小学数学中的大道理(90分钟)

数：有趣的名称
• 自然数；整数；分数；小数；有理数；无理 数；实数；虚数；复数。
• 真分数；假分数；带分数。百分数。 • 纯小数；带小数；有限小数；无限小数；循
环小数；不循环小数； • 正数；负数。 • 小学里学了哪些数？
分数的意义
• 把单位“1”平均分成若干份，表示这样1份或几份 的数，叫做分数。
越来越小
+2.5 1234
越来越大
《小学数学教师》特稿“数方夜谈”
选一种量为正，用正负数表示题中的量
1. 某仓库运进面粉7.5吨，运出3.8吨。选（ 运进）为正，
运进面粉7.5吨记作（ +7.5 ），运出3.8吨记作（-3.8 ）。
2. 商店三月份盈利50万元，四月份亏损6万元。选（盈利 ）
为正，三月份盈利50万元记作（ +50 ），四月份亏损6
两种方法都是底×高，我们确定面 积公式是底×高，要注意什么问题？
角的度量
• 可以通过定性比较两个角的大小到定量刻画两个角 的大小，引出角的度量单位，定义1°角。
角的度量
• 经历用1°角度量一个角的过程，顺时针或逆时针从 角的一边开始，顶点重合用1°角摆，数出度数来经 历量角器的形成过程，进而更好地理解用量角器量 角的方法。
一道考题：先填空，再回答问题。
（1）右图中一共有 条线段。
（2）5位朋友见面，每两人握一次手，他们总共握了 次手。
（3）右图中一共有 条线段。
（4）从前面3个小题的解答中你发现了什么？请解释为什么 会这样。
大道理：联系的观点
A A B CD E
B
E
D C
B A AB
C O
D
OC D
对教学的启示：静与动
计算步骤：①拆数；②抵消；③去0.
算一算：三个小组各得多少分？
• 第一组：答对7题，答错4题。 • 第二组：答对4题，答错6题。 • 第三组：答对4题，答错5题。 • 70-40=40-40+30=0+30=+30 • 40-60=40-40-20=0-20=-20 -20是一个 • 40-50=40-40-10=0-10=-10 怎样的数？
父亲56岁，其子29岁。何时 父亲年龄是儿子的2倍？
设x年前父亲年龄是儿子的2倍。
列方程：56-x=2（29-x） 56-x=58-2x 56+x=58 x=58-56 x=56-56+2 x=0+2 x=+2即x=2
刚才的解释是正确的！
德·摩根 （Augustus de
Morgan） 1806-1871 英国代数学家
分类讨论在相似三角形中的应用
在梯形ABCD中，AD//BC， AA AB=10 ，∠A=90°， AD=4 ， BC=6，点P在线段AB上，是否 存在以点P、A、D组成的三角 PP 形相似于点P、B、C组成的三 角形? 若存在，求AP长；若不 存在，请说明理由。
BB
DD CC
错例呈现
图形暗示：DP⊥PC，这个暗示无法避 免。强化了凭直觉解题。
大道理：有理数集的本质
• 全体有理数——整数和分数，仍然满足结合律、交 换律和分配律，而且关于x的方程 a+x=b,ax=b 总有唯一解。换句话说，在有理数范围内，所有的 有理运算——加减乘除——可以无限制进行，而决 不会超出这个范围，这样一个数集叫做一个域。
这是对有理数集的本质刻画！要紧紧抓住！
计算步骤：①拆数；②抵消；③去0.
