的理论有了初步的掌握之后，教师可以引导学生进行相关的练习。
可以从计算反函数、图像翻折、解方程组等方面出发，让学生使用反函数的相关知识进行练习和实践。
5.实践应用环节在练习环节之后，教师可以带领学生进行实践应用。
例如，可以引导学生使用反函数的相关知识在现实生活中进行应用，例如求解公交车路线等相关问题。
这样可以让学生对于反函数的实际应用产生更深层次的理解和认识。
6.课后复习环节课后，教师可以通过作业等方式对学生进行回顾和总结，让学生对于反函数的概念和理论再次进行回顾和整理。
教师可以佩服对于学生的总结和归纳，也可以通过针对特定问题的讲解来帮助学生理解和掌握反函数相关的知识点。
综上所述，反函数是数学中的重要概念，学习反函数对于学生理解数学的其他概念也有着非常重要的作用。
在教学反函数的课程中，教师可以通过综合教学设计的方式，让学生对于反函数的概念和相关知识点产生更深层次的理解，从而掌握反函数的相关技巧和方法。
反函数教学设计
反函数教学设计教学设计：反函数一、教学目标：1.理解反函数的概念，掌握反函数的定义和性质。
2.能够求解含有反函数的方程和不等式。
3.能够应用反函数解决实际问题。
二、教学重难点：1.理解反函数的概念和定义。
2.能够应用反函数解决实际问题。
三、教学准备：1.教材：教材中有关反函数的知识点、例题和习题。
2.教具：黑板、粉笔、课件、PPT。
四、教学步骤：Step 1 引入1.教师用一个简单的例子向学生引入反函数的概念：例如：设函数f(x)=2x+3，要求求出它的反函数。
让学生思考如何解决这个问题。
2.接下来，教师解释反函数的概念和意义：反函数是指一个函数的定义域和值域互换，在数学中亦称为“倒数”。
Step 2 反函数的定义和性质1.教师向学生介绍反函数的定义：设函数f的定义域为A，值域为B，则对于B中的任意y值，如果存在一个实数x∈A，使得f(x)=y成立，则称g(y)=x是f的反函数。
2.教师教授并讲解反函数的性质：（1）反函数与原函数的关系：如果g是f的反函数，那么f是g的反函数。
（2）反函数的图像：反函数f和原函数f关于y=x对称(画图示例)。
（3）复合函数：如果g是f的反函数，则f是g的反函数，即f(g(x))=x，g(f(x))=x。
（4）反函数的导数：如果g是f的反函数，那么f的导函数和g的导函数互为倒数。
Step 3 案例分析1.教师给出一个具体的案例：已知函数y=3x-5，求它的反函数及其定义域和值域。
然后，教师帮助学生逐步解决这个问题。
2.学生根据教师的引导，试着解答案例。
教师引导学生通过求解方程的方法，解出x关于y的表达式，然后交换x和y，即求得反函数。
Step 4 反函数的应用1.教师给出实际问题：假设一条直线上有两个不同的点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，分别通过这两个点的直线方程为y=f(x)，假设存在一个数x₀满足f(x₀)=y₁，需要学生求出反函数极值。
2.学生先根据问题意图，设短直线通过点B(x₂,y₂)，求出短直线的方程，然后列出方程f(g(y))=y的表达式，然后求导，解出f的导数g′(y)，找到其最值所在的点y₀。
高中数学反函数教案
高中数学反函数教案一、教学目标1. 理解函数与反函数的概念，能够求解反函数；2. 掌握反函数的性质和求解方法；3. 能够应用反函数解决相关问题。
二、教学重点1. 函数与反函数的概念；2. 反函数的求解方法；3. 反函数的性质。
三、教学内容1. 函数与反函数的概念- 函数的定义和表示：定义域、值域、映射关系；- 反函数的定义：对任意的y，存在唯一的x，使得f(x)=y，则称y关于x的函数为f的反函数，记为$f^{-1}$(y)。
2. 反函数的求解方法- 交换x和y的位置，并解出y，得到反函数表达式；- 注意判断反函数的存在性和唯一性。
3. 反函数的性质- 函数与反函数互为反函数；- 函数与反函数的图像关于y=x对称；- 反函数的定义域与原函数的值域相同，反函数的值域与原函数的定义域相同。
四、教学过程1. 导入：通过实例引入函数与反函数的概念，让学生理解反函数的概念。
