难点探究专题：全等三角形中的动态问题

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全等三角形中的动态性问题

全等三角形中的动态性问题动态性几何问题是中考数学题型中的热点题型，这类试题常以运动的点、线段、变化的图形等为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其它量之间的关系，或变量在一定条件为定值时，进行相关的几何计算和综合解答。

解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解，要始终把握住“动静结合找界点、分类讨论细演算” 。

一、图形的全等图形经过“轴对称”、“平移”、“旋转” 后，位置发生了变化，但形状和大小不变，变换后的图形和变换前的图形能完全重合，这样的两个图形就全等。

1、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等。

2、全等三角形的判定：SSS , SAS , ASA , AAS , HL 。

二、试题探究例题1、已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。

例题1图（1）（1）试猜想线段AC与CE的位置关系，并证明你的结论.结论：AC⊥CE （证明略）（2）若将△ECD沿CB方向平移，其余条件不变, 结论：AC⊥C1E 还成立吗?请说明理由。

例题1图（2）结论：AC⊥C1E （证明略）例题2、已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。

（1）线段BD、AB、DE之间有怎样的数量关系，并说明理由。

例题2图（1）结论：BD=AB+DE （证明略）（2）若将两个三角形绕点C 旋转到如图所示的位置，则线段BD、AB、DE之间数量关系还成立吗？并说明理由。

例题2图（2）结论：BD = AB - ED （证明略）总结：图形变换，全等不变；遇到变式，先找不变。

三、典型例题例题3、如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ 。

（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E，如图b，求证：BE⊥DQ 。

例题3图（a）例题3图（b）证明：略。

例题4、已知,如图1,E、F为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E点,BF ⊥AC于F点,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M点；（1）求证：MB=MD，ME=MF；（2）当E、F两点移至如图2所示的位置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明你的理由。

专题08 全等三角形中的动态问题(学生版)

专题08全等三角形中的动态问题▲▼类型一全等三角形中的动点问题【例题】（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=．点D 是直线BC 上一动点（点D 不与点B ，C 重合），90,DAE AD AE ∠=︒=，连接CE ．(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，直接写出,BC CD 与CE 之间的数量关系；(2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，请探究线段,BC CD 与CE 之间存在怎样的数量关系？并说明理由；(3)如图3，若点D 在边CB 的延长线上，且点A ，E 分别在直线的两侧，其他条件不变，若10,6CD BC ==，直接写出CE 的长度．【变式训练】1．（2021·河南商丘·八年级期中）如图1，ABC 中，50A ∠=︒，AB AC =，点D 、E 别在边AB 、AC 上，且DE //BC ．(1)求证：BD CE =；(2)围绕A 点旋转ADE ，使其一边AD 落在线段AC 上（如图2所示），连接CE 、BD 并延长相交于M 点．试求BMC ∠的度数．2．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点P．(1)观察猜想：1.AE与BD的数量关系为______；2.∠APD的度数为______；(2)数学思考：如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．3．（2022·辽宁大连·八年级期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，FD⊥ED．(1)如图1，若点E在线段AB上，点F在线段AC上，求证BE＝AF；(2)如图2，若点E在线段AB的延长线上，点F在线段CA的延长线上．请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．4．（2022·江西·余干县第三中学九年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到如图2所示的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；(3)当直线MN绕点C旋转到如图3所示的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．5．（2020·山东青岛·八年级单元测试）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．（1）操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；（2）猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．▲▼类型二全等三角形中的动图问题【例题】（2021·海南华侨中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB=24cm，AC=16cm，∠BAD=∠CAD，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC于点F，动点P以每秒2cm的速度从A点向B点运动，动点Q以每秒1cm的速度从C点向A 点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）求证：△AED≌△AFD；（2）若AE=10cm，当t取何值时，△DEP与△DFQ全等．【变式训练】1．（2022·全国·八年级）如图，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，∠B=∠C，BC=8cm，D为AB的中点．点P 在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？2．（2021·河南三门峡·八年级期中）已知：如图，在长方形ABCD 中，4cm,6cm AB BC ==，点E 为AB 中点．点P 在线段BC 上以每秒2cm 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CD 上由点C 向点D 运动．设点P 的运动时间为t 秒，解答下列问题：（1）线段,BP PC 的长可用含t 的式子分别表示为cm ，cm ；（2）若某一时刻BPE 与CQP V 全等，求此时t 的值和点Q 的运动速度．3．（2021·湖北十堰·八年级期中）如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C 点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．（1）用t的代数式表示PC的长度；（2）若点P，Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点P，Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？4．（2021·福建省华安县第一中学八年级期中）如图，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=9cm，点P在线段AB上以3cm/s的速度，由A向B运动，同时点Q在线段BD上由B向D运动；设点P的运动时间为t秒．(1)PB=________cm．（用含t的代数式表示）(2)如图1，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t=1秒时，△ACP与△BPQ是否全等？并说明理由．(3)如图2，将“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”，其余条件不变；设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．5．（2021·天津红桥·八年级期中）在ABC 中，AB AC =，点D 是射线CB 上的一个动点（不与点B ，C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ．（1）如图1，当点D 在线段CB 上，且90BAC ∠=︒时，那么DCE ∠=______度．（2）设BAC α∠=，DCE β∠=．①如图2，当点D 在线段CB 上，90BAC ∠≠︒时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D 在线段CB 的延长线上，90BAC ∠≠︒时，请直接写出此时α与β之间的量关系（不需证明）．。

2020七年级数学下册试题难点探究专题：全等三角形中的动态问题

难点探究专题：全等三角形中的动态问题◆类型一全等三角形中的动点问题1．如图，在△MAB中，MA＝MB，过M点作直线MN交AB于N点．P是直线MN上的一个动点，在点P移动的过程中，若NA＝NB，则∠PAM与∠PBM是否相等？说明理由．2．如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为________；②线段BC，CD，CF之间的数量关系为______________ (将结论直接写在横线上)；(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．◆类型二全等三角形中的动图问题3．已知等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°.如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD ，BE.(1)如果点B ，C ，D 在同一条直线上，如图①所示，试说明：AD ＝BE ；(2)如果△ABC 绕C 点转过一个角度，如图②所示，(1)中的结论还能否成立？请说明理由．◆类型三全等三角形中的翻折问题4．如图，将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF ＝12∠DAB.试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并说明理由．参考答案与解析1．解：∠P AM ＝∠PBM .理由如下：∵NA ＝NB ，MA ＝MB ，MN 是公共边，∴△AMN ≌△BMN (SSS)，∴∠MAN ＝∠MBN ，∠MNA ＝∠MNB .又∵NA ＝NB ，PN 是公共边，∴△P AN ≌△PBN (SAS)，∴∠P AN ＝∠PBN .∴∠P AM ＝∠PBM .2．解：(1)①垂直 ②BC ＝CD ＋CF(2)CF ⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，正确结论：CD ＝CF ＋BC .证明如下：∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∠DAF ＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF .在△DAB 与△F AC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AF ，∠BAD ＝∠CAF ，AB ＝AC ，∴△DAB ≌△F AC (SAS)，∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF .∵∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝∠ABD －∠ACB ＝90°，∴CF ⊥BC .∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC .3．解：(1)∵△ABC ，△CDE 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝DE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°.∵点B ，C ，D 在同一条直线上，∴∠ACE ＝60°，∴∠BCE ＝∠ACD ＝120°.在△ACD 与△BCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE (SAS)．∴AD ＝BE . (2)成立．理由如下：∵∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB ＋∠ACE ＝∠DCE ＋∠ACE ，即∠BCE ＝∠ACD .又∵AC ＝BC ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE ，∴AD ＝BE .4．解：DE ＋BF ＝EF .理由如下：延长CB 至G ，作∠5＝∠1，如图所示．∵将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，∠EAF ＝12∠DAB ，∴AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，∠2＋∠3＝∠1＋∠4，∴∠ABG＝90°＝ADE .∵∠5＝∠1，∴∠2＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠GAF ＝∠EAF .在△AGB 和△AED 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAB ＝∠EAD ，AB ＝AD ，∠ABG ＝∠ADE ，∴△AGB ≌△AED (ASA)，∴AG ＝AE ，BG ＝DE .在△AGF 和△AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AE ，∠GAF ＝∠EAF ，AF ＝AF ，∴△AGF ≌△AEF (SAS)，∴GF ＝EF ，∴BG ＋BF ＝EF ，∴DE ＋BF ＝EF .。

全等三角形中的动态几何问题

全等三角形中的动态几何问题动态几何题，是指以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；而通过对几何图形运动变化，使同学们经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数学试题中，考查创新意识、创新能力的重要题型；解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动．本文以中考试题中的全等三角形动态几何题为例，谈谈这类问题的解题思路，供同学们学习时参考．1. 在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD⊥MN 于D ，BE⊥MN于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD ＋BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD －BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．CBA ED图1NM AC DE MN图2AC BEDNM图32.如图A，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE．（1）线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；（2）将图A中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图B，（1）中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；（3）若将图A中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形C（草图即可），（1）中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由；（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现．3. （08河北中考第24题）如图14-1，在△ABC 中，BC 边在直线l 上，AC ⊥BC ，且AC = BC ．△EFP 的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF =FP ．（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP 沿直线l 向左平移到图14-2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将△EFP 沿直线l 向左平移到图14-3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．4. 如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系： ①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系； ②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论图14-1（E ）（F ） BC PA llPCF图14-2l图14-3是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．5. 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AD∥BC，AB=DC ，AD=2，BC=4，延长BC 到E ，使CE=AD ．（1）写出图中所有与△DCE 全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由；（5分）（2）探究当等腰梯形ABCD 的高DF 是多少时，对角线AC 与BD 互相垂直？请回答并说明理由．（5分）F EDCBA。

八数上(RJ)-4.难点探究专题：动态变化中的三角形全等--精品专题

难点探究专题：动态变化中的三角形全等——以“静”制“动”，不离其宗◆类型一动点变化1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，PQ＝AB，点P与点Q分别在AC和AC 的垂线AD上移动，则当AP＝_________时，△ABC和△APQ全等．2．如图，△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B ＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v cm/s，则当△BPD 与△CQP全等时，v的值为____________【提示：三角形中有两个角相等，则这两个角所对的边相等】．3．(2016·达州中考)△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.【方法11】(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC 上时，①BC与CF的位置关系为_______；②线段BC，CD，CF之间的数量关系为___________ (将结论直接写在横线上)．(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．◆类型二图形变换4．如图甲，已知A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD，连接BD.(1)试问OE＝OF吗？请说明理由；(2)若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．参考答案与解析1．3或6解析：∵△ABC和△APQ全等，AB＝PQ，∴有△ABC≌△QP A或△ABC≌△PQA.当△ABC≌△QP A时，则有AP ＝BC＝3；当△ABC≌△PQA时，则有AP＝AC ＝6，∴当AP＝3或6时，△ABC和△APQ全等，故答案为3或6.2．2或3解析：当BD＝PC时，△BPD 与△CQP全等．∵点D为AB的中点，∴BD＝12AB＝6cm，∴PC＝6cm，∴BP＝8－6＝2(cm)．∵点P在线段BC上以2cm/s的速度由B 点向C 点运动，∴运动时间为1s.∵△DBP ≌△PCQ ，∴CQ ＝BP ＝2cm ，∴v ＝2÷1＝2(cm/s); 当BD ＝CQ 时，△BDP ≌△QCP .∴PB ＝PQ ，∠B ＝∠CQP .又∵∠B ＝∠C ，∴∠C ＝∠CQP ，∴PQ ＝PC ，∴PB ＝PC .∵BD ＝6cm ，BC ＝8cm ，PB ＝PC ，∴QC ＝6cm ，∴BP ＝4cm ，∴运动时间为4÷2＝2(s)，∴v ＝6÷2＝3(cm/s)，故答案为2或3.3．解：(1)①垂直 ②BC ＝CD ＋CF(2)CF ⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，正确结论：CD ＝CF ＋BC .证明如下：∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∠DAF ＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF . 在△DAB 与△F AC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AF ，∠BAD ＝∠CAF ，AB ＝AC ，∴△DAB ≌△F AC (SAS)，∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF .∵∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝∠ABD －∠ACB ＝90°，∴CF ⊥BC .∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC .4．解：(1)OE ＝OF .理由如下：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠DEC ＝∠BF A ＝90°.∵AE ＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE .在Rt △ABF 和Rt △CDE中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，AF ＝CE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE (HL)，∴BF ＝DE .在△BFO 和△DEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFO ＝∠DEO ，∠BOF ＝∠DOE ，BF ＝DE ，∴△BFO ≌△DEO (AAS)，∴OE ＝OF .(2)结论依然成立．理由如下：∵AE ＝CF ，∴AE －EF ＝CF －EF ，∴AF ＝CE .同(1)可得△BFO ≌△DEO ，∴FO ＝EO ，即结论依然成立．5．(1)证明：∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD ＝∠FCE .在△BCD 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△FCE (SAS)．(2)解：由(1)可知∠DCE ＝90°，△BCD ≌△FCE ，∴∠BDC ＝∠E .∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE ＝90°，∴∠BDC ＝90°.。

