高中数学竞赛辅导

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高中数学奥赛赛前辅导

第一讲集合与函数综合问题例1、数集M 由2003个不同的实数组成，对于M 中任何两个不同的元素a 和b，数2a +M 中任何一个数a，（2003年俄罗斯数学奥林匹克试题）分析：欲证证明：设a ，b ，c 是数集M 中任意三个两两不同的元素，由题设知2222a b c c ++++都是有理数，于是22((()(1(2)2a b a b a b +-+=-+= 是有理数．22((c c +-+=是有理数，从而1(2)2是有理数，进而11((22=+是有理数．例2、称有限集S 的所有元素的乘积为S 的“积数”．给定数集111,,,.23100M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭求数集M 的所有含偶数个元素的子集的“积数”之和．分析：数集M 的所有子集的积数之和为111(1)(1)(1)1.23100+++- 设数集M 的所有含偶数个元素的子集的积数和为x ，所有含奇数个元素的子集的积数之和为y ，则111(1)(1)(1) 1.23100x y +=+++- 只需再建立一个关于x ，y 的方程，就可解出x ，y ．解答：设数集M 的所有含偶数个元素的子集的积数之和为x ，所有含奇数个元素的子集的积数之和为y ，则111(1)(1)(1)1,23100111(1)(1)(1)1,2310099,299.1004851.200x y x y x y x y x +=+++--=----+=-== 又所以解得例3、设集合S n ={1，2，…，n}．若X 是S n 的子集，把X 中的所有数的和称为X 的“容量”（规定空集的容量为0）．若X 的容量为奇（偶）数，则称X 为S n 的奇（偶）子集．（1）求证：S n 的奇子集与偶子集个数相等；（2）求证：当n ≥3时，S n 的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等；（3）当n ≥3时，求S n 的所有奇子集的容量之和．（1992年全国高中数学联赛试题）分析：要证明两个集合的元素的个数一样多，一种方法是直接把这两个集合的元素个数算出来，另一种方法是在这两个集合之间建立一个一一对应．本题我们将用后一种方法来解．解答：（1）设A 是S n 的任一奇子集，构造映射f 如下：{1},1;{1},1.A A A A A A -∈∉ 若若（注：A —{1}表示从集合A 中去掉1后得到的集合）所以，映射f 是将奇子集映为偶子集的映射．易知，若A 1，A 2是S n 的两个不同的奇子集，则f （A 1）≠f （A 2），即f 是单射．又对S n 的每一个偶子集B ，若1∈B ，则存在A =B \{1}，使得f （A ）=B ；若1B ∉，则存在{1},A B = 使得f （A ）=B ，从而f 是满射．所以，f 是S n 的奇子集所组成的集到S n 的偶子集所组成的集之间的一一对应，从而S n 的奇子集与偶子集个数相等，故均为11222n n -= 个．（2）设a n (b n )表示S n 中全体奇（偶）子集容量之和．若n (≥3)是奇数，则S n 的奇子集由如下两类：（1）S n －1的奇子集；（2）S n －1的偶子集与集{n }的并，于是得a n =a n －1＋（b n －1＋n ²2n －2）， ①又S n 的偶子集可由S n －1的偶子集和S n －1的奇子集与{n }的并构成，所以b n = b n －1＋（a n －1＋n ²2n －2）， ② 由①，②，便得a n = b n ．若n （≥4）是偶数，同上可知a n =a n －1＋（a n －1＋n ²2n －2），b n = b n －1＋（b n －1＋n ²2n －2），由于n －1是奇数，由上面已证a n －1= b n －1，从而a n = b n ．综上即知，a n = b n ，n =3，4…（3）由于S n 的每一个元素均在2n －1个S n 的子集中出现，所以，S n 的所有子集容量之和为2n －1（1＋2＋…＋n ）=2n －2n （n ＋1)．又由（2）知，a n =b n ，所以2312(1)2(1).2n n n a n n n n --=+=+说明（2）的证明中，建立了递推关系．这也是解决“计数”问题的一个有效方法．例4、设A 是集合S ={1，2，…1000000}的一个恰有101个元素的子集．证明：在S中存在数t 1，t 2，…t 100，使得集合{|},1,2,,100j j A x t x A j =+∈= 中，每两个的交集为空集．（2003年国际数学奥林匹克试题）证明：考虑集合D ={x －y |x ，y ∈A },则||≤101100110101.D ⨯+=若i j A a ≠∅ ，设i j a A A ∈ ，则a =x ＋t i ，a=y ＋t j ，其中x ，y ∈A ，则t i －t j =y －x ∈D ．若t i －t j ∈D ，即存在x ，y ∈A ，使得t i －t j =y －x ，从而x ＋t i = y ＋t j ，即.i j A A ≠∅ 所以，i j A A ≠∅ 的充要条件是t i －t j ∈D ．于是，我们只需在集合S 中取出100个元素，使得其中任意两个差都不属于D ．下面用递推方法来取出这100个元素．先在S 中任取一个元素t 1，再从S 中取一个t 2，使得122{|}.t t D t x x D +=+∈∈这是因为取定t 1后，至多有10101个S 中的元素不能作为t 2，从而在S 中存在这样的t 2．若已有k (≤99)个S 中的元素t 1，t 2，…，t k 满足要求，再取t k ＋1，使得t 1，…，t k 都不属于t k ＋1＋D ={ t k ＋1＋x |x ∈D }，这是因为t 1，t 2，…，t k 取定后，至多有10101k ≤999999个S 中的数不能作为t k ＋1，故在S 中存在满足条件t k ＋1．所以，在S 中存在t 1，t 2，…，t 100，其中任意两个的差都不属于D ．综上所术，命题得证．说明：条件|S |=106可以改小一些．一般地，我们有如下更强的结论：若A 是S ={1,2,…，n }的k 元子集，m 为正整数，满足条件n >(m －1)2(1),KC +则存在S 中的元素t 1，…，t m ，使A j ={x ＋t j |x ∈A }，j =1,…m 中任意两个的交集为空集．例5、求函数y x =+的值域．（2001年全国高中数学联赛试题）≥0y x =-，所以 x 2－3x ＋2=y 2－2xy ＋x 2，即（2y －3）x =y 2－2．由上式知232,.223y y x y -≠=-且由222000022000002000002000002≥2332(1)(2)≥0,≥0.23231≤≥ 2.22[2,),,232(2)22≥0,2323≥2,32≥0,231,,,2231y y y x y y y y y y y y y y y x y y x y y x x x y x y y x y x -=--+----<-∈+∞=----=-=---+=-⎡⎫∈=⎪⎢-⎣⎭-得所以或又任取令则故所以且任取令则2200002(1)1≤0,2323y y y y --=-=--故x 0≤1，于是2000032≥0,x x y x -+=+且综上，所求的函数的值域为31,[2,).2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭说明：我们先求出了y 的范围31,[2,)2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ ，这是不是函数的值域呢？第二部分说明了对于31,[2,)2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 中的任意一个数y 0，总存在一个x 0，使得00y x =+就证明了函数的值域是31,[2,).2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例6、求(31)(21)y x x =-+-的图象与x 轴的交点坐标．分析：仔细观察所给的式子，发现(31)(21)y x x =-+-，从而找到了解题途径．解答：因为(31)(21)y x x =-+-，令()1)f t t =，易知f (t )是奇函数，且f (t )是严格递增函数．所以y =f (3x －1)＋f (2x －3)．当y=0时，f (3x －1)=－f (2x －3)=f (3－2x )，所以3x －1=3－2x ，解得4.5x =故图象与x 轴的交点坐标为（4,05）．例7、设a >0，211().ax r x ax x x+==+讨论函数r (x )在（0，＋∞）中的单调性、最小值与最大值．解答：先讨论它的单调性．设0<x 1<x 2<＋∞212121211212212112212212212112212111()()()()1()()0≤,1()()()()1()()≤0;,1()()()()1()()≥0,r x r x ax ax x x x x a x x x x r x r x x x a x x x x a x x x r x r x x x a x x x x a x -=+-+=--<<-=--<--<-=-->--当有时有所以，在⎛ ⎝上，r (x )是严格递减的；在⎫+∞⎪⎭上，r (x )是严格递增的．由此可知，r (x )没有最大值；当且仅当x 时，r (x )取最小值说明：此题的结论非常重要，许多问题最后可化归为讨论函数1()(())ar x ax r x x x x=+=+或的增减性来解．例8、设二次函数f (x )=ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R ，a ≠0)满足条件：（1）当x ∈R 时，f (x －4)=f (2－x )，且f (x )≥x ；（2）当x ∈（0，2）时，21()≤();2x f x +（3）f (x )在R 上的最小值为0．求最大的m (m >1)，使得存在t ∈R ，只要x ∈[1，m ]，就有f (x ＋t )≤x ．（2002年全国高中数学联赛试题）分析：先根据题设条件（1），（2），（3），把f (x )的解析式求出来，进而再确定m 的最大值．解答：由f (x －4)=f (2－x )，t ∈R ，可知二次函数f (x )的对称轴为x =－1．又由（3）知，二次函数f (x )的开口向上，即a >0，故可设f (x )=a (x +1)2(a >0)由（1）知f (1)≥1，由（2）知f (1)≤211()12+=，所以f (1)=1，故2211(11),.41()(1).4a a f x x =+==+所以因为21()(1)4f x x =+的图象开口向上，而y =f (x +t )的图象是由y =f (x )的图象平移|t |个单位得到．要在区间[1，m ]上，使得y =f (x +t )的图象在y =x 的图象的下方，且m 最大，则1和m 应当是关于x 的方程21(1)①4x t x ++=的两个根．令x =1代入方程①，得t =0或t =－4．当t =0时，方程①的解为x 1=x 2=1（这与m >1矛盾！）；当t =－4时，方程①的解为x 1=1，x 2=9．又当t =－4时，对任意x ∈[1，9]，恒有 2(1)(9)≤0,1(41)≤,4x x x x --⇔-+ 即f (x －4)≤x ．所以，m 的最大值为9．说明：我们由f (x －4)= f(2－x )，x ∈R 导出f (x )的图象关于x =－1对称．一般地，若f (x －a )=f (b －x )，x ∈R ，则()()()(),2222b a b a b a b a f x f x a f b x f x -++-+=+-=--=-故f (x )的图象关于2b ax -=对称．这个性质在解题中常常用到．例9、设f 为R ＋→R ＋的函数，对任意正实数x ，f(3x)=3f(x)，且f (x )=1－|x －2|，1≤x ≤3．求最小的实数x ，使得f (x )=f (2004)．分析：先用递推关系推出函数f (x )的解析式，然后再求解．解答：由已知条件得1,1≤≤2,()3,2≤≤ 3.x x f x x x -⎧=⎨-⎩当3≤x ≤6时，令,3xt =则1≤t ≤2，此时 f (x )=f (3t )=3f (t )=3(t －1) =x －3，即得 f (x )=|x －3|，2≤x ≤6．当6≤x ≤18时，令,3xt =则2≤x ≤6，于是 f (x )=f (3t )=3f (t )=3|t －3|=|x －9|．1,1≤≤2,|3|,2≤≤6,|9|,6≤≤18,|27|,18≤≤54,()|81|,54≤≤162,|243|,162≤≤486,|729|,486≤≤1458,|2187|,1458≤≤4374.x x x x x x x x f x x x x x x x x x -⎧⎪-⎪⎪-⎪-⎪=⎨-⎪⎪-⎪-⎪⎪-⎩所以f (2004)=2187－2004=183．由于162－81<183，486－243>183，而243－162<183，所以，最小的满足f (x )=f (2004)的实数x =243＋183=426．说明：请读者自己证明：不存在实数x ∈（0，1），使得f (x )=183．例10、k 是实数，42421()1x kx f x x x ++=++，对任意三个实数a ，b ，c ，存在一个以f (a )，f (b )，f (c )为三边长的三角形，求k 的取值范围．分析：首先，对于任意实数x ，f (x )要恒大于0．在这个前提下，对任意三个实数a ，b ，c ，f (a )，f (b )，f (c )均能构成一个三角形的三边长，只需2f min (x )>f max (x )即可．解答：首先确定k 的范围，使得f (x )恒大于0，即只需x 4＋kx 2＋1恒大于0即可．