2. 讲解：介绍函数与反函数的定义、求解方法和性质，引导学生掌握。
3. 练习：设计反函数的求解问题，让学生灵活运用反函数的概念来解决问题。
4. 总结：归纳反函数的概念和性质，让学生总结学习内容。
五、教学案例已知函数$f(x)=2x+1$，求其反函数。
解：设反函数为$y=f^{-1}(x)$，则有$y=2x+1$，交换x和y的位置可得$x=2y+1$，解出y 得$y=\frac{x-1}{2}$，因此，函数的反函数为$f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}$。
六、课堂练习1. 已知函数$f(x)=3x-2$，求其反函数；2. 若函数$g(x)$的反函数为$h(x)$，求$f(x)=\frac{1}{g(x)}$的反函数。
七、作业布置1. 完成课堂练习；2. 预习下节课内容，复习反函数的概念和性质。
八、教学反思本节课重点介绍了函数与反函数的概念、求解方法和性质，通过实例讲解和课堂练习，学生基本掌握了反函数的相关知识。
下节课将继续深入探讨反函数的应用和拓展，激发学生对数学的兴趣和探索欲望。
《反函数》教案.doc
《反函数》教案【课题】反函数【教学目的】了解反函数的概念，会求一些简单函数的反函数。
【教学重点】反函数的概念以及反函数的求法。
【教学难点】反函数的求法中反函数的定义域的确定。
【教学过程】一、复习：1.什么叫映射？什么叫一一映射？(学生回答，然后用幻灯打出)映射的定义：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/ ,对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f )叫做集合A到集合B的映射，记作f: A9 B.一一映射的定义：设A、B是两个集合，/： A9B是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且 B 中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的映射。
2.什么叫函数？函数的三要素是什么？(学生回答，然后用幻灯打出) 函数的定义：如果A, B都是非空数集，那么A到B的映射f： A9B就叫做A到B的函数。
记作y =f(x)，其中x£A, y£Bo原象的集合A叫做函数y = f (%)的定义域，象的集合C (CGB)叫做函数y=f(x)的值域。
函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函f(X)。
函数的三要素：定义域、值域、对应法则。
其中定义域和对应法则是最基本的要素。
3.已知汽车以每小时60公里的速度匀速前进，汽车行驶的路程s与行走的时间的关系为,如果把s看作t的函数，则其定义域为, 值域为。
如果用s来表示t为, t是不是路程s的函数？为什么？( 口答)4,已知函数y = 2% + 6 (xeR)中。
我们从函数y = 2% + 6解出x,就可以得到式子x = 3 (yeR)o判断x是不是y的函数？为什么？(学生练习，老师讲评)二、新课1.分析复习中的过程3,过程4中的两个函数的关系，指出：我们说函数，=上60 是函数s = 60t的反函数，函数x = -|-3 (yeR)是y = 2x +6的反函数。
反函数教案设计范文
反函数教案设计范文一、教学目标：1.知识与技能：了解函数的概念及性质，学会求反函数；2.过程与方法：通过引导学生进行类比和归纳总结的方式，让学生主动参与教学过程，培养学生的思维能力和解决问题的能力；3.情感态度与价值观：培养学生的数学兴趣，增强学生的合作意识和团队精神。
二、教学重难点：1.教学重点：学习反函数的概念及求解方法；2.教学难点：掌握反函数的性质和应用。
三、教学过程：1.导入新课（10分钟）1.引入：老师可以使用一个实际问题引入函数的概念，如：小明每天花1小时做作业，那么他每天写作业的多少是一个关于时间的函数。
2.向学生提问：如果小明写作业1小时，那么花了多少时间？2.函数与反函数的概念（15分钟）1.通过上面的例子，引导学生总结函数的特点：一个变量的值的变化会导致另一个变量的值的变化。
