9-8 二元函数的泰勒公式
9 二元函数的泰勒公式
利用一元函数的麦克劳林公式， 利用一元函数的麦克劳林公式，得
1 Φ(1) = Φ(0) + Φ′(0) + Φ′′(0) + L 2! 1 (n) 1 ( n+1 ) + Φ ( 0) + Φ (θ ), (0 < θ < 1). n! ( n + 1)!
将 Φ(0) = f ( x 0 , y0 ) , Φ(1) = f ( x 0 + h, y0 + k ) 及上 面 求 得 的 Φ(t ) 直 到 n 阶 导 数 在 t = 0 的 值 , 以 及
n+1 2 n
f ( x0 + θh, y0 + θk ),
(0 < θ < 1)
其中
∂ ∂ h + k f ( x 0 , y0 ) ∂y ∂x
表示 hf x ( x0 , y0 ) + kf y ( x0 , y0 ),
∂ ∂ h + k f ( x 0 , y0 ) ∂y ∂x
4
三 小结
1、二元函数的泰勒公式； 二元函数的泰勒公式； 2、二元函数的拉格朗日中值公式； 二元函数的拉格朗日中值公式； 阶麦克劳林公式； 3、 n阶麦克劳林公式；
hw：p67 4. ：
最小二乘法简介
问题的提出: 问题的提出: 已知一组实验数据 求它们的近似函数关系 y＝f (x) . ＝ 需要解决两个问题: 需要解决两个问题 1. 确定近似函数的类型 • 根据数据点的分布规律 • 根据问题的实际背景
二 二元函数的泰勒公式
定理 设 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内连 阶的连续偏导数, 续且有直到 n + 1阶的连续偏导数, ( x0 + h, y0 + h) 为此邻域内任一点, 为此邻域内任一点,则有
多元函数的泰勒公式与极限
多元函数的泰勒公式与极限多元函数的泰勒公式是数学中重要的概念，它与极限有密切关系。
在本文中，我们将介绍多元函数的泰勒公式以及其与极限的关联。
首先，让我们回顾一元函数的泰勒公式。
对于一元函数$f(x)$，其在$x=a$处的泰勒展开式可以表示为：$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$其中$f'(a)$表示函数$f(x)$在$x=a$处的一阶导数，$f''(a)$表示二阶导数，以此类推。
泰勒公式可以将函数在$x=a$附近的值用无穷项级数展开，使我们能够近似计算函数在该点的值。
现在我们将泰勒公式推广到多元函数。
考虑一个二元函数$f(x,y)$，我们希望在点$(x=a,y=b)$处进行泰勒展开。
多元函数的泰勒公式可以表示为：$$f(x,y) = f(a,b) + \frac{\partial f}{\partial x}(a,b)(x-a) + \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)(y-b) + \frac{1}{2!} \left( \frac{\partial^2 f}{\partialx^2}(a,b)(x-a)^2 + \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a,b)(x-a)(y-b) + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a,b)(y-b)^2 \right) + \cdots$$其中$\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)$表示函数$f(x,y)$在点$(x=a,y=b)$处对$x$的偏导数，$\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)$表示对$y$的偏导数，类似地，$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b)$表示二阶偏导数，以此类推。
二元函数的泰勒公式数一考吗
二元函数的泰勒公式数一考吗
泰勒公式是微积分中的重要内容，用于将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式。
在二元函数中，泰勒公式同样适用，但需要考虑二元函数的偏导数。
具体来说，若$f(x,y)$在$(a,b)$处二阶可导，则有以下泰勒公式：$f(x,y)=f(a,b)+\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)(x-
a)+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)(y-b)+\frac{1}{2!}\left[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b)(x-a)^2+2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(a,b)(x-a)(y-b)+\frac{\partial^2 f}{\partial
y^2}(a,b)(y-b)^2\right]+R_2(x,y)$其中$R_2(x,y)$为余项，满足
$\lim_{(x,y)\to(a,b)}\frac{R_2(x,y)}{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}^2}=0$。
泰勒公式在数学、物理等领域有着广泛的应用。
例如，它可以用于求解函数的近似值、研究函数的性质、优化问题的求解等等。
因此，对于学习微积分和相关领域的人来说，掌握二元函数的泰勒公式是非常重要的。
而对于考试来说，泰勒公式也是一道常见的数学题目，需要熟练掌握其公式和应用。
综上所述，二元函数的泰勒公式数一考吗？答案是肯定的。
它不仅是微积分中的重要内容，还有着广泛的应用。
因此，我们应该认真学习和掌握它，以便在学术和职业生涯中更好地应用它。
高等数学 多元函数的微分中值定理和泰勒公式
一元函数 f ( x) 的泰勒公式:
f ( x0 ) 2 f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 )h h 2!
f ( n ) ( x0 ) n h n!