当k ≥0时，x 4＋kx 2＋1恒大于0；当k <0时，只需 △=k 2－4<0，即－2<k <0．所以，当k >－2时，f (x )恒大于0．（1）当k =1时，f (x )≡1满足题意．（2）当k >1时，有24222422(1)()1≥1(0),1(1)(1)()1≤1132(1),3k x f x x x x k x k x f x x x x k x -=+=++--=+++++==时等号成立当时等号成立所以，max max 2()1,(),3k f x f x +==从而由三角形的两边之和大于第三边的性质，有221,3k +⨯>解得k <4．故1<k <4满足条件．（3）当－2<k <1时，与（2）类似，有max max 2()1,(),3k f x f x +==由221,3k +⨯>解得1.2k >-故112k-<<满足条件．综上所述，所求的k的取值范围为14. 2k-<<说明：本题的关键是把“对任意实数a，b，c，存在一个以f(a)，f(b)，f(c)为三边长的三角形”这一条件，转化为“2f min(x)>f max(x)”．例11、设N是非负整数集，f：N→N是一个函数，使得对任一n∈N，都有(f(2n＋1))2－(f(2n))2=6f(n)+1，①f(2n)≥f(n)．问：f(N)中有多少元素小于2003？解答：由题设(f(2n＋1)2－(f(2n))2≥1>0，所以f(2n＋1)> f(2n)．又(f(2n＋1)2=(f(2n))2＋6 f(n)＋1<(f(2n)2＋6 f(2n)＋9，所以f(2n＋1)< f(2n)＋3，故f(2n＋1)< f(2n)＋1或f(2n)＋2．而(f(2n＋1)2－(f(2n))2是奇数，所以f(2n＋1)与f(2n)的奇偶性不同，从而f(2n＋1)= f(2n)＋1．代入①式，得f(2n)=3 f(n)．令n=0，f(0)=3f(0)，所以f(0)=0．令n=0代入①式，得f(1)=1，于是f(2)=3 f(1)=3．下面用数学归纳法证明：f是严格递增函数，即证f(n＋1)>f(n)．当n=0，1，2时，命题成立．假设对小于等于n的情形命题成立．则当n=2k(k≥1)为偶数时，有f(n＋1)=f(2k＋1)=f(2k)＋1> f(2k)=f(n)．当n=2k＋1(k≥0)为奇数时，因为0≤k<k＋1≤n，所以f(k＋1)>f(k)，从而f(k＋1)≥f(k)＋1，于是f(n＋1)=f(2k＋2)=3 f(k＋1)≥3 f(k)＋3= f(2k)＋1＋2= f(2k＋1)＋2> f(2k＋1)= f(n)综上，f(n)是严格单调递增函数．显然，f(27)=3 f(26)=…=37 f(1)=2187>2003，而f(127)= f(126)＋1=3 f(63)＋4=9 f(31)＋4=9 f(30)＋13=27 f(15)＋13=27 f(14)＋40=81 f(7)＋40=81 f(6)＋121=243 f(3)＋121=243 f(2)＋364=729 f(1)＋364=1093<2003，所以，共有f(0)，f(1)，f(2)，…，f(127)这128个元素不超过2003．第二讲三角函数及反三角函数例1、化简11(,). cos()cos[(1)]nkk kk kβπαβαβ=≠∈+++∑Z分析：本题目的化简是利用一个递推模型来实现的，即找到这个题目的“源生地”．可先由产生分母cos αcos(α＋β)的正切函数之和入手．sin tan()tan ,cos cos()11[tan()tan ].cos cos()sin βαβαααβαβαααββ+-=+=+-+考查即得到递推模型：1.c o s ()c o s [(1)]1{t a n [(1)]t a n ()}s i n k k k k αβαβαβαββ+++=++-+再求和，即得原式1{tan[(1)]tan()}sin k k αβαββ=++-+．解答：略．例2、不等式22(1)cos (cos 5)3sin 11x x x x θθθ+--+>--+对任何实数x 均成立，求θ．分析：这是一个关于x 的不等式，以解集为全体实数作为背景条件来求参数θ的范围问题．可将θ的正弦（或余弦）值表示成x 的函数f (x )，再利用f (x )的值域，对正弦（或余弦）值的制约去求得θ．解答：将不等式化成222253153sin cos 11153)1.41x x x x x x x x x x x θθπθ++-++-<=+-+-++-<+-+即利用判别式法可求得2531x y x x +=-+的值域为25[1,].3y ∈-)0,4πθ-<从而322,.44k k k πππθπ-<<+∈Z 例3、设,,1,x y z z +∈=R 试求xy ＋2xz 的最大值．分析：这是一个在限定条件下，求多元函数的最值问题．如何将多元函数在限定的条件中转化成单元函数，是破解这一问题的关键．可用三角法代换及平均值去求解．1,,,,z x y z +=∈R 且故可令22sin cos ,z αα=而x=cos 2αsin β，y =cos 2αcos β，其中,0,.2παβ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦于是2222222222222222(2)cos sin (cos sin 2sin )sin (2cos )cos (cos cos 2sin )2cos sin (2cos cos cos )(cos cos 2sin )2cos sin 2cos cos cos cos cos 2sin ≤2cos 2sin .2cos xy xz x y z αβαβαββαβααββαβαβααββαβαβααβββ+=+=+=-+-=-+-⎛⎫-++ ⎪ ⎪-⎝⎭=-222222221tansin ,cos .2112212≤≤1131t t t t t t t t xy xz t tt βββ-===++++==-++令则故当133x y z ===时，取等号．即xy ＋2xz的最大值为3例4、已知θ1＋θ2＋…＋θn =π，θi ≥0(i =1，2，…，n )，求sin 2θ1＋sin 2θ2＋…＋sin 2θn 的最大值．（1985年IMO 预选题）分析：由于变量多，变式的目标难确定，不妨先将问题简单化，即先退到θ1＋θ2为常数时探讨sin 2θ1＋sin 2θ2的最大值的情形．这种策略往往在竞赛题解答中时用到．解答：先考查θ1＋θ2=常数的情形．因为22212121222121212122212121221212212122112sin sin (sin sin )2sin sin 4sin cos cos()cos()222cos (2sin 1)1cos().22,,2sin 10;22,2sin 10;22,2sin 2θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθθθπθθθπθθ+=+-+-=--++-+=-+++++<-<++=-=++>上式中当时时时210.2θ->由此可得出，当122πθθ+<时，θ1与θ2有一个为零时，sin 2θ1＋sin 2θ2有最大值;当122πθθ+=且|θ1－θ2|越小时，sin 2θ1＋sin 2θ2值越大．n =3时，即θ1＋θ2＋θ3=π时，2221239sin sin sin ≤4θθθ++是容易证明的．而n ≥4时，可知θ1、θ2、θ3、θ4中必有两个角和不超过.2π 由前面的结论知，12≤2πθθ+时，sin 2θ1＋sin 2θ2当θ1或θ2=0时，有最大值．于是所求的最大值可转化成三个角的和为π，其正弦值的平方的最大值问题．另一方面n =2时，θ1＋θ2=π，sin 2θ1＋sin 2θ2≤2．因此，sin 2θ1＋sin 2θ2＋…＋sin 2θn 的最大值为9.4且当12345,03n πθθθθθθ======= 时，取等号．例5、如图2．1，△ABC 中，高AD =h ，BC =a ，AC =b ，AB =c ．若a ＋h =b ＋c ，求∠BAC 的范围．分析：许多平面几何中的推导过程可用“三角法”进行转换，尤其是几何不等式的证明问题．经常以正、余弦定理及面积公式等结论作为依据．本题目还要从三角变换及不等式的推理中得出角的范围．解答：由,sin b c a h bc BAC ah +=+⎧⎨∠=⎩得出.sin ahbc BAC =∠令∠BAC =a ．于是由22222222()2cos 22()1(1)sin 1.22sin 2cos 1cos 2sin ,cot 1.221122b c a b c bc a bc bca h a h ah a a h h h a a aαααααα+-+--==+-=-=+-+===+++得故作CE ⊥BC ，使CE =2h ．在Rt △BCE中，有BE =且AE ＋AB =b ＋c =a ＋h ≥BE ．即2≥≤.3h a h a +得出于是41[1,],23h a +∈从而44cot [1,].[2arccot ,].2332BAC απ∈∠∈故例6、n ∈N ＋，x 0=0，x i >0，i =1，2，…n 且11.ni i x ==∑求证1≤.2ni π=<（1996年CMO 试题）分析：所证不等式左侧部分可用2a b+得出．右侧部分可引用θi =arcsin(x 0＋x 1＋…＋x i )，再利用三角公式得出．解答：因11,ni ==∑由平均值不等式，有011≤ 1.2n x x x ++++=故1ni =成立．令θi =arcsin(x 0＋x 1＋…＋x i )，i =0，1…，n ．故101[0,]0.22n ππθθθθ∈=<<<= 且而11111111111sin sin 2cos sin222cos sin.2sin ,[0,],22(cos )()cos .2(1,2,,).cos i i i i i i i i i i i i i i i i i ii i i x x x x x x i n θθθθθθθθθπθθθθθθθθθ-----------+-=-=-<<∈-<=-<-= 利用可知故对上述求和有11101211.cos 2sin ,cos ni n i i i i i x x x x x πθθθθθ-=---<-==++++==∑ 但故代入上式可得出所证不等式右侧成立．例7、如图2．2，锐角△ABC 的外接圆中过A 、B 两点的切线分别与过C 的切线交于V 、T ，且AT ∩BC =P ，BV ∩AC =R ．设AP 、BR 的中点分别是Q 、S ．求证：∠ABQ =∠BAS ，并求当BC ︰CA ︰AB 取何值时，∠ABQ 取最大值．（第41届IMO 预选题）分析：要证∠ABQ =∠BAS ，由条件中的对称性，只要求得∠ABQ 的三角函数值与已知中的△ABC 边及角建立一个结构式即可．作QN ⊥AB 于N ，从cot BNNBQ QN∠=入手，而作PM ⊥AB 于M ，可用BN =BM ＋MN =111(cos )sin 222c BP B QN PM BP B +== 且是解决问题的突破点．解答：作PM ⊥AB 于M ，QN ⊥AB 于N ．记BC =a ，AB =b ，AB =c ，∠A =∠BAC ，∠B =∠CBA ，∠C =∠ACB ．由221sin()sin 2,1sin sin()2ABTACTAB BT C S BP c C c PC S b B b AC CT B ππ-====-又BP ＋CP =a ，故22211.sin ,22ac BP QN PM BP B b c===+而于是 2222222222221()21()21(cos ),2cot cot cot sin sin cos 2sin sin 3.2sin BN BM MN BM AB BM BM AB c BP B BN c b c ABQ B B QN BP B ac Ba cb ac b c ac B b c ac ac B ab C a b c ab C=+=+-=+=++∠==+=++-++++==+-=同理可得出2223cot 2sin a b c BAS ab C++∠=故∠ABQ =∠BAS ．2222222223cot 2sin 3(2cos )2sin 2()43cot ≥3cot .sin sin 43cot ,sin 43cos sin )≤.a b c ABQ ab Ca b a b ab C ab C a b C C ab C C y C CC y C C θθ++∠=+++-=+=---=+=-⎫=由记=于是解得≥,y即≤ABQ ∠当且仅当a =b ，3arccos ,4C ∠=即BC ︰CA ︰AB1时取等号．第三讲等差数列与等比数列例1、给定正整数n 和正数M ，对于满足条件2211≤n a a M ++的所有等差数列a 1，a 2，a 3，…，试求S= a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 2n ＋1的最大值．分析：本题属于与等差数列相关的条件最值问题，而最值的求解运用的方法灵活多样，针对条件的理解不同，将有不同的解法．解答：方法一（代数法）．设公差为d ，a n ＋1=a ，则1221222211222(1)(1),2,21,≥()41()(43)102104≥(),101n n n n n n S a a a n d nd S n M a a nd nd nd S n αααααα+++++=+++=+++=++=-+=++-+ 所以另一方面由从而有||≤1)S n d α+且当时，(1)2(1)n S n n n ⎛=+⎭=+=+由于此时有22211443,(),101n S nd a a M n α+=+==+故因此max S n =+122112111()(1)21(3)21(3sin cos )21)sin(),n n n n n n S a a a a a n n a a n r n r θθθϕ++++++=+++++=+=-+=-=+- 故其中cos sin()1,rϕϕθϕ==-=因此当时，有max2S n=+方法三（判别式法）．设首项为a，公差为d，则221122222222(1)(23).222.