翼教版八年级数学上册难点探究专题动态变化中的三角形全等

难点探究专题：动态变化中的三角形全等——以“静”制“动”，不离其宗◆类型一动点变化1．如图甲，已知AB＝AC，M是BC的中点，点D是线段AM上的动点．(1)求证：BD＝CD；(2)如图乙，若点D在线段MA的延长线上，BD与CD还相等吗？为什么？(3)如图丙，若M不是BC的中点，且BM＝CM，则(1)中的结论还成立吗？为什么？◆类型二图形变换一、平移2．如图甲，已知A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且∠A＝∠C.(1)试问OE＝OF吗？请说明理由；(2)若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．二、旋转3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 、F 分别在AB 、AC 上，CF ＝CB ，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF .(1)求证：△BCD ≌△FCE ；(2)若EF ∥CD ，求∠BDC 的度数．三、翻折4．(启东月考)如图，将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF ＝12∠DAB .试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．【方法5】参考答案与解析1．(1)证明：∵M 是BC 的中点，∴BM ＝CM .在△ABM 和△ACM 中，∵AB ＝AC ，AM ＝AM ，BM ＝CM, ∴△ABM ≌△ACM (SSS)，∴∠BAM ＝∠CAM . 在△ABD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD (SAS)，∴BD ＝CD ；(2)解：相等．理由如下：由(1)得∠BAM ＝∠CAM ，∴∠BAD ＝∠CAD .在△ABD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD (SAS)，∴BD ＝CD ；(3)解：成立．理由如下：在△ABM 和△ACM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AM ＝AM ，BM ＝CM ，∴△ABM ≌△ACM (SSS)，∴∠BAM ＝∠CAM . 在△ABD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD (SAS)，∴BD ＝CD .2．解：(1)OE ＝OF .理由如下：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠DEC ＝∠BF A ＝90°.∵AE ＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE .在△ABF 和△CDE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠C ，∠BF A ＝∠DEC ，AF ＝CE ，∴△ABF ≌△CDE ，∴BF ＝DE .在△BFO 和△DEO 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BFO ＝∠DEO ，∠BOF ＝∠DOE ，BF ＝DE ，∴△BFO ≌△DOE (AAS)，∴OE ＝OF ；(2)结论依然成立．理由如下：由AE ＝CF ，得AF ＝CE ，结合已知得Rt △ABF ≌Rt △CDE ，得BF ＝DE ，从而△BFO ≌△DEO ，∴FO ＝EO ，即结论依然成立．3．(1)证明：∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD ＝∠FCE .在△BCD 和△FCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△FCE (SAS)；(2)解：由(1)可知∠DCE ＝90°，△BCD ≌△FCE ，∴∠BDC ＝∠E .∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE ＝90°，∴∠BDC ＝90°.4．解：DE ＋BF ＝EF .证明如下：延长CB 至G ，作∠5＝∠1，如图．∵将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，∠EAF ＝12∠DAB ，∴AB ＝AD ，∠ABG ＝∠ADE ，∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠2＋∠3＝∠1＋∠4.∵∠5＝∠1，∴∠2＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠GAF ＝∠EAF .在△AGB和△AED 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠GAB ＝∠EAD ，AB ＝AD ，∠ABG ＝∠ADE ，∴△AGB ≌△AED (ASA)，∴AG ＝AE ，BG ＝DE .在△AGF和△AEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AE ，∠GAF ＝∠EAF ，AF ＝AF ，∴△AGF ≌△AEF (SAS)，∴GF ＝EF ，∴BG ＋BF ＝EF ，∴DE ＋BF ＝EF .习题试解预习法检验预习效果的最佳途径数学学科有别于其他学科的一大特点就是直接用数学知识解决问题。

专题03 全等三角形中的动态问题(解析版)

专题03全等三角形中的动态问题
初中数学中，动点问题是学习的重、难点，在三角形、矩形等一些几何图形上，设计一个或多个动点，探究全等三角形存在性问题，该类题目具有较强的综合性。

八数上(RJ)-4.难点探究专题：动态变化中的三角形全等--精品专题

全等三角形动态问题

全等三角形动态问题全等三角形动态问题一：什么是全等三角形？•解释：全等三角形是指两个三角形的对应边长和对应角度都相等的情况下，它们是全等的。

问题二：全等三角形的性质有哪些？•解释：全等三角形具有以下性质：1.对应边长相等：如果两个三角形的对应边长相等，那么它们是全等的。

2.对应角度相等：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是全等的。

3.对边角的对应关系：如果两个三角形的一对对应边和夹角相等，那么它们是全等的。

4.SSA 判定条件：如果两个三角形的两对对应边和一对夹角相等，那么它们可能全等或无解。

5.SSS 判定条件：如果两个三角形的三对对应边相等，那么它们是全等的。

问题三：如何判断两个三角形是否全等？•解释：判断两个三角形是否全等可以使用以下方法：1.SSS 判定条件：如果两个三角形的三对对应边相等，那么它们是全等的。

2.SAS 判定条件：如果两个三角形的一对对应边和夹角相等，那么它们是全等的。

3.ASA 判定条件：如果两个三角形的两对对应角度和一对对应边相等，那么它们是全等的。

4.AAS 判定条件：如果两个三角形的两对对应角度和一对对边相等，那么它们是全等的。

5.RHS 判定条件：如果两个直角三角形的斜边和一个锐角相等，那么它们是全等的。

问题四：全等三角形的应用有哪些？•解释：全等三角形具有以下应用：1.几何证明：全等三角形的性质可以用于几何证明中，帮助推导出其他几何定理和性质。

2.三角测量：通过判定两个三角形是否全等，可以进行相关角度和边长的测量，用于解决实际问题。

3.相似三角形的推导：全等三角形的性质也可以用于推导相似三角形的性质和定理。

以上是关于全等三角形动态的一些问题及解释。

全等三角形是几何学中的重要概念，掌握其性质和应用可以帮助我们更好地理解和运用几何学知识。

问题五：如何构造一个全等三角形？•解释：构造一个全等三角形可以使用以下方法：1.SSS 构造法：根据给定的三个边长，可以使用直尺和量角器来构造一个全等的三角形。

全等三角形中的动态问题

全等三角形中的动态问题在学习全等三角形的时候，大家总是皱眉头，眼神恍惚，好像在解一道超级难的题。

三角形这个东西，真没那么复杂。

想象一下，三个小三角形在操场上聚会，嬉戏打闹，大家都挺亲密，根本不分你我。

全等三角形就像是这些小伙伴，它们的边长和角度一模一样，简直就是同一个模子里刻出来的。

听起来是不是很简单呢？你要知道，这个可不是说说而已，真正的乐趣在于如何运用它们。

想想，我们日常生活中也常常用到全等三角形。

比如说，拼图游戏。

拼图就是把不同形状的块组合成一个完整的图案。

你那块拼图，不管怎么换，最终都会和那些相同的块契合。

全等三角形就是这样的存在，它们在某种程度上能让我们快速解决问题，像魔法一样。

我们在设计房屋时，也会用到这些小三角形。

像屋顶的结构，有时候全等三角形的存在，能让我们的设计更加稳固。

这就像是搭积木，底部要稳，才能往上堆得高高的，三角形就给了我们这种力量。

说到三角形，就不得不提到那条著名的“毕达哥拉斯定理”，真是让人又爱又恨的家伙。

它说的是直角三角形的边长关系，有点像调皮的孩子，时不时就跑出来捣蛋。

不过，等你搞懂了，就会发现这玩意儿在全等三角形中简直是个无价之宝。

比如，你在设计一座桥的时候，桥的稳定性就是靠三角形的特性来保证的。

就像高空走钢丝的杂技演员，必须得有坚固的基础，才能一步一步走得稳稳当当。

全等三角形还常常出现在各种比赛中，像篮球赛、足球赛之类的，队员们都是通过精准的配合来获得胜利。

三角形的特性让他们能找到最佳的位置和角度，简直就像是在打游戏，得找准时机出手。

想象一下，一个队员在三角形的顶点，他的传球角度和距离就能让队友更容易得分。

哎呀，这样一想，数学和运动还真是个完美的组合呢。

再说说建筑设计，很多建筑师就是喜欢用全等三角形来增加美感和稳定性。

有时候你会发现，建筑物的外观就像一个个拼在一起的三角形，给人一种和谐又稳定的感觉。

这个设计就像是为建筑加了一层保护壳，让它不轻易倒下。

想象一下，那些高耸入云的摩天大楼，若没有三角形的帮忙，恐怕早就摇摇欲坠了。

初中数学以“全等三角形”为载体的动态型问题的探究知识精讲

初中数学以“全等三角形”为载体的动态型问题的探究知识精讲王锋在运动变化的几何图形中，探究几何图形性质的“变”与“不变”，是中考中富有活力的一类试题。

此类问题常常先设置一个让学生探索的问题情景，在获得有关的结论之后，然后再创设一个题设或图形变化的问题情景，进一步探究新情景对结论的影响。

解决此类问题，我们要学会用辩证的观点观察几何图形，透过现象看本质，以“静”制“动”。

只要抓住了运动过程中的不变因素，拾级而上，就不难获得问题的答案。

一、线段相等的问题例1. （2006年·鄂州市）如图1，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E 点，BF⊥AC于F点。

若AB＝CD，AF＝CE，BD交AC于M点。

（1）求证：MB＝MD，ME＝MF。

（2）当E、F两点移动至如图2所示的位置时，其余条件不变，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。

解析：（1）如图1，欲证MB＝MD，ME＝MF，只需证Rt△BFM≌Rt△DEM。

而由已知可得∠BFM＝∠DEM＝90°，∠BMF＝∠DME，故只需再有一对对应边相等即可。

结合条件可证BF＝DE：在Rt△AFB与Rt△CED中，由AB＝CD，AF＝CE，根据HL容易得出Rt△AFB≌Rt△CED，所以BF＝DE。

从而结论获证。

（2）当E、F两点移动至图2所示的位置时，其余条件不变，上述结论仍成立。

这是因为Rt△AFB≌Rt△CED、Rt△BFM≌Rt△DEM的关系没有发生变化，因而结论MB＝MD，ME＝MF仍成立。

变式：若将题设条件中的“AF＝CE”换成“AE＝CF”，其余的条件不变，有关结论是否仍然成立？二、三角形全等的问题例2. （2006年·遂宁市）如图3，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16，BC＝8。