推广 多元函数泰勒公式
(0 1)
记号 (设下面涉及的偏导数连续): • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 h f x ( x0 , y0 ) k f y ( x0 , y0 ) x y 2 • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 x y
1 (h 2! x 1 (h n! x 2 k y) n k y)
f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) Rn
①
1 ( h k ) n 1 f ( x h, y k ) ② 其中 Rn ( n 0 0 1)! x y
m
( m) (0) (h x k y ) m f ( x0 , y0 )
由 (t ) 的麦克劳林公式, 得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
说明: 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, (1) 余项估计式. 在某闭
邻域其绝对值必有上界 M , M Rn ( h k ) n 1 (n 1) ! 则有
例1. 求函数 f ( x, y ) ln(1 x y ) 在点 (0,0) 的三阶泰
勒公式. 解:
1 f x ( x, y ) f y ( x, y ) 1 x y f x x ( x, y ) f x y ( x, y ) f y y ( x, y )
3 f x y 4 f x y
多元函数的泰勒公式
多元函数的泰勒公式多元函数的泰勒公式是微积分学中的基本概念。
它是用来描述多元函数在某个点附近的局部行为的一种数学工具，也是微积分中非常基础的一部分。
泰勒公式在应用中有着广泛的实际意义，在物理、工程、经济、计算机科学等领域都有着非常重要的应用。
下面，我将简单介绍多元函数的泰勒公式。
一、定义多元函数的泰勒公式是指将一个多元函数在某个点处展开成为一个多项式的公式。
具体来说，对于一个二元函数f(x,y)，在某个点(x0,y0)处，我们可以将f(x,y)在该点处展开成为如下的形式：其中，P(x,y)是x和y的多项式，k和l分别为x和y的非负整数指数，DkDly表示对x求k次导数，对y求l次导数，f(k,l)(x0,y0)表示f(x,y)在(x0,y0)处对x求k次导数，对y求l次导数的结果。
该公式就是多元函数的泰勒公式，它可以用来描述多元函数的局部行为。
二、应用多元函数的泰勒公式在实际应用中有着广泛的应用，下面列举一些例子。
1、求二元函数的极值对于一个二元函数f(x,y)，如果要求在某个点(x0,y0)处的极值，可以通过将f(x,y)展开成泰勒公式后求得。
具体来说，我们可以将f(x,y)在(x0,y0)处展开成如下的形式：显然，如果k和l分别为偶数，则f(k,l)(x0,y0)>0；如果k和l分别为奇数，则f(k,l)(x0,y0)<0。
因此，当k和l分别为偶数时，f(x,y)在(x0,y0)处有一个局部极小值；当k和l分别为奇数时，f(x,y)在(x0,y0)处有一个局部极大值。
2、多元函数的插值近似在实际应用中，常常需要对某个多元函数进行插值近似，以得到某些未知点的函数值。
此时，可以利用多元函数的泰勒公式来进行近似计算。
例如，对于一个二元函数f(x,y)，在某个点(x0,y0)处，假设我们已知f及其一阶和二阶导数的值。
此时，我们可以将f(x,y)在(x0,y0)进行泰勒展开，得到如下的形式：通过上式，我们就可以得到f(x,y)在(x0,y0)处的近似值，从而进行插值计算。
二元函数的泰勒公式
一元函数
的泰勒公式:
推广 多元函数泰勒公式
记号 (设下面涉及的偏导数连续): •
•
表示
• 一般地,
表示
定理1.
到 n + 1 阶连续偏导数 , 一点, 则有
的某一邻域内有直 为此邻域内任
其中
① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式, 朗日型余项 .
① ② ②称为其拉格
在区域D 上的两个一阶偏导数
恒为零, 由中值公式可知在该区域上
例1. 求函数
勒公式. 解:
因此,
的三阶泰
其中
二、极值充分条件的证明
定理2 (充分条件)
若函数
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
令
则: 1) 当 2) 当 3) 当
时, 具有极值 时, 没有极值.
A < 0 时取极大值; A > 0 时取极小值.