①3(1)3≤,()≤.②①②,44109≤0.③1(1)③,444109≥0.1(1),||≤1),10nn andSSnd ana a Ma a nd MS Sa a Mn naS SMn nS nad+++==-++++++-++⎡⎤⎛⎫=-⨯⨯-⎢⎥⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦+=-=故因为所以将代入得因为不等式关于有解所以解之得且当max,10nS=有方法四（不等式法）．因为111112222211111122111111max(1)(1)21(3).2,(3)≤(31)()≤10,3≤1,,,nnnn nnnnna an nS n anna aa a a a Ma aa a Ma aa aS+++++++++-+=+++=--++--=+====由柯西不等式得所以3等号当且仅当时取到即有说明：这是1999年全国高中数学联赛的一道试题，在解答过程中，要分清什么是常量，什么是变量，注意条件和结论的结构形式．解法一通过配方来完成，解法二运用三角代换的方法，解法三运用二次方程根的判别式来完成，解法四则主要运用了柯西不等式．本题入口宽，解法多样，对培养学生的发散思维能力很有好外．例2、n 2(n ≥4)个正整数排成几行几列：a 11 a 12 a 13 a 14 … a 1n a 21 a 22 a 23 a 24 … a 2n a 31 a 32 a 33 a 34 … a 3n … …a n 1 a n 2 a n 3 a n 4 … a nn其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知2442431122131,,,.816nn a a a a a a ===+++ 求分析：由于等差数列可由首项与公差惟一确定，等比数列可由首项与公比惟一确定，如果设a 11=a ，第一行数的公差为d ，第一列数的公比为q ，容易算出a st =[a ＋(t －1)d ]q s －1，进而由已知条件，建立方程组，求出a ，d ，q ．解答：设第一行数列公差为d ，各列数列公比为q ，则第四行数列公差是dq 3．于是可得方程组：24113421134342(3)1,1(),83,16a a d q a a d q a a dq ⎧⎪=+=⎪⎪=+=⎨⎪⎪=+=⎪⎩解此方程组，得111.2a d q ===±由于所给n 2个数都是正数，故必有q >0，从而有111.2a d q ===故对任意的1≤k ≤n ，有111112323412311[(1)].2123,22221123,22222:11111,2222222.22k k kk k k n n n n n n ka a q a k d q nS nS n S n nS --++-==+-==++++=++++=+++++=-- 故又两式相减后可得所以说明：这是1990年全国高中学数学联赛的一道试题，涉及到等差数列、等比数列、数列求和的有关知识和方法．通过建立方程组确定数列的通项；通项确定后，再选择错位相减的方法进行求和．例3、设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项之和．（1）证明：21lg lg lg ;2n n n S S S +++<（2）是否存在常数C >0，使得21lg()lg()lg()2n n n S C S C S C ++-+-=-成立？并证明你分析：对于问题（1），运用对数的性质将所证不等式转化为221,n n n S S S ++<运用等比数列求和公式时，要分q =1和q ≠1两种情况讨论；对于问题（2），充分运用已知条件，进行分析论证，可先假设存在常数C >0，使所证等式成立，然后设法推出矛盾．如果不能推出矛盾，再逆推来考虑常数C >0的存在性．解答：（1）证明：设{a n }的公比为q ，由已知得a 1>0，q >0．（i ）当q =1时，S n =na 1，从而2222211111(2)(1)0.n n n S S S na n a n a a ++-=+-+=-<即有221.n n n S S S ++<（ii ）当q ≠1时，1(1)1n n a q S q-=-，所以22212221121122(1)(1)(1)0.(1)(1)n n n nn n n a q q a q S S S a q q q ++++----=-=-<--由（i ）与（ii ）知，221n n n S S S ++<恒成立，又由于S n >0，两边取常用对数即得21lg lg lg .2n n n S S S +++<（2）不存在．要使21lg()lg()lg()2n n n S C S C S C ++-+-=-成立，则有221()()(),0.n n n nS C S C S C S C ++⎧--=-⎪⎨->⎪⎩ 分两种情况讨论：（i ）当q =1时221211121()()()()[(2)][(1)]0,n n n S C S C S C na C n a C n a C a ++----=-+--+-=-<即不存在常数C >0使结论成立．（ii ）当q ≠1时，若条件(S n －C ) (S n ＋2－C )= (S n ＋1－C )2成立，则(S n －C ) (S n ＋2－C )－ (S n ＋1－C )222111111(1)(1)(1)111[(1)]0,n n n n a q a q a q C C C q q q a q a C q ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤---=----⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=--= 因a 1q n ≠0，故只能有a 1－C (1－q )=0，即11a C q=-，此时由于C >0，a 1>0，必有0<q <1．但当0<q <1时，110,11nn n a a q S C S q q--=-=<--不满足S n －C >0，即不存在常数C >0，使结论综合（i ）、（ii ）可得，不存在常数C >0，使得21lg()lg()lg()2n n n S C S C S C ++-+-=-成立．说明：这是1995年的一道全国高考试题，主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识和推理论证能力以及分析和解决问题的能力．其中第（2）问属探索性问题．探索性问题对数学思想方法的运用以及分析问题、解决问题的能力要求更高，探索性问题是高考与竞赛的热点问题．第（2）问还可以用反证法进行如下证明：假设存在常数C >0，使21lg()lg()lg(),2n n n S C S C S C ++-+-=-12221221210,①0,②0,③()()(),④④(2),⑤n n n n n n n n n n n n S C S C S C S C S C S C S S S C S S S ++++++++⎧->⎪->⎪⎨->⎪⎪--=-⎩-=+-则有由得根据平均值不等式及①、②、③、④知212112()()2()≥2()0,n n n n n n n S S S S C S C S C S C ++++++-=-+----=因为C >0，故⑤式右端非负，而由第（1）问证明知，⑤式左端小于零，矛盾．故不存在常数C >0，使得21lg()lg()lg()2n n n S C S C S C ++-+-=-成立．例4、如图3．1，有一列曲线P 0，P 1，P 2，…，已知P 0所围成的图形是面积为1的等边三角形，P k ＋1由对P k 进行如下的操作得到：将P k 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k =0，1，2，…）．记S n 为P n 所围成图形的面积．（1）求数列{S n }的通项公式；（2）求lim .n n S →∞分析：这是一道有关几何图形的操作性问题．采用从特殊到一般的思考方法，便容易入手．解答：如图，对P 0进行操作，容易看出P 0的每条边变成P 1的4条边，故P 1的边数为3³4，同样，对P 1进行操作，P 1的每条边变成P 2的4条边，故P 2的边数为3³42．类似地，容易得到P n 的边数为3³4n ．已知P 0的面积为S 0=1，比较P 1与P 0，容易看出P 1在P 0的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为213，故1021131.33S S =+⨯=+再比较P 2与P 1，可知P 2在P 1的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为221133⨯，面P 1有3³4条边，故2143114341.333S S =+⨯⨯=++类似地有22326351144341.3333S S =+⨯⨯=+++于是猜想2135211211114441333343411493441()399144193483411()().①59559n n n kk nn k k k n n n S ----===+++++⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=+⨯-⎡⎤=+-=-⨯⎢⎥⎣⎦∑∑ 下面用数学归纳法证明①式．当n =1时，由上面已知①式成立．假设n =k 时，有834().559k k S =- 当n =k ＋1时，易知第k ＋1次操作后，比较P k ＋1与P k ，P k ＋1在P k 的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为2(1)13k +，而P k 有3³4k 条边，故12(1)12(1)13434834.5593k k k k k kk k S S S ++++=+⨯⨯⎛⎫=+=-⨯ ⎪⎝⎭综上，由数学归纳法①式得证．8348(2)lim lim .5595n n n n S →+∞→+∞⎡⎤⎛⎫=-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦说明：本题是2002年全国高中数学联赛的第14题，这类问题的一般解题过程是：实验——归纳——猜想——论证，主要考查学生探索能力．例5、设a 0为常数，且a n =3n －1－2a n －1(n ∈N ＋) （1）证明：对任意n ≥1，101[3(1)2](1)2;5n n n n n n a a -=+-+-（2）假设对任意n ≥1有a n >a n －1，求a 0的取值范围．分析：本题中数列{a n }由递推关系确定，第一问可以用数学归纳法给予证明，也可以将数列{a n }转化为等比数列直接计算，第二问要对n 进行讨论．解答：（1）证法一：（i ）当n =1时，由已知a 1=1－2a 0，等式成立；（ii ）假设当n =k （k ≥1）等式成立，即101110111101[3(1)2](1)2,53223[3(1)2](1)251[3(1)2](1)2,5k k k k k k k k kk k k k k k k k k k k a a a a a a -+-+++++=+-+-=-=-+---=+-+- 则也就是说，当n =k ＋1时，等式也成立．根据(i)和(ii)，可知等式对任何n ∈N ＋成立．证法二：如果设a n －λ3n =－2(a n －1－λ3n －1)，用a n =3n －1－2a n －1代入，可解出1.5λ=所以135n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ 是公式比为－2，首项为135a -的等比数列．所以10120133(12)(2)(),551[3(1)2](1)2.5n n n n n n n n a a n a a -+--=---∈=+-+-N 即（2）解法一：由a n 通项公式得11111023(1)32(1)32,5n n n n n n n a a a -----⨯+-⨯⨯-=+-⨯所以a n >a n －1(n ∈N ＋)等价于1203(1)(51)()()2n n a n --+--<∈N（i ）当n =2k －1，k =1，2，…时，①式即为222302303(1)(51)(),2131(),525k k k a a -----<<+即上式对k =1，2，…都成立，故有101311().5253a -<⨯+=（ii ）当n =2k ，k =1，2，…时，①式即为212202203(1)(51)(),2131().525k k k a a -----<>-⨯+即为上式对k =1，2，…都成立，有2120131()0.525a ⨯->-⨯+=综上，①式对任意n ∈N ＋成立，有010,3a <<故a 0的取值范围为1(0,).3解法二：如果a n >a n －1(n ∈N ＋)成立，特别取n =1、2有a 1－a 0=1－3a 0>0，a 2－a 1=6a 0>0，因此010.3a <<下面证明当0103a <<时，对任意n ∈N ＋，有a n －a n －1>0．由a n 通项公式知：5(a n －a n －1)=2×3n －1＋(－1)n －1³3³2n －1＋(－1)n ³5³3³2n －1a 0． (i)当n =2k －1，k =1，2，…时，5(a n －a n －1)=2×3n －1＋3³2n －1－5³3³2n －1a 0>2×2n －1＋3³2n －1－5³2n －1 =0．(ii)当n =2k ，k =1，2，…时，5(a n －a n －1)=2×3n －1－3³2n －1＋5³3³2n －1a 0>2×3n －1－3³2n －1 ≥0．故a 0的取值范围为1(0,).3说明：本题是2003年全国高考的最后一道压轴题，有一定难度．特别是第二问求参数a 0的取值范围，要转化为相关数列的最大值和最小值来进行分析讨论，请读者对这一方法务必理解透彻．