高中数学空间向量与立体几何单元练习题
空间向量与立体几何练习题(带答案)
空间向量与立体几何练习题（带答案）一、选择题1．若空间向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不同的方向B．有不相等的模C．不可能是平行向量D．不可能都是零向量【解析】若a＝0，b＝0，则a＝b，这与已知矛盾，故选D．【答案】D图2－1－72．如图2－1－7所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，在下列选项中，CD→的相反向量是()A.BA→B．A1C1→C.A1B1→D．AA1→【解析】由相反向量的定义可知，A1B1→是CD→的相反向量．【答案】C图2－1－83．在如图2－1－8所示的正三棱柱中，与〈AB→，AC→〉相等的是() A．〈AB→，BC→〉B．〈BC→，CA→〉C．〈C1B1→，AC→〉D．〈BC→，B1A1→〉【解析】∵B1A1→＝BA→，∴〈BA→，BC→〉＝〈AB→，AC→〉＝〈BC→，B1A1→〉＝60°，故选D．【答案】D4．在正三棱锥A-BCD中，E、F分别为棱AB，CD的中点，设〈EF→，AC→〉＝α，〈EF→，BD→〉＝β，则α＋β等于()A.π6B．π4C.π3D．π2【解析】如图，取BC的中点G，连接EG、FG，则EG∥AC，FG∥BD，故∠FEG＝α，∠EFG＝β.∵A－BCD是正三棱锥，∴AC⊥BD．∴EG⊥FG，即∠EGF＝π2.∴α＋β＝∠FEG＋∠EFG＝π2.【答案】D5．如图2－1－9所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB的方向向量有()图2－1－9A．8个B．7个C．6个D．5个【解析】与向量AB→平行的向量就是直线AB的方向向量，有AB→，BA→，A1B1→，B1A1→，C1D1→，D1C1→，CD→，DC→，共8个，故选A.【答案】A二、填空题6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则向量CE→和BD→的夹角为________．【解析】∵BD→为平面ACC1A1的法向量，而CE在平面ACC1A1中，∴BD→⊥CE→.∴〈BD→，CE→〉＝90°.【答案】90°7．下列命题正确的序号是________．①若a∥b，〈b，c〉＝π4，则〈a，c〉＝π4.②若a，b是同一个平面的两个法向量，则a＝B．③若空间向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c.【解析】①〈a，c〉＝π4或3π4，①错；②a∥b；②错；③当c＝0时，推不出a∥c，③错；④由于异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对．【答案】④8．在棱长为1的正方体中，S表示所有顶点的集合，向量的集合P＝{a|a ＝P1P2→，P1，P2∈S}，则在集合P中模为3的向量的个数为________．【解析】由棱长为1的正方体的四条体对角线长均为3知：在集合P 中模为3的向量的个数为8.【答案】8三、解答题图2－1－109．如图2－1－10所示，在长、宽、高分别为AB＝3、AD＝2、AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为5的所有向量；(3)试写出与AB→相等的所有向量．【解】(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA1→，A1A→，BB1→，B1B→，CC1→，C1C→，DD1→，D1D→这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD1→，D1A→，A1D→，DA1→，BC1→，C1B→，B1C→，CB1→共8个．(3)与向量AB→相等的所有向量(除它自身之外)共有A1B1→，DC→及D1C1→3个．图2－1－1110．如图2－1－11所示，正四棱锥S－ABCD中，O为底面中心，求平面SBD的法向量与AD→的夹角．【解】∵正四棱锥底面为正方形，∴BD⊥AC，SO⊥AC又∵BD∩SO＝O∴AC⊥平面SBD．∴AC→为平面SBD的一个法向量．∴〈AC→，AD→〉＝45°.图2－1－1211．如图2－1－12，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD 为正方形且PD＝AD，E、F分别是PC、PB的中点．(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量；(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量．【解】(1)取AD的中点M，连接MF，连接EF，∵E、F分别是PC、PB的中点，∴EF綊12BC，又BC綊AD，∴EF綊12AD，则由EF綊DM知四边形DEFM是平行四边形，∴MF∥DE，∴FM→就是直线DE的一个方向向量．(2)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵平面PCD，∴DE⊥BC，又PD＝CD，E为PC中点，∴DE⊥PC，从而DE⊥平面PBC，∴DE→是平面PBC的一个法向量，由(1)可知FM→＝ED→，∴FM→就是平面PBC的一个法向量.。
高中数学选择性必修一第一章《空间向量与立体几何》单元测试卷
高中数学选择性必修一第一章《空间向量与立体几何》单元测试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量()2,4,5＝a ，)3(x y ＝，，b 分别是直线1l 、2l 的方向向量，若12l l ∥，则（ ） A ．6x ＝，1y ＝B ．6x ＝，152y ＝C ．3x ＝，15y ＝D ．3x ＝，152y ＝2．若()1,2,1A -，()4,2,3B ，()6,9,4C -，则ABC △的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形3．如图，空间四边形C OAB 中，OA =a ，OB =b ，C O =c ，点M 在OA 上，23OM =OA ，点N 为C B 中点，则MN 等于（ ）A ．121232-+a b cB ．211322-++a b cC ．111222+-a b cD ．221332+-a b c4．在空间直角坐标系Oxyz 中，点()2,2,1A 关于xOy 平面对称的点的坐标为（ ）A ．()1,2,2B ．()2,2,1--C ．()2,2,1-D ．()2,2,1---5．已知空间上的两点()121A -，，，()203B -，，，以AB 为体对角线构造一个正方体，则该正方体的体积为（ ） A ．3B ．23C ．9D ．336．把边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，则异面直线AD ，BC 所成的角为（ ） A ．120︒B ．30︒C ．90︒D ．60︒7．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知M ，N 分别是BD 和AD 的中点， 则1B M 与1D N 所成角的余弦值为（ ）A 30B 30C 30D 15 8．设()321=--，，a 是直线l 的方向向量，()121=-，，n 是平面的法向量，则（ ） A ．l a ⊥B ．l a ∥C ．l a ⊂或l a ⊥D ．l a ∥或l a ⊂9．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值为（ ） A ．24B ．23C ．33D ．3210．在正四棱锥S ABCD -中，O 为顶点S 在底面的射影，P 为侧棱SD 的中点， 且SO OD =，则直线BC 与平面PAC 所成的角是（ ） A ．75︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒11．如图，四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥，3AB AD PB ===，点E 在棱PA 上，且2PE EA =，则平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为（ ）A ．23B ．66C ．33D ．6312．如图，已知正方体ABCD EFGR -的上底面中心为H ，点O 为AH 上的动点，P 为FG 的三等分点（靠近点F ），Q 为EF 的中点，分别记二面角P OQ R --，Q OR P --，R OP Q --的平面角为α，β，γ，则（ ）A ．γαβ<<B ．αγβ<<C ．αβγ<<D ．βαγ<<二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．设平面α的法向量为()122-，，，平面β的法向量为()24λ，，，若αβ∥，则λ的值 为______．14．已知()1,2,1A -，()2,2,2B ，点P 在z 轴上，且PA PB =，则点P 的坐标 为____________．15．如图，直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系， 则顶点1B 的坐标是__________．16．正四棱锥S ABCD -的八条棱长都相等，SB 的中点是E ，则异面直线AE ，SD 所成角的余弦为__________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）如图，PD 垂直正方形ABCD 所在平面，2AB ＝，E 是PB 的中点，,3cos DP AE =． （1）建立适当的空间坐标系，求出E 的坐标； （2）在平面PAD 内求一点F ，使EF ⊥平面PCB ．18．（12分）如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且1OA =，2OB OC ==，E 是OC 的中点．