一条线段MN＝AB，点M、N分别在AC和过A点且垂直于AC的射线AP上运动。

问：M点运动到什么位置时，才能使△ABC和△AMN全等？解析：题目中没有告知全等三角形的对应关系，由点的运动的不确定性，可知解答本题需分类讨论。

最新人教版初中八年级上册数学难点探究专题练习：动态变化中的三角形全等

难点探究专题：动态变化中的三角形全等——以“静”制“动”，不离其宗◆类型一动点变化1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，PQ＝AB，点P与点Q分别在AC和AC 的垂线AD上移动，则当AP＝_________时，△ABC和△APQ全等．2．如图，△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B ＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v cm/s，则当△BPD 与△CQP全等时，v的值为____________【提示：三角形中有两个角相等，则这两个角所对的边相等】．3．(2016·达州中考)△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.【方法11】(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC 上时，①BC与CF的位置关系为_______；②线段BC，CD，CF之间的数量关系为___________ (将结论直接写在横线上)．(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．◆类型二图形变换4．如图甲，已知A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD，连接BD.(1)试问OE＝OF吗？请说明理由；(2)若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．参考答案与解析1．3或6解析：∵△ABC和△APQ全等，AB＝PQ，∴有△ABC≌△QP A或△ABC≌△PQA.当△ABC≌△QP A时，则有AP ＝BC＝3；当△ABC≌△PQA时，则有AP＝AC ＝6，∴当AP＝3或6时，△ABC和△APQ全等，故答案为3或6.2．2或3解析：当BD＝PC时，△BPD 与△CQP全等．∵点D为AB的中点，∴BD＝12AB＝6cm，∴PC＝6cm，∴BP＝8－6＝2(cm)．∵点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，∴运动时间为1s.∵△DBP≌△PCQ，∴CQ＝BP＝2cm，∴v ＝2÷1＝2(cm/s); 当BD＝CQ时，△BDP≌△QCP.∴PB＝PQ，∠B＝∠CQP.又∵∠B＝∠C，∴∠C＝∠CQP，∴PQ＝PC，∴PB ＝PC.∵BD＝6cm，BC＝8cm，PB＝PC，∴QC ＝6cm，∴BP＝4cm，∴运动时间为4÷2＝2(s)，∴v＝6÷2＝3(cm/s)，故答案为2或3.3．解：(1)①垂直②BC＝CD＋CF(2)CF⊥BC成立；BC＝CD＋CF不成立，正确结论：CD＝CF＋BC.证明如下：∵正方形ADEF中，AD＝AF，∠DAF＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD＝∠CAF.在△DAB与△F AC中，⎩⎪⎨⎪⎧AD＝AF，∠BAD＝∠CAF，AB＝AC，∴△DAB≌△F AC(SAS)，∴∠ABD＝∠ACF，DB＝CF.∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠ABD＝180°－45°＝135°，∴∠BCF＝∠ACF－∠ACB ＝∠ABD－∠ACB＝90°，∴CF⊥BC.∵CD＝DB ＋BC，DB＝CF，∴CD＝CF＋BC.4．解：(1)OE＝OF.理由如下：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠BF A＝90°.∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，⎩⎪⎨⎪⎧AB＝CD，AF＝CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴BF＝DE.在。

全等三角形动态问题

全等三角形动态问题在初中数学的学习中，全等三角形是一个非常重要的知识点，而其中的动态问题更是让许多同学感到头疼。

今天，咱们就来好好探讨一下全等三角形的动态问题，争取把这个难题给攻克了。

首先，咱们得明白啥是全等三角形的动态问题。

简单来说，就是在一个几何图形中，三角形的某些顶点或者边在按照一定的规律运动，然后让我们去研究在这个运动过程中三角形全等的情况。

比如说，有一个三角形 ABC，其中点 A 沿着一条直线匀速移动，然后问在移动过程中，是否存在某个时刻，使得三角形 ABC 和另一个给定的三角形 A'B'C'全等。

解决这类问题，关键在于抓住全等三角形的判定条件。

咱们都知道，全等三角形的判定条件有“SSS”（三边对应相等）、“SAS”（两边及其夹角对应相等）、“ASA”（两角及其夹边对应相等）、“AAS”（两角及其中一角的对边对应相等）和“HL”（直角三角形的斜边和一条直角边对应相等）。

那在动态问题中，怎么运用这些判定条件呢？这就需要我们仔细观察图形的运动过程，找出那些不变的量和变化的量。

举个例子，假设在一个矩形 ABCD 中，E 是 AD 边上的一个动点，以 BE 为斜边作一个直角三角形 BEF，其中∠F ＝ 90°，BF ＝ EF。

当点 E 从 A 点运动到 D 点时，问三角形 BEF 和哪个三角形全等。

咱们来分析一下，在这个过程中，因为 BF ＝ EF，所以这是一个等腰直角三角形。

而矩形的对边是相等的，所以 AB ＝ DC。

如果我们连接 CE，那么就会发现三角形 BAE 和三角形 DCE 有可能全等。

当点 E 运动到使得 BE ＝ CE 时，因为 AB ＝ DC，AE ＝ DE（矩形对边相等，E 是 AD 中点），根据“SSS”判定条件，就可以得出三角形 BAE ≌三角形 DCE。

再来看一个例子，在三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，AC ＝ BC，D 是AB 边上的一点，E 是 BC 边上的一个动点，连接 DE，将三角形 BDE沿着 DE 翻折，得到三角形 B'DE。

难点探究专题：全等三角形中的动态问题(解析版)八年级数学上册重难点专题提优训练(人教版)