证: 令
则 利用多元复合函数求导法则可得:
一般地,
由
的麦克劳林公式, 得
将前述导计式.
因 f 的各 n+1 阶偏导数连续,
邻域其绝对值必有上界 M ,
在某闭 则有
(2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:
定理1
(3) 若函数
因此
作业
P123 1 , 3 , 4 , 5
第十节
时, 有
同号. 可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,
异号;
若 A＝C ＝0 ,则必有 B≠0 ,
不妨设 B＞0 ,
此时
可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,
(3) 当AC－B2 ＝0 时,
多元函数的Taylor公式与极值
矩阵为: H f ( x0 )
f11 f21
f12
f
22
f1n
f
2n
设u f (P)在点
f
n1
f
n
2
f
nn
x0
P0 ( x01 , x02 , , x0n ) 的所有二阶偏导数
f11
f12
f1n
f 在点P0的 Hessian
H
f
(P0 )
f21
f
22
f
2n
矩阵为:
f
n1
f
x
, y)2
3 f
2! ,
x py3 p (1 x y)3
( p 0,1,2,3),
4 f 3! , ( p 0,1,2,3,4), x py4 p (1 x y)4
20
x x
y y
f
(0,0)
xfx (0,0)
yf y (0,0)
x
y,
x
y
2
f
(0,0)
x y
由假设， (t) 在 [0,1] 上满足一元函数泰勒公式的条件
于是有 (1) (0) (0) (0)
1!
2!
(n) (0) (n1) ( )
(0
1) .
n!
(n 1)!
(0) f ( x0 , y0 ) , (1) f ( x0 h , y0 k)
利用多元复合函数求导法则可得:
11
（4）在泰勒公式中,如果取 x0 0, y0 0,则 成为n阶麦克劳林（Maclaurin）公式.
f (x, y)
f
(0,0)
x
x
y
多元函数泰勒公式展开式
多元函数泰勒公式展开式多元函数的泰勒公式展开式是对于多元函数在其中一点附近的展开式，用多项式逼近多元函数的方法。
在数学分析中，多元函数的泰勒公式展开式在求解函数的近似值和函数性质研究中起着重要的作用。
一元函数的泰勒公式展开式是比较常见的，这里我们先回顾一下一元函数的泰勒公式展开式。
若函数f(x)在点a上存在各阶导数，那么在a点的邻域内，可以使用以下公式进行展开：\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{{f''(a)}}{{2!}}(x-a)^2 + \frac{{f'''(a)}}{{3!}}(x-a)^3 + \dots + \frac{{f^n(a)}}{{n!}}(x-a)^n + R_n(x) \]其中，Rn(x)是x在a点的余项，它的具体表达式为：\[ R_n(x) = \frac{{f^{(n+1)}(c)}}{{(n+1)!}}(x-a)^{n+1} \]其中，c是x和a之间的其中一点。
这个式子表达了函数f(x)在x点附近的展开式，可以用来近似计算函数的值。
对于多元函数，泰勒公式的展开式相对复杂，但基本思想是相同的。
考虑一个二元函数f(x,y)，它在点(a,b)附近存在足够多的连续可导函数f(x,y)，那么在(a,b)点的邻域内，可以使用以下公式进行展开：\[ f(x, y) = f(a, b) + f_x(a, b)(x-a) + f_y(a, b)(y-b) +\dots + \frac{{f_{xy}(a, b)}}{{2!}}(x-a)(y-b) + R_n(x, y) \]其中，fx(a, b)表示f(x, y)对x的偏导数在(a, b)点的值，fy(a, b)表示f(x, y)对y的偏导数在(a, b)点的值，fxy(a, b)表示f(x, y)对x和y的混合偏导数在(a, b)点的值。
余项Rn(x, y)同样可以表示为：\[ R_n(x, y) = \frac{{f_{xx}(c_1, c_2)(x-a)^2}}{2} +\frac{{f_{yy}(c_3, c_4)(y-b)^2}}{2} + \frac{{f_{xy}(c_5, c_6)(x-a)(y-b)}}{2} + \dots \]其中，c1、c2、c3、c4、c5和c6是x和y之间对应的一些点。
利用泰勒展开求解二元函数的极限
利用泰勒展开求解二元函数的极限为了求解二元函数的极限，我们可以利用泰勒展开的方法来逼近极限值。
泰勒展开可以将一个函数在某一点附近进行近似表示，对于二元函数来说，我们需要进行二元泰勒展开。
下面将详细介绍如何利用泰勒展开求解二元函数的极限。
首先，我们考虑一个二元函数f(x, y)的极限求解问题。
假设该函数在点(x0, y0)附近具有连续的二阶偏导数。
那么我们可以将f(x, y)在(x0, y0)附近作泰勒展开，展开到二阶。