（1）求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； （2）求直线BE 和平面ABC 的所成角的正弦值．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为23的菱形， 60BAD ∠=︒，PD ⊥平面ABCD ，23PD =，E 是棱PD 上的一个点，23DE =，F 为PC 的中点．（1）证明：BF ∥平面ACE ；（2）求直线AF 与平面ACE 所成角的正弦值．20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA AB ⊥，PA BC ⊥，//AP CQ ，22AB BC ==，332CQ AP ==． （1）求直线PD 与平面BPQ 所成角的正弦值； （2）求二面角A PQ B --的余弦值．21．（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，AD BC ∥，90ADC ∠=︒， 且22AD BC CD ==，PA PB PD ==． （1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）设45PAD ∠=︒，求二面角B PD C --的余弦值．22．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥面ABCD ，M 是棱PD 的中点，且2AB AC PA ===，22BC =． （1）求证：CD ⊥面PAC ； （2）求二面角M AB C --的大小；（3）若N 是AB 上一点，且直线CN 与平面MAB 成角的正弦值为105，求ANNB的值．高中数学选择性必修一第一章《空间向量与立体几何》单元测试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B【解析】，解得：6x =，152y =．故选B ． 2．【答案】C【解析】因为()3,4,2AB =、()5,7,3AC =-、()2,11,1BC =-，所以0AB AC ⋅<可知角A 为钝角，故ABC △的形状是钝角三角形．选C ． 3．【答案】B【解析】由题意1132MN MA AB BN OA OB OA BC =++=+-+211211322322OA OB OC OB OA OB OC =-++-=-++；又OA =a ，OB =b ，C O =c ，∴211322MN =-++a b c ．故选B ．4．【答案】C【解析】关于xOy 平面对称的点横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为它的相反数， 从而有点()2,2,1A 关于xOy 平面对称的点的坐标为()2,2,1-，选C ． 5．【答案】D【解析】∵()121A -，，，()203B -，，，∴3AB ==，设正方体的棱长为a 3=，解得a =∴正方体的体积为3=D ．6．【答案】D 【解析】如图建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()002A ，，，()200B ，，，()020C ，，，()200D -，，，故()202AD =--，，，()220BC =-，，， 则2AD BC ⋅=，2AD =，2BC =， 所以1cos 2AD BC =，，故选D ． 7．【答案】A【解析】建立如图所示的空间坐标系，设边长为a ．则()000D ，，，()1002D a ，，，()1222B a a a ，，，()0M a a ，，，()00N a ，，， 故()102ND a a =-，，，()12B M a a a =---，，， 所以15ND a =，16B M a =，2113ND B M a ⋅=-， 则211330cos 56a ND B M a a-==，，应选答案A ．8．【答案】D【解析】因为()()()3122110⋅=⨯+-⨯+-⨯-=a n ，所以⊥a n ，即l a ∥或l a ⊂．故选D ．9．【答案】C【解析】分别以DA，DC，1DD为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系设正方体的棱长为1，可得()0,0,0D，()1,1,0B，()10,1,1C，()11,0,1A，∴()11,0,1BC=-，()11,0,1A D=--，()1,1,0BD=--，设(),,x y z=n是平面1A BD的一个法向量．∴1A DBD⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=nn，即x zx y+=+=⎧⎨⎩取1x=，得1y z==-，∴平面1A BD的一个法向量为()1,1,1=--n，设直线1BC与平面1A BD所成角为θ，∴11126sin cos,323BCBCBCθ⋅-=〈〉===⨯nnn，∴23cos1sin3θθ=-=，即直线1BC与平面1A BD所成角的余弦值是33．故选C．10．【答案】D【解析】如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O xyz-．设OD SO OA OB OC a=====，则00A a（，，），00B a（，，），00C a-（，，），022a aP⎛⎫-⎪⎝⎭，，，()2,0,0CA a=，,,22a aPA a⎛⎫=--⎪⎝⎭，设平面PAC的法向量为(),,x y z=n，则2022axa aax y z=⎧--+=⎪⎨⎪⎩可求得()0,1,1=n，则1cos ,2BC=n， ,60BC=︒n，∴直线BC与平面PAC所成的角为906030︒-︒=︒．故选D．11．【答案】B【解析】以B为坐标原点，分别以BC、BA、BP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B，()0,3,0A，()0,0,3P，()3,3,0D，()0,2,1E，∴()0,2,1BE=，()3,3,0BD=，设平面BED的一个法向量为(),,x y z=n，则20330BE y zBD x y⋅=+=⋅=+⎧⎪⎨⎪⎩=nn，取1z=，得11,,122⎛⎫=-⎪⎝⎭n，平面ABE的法向量为()1,0,0=m，∴162,6612cos==⨯n m．∴平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为66．故选B．12．【答案】D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系．考虑点与点A重合时的情况．设正方体的棱长为1，则1103P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，1Q 002⎛⎫⎪⎝⎭，，，()R 010，，，()O 001，，． 设平面的一个法向量为()1x y z =，，n ，由()()1110102211002323x OQ x y z z x y PQ x y z ⎛⎫⋅=⋅-=-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⋅=⋅--⎩=--= ⎪⎝⎭，，，，，，，，n n ，得322x y x z ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，令2x =，得()12,3,1=-n ．同理可得平面OPR 和平面OQR 的法向量分别为()2233=，，n ，()3637=，，n ． 结合图形可得：13cos cos 747α==⨯，n n ，23cos cos 1147β==⨯，n n ，12cos cos 711γ==⨯，n n cos cos cos γαβ<<，又0γ<，,αβ<π，∴γαβ>>．故选D ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】4-【解析】设平面α的法向量()122=-，，m ，平面β的法向量()24λ=，，n ， 因为αβ∥，所以∥m n ，所以存在实数k ，使得k =m n ，所以有12224kk k λ=-==⎧⎪⎨⎪⎩，解得4λ=-，故答案为4-．14．【答案】()003，， 【解析】设0(0)P z ，，，由PA PB =，得()()22141442z z ++-=++-，解得3z =，故点P 的坐标为()003，，． 15．【答案】()3,1,2【解析】2sin 33x =π=，2cos 13y =π=，2z = ，即顶点1B 的坐标是()3,1,2．16．【答案】33【解析】以正方形ABCD 的中心O 为原点，平行于AB 的直线为x 轴，平行于AD 的直线为y 轴，SO 为z 轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，设四棱锥S ABCD -棱长为2，则()1,1,0A --，()1,1,0B -，()0,0,2S ，()1,1,0D -，112,,222E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以312,,222AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()1,1,2SD =--，∴311322cos ,3911112442AE SD -+-==-++⋅++． 故异面直线AE ，SD 所成角的余弦值为33．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）111（，，）；（2）点F 的坐标是100（，，），即点F 是AD 的中点． 【解析】（1）分别以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间坐标系，如图，则200A （，，），220B （，，），020C （，，），设2PD m =，002P m （，，），则11E m （，，），∴11AE m =-（，，），002DP m （，，=） ∴22,23cos 3112m DP AE m m==++⋅，解得1m =．