专题07 难点探究专题：全等三角形中的动态问题考点一利用全等三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）考点二利用全等三角形中的动点求线段长问题考点三利用全等三角形中的动点求线段长最小值问题考点四利用全等三角形中的动点综合问题考点一利用全等三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）例题：（2021·山东临沂·八年级期中）如图，CA AB ⊥，垂足为点A ，射线BM AB ⊥，垂足为点B ，12cm AB =，6cm AC =．动点E 从A 点出发以3cm /s 的速度沿射线AN 运动，动点D 在射线BM 上，随着 E 点运动而运动，始终保持ED CB =．若点E 的运动时间为(0)t t >，则当 t =________ 个秒时，DEB 与BCA 全等．【答案】2或6或8【解析】【分析】分两种情况：①当E 在线段AB 上时，②当E 在BN 上，再分别分成两种情况AC =BE ，AB =BE 进行计算即可．【详解】解：①当E 在线段AB 上，AC =BE 时，ACB BED ≅AC =6，∴ BE =6，∴ AE =12-6=6，∴ 点 E 的运动时间为632÷= (秒)．②当E 在BN 上，AC =BE 时，ACB BED ≅AC =6，∴ BE =6，∴ AE =12+6=18．∴ 点 E 的运动时间为6318=÷ (秒)．③当E 在BN 上，AB =BE 时，ACB BDE ≅∴ AE =12+12=24.∴点E 的运动时间为8324=÷ (秒)④当E 在线段AB 上，AB =BE 时，ACB BDE ≅这时E 在A 点未动，因此时间为0秒不符合题意．故答案为：2或6或8．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式训练】（2021·全国·七年级专题练习）已知：如图，在长方形ABCD 中，6,10AB AD ==延长BC 到点E ，使4CE =，连接DE ，动点F 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点F 的运动时间为t 秒，当t 的值为_______时，ABF 和DCE 全等．【答案】2或11【解析】【分析】分两种情况讨论，根据题意得出BF =2t =4和AF =26-2t =4即可求得答案．【详解】解：∵DCE 为直角三角形，且AB =DC ，∴当ABF ≌DCE 时，有BF =2t =CE =4，解得：t =2；当BAF △≌DCE 时，有AF =CE =4，此时2=10610-2t=26-2t AF BC CD DA t =++-++=4，解得：11t =，故答案为：2或11．【点睛】本题考查全等三角形的判定，注意到DCE 为直角三角形，且AB =DC ，故只有BF =2t =4和AF =26-2t =4两种情况．考点二利用全等三角形中的动点求线段长问题例题：（2019·江苏·宜兴市周铁中学八年级阶段练习）已知：如图，∠B =90°AB ∥DF ，AB =3cm ，BD =8cm ，点C 是线段BD 上一动点，点E 是直线DF 上一动点，且始终保持AC ⊥CE ，若AC =CE ,则DE 的长为______.【答案】5【解析】【分析】根据全等得出对应边相等，即可得出答案.【详解】解：∵∠B =90°，AB ∥DF ，∴∠D =∠B =90°，∵AC ⊥CE ，∴∠ACE =90°，∴∠ECD +∠CED =90°，∠ACB +∠ECD =90°，∴∠ACB =∠CED ；∴在△ABC 和△CDE 中ACB CED B DAC CE ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABC ≌△CDE （AAS ），∴AB =CD =3cm ，∴DE =BC =8cm -3cm =5cm故答案为5.【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．【变式训练】（2020·江苏·泰州中学附属初中八年级阶段练习）如图，△ABC 中，点D 在边BC 上，DE ⊥AB 于E ，DH ⊥AC 于H ，且满足DE =DH ，F 为AE 的中点，G 为直线AC 上一动点，满足DG ＝DF ，若AE =4cm ，则AG = _____cm ．【答案】2或6.【解析】【详解】∵DE ⊥AB ，DH ⊥AC ，∴∠AED =∠AHE =90°.在△ADE 和△ADH 中，∵AD =AD ,DE =DH , ∴△ADE ≌△ADH (HL ),∴AH =AE =4cm .∵F 为AE 的中点，∴AF =EF =2cm .在△FDE 和△GDH 中，∵DF =DG ,DE =DH , ∴△FDE ≌△GDH (HL ),∴GH =EF =2cm .当点G 在线段AH 上时，AG =AH -GH =4-2=2cm ;当点G 在线段HC 上时，AG =AH +GH =4+2=6cm ;故AG的长为2或6.考点三利用全等三角形中的动点求线段长最小值问题例题：（2021·重庆八中八年级开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为________．【答案】24 5【解析】【分析】在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．因为EF+CE=EF′+EC，推出当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小．【详解】解：如图所示：在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，又AE=AE，∴△AEF≌△AE F′（SAS），∴FE=E F′，∵S△ABC=12AB•CH=12AC•BC，∴CH=•245 AC BCAB，∵EF+CE=EF′+EC，∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为245，故答案为：245．【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是正确的作出辅助线，明确当C、E、F′共线，且点F′与点H重合时，CE+EF的值最小．【变式训练】（2019·湖北·武汉大学附属外语学校八年级阶段练习）△ABC是边长为2的等边三角形，点P 为直线BC上的动点，把线段AP绕A点逆时针旋转60°至AE，O为AB边上一动点，则OE的最小值为____．【解析】【分析】根据题意连接EC，作CH⊥AB于H，首先证明CE∥AB，再求出平行线之间的距离即可解决问题．【详解】解：如图，连接EC，作CH⊥AB于H．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，∵∠P AE=∠BAC=60°，∴∠P AB =∠EAC ，∵P A =EQ ，BA =CA ，∴△P AB ≌△EAC (SAS )，∴∠ABP =∠ACE ，∵∠ABP =180°﹣60°=120°，∴∠ACE =120°，∴∠BCE =120°﹣60°=60°，∴∠ABC =∠BCE ，∴CE ∥AB ，∴点E 的运动轨迹是直线CE (CE ∥AB )，∵CB =CA =AB =2，CH ⊥AB ，∴BH =AH =1，∴CH根据垂线段最短，可知OE 的最小值=CH【点睛】本题考查旋转变换和等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质和垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．考点四利用全等三角形中的动点综合问题例题：（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=．点D 是直线BC 上一动点（点D 不与点B ，C 重合），90,DAE AD AE ∠=︒=，连接CE ．(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，直接写出,BC CD 与CE 之间的数量关系；(2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，请探究线段,BC CD 与CE 之间存在怎样的数量关系？并说明理由；(3)如图3，若点D 在边CB 的延长线上，且点A ，E 分别在直线的两侧，其他条件不变，若10,6CD BC ==，直接写出CE 的长度．【答案】(1)CE +CD =BC ，证明见解析(2)CE =BC +CD ，证明见解析(3)CE =4【解析】【分析】（1）根据条件AB =AC ，∠BAC =90°，AD =AE ，∠DAE =90°，判定△ABD ≌△ACE （SAS ），即可得出BD 和CE 之间的关系，根据全等三角形的性质，即可得到CE +CD =BC ；（2）根据已知条件，判定△ABD ≌△ACE （SAS ），得出BD =CE ，再根据BD =BC +CD ，即可得到CE =BC +CD ；（3）根据条件判定△ABD ≌△ACE （SAS ），得出BD =CE ，即可解决问题．(1)解：如图1，∵∠BAC =∠DAE =90°，∴∠BAD =∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD =CE ，∴BC =BD +CD =CE +CD ，(2)线段BC ，CD 与CE 之间存在的数量关系为BC =CE -CD ．理由：如图2中，由（1）同理可得，∵∠BAC =∠DAE =90°，∴∠BAC +∠CAD =∠DAE +∠CAD ，即∠BAD =∠CAE ，∴在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD =CE ，∴BD =BC +CD ，即CE =BC +CD ．(3)如图3，由（1）同理可得， ∵∠BAC =∠DAE =90°，∴∠BAC -∠BAE =∠DAE -∠BAE ，即∠BAD =∠EAC ，同理，△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD =CE ，∵CD =10，BC =6，∴DB =DC -BC =4，∴CE =4．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：全等三角形的对应边相等．【变式训练】（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点P．(1)观察猜想：1.AE与BD的数量关系为______；2.∠APD的度数为______；(2)数学思考：如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．【答案】(1)①AE＝BD；②60°(2)上述结论成立．∠APD＝60°，证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件只要证明△DCB≌△ACE，即可证明出AE于BD的数量关系，以及∠APD的角度；（2）根据△ACD，△BCE均为等边三角形，可知＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，进而可知∠DCA ＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，从而可证△DCB≌△ACE（SAS），则DB＝AE，∠CDB＝∠CAE，根据∠DCA＝∠DP A＝60°可证∠APD＝60°．(1)解：∵△ACD和△CBE都是等边三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°，∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠DCB=∠DCE＋∠ECB，∴∠DCB=∠ACE，∴△DCB≌△ACE，∴AE =BD ，∠BDC =∠CAE ，又∵∠DOP =∠COA ，∴∠APD =∠ACD =60°，故答案是：AE =BD ，60°；(2)上述结论成立，∵△ACD ，△BCE 均为等边三角形，∴DC ＝AC ，BC ＝EC ，∠DCA ＝∠BCE ＝60°，∴∠DCA ＋∠ACB ＝∠ACB ＋∠BCE ，即∠DCB ＝∠ACE ，在△DCB 和△ACE 中，DC AC DCB ACE CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCB ≌△ACE （SAS ），∴DB ＝AE ，∠CDB ＝∠CAE ，如图，设BD 与AC 交于点O ，易知∠DOC ＝∠AOP （对顶角相等），∴∠CDB ＋∠DCA ＝∠CAE ＋∠DP A ，∴∠DCA ＝∠DP A ＝60°，即∠APD ＝60°．【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，能够熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本一、选择题1．（2022·福建漳州·八年级期末）已知点A 为线段BC 上方的一动点，且满足AC -AB =3，BC =8，若AD 平分∠BAC ，且CD ⊥AD 于点D ，则S △BDC 的最大值为（）A ．24B ．12C ．6D ．3【答案】C【解析】【分析】延长AB 、CD ，交于点E ，根据“ASA ”可得△ADE ≌△ADC ，再根据S △BDC =S △BDE =12S △BEC 可得答案．【详解】解：如图，延长AB 、CD ，交于点E ，∵AD 是∠BAC 的角平分线，CD ⊥AD ，∴∠EAD =∠CAD ，∠ADC =∠ADE =90°，在△ADE 和△ADC 中，EAD CAD AD ADADE ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE ≌△ADC （ASA ），∴AC =AE ，CD =DE ，∴S △BDC =S △BDE =12S △BEC ，∴当BE ⊥BC 时，S △BEC 最大，则S △BDC 最大．∴BE=3，∴S△BDC最大=12×8×3×12=6．故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，根据题意正确作出辅助线是解题关键．2．（2020·山东·鲁村中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D为AC中点，P为AB上的动点，将P绕点D逆时针旋转90°得到P′，连CP′的最小值为（）A．1.6B．2.4C．2D．【答案】C【解析】【分析】先过P'作P'E⊥AC于E，根据△DAP≌△P'ED，可得P'E=AD=2，再根据当AP=DE=2时，DE=DC，即点E 与点C重合，即可得出线段CP′的最小值为2．【详解】如图，过点P′作P′E⊥AC于点E，则∠A＝∠P′ED＝90°，由旋转可知：DP＝DP′，∠PDP′＝90°，∴∠ADP＝∠EP′D，∴△DAP≌△P′ED（AAS）∴P ′E ＝AD ＝2，∴当AP ＝DE ＝2时，DE ＝DC ，即点E 与点C 重合，此时CP ′＝EP ′＝2∴线段CP ′的最小值为2．故选：C ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及全等三角形判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据垂线段最短进行求解．3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为（）A ．52B ．152C ．3D ．125【答案】D【解析】【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC +EF 的最小值即为点C 到AB 的垂线段长度．【详解】在AB 上取一点G ，使AG ＝AF ．∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4∴AB =5，∵∠CAD ＝∠BAD ，AE ＝AE ，∴△AEF ≌△AEG （SAS ）∴FE ＝GE ，∴要求CE +EF 的最小值即为求CE +EG 的最小值，故当C 、E 、G 三点共线时，符合要求，此时，作CH⊥AB于H点，则CH的长即为CE+EG的最小值，此时，AC BC AB CH，∴CH=·AC ABBC=125，即：CE+EF的最小值为125，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键．二、填空题4．（2022·全国·八年级）如图，AB⊥BC于B，DC⊥BC于C，AB=6，BC=8，CD=2，点P为BC边上一动点，当BP＝________时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．【答案】2【解析】【分析】当BP=2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，由BC=8可得CP=6，进而可得AB=CP，BP=CD，再结合AB⊥BC、DC ⊥BC可得∠B=∠C=90°，可利用SAS判定△ABP≌△PCD．【详解】当BP=2时，Rt△ABP≌Rt△PCD．理由如下：∵BC=8，BP=2，∴PC=6，∴AB=PC．∵AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，∴∠B =∠C =90°．在△ABP 和△PCD 中，∵6902AB PC B C BP CD ︒==⎧⎪∠=∠=⎨⎪==⎩，∴△ABP ≌△PCD (SAS )．故答案为：2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）是解题的关键．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．5．（2022·河南漯河·八年级期末）如图，在正方形ABCD 中，3cm AB =，延长BC 到点E ，使1cm CE =，连接DE ，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿AB BC CD DA →→→向终点A 运动．设点P 的运动时间为t 秒，当PBC ∆和DCE ∆全等时，t 的值为 __．【答案】2或7##7或2【解析】【分析】分点P 在AB 和CD 上两种情况讨论．当点P 在AB 上时，如图，当PBC ECD ≌时，有BP CE =，当点P 在CD 上时，当PCB ECD ≌时，有1CP CE ==，从而可得答案．【详解】解：∵正方形ABCD ,∴,90,AB BC CD AD B BCD DCEDCE ∴∆是直角三角形，PBC ∴∆为直角三角形，∴点P 只能在AB 上或者CD 上，当点P 在AB 上时，如图，当PBC ECD ≌时，有BP CE =，1BP CE ∴==，2AP ∴=，212t ∴=÷=，当点P 在CD 上时，则当PCB ECD ≌时，有1CP CE ==，(331)17t ∴=++÷=，故答案为：2或7．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，关键是要考虑到点P 的两种情况，牢记三角形全等的性质是解本题的关键．6．（2020·浙江宁波·八年级专题练习）如图所示，在等腰Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 为射线CB 上的动点，AE AD =，且,AE AD BE ⊥与AC 所在的直线交于点P ，若3AC PC =，则BD CD=_______．【答案】25或2 【解析】【分析】分两种情况：（1）当点D 位于CB 延长线上时，如图：过点E 作AP 延长线的垂线于点M ，可证ADC △AEM ≌△，EMP △BCP ≌△，可得,AM CD PC PM ==，由等腰三角形的性质可得AC =BC ，根据线段的和差关系可证的结论；（2）当点D 位于CB 之间时，如图过点E 作AP 的垂线于点N ，可证ADC △AEN ≌△，ENP △BCP ≌△，可得,AN CD PC PN ==，由等腰三角形的性质可得AC =BC ，根据线段的和差关系可证的结论；【详解】（1）当点D 位于CB 延长线上时，如图：过点E 作AP 延长线的垂线于点M ，ABC 为等腰直角三角形AC BC ∴=90BCP ACD AME ∴∠=∠=∠=︒90ADC DAC ∴∠+∠=︒AE AD ⊥90DAE ∴∠=︒90DAC EAM ∴∠+∠=︒ADC EAM ∴∠=∠AD AE =∴在ADC 和AEM △中ADC EAM ACD AME AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EAM∴CD MA =，AC EM =EM BC ∴=BPC EPM ∠=∠∴在BCP 和EMP 中BCP EMP BPC EPM BC EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴EMP △BCP ≌△PC PM ∴=CD AM =，3AC PC =，AC BC =∴设PC PM x ==3AC BC x ∴==5CD AM x ∴==CD BD BC =+2BD x ∴=2255BD x CD x ∴== （2）当点D 位于CB 之间时，如图：过点E 作AP 的垂线于点N ，ABC 为等腰直角三角形AC BC ∴=90ACD ANE ∴∠=∠=︒90ADC DAC ∴∠+∠=︒AE AD ⊥90DAE ∴∠=︒90DAC EAN ∴∠+∠=︒ADC EAN ∴∠=∠AD AE =∴在ADC 和AEN △中ADC EAN ACD ANE AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EAN∴CD NA =，AC EN =EN BC ∴=BPC EPN ∠=∠∴在BCP 和ENP 中BCP ENP BPC EPN BC EN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ENP △BCP ≌△PC PN ∴=CD AN =，3AC PC =，AC BC =∴设PC PN x ==3AC BC x ∴==CD AN x ∴==CD BC BD =-2BD x ∴=22BD x CD x∴== 故答案为：25或2．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题关键是利用三角形全等和线段的和差得出所求线段之间的关系，同时运用分类讨论的思想．三、解答题7．（2022·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）如图1，E ，F 为线段BC 上的两个动点，AE DF ∥，且AE DF CF BE AD ==，，交EF 于点O ．(1)现有甲、乙、丙、丁四个结论：甲：点O 是AD 的中点；乙：点O 是BC 的中点；丙：点O 是EF 的中点；丁：AB CD ∥正确的结论是____________；请选择一个你认为正确的结论进行证明；(2)当点E ，F 移动至如图2所示的位置时，其余条件不变，（1）中四个结论正确的是__________．【答案】(1)甲、乙、丙、丁，选择丙，证明见解析(2)甲、乙、丙、丁【解析】【分析】（1）由AE DF ∥得出，AEB DFC =∠∠，证明△ABE ≌△DCF ，可得ABE DCF ∠=∠，即可得出AB CD ∥，证明△AOE ≌△DOF 可得OE =OF ，AO DO =，BO CO =；（2）由AE DF ∥得出，AEO OFD ∠=∠，进而得出AEB DFC =∠∠，方法同（1）证明即可求解．(1)正确的结论是：甲、乙、丙、丁，选择丙O 是线段EF 的中点，证明：AE DF ∥，AEB DFC ∴∠=∠，在△ABE 和△DCF 中，AE DF AEB DFC BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DCF (SAS )；ABE DCF ∴∠=∠，AB CD ∴∥，在△AOE 和△DOF 中，AEO DFO AOE DOF AE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴Rt △AOE ≌Rt △DOF (AAS )，∴OE =OF ，即O 是线段EF 的中点；∴AO DO =，即O 是线段AD 的中点CF BE =， OE =OF ，BO CO ∴=，即O 是线段BC 的中点；故答案为：甲、乙、丙、丁(2)当E 、F 两点移动至如图所示的位置时，其余条件不变，（1）中四个结论正确的是证明：AE DF ∥，AEO OFD ∴∠=∠，AEB DFC ∴∠=∠，在△ABE 和△DCF 中，AE DF AEB DFC BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DCF (SAS )；ABE DCF ∴∠=∠，AB CD ∴∥，在△AOE 和△DOF 中，AEO DFO AOE DOF AE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOE ≌△DOF (AAS )，∴OE =OF ，即O 是线段EF 的中点；=，即O是线段AD的中点∴AO DO=，OE=OF，CF BE∴=，BO CO即O是线段BC的中点；故答案为：甲、乙、丙、丁【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．8．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学八年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点D在AC上，且AD=6cm，过点A作射线AE⊥AC（AE与BC在AC同侧），若动点P从点A出发，沿射线AE匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒．连接PD、BD．(1)如图①，当PD⊥BD时，求证：△PDA≌△DBC；(2)如图②，当PD⊥AB于点F时，求此时t的值．【答案】(1)见解析(2)8【解析】【分析】(1)由PD⊥BD、∠C=90°可推出∠PDA=∠CBD，即可根据ASA判定△PDA≌△DBC；(2)由PD⊥AB，AE⊥AC可推出∠APF=∠CAB，即可根据AAS判定△APD≌△CAB，再由全等三角形的性质即可得解．(1)证明：如图①∵PD⊥BD∴∠PDB=90︒∴∠BDC+∠PDA=90︒又∵∠C =90︒∴∠BDC +∠CBD =90︒∴∠PDA =∠CBD又∵AE ⊥AC∴∠P AD =90︒∴∠P AD =∠C =90︒又∵BC =6cm ，AD =6cm∴AD =BC在△P AD 和△DCB 中PAD C AD CBPDA CBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△PDA ≌△DBC (ASA )(2)解：如图②∵PD ⊥AB∴∠AFD =∠AFP =90︒∴∠P AF +∠APF =90︒又∵AE ⊥AC∴∠P AF +∠CAB =90︒∴∠APF =∠CAB在△APD 和△CAB 中APD CAB PAD C AD CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△APD ≌△CAB (AAS )∴AP =AC∵AC =8cm∴AP =8cm∴t =8【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据ASA 判定△PDA ≌△DBC 、根据AAS 判定△APD ≌△CAB 是解题的关键．9．（2021·贵州·兴义市万峰林民族学校八年级期中）如图，在长方形ABCD 中，AB =6cm ，BC =8cm ．动点P 从点B 出发，沿BC 方向以2cm /s 的速度向点C 匀速运动；同时动点Q 从点C 出发，沿CD 方向以2cm /s 的速度向点D 匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t （s ）（0<t <3）．解答下列问题：（1）当点C 在线段PQ 的垂直平分线上时，求t 的值；（2）是否存在某一时刻t ，使ABP PCQ ∆∆≌若存在，求出t 的值，并判断此时AP 和PQ 的位置关系；若不存在，请说明理由．【答案】（1）t 的值为2．（2）存在，t 的值为1，AP PQ ⊥．【解析】【分析】（1）当点C 在线段PQ 的垂直平分线上时，利用垂直平分线的性质，得到CP CQ =，之后列出关于t 的方程，求出t 的值即可．（2）当ABP PCQ ∆∆≌时，根据对应边AB PC =，列出关于t 的方程，求出t 的值，之后利用全等三角形的性质，得到对应角相等，最后证得AP PQ ⊥．【详解】（1）解：由题意可知：2CQ t =，82CP t =-，点C 在线段PQ 的垂直平分线上，∴CP CQ =，故有：282t t =-，解得：2t =t ∴的值为2．（2）解： ABP PCQ ∆∆≌，6AB PC cm ∴==，APB PQC ∠=∠，826t ∴-= 即1t =．四边形ABCD 是长方形，90B C ∴∠=∠=︒．在PCQ ∆中，18090QPC PQC C ∠+∠=-∠=︒且APB PQC ∠=∠，∴ 90QPC APB ∠+∠=︒，∴AP PQ ⊥．【点睛】本题主要是考查了垂直平分线和全等三角形的性质，熟练应用相关性质找到对应边相等，求出时间t ，是解决本题的关键，另外，关于线段关系，一般以垂直关系为多．10．（2022·全国·八年级课时练习）（1）如图1，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：△ABD ≌△CAE ；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD ≌△CAE 是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D ，E 是D ，A ，E 三点所在直线m 上的两动点（D ，A ，E 三点互不重合），点F为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD ，CE ，若∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，求证：△DEF 是等边三角形．【答案】（1）见详解；（2）成立，理由见详解；（3）见详解【解析】【分析】（1）根据BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m 得90BDA CEA ∠=∠=︒，而90BAC ∠=︒，根据等角的余角相等得CAE ABD ∠=∠，然后根据“AAS ”可判断ADB CEA ∆∆≌；（2）利用BDA BAC α∠=∠=，则180DBA BAD BAD CAE ∠∠∠∠α+=+=︒-，得出CAE ABD ∠=∠，然后问题可求证；（3）由题意易得,60BF AF AB AC ABF BAF FAC ===∠=∠=∠=︒，由（1）（2）易证ADB CEA ∆∆≌，则有AE BD =，然后可得FBD FAE ∠=∠，进而可证DBF EAF ∆∆≌，最后问题可得证．【详解】（1）证明：BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，90BDA CEA ∴∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，90BAD CAE ∴∠+∠=︒，90BAD ABD ∠+∠=︒，CAE ABD ∴∠=∠，在ADB ∆和CEA ∆中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB CEA AAS ∴∆∆≌；解：（2）成立，理由如下：α∠=∠=BDA BAC ，180α∴∠+∠=∠+∠=︒-DBA BAD BAD CAE ，CAE ABD ∴∠=∠，在ADB ∆和CEA ∆中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB CEA AAS ∴∆∆≌；（3）证明：∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形，∴,60BF AF AB AC ABF BAF FAC ===∠=∠=∠=︒，∴∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC =120°，∴180120DBA BAD BAD CAE ∠+∠=∠+∠=︒-︒，∴CAE ABD ∠=∠，∴()ADB CEA AAS ∆∆≌，∴AE BD =，∵,FBD FBA ABD FAE FAC CAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，∴FBD FAE ∠=∠，∴DBF EAF ∆∆≌（SAS ），∴,FD FE BFD AFE =∠=∠，∴60BFA BFD DFA AFE DFA DFE ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴△DFE 是等边三角形．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．。