二元函数f(x, y)的泰勒展开式为：f(x, y) = f(x0, y0) + [(x-x0)∂f/∂x + (y-y0)∂f/∂y]∣∣(x0, y0) + 1/2![(x-x0)∂²f/∂x² + 2(x-x0)(y-y0)∂²f/∂x∂y + (y-y0)∂²f/∂y²]∣∣(x0, y0) + O(||(x-x0, y-y0)||³)其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示f(x, y)对x和y的偏导数，∂²f/∂x²、∂²f/∂y²和∂²f/∂x∂y分别表示f(x, y)的二阶偏导数，O(||(x-x0, y-y0)||³) 表示高阶无穷小。
通过泰勒展开，我们可以将f(x, y)在(x0, y0)附近的值近似表示为一个二次多项式。
这样，我们可以通过计算该多项式在极限点 (x, y) 处的极限值，来逼近f(x, y)在(x0, y0)处的极限值。
举个例子来说明如何利用泰勒展开求解二元函数的极限。
假设我们要求解以下二元函数的极限：lim (x, y)→(0, 0) [x^2 + 2xy + y^2]首先，我们计算该函数在(0, 0)附近的泰勒展开式。
f(x, y) = f(0, 0) + [x∂f/∂x + y∂f/∂y]∣∣(0, 0) + 1/2![x∂²f/∂x² +2xy∂²f/∂x∂y + y∂²f/∂y²]∣∣(0, 0) + O(||(x, y)||³)将函数带入上述泰勒展开式中，化简得到：f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2接下来，我们将极限点(x, y)取为(0, 0)，即求解以下极限：lim (x, y)→(0, 0) [x^2 + 2xy + y^2]将(x, y)代入之前求得的二次多项式，得到：lim (x, y)→(0, 0) [x^2 + 2xy + y^2] = f(0, 0) = 0所以，利用泰勒展开，求解二元函数lim (x, y)→(0, 0) [x^2 + 2xy +y^2]的极限为0。
GS6.7 多元函数的微分中值定理与泰勒公式
再将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.证毕
定理2在多元函数的计算上有重要价值.其中拉格朗日余项
1 Rn = d n +1 f ( x 0 + θ ∆ x , y 0 + θ ∆ y ) ( n + 1)!
1 ∂ ∂ = ∆x + ∆y ( n + 1)! ∂x ∂y
n +1
∂f ∂f + ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y )∆x + ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y )∆y. ∂x ∂y
或写成
f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) = f ( x0 , y0 ) + df ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y ).
记
f ( Pt ) = f ( x0 + t ∆x, y0 + t ∆y ), 则上式又可写成为
f ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y ),
可用偏导数来估计. 假定其 n + 1 阶偏导数有界,即有常数 M , 使
∂ n +1 f ≤ M, l n +1−l ∂x ∂y
则
l = 0,1,⋯ , n + 1;
M Rn ≤ ( ∆x + ∆y ( n + 1) !
)
n +1
,
令 ρ = ∆x 2 + ∆y 2 ,
1 ∂ ∂ = ∆x + ∆y ( n + 1)! ∂x ∂y
n +1
f ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y ), (0 < θ < 1)
多元函数泰勒公式
(t ) C h k xy p (n1)
n1
p
p n1 p
n1 p0
n1 p n1 p ( x0 ht , y0 kt )
h x
k
y
n1
f
( x0
ht,
y0
kt ).
利用一元函数的麦克劳林公式，得
(1) (0) (0) 1 (0) 2!
1 (n) (0) 1 (n1) ( ), (0 1).
f y ( x0 x, y0 3y) f y ( x0 , y0 3y) y
f yx ( x0 4x, y0 3y)yx, 0 3 ,4 1
f xy ( x0 1x, y0 2y) f yx ( x0 4x, y0 3y)
由 fx y ( x, y), f y x ( x, y) 的连续性，当 x 0, y 0
二、求函数 f ( x, y) e x ln(1 y)的三阶泰勒公式． 三、求函数 f ( x, y) e x y 的 n 阶泰勒公式．
练习题答案
一、f ( x, y) 5 2( x 1)2 ( x 1)( y 2) ( y 2)2．
二、e x ln(1 y)
y
1 (2xy 2!