历史上的负数（四）：理论上确立的负数
➢对有序数对（a，b）——（a，b）的直观意 义就是a-b，当a＞b时，（a，b）是正数；当a ＜b时，（a，b）是负数；当a=b时，（a，b） 为0。这就是正负数在数学理论中的定义。
本课就是用这样的方法讲正负数
能不能把负数也表示出来？
• 怎么办？（平行光投影、压扁）
• 需要说明、需要想象！
大道理：长度、面积、体积测量的本质
• 什么叫面积？ • 物体表面或平面封闭图形的大小叫做面积。 • 大小什么意思？ • 数学地定义面积有五个属性：非负性；有限
性；可列可加性；运动不变性；正则性（面 积单位）。
为什么面积单位要用单位长度的
Morgan） 1806-1871 英国代数学家
父亲56岁，其子29岁。何时父 亲年龄是儿子的2倍？
设x年后父亲年龄是儿子的2倍。
列方程：56+x=2（29+x） 56+x=58+2x 56=58+x 0=x+2 x=0-2 即x=-2
答：-2年后父亲的年龄是儿子的2倍。
2年前父亲的年龄是儿子的2倍。
正方形来定义，而不是用平行四边 或其他图形？
1cm 1cm
1dm 1dm
你能找出平均每株秧苗的占地面积吗？
种瓜得瓜，种豆得豆。无论如何， 所有的辛劳最后都会有应有的回报！
大道理：公式的函数视角 哪个体积大？
面积与什么有关？
• 平行四边形的面积与什么有关？
• 如何让学生感知？
• 恐怕很难！历史上把公式当成函数来看可能是 比较迟的事情。
这样教的正负数能比较大小吗？
• 小学生争论：结余2000元记做+2000，负债4000 元记做-4000，+2000和-4000谁比较大？
• 甲： 前者大，结余总是有钱多，负债不仅没有钱， 还更惨。
• 乙： 后者大，把结余2000元还掉，再还2000元。 • 如果结余2000元记做-2000，负债4000元记做
+4000，-2000和+4000谁比较大？
算一算：三个小组各得多少分？
• 第一组：答对7题，答错4题。
• 第二组：答对4题，答错6题。
• 第三组：答对4题，答错5题。
• 70-40=30 • 40-60=40-40-20=0-20=-20 • 40-50=40-40-10=0-10=-10
-20是一个 怎样的数？
长度相等的棱有
。
• 长方体有 个顶点。
分析比较，提取关键特征
想一想：把长方体与其他立体图形区 别开来的关键特征是什么？
（1）
（2）
（3）
基于关键特征的推理
面
棱 顶点
数量 形状 大小 数量 长度 数量
6 长方形
相对的2个面完全相同。 2个/组×3组=6个面。
12 相对的4条棱长度相等。 4条/组×3组=12条棱。
大道理：运动变化的学习价值
• 小学数学中引入平移、旋转、轴对称（反射）， 不仅是为了认识生活中这样的运动现象，更因 为它为学习图形提供了统一的视角。
• 把图形认识、图形运动、测量统一起来了。
• 平移、旋转、轴对称描述了一种空间性质，在 这一空间中图形经三种运动变化保持形状、大 小不变，这种运动也叫刚体运动。
4
6
0
5
5
5
• 分数的定义揭示了分数在测量、分物等实践活动中 的发生过程。
• 0/5来自于数学运算，如0÷5，4/5-4/5。 • 用运算定义：分数与除法的关系。
大道理：数学来源的多样性
• 数学知识的发生过程： –生活→数学（最初的源泉，有局限性） –数学→数学 –数学→生活
• 数学知识的组织过程： –数学→数学（逻辑的考量，具有普适性）
小学数学教材中的大道理
——核心概念的理解与呈现
任敏龙 杭州市上城区教育学院
突出数学课的数学味
个人工作背景简介
• 任小学一线数学教学工作10年。 • 任小学数学教研员16年。期间参加浙教版新思维小 学《数学》教材编写，任编委。 • 北京师范大学附属杭州中学任校长助理1年。 • 2013年起任6-8年级数学教研员3年。 • 现任4-6年级数学教研员，分管中小学学业评价。
• 我们也可以：把结余2000元记做-2000，负 债4000元记做+4000。
如果把一个人先向东走3m记作+3m，那么 这个人又向东走-4m是什么意思？这时他距离
出发点有多远？在直线上表示出来。
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
德·摩根 （Augustus de
你如何解释除数不能为0？
• 把12个苹果平均分成0份，每份有几个？ • 把12个苹果，每0个苹果分1份，可以分成多少份？ • 这样解释行吗？ • 不行！ • 不能用生活实例来解释，要从纯粹数学运算的角度
来解释。
已知ax=b（a、b为任意自然数）是关于x的方程， 要使x有唯一确定的解，需满足什么条件？
