振动和波动计算题及答案

0
解上面两式，可得= 2/32分
由图可知质点由位移为x0=-5 cm和v0< 0的状态到x= 0和v> 0的状态所需时间t= 2s，
代入振动方程得
010cos2(2/3)(SI)
则有22/33/2，∴= 5/122分
故所求振动方程为x0.1cos(5t/122/3)(SI)1分
7.一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为
(1)物体的振动方程；
(2)物体在平衡位置上方5 cm时弹簧对物体的拉力；
(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5 cm处所需要的最短时间．
解：k=f/x=200 N/m，
k/m7.07rad/s2分
(1)选平衡位置为原点，x轴指向下方（如图所示），t= 0时，x0=
10Acos，v0= 0 =-Asin．
(2)质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？
解：(1)势能
1
2
WPkx总能量
2
E
1
2
2
kA
122
由题意，/4
kxkA，
2
A
2
x4.2410m2分
2
(2)周期T= 2/= 6 s
从平衡位置运动到
A
xt为T/8．
2
∴t= 0.75s．3分
11
4.一质点作简谐振动，其振动方程为x=0.24cos(t)(SI)，试用旋转矢量法求出
dy/dt2Asin(2t)01分
1
所以2t/2，2t
2
2分
1
x= 0处的振动方程为yAcos[2(tt)]1分
2
1
(2)该波的表达式为yAcos[2(ttx/u)]3分
2
10.一列平面简谐波在媒质中以波速u= 5 m/s沿x轴正向传播，原点O处质元的振动曲线
如图所示．
(1)求解并画出x= 25 m处质元的振动曲线．
13.某质点作简谐振动，周期为2s，振幅为0.06m，t= 0时刻，质点恰好处在负向最大位
移处，求
(1)该质点的振动方程；
(2)此振动以波速u= 2 m/s沿x轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动表达式，（以
该质点的平衡位置为坐标原点）；
(3)该波的波长．
2t
解：(1)振动方程)
y0.06cos(0.06cos(t)(SI)3分
(2)t= 3 s时的波形曲线方程
2x
y210cos(/10)，(SI)2分
波形曲线见图2分
y(m)
y(m)
-2
2×10
u
O510152025
x(m)
O
-2
-2×10
1
234
t(s)
(b)
(a)
11.已知一平面简谐波的表达式为y0.25cos(125t0.37x)(SI)
(1)分别求x1= 10m，x2= 25 m两点处质点的振动方程；
的波形曲线如图所示．
(1)写出此波的表达式．
y
(2)求距O点分别为/ 8和3/ 8两处质点的振动方程．
u(3)求距O点分别为/ 8和3/ 8两处质点在t = 0时的振动速度．
O
x
解：(1)以O点为坐标原点．由图可知，该点振动初始条件为
y0Aco s0，
L
v0Asin0
所以
1
2
P
O
x
1
波的表达式为]
yAcos[t(x/u)4分
(2)求x1，x2两点间的振动相位差；(3)求x1点在t = 4s时源自文库振动位移．
解：(1)x1= 10 m的振动方程为
y
10t
0.13cos(1253.7)
x(SI)1分
x2= 25 m的振动方程为
y
x(SI)1分25125t9.
25125t9.
0.25cos(25)
(2)x2与x1两点间相位差
=2-1=-5.55 rad1分(3)x1点在t= 4 s时的振动位移
2
(2)x/8处振动方程为
1
yAcos[t(2/8)]Acos(t/4)1分
2
x3/8的振动方程为
3/81
yAcos[t2]Acos(t/4)1分
2
1
(3)dy/dtAsin(t2x/)
2
t=0，x/8处质点振动速度
1
dy/dtAsin[(2/8)]2A/21分
2
t=0，x3/8处质点振动速度
1
dy/dtAsin[(23/8)]2A/21分
L
解：(1)O处质点的振动方程为cos[()]
yAt2分
0u
xL
(2)波动表达式为yAcos[(t)]2分
-2-2
x1=5×10cos(4t+/3)(SI) ,x2=3×10sin(4t-/6）(SI)
画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程．
-2
解：x2=3×10
sin(4t-/6)-2
=3×10cos(4t-/6-/2)
-2cos(4t-2/3)．
=3×10
作两振动的旋转矢量图，如图所示．图2分
y = 0.25cos(125×4－3.7) m= 0.249 m2分
0.14如图，一平面波在介质中以波速u= 20 m/s沿x轴负方向传播，已知A点的振动方程为
2(SI)．y310cos4t
(1)以A点为坐标原点写出波的表达式；
(2)以距A点5 m处的B点为坐标原点，写出波的表达式．
u
Bx
A
解：(1)坐标为x点的振动相位为
(2)求解并画出t= 3 s时的波形曲线．
y(cm)
2
24 O
t(s)
解：(1)原点O处质元的振动方程为
11
2t
y210cos()，(SI)2分
22
11
2tx波的表达式为)
y210cos((/5)，(SI)2分
22
x= 25 m处质元的振动方程为