例6、设{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且22211223312,,()b a b a b a a a ===<,又12lim ()2,n n b b b →+∞+++= 试求{a n }的首项与公差．分析：题中有两个基本量{a n }中的首项a 1和公差d 是需要求的，利用222123,,a a a 成等比数列和给定极限可列两个方程，但需注意极限存在的条件．解答：设所求数列{a n }的公差为d ，因为a 1<a 2，故d =a 2－a 1>0．又{b n }为等比数列，故2422213213,,b b b a a a == 即即422111()(2),a d a a d +=+化简得2211240a a d d ++=，解得1(2,20,d a =--±<而故a 1<0．若222121(2,1);a d a q a =-==则若222121(2,1),a d a q a =-==-则但12lim ()1n n b b b →+∞+++= 存在，故|q |<1，于是21)q =不可能．从而只有1(2,d a =-于是由212lim ()1,n n b b b →+∞+++== 得21a =111)2,(2 2.a d a ===-+=所以故数列{a n }的首项公差分别为 2.说明：本题是2001年全国高中数学联赛的第13题，涉及到的知识主要是等差数列、等比数列、无穷递缩等比数列所有项的和等知识，用到方程的思想和方法，且在解题过程中要根据题意及时取舍，如由题意推出d >0，a 1<0，|q |<1等，在解题中都非常重要．例7、设S ={1，2，3，…，n }，A 为至少含有两项的、公差为正的等差数列，其项都在S 中，且添加S 的其他元素于A 后均不能构成与A 有相同公差的数列，求这种A 的个数（这里只有两项的数列也看作等差数列）．[分析]：可先通过对特殊的n (如n =1，2，3)，通过列举求出A 的个数，然后总结规律，找出a n 的递推关系，从而解决问题；也可以就A 的公差d =1，2，…，n －1时，讨论A 的个数．解答：解法一：设A 的公差为d ，则1≤d ≥n －1，分两种情况讨论：（i ）设n 为偶数，则当1≤≤2n d 时，公差为d 的A 有d 个；当1≤≤12nd n +-时，公差为d 的A 有n －d 个，故当n 为偶数时，这种A 共有2(12){12[(1)]}().224n n n n +++++++-+= 个（ii ）当n 为奇数，则当1≤≤2n d 时，公差为d 的A 有d 个；当1≤≤12n d n +-时，公差为d 的A 有n －d 个，故当n 为奇数时，这种A 共有2111(12)(12)().224n n n ---+++++++= 个综合（i ）、（ii ）可得，所求的A 有2[]4n 个．解法二：设n 元素集S ={1，2，…，n )中满足题设的A 有a n 个，则a 1=0，a 2=1，a 3=2（A ={1，3}，A ={1，2，3}），a 4=4(A={1，3}，{1，4}，{2，4}，{1，2，3，4})，故1[].2n n na a -=+事实上，S ={1，2，…，n }比S ={1，2，…，n －1}的A 增加有公差为n －1的1个，公差为n －2的1个，…，公差为2n （n 为偶数）或12n +（n 为奇数）的增加1个，共增加[]2n个．由{a n }的递推式可得2[].4n n a =说明：这是1991年全国高中数学联赛第二试的第一题，主要考查应用等差数列和分类讨论的知识与方法解决综合问题的能力．第四讲递归数列例1、数列{a n }定义如下：1111,(1416n n a a a +==+求它的通项公式．分析：带根号的部分不好处理，容易想到作代换：令n b =解答：设n b 211, 5.24n n b a b -==于是原递推式可化为2211111(14),241624n n n b b b +---=++ 即(2b n ＋1)2=(b n +3)2，由于b n 、b n ＋1非负，所以2b n ＋1=b n +3，故111222113(3),213(3)(),213(),21111.243322n n n n n n n n n n b b b b b b a +----=--=-=+-==++ 故即故说明：这是1981年IMO 的预选题，解题的关键是换元、转化．例2、设数列{a n }和{b n }满足a 0=1，b 0=0，且11763,()87 4.n n n n n n a a b n b a b ++=+-⎧∈⎨=+-⎩N 证明： a n (n ∈N )是完全平方数．分析：二元递推式给定二数列，可先消元，化为一元递推式，进而求出通项公式，问题就好办了．证明：由a n ＋1=7a n ＋6b n －3，b n ＋1=8a n ＋7b n －4可得b n ＋2－14b n ＋1＋b n =0，其特征方程λ2－14λ＋1=0的根为λ1=7＋27λ=-因此，(7(7,n n n b A B =++-由a 0=1，b 0=0，得b 1=4，所以0,(7(74,A B A B +=⎧⎪⎨++-=⎪⎩解得66A B ==，故10112220112220(7],1(74)8111(7(744211[(2(2].2211(2(2221[222]21[222(]22n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b a b b e C C C C C C C C C +----=+--=-+=++-+=+=+=++++-++=+ 从而由于2223,n n n C M -++其中，当n为偶数时，n n n nM C =为整数，当n为奇数时，11n n n n M C --=为整数．从而无论n 为奇数，还是n 为偶数，对n ∈N ，均有e n 为整数，故a n 为完全平方数．说明：如果消去b n 得到a n 的递推关系a n ＋1=14a n －a n －1－6(n ≥1)，则求a n 的过程稍微麻烦一点．本题是2000年全国高中数学联赛二试第二题．这类题型也是二试考查的重点．例3、数列{a n }定义如下：1212110,1,(1)(1)(1),222n n n n na a a na n n a --===+-+--n ≥3．试求1221122123(1)n n n n nn n n n n f a C a C a n C a nC a ----=++++-+ 的最简表达式．分析：仔细研究所给数列{a n }的递推式和所要化简的f n 的表达式，可以发现通过适当换元就能解决问题．123121111111211112:,0,,,()(1).!232!111(1)!!()!21(1)!()!22(1)!(1)!n n n n n n n nn kn n n k kk k n nn n k kk k k k k n a b b b b b b b n n n k g f n k C a b n n n k n k n k g g b b n k n k n k n k b b n k n k ---==++==-=-=====++--+==-+=--+-+-=-+---+-+=-+--+∑∑∑∑ 解答令则且再令故121122().(1)!n nk n k k k n k b b n k +=+-=-+=-+-∑∑∑令d n =(－2)n(b n －b n －1)，则12(1),2!nn n n d d n -=+-所以d ２=2，且3222(1),2!!l nnn t l d l n ==+-=∑1112122112202(1),,!(2)(2)!2(1)(1)!!(1)(1)()!!(1)!!111(1)()(1)().!(1)!1(1)()0,(1)()0,nnnn n n n kn n n k k knn k k n n k k k k nkk k k d b b n n n k g g n k k n k k n k k n n k k n n nn k k -++=+==++===--===---+--=+---=+-+-+=-+-++-=-=∑∑∑∑∑∑因此于是又故11323344311(1)[1(1)]!(1)!11(1)!(1)!42,311!!()(2)!!111!()2!(1).2!3!!n n n n nn n k k g g n n n n n n g b b f n g n g k k n n g n n n +=+==-=----++=--+=+===-+-+=++-=-+∑∑∑ 由于则说明：这是2000年全国数学冬令营的第二题，运算量大，需要进行多次换元，将问题逐步转化．解题过程要求运算准确、细心．例4、设a 1=1，a 2=3，对一切自然数n 有a n ＋2=(n ＋3) a n ＋1－(n ＋2) a n ，求所有被11整除的a n 的值．解答：设b n ＋1= a n ＋1－a n (n ≥1)，则由条件有b n ＋1=(n ＋1)( a n －a n －1)= (n ＋1) b n (n ≥2)，故b n =nb n －1=n (n －1) b n －2=…= n (n －1)…3b 2=n ! (n ≥2)．所以a n =( a n －a n －1)＋( a n －1－a n －2)＋…＋( a 2－a 1)＋a 1=b n ＋b n －1＋…＋b 2＋1=1!.nk k =∑由此可算出：44188110101!33113,!46233114203,!403791311367083.k k k a k a k a k ======⨯===⨯===⨯∑∑∑当n ≥11时，注意到11!n k k =∑可被11整除，因而10111!!nn k k a k k ===+∑∑也可被11整除．故当n =4，n =8或n ≥10时，a n 均可被11整除．说明：这是1990年巴尔干地区的数学奥林匹克试题，本题中换元起了重要的作用．例5、数列{a n }按如下法则定义：1111,,24n n n a a a a +==+证明：对n >然数．分析：因为结论中涉及到根号及2n a项，因而令n b =平方就容易找到解题思路．解答：令2222122221111,,,2442116n n nnn n n na b b a a a b a +===+=++-则因为于是 22122221222211122211111111(),11242416()22(2),2[2(2)2]4(1).①n n nn n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b +++---+=++++=+=++=+即所以因为34,24,n b b ====由①式及b 2，b 3∈N 知，当n >1时，b n ∈N ．说明：这是1991年全苏数学冬令营的一道试题，通过换元，将关于a n 的问题转化为关于b n 的问题，可使问题得到顺利解决．例6、设数列{a n }满足101262,(≥1)1n n n a a a n a --+==+，求a n ．分析：引入待定系数λ，设法将所给问题转化为我们所熟悉的问题．先求得数列{a n }的不动点λ1、λ2，则数列12{}n n a a λλ--为一个等比数列．解答：126(2)626(),1112n n n n n n n a a a a a a λλλλλλλ++-+----=-==++++- 令62λλλ--=-，得λ2－λ－6=0，解之得：λ1=3，λ2=－2，1111100111143(3),2(2),11331,24231{},243311()(),2244342(1)(0,1,2,)4(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a a a n ++++++++--=-+=+++--=-++-+--=-=-+++-==+- 所以故即是公比为-的等比数列从而故说明：用待定系数法求一些数列的通项是非常有效的．这类问题的一般情形就是在知识梳理部分提到的第9个问题．例7、（1）已知a 1=0，a 2=4，a n ＋2=2a n ＋1－2a n ，n ∈N ＋，求a n ．（2）已知a 1=0，a 2=2，a 3=6，a n ＋3=2a n ＋2＋a n ＋1－2a n ，n ∈N ＋，求a n ．（3）已知a 1=1，a 2=2，a 3=8，a n ＋3=6a n ＋2－12a n ＋1＋8a n ，n ∈N ＋，求a n ．（4）已知a 1=2，a 2=1，a 3=－13，a n ＋3=7a n ＋2－16a n ＋1＋12a n ，n ∈N ＋，求a n ．分析：本题中四个小题均属于线性递归数列问题，可用特征根的方法来解决．解答：（1）特征方程x 2=2x －2有两个相异的根x 1=1＋i ，x 2=1－i ，则{a n }的通项公式为a n =c 1(1＋i)n ＋c 2(1－i)n ，代入前两项的值，得122221(1)(1)0,(1)(1)4,i c i c i c i c ++-=⎧⎪⎨++-=⎪⎩ 解得c 1=－1－i ，c 2=－1＋i ．故31121(1)(1)2cos.4n n n n n a i i π++++=-+--=- （2）特征方程x 3=2x 2＋x －2有三个相异的根x 1=1，x 2=－1，x 3=2，于是{a n }的通项公式为a n =c 1＋c 2(－1)n ＋c 32n ．代入初始值，得12312312320,42,86,c c c c c c c c c -+=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 解得c 1=－2，c 2=0，c 3=1，故a n =－2＋2n ．（3）特征方程x 3=6x 2－12x ＋8有三重根x =2，故{a n }的通项公式为c n =( c 1＋c 2n ＋c 3n 2)²2n ，其中c 1，c 2，c 3满足方程组1231231232221,48162,824728,c c c c c c c c c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解此方程组，得123311,,,44c c c ==-=故。