2.引导学生思考：如果已知小明写作业花了5小时，那么花了多少时间？3.介绍反函数的概念：如果已知函数y=f(x)，对于任意的y，存在唯一的x，使得f(x)=y，那么函数g(y)=x就是函数f(x)的反函数。
3.反函数的求解（30分钟）1.通过具体的例子，引导学生探索求反函数的方法：将已知的函数方程中的x和y互换位置，然后解出新的方程即可求得反函数。
2.练习：要求学生根据题目中给出的函数方程，求出其反函数。
3.沟通交流：让学生讨论和分享自己的求解方法，总结出求反函数的一般步骤。
4.反函数的性质（20分钟）1.引导学生发现反函数与原函数的性质：反函数与原函数是对称的，即对于任意的x，有f(g(x))=x和g(f(x))=x；2.引导学生比较反函数与倒数的概念：反函数是在平面直角坐标系中定义的，与原函数的定义域和值域均相同；而倒数是在数轴上定义的，它是原函数在其中一点的函数值的倒数。
5.反函数的应用（15分钟）1.通过实际问题，引导学生思考反函数的应用场景，如温度转换、货币兑换等。
2.练习：给出实际问题，要求学生使用反函数解答问题。
高三数学一轮教案反函数(一)
芯衣州星海市涌泉学校§反函数【复习目的】2理解反函数的意义，掌握求反函数的根本步骤；3理解互为反函数的函数图象关系，理解互为反函数的函数的定义域和值域的关系。
【重点难点】利用互为反函数的函数图象关系解题【课前预习】1以下函数中有反函数的是〔〕A．2y x=B．||y x=C．1y=D．22,02,0x xyx x⎧-≥=⎨<⎩2函数11)y x=≥的反函数为〔〕A．()211(1)y x x=-+≤B．()211(1)y x x=-+≥C．()211(1)y x x=--≤D．()211(1)y x x=--≥55()f x x a=-，且(1)0f-=，那么1(1)f-的值是〔〕A．0B．1C．－1D7函数()y f x=的图象经过第三、四象限，那么1()y f x-=的图象经过〔〕A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限8函数23(1)1xy xx+=≠-的反函数是。
6．函数1()2f x x b=+的反函数为1()5f x ax-=-，那么a=，b=。
【典型例题】例1求以下函数的反函数：〔1〕()1[ln 51]52y x x =-+>；〔2〕22,0y x x x =+≥ 例222()(1)1f x x x =<--，求12()3f --的值。
例3设0a >且1a ≠，()log (1)a f x x x =+≥ 〔1〕求()f x 的反函数1()f x -和反函数1()f x -的定义域；〔2〕假设1*33()()2n n f n n N --+<∈，求a 的取值范围。
【稳固练习】1．假设直线y=ax+1与直线y=－2x+b 关于直线y=x 对称，那么a=，b=；2．假设函数f 〔x 〕的图象经过点〔0，－1〕，那么函数f 〔x+4〕的反函数的图象必经过点A.〔－1，－4〕B.〔0，－1〕C.〔－4，－1〕D.〔1，－4〕3．函数(1)y f x =+的图象与函数1(1)y f x -=+的图象关于以下那条直线对称 A ．y=xB ．y=－xC ．y=x+1D ．y=x －1【本课小结】【课后作业】5 假设函数()x f x a k =+的图象过点A 〔1，3〕，且它的反函数1()y f x -=的图象过点B 〔2，0〕，求()f x 的表达式。
(新人教)高三数学第一轮复习教案2.4.1反函数(1)
一．课题：反函数（1） 二．教学目标：1．使学生理解反函数的；2．弄清原函数与反函数之间的三要素的关系，特别是它们的定义域与值域的关系； 3．会求一些函数的反函数，培养学生思维的严密性和灵活性。
三．教学重点、难点：1．使学生在了解反函数的概念的基础上，理解互为反函数的对应法则的互逆性； 2．弄清原函数与反函数的定义域与值域的关系；3．通过求一些函数的反函数，培养学生思维的严密性和灵活性。