误差是当x x0 时比( x x0 )n 高阶的无穷小．
二、中值定理和泰勒公式
定理 8 设z f ( x, y)在凸域 D R2 上连续,在 D 的
所有内点可微, 则对 D 内任意两点 P(a,b),
Q(a h,b k) int D, s.t f (a h, b h) f ( x0 , y0 ) fx (a h, b k)h f y (a h,b k)k, (0 1) 证 引入函数 (t) f (a ht,b kt), (0 t 1).
二元函数的泰勒公式.doc
§10.4. 二元函数的泰勒公式一、高阶偏导数二元函数z f ( x, y) 的两个（一阶）偏导数zxz, 仍是x 与y 的二元函数.y若它们存在关于x 和y 的偏导数，即z x zx,zyzx;zxzy,zyzy.称它们是二元函数z f (x, y) 的二阶偏导（函）数. 二阶偏导数至多有 2 2 个. 通常将它们表为：z x zx表为2z2x或 f (x, y).xxz y zx表为2xzy或 f ( x, y).xy （混合偏导数）z x zy表为2zy x或 f yx (x, y). （混合偏导数）z y zy表为2yz2或 f (x, y).yy一般地，二元函数z f (x, y) 的n 1阶偏导函数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数. 二元函数的n阶偏导数至多有n 2 个. 二元函数z f (x, y) 的n阶偏导数的符号与二阶偏导数类似. 例如，符号n x nkzky( n) x y或 f ( , )n k kx y表示二元函数z f (x, y) 的n 阶偏导数，首先对x求n k 阶偏导数，其次接着对y求k 阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数.3 y3 x2 y xy2例1. 求函数z x 3 3 的二阶偏导数.z z2 x y2 x xy3 2 3 2 解： 3 6 . 3 3 2 .x y xy yx y2z 2 x 6 3xy6 .y2 y2z 9 6 2 .2 2 2 2z9 6 2 .x y x y x y x yx x y2xzy2yzx2z36x y 2x. 2y1 2 2 2 例2. 证明：若u ,r (x a) ( y b) (z c) ,则r2 u 2 x 2u2y2u2z0.证明：由§10.3. 例2，有u x xra u yb u z, ,3 r3y r z3c. 32 r (x a)3ru2x r 62 rxr x ax rr 3 ( )3x a r6r 2x ar1 3 23 x a5( ) . rr同样，可得2 u 2 y21 3 u 1 3 22( y b) , (z c)3 5 2 3 5r r z r r.2 2 2u u u 3 3 2 2 2于是，[( x a) (y b) ( z c) ]2 2 23 5x y z r r30.33r 3r定理1. 若函数 f (x, y) 在点P(x0 , y0 ) 的邻域G存在二阶混合偏导数 f xy (x, y) 与f (x, y)yx ，并且它们在点P(x0, y0 ) 连续，则f xy yx (1)(x0 , y0 ) f (x0 , y0 )2证明 令 F ( x, y)( , ) ( , ) f x 0 x yy f xx y( , ) ( , ) f x 0 yy f x y ，①令 (x)( , ) ( , ) . 对 (x) 在[ x 0 , x 0 x] 上应用拉格朗日中f x y 0y f x y值定理, 得 F ( x, y)(x 01x) xf x (x 01x, y 0 y) f x (x 01x, y 0 ) xf x y (x 01, 0 2) ； x yy x y②令 (y)f (x 0 x, y) f (x 0 , y) . 同样方法可以得到F ( x, y) fyx (x 0,) . 于是有 x y x x y30 4f x yx y yf yx (x 0 3x, y 04x) .(x,)12令 x 0, y 0, 取极限得(1) 式.例 3. 证明：若 z f (x, y), xcos , y sin , 则22ff f 22f f 11x2 222y2.证明：f f xxf yyf xf cos sin . yf f xx f yyf xf sincos .y2f2f f ff x cos f y sin2 f 2 x 2 cos 2 x f y sin cos2 y f x sin cos 2 f 2y2sin.2f2f f ff xsinf ycos 2f 2 x 22fsin 2 2x ysin cosfxcos3。
8-9二元函数的Taylor公式
二、极值充分条件的证明
利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理2．
定理 2（充分条件） 设函数 z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数，