高中数学竞赛教学教案：培养学生的数学思维和解题能力

高中数学竞赛教学教案：培养学生的数学思维和解题能力1. 简介高中数学竞赛是一种重要的学术活动，旨在培养学生的数学思维和解题能力。

本教案旨在为教师提供一系列有效的教学方法和策略，以便更好地辅导和指导学生参与数学竞赛。

2. 教案内容2.1 培养数学思维•强调问题求解过程：鼓励学生通过分析、推理和归纳来解决问题。

指导他们注意问题的关键点，并提供相关技巧和方法。

•提倡合作学习：组织小组讨论或团队合作，鼓励同学们互相交流思路、分享解题经验。

•培养创造力：引导学生拓展思维，挑战他们思考数学问题的不同角度和方法。

2.2 解题能力培养•注重基础概念的理解与掌握：通过清晰而详细地讲解基本概念，帮助学生建立扎实的数学基础。

•引导正确的解题思路：示范解题过程，鼓励学生使用不同的方法和策略来解决问题。

•提供丰富的练习题：根据不同题型和难度，为学生提供大量的练习题目，帮助他们熟练掌握解题技巧。

2.3 教学策略•多样化的教学资源：利用多媒体、互联网等资源，提供丰富的教学材料和实例，激发学生的学习兴趣。

•考试模拟训练：组织模拟考试，使学生能够熟悉真实竞赛环境，增强应试能力并培养心理素质。

•定期跟踪评估：通过定期测验和作业批改，及时了解学生的掌握情况，并根据需要调整教学内容和方法。

3. 教案实施计划为了有效地培养学生的数学思维和解题能力，在教案实施时可以采取以下计划：1. 设立专门课时：将一些专门的课时用于讲解数学竞赛相关内容，包括常见题型、解题技巧等。

2. 组织小组讨论和分享会：定期组织学生进行小组讨论和经验分享，促进彼此之间的互动与合作。

3. 设计解题训练作业：布置针对数学竞赛题目的解题作业，鼓励学生独立思考和解决问题。

4. 确保个体化指导：根据学生的水平和需求，提供个别辅导和指导，帮助他们克服困难并提高能力。

4. 教学评估为了评估教案的有效性和学生的进步情况，可以采用如下方法： 1. 定期举行模拟考试，在真实竞赛环境中评估学生的应试能力。

高中数学竞赛辅导的策略与心得分享

高中数学竞赛辅导的策略与心得分享高中数学竞赛是一项具有挑战性和高难度的活动，对于学生的数学思维、解题能力和创新意识都有着极高的要求。

作为一名参与过高中数学竞赛辅导的老师，我积累了一些宝贵的策略和心得，在此与大家分享。

一、了解竞赛特点，明确辅导目标高中数学竞赛与常规的数学教学存在较大差异。

竞赛题目往往更加灵活多变、综合性强，需要学生具备深厚的数学功底、敏锐的思维能力和创新的解题技巧。

因此，在辅导之初，我们必须深入了解竞赛的命题特点、考察范围和难度层次，为学生制定明确、合理的辅导目标。

比如，对于初次接触竞赛的学生，目标可以设定为熟悉竞赛题型和基本解题方法，培养竞赛思维；对于有一定基础的学生，则应着重提升其解题速度和准确率，突破难题关卡，冲击更高奖项。

二、制定个性化的辅导计划每个学生的数学基础、学习能力和兴趣爱好都不尽相同，因此制定个性化的辅导计划至关重要。

我们需要对学生进行全面的评估，包括他们的课堂表现、作业完成情况、以往的考试成绩以及对数学的兴趣和热情等方面。

对于基础薄弱的学生，要加强基础知识的巩固和拓展，逐步引导他们向竞赛难度过渡；而对于数学天赋较高的学生，则可以提供更具挑战性的学习任务，如参加数学研究小组、参与课题讨论等。

同时，要根据学生的学习进度和反馈，及时调整辅导计划，确保其具有针对性和有效性。

三、注重基础知识的巩固与拓展扎实的基础知识是解决竞赛难题的基石。

在辅导过程中，不能忽视对高中数学教材中基本概念、定理和公式的深入理解和熟练掌握。

例如，函数的性质、数列的通项公式、三角函数的变换等，这些都是竞赛中经常涉及的知识点。

在巩固基础知识的同时，还要进行适当的拓展和延伸，引入一些高等数学的初步概念和方法，如极限、导数、积分等，为学生解决复杂问题提供更多的工具和思路。

四、培养数学思维能力数学竞赛不仅仅是知识的较量，更是思维能力的比拼。

我们要注重培养学生的逻辑思维、抽象思维、逆向思维和创新思维等能力。

高中数学竞赛辅导教案：指导学生备战数学竞赛的刷题和解题方法

高中数学竞赛辅导教案：指导学生备战数学竞赛的刷题和解题方法1. 引言数学竞赛对于高中学生来说是一个重要的挑战和机会，通过参加数学竞赛，学生能够提高自己的数学思维能力和解决问题的能力。