全等三角形判定中的动态探究型问题

全等三角形判定中的动态探究问题1动态探究型问题一般是指几何图形的运动，包括点动、线动、面动。

这类题具有灵活性、多变性，常融入三角形，综合运用全等三角形全等知识。

对于运动变化过程中的探索性问题的求解，应动中取静，先取某一特定时刻物体的状况进行探究，获得结论，再由特殊推知其一般结论，并运用几何知识（全等三角形的判定）加以证明。

例1、已知，如图，三角形ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，F 是AB 的中点，直线l 经过点C ，分别过点A 、B 作l 的垂线，即AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，（1）如图1，当CE 位于点F 的右侧时，求证：△ADC ≌△CEB ；（2）如图2，当CE 位于点F 的左侧时，求证：ED=BE-AD ；（3）如图3，当CE 在△ABC 的外部时，试猜想ED 、AD 、BE 之间的数量关系，并证明你的猜想．练习1、点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等边三角形，线段AN,MC 交于点E ，BM,CN 交于点F 。

求证：（1）AN=MB.（2）将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转一定角度，如图②所示，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立？图①A BA B变式思考：将以上等边三角形换成等腰直角三角形，其它条件不变，以上结论是否成立？换成正方形、等腰三角形试一试。

练习2、已知∠AOB=90°，∠AOB 的平分线OM 上有一点C ，将一个三角板的直角顶点与点C 重合，它的两条直角边分别与OA 、OB 或它们的反向延长线相交于D 、E 。

当三角形绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时（如图1），易证：CD=CE 当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，在图2图3这两种情况下，上述结论是否成立，请给予证明，若不成立，请写出你的猜想，不需证明。

例2、如图14-1，在△ABC 中，BC 边在直线l 上，AC ⊥BC ，且AC = BC ．△EFP 的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF =FP ．（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP 沿直线l 向左平移到图14-2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将△EFP 沿直线l 向左平移到图14-3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．图14-1（E ）（F ） BC PA llPCF图14-2l图14-3M MM A BC D E OA BC D EOO EDC B A练习3、如图（1），已知A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，E分别作DE⊥AC，BF⊥AC。

专题03 全等三角形中的动态问题(解析版)

专题03全等三角形中的动态问题初中数学中，动点问题是学习的重、难点，在三角形、矩形等一些几何图形上，设计一个或多个动点，探究全等三角形存在性问题，该类题目具有较强的综合性。