f y ( x 0 , y0 ) 0 ， 又 f x ( x 0 , y0 ) 0 , 令 f xx ( x0 , y0 ) A ， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ，
1 f x (0,1) 0, f y (0,1) , 2 y 2
2
2
cos x ,
3 2
1 y 1 f xx (0,1) 2 , f xy (0,1) 0, f yy (0,1) , 2 2
sin x , f yy (1 y ) cos x ,
1 1 1 2 2 f ( x, y ) 2 ( y 1) ( 2 x ( y 1) ) 2 2 2 2
1 1 h k f ( x 0 , y0 ) h k f ( x 0 , y0 ) 2! x y n! x y 1 h k ( n 1)! x y
高等数学（下）
2
n
n 1
(1) 设 AC B 2 0 ,即
f xx ( x0 , y0 ) f yy ( x0 , y0 ) f xy ( x0 , y0 ) 0. (7)
2
因 f ( x , y ) 的二阶偏导数在U 1 ( P0 ) 内连续,由 不等式(7) 可知,存在点P0 的邻域U 2 ( P0 ) U 1 ( P0 ) , 使得对任一( x 0 h, y 0 k ) U 2 ( P0 ) 有
二元函数的泰勒公式
(4)
对 应用微分中值定理，1 (0, 1), 使得
( x0 x) ( x0 ) ( x0 1 x) x [ f x ( x0 1 x, y0 y) f x ( x0 1 x, y0 ) ] x. 又 fx ( x0 1 x, y) 作为 y 的可导函数, 再使用微分 中值定理，2 (0, 1), 使上式化为 ( x0 x) ( x0 ) fx y( x0 1 x, y0 2 y) x y .
y4)
,
0,
x2 y2 0, x2 y2 0.
进一步求 f 在点 (0,0) 关于 x 和 y 的两个不同顺序
的混合偏导数:
f x y (0,0)
lim
y0
fx (0, y) y
f x (0,0)
y lim y0 y
1,
f yx (0,0)
lim
x 0
f y( x,0) x
f y (0,0)
自变量的复合函数．所以
2z x2
f
x
u
1 y
f v
2 f u 2 f v 1 2 f u 2 f v
u2
x
uv
x
y
vu
x
v2
x
2 f u2
2 y
2 f uv
1 y2
2 f v2
,
2z xy
y
f u
1 y
f v
2 f u2
u y
2 f uv
v y
1 y2
f v
由 (4) 则有
F ( x, y) fxy ( x0 1 x, y0 2 y) x y
高等数学课件D89二元泰勒公式
09 课程总结与展望
关键知识点回顾
二元泰勒公式的定义和表达式
掌握了二元函数在一点附近的泰勒展开式，了解了其与一元泰勒公式的联 系和区别。
二元泰勒公式的几何意义
理解了二元泰勒公式在几何上表示函数在某点附近的曲面逼近，以及高阶 项对逼近精度的影响。
二元泰勒公式的应用条件
明确了二元泰勒公式的应用条件，包括函数的光滑性、展开点的选取等。
能量本征值与本征函数求解
通过二元泰勒公式展开的波函数，可以求解粒子的能量本征值和本征函数，进而研究粒子的能级 结构和跃迁规律。
微扰论中的应用
在量子力学微扰论中，二元泰勒公式被广泛应用于对波函数的微扰展开和计算，以求解粒子在微 扰作用下的能级修正和跃迁概率等问题。
07 二元泰勒公式在经济学中 应用
消费者行为分析
市场均衡条件求解
供需平衡与二元泰勒公式
01
利用二元泰勒公式对供需函数进行局部逼近，求解市场均衡条
件下的价格和数量。
一般均衡与二元泰勒公式
02
通过二元泰勒公式分析市场中的一般均衡问题，研究多个市场
之间的相互影响。
帕累托最优与二元泰勒公式
03
应用二元泰勒公式分析帕累托最优条件，探讨市场资源分配的
效率问题。
误差分析与余项处理
01
02
03
误差定义
设$R_n(x,y)$为泰勒公式 的余项，表示泰勒公式与 真实函数值之间的误差。
误差估计
通过高阶偏导数项的大小 来估计误差的范围。
余项处理
在实际应用中，可以根据 需要保留泰勒公式的前几 项，并忽略余项或对其进 行适当的处理。
04 二元泰勒公式在几何意义 及应用
将约束条件加入二元泰勒公式
数一考二元函数的泰勒公式吗
数一考二元函数的泰勒公式吗泰勒公式是一种用于研究和求解二元函数的方法，它是经典的微积分中的一种非常重要的概念。
在一般情况下，泰勒公式作为函数附近局部行为分析时最重要的理论技术。
它在科学，技术，工程，经济等各个领域有着广泛的应用。
首先，我们来回顾一下泰勒公式的定义。
泰勒公式是指在n阶导数的基础上，构造出的函数拓展。
一元函数泰勒公式是我们常见的格林函数，而二元函数泰勒公式即在n阶导函数的基础上，对其函数进行拓展构造出来的函数。
具体来说，泰勒公式可以表示为： f(x) = f(a) + f'(a)[x-a] + f''(a)[x-a]2/2! + f'''(a)[x-a]3/3! + ...+ f^(n)(a)[x-a]n/n!，其中f(x)为二元函数，a也是一个实数，f'(a),f''(a),...,f^(n)(a)为f(x)的n阶导数。
从这个表达式中可以看出，二元函数泰勒公式的核心是导函数的信息。