本教案旨在指导学生在备战数学竞赛时使用刷题和解题方法。

2. 刷题方法为了在数学竞赛中取得好成绩，刷题是必不可少的。

以下是一些刷题方法：2.1 设置目标在开始刷题之前，确定你的目标，并制定合理的计划。

例如，你可以每天完成一定数量的习题或者按照不同难度级别进行分类刷题。

2.2 多角度思考尝试从不同角度思考问题，并采用多种解法。

这有助于拓宽你的思维方式，并帮助你更好地理解和掌握各种解决方法。

2.3 记录错误在做错题时要及时记录下来并进行分析。

找出错误的原因并寻找改进策略，这样可以避免重复犯相同类型的错误。

3. 解题方法在数学竞赛中，不仅需要刷题，还需要掌握一些解题技巧。

以下是一些常用的解题方法：3.1 分析和理解题目在开始解题之前，仔细阅读并理解整个问题。

分析给定的条件和要求，并明确问题的关键点，这样可以帮助你找出正确的解决方案。

3.2 尝试不同的方法尝试使用不同的方法解决问题。

有时候，一个问题可以有多种角度和方法去解答。

通过尝试不同的方法，你会发现其中某一种方法更适合该问题。

3.3 刻意练习针对数学竞赛中常见的类型和难点，进行刻意练习。

在实践中不断地强化这些类型和难点，并注重细节。

4. 总结与展望通过刷题和掌握解题技巧，学生可以提高自己在数学竞赛中的表现。

同时，在备战过程中加强自己对数学概念和原则的理解，并培养独立思考和分析问题能力。

以上所述仅是部分方法和建议，希望能够对学生们备战数学竞赛有所帮助。

请学生们根据自己的情况和实际需求，结合教材和辅导资料进行进一步学习和实践。

祝愿大家在数学竞赛中取得优异的成绩！。

高中数学竞赛培训计划

高中数学竞赛培训计划为了提升学生在高中数学竞赛中的竞争力，我们制定了以下的高中数学竞赛培训计划。

该计划将帮助学生巩固数学基础知识，提高解题能力，并且训练他们在有限时间内快速准确地解决复杂问题的能力。

一、培训目标本次竞赛培训的目标是帮助学生：1. 学习并扎实掌握高中数学知识点，包括代数、几何、函数、概率与统计等。

2. 彻底理解各种常见的高中数学题型，例如方程、不等式、图形计算等。

3. 提高应对数学竞赛中的时间压力和解题速度。

4. 培养解题思路和解题方法，增强逻辑推理和问题求解能力。

二、培训内容1. 知识点讲解通过系统的知识点讲解，学生将全面掌握高中数学的各个章节，包括但不限于代数、几何、函数、概率与统计等。

每个知识点讲解都将结合实例和实际应用，帮助学生理解概念，并且加深对知识点的记忆。

2. 题目分析与解题训练针对每个知识点，我们将提供一系列的题目分析和解题训练。

这些题目将覆盖各个难度层级，从基础到提高，以帮助学生逐步掌握不同题型的解题方法。

我们将注重培养学生的思维能力和逻辑推理能力，而不只是机械的解题操作。

3. 模拟考试我们将定期组织模拟考试，模拟真实的数学竞赛环境。

这将帮助学生适应竞赛的时间限制，并且在一定压力下提升解题速度和准确性。

每次考试后，我们将详细讲解解题方法和解题思路，帮助学生充分理解和消化解题过程中的错误和不足。

三、培训安排本次竞赛培训计划为期10周，每周安排5个课时。

具体安排如下：第一周：- 知识点讲解：代数（包括方程、不等式等）- 题目分析与解题训练：代数题型的基础题目练习第二周：- 知识点讲解：几何（包括平面几何、立体几何等）- 题目分析与解题训练：几何题型的基础题目练习第三周：- 知识点讲解：函数与图像- 题目分析与解题训练：函数题型的基础题目练习......（以下省略，依次安排其他知识点的讲解和相关题目训练）第十周：- 复习与总结- 模拟考试四、学生要求为了确保培训的效果，参加本次高中数学竞赛培训计划的学生需要满足以下要求：1. 学生需为高中在校学生，对数学竞赛有浓厚的兴趣和热情。

高中数学竞赛培训教案

高中数学竞赛培训教案
教学目标：通过本次培训，学生能够掌握竞赛所需的数学知识和解题技巧，提高数学竞赛
的应试能力。

教学内容：本次培训主要围绕高中数学竞赛的常见题型展开，包括数列、概率、几何、代
数等知识点。

教学步骤：
第一步：复习基础知识
讲解数学竞赛常见题型，包括选择题、填空题、解答题等，帮助学生理清基础知识，打好
基础。

第二步：讲解数学竞赛解题技巧
介绍数学竞赛解题的基本思路和方法，包括适时放弃、灵活运用、多角度思考等技巧。

第三步：解析典型题目
通过解析一些典型的数学竞赛题目，引导学生掌握解题技巧，提高解题速度和正确率。

第四步：练习题目
让学生进行有针对性的练习，巩固所学知识和技巧，提高解题能力。

第五步：总结反思
让学生对本次培训进行总结和反思，查漏补缺，为下次培训做好准备。

教学方法：讲解结合练习、小组合作、讨论交流等方式，激发学生学习兴趣，提高学习效果。

教学工具：教材、习题、黑板、投影仪等。

教学评价：通过练习题目和考试测验，评估学生的学习情况和提高空间，及时调整教学方案，确保教学效果。

教学改进：根据学生的反馈和评价意见，不断改进教学方法和内容，提高竞赛培训的质量
与效果。

以上是本次高中数学竞赛培训教案范本，希最能达到预期目标，提高学生的数学竞赛能力。

高中数学竞赛技巧与策略

高中数学竞赛技巧与策略引言高中数学竞赛是对学生数学能力的一种全面考核，并锻炼了学生的思维能力和解决问题的能力。

然而，竞赛题目的复杂性和时间限制常常让学生感到压力。

因此，掌握一些数学竞赛的技巧和策略不仅能够提高竞赛成绩，还可以增强解题的信心和效率。

本文将分享一些高中数学竞赛的技巧和策略，帮助学生在考试中取得更好的成绩。

1. 熟悉考试规则和题型在参加数学竞赛之前，了解考试规则和题型是非常重要的。

不同的竞赛可能有不同的考试规则和题型，例如常见的填空题、选择题和解答题等。

了解这些规则和题型可以帮助学生更好地准备考试，避免在考试中因为不熟悉规则而浪费时间。

2. 学会快速解题在数学竞赛中，时间是非常宝贵的。

学会快速解题是提高竞赛成绩的关键之一。

为了做到这一点，学生应该经常练习做题，并尝试使用一些运算技巧和简化方法来加快解题速度。

例如，学生可以尝试使用逆向思维、近似计算、特殊取值等方法来简化问题，以达到更快解题的目的。

3. 制定合理的解题计划在竞赛中制定一个合理的解题计划是非常重要的。

学生应该在开始做题之前花一些时间仔细阅读题目，并分析每道题目的难度和解题方法。

根据自己的实际情况，选择从易到难或者从难到易的顺序进行解答，并合理安排时间。

这样可以确保在限时内完成更多的题目，并提高解题效率。

4. 学会转化题目有时候，数学竞赛的题目可能有些拗口或者难以理解。

在这种情况下，学生应该学会转化题目，从不同的角度去看待问题，寻找解决问题的思路。

例如，可以尝试将几何题目转化成代数题目，或者将复杂的计数问题转化为简单的排列组合问题等等。

这种转化思维可以帮助学生更好地理解题目并找到解决问题的方法。

5. 多做一些经典题目经典题目是数学竞赛中常见的一种题目类型。

多做一些经典题目可以帮助学生熟悉题目的出题思路和解题方法，并锻炼自己的解题能力和思维方式。

学生可以通过习题集、网上资料或者请教老师等途径，选择一些经典题目进行练习。

同时，学生还可以参加一些模拟竞赛或者训练营等活动，获得更多的解题经验和技巧。

高中数学竞赛培训计划

高中数学竞赛培训计划一、培训目标本培训旨在帮助学生提高数学竞赛的应试能力和解题技巧，增强数学思维和创新能力，为学生将来参加数学相关的竞赛和选拔赛做好充分准备。

二、培训内容1. 知识点梳理与强化对高中数学的相关知识点进行梳理，重点强化数学基础知识，包括代数、几何、概率统计等方面的知识，涉及高中阶段的必修课程内容以及拓展知识。

2. 解题方法与技巧针对竞赛题目，讲解解题方法和技巧，包括数学建模、探索性问题的解决方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3. 真题训练与模拟考试通过真题训练和模拟考试，帮助学生熟悉竞赛题型和考试形式，加强应试能力，发现和弥补自身的不足。

4. 数学思维和创新能力培养通过启发式的问题解决和探索式的学习，培养学生的数学思维和创新能力，引导学生学会用数学的方法解决实际问题。

三、培训安排1. 知识讲解每周安排固定的时间进行知识点的讲解，包括理论知识的介绍和例题的讲解。

在讲解时，引导学生思考，提高学生对数学问题的理解和抽象能力。

2. 解题训练每周安排一定的时间进行解题训练，涉及不同类型的问题，包括选择题、填空题、解答题等，有针对性地提供题目，让学生熟悉应试的各种形式。

3. 模拟考试每月安排一次模拟考试，对学生进行考试，帮助学生了解自己的水平和成绩，发现不足之处，为下一阶段的学习提供指导。

4. 真题训练结合真题对学生进行训练，让学生熟悉真题的题型和难度，提高学生对竞赛题目的应对能力。

四、培训方式1. 课堂讲授对知识点进行系统的讲解，帮助学生理解和掌握数学的基础知识。

2. 个性化辅导针对学生的学习情况和能力，进行个性化的辅导，解决学生在学习过程中遇到的问题，提高学生的学习效率。

3. 小组讨论组织学生进行小组讨论，让学生在交流中相互学习和提高，培养学生的合作精神和团队意识。

4. 作业批改对学生的作业进行及时的批改和指导，帮助学生巩固所学知识，发现不足之处并加以改正。

五、评估机制1. 学习成绩每月对学生进行一次学习成绩的评估，记录学生的学习情况和成绩，发现学生在学习过程中存在的问题，并及时进行指导和帮助。

高中数学竞赛有哪些值得推荐的辅导书？从入门到高阶，数竞党必读！

又到了新一轮竞赛学习，不少学生反映不知道买哪些参考书，今天就来给大家推荐一些书目，从入门、进阶到拔高，适合各个不同阶段，欢迎大家对号入座~一、入门1、《奥数教程》，华东师范大学出版社这套书按年级分为高一、高二、高三三套，每个年级包含教程、测试和学习手册三本，是比较基础、入门级的竞赛教程。