-2.5
+2.5
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
回到源头。用减法和相反意义的数解释 数轴的合理性。
能不能把负数也表示出来？
-2.5
+2.5
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
“-1”与“-2”哪个比较大？
回到源头。用减法解释正负数的大小。
数轴上数的大小排列有什么规律？
-2.5 -3 -2 -1 0
万元记作（ -6 ）。
向西
3. 小为动明正40向，米记东小作运明（动 向东50-运米40动，+）4小50，0华米小向记刚西作原运（地动不+45动00米-记）5。0，作选小（（华向向东00西））运。
正负数表示的符号选择与加减法意义相统一。
你感到别扭吗？
• 我们可以：把结余2000元记做+2000，负债 4000元记做-4000。
小贴士： 顶点数V，面数F， 棱数E，由欧拉公式 V+F-E=2证得仅存在 五种正多面体。
大道理：定义与性质、判定
• 长方形特征：对边相等，四个直角。 • 正方形特征：四边相等，四个直角。 • 正方形是特殊的长方形（据特征）。
长方形邻边不等，正方形邻边相等。 如何给长方形下定义？
➢系统定义：属加种差方式。 ➢经济原则：四个角是直角的四边形是长方形。百度文库
父亲56岁，其子29岁。何 时父亲年龄是儿子的2倍？
设x年后父亲年龄是儿子的2倍。
列方程：56+x=2（29+x） 56+x=58+2x 56=58+x 0=x+2 x=0-2 即x=-2
答：2年前父亲的年龄是儿子的2倍。
要不要再另列方程解？
吉拉尔 （A．Girard） 1595-1632 法国数学家
提出用减号“－”表示负数 和减法运算，用加号“+”表示正 数和加法运算，他的提议很快得 到人们的公认，并一直沿用至今。
他的提议为什么会很快得 到人们公认呢？
性质符号和运算符号统一。
正数与负数是意义相反的数
在现实生活中经常被用来表示 意义相反的量。
不是从生活到数学，而是从数学到生 活。第一次逆转！
8
基于运动的推理：面动成体
基于运动的推理：线动成面
基于运动的推理：点动成线
基于运动的推理：点动成线
图形 名称 底面 面数 棱数 顶点数
6 四棱柱 四边形 12 8
7 五棱柱 五边形 15 10
欧拉公式： 棱=面+顶点-2
8 六棱柱 六边形 9 七棱柱 七边形
18 12 21 14
n棱柱 n边形 n+2 3n 2n
把下面的四边形分成两类
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
四个角是直角的四边形叫做长方形
射影几何
平行线交于 无穷远点
射影几何
都涉及二维与三维之间的关系
在影像处理上有什么不同？ 中心投影与平行投影
对教学有什 么启示？
不同 方位 观察 物体
图A
图B
• 从哪个方向观察可以看到图B?
• 你真的看到了？（眼睛、点光源）
基于运动变化的推理 活动 围绕所示的轴旋转各个平面图形， 将 得什 么样 的 立体图 形 ？ 用线 连一 连 。
为什么上下一样粗细？为什么上下底面平行？
大道理：多样视角
——基于运动变换观点的理解
侧面积=底面周长×经过距离 体积=底面积×经过距离
• 工厂的废气通过10个直径 80厘米的圆形排气管口排 入空中，排气速度平均 0.1米/秒，这个工厂每天 排出废气多少立方米？
观察、直觉所得不能作条件用
• 图中空 白部分 是正方 形
• 发展学生的图形直觉
长方体、正方体的认识
分成两节课上
整体感知，直觉判断
下列图形中，哪个图形是长方体？
（1）
（2）
（3）
（4）
静态观察，提取特征
• 观察长方体实物或图形，同桌交流：
• 长方体有 个面，
每个面的形状是
，
完全相同的面有
。
• 长方体有 条棱，
bh
α
a
s=ah=absinα
底、高的变化一定引起面积 变化，而邻边和角就不一定。
求下面图形的面积
• 学生为什么容易错？如何解决？
求下面图形的面积
• S=5×3.2=16 s=a1×h1
求下面图形的面积
• S=4×4=16 s=a2×h2
求下面图形的面积
• S=5×3.2=16 s=a1×h1 • S=4×4=16 s=a2×h2
哪些是三角形？什么叫做三角形？
对教学的启示：静与动
A
在什么条件下形成三角形？ 三点不在一直线上，两边之和… 什么叫做三角形？
用这样的观点
• 如何认识长方形、正方形、平行四边形、梯 形、圆。——什么不变？
• 所谓规律：就是变化中的不变性。
• 如何引导学生认识圆周长与直径之间存在倍 数关系？