∴点E 坐标是111（，，）； （2）∵F ∈平面PAD ，∴可设0F x z （，，），111EF x z ---=（，，）， 又EF ⊥平面PCB ，∴EF CB ⊥⇒()()1102?20x z --⋅-=，，-1，，，解得1x =； 又∵EF PC ⊥∴()()1110220x ---⋅-=，，z ，，0z ⇒=， ∴点F 的坐标是100（，，），即点F 是AD 的中点． 18．【答案】（1）25；（2）30．【解析】（1）以O 为原点，OB 、OC 、OA 分别为X 、Y 、Z 轴建立空间直角坐标系．则有001A （，，）、200B （，，）、020C （，，）、010E （，，） ∴210EB -=（，，），021AC -=（，，），∴cos 5525EB AC ==-⋅,，所以异面直线BE 与AC 所成角的余弦为25． （2）设平面ABC 的法向量为()1x y z =，，n ，则1AB ⊥n 知120AB x z ⋅=-=n ，1AC ⊥n 知120AC y z ⋅=-=n 取()11,1,2=n ，则1sin3030EB=,n，故BE和平面ABC的所成角的正弦值为3030．19．【答案】（1）见解析；（2）26．【解析】（1）证明：连接BD，设BD AC O=，取PE的中点G，连接BG，OE，FG，在BDC△中，因为O，E分别为BD，DG的中点，所以OE BG∥，又BG⊄平面AEC，所以BG∥平面AEC，同理，在PEC△中，FG CE∥，FG∥平面AEC，因为BF⊂平面AEC，所以BF∥平面AEC．（2）以O为坐标原点，分别以OB，OC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-，在等边三角形ABD中，因为23AB=3OA=，3OB=因此()0,3,0A-，()0,3,0C，233,0,E⎛⎝⎭，(3,0,23P，3332F⎛⎝，且233,3,EC⎛=⎭，()0,3,0OC=，3932AF⎛=-⎝，设平面ACE的一个法向量为(),,x y z=n，则23033030EC x yOCy⎧⎪⎨⎪⎩⎧⋅=+-=⎪⇒⎨⋅=⎪=⎩nn，取2x=，得()2,0,3=n，直线AF 与平面ACE 所成的角为θ，则33326sin 2638149344AF AFθ-+⋅===⋅+++n n ．20．【答案】（1）55；（2）755．【解析】∵PA AB ⊥，PA BC ⊥，∴PA ⊥底面ABCD ，又底面ABCD 为矩形， ∴分别以AB ，AD ，AP 为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,1,0D ，()0,0,2P ，()2,1,3Q ． ∴()0,0,2AP =，()2,0,2BP =-，()2,1,1PQ =，()0,1,2PD =-． （1）设平面BPQ 的一个法向量()1111,,x y z =n ，则11111110220 200BP x z x y z PQ ⎧⎪⎨⎪⋅=-+=⎧⇒⎨++⋅=⎩⎩=n n ，令11z =，得()11,3,1=-n ，∴PD 与平面BPQ 所成角的正弦值11555sin 11511PD PDθ⋅===⨯n n ．（2）设平面APQ 的一个法向量()2222,,n x y z =，则222222020200AP z x y z PQ ⎧⎪⎨⋅==⎧⇒⎨++=⋅=⎩⎪⎩n n 令21x =，得 ()21,2,0=-n ，∴1212127755cos ,55115⋅===⨯n n n n n n ，∴二面角A PQ B --的余弦值为75555． 21．【答案】（1）见解析；（2）63． 【解析】（1）证明：如图，取AD ，AB 的中点O ，G ，连接OB ，OP ，OG ，PG ， 则四边形OBCD 为正方形，∴OA OB =，∴OG AB ⊥． 又PA PB =，∴PG AB ⊥， 又OGPG G =∴AB ⊥平面POG ，又PO ⊂平面POG ，∴AB PO ⊥． ∵PA PD =，∴PO AD ⊥． 又ABAD A =，∴PO ⊥平面ABCD ．又PO ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）解：由（1）知OB ，OD ，OP ，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，∵45PAD ∠=︒，PO AD ⊥，∴PO OA OB OD ===．令1OA OB OD ===，则()0,0,1P ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ， ∴()1,0,1PB =-，()0,1,1PD =-，()1,0,0CD =-． 设平面PBD 的一个法向量为()1111,,x y z =n ，由11PBPD⊥⊥⎧⎪⎨⎪⎩nn，得111111PB x zPD y z⋅=-=⋅⎧⎪⎨⎩==⎪-nn，取11x=，得()11,1,1=n．又设平面PCD的法向量为()2222,,x y z=n，由22CDPD⊥⊥⎧⎪⎨⎪⎩nn得22222CD xPD y z⋅=-=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩-=nn，取21y=，得()20,1,1=n，∴1212120116cos,332⋅++===⋅⋅n nn nn n，由图形得二面角B PD C--为锐角，∴二面角B PD C--的余弦值为63．22．【答案】（1）见解析；（2）4π；（3）1ANNB=．【解析】证明：（1）连结AC．因为在ABC△中，2AB AC==，22BC=，所以222BC AB AC=+，所以AB AC⊥．因为AB CD∥，所以AC CD⊥．又因为PA⊥地面ABCD，所以PA CD⊥．因为AC PA A=，所以CD⊥平面PAC．（2）如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0A，()0,0,2P，()2,0,0B，()0.2.0C，()2,2,0D-．因为M是棱PD的中点，所以()1,1,1M-．所以()1,1,1AM=-，()2,0,0AB=．设(),,x y z=n为平面MAB的法向量，所以0AM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即020x y z x -++=⎧⎨=⎩，令1y =，则011x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以平面MAB 的法向量()0,1,1-n =．因为PA ⊥平面ABCD ， 所以()0,0,2AP =是平面ABC 的一个法向量． 所以2cos 22AP AP AP⋅===-⨯n n,n ．因为二面角M AB C --为锐二面角， 所以二面角M AB C --的大小为4π． （3）因为N 是棱AB 上一点，所以设(),0,0N x ，(),2,0NC x =-．设直线CN 与平面MAB 所成角为α， 因为平面MAB 的法向量()0,1,1=-n ，所以210sin cos 224ACAC x ααπ⋅⎛⎫=-== ⎪⎝⎭⨯+n n ． 解得1x =，即1AN =，1NB =，所以1ANNB=．。
空间向量和立体几何练习题与答案
空间向量和立体几何练习题与答案
1.若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形就是( )
A.一个圆
B.一个点
C.半圆
D.平行四边形
答案:A
2.在长方体 ABCD-A₁B ₁C ₁D ₁中,下列关于AC₁的表达中错误的 一个就是( )
A. AA₁+A ₁B ₁+A ₁D ₁
B. AB+DD₁
+D ₁C ₁
C. AD+CC₁+D ₁C ₁
D.12(AB 1+CD 1)+A 1C 1
答案:B
3.若a ，b ，c 为任意向量，m ∈R ，下列等式不一定成立的就是( )
A.(a+b)+c=a+(b+c)
B.(a+b)•c=a•c+b•c
C. m(a+b)=ma+mb
D.(a·b)·c=a·(b·c)
答案:D
4.若三点A, B, C 共线,P 为空间任意一点,且PA+αPB=βPC,则α-β的值为( )
A.1
B.-1
C.12
D.-2
答案:B
5.设a=(x,4,3), b=(3,2, z),且a ∥b,则xz 等于( )
A.-4
B.9
C.-9
D.649
答案:B
6.已知非零向量 e ，e₂不共线，如果AB=e₁+e ₂ A C=2e ₂ 8e ₂AD=3e ₁3 ,则四点 A. B C (
) A.一定共圆
B.恰就是空间四边形的四个顶点心
C.一定共面
D.肯定不共面
答案:C。
新人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．如图，在正方形中，点,E F 分别是线段,AD BC 上的动点，且,AE BF AC =与EF 交于G ，EF 在AB 与CD 之间滑动，但与AB 和CD 均不重合．在EF 任一确定位置，将四边形EFCD 沿直线EF 折起，使平面EFCD ⊥平面ABFE ，则下列选项中错误的是（ ）A ．AGC ∠的角度不会发生变化B ．AC 与EF 所成的角先变小后变大 C ．AC 与平面ABFG 所成的角变小D ．二面角G AC B --先变大后变小2．如图所示，在正四面体A -BCD 中，E 为棱AD 的中点，则CE 与平面BCD 的夹角的正弦值为( )A ．32B ．23C ．12D ．333．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别为棱AD ，1CC ，11A D 的中点，则1B P 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．3010B ．15-C ．7010D ．154．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，13AA =，2AB AC BC ===，则1AA 与平面11AB C 所成角的大小为A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒5．