四．教学过程： （一）复习引入1．特殊的对应构成映射，特殊的映射得到函数，映射与函数的联系与区别，函数的三要素。
2A B A B:()2f A Bx f x x →→= 2:()g A B x g x x→→= 对于,f g 这两个对应，它们是不是映射？是不是一一映射？是不是函数？那么这两个映射能不能构成B 到A 的映射吗？如果能（显然，只有一一映射才能），那么B 到A 的映射所确定的函数与原函数又有何关系呢？3．引例：在物理上，学过匀速运动的位移和时间的函数关系，即s vt =与st v=（其中速度v 是常量）在s vt =中，位移s 是时间t 的函数。
在st v=中，时间t 是位移s 的函数。
在这种情况下，我们说函数st v=是函数s vt =的反函数。
在函数2y x =（)R x ∈中，x 是自变量，y 是x 的函数。
从函数2y x =中解出x ，就可以得到式子=x 21y )(R y ∈。
这样，对于y 在R 中任何一个值，通过式子=x 21y ，x 都有唯一的值和它对应。
这就说明了，可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数。
这时，我们就说=x 21y )(R y ∈是函数2y x =（)R x ∈的反函数。
由此，我们可给出反函数的定义。
（二）新课讲解 1．反函数定义：一般的，函数()()y f x x A =∈中，设它的值域为C 。
我们根据这个函数中,x y 的关系，用y 把x 表示出来，得到()x y ϕ=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题：2.4.2 反函数（2）
教学目的：
⒈使学生了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明.
⒉会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题.
教学重点：互为反函数的函数图象间的关系定理及其证明，定理的应用；
教学难点：定理的证明（但教材不作要求）.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．反函数的定义；
2．互为反函数的两个函数)
(x
f
y=与)
(1x
f
y-
=间的关系：
----定义域、值域相反，对应法则互逆；
3．反函数的求法：一解、二换、三注明
4. 在平面直角坐标系中，①点A(x,y)关于x轴的对称点'A(x,-y);
②点A(x,y)关于y轴的对称点'A(-x,y);③点A(x,y)关于原点的对称点'A(-x,-y);④点A(x,y)关于y=x轴
的对称点'A(?,？);
5.我们已经知道两个互为反函数的函数间有着必然的联系（在定义域、值域和对应法则方面）. 函
数图象是从“形”的方面反映这个函数的自变量x与因变量y之间的关系.因此，互为反函数的函数图象间也必然有一定的关系，今天通过观察如下图像研究—互为反函数的函数图象间的关系.
①)
(
2
3R
x
x
y∈
-
=的反函数是)
(
3
2
R
x
x
y∈
+
=
②)
(
3R
x
x
y∈
=的反函数是)
(
3R
x
x
y∈
=
)
(x
f
y=的图象和它的反函数)
(1x
f
y-
=的图象关于直线x
y=对称.
2．证明结论（不要求掌握，根据实际情况处理）
证明：设M(a,b)是)
(x
f
y=
则当x=a时，)
(x
f有唯一的值b
a
f=
)
(.
∵)(x f y =有反函数)(1
x f y -=，
∴当x=b 时，)(1
x f
-有唯一的值a b f
=-)(1
，
即点'M (b,a)在反函数)(1
x f y -=的图象上.
若a=b ，则M ，'M 是直线y=x 上的同一个点，它们关于直线y=x 对称. 若a ≠b ，在直线y=x 上任意取一点P(c,c)，连结PM ，P 'M ，M 'M 由两点间的距离公式得：
PM=22)()(c b c a -+-,P 'M =22)()(c a c b -+-， ∴PM=P 'M . ∴直线y=x 是线段M 'M 的垂直平分线， ∴点M,'M 关于直线y=x 对称.