同样的，我们可以把这个表达式中的系数乘合起来写成一个多项式，也就是所谓的阶数多项式。
仔细考虑，这个多项式就是我们要求解二元函数的本质。
由此可见，二元函数泰勒公式可以用来求解和分析复杂而又式本质复杂的二元函数。
在实际的应用中，对其局部行为的研究和分析该公式非常有用。
通过计算二元函数某一特定点的泰勒公式可以准确地计算出在这个点附近存在的加减乘除平方以及其他任何操作。
另外，泰勒公式也可以用来应用到最优化问题中，即求解系统是如何最优化，从而用以解决实际问题。
换句话说，二元函数泰勒公式可以用来估算一个二元函数所有极值点，这非常有用。
另外，泰勒公式也可以用来求解边界值，即求解解的临界值范围。
总之，二元函数泰勒公式是一种用来求解和分析二元函数的重要概念，它既可用于函数的局部行为分析，也可用于最优化问题的求解。
由此可以看出，泰勒公式对于科学、工程以及经济等领域有着广泛的应用价值。
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进而可求得
f (1,1) 1, f x(1,1) 1, f y(1,1) 0 ， (1,1) f yy (1,1) 0, f xy (1,1) f yx (1,1) 1 ， f xx
所以 f ( x, y) x y 在点 1,1 处带有佩亚诺型余项的泰勒公式为
（9.8.8）
10-7
可以证明，如果二元函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内具有直 到阶的连续偏导数，则当
h2 k 2 ( x x0 )2 ( y y0 )2 0
时，
f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) f ( x0 , y0 ) x y 1 ( x x0 ) ( y y0 ) 2 f ( x0 , y0 ) 2! x y 1 ( x x0 ) ( y y0 ) n f ( x0 , y0 ) o( n ). n! x y
10-9
例 9.8.1 求二元函数 z f ( x, y) x y 在 1,1 处带有佩亚诺型余项的二 阶泰勒公式，并由它近似计算1.11.02 的值．
解
( x, y ) y ( y 1) x y 2 ， f x( x, y ) yx y 1 , f y( x, y ) x y ln x, f xx ( x, y ) f yx ( x, y ) x y 1 yx y 1 ln x, f yy ( x, y ) x y (ln x) 2 ． f xy
由定理的条件可知， F (t ) 在 [0,1] 上满足一元函数泰勒公式条 件，因此 F 在点 t 0 处的泰勒公式为
1 1 (n) F (1) F (0) F (0) F (0) F (0) 2! n! 1 F ( n1) ( ), 0 1 n 1!
m 1,2,, n 1 ，则 x x0 h ，且式（9.8.1）形式上又可表示为
f ( x0 h) f ( x0 ) h d 1 d 1 d f ( x0 ) h 2 f ( x0 )+ h n f ( x0 ) dx 2! dx n! dx
将 F F 及式（9.8.5） 、 （9.86）的结论代入式（9.8.4） 中，即得所求泰勒公式(9.8.3)．
特别地 n 0 ，则式（9.8.3）为
f ( x0 h, y0 k ) f ( x0 , y0 ) f x( x0 h, y0 k )h f y( x0 h, y0 k )k ,
f ( x, y) x y 1 ( x 1) ( x 1)( y 1) o(( x 1)2 ( y 1)2 ) ．
取 x 1.1, y 1.02 ，并舍去 o(( x 1)2 ( y 1)2 ),有
(1.1)1.02 1 0.1 0.1 0.02 1.102 ．
(9.8.9)
式（9.8.9）称为二元函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处带有佩亚 诺型余项的 n 阶泰勒公式．
10-8
如果式（9.8.8）中 x0 0, y0 0 ，则有
f ( x, y ) f (0,0) x
1 y f (0,0) x y 2 f (0,0) x y 2! x y 1 n 1 n1 x y f (0,0) x y f ( x, y ), n! x y (n 1)! x y
1 d h n1 f ( x0 h), 0 1 ． n 1! dx
(9.8.2)
为了介绍二元函数的泰勒公式.我们引入记号 f f h k f ( x, y) h k ， x y x y
2 2 2 2 f 2 f 2 f h k f ( x, y ) h 2hk k ， 2 x y x xy y 2 m m m f i i m i h k f ( x, y ) C m h k ． i m i x y x y i 0
9.8 二元函数的泰勒公式
在第 3 章中，我们介绍了一元函数的泰勒公式：
如果函数 y f ( x) 在点 x0 处的某邻域内具有直到 n +1 阶导数， 则对该邻域内任一点 x ，有
f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 )2 2!