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，//BC AD ，且2AB BC ==，3AD =，PA ⊥平面ABCD 且2PA =，则PB 与平面PCD 所成角的正弦值为（ ）A 42B 3C 7D 6 6．已知1e ，2e 是夹角为60的两个单位向量，则12a e e =+与122b e e =-的夹角是（ ） A ．60B ．120C ．30D ．907．如图，平行六面体中1111ABCD A B C D -中，各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，则对角线1BD 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．28．如图所示,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,AB a =,AD b =,1AA c =,M 是1D D 的中点,点N 是1AC 上的点,且113AN AC =,用,,a b c 表示向量MN 的结果是( )A ．12a b c ++ B ．114555a b c ++C ．1315105a b c --D ．121336a b c --9．正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，下列结论：①AD 与BC 所成的角为60︒：②AC 与BD 所成的角为90︒：③BC 与面ACD 所成角的正弦值为63：④二面角A BC D --2：其中正确结论的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．110．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，H 分别在棱1BB ，BC ，BA 上，且满足134BM BB =，12BN BC =，12BH BA =，O 是平面1B HN ，平面ACM 与平面11B BDD 的一个公共点，设BO xBH yBN zBM =++，则3x y z ++=（ ） A ．105B ．125C ．145D ．16511．已知A （1，0，0），B （0，﹣1，1），OA OB λ+与OB （O 为坐标原点）的夹角为30°，则λ的值为（ ） A 6 B ．6±C 6D ．6±12．设向量(),,0u a b =，(),,1c d υ=，其中22221a b c d +=+=，则下列判断错误的是（ ）A ．向量υ与z 轴正方向的夹角为定值（与c 、d 之值无关）B ．u υ⋅的最大值为2C ．u 与υ夹角的最大值为34π D ．ad bc -的最大值为l13．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1二、填空题14．在一直角坐标系中，已知()1,6A -，()3,8B -，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离为__________．15．已知空间向量(0,1,1),(1,0,1)a b ==，则向量a 与b 的夹角为_____________. 16．在长方体1111ABCD A B C D -中，13,3,4AB BC AA ===，则点D 到平面11A D C 的距离是______．17．ABC ∆的三个顶点分别是(1,1,2)A -，(5,6,2)B -，(1,3,1)C -，则AC 边上的高BD 长为__________．18．正四面体ABCD 的棱长为22的球O 过点D ，MN 为球O 的一条直径，则AM AN ⋅的最小值是__________．19．正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为2，则1AC 与1B C 所成的角为___________.20．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上.若二面角1D EC D --的大小为4π，则AE =__________．21．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P 垂直于CM ，则PBC ∆的面积的最小值为__________.22．已知非零向量n b 、及平面α，向量n 是平面α的一个法向量,则0n b ⋅=是“向量b 所在直线在平面α内”的____________条件.23．设向量()1,2,a λ=，()2,2,1b =-，若4cos ,9a b =，则实数λ的值为________. 24．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，3BC =，点M 在棱1CC 上，且1MD MA ⊥，则当1MAD 的面积取得最小值时其棱1AA =________.25．已知(2,1,3)a →=-，(4,2,)b x →=-，(1,,2)c x →=-，若a b c →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，是x =________.26．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2，点E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅的值为_____.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】以E 为原点，EA ，EF ，ED 所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为1，AE a =，利用空间向量的数量积可判断A ，B ；求出平面ABFG 的一个法向量，设AC 与平面ABFG 所成的角为θ，利用向量的数量积可求线面角，进而判断C ；求出平面AGC 的法向量以及平面AGC 的法向量，利用空间向量数量积即可求解. 【详解】以E 为原点，EA ，EF ，ED 所在的直线为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系，设正方形的边长为1，AE a =，(),0,0A a ，()0,1,1C a -，()0,,0G a ，()0,1,0F ，(),1,0B a ，对于A ，(),,0AG a a =-，()0,1,1GC a a =--，()11cos 2221AG GC a a AGC a a AG GC⋅-∠===⋅-， 故AGC ∠的角度不会发生变化，所以A 正确； 对于B ，设AC 与EF 所成的角为θ，(),1,1AC a a =--，()0,1,0EF =， ()222cos 222111AC EF AC EFa a a a θ⋅===-+++-⨯，2222a a -+对称轴为12，且()0,1a ∈，所以2222a a -+先减小后增加， 所以cos θ先增加再减小，即AC 与EF 所成的角先变小后变大，故B 正确； 对于C ，平面ABFG 的一个法向量为()0,0,1m =， 设AC 与平面ABFG 所成的角为θ，sin cos ,ACm AC m ACma θ⋅======， ()0,1a ∈，则1a a+单调递减，sin θ单调递减， 所以AC 与平面ABFG 所成的角变小，故C 正确；对于D ，设平面AGC 的法向量为()111,,n x y z =，则00n AG n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()11111010ax ay ax y a z -+=⎧⎨-++-=⎩，令11x =，11y =，11z =-， 不妨设1,1,1n，设平面ACB 的一个法向量为()222,,p x y z =，则00p AB P CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，()222010y ax a z =⎧⎨+-=⎩，令2z a =，21x a =-，即()1,0,p a a =-，cos,3n pn p n p⋅==== 2221a a -+对称轴为12，在()0,1先减小后增大，()0,1先减小后增大， 二面角G AC B --为钝角，cos ,n p ∴=-先增大后减小， 故二面角G AC B --先减小后增大，故D 错误. 故选：D 【点睛】 思路点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量. （4）利用法向量求距离、线面角或二面角.2．B解析：B 【分析】首先利用正四面体的线与线的位置关系，求出点A 在下底面的投影，进一步求出E 在下底面的射影位置，最后利用所求出的线段长，通过解直角三角形求得结果. 【详解】在正四面体A BCD -中，设棱长为a ，E 为棱AD 的中点， 如下图所示过A 做AO ⊥平面BCD ，则O 为平面BCD 的中心，延长DO 交BC 于G ，过E 做EF GD ⊥， 连接FC ，所以ECF ∠就是所求的CE 与平面BCD 的夹角． 所以222GD CD CG =-，求得3GD a =， 所以33DO a =，利用222AO AD OD =-，解得63AO a =， 所以6EF a =，3CE a =， 在Rt EFC 中，2sin EF ECF CE ∠==，故选B.【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，勾股定理的应用及相关的运算问题，具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作--作出斜线与射影所成的角；（2）证--论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算--常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角；（4）答--回答求解问题．3．A解析：A 【分析】如图以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出1B P 和MN 的坐标，设1B P 与MN 所成的角为θ，利用11cos B P MN B P MNθ=⋅⋅即可求解.