《奥数教程》从课本知识出发，由浅入深，逐步过渡到竞赛，内容涵盖了竞赛的全部考点和热点。

每本书包含基础篇和拔高篇，基础篇主要是一试相关内容，拔高篇是二试相关内容。

共30讲，每讲又分为“内容概述”、“例题精解”、“读一读”和“巩固训练”四个部分，系统地梳理了数学竞赛知识，比较适合刚接触竞赛的学生使用。

《奥数教程-能力测试》是配套的练习用书，每讲配备了1个小时左右的练习量，确保学生更好地掌握知识。

《奥数教程-学习手册》详细解答了《奥数教程》中“巩固训练”，并对该年级的竞赛热点进行精讲，并配有真题用作练习。

2、《2018年全国高中数学联赛备考手册》，华东师范大学出版社这本书每年出版一本，集合了各个省市联赛预赛的试题及答案详解，预赛命题人员大多为各省市数学会成员，题型和难度一般和高联一试相当，可以在学完一遍一试后作为练习题使用。

二、进阶1、《数学奥林匹克小丛书》，华东师范大学出版社俗称“小蓝本”，这套书共14册，包括《集合》、《函数与函数方程》、《三角函数》、《平均值不等式与柯西不等式》、《不等式的解题方法与技巧》、《数列与数学归纳法》、《平面几何》、《复数与向量》、《几何不等式》、《数论》、《组合数学》、《图论》、《组合极值》、《数学竞赛中的解题方法与策略》等，可以说是竞赛生人手一套的“圣书”。

力图用各种方法介绍数学竞赛中的14个专题，书中有对基本知识、基本问题以及解决这些问题的一些典型方法的讲解，还有由基本问题派生出来的教学方法和应用，相对易懂。

2、《奥赛经典》，湖南师范大学出版社这套书分为《奥林匹克数学中的组合问题》、《奥林匹克数学中的几何问题》、《奥林匹克数学中的代数问题》、《奥林匹克数学中的数论问题》、《奥林匹克数学中的真题分析》五册。

太原高中数学竞赛辅导

太原高中数学竞赛辅导篇一：太原高中数学竞赛辅导太原高中数学竞赛辅导是指针对太原地区高中学生举办的数学竞赛培训活动。

数学竞赛是一项考验学生数学思维和能力的考试,对于提高学生综合素质和升学竞争力具有重要意义。

为了帮助学生在数学竞赛中取得好成绩,许多学校和教育机构都会举办数学竞赛辅导活动。

在太原地区,许多高中学校都会举办数学竞赛辅导活动,其中包括太原五中、一中、二中等名校。

这些学校都有专业的数学老师和竞赛教练,他们会针对学生的不同水平和需求,制定个性化的辅导计划,帮助学生掌握数学知识和解题技巧,提高竞赛水平。

除了学校组织的数学竞赛辅导活动外,也有一些专业的数学培训机构会提供数学竞赛辅导服务。

这些机构通常会有专业的数学老师和竞赛教练,会根据学生的不同需求和水平,提供个性化的辅导方案。

这些机构的辅导课程通常会包括数学竞赛的基础课程、强化课程和冲刺课程,帮助学生掌握数学知识和解题技巧,提高竞赛水平。

参加数学竞赛辅导活动可以帮助学生提高数学素养和竞赛水平,为升学和职业发展打下良好的基础。

同时,学校和培训机构还可以为学生提供一个良好的学习环境和学习氛围,促进学生的学习积极性和学习效率。

太原高中数学竞赛辅导活动得到了许多学校和教育机构的重视,为学生在数学竞赛中取得好成绩提供了重要的支持。

如果您或您的学生想要参加数学竞赛辅导活动,可以通过学校或培训机构咨询相关信息,并选择适合自己的辅导课程和辅导方式。

篇二：太原高中数学竞赛辅导太原是山西省的省会城市,也是该省数学竞赛的主要考点之一。

因此,对于那些想要在数学竞赛中获得好成绩的高中生来说,参加太原高中数学竞赛辅导是非常必要的。

太原高中数学竞赛辅导通常由当地的学校或专业辅导机构提供。

这些机构通常会拥有经验丰富的教师和先进的教学设施,能够帮助学生提高数学竞赛水平。

在参加太原高中数学竞赛辅导时,学生需要根据自己的实际情况选择适合的机构和课程。

一般来说,机构的规模和师资力量越大,所提供的课程和服务质量就越好。

高中数学竞赛辅导计划

高中数学竞赛辅导计划导言：高中数学竞赛是培养学生数学素养和解决问题能力的重要途径，也是选拔优秀数学人才的重要渠道。

为了提高学生在数学竞赛中的竞争力和综合素质，我们学校制定了一套全面而系统的高中数学竞赛辅导计划。

一、教学主题：1.1 培养逻辑思维能力在数学竞赛中，逻辑思维是取得好成绩的关键。

我们的教学主题之一是培养学生的逻辑思维能力。

通过针对性的训练，提高学生的分析问题和解决问题的能力，培养他们形成逻辑思维的习惯。

1.2 强化基础知识数学竞赛离不开扎实的基础知识。

我们的教学主题之二是强化基础知识。

通过系统的复习和拓展，让学生建立起坚实的数学基础，为接下来更深入的学习打下基础。

1.3 拓宽数学视野数学竞赛不仅考察学生对基础知识的掌握，还要求他们拓宽数学视野和熟悉不同领域的数学知识。

我们的教学主题之三是拓宽数学视野。

通过引入一定量的应用数学和数学定理，提高学生的数学素养和对数学的兴趣。

二、活动安排：2.1 定期模拟考试为了让学生熟悉竞赛的考试形式和节奏，我们安排了定期模拟考试。

模拟考试内容包括各类数学竞赛题目，如奥数、数学建模等。

通过模拟考试，学生可以了解自己的竞赛水平和不足之处，并进行针对性的复习和提高。

2.2 小组合作数学竞赛强调团队合作和竞争力。

为此，我们设计了小组合作活动。

每个小组由4-5名学生组成，他们在一个固定的时间内共同完成一道数学题目，鼓励他们相互讨论和合作解决问题。

通过小组合作活动，学生可以培养团队合作精神和相互学习的能力。

2.3 主题讲座和学术交流为了开阔学生的数学视野，我们组织了一系列主题讲座和学术交流活动。

邀请知名数学家和竞赛获奖者为学生讲解数学竞赛的解题技巧和经验，同时鼓励学生分享自己的学习心得和竞赛经历。

通过与专业人士的接触和交流，学生可以拓宽自己的数学思维和了解前沿的数学研究成果。

三、教材使用：3.1 精选教材为了提高学生的数学竞赛水平，我们选用了一套符合竞赛要求的精选教材。

高中数学竞赛培优教程

高中数学竞赛培优教程
高中数学竞赛培优教程
一、识记知识
1.学习数学基本概念：数学在学习过程中非常重要，必须掌握数学基本概念，才能完成后续数学学习。

2.学习数学思想：理解数学的真正要义，不仅要看懂数学知识，更要掌握数学思维，掌握数学问题的解决方法，培养分析思维能力。

3.开发数学解题技巧：学好数学，除了要学会正确推导之外，还要会熟练应用解题技巧，让解题过程变得更加轻松愉快。

二、实践思考
1.加强记忆效果：前面已学习的知识要不断复习，以便巩固学习效果，实现类似记忆分层的效果，让知识更加牢固。

2.应用数学思维：遇到做题的时候，要多考虑多思考，用数学理论原理解决实际问题，让数学思维与实践相结合，使解题技巧更为灵活。

3.实战操练：数学竞赛最重要的便是实战操练，可以以单元考、章测、期末考等形式，反复进行实战操练，总结解题技巧，有助于提升笔试考试成绩。

三、专业指导
1.查漏补缺：尽量利用有限的时间，补充学习中漏掉的部分，是完善数学知识的有效技巧。

2.看课本：课本的学习可以帮助扩充知识面、提高解题速度，学习过程中多思考多讨论，加深理解。

3.做习题：多做单元考、章测，保证每天有有规律的训练。

可以把习题按照题量、难易程度进行细分，有针对性的进行训练。

四、学习习惯
1.科学规划时间：安排学习任务，避免拖延解决问题，制定学习计划，有条不紊地进行学习，充分利用时间。

2.全面均衡：既要学习数学，也要适当参加体育运动，放松身心；要注重课外学习，多看书、少看电视，宽增才艺。

3.督促自律：要在学习中注重自律，掌握有效的练习方法，把有限的学习资源转化成最大的收获，为数学竞赛做好准备。

高中生数学竞赛备考指导与题型解析

高中生数学竞赛备考指导与题型解析引言高中生数学竞赛备考是一个学科知识与技巧相结合的过程，既要扎实掌握数学基础知识，又要熟悉各类竞赛题型的解题技巧。

本文将为大家介绍高中生数学竞赛备考的一些指导方法与常见题型的解析，以帮助大家更好地备战数学竞赛。

一、备考指导1. 基础知识的复习与巩固备考数学竞赛的首要任务是复习与巩固基础知识。

数学是一个渐进的学科，高中数学的学习是在初中数学基础上的延伸与拓展，要求我们既要熟练掌握初中所学的基础知识，又要深入理解高中数学的概念和原理。

因此，我们应该从基础开始，逐步深入，确保自己对基础知识的掌握能够承前启后，为后续的竞赛题目做好准备。

2. 培养解题的思维习惯在备考数学竞赛时，除了熟练掌握知识点，培养解题的思维习惯也是至关重要的。

数学竞赛的题目往往需要我们进行分析、推理和抽象能力的运用，因此，我们应该多做一些拓展思维和创造性思维的训练，培养自己灵活运用数学知识解决问题的能力。

3. 多做题、多总结备考数学竞赛的关键是多做题。

做题是对知识的检验与应用，通过做题可以帮助我们发现自己的不足和错误，从而及时纠正。

在做题的过程中，我们要注意总结归纳，总结规律和解题方法，形成自己的解题思路和方法。

只有不断地练习和总结，才能提高解题的速度和准确性。

二、题型解析1. 选择题选择题是数学竞赛中常见的题型之一。

在备考选择题时，我们应该注意以下几点：(1) 注意审题选择题的题目一般都比较长，题目中可能包含一些陷阱和干扰信息，我们要善于发现题目的关键信息，理清思路，避免被干扰。