解决动点问题常见的答题思路是：1. 注意分类讨论；2. 仔细探究全等三角形对应边与对应角的变化；3. 利用时间表示出相应线段或边的长度，列出方程求解.【典例解析】【例1－1】（2020·周口市月考）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E离开点A后，运动______ 秒时，△DEB与△BCA全等．【答案】0，2，6，8.【解析】解：①当E在线段AB上，AC=BE时，△ACB≌△BED，∵AC=4，∴BE=4，∴AE=8−4=4，∴点E的运动时间为4÷2=2(秒)；②当E在BN上，AC=BE时，∵AC=4，∴BE=4，∴AE=8+4=12，∴点E的运动时间为12÷2=6(秒)；③当E在线段AB上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，这时E在A点未动，因此时间为0秒；④当E在BN上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，AE=8+8=16，点E的运动时间为16÷2=8(秒)，故答案为0，2，6，8.【例1－2】（2020·江阴市月考）已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC－CD－DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．A．1B．1或3C．1或7D．3或7【答案】C【解析】解：AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP=2t=2，即t=1，同理，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP=16－2t=2，即t=7．当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故答案为C．【变式1－1】（2020·无锡市月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高．点E从点B出发沿直线BC以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F.(1)试说明：∠A ＝∠BCD ；(2)当点E 运动多长时间时，CF ＝AB .请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：(1)∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠A ＋∠ACD ＝90°，∠BCD ＋∠ACD ＝90°，∴∠A ＝∠BCD .(2)①当点E 在射线BC 上移动5s 时，CF ＝AB .可知BE ＝2×5＝10，∴CE ＝BE －BC ＝10－3＝7，∴CE ＝AC∴∴A ＝∴BCD ，∴ECF ＝∴BCD ，∴∴A ＝∴ECF在∴CFE 与∴ABC 中ECF A CE AC CEF ACB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴∴CFE ∴∴ABC ，∴CF ＝AB∴当点E 在射线CB 上移动2s 时，CF ＝AB .可知BE ′＝2×2＝4，CE ′＝BE ′＋BC ＝4＋3＝7，∴CE′＝AC.在∴CF′E′与∴ABC中E CF A CE ACCE F ACB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠''''⎩'∴∴CF′E′∴∴ABC，∴CF′＝AB.综上，当点E运动5s或2s时，CF＝AB.【变式1－2】（2020·河北灵寿期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A(0，m)、B(n，0)，且|m﹣n﹣0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．(1)求OA、OB的长；(2)连接PB，设∴POB的面积为S，用t的式子表示S；(3)过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使∴EOP∴∴AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：(1)∴|m﹣n﹣3|+0，∴|m﹣n﹣3|0，∴n＝3，m＝6，∴点A(0，6)，点B(3，0)；(2)连接PB，t秒后，AP＝t，OP＝|6﹣t|，∴S＝12OP•OB＝32|6﹣t|；(t≥0)(3)∴∴OAB+∴OBA＝90°，∴OAB+∴APD＝90°，∴OPE＝∴APD，∴∴OBA＝∴OPE，只要OP＝OB，可证∴EOP∴∴AOB，∴AP＝AO﹣OP＝3，或AP′＝OA+OP′＝9∴t＝3或9．【例2】（2020·惠州市月考）如图，点C在线段BD上，AB∴BD于B，ED∴BD于D．∴ACE＝90°，且AC ＝5cm，CE＝6cm，点P以2cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与∴QCN全等时，t的值为_____．【答案】1或115或235.【解析】解：∴当点P在AC上，点Q在CE上时，∴以P，C，M为顶点的三角形与∴QCN全等，∴PC＝CQ，∴5﹣2t＝6﹣3t，解得：t＝1；∴当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，∴以P，C，M为顶点的三角形与∴QCN全等，∴PC＝CQ，∴5﹣2t＝3t﹣6，解得：t＝11 5；∴当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，∴以P，C，M为顶点的三角形与∴QCN全等，∴PC＝CQ，∴2t﹣5＝18﹣3t，解得：t＝235；综上所述：t的值为1或115或235．故答案为：1或115或235．【变式2－1】（2020·江阴市月考）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D 点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C 作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．（1）试证明：AD∴BC．（2）在移动过程中，小芹发现当点G的运动速度取某个值时，有∴DEG与∴BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，∴DEG与∴BFG全等．【答案】见解析．【解析】解：（1）证明：在∴ABD 和∴CDB 中，AD BC AB CD BD DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴∴ABD ∴∴CDB ，∴∴ADB ＝∴CBD ，∴AD ∴BC ；（2）解：设运动时间为t ，点G 的运动速度为v ，∴当0＜t ≤43时，若∴DEG ∴∴BFG ，则DE BF DG BG =⎧⎨=⎩， ∴436t t BG BG =-⎧⎨-=⎩ ，解得：13t BG =⎧⎨=⎩，v ＝3； ∴若∴DEG ∴∴BGF ，则DE BG DG BF =⎧⎨=⎩， ∴643t BG BG t =⎧⎨-=-⎩，解得：11t BG =-⎧⎨=-⎩（舍去）； ∴当43＜t ≤83时，若∴DEG ∴∴BFG ，则DE BF DG BG =⎧⎨=⎩， ∴346t t BG BG =-⎧⎨-=⎩，解得：23t BG =⎧⎨=⎩，v ＝1.5； ∴若∴DEG ∴∴BGF ，则DE BG DG BF =⎧⎨=⎩，∴634t BG BG t =⎧⎨-=-⎩，解得：5252t BG ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，v ＝1．综上，点G 的速度为1.5或3或1．【变式2－2】（2020·重庆巴南月考）如图（1），AB ＝4cm ，AC ∴AB ，BD ∴AB ，AC ＝BD ＝3cm ．点 P 在线段 AB 上以 1/cm s 的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．它们运动的时间为 t （s ）．（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当t ＝1 时，∴ACP 与∴BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC ∴AB ，BD ∴AB ”为改“∴CAB ＝∴DBA ＝60°”，其他条件不变．设点 Q 的运动速度为x /cm s ，是否存在实数x ，使得∴ACP 与∴BPQ 全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：(1)当t =1时，AP = BQ =1， BP = AC =3，又∴A =∴B = 90°，∴∴ACP ∴∴BPQ (SAS ).∴∴ACP =∴BPQ ，∴∴APC +∴BPQ =∴APC +∴ACP = 90*.∴∴CPQ = 90°，即线段PC 与线段PQ 垂直；(2)∴若∴ACP ∴∴BPQ ，则AC = BP ，AP = BQ ，得：34t t xt =-⎧⎨=⎩，解得11t x =⎧⎨=⎩; ∴若∴ACP ∴∴BQP ，则AC = BQ ，AP = BP ，34xt t t =⎧⎨=-⎩，解得：232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 综上所述，存在11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得∴ACP 与∴BPQ 全等.【变式2－3】（2020·江苏兴化月考）如图，在∴ABC中，∴ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC—CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE∴l于E，QF∴l于F．设点P的运动时间为t（秒）：（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）；（3）当∴PEC与∴QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意得：t＋3t＝6＋8，解得：t＝72（秒），当P、Q两点相遇时，t的值为72秒；（2）由题意可知AP＝t，则CP=6(6)6(614)t tt t-≤⎧⎨-<≤⎩；（3）∴当P在AC上，Q在BC上时，∴∴ACB＝90，∴∴PCE＋∴QCF＝90°，∴PE∴l于E，QF∴l于F．∴∴EPC＋∴PCE＝90°，∴PEC＝∴CFQ＝90°，∴∴EPC＝∴QCF，∴∴PCE∴∴CQF，∴PC＝CQ，∴6﹣t＝8﹣3t，解得t＝1，∴CQ＝8﹣3t＝5；∴当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，由题意得，6﹣t＝3t﹣8，解得：t＝3.5，∴CQ＝3t﹣8＝2.5，∴当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6，综上，当∴PEC与∴QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6．【例3】（2020·惠州市月考）如图，在∴ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，∴B=∴C，AD＝2BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，∴BPD与∴CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使∴BPD与∴CQP 全等？（3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿∴ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在∴ABC的哪条边上相遇？【答案】见解析．【解析】解：（1）∴∴BPD与∴CQP全等，理由如下：∴AB＝AC＝18cm，AD＝2BD，∴AD＝12cm，BD＝6cm，经过2s后，BP＝4cm，CQ＝4cm，∴BP＝CQ，CP＝6cm＝BD，在∴BPD和∴CQP中，∴BD=CP，∴B＝∴C，BP＝CQ，∴∴BPD∴∴CQP（SAS），∴∴点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，∴BP≠CQ，∴∴BPD与∴CQP全等，∴B＝∴C，∴BP＝PC＝12BC＝5cm，BD＝CQ＝6cm，∴t＝52，∴点Q的运动速度＝612=552cm/s，∴当点Q的运动速度为125cm/s时，能够使∴BPD与∴CQP全等；（2）设经过x秒，点P与点Q第一次相遇，由题意可得：125x﹣2x＝36，解得：x＝90，∴90﹣1818102++×3＝21（s），∴经过90s点P与点Q第一次在∴ABC的边AB上相遇．【变式3－1】（2019·山西太原月考）如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=5 cm，BC=12 cm，点P从点B 出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．（1）PC=___cm；(用含t的式子表示)（2）当t为何值时，∴ABP∴∴DCP？．（3）如图2，当点P从点B开始运动，此时点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得某时刻∴ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）当点P以2cm/s的速度沿BC向点C运动时间为ts时，BP=2t∴BC=12∴PC=12－2t故答案为：12－2t.（2）∴∴ABP∴∴DCP∴BP=CP∴2t=12－2t解得：t=3．（3）存在，理由如下：∴当BP=CQ，AB=PC时，∴ABP∴∴PCQ，∴PC=AB=5∴BP=BC－PC=12－5=7∴2t=7解得t=3.5∴CQ=BP=7，则3.5v=7解得v=2．∴当AB=CQ，PB=PC时，∴ABP∴∴QCP∴2t=6解得t=3∴CQ=3v=5，解得v=53．综上所述，当v=2或53时，∴ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等．【变式3－2】（2020·四川成都）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∴B＝∴C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够使∴BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．【答案】3或9 2 .【解析】解：设点P 运动的时间为t 秒，则BP ＝3t ，CP ＝8﹣3t ，∴∴B ＝∴C ，∴当BE ＝CP ＝6，BP ＝CQ 时，∴BPE 与∴CQP 全等，此时，6＝8﹣3t ，解得t ＝23， ∴BP ＝CQ ＝2，此时，点Q 的运动速度为2÷23＝3厘米/秒； ∴当BE ＝CQ ＝6，BP ＝CP 时，∴BPE 与∴CQP 全等，此时，3t ＝8﹣3t ，解得t ＝43， ∴点Q 的运动速度为6÷43＝92厘米/秒；故答案为3或92．【习题精练】1．（2020·江苏东台月考）如图，有一个直角三角形ABC ，∴C ＝90°，AC 10=，BC 6=，线段PQ =AB ，点Q 在过点A 且垂直于AC 的射线AX 上来回运动，点P 从C 点出发，沿射线CA 以2cm /s 的速度运动，问P 点运动___________ 秒时(t 0)>，才能使∴ABC ∴∴QP A 全等．【答案】2或8.【解析】解：∴∴ABC ∴∴QP A ，∴BC ＝P A ＝6，∴当点P 在线段CA 上时，CP ＝AC －AP ＝10－6＝4，∴P 点运动时间为：4=22（秒），∴当点P在线段CA的延长线上时，CP＝AC＋AP＝10＋6＝16，∴P点运动时间为：16=82（秒），综上所述，P点运动时间为：2秒或8秒.2.（2020·江苏泰州月考）如图，AB=12，CA∴AB于A，DB∴AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动_______分钟后∴CAP与∴PQB 全等．【答案】4.【解析】解：∴CA∴AB于A，DB∴AB于B，∴∴A=∴B=90°，设运动x分钟后∴CAP与∴PQB全等；则BP=x，BQ=2x，则AP=（12－x），分两种情况：∴若BP=AC，则x=4，AP=12－4=8，BQ=8，AP=BQ，∴∴CAP∴∴PBQ；∴若BP=AP，则12－x=x，解得：x=6，BQ=12≠AC，此时∴CAP与∴PQB不全等；综上所述：运动4分钟后∴CAP 与∴PQB 全等；故答案为：4．3．（2020·常州市月考）如图，ADC 中．∴C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ．AD ∴AC ，AB ＝PQ ，P 、Q 两点分别在AC 、AD 上运动，当AQ ＝_____时，∴ABC 才能和∴APQ 全等．【答案】5cm 或10cm .【解析】解：∴AD ∴AC ，∴∴C ＝∴P AQ ＝90°，当BC ＝AQ ＝5cm 时，且AB ＝PQ ，∴Rt ∴ABC ∴Rt ∴PQA ，当AQ ＝AC ＝10cm 时，且AB ＝PQ ，∴Rt ∴ABC ∴Rt ∴QP A ．故答案为：5cm 或10cm ．4.（2020·江西新余期末）如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8cm AC ，15cm BC =，点M 从A 点出发沿A C B →→路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿B C A →→路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F .设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为______.【答案】235或7或8. 【解析】解：∴当0≤t ＜4时，点M 在AC 上，点N 在BC 上，此时AM＝2t，BN＝3t，AC＝8，BC＝15．当MC＝NC即8−2t＝15−3t时全等，解得t＝7，舍去；∴当4≤t＜5时，点M在BC上，点N也在BC上，若MC＝NC，则点M与点N重合，即2t−8＝15−3t，解得t＝235；当5≤t＜233时，点M在BC上，点N在AC上，当MC＝NC即2t−8＝3t−15时全等，解得t＝7；∴当233≤t＜232时，点N停在点A处，点M在BC上，如图∴，当MC＝NC即2t−8＝8，解得t＝8；故答案为：235或7或8．5.（2020·武城县月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∴B＝∴C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为多少时，能够使∴BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等？【答案】3厘米/秒或92厘米/秒【解析】解：设点P运动的时间为t秒，则BP=3t，CP=8－3t，∴∴B=∴C，∴当BE=CP=6，BP=CQ时，∴BPE与∴CQP全等，此时，6=8－3t，解得t=23，∴BP=CQ=2，此时，点Q的运动速度为2÷23=3厘米/秒；∴当BE=CQ=6，BP=CP时，∴BPE与∴CQP全等，此时，3t=8－3t，解得t=43，∴点Q的运动速度为6÷43=92厘米/秒.6.