【详解】如图以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()0,1,0M ，()2,2,1N ，()12,0,2B ，()0,1,2P ， 所以()12,1,0B P =-，()2,1,1MN =， 设1B P 与MN 所成的角为θ， 所以1122130cos 1056B P MN B P MNθ=⋅-⨯+==⨯⋅， 1B P 与MN 所成角的余弦值为3010，故选：A 【点睛】 方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.4．A解析：A 【分析】建立空间坐标系，计算1AA 坐标，计算平面11AB C 的法向量，运用空间向量数量积公式，计算夹角即可． 【详解】取AB 的中点D ，连接CD ，以AD 为x 轴，以CD 为y 轴，以1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，可得()1,0,0A ，()11,0,3A ，故()()()11,0,31,0,00,0,3AA =-=，而 ()()111,0,3,0,3,3B C -，设平面11AB C 的法向量为()=,,m a b c ，根据110,0m AB m AC ⋅=⋅=，解得()3,3,2m =-，111 1,?2|?|m AA cos m AA m AA ==.故1AA 与平面11AB C 所成角的大小为030，故选A ． 【点睛】考查了空间向量数量积坐标运算，关键构造空间直角坐标系，难度偏难．5．C解析：C 【分析】以A 为坐标原点建立空间坐标系，进而求得PB 和平面PCD 的法向量，再由向量的数量积即可求得PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 【详解】依题意，以A 为坐标原点,分别以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，2,3,2AB BC AD PA ====,则()()()()0,0,2,2,0,0,2,2,0,0,3,0P B C D ,从而()()()2,0,2,2,2,2,0,3,2PB PC PD =-=-=-设平面PCD 的法向量为(),,n a b c =,00n PC n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即2220320a b c b c +-=⎧⎨-=⎩， 不妨取3c =c=3,则1,2a b ==,所以平面PCD 的一个法向量为()1,2,3n =，所以PB 与平面PCD 所成角的正弦值sin cos ,PB n θ===， 故选C.【点睛】本题主要考查了线面所成的角, 其中求解平面的法向量是解题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题. 6．B 解析：B 【分析】利用平面向量的数量积公式先求解a b ⋅，再计算a 与b ，根据数量积夹角公式，即可求解.【详解】由题意得：()()12122a b e e e e ⋅=+⋅-221122132111222e e e e =-⋅-=-⨯⨯-=-，2222121122()21a e e e e e e a ==+=++==⋅ 2222112122(2)4?41b b e e e e e e ==-=+-=-= 设,a b 夹角为312,cos ,018032a b a b θθθ-⋅===-︒≤≤︒⋅， ∴120θ=.故选：B.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的夹角问题，难度一般，准确运用向量的数量积公式即可.7．B解析：B【分析】在平行六面体中1111ABCD A B C D -中，利用空间向量的加法运算得到11BD BA BB BC =++，再根据模的求法，结合各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，由()()2211BD BA BB BC =++222111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅求解. 【详解】在平行六面体中1111ABCD A B C D -中，因为各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°， 所以111111cos120,11cos6022BA BB BA BC BC BB ⋅=⋅=⨯⨯=-⋅=⨯⨯=， 所以11BD BA BB BC =++，所以()()2211BD BA BB BC =++， 222111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅，113+22+2222⎛⎫=⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭， 所以12BD =， 故选：B【点睛】本题主要考查空间向量的运算以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8．D解析：D【分析】在平行六面体1111ABCD A B C D -中根据空间向量的加法合成法则,对向量MN 进行线性表示,即可求得答案.【详解】连接1C M113AN AC = 可得:1123C N C A = ()111AC AA AC AA AD AB c a b =+=++=++ ∴1122223333C N C A c a b ==--- 又112C M a c =-- ∴11MN C N C M =-22213332c a b a c ⎛⎫=------ ⎪⎝⎭ 121336a b c --= ∴121336a b N c M =-- 故选: D.【点睛】本题考查了空间向量的加法运算,解题关键是掌握向量的加法运算和数形结合,属于基础题. 9．A解析：A【分析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法和空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判断四个命题得结论.【详解】解：取BD 中点O ，连结AO ，CO ，∵正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，∴以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设1OC =，则()0,0,1A ，()0,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，()0,1,1AD =-，()1,1,0BC =， 1cos 22AD BCAD BC AD BC ⋅⋅===⋅， ∴异面直线AB 与CD 所成的角为60︒，故①正确： ()1,0,1AC =-，()0,2,0BD =，∵0AC BD ⋅=，∴AC BD ⊥，故②正确：设平面ACD 的一个法向量为(),,t x y z =，由00t AC x z t AD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，取1z =，得()1,1,1t =，()1,1,0BC =，设BC 与面ACD 所成角为θ，则6sin cos ,332BC t BC t BC t θ⋅====⋅⋅，故③正确：平面BCD 的法向量()0,0,1n =，()0,1,1BA =，()1,1,0BC =，设平面ABC 的法向量(),,m x y z =， 则00m BA y z m BC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，得()1,1,1m =-， cos ,3m nm n m n⋅<>==⋅， ∴6sin ,3m n <>=. ∴二面角A BC D --的平面角正切值是：2，故④正确.故选：A.【点睛】本题考查利用空间向量法解决立体几何中的问题，属于综合题.10．C解析：C【分析】根据条件确定O 点位置，再根据向量表示确定,,x y z 的值，即得结果.【详解】如图，Q 为AC 与BD 交点，P 为BQ 中点，O 为MQ 与1B P 的交点.过P 作PT 平行MQ 交1BB 于T .如图,则T 为BM 中点，所以1111131334224242MT BM BB MB MB ==⨯=⨯⨯=. 所以123B O OP =， 因此1323421411()555352555BO BB BP BM BH BN BM BH BN =+=⋅+⋅+=++， 因为BO xBH yBN zBM =++，所以411,,555z x y ===,1435x y z ∴++=. 故选：C【点睛】 本题考查平面向量基底表示，考查综合分析求解能力，属中档题.11．C解析：C【分析】运用向量的坐标运算及夹角公式直接求解即可．【详解】解：(1,0,0)(0,,)(1,,)OA OB λλλλλ+=+-=-， ∴2||12,||2OA OB OB λλ+=+=，()2OA OB OB λλ+=，∴cos302λ︒=， ∴4λ=，则0λ>，∴2λ=． 故选：C ．【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．12．B解析：B【分析】在A 中，取z 轴的正方向向量(0,0,t)t =，求出n 与t 的夹角即可判断命题正确；在B 中，计算u v ac bd ⋅=+，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；在C 中，利用数量积求出u 与v 的夹角的最大值，即可判断命题正确；在D 中，利用不等式求出最大值即可判断命题正确．