0 1．
(9.8.10)
式(9.8.10)称为二元函数 z f ( x, y) 的 n 阶麦克劳林公式．
对于一元函数 f x ，在点 x0 附近可用 x x0 的 n 次多项式来近似 代替 f x ，且近似代替产生的误差为 Rn x .对于二元函数 f ( x, y) ， 在点 ( x0 , y0 ) 处附近可用 x x0 , y y0 的二元多项式来近似代替 f ( x, y) ， 并在一定的条件下，其误差当 0 时为 n 的高阶无穷小．
很自然的我们要问， 多元函数是否有类似一元函数的泰勒公式？ 答案是肯定的.那么如何从一元函数的泰勒公式得到二元乃至二元以 上函数的泰勒公式呢？
由于一元函数只有一个自变量，但是多元函数有多个自变量， 为此我们将一元函数的泰勒公式换成一种有利于推广到多元函数的 形式．
10-2
m d m m d f ( x) ( m) m 若记 h x x0 ， h f ( x) h ， f ( x )( x x ) 0 m dx dx
10-10
（续证）当 t 0 时，有
F ( m ) (0) h k m f ( x0 , y0 ), x y m 1,2,, n 1． (9.8.5)
并且
F ( n1) ( ) h
k n1 f ( x0 h, y0 k ) ． (9.8.6) x y
0 1 ． （9.8.3）
式（9.8.3）称为二元函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处带有拉格朗日型 余项的 n 阶泰勒公式．
10-4
证 将本定理的证明转化为一元函数情形来证明．
令函数
F (t ) f ( x0 th, y0 tk ), 0 t 1．
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x) ， n!
(9.8.1)
其中
f ( n1)x0 ) n1 , 0 1 ． (n 1)!
10-1
一元函数的泰勒公式在近似计算、函数极值、图形的凹凸性、 计 函数极限计算、 函数不等式证明等诸多方面有广泛的应用． 一元函数 的泰勒公式不仅具有非常重要的理论意义，也具有极大的应用价值．
(9.8.4)
其中 F (0) f ( x0 , y0 ), F (1) f ( x0 h, y0 k ) ，并利用链式法则得
F ( m) (t ) h k m f ( x0 th, y0 tk ), x y m 1,2,, n 1．
10-5
10-3
定理 9.8.1 （二元函数的泰勒公式）设二元函数 z f ( x, y) 在点 的某邻域内具有直到 n +1 阶的连续偏导数， 则对该邻域内 P 0 x0 , y0 的任一点 ( x0 h, y0 k ) 有
f ( x0 h, y0 k )=f ( x0 , y0 ) h 1 k 2 f ( x0 , y0 ) h k 2 f ( x0 , y0 ) x y 2! x y 1 1 h k n f ( x0 , y0 ) h k n1 f ( x0 h, y0 k ), n! x y (n 1)! x y
0 1．
(9.8.7)
式（9.8.7）称为二元函数的拉格朗日中值定理．
10-6
如果记 x x0 h, y y0 k ， 则有 h x x0 , k y y0 ， 式 （9.8.3） 可写为
f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) f ( x0 , y0 ) x y 1 ( x x0 ) ( y y0 ) 2 f ( x0 , y0 ) 2! x y 1 ( x x0 ) ( y y0 ) n f ( x0 , y0 ) n! x y 1 ( x x0 ) ( y y0 ) n1 (n 1)! x y f ( x0 ( x x0 ), y0 ( y y0 )).