（2020·盐城市盐都区月考）如图，有一个直角∴ABC，∴C=90°，AC=6，BC=3，一条线段PQ=AB，P、Q 两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP=________时，才能使以点P、A、Q为顶点的三角形与∴ABC全等．【答案】3或6.【解析】解：AC中点或C点时，∴ABC和∴PQA全等，∴当AP=3=BC时，在Rt ∴ACB 和Rt ∴QAP 中，AB PQ CB AP =⎧⎨=⎩， ∴Rt ∴ACB ∴Rt ∴QAP∴当AP =6=AC 时，在Rt ∴ACB 和Rt ∴P AQ 中，;AB PQ AC AP =⎧⎨=⎩， ∴Rt ∴ACB ∴Rt ∴P AQ故答案为3或6. 7.（2020·四川青羊期中）如图，在∴ABC 中，已知AB ＝AC ，∴BAC ＝90°，AH 是∴ABC 的高，AH ＝4 cm ，BC ＝8 cm ，直线CM ∴BC ，动点D 从点C 开始沿射线CB 方向以每秒3厘米的速度运动，动点E 也同时从点C 开始在直线CM 上以每秒1厘米的速度向远离C 点的方向运动，连接AD 、AE ，设运动时间为t （t ＞0）秒．（1）请直接写出CD 、CE 的长度（用含有t 的代数式表示）：CD ＝ cm ，CE ＝ cm ；（2）当t 为多少时，∴ABD 的面积为12 cm 2？（3）请利用备用图探究，当t 为多少时，∴ABD ∴∴ACE ？并简要说明理由．【答案】（1）3t ，t ；（2）t 为23s 或143s ；（3）见解析. 【解析】解：（1）根据题意得：CD ＝3t ，CE ＝t ；故答案为3t ，t ；（2）∴S ∴ABD 12=BD •AH ＝12，AH ＝4， ∴AH ×BD ＝24，∴BD ＝6．若D 在B 点右侧，则CD ＝BC ﹣BD ＝2，t 23=；若D在B点左侧，则CD＝BC+BD＝14，t143 =；综上所述：当t为23s或143s时，∴ABD的面积为12 cm2；（3）∴当E在射线CM上时，D在CB上，则需满足BD＝CE，∴ABD∴∴ACE.∴CE＝t，BD＝8﹣3t∴t＝8﹣3t，∴t＝2，∴当E在CM的反向延长线上时，D在CB延长线上，则需满足BD＝CE，∴ABD∴∴ACE.∴CE＝t，BD＝3t﹣8，∴t＝3t﹣8，∴t＝48．（2020·郑州市月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点A、B两点的坐标分别A（m，0），B （0，n），且|m -n -3|26n-= 0 ，点P从A出发，以每秒1 个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒．（1）求OA、OB的长；（2）连接 PB ，若∴POB 的面积不大于 3 且不等于 0，求 t 的范围；（3）过 P 作直线 AB 的垂线，垂足为 D ，直线 PD 与 y 轴交于点 E ，在点 P 运动的过程中，是否存在这样的点 P ，使∴EOP ∴∴AOB ?若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）∴30m n --=，∴m －n －3=0，2n －6=0∴m =6，n =3∴OA =6，OB =3；（2）∴当P 在线段AO 上时，AP =t ，OP =6－t此时，S ∴BOP =9－1.5t∴∴BPO 的面积不大于3且不等于0，∴0<9－1.5t ≤3，解得4≤t <6；∴当P 在线段AO 的延长线上时，AP =t ，OP =t －6此时，S ∴BOP =1.5t －9∴0<1.5t －9 ≤3，解得6<t ≤8；（3）∴∴AOB ∴∴EOP ，∴OB =OP =3，则t =3，∴∴AOB ∴∴EOP ，∴OB =OP =3，AP =OA +OP =9，则t =99.（2020·宜兴市月考）如图，在∴ABC 中，∴BAD ＝∴DAC ，DF ∴AB ，DM ∴AC ，AF ＝10cm ，AC ＝14cm ，动点E 以2cm /s 的速度从A 点向F 点运动，动点G 以1cm /s 的速度从C 点向A 点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t ．（1）求证：AF ＝AM ；（2）当t 取何值时，∴DFE 与∴DMG 全等；（3）求证：在运动过程中，不管t 取何值，都有2AED DGC S S △△．【答案】见解析【解析】解：（1）证明：∴∴BAD =∴DAC ，DF ∴AB ，DM ∴AC ，∴DF =DM ，在Rt ∴AFD 和Rt ∴AMD 中，DF DM AD AD=⎧⎨=⎩， ∴Rt ∴AFD ∴Rt ∴AMD （HL ）；（2）解：∴当0＜t ＜4时，点G 在线段CM 上，点E 在线段AF 上．EF =10－2t ，MG =4－t∴10－2t =4－t ，解得：t =6（不合题意，舍去）；∴当4≤t ＜5时，点G 在线段AM 上，点E 在线段AF 上．EF =10－2t ，MG =t －4，∴10－2t =t －4，解得：t =143，当t =143时，∴DFE 与∴DMG 全等；（3）证明：∴∴BAD =∴DAC ，DF ∴AB ，DM ∴AC ，∴DF =DM ，∴S ∴AED =12AE •DF ，S ∴DGC =12CG •DM ， ∴ADE DGC S AE S CG=△△， ∴点E 以2cm /s 的速度从A 点向F 点运动，动点G 以1cm /s 的速度从C 点向A 点运动，∴AE =2t ，CG =t ， ∴AE CG=2，即ADE DGCS S △△=2， ∴在运动过程中，不管取何值，都有S ∴AED =2S ∴DGC ．10.（2020·江苏工业园区期末）如图∴，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC 、EDF ，其中AB ＝8cm ，BC ＝6cm ，AC ＝10cm ．现将∴ABC 和∴EDF 按如图∴的方式摆放（点A 与点D 、点B 与点E 分别重合）．动点P 从点A 出发，沿AC 以2cm /s 的速度向点C 匀速移动；同时，动点Q 从点E 出发，沿射线ED 以acm /s （0＜a ＜3）的速度匀速移动，连接PQ 、CQ 、FQ ，设移动时间为ts （0≤t ≤5）．（1）当t ＝2时，S ∴AQF ＝3S ∴BQC ，则a ＝；（2）当以P 、C 、Q 为顶点的三角形与∴BQC 全等时，求a 的值；（3）如图∴，在动点P 、Q 出发的同时，∴ABC 也以3cm /s 的速度沿射线ED 匀速移动，当以A 、P 、Q 为顶点的三角形与∴EFQ全等时，求a与t的值．【答案】见解析．【解析】解：（1）由题意得：∴BAF＝∴ABC＝90°，BQ＝at＝2a，AF＝BC，∴S∴AQF＝3S∴BQC，S∴AQF＝12AF×AQ，S∴BQC＝12BC×BQ，∴AQ＝3BQ，∴AB＝4BQ＝8，∴BQ＝2＝2a，∴a＝1；故答案为：1；（2）因为以P、C、Q为顶点的三角形与∴BQC全等，CQ是公共边，则点P与B为对应顶点，PQ＝BQ＝at，PC＝BC＝6，∴CPQ＝∴ABC＝90°，∴AP＝AC﹣PC＝10﹣6＝4，PQ∴AC，∴AP＝2t＝4，∴t＝2，∴PQ＝BQ＝2a，∴ABC的面积＝∴ACQ的面积+∴BCQ的面积，1 2×8×6＝12×10×2a+12×2a×6，解得：a＝32；（3）由题意得：∴A＝∴E，∴∴A与∴E为对应角，分两种情况：∴AP与EQ为对应边，AQ与EF为对应边，则AP＝EQ，AQ＝EF＝10，∴EQ＝at，∴at ＝2t ，∴a ＝2，∴EQ ＝2t ，∴BE ＝3t ，∴BQ ＝BE ﹣EQ ＝t ，∴AQ ＝AB +BQ ＝8+t ＝10，解得：t ＝2；∴AP 与EF 为对应边，AQ 与EQ 为对应边，则AP ＝EF ＝10，AQ ＝EQ ，∴2t ＝10，∴t ＝5，∴AQ ＝EQ ＝5a ，∴BE ＝3t ＝15，∴BQ ＝15﹣5a ，或BQ ＝5a ﹣15，当BQ ＝15﹣5a 时，AQ ＝15﹣5a +8＝23﹣5a ，或AQ ＝8﹣（15﹣5a ）＝5a ﹣7，∴5a ＝23﹣5a ，或5a ＝5a ﹣7（舍去），解得：a ＝2.3；当BQ ＝5a ﹣15时，AQ ＝5a ﹣15+8＝5a ﹣7，或AQ ＝8﹣（5a ﹣15）＝7﹣5a ，∴5a ＝5a ﹣7（舍去），或5a ＝7﹣5a ，解得：a ＝0.7，舍去；综上所述，a ＝2时，t ＝2；或a ＝2.3时，t ＝5．11.（2019·江苏期末）如图∴，在ABC ∆中，12AB =cm ，20BC =cm ，过点C 作射线//CD AB ．点M 从点B 出发，以3 cm /s 的速度沿BC 匀速移动；点N 从点C 出发，以a cm /s 的速度沿CD 匀速移动．点M 、N 同时出发，当点M 到达点C 时，点M 、N 同时停止移动．连接AM 、MN ，设移动时间为t (s )．(1)点M 、N 从移动开始到停止，所用时间为 s ；(2)当ABM ∆与MCN ∆全等时，∴若点M 、N 的移动速度相同，求t 的值；∴若点M 、N 的移动速度不同，求a 的值；(3)如图∴，当点M 、N 开始移动时，点P 同时从点A 出发，以2 cm /s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿BA 返回．当点M 到达点C 时，点M 、N 、P 同时停止移动．在移动的过程中，是否存在PBM ∆与MCN ∆全等的情形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．图∴图∴ 【答案】见解析.【解析】解：（1）20÷3＝203，故答案为：203；（2）∴CD ∴AB ，∴∴B ＝∴DCB ，∴∴CNM 与∴ABM 全等，∴∴CMN ∴∴BAM 或∴CMN ∴∴BMA ，∴由题意得：BM ＝CN ＝3t ，∴∴CMN ∴∴BAM∴AB ＝CM ，∴12＝20－3t ，解得：t ＝83；∴由题意得：CN ≠BM ，∴∴CMN ∴∴BMA ，∴AB ＝CN ＝12，CM ＝BM ，∴CM ＝BM ＝12BC ，∴3t ＝10，解得：t ＝103∴CN ＝at ，∴103a＝12解得：a＝185；（3）存在∴CD∴AB，∴∴B＝∴DCB，∴∴CNM与∴PBM全等，∴∴CMN∴∴BPM或∴CMN∴∴BMP，∴当∴CMN∴∴BPM时，则BP＝CM，若此时P由A向B运动，则BP＝12－2t，CM＝20－3t，∴BP＝CM，∴12－2t＝20－3t，解得：t＝8 (舍去)若此时P由B向A运动，则BP＝2t－12，CM＝20－3t，∴BP＝CM，∴2t－12＝20－3t，解得：t＝6.4，∴当∴CMN∴∴BMP时，则BP＝CN，CM＝BM，∴CM＝BM＝12 BC∴3t＝10，解得：t＝10 3当t＝103时，点P的路程为AP＝2t＝203，此时BP＝AB－AP＝12－203＝163，则CN＝BP＝16 3即at＝163，∴t＝103，∴a＝1.6符合题意综上所述，满足条件的t 的值有：t ＝6.4或t ＝103. 12. 如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，8AC cm =，15BC cm =，点M 从A 点出发沿A →C →B 路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿B →C →A 路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F 设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为________．【答案】235或7或8 【解析】解：点M 从点A 到点C 需要AC ÷2=4s ，到点B 共需（AC ＋BC ）÷2=232s 点N 从点B 到点C 需要BC ÷3=5s ，到点A 共需（AC ＋BC ）÷3=233s ∴当0≤t ＜4时，即点M 在AC 上，点N 在BC 上，此时AM =2t ，BN =3t ，∴CM =8－2t ，NC =15－3t∴∴MEC =∴CFN =∴ACB =90°，∴∴MCE ＋∴NCF =90°，∴CNF ＋∴NCF =90°∴∴MCE =∴CNF若CM =NC 时，利用AAS 可得∴MCE ∴∴CNF即8－2t =15－3t解得：t =7（不符合前提条件，故舍去）；∴当4≤t ＜5时，即点M 在BC 上，点N 在BC 上，易知：当M、N重合时满足题意此时CE=2t－8，CN=15－3t，CE=CN ∴2t－8=15－3t解得：t=235；∴当5≤t＜233时，即点M在BC上，点N在AC上，∴CM=2t－8，NC=3t－15∴∴MEC=∴CFN=∴ACB=90°，∴∴MCE＋∴NCF=90°，∴CNF＋∴NCF=90°∴∴MCE=∴CNF若CM=NC时，利用AAS可得∴MCE∴∴CNF 即2t－8=3t－15解得：t=7；∴当233≤t＜232时，即点M在BC上，点N与点A重合，∴CM=2t－8，NC=8∴∴MEC=∴CFN=∴ACB=90°，∴∴MCE＋∴NCF=90°，∴CNF＋∴NCF=90°∴∴MCE=∴CNF若CM=NC时，利用AAS可得∴MCE∴∴CNF即2t－8=8解得：t=8．故答案为：235或7或8．13.（2019·湖北襄州）在平面直角坐标系中，点A（0，5），B（12，0），在y轴负半轴上取点E，使OA＝EO，作∴CEF＝∴AEB，直线CO交BA的延长线于点D．（1）根据题意，可求得OE＝；（2）求证：∴ADO∴∴ECO；（3）动点P从E出发沿E﹣O﹣B路线运动速度为每秒1个单位，到B点处停止运动；动点Q从B出发沿B﹣O﹣E运动速度为每秒3个单位，到E点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM∴CD于点M，QN∴CD于点N．问两动点运动多长时间∴OPM与∴OQN全等？【答案】见解析.【解析】解：（1）∴A（0，5），∴OE＝OA＝5，故答案为5．（2）∴OE＝OA，OB∴AE，∴BA＝BE，∴∴BAO＝∴BEO，∴∴CEF＝∴AEB，∴∴CEF＝∴BAO，∴∴CEO＝∴DAO，在∴ADO与∴ECO中，CE0DA0 OA0ECOE AOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴∴ADO∴∴ECO．（2）设运动的时间为t秒，当PO＝QO时，易证∴OPM∴∴OQN．∴当点P、Q分别在y轴、x轴上时PO＝QO得：5﹣t＝12﹣3t，解得t＝72（秒），∴当点P、Q都在y轴上时PO＝QO得：5﹣t＝3t﹣12，解得t＝174（秒），∴当点P在x轴上，Q在y轴上时，则PO＝QO得：t﹣5＝3t﹣12，解得t＝72（秒）不合题意；当点Q运动到点E提前停止时，有t﹣5＝5，解得t＝10（秒），综上所述：当两动点运动时间为72、174、10秒时，∴OPM与∴OQN全等．14.（2019·福建省惠安期中）如图，在∴ABC中，BC＝8cm，AG∴BC，AG＝8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，同时点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度向终点G运动，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）（1）分别写出当0≤t≤2和2＜t≤4时线段BF的长度（用含t的代数式表示）；（2）当BF＝AE时，求t的值；（3）若∴ADE∴∴CDF，求所有满足条件的t值．【答案】见解析．【解析】解：（1）根据题意，当0≤t≤2时，BF=4t；当2＜t≤4时，BF=16-4t；（2）根据题意，由BF＝AE，则16-4t=2t，解得：t=83；∴当BF＝AE时，t的值为：83；（3）当0＜t≤2时，∴ADE∴∴CDF，则AE=CF，即8－4t=2t，解得：t=43；当2＜t≤4时，∴ADE∴∴CDF，则AE=CF，即4t－8=2t，解得：t=4；则t=43或4时，∴ADE∴∴CDF．15.（2020·无锡市月考）∴ABC中，AB=AC=12厘米，∴B=∴C，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q 的运动速度为_____厘米/秒，∴BPD与∴CQP全等.【答案】3或4.5【解析】解：当BD=PC时，∴BPD与∴CQP全等，∴点D为AB的中点，∴BD=12AB=6cm，∴BD=PC，∴BP=8－6=2（cm），∴点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，∴运动时间时23 s，∴∴DBP∴∴PCQ，∴BP=CQ=2cm，∴v=2÷23=3；当BD=CQ时，∴BDP∴∴QCP，∴BD=6cm，PB=PC，∴QC=6cm，∴BC=8cm，∴BP=4cm，∴运动时间为4÷3=43（s），∴v=6÷43=4.5；∴点Q的运动速度为3或4.5；故答案为3或4.5.16.（2020·广东龙岗期末）直角三角形ABC中，∴ACB=90°，直线l过点C．（1）当AC=BC时，如图∴，分别过点A、B作AD∴l于点D，BE∴l于点E．求证：∴ACD∴∴CBE．（2）当AC=8，BC=6时，如图∴，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD∴l于点D，过点N 作NE∴l于点E，设运动时间为t秒．∴CM=，当N在F→C路径上时，CN=．（用含t的代数式表示）∴直接写出当∴MDC 与∴CEN 全等时t 的值．【答案】见解析．【解析】解：（1）∴AD ∴直线l ，BE ∴直线l ，∴∴DAC +∴ACD =90°，∴∴ACB =90°，∴∴BCE +∴ACD =90°，∴∴DAC =∴ECB ，∴∴ACD ∴∴CBE （AAS ）；（2）∴由题意得，AM =t ，FN =3t ，则CM =8－t ，由折叠的性质可知，CF =CB =6，∴CN =6－3t ；故答案为：8－t ；6－3t ；∴由折叠的性质可知，∴BCE =∴FCE ，∴∴MCD +∴CMD =90°，∴MCD +∴BCE =90°，∴∴NCE =∴CMD ，∴当CM =CN 时，∴MDC 与∴CEN 全等，当点N 沿F →C 路径运动时，8－t =6－3t ，解得，t =－1（不合题意），当点N 沿C →B 路径运动时，CN =3t －6，则8－t =3t －6，解得，t =3.5，当点N 沿B →C 路径运动时，由题意得，8－t =18－3t ，解得，t =5，当点N 沿C →F 路径运动时，由题意得，8－t =3t －18，解得，t =6.5，综上所述，当t =3.5秒或5秒或6.5秒时，∴MDC 与∴CEN 全等．17.（2020·青岛市黄岛区月考）如图1，直线AM AN ⊥，AB 平分MAN ∠，过点B 作BC BA ⊥交AN 于点C ；动点E 、D 同时从A 点出发，其中动点E 以2/m s 的速度沿射线AN 方向运动，动点D 以1/m s 的速度运动；已知6AC cm =，设动点D ，E 的运动时间为t ．图1 备用图（1）试求∴ACB 的度数；（2）当点D 在射线AM 上运动时满足ADB S ：2BEC S =：3，试求点D ，E 的运动时间t 的值；（3）当动点D 在直线AM 上运动，E 在射线AN 运动过程中，是否存在某个时间t ，使得ADB 与BEC 全等？若存在，请求出时间t 的值；若不存在，请说出理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）∴AM ∴AN ，∴∴MAN =90°，∴AB 平分∴MAN ，∴∴BAC =45°，∴CB ∴AB ，∴∴ABC =90°，∴∴ACB =45°．（2）∴当E 在线段AC 上时，作BH ∴AC 于H ，BG ∴AM 于G ．∴BA 平分∴MAN ，∴BG =BH ，∴S∴ADB：S∴BEC=2：3，AD=t，AE=2t，∴12t ×BG：12×（6－2t）×BH=2：3，∴t=127s．∴当点E运动到AC延长线上，可得t=12∴当t=127s或12s时，满足S∴ADB：S∴BEC=2：3．（3）存在．∴BA=BC，∴BAD=∴BCE=45°，∴当AD=EC时，∴ADB∴∴CEB，∴t=6－2t，∴t=2s，∴t=2s时，∴ADB∴∴CEB．当D在MA延长线上时，2t－6=t，t=6s，综上所述，满足条件的t的值为2s或6s．。