【详解】解：由向量(,,0)u a b =，(,,1)v c d =，其中22221a b c d +=+=，知：在A 中，设z 轴正方向的方向向量(0,0,),0z t t =>，向量v 与z 轴正方向的夹角的余弦值：2cos 452||||z v a z v t c α︒⋅===∴=⋅⋅， ∴向量v 与z 轴正方向的夹角为定值45°（与c ，d 之值无关），故A 正确；在B 中，222222221222a cb d a bcd u v ac bd +++++⋅=+≤+==， 且仅当a ＝c ，b ＝d 时取等号，因此u v ⋅的最大值为1，故B 错误；在C 中，由B 可得：||1,11u v u v ⋅≤∴-≤⋅≤，2cos ,||||2u v u v u v a ⋅∴<>==≥=-⋅+， ∴u 与v 的夹角的最大值为34π，故C 正确； 在D 中，222222221222a dbc a b cd ad bc +++++-≤+==， ∴ad −bc 的最大值为1．故D 正确．故选：B ．【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，考查运算求解能力，是中档题．13．D解析：D【分析】根据平面向量运算法则可知2i iAB AP AB AB BP ⋅=+⋅，由线面垂直性质可知0i AB BP ⋅=，从而得到21i AB AP AB ⋅==，进而得到结果. 【详解】 ()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅AB ⊥平面286BP P P i AB BP ∴⊥ 0i AB BP ∴⋅= 21i AB APAB ∴⋅== 则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为1个故选：D【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想. 二、填空题14．【分析】通过用向量的数量积转化求解距离即可【详解】解：在直角坐标系中已知现沿轴将坐标平面折成的二面角后在平面上的射影为作轴交轴于点所以所以所以故答案为：【点睛】此题考查与二面角有关的立体几何综合题考解析：【分析】通过用向量的数量积转化求解距离即可【详解】解：在直角坐标系中，已知()1,6A -，()3,8B -，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角后，()1,6A -在平面xOy 上的射影为C ，作BD x ⊥轴，交x 轴于点D ，所以AB AC CD DB =++,所以2222222AB AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++⋅+⋅+⋅ 2221648268682=++-⨯⨯⨯=，所以AB =,故答案为：【点睛】此题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查了数形结合的思想，属于中档题. 15．【分析】根据两向量的夹角余弦公式即可求出两向量的夹角【详解】解：10向量与的夹角为故答案为：【点睛】本题考查空间两向量的夹角大小的应用问题是基础题目 解析：3π【分析】根据两向量的夹角余弦公式，即可求出两向量的夹角．【详解】 解：(0a =，1，1)，(1b =，0，1)， ∴·1a b =，||2a =，||2b =，cos a ∴<，12||||22a b b a b >===⨯⨯， 向量a 与b 的夹角为3π． 故答案为：3π. 【点睛】 本题考查空间两向量的夹角大小的应用问题，是基础题目．16．【分析】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出点到平面的距离【详解】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系设平面的法向量则即取得∴点到平面的距离：故答案为【点睛】空间中点到平面的距离 解析：125【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D 到平面11A D C 的距离．【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0,0,0)D ，1(3,0,4)A ，1(0,0,4)D ，(0,3,0)C ，1(0,0,4)D D =-，11(3,0,0)D A =，1(0,3,4)DC =-， 设平面11A D C 的法向量(,,)n x y z =，则11100n D A n D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30340x y z =⎧⎨-=⎩，取4y =，得(0,4,3)n =， ∴点D 到平面11A D C 的距离： 112||5D D nd n ⋅==． 故答案为125． 【点睛】 空间中点到平面的距离的计算，应该通过作出垂足把距离放置在可解的平面图形中计算，注意在平面图形中利用解三角形的方法（如正弦定理、余弦定理等）来求线段的长度、面积等.我们也可以利用空间向量来求，把点到平面的距离问题转化为直线的方向向量在平面的法向量上的投影问题.17．5【解析】分析：设则的坐标利用求得即可得到即可求解的长度详解：设则所以因为所以解得所以所以点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减或数乘运算(2)解析：5 【解析】 分析：设AD AC λ=，则,OD BD 的坐标，利用BD AC ⊥，求得45λ=-，即可得到 912(4,,)55BD =-，即可求解BD 的长度.详解：设AD λAC =，则()()()OD OA λAC 1,1,2λ0,4,31,14λ,23λ=+=-+-=-+-，所以()BD OD OB 4,54λ,3λ=-=-+-，因为BD AC ⊥，所以()BD AC 0454λ9λ0⋅=+++=，解得4λ5=-， 所以912BD 4,,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以(22912BD 5⎫⎛⎫=-=. 点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.18．【解析】很明显当四点共面时数量积能取得最值由题意可知：则是以点D 为顶点的直角三角形且：当向量反向时取得最小值：解析：4-【解析】很明显当,,,O D M N 四点共面时数量积能取得最值，由题意可知：OD OM ON ==，则MDN △是以点D 为顶点的直角三角形，且： ()()()2420,AM AN AD DM AD DN AD AD DM DN DM DNAD DO ⋅=+⋅+=+⋅++⋅=+⋅+ 当向量,AD DO 反向时，AM AN ⋅取得最小值：4224-⨯=-19．【分析】作出图形分别取的中点连接以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法可求得异面直线与所成的角【详解】分别取的中点连接如下图所示：在正三棱柱中平面且分别为的中点且所以四边形为 解析：3π 【分析】作出图形，分别取AC 、11A C 的中点O 、E ，连接OE 、OB ，以点O 为坐标原点，OB 、OC 、OE 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线1AC 与1B C 所成的角.【详解】分别取AC 、11A C 的中点O 、E ，连接OE 、OB ，如下图所示：在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，11//AC A C 且11AC A C =， O 、E 分别为AC 、11A C 的中点，1//AO A E ∴且1AO A E =，所以，四边形1AOEA 为平行四边形，1//OE AA ∴，则OE ⊥平面ABC ， ABC 为等边三角形，O 为AC 的中点，则OB AC ⊥，以点O 为坐标原点，OB 、OC 、OE 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -、()0,1,0C 、13,0,22B 、(10,1,22C ， (10,2,22AC =，(13,1,22B C =--， 1111111cos ,22323AC B CAC B C AC B C ⋅<>===-⨯⋅， 因此，1AC 与1B C 所成的角为3π. 故答案为：3π. 【点睛】 方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.20．【解析】分析：以D 为原点建立空间直角坐标系设再求出平面和平面的法向量利用法向量所成的角表示出二面角的平面角解方程即可得出答案详解：以D 为原点以为轴的正方向建立空间直角坐标系设平面的法向量为由题可知平 解析：23【解析】分析：以D 为原点，建立空间直角坐标系，设(02)AE λλ=≤≤，再求出平面AECD 和平面1D EC 的法向量，利用法向量所成的角表示出二面角的平面角，解方程即可得出答案. 详解：以D 为原点，以DA ，DC ，1DD 为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设(02)AE λλ=≤≤，平面1D EC 的法向量为(,,)m x y z =由题可知，1(0,0,1)D ，(0,2,0)C ，(1,,0)E λ，1(0,2,1)DC =-，(1,2,0)CE λ=- 平面AECD 的一个法向量为z 轴，∴可取平面AECD 的法向量为(0,0,1)n =(,,)m x y z =为平面1D EC 的法向量，∴120(2)0m D C y z m CE x y λ⎧⋅=-=⎨⋅=+-=⎩ 令1y =，则(2,1,2)m λ=-二面角1D EC D --的大小为4π ∴cos 4m nm n π⋅=⋅，即 222(2)12λ=-++ 解得 23λ=-，23λ=+（舍去）∴23AE =-故答案为23-点睛：空间向量法求二面角（1）如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．(2)如图2、3，12,n n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小12,n n θ=(或12,n n π-)．21．