9-8 二元函数的泰勒公式

0 1．
(9.8.10)
式(9.8.10)称为二元函数 z f ( x, y) 的 n 阶麦克劳林公式．
对于一元函数 f x ，在点 x0 附近可用 x x0 的 n 次多项式来近似 代替 f x ，且近似代替产生的误差为 Rn x .对于二元函数 f ( x, y) ， 在点 ( x0 , y0 ) 处附近可用 x x0 , y y0 的二元多项式来近似代替 f ( x, y) ， 并在一定的条件下，其误差当 0 时为 n 的高阶无穷小．
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x) ， n!
(9.8.1)
其中
f ( n1) ( x0 ( x x0 )) Rn ( x) ( x x0 ) n1 , 0 1 ． (n 1)!
10-1
一元函数的泰勒公式在近似计算、函数极值、图形的凹凸性、 计 函数极限计算、 函数不等式证明等诸多方面有广泛的应用． 一元函数 的泰勒公式不仅具有非常重要的理论意义，也具有极大的应用价值．
f ( x, y) x y 1 ( x 1) ( x 1)( y 1) o(( x 1)2 ( y 1)2 ) ．
取 x 1.1, y 1.02 ，并舍去 o(( x 1)2 ( y 1)2 ),有
(1.1)1.02 1 0.1 0.1 0.02 1.102 ．
0 1．
(9.8.7)
式（9.8.7）称为二元函数的拉格朗日中值定理．
10-6
如果记 x x0 h, y y0 k ， 则有 h x x0 , k y y0 ， 式 （9.8.3） 可写为
f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) f ( x0 , y0 ) x y 1 ( x x0 ) ( y y0 ) 2 f ( x0 , y0 ) 2! x y 1 ( x x0 ) ( y y0 ) n f ( x0 , y0 ) n! x y 1 ( x x0 ) ( y y0 ) n1 (n 1)! x y f ( x0 ( x x0 ), y0 ( y y0 )).
m 1,2,, n 1 ，则 x x0 h ，且式（9.8.1）形式上又可表示为
f ( x0 h) f ( x0 ) h d 1 d 1 d f ( x0 ) h 2 f ( x0 )+ h n f ( x0 ) dx 2! dx n! dx
将 F F 及式（9.8.5） 、 （9.86）的结论代入式（9.8.4） 中，即得所求泰勒公式(9.8.3)．
特别地 n 0 ，则式（9.8.3）为
f ( x0 h, y0 k ) f ( x0 , y0 ) f x( x0 h, y0 k )h f y( x0 h, y0 k )k ,
由定理的条件可知， F (t ) 在 [0,1] 上满足一元函数泰勒公式条 件，因此 F 在点 t 0 处的泰勒公式为
1 1 (n) F (1) F (0) F (0) F (0) F (0) 2! n! 1 F ( n1) ( ), 0 1 n 1!
进而可求得
f (1,1) 1, f x(1,1) 1, f y(1,1) 0 ， (1,1) f yy (1,1) 0, f xy (1,1) f yx (1,1) 1 ， f xx
所以 f ( x, y) x y 在点 1,1 处带有佩亚诺型余项的泰勒公式为

1 d h n1 f ( x0 h), 0 1 ． n 1! dx
(9.8.2)
为了介绍二元函数的泰勒公式.我们引入记号 f f h k f ( x, y) h k ， x y x y
2 2 2 2 f 2 f 2 f h k f ( x, y ) h 2hk k ， 2 x y x xy y 2 m m m f i i m i h k f ( x, y ) C m h k ． i m i x y x y i 0
(9.8.9)
式（9.8.9）称为二元函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处带有佩亚 诺型余项的 n 阶泰勒公式．
10-8
如果式（9.8.8）中 x0 0, y0 0 ，则有
f ( x, y ) f (0,0) x
1 y f (0,0) x y 2 f (0,0) x y 2! x y 1 n 1 n1 x y f (0,0) x y f ( x, y ), n! x y (n 1)! x y
9.8 二元函数的泰勒公式
在第 3 章中，我们介绍了一元函数的泰勒公式：
如果函数 y f ( x) 在点 x0 处的某邻域内具有直到 n +1 阶导数， 则对该邻域内任一点 x ，有
f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 )2 2!
10-10
（续证）当 t 0 时，有
F ( m ) (0) h k m f ( x0 , y0 ), x y m 1,2,, n 1． (9.8.5)
并且
F ( n1) ( ) h
k n1 f ( x0 h, y0 k ) ． (9.8.6) x y
0 1 ． （9.8.3）
式（9.8.3）称为二元函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处带有拉格朗日型 余项的 n 阶泰勒公式．
1源自文库-4
证 将本定理的证明转化为一元函数情形来证明．
令函数
F (t ) f ( x0 th, y0 tk ), 0 t 1．
（9.8.8）
10-7
可以证明，如果二元函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内具有直 到阶的连续偏导数，则当
h2 k 2 ( x x0 )2 ( y y0 )2 0
时，
f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) f ( x0 , y0 ) x y 1 ( x x0 ) ( y y0 ) 2 f ( x0 , y0 ) 2! x y 1 ( x x0 ) ( y y0 ) n f ( x0 , y0 ) o( n ). n! x y
很自然的我们要问， 多元函数是否有类似一元函数的泰勒公式？ 答案是肯定的.那么如何从一元函数的泰勒公式得到二元乃至二元以 上函数的泰勒公式呢？
由于一元函数只有一个自变量，但是多元函数有多个自变量， 为此我们将一元函数的泰勒公式换成一种有利于推广到多元函数的 形式．
10-2
m d m m d f ( x) ( m) m 若记 h x x0 ， h f ( x) h ， f ( x )( x x ) 0 m dx dx
10-9
例 9.8.1 求二元函数 z f ( x, y) x y 在 1,1 处带有佩亚诺型余项的二 阶泰勒公式，并由它近似计算1.11.02 的值．
解
( x, y ) y ( y 1) x y 2 ， f x( x, y ) yx y 1 , f y( x, y ) x y ln x, f xx ( x, y ) f yx ( x, y ) x y 1 yx y 1 ln x, f yy ( x, y ) x y (ln x) 2 ． f xy
10-3
定理 9.8.1 （二元函数的泰勒公式）设二元函数 z f ( x, y) 在点 的某邻域内具有直到 n +1 阶的连续偏导数， 则对该邻域内 P 0 x0 , y0 的任一点 ( x0 h, y0 k ) 有
f ( x0 h, y0 k )=f ( x0 , y0 ) h 1 k 2 f ( x0 , y0 ) h k 2 f ( x0 , y0 ) x y 2! x y 1 1 h k n f ( x0 , y0 ) h k n1 f ( x0 h, y0 k ), n! x y (n 1)! x y
(9.8.4)
其中 F (0) f ( x0 , y0 ), F (1) f ( x0 h, y0 k ) ，并利用链式法则得
F ( m) (t ) h k m f ( x0 th, y0 tk ), x y m 1,2,, n 1．
10-5