难点探究专题：全等三角形中的动态问题

难点探究专题：全等三角形中的动态问题◆类型一全等三角形中的动点问题1．如图，在△MAB中，MA＝MB，过M点作直线MN交AB于N点．P是直线MN 上的一个动点，在点P移动的过程中，若NA＝NB，则∠PAM与∠PBM是否相等？说明理由．2．如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为________；②线段BC，CD，CF之间的数量关系为______________ (将结论直接写在横线上)；(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．◆类型二全等三角形中的动图问题3．已知等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°.如图，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，连接AD ，BE.(1)如果点B ，C ，D 在同一条直线上，如图①所示，试说明：AD ＝BE ；(2)如果△ABC 绕C 点转过一个角度，如图②所示，(1)中的结论还能否成立？请说明理由．◆类型三全等三角形中的翻折问题4．如图，将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF ＝12∠DAB.试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并说明理由．参考答案与解析1．解：∠P AM ＝∠PBM .理由如下：∵NA ＝NB ，MA ＝MB ，MN 是公共边，∴△AMN ≌△BMN (SSS)，∴∠MAN ＝∠MBN ，∠MNA ＝∠MNB .又∵NA ＝NB ，PN 是公共边，∴△P AN ≌△PBN (SAS)，∴∠P AN ＝∠PBN .∴∠P AM ＝∠PBM .2．解：(1)①垂直 ②BC ＝CD ＋CF(2)CF ⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，正确结论：CD ＝CF ＋BC .证明如下：∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∠DAF ＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF .在△DAB 与△F AC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AF ，∠BAD ＝∠CAF ，AB ＝AC ，∴△DAB ≌△F AC (SAS)，∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF .∵∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝∠ABD －∠ACB ＝90°，∴CF ⊥BC .∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC .3．解：(1)∵△ABC ，△CDE 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝DE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°.∵点B ，C ，D 在同一条直线上，∴∠ACE ＝60°，∴∠BCE ＝∠ACD ＝120°.在△ACD与△BCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE (SAS)．∴AD ＝BE .(2)成立．理由如下：∵∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB ＋∠ACE ＝∠DCE ＋∠ACE ，即∠BCE ＝∠ACD .又∵AC ＝BC ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE ，∴AD ＝BE .4．解：DE ＋BF ＝EF .理由如下：延长CB 至G ，作∠5＝∠1，如图所示．∵将Rt △ABC沿斜边翻折得到△ADC ，∠EAF ＝12∠DAB ，∴AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，∠2＋∠3＝∠1＋∠4，∴∠ABG ＝90°＝ADE .∵∠5＝∠1，∴∠2＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠GAF ＝∠EAF .在△AGB 和△AED 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAB ＝∠EAD ，AB ＝AD ，∠ABG ＝∠ADE ，∴△AGB ≌△AED (ASA)，∴AG ＝AE ，BG ＝DE .在△AGF 和△AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AE ，∠GAF ＝∠EAF ，AF ＝AF ，∴△AGF ≌△AEF (SAS)，∴GF ＝EF ，∴BG ＋BF＝EF ，∴DE ＋BF ＝EF .。

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难点探究专题：全等三角形中的动态问题
◆类型一全等三角形中的动点问题
1．如图，在△MAB中，MA＝MB，过M点作直线MN交AB于N点．P是直线MN 上的一个动点，在点P移动的过程中，若NA＝NB，则∠PAM与∠PBM是否相等？说明理由．
2．如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.
(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为________；
②线段BC，CD，CF之间的数量关系为______________ (将结论直接写在横线上)；
(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
◆类型二全等三角形中的动图问题
3．已知等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°.如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE.
(1)如果点B，C，D在同一条直线上，如图①所示，试说明：AD＝BE；
(2)如果△ABC绕C点转过一个角度，如图②所示，(1)中的结论还能否成立？请说明理由．
◆类型三全等三角形中的翻折问题
4．如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF ＝
1
2∠DAB.试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并说明理由．
参考答案与解析
1．解：∠P AM ＝∠PBM .理由如下：∵NA ＝NB ，MA ＝MB ，MN 是公共边，∴△AMN ≌△BMN (SSS)，∴∠MAN ＝∠MBN ，∠MNA ＝∠MNB .又∵NA ＝NB ，PN 是公共边，∴△P AN ≌△PBN (SAS)，∴∠P AN ＝∠PBN .∴∠P AM ＝∠PBM .
2．解：(1)①垂直 ②BC ＝CD ＋CF
(2)CF ⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，正确结论：CD ＝CF ＋BC .证明如下：∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∠DAF ＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF .在△DAB 与△F AC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AF ，∠BAD ＝∠CAF ，AB ＝AC ，
∴△DAB ≌△F AC (SAS)，∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF .∵∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝∠ABD －∠ACB ＝90°，∴CF ⊥BC .∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC .
3．解：(1)∵△ABC ，△CDE 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝DE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°.∵点B ，C ，D 在同一条直线上，∴∠ACE ＝60°，∴∠BCE ＝∠ACD ＝120°.在△ACD
与△BCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，
∴△ACD ≌△BCE (SAS)．∴AD ＝BE .
(2)成立．理由如下：∵∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB ＋∠ACE ＝∠DCE ＋∠ACE ，即∠BCE ＝∠ACD .又∵AC ＝BC ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE ，∴AD ＝BE .
4．解：DE ＋BF ＝EF .理由如下：延长CB 至G ，作∠5＝∠1，如图所示．∵将Rt △ABC
沿斜边翻折得到△ADC ，∠EAF ＝12
∠DAB ，∴AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，∠2＋∠3＝∠1＋∠4，∴∠ABG ＝90°＝ADE .∵∠5＝∠1，∴∠2＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠GAF ＝∠EAF .
在△AGB 和△AED 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAB ＝∠EAD ，AB ＝AD ，∠ABG ＝∠ADE ，
∴△AGB ≌△AED (ASA)，∴AG ＝AE ，BG ＝DE .
在△AGF 和△AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AE ，∠GAF ＝∠EAF ，AF ＝AF ，
∴△AGF ≌△AEF (SAS)，∴GF ＝EF ，∴BG ＋BF
＝EF ，∴DE ＋BF ＝EF .。

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