【分析】建立空间直角坐标系由求得得到进而求得三角形的面积的最小值得到答案【详解】以D 点为空间直角坐标系的原点以DC 所在直线为y 轴以DA 所在直线为x 轴以为z 轴建立空间直角坐标系则点所以因为所以因为所以【分析】建立空间直角坐标系，由1D P CM ⊥，求得22z y =-，得到BP =而求得三角形的面积的最小值，得到答案.【详解】以D 点为空间直角坐标系的原点，以DC 所在直线为y 轴，以DA 所在直线为x 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系.则点1(2,,),(0,0,2)P y z D ，所以1(2,,2)D P y z =-.因为(0,2,0),(2,0,1)C M ，所以(2,2,1)CM =-,因为1D P CM ⊥,所以4220y z -+-=，所以22z y =-，因为B(2，2，0)，所以(0,2,)BP y z =-，所以BP ===因为02y ≤≤，所以当65y =时，min BP =.因为BC ⊥BP ,所以min 1()22PBC S ∆=⨯=. 【点睛】 本题主要考查了空间向量的应用，其中解答建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标表示，以及向量的数量积的运算，求得BP 的最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.22．必要不充分【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解：若向量是平面的法向量则若则则向量所在直线平行于平面或在平面内即充分性不成立若向量所在直线平行于平面或在平面内则向量是平面的法向量 解析：必要不充分【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若向量n 是平面α的法向量，则n α⊥，若0n b =，则//b α，则向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内，即充分性不成立， 若向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内，则//b α，向量n 是平面α的法向量，∴n α⊥，则n b ⊥，即0n b =，即必要性成立，则0n b =是向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内的必要条件，故答案为：必要不充分【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量和平面的位置关系是解决本题的关键．23．或【分析】由公式结合空间向量数量积的坐标运算律得出关于实数的方程解出该方程可得出实数的值【详解】则解得或故答案为或【点睛】本题考查空间向量数量积的坐标运算解题的关键就是利用空间向量数量积的坐标运算列 解析：2或1227-. 【分析】 由公式4cos ,9a ba b a b ⋅==⋅结合空间向量数量积的坐标运算律得出关于实数λ的方程，解出该方程可得出实数λ的值. 【详解】()1,2,a λ=，()2,2,1b =-，246a b λλ⋅=+-=-，25a λ=+，3b =， 24cos ,9a ba b a b λ⋅===+⋅，则606λλ->⇒<，解得2λ=或1227-. 故答案为2或1227-. 【点睛】 本题考查空间向量数量积的坐标运算，解题的关键就是利用空间向量数量积的坐标运算列出方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.24．【分析】设建立空间直角坐标系由向量的垂直可得进而可得由基本不等式即可得解【详解】设如图建立空间直角坐标系则所以又所以所以所以当且仅当时等号成立所以当的面积取得最小值时其棱故答案为：【点睛】本题考查了 解析：2【分析】设()10AA m m =>，()0M n n C m =≤≤，建立空间直角坐标系，由向量的垂直可得1m n n -=，进而可得1221452MAD S n n=++△，由基本不等式即可得解. 【详解】设()10AA m m =>，()0M n n C m =≤≤，如图建立空间直角坐标系，则()10,0,D m ，()0,1,M n ，()3,0,0A ， 所以()10,1,M n m D =-，()3,1,AM n =-，又1MD MA ⊥，所以()110M A D M n n m ⋅=+-=，所以1m n n -=， 所以()122122111113114222MAD S M AM m n n n nD =⋅=+-++=++△()2222221114143415522222n n n n n n ⎛⎫=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当2n =322m =时，等号成立， 所以当1MAD 的面积取得最小值时其棱1322AA =. 故答案为：322. 【点睛】 本题考查了空间向量及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，合理转化、细心计算是解题关键，属于中档题.25．-4【分析】由题可知可得运用向量数量积的坐标运算即可求出【详解】解：根据题意得解得：故答案为：【点睛】本题考查空间向量垂直的数量积关系运用空间向量数量积的坐标运算考查计算能力解析：-4【分析】由题可知，a b c →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，可得0a b c →→→⎛⎫+= ⎪⎝⎭，运用向量数量积的坐标运算，即可求出x ． 【详解】解：根据题意得， ()2,1,3a b x →→+=-+ a b c →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭， ∴22(3)0a b c x x →→→⎛⎫+=--++= ⎪⎝⎭， 解得：4x =-．故答案为：4-．【点睛】本题考查空间向量垂直的数量积关系，运用空间向量数量积的坐标运算，考查计算能力． 26．1【分析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果【详解】因为点分别是边的中点则又因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2所以原式故答案为:【点睛】本题考查了向量数量积的运算解题过 解析：1【分析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果.【详解】因为点E ,F 分别是边BC ,AD 的中点, 则111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD ⋅=+⋅=⋅+⋅,又因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2,所以原式1(22cos6022cos60)14=⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒=. 故答案为:1【点睛】本题考查了向量数量积的运算,解题过程中运用向量的加法运算进行转化,转化为空间四边形边之间的关系,然后再结合题意计算出结果,需要掌握解题方法.。
高中数学空间向量与立体几何单元练习题(含解析)
高中数学空间向量与立体几何单元练习题（含解析）一、单选题1．在空间直角坐标系Oxyz 中，与点()1,2,1-关于平面xOz 对称的点为（ ） A ．()1,2,1-- B ．()1,2,1- C ．()1,2,1--- D ．()1,2,1-- 2．在空间直角坐标系内，平面α经过三点(1,0,2),(0,1,0),(2,1,1)A B C -，向量(1,,)n λμ=是平面α的一个法向量，则λμ+=（ ）A ．7-B ．5-C ．5D ．73．已知点()3,1,0A -，若向量()2,5,3AB =-，则点B 的坐标是（ ）．A ．()1,6,3-B ．()5,4,3-C ．()1,6,3--D ．()2,5,3- 4．如图，O A B '''△是水平放置的OAB 的直观图，6A O ''=，2''=B O ，则OAB 的面积是（ ）A ．6B ．12C ．D ．5．平面α的一个法向量是1(2n =,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =-,6,2)-，则平面α与平面β的关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．垂直6．已知某圆柱的内切球半径为92，则该圆柱的侧面积为（ ） A ．492π B ．49π C ．812π D ．81π 7．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）A ．OA 、OB 、OC 共线B ．OA 、OB 共线C ．OB 、OC 共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，则异面直线1D E 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A B C D9．已知△ABC 且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）AB ．32C ．1D 10．在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为AB ，CD 的中点，则（ ）A ．1AB ⊥平面11A BCB ．异面直线1AB 与11AC 所成的角为30° C ．平面11ABD ∥平面1BC Q D ．平面1B CD ⊥平面1B DP二、填空题11．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________.12．若直线l 的方向向量(),1,2m x =-，平面α的法向量()2,2,4n =--，且直线l ⊥平面α，则实数x 的值是______.13．