(2) 理解选项在解答选择题时，我们不仅要仔细计算，还要理解选项的含义。

有时候，选择题的答案可能是一个比较抽象的数学概念或模型，我们要能够将其与所掌握的知识联系起来，选择正确的答案。

(3) 快速排除法针对选择题中的干扰项，我们可以运用快速排除法，将明显错误的选项排除，缩小选择范围，从而提高解题效率。

2. 解答题解答题是数学竞赛中较为难度较大的题型，要求我们综合运用各种知识点和解题方法。

辅导高中生数学竞赛教案

辅导高中生数学竞赛教案
教学内容：数学竞赛相关知识点讲解与应用练习
教学目标：帮助学生提高数学竞赛能力，提升数学解题能力和思维逻辑水平
教学时间：每周一次，共10周
教学方法：讲解与演示相结合，理论与实践并重
教学过程：
第一周：介绍数学竞赛的重要性及常见竞赛类型，激发学生学习兴趣
第二周：讲解数学竞赛解题技巧，如逆推、取巧、化整为零等方法，并进行实例演示
第三周：重点讲解数论知识，包括质数、因数、同余等概念，进行相关练习
第四周：讲解几何知识，包括平面几何和立体几何，进行相关例题讲解
第五周：讲解代数与方程组解法，包括多项式、不等式、微分等内容，进行练习巩固
第六周：介绍概率与统计知识，重点讲解概率计算方法与统计分析技巧
第七周：讲解数学归纳法及证明方法，教授学生如何进行数学证明，进行实例演练
第八周：复习前面学过的知识点，做一次综合练习题，加强学生对知识的掌握
第九周：讲解竞赛解题策略，包括时间管理、选题技巧等，进行模拟竞赛练习
第十周：进行总结与评价，回顾学习收获，鼓励学生继续努力提升数学竞赛能力
教学评估：每周课后布置作业，每月定期组织小测验，最后进行一次总结性考试
教学反馈：及时收集学生学习反馈意见，针对学生问题调整教学内容和方法
教学资源：精选数学竞赛教材和习题集，提供在线学习资源和辅导资料
教学建议：鼓励学生积极参与数学竞赛活动，培养数学兴趣和竞赛意识，不断挑战自我，提高数学水平。

高中数学竞赛培训计划

高中数学竞赛培训计划一、教学主题数学竞赛是培养学生数学素养和解决问题能力的有效途径，对于高中学生的发展至关重要。

因此，高中数学竞赛培训计划的主题应当是全面提升学生的数学竞赛能力，包括基本知识的扎实掌握、解题技巧的熟练运用以及思维能力的培养。

二、活动安排1. 基础知识巩固阶段在培训的初期，需要确保学生对基础知识掌握扎实。

针对各个年级的学生，将课程内容进行分类整理，有针对性地进行巩固训练。

培训期间，可以协助学生建立自主学习的能力，引导学生通过课外阅读和学科讨论等方式，加深理解，提高运用能力。

2. 解题技巧训练阶段解题技巧是数学竞赛成功的关键，因此需要加强对学生的解题能力培养。

首先，组织学生分析往年数学竞赛试题，深入思考解题思路，并解答疑惑。

其次，教师应针对不同类型的题目，讲解相应的解题技巧，帮助学生进行技巧运用和巩固。

最后，组织学生进行解题练习和模拟竞赛，提供实时的解题指导和反馈。

3. 思维能力培养阶段数学竞赛不仅要求学生掌握知识和解题技巧，更需要培养学生的创新思维能力。

因此，培训计划的最后一个阶段应该着重培养学生的思维能力。

通过精选一些具有挑战性的数学问题，激发学生的思维潜能，引导他们运用所学知识进行解决。

同时，教师可以为学生提供一些数学思维训练的书籍和资料，帮助学生进行自主思考和探索。

三、教材使用教材是培训计划中不可或缺的一部分，合适的教材能够帮助学生更好地理解知识和掌握技巧。

在选择教材时，应注意以下几点：1. 理论与实践相结合教材应该注重将理论知识与实际问题相结合，引导学生将所学的知识应用到实际问题中去。

教材中应包含丰富的例题和典型题目，以及详细的解题步骤和思路分析，让学生能够了解到知识的灵活运用方式。

2. 竞赛试题的整理教材中可以收录一些历年来的数学竞赛试题，供学生进行练习和实战演练。

这些试题的整理应涵盖各个难度等级和题型，以帮助学生逐步提高解题能力。

3. 引导学生探索好的教材应该能够引导学生进行自主学习和探索，开拓思路。

高中数学竞赛辅导方案

高中数学竞赛辅导方案一、引言数学竞赛在高中阶段是非常重要的活动之一，它能够培养学生的逻辑思维能力、创造力和解决问题的能力。

因此，为了提高学生在数学竞赛中的水平，制定一套高效的辅导方案至关重要。

二、了解竞赛要求在开始制定辅导方案之前，需要对数学竞赛的要求进行全面的了解。

不同的竞赛会有不同的内容和难度级别，有些竞赛更偏重于应用问题，而有些则更偏重于纯粹的数学推理。

了解竞赛要求能够帮助我们设计有效的辅导活动。

三、建立扎实的基础高中数学竞赛的前提是有扎实的基础。

因此，我们要注重对数学基础知识的巩固和拓展。

可以通过每周安排固定的基础知识练习，包括各个主题的概念、定理和方法。

这样能够帮助学生熟练掌握基础知识，并能够在竞赛中运用自如。

四、培养综合应用能力数学竞赛通常会要求学生在实际问题中运用数学知识解决复杂的情境。

因此，我们要注重培养学生的综合应用能力。

可以通过组织小组讨论、实际问题解决等方式，帮助学生将抽象的数学概念应用到实际问题中，培养他们的逻辑思维和创造力。

五、提供丰富的资源为了提高学生的竞赛水平，我们需要提供丰富的资源供学生参考。

可以收集和整理一些经典的竞赛试题和题解，供学生练习和参考。

此外，可以购置一些相关的辅导书籍和教材，供学生进行自主学习和钻研。

六、积极参与竞赛活动通过参与各种数学竞赛活动，可以提高学生的竞赛经验和处理竞赛压力的能力。

可以组织学生参加校内外的数学竞赛，并鼓励学生积极参与，并参加一些针对竞赛经验分享和交流的活动。

七、个性化辅导每个学生的数学水平和学习需求都有所不同，因此，个性化辅导是非常重要的。

我们可以通过分班制或设置小组辅导，根据学生的水平和兴趣进行有针对性的辅导。

这样能够更加精确地满足学生的需求，提高他们的学习效果。

八、培养良好的学习习惯培养良好的学习习惯对于提高数学竞赛水平非常重要。

可以教导学生制定合理的学习计划，并且坚持每天进行数学学习。

此外，我们还可以引导学生养成记录笔记、整理知识和总结经验的习惯，从而提高学习效果。

高中数学竞赛辅导-函数

的最大值. 10
4.( 教程 P86 17)设 f (x) x2 2tx t, x 1,1
1 求 f ( x)max min . 4
2.［分析］这是 1996 年北京高中一年级数学竞赛的复赛试题，
是一个四次函数的最值问题.表面上看起来很难.但借助于配方
法、换元法及二次函数极（最）值性质,可得结果.
tmin=
5 4
，tmax=29
∴y=t2+4,t∈[ 5 ,29]抛物线开口向上,对称轴 t=0∈[ 5 ,29]，
4
4
∴ymin=4
故 y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5 在［-3,3］上的最小值是 4.
练习 3.∵ f ( x) ( x 3)2 ( x2 2)2 x2 ( x2 1)2 ∴可知函数 y f (x) 的几何意义是抛物线 y x2 上的点 P( x, x2 ) 到两定点 A(3, 2), B(0,1) 的距离之差. ∴ PA PB ≤ AB 10
3.定义在实数集上的函数 f(x)，对一切实数 x 都有
f(x＋1)＝f(2－x)成立，若 f(x)＝0 仅有 101 个不同的实数
根，那么所有实数根的和为( )
(A)150 (B) 303
2
(C)152
(D) 305
2
提示：由已知，函数 f(x)的图象有对称轴 x＝ 3 2
于是这 101 个根的分布也关于该对称轴对称.
(1 t (t ≥1)
1)
不难得到
f
( x)max
min
1 4
二.函数的性质与图象
思考 1. 函数 y = f ( x ) 对任意实数 x，总有

高中数学竞赛培训辅导计划

高中数学竞赛培训辅导计划一、教学主题：培养学生的数学思维和解题能力在高中数学竞赛中，不仅要求学生具备扎实的数学知识，还要求学生具备良好的解题能力和创新思维。

为了培养学生的数学思维和解题能力，我们制定了一套完整的培训辅导计划。

二、活动安排1. 阶段一：基础知识强化阶段在这个阶段，我们首先对学生进行基础知识的复习和强化。

通过讲解和练习，巩固学生对高中数学基本概念和定理的理解。

同时，我们会引导学生学会用不同的方法和角度思考和解决数学问题。

2. 阶段二：解题技巧训练阶段在这个阶段，我们将重点训练学生的解题技巧。

通过分析历年高中数学竞赛试题，总结出解题的常用思路和方法，并给予学生大量的练习机会。

我们会对不同类型的数学问题进行分类讲解和训练，帮助学生熟悉各种解题技巧，并培养他们的解题思维。

3. 阶段三：模拟考试和冲刺阶段在这个阶段，我们将模拟高中数学竞赛的考试环境，让学生在真实的竞赛条件下进行考试。

通过模拟考试，我们可以了解学生在解题过程中可能存在的问题和困惑，及时给予指导和帮助。

同时，我们会对学生的考试成绩进行分析和评估，制定个性化的学习计划，帮助学生针对性地进行冲刺复习。

三、教材使用1. 教材选择我们会根据高中数学竞赛的题型和要求选择合适的教材。

一般来说，我们会选择一些竞赛类教材或习题集作为辅导教材。

这些教材的题目更贴近竞赛试题，能够帮助学生更好地理解和掌握解题技巧。

2. 教材使用方法我们会根据教材的内容和学生的实际情况，灵活运用教材。

除了教材提供的例题和习题，我们还会补充一些实例和拓展题，以培养学生的灵活思维和创新能力。

同时，我们会鼓励学生进行自主学习，引导他们通过阅读相关参考书、学习竞赛经验等方式拓宽数学知识面。

四、总结通过本次高中数学竞赛培训辅导计划，我们旨在培养学生的数学思维和解题能力，提高他们在竞赛中的成绩。

我们将通过阶段性的活动安排，帮助学生巩固基础知识、掌握解题技巧，并通过模拟考试和冲刺复习，让学生在竞赛考试中游刃有余。