1
2t
y210cos(3)，(SI)
2
振动曲线见图(a)2分
解以上二式得A = 10 cm，=0．2分
∴振动方程x= 0.1cos(7.07t)(SI)1分
(2)物体在平衡位置上方5 cm时，弹簧对物体的拉力
f=m(g-a)，而a=-
2x= 2.5m/s2
∴f=4 (9.8－2.5) N= 29.2 N
3分
(3)设t1时刻物体在平衡位置，此时x=0，即
0 =Acost1或cost1=0．
解：由题意x1=4×10cos(2t)(SI)
4
y
-2
x2=3×10
cos(2t)(SI)
2
u
按合成振动公式代入已知量，可得合振幅及初相为
Ot=t′x
2324cos(/2/4)10
22
A4m
-2
=6.48×10
m2分
4sin(/4)3sin(/2)
arctg=1.12 rad2分
4cos(/4)3cos(/2)
(2)设对应于v=12 cm/s的时刻为t2，则由
vAsint
得
1212(4/3)sint，
2
解上式得sint0.1875
2
2
相应的位移为xcos1sin10.8cm3分
A
t2At
2
2.一轻弹簧在60 N的拉力下伸长30 cm．现把质量为4 kg的物体悬挂在该弹簧的下端并
使之静止，再把物体向下拉10 cm，然后由静止释放并开始计时．求
过此位置，但向远离平衡位置的方向运动．试利用旋转矢量法求它们的相位差．
解：依题意画出旋转矢量图．3分
由图可知两简谐振动的位相差为
1
2
．2分
O
AA
/
x
2
A
6. 一简谐振动的振动曲线如图所示．求振动方程．
x(cm)
10
t(s) 2
O
-5-10
解：(1)设振动方程为xAcos(t)
由曲线可知A = 10 cm ,t=0，x510cos，v010sin0
23
质点由初始状态（t = 0的状态）运动到x=-0.12m，v< 0的状态所需最短时间t．
解：旋转矢量如图所示．图3分
由振动方程可得
1
11分
π
，
3
2
t/0.667s1分
t
A
x (m)
-0.24O
0.120.24
-0.12
t=0
A
5.两个物体作同方向、同频率、同振幅的简谐振动．在振
动过程中，每当第一个物体经过位移为A/2的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经
-2
合振动方程为x=6.48×10
cos(2t+1.12)(SI)1分
9.一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅为A，频率为，波速为u．设t=t＇时刻的波形
曲线如图所示．求
(1)x= 0处质点振动方程；
(2)该波的表达式．
解：(1)设x= 0处质点的振动方程为yAcos2(t)
由图可知，t=t＇时yAcos(2t)01分
t4[t(x/u)]4[t(x/u)]4[t(x/20)]2分
2tx
波的表达式为y310cos4[(/20)](SI)2分
(2)以B点为坐标原点，则坐标为x点的振动相位为
x5
t4[t](SI)2分
20
2x
波的表达式为)]
y310cos[4(t(SI)2分
20
0.15一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅和角频率分别为A和，波速为u，设t= 0时
振动和波动计算题
1..一物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是12 cm，在距平衡位置6 cm处速度是24 cm/s，
求
(1)周期T；
(2)当速度是12 cm/s时的位移．
解：设振动方程为xAcost，则vAsint
(1)在x= 6 cm，v= 24 cm/s状态下有
612cost
2412sint
解得4/3，∴T2/3/2s2.72s2分
由图得：合振动的振幅和初相分别为
A=(5-3)cm = 2 cm，=/3．2分-2
合振动方程为x=2×10
cos(4t+/3)(SI)1分
A
1
A
x O
A
2
8.两个同方向的简谐振动的振动方程分别为
-2-2
11
x1=4×10
cos2(t)(SI),x2=3×10cos2(t)(SI)
84
求合振动方程．
-2
2
12.如图，一平面简谐波沿Ox轴传播，波动表达式为yAcos[2(tx/)](SI)，
求
(1)P处质点的振动方程；
(2)该质点的速度表达式与加速度表达式．
解：(1)振动方程yPAcos{2[t(L)/]}
Acos[2(tL/)]2分
(2)速度表达式vP2Asin[2(tL/)]2分
22AtL
加速度表达式aP4c os2[(/)]1分
0
2
(2)波动表达式y0.06cos([tx/u)]3分
1
0.16cos[(tx)](SI)
2
(3)波长uT4m2分
14.Oxu如图所示，一平面简谐波沿轴的负方向传播，波速大小为，
若P处介质质点的振动方程为yAcos(t)
P
(1)O处质点的振动方程；
，求
P
Lu
O
x
(2)该波的波动表达式；
(3)与P处质点振动状态相同的那些点的位置．
5cmO
∵此时物体向上运动，v< 0
∴t1=/2，t1=/2= 0.222 s
x
1分再设t2时物体在平衡位置上方5 cm处，此时x=-5，即
-5 =Acost1，cost1=－1/2
3.一质点作简谐振动，其振动方程为
11
2t
x6.010cos()(SI)
34
(1)当x值为多大时，系统的势能为总能量的一半？