∵点M 是y=f(x)的图象上的任意一点，
∴)(x f y =图象上任意一点关于直线y=x 的对称点都在它的反函数)(1
x f
y -=的图象上，由
)(x f y =与)(1x f y -=互为反函数可知，
函数)(1
x f y -=图象上任意一点关于直线y=x 的对称点也都在它的反函数)(x f y =的图象上， ∴函数)(x f y =与)(1
x f
y -=的图象关于直线y=x 对称.
逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x 对称，则这两个函数一定是互为反函数.
3．应用：⑴利用对称性作反函数的图像
若)(x f y =的图象已作出或比较好作，那么它的反函数)(1
x f y -=的图象可以由)(x f y =的图
象关于直线y=x 对称而得到；
⑵求反函数的定义域求原函数的值域； ⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同 三、讲解例题：
例1．求函数)0(2
<=x x y 的反函数,象.
解：∵原函数的定义域是x<0，值域是y>0, ∴由y=2
x 解出y x -=, ∴函数)0(2
<=x x
y 的反函数是)0(>-=x x y ,
作y=2
x (x ∈(-∞,0))的图象，再作该函数关于直线y=x 的对称曲线，即为函数)0(>-=x x
y 的
图象（如图）.
例2．求函数2
38
5-+=
x x y 的值域．
分析：灵活运用互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系.
解：∵2
385-+=
x x y ∴5382-+=y y x ∴y ≠35
∴函数的值域为{y|y ≠3
5} 例3 已知)(x f =
2
11x
-(x<-1)，求)31(1
--f ； 解法1：⑴令)(x f =y=2
11x -，∴2
x
=y y 1---①，∵x<-1，∴x=-y y 1-;⑵∵x<-1，由①式知y y 1-≥1,∴y<0; ⑶∴)(1
x f
-= -
x
x 1
-(x<0)；⑷)3
1
(1
--f =-2. 分析：由y=)(x f 与y=)(1
x f -互为反函数的关系可知：当y=)(x f 中的x=a 时y=b ，则在y=)
(1
x f -中,当x=b 时y=a ，本题要求)31(1
--f
，设其为u ，说明在函数)(x f =y=2
11x
-(x<-1)中，当y=31
-时，x=u ，问题转化为知原来函数中的y=3
1
-而求x.
解法2：令2
11x
-=31-，变形得2
x =1+3=4，又∵x<-1，∴x=-2. 说明：解法2显然比解法1简捷得多，正确灵活地运用所学的有关概念，往往可以收到事半功倍
的效果.
四、练习：课本P63－64练习：5，6，7
补充：设函数y=)(x f 的反函数为y=)(x g ，求y=)(x f -的反函数.
解：在函数y=)(x f -中，x 为自变量，y 为函数，且由题意知-x=)(1
y f -,∴x=-)(1
y f
-，∴y=)
(x f -的反函数为y=-)(1
x f -，
又∵)(x g =)(1
x f
-,∴y=)(x f -的反函数为y=-)(x g .
五、小结本节课学习了以下内容：
1.互为反函数的函数图象间关系，
2.求一个函数的反函数图象的方法，
3.互为反函数的两个函数具有相同的增减性
六、课后作业：课本P64习题2.4：2
答案与提示：2.y=)(1
x f
-=
2252
1
x -,x ∈[0,5]; 补充：⒈求下列函数的反函数： ⑴)3(32-≤-=
x x y ；⑵y=2x -6x+12(x ≤3);⑶y=2--x (x ≤-2).
⒉已知函数y=ax+2的反函数是y=3x+b ，求a,b 的值.
答案：⒈⑴y=-32+x (x ≥0); ⑵y=3-3-x (x ≥0);
⑶y=-2
x -2(x ≥0). ⒉a=3
1
,b=-6;. 七、板书设计（略） 八、课后记：。