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术・商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术・商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体P ABC ，其中PA ⊥平面ABC ，2PA AC ==，BC =P ABC 的外接球的表面积为______．14．设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a 满足对任意的,,x y a xi y j --的最小值是2，则3a k +的最小值是_________．三、解答题15．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，点D 是AB 的中点．(1)求证：1AC ∥平面1CDB ．(2)若1AA ⊥平面ABC ，AC BC =，求证：CD ⊥平面11ABB A ．16．如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：（1）EH ∥平面BCD ；（2）BD ∥平面EFGH .17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，E 为PB 的中点.(1)求证：EO平面PDC；(2)求证：平面PAC⊥平面PBD.18．如图，在三棱锥A BCD-中，平面ABD⊥平面BCD，AB AD=，O为BD的中点.⊥；（1）证明：OA CD（2）若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，2=，且二面角DE EA-的体积.E BC D--的大小为45︒，求三棱锥A BCD高中数学空间向量与立体几何单元练习题答案1．A【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.【详解】解：因为点()1,2,1-，则其关于平面xOz 对称的点为()1,2,1--.故选：A.2．D【解析】求出(1,1,2)AB =--，(2,0,1)BC =-，利用与(1,,)n λμ=数量积为0，求解即可.【详解】(1,1,2)AB =--，(2,0,1)BC =-120n AB λμ⋅=-+-=20n BC μ⋅=-+=可得2μ=，5λ=，7λμ+=故选：D3．B【分析】利用空间向量的坐标运算求得B 的坐标.【详解】设O 为空间坐标原点，()()()3,1,02,5,35,4,3OB OA AB =+=-+-=-.故选：B4．B【分析】由直观图和原图的之间的关系，和直观图画法规则，还原OAB 是一个直角三角形，其中直角边6,4OA OB ==，直接求解其面积即可．【详解】解：由直观图画法规则，可得OAB 是一个直角三角形，其中直角边6,4OA OB ==， ∴11641222OAB S OA OB =⋅=⨯⨯=． 故选：B ．5．C【分析】由题设知6m n =-，根据空间向量共线定理，即可判断平面α与平面β的位置关系. 【详解】平面α的一个法向量是1(2n =,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =-,6,2)-， ∴6m n =-，∴平面α与平面β的关系是平行或重合．故选：C ．6．D 【分析】由题意可得该圆柱底面圆的半径为92，圆柱的高为9，从而可求出其侧面积 【详解】由题意得，该圆柱底面圆的半径为92，圆柱的高为9， 所以该圆柱的侧面积为929812ππ⨯⨯=. 故选：D7．D【解析】根据向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论.【详解】因为O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底， 所以OA 、OB 、OC 共面，所以O 、A 、B 、C 四点共面，故选：D8．B【分析】连接1AD ，AE ，得到11//AD BC ，把异面直线1D E 与1BC 所成角转化为直线1D E 与1AD 所成角，取1AD 的中点F ，在直角1D EF 中，即可求解.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1AD ，AE ，可得11//AD BC ，所以异面直线1D E 与1BC 所成角即为直线1D E 与1AD 所成角，即1AD E ∠为异面直线1D E 与1BC 所成角，不妨设12AA =，则1AD =1D E AE =取1AD 的中点F ，因为1D E AE =，所以1EF AD ⊥，在直角1D EF中，可得111cos D F AD E D E ∠==故选：B.9．C 【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离d =【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =.设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC212a ∴=3a =，2233r ∴==∴球心O 到平面ABC 的距离1d ==.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.10．D【分析】A 项反证法可得；B 项由平移法计算异面直线所成角；C 项由面面平行的判断和性质可得结果；D 项建立空间直角坐标系可得结果.【详解】对于选项A ，假设1AB ⊥面11A BC ，则111AB AC ⊥，这与已知1AB 与11A C 不垂直相矛盾，所以假设不成立.故选项A 错误； 对于选项B ，连接1DC ，1DA ，因为11AB DC ∥，所以11DC A ∠为异面直线1AB 与11A C 所成的角或补角，又因为△11AC D 为等边三角形，所以1160DC A ∠=︒，故选项B 错误；对于选项C ，因为11B D BD ∥，11AD BC ∥，由面面平行的判定定理可得平面11AB D ∥平面1BDC ，而平面1BQC 与平面1BDC 相交，所以平面11AB D 与平面1BC Q 也相交，故选项C 错误； 对于选项D ，以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为1，则()0,0,0D ，()11,1,1B ，()0,1,0C ，11,,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得()11,1,1DB =，()0,1,0DC =，11,,02DP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面1B CD 的法向量为()1,,n x y z =， 则11100n DB x y z n DC y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩，可取1x =，则0y =，1z =-，即()11,0,1n =-， 设平面1B DP 的法向量为()2,,b c n a =，则2120102n DB a b c n DP a b ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 可取1a =，则2b =-，1c =，可得平面1B DP 的一个法向量为()21,2,1n =-，由121010n n ⋅=+-=，所以12n n ⊥，即平面1B CD ⊥平面1B DP ，故选项D 正确. 故选：D.11．135°【分析】首先根据题意将图画出，然后根据α＝45°，AB ∥CD ，可得180BCD α︒∠=-，进而得出结论.【详解】解：如图，由题意知α＝45°，AB ∥CD ，180135BCD α︒︒∴∠=-=，即135β︒=.故答案为：135°.【点睛】本题考查了平行线的性质，结合图会使问题变得简单，属于基础题.12．-1【分析】利用法向量的定义和向量共线的定理即可.【详解】直线l 的方向向量(),1,2m x =-，平面α的法向量()2,2,4n =--，直线l ⊥平面α， 必有//m n ，即向量m 与向量n 共线，m n λ∴= ，∴11222x -==--，解得=1x -； 故答案为：-1.13．16π 【分析】确定外接球球心求得球半径后可得表面积．【详解】由于PA ⊥平面ABC ，因此PA 与底面上的直线,,AC AB BC 都垂直，从而AC 与AB 不可能垂直，否则PBC 是锐角三角形，由于<AC BC ，因此有AC BC ⊥，而PA 与AC 是平面PAC 内两相交直线，则BC ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BC PC ⊥，所以PB 的中点O 到,,,P A B C 四个点的距离相等，即为四面体P ABC 的外接球球心．2222222222216PB PA AB PA AC BC =+=++=++=，4PB =， 所以所求表面积为224()42162PB S πππ=⨯=⨯=． 故答案为：16π．14．1【分析】以,i j 方向为,x y 轴，垂直于,i j 方向为z 轴建立空间直角坐标系，根据条件求得a 坐标，由3a k +的表达式即可求得最小值.【详解】以,,i j k 方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0i =，()0,1,0j =，()0,0,1k =设(),,a r s t = 则(a xi y j r x --=- 当,r x s y ==时a xi y j --的最小值是2，2t ∴=±取(),,2a x y = 则()3,,5a k x y +=23a k x ∴+=+又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是5.取(),,2a x y =- 则()3,,1a k x y +=23a k x ∴+=+又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是1.故答案为：1.15．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)连接1BC ，交1B C 于点E ，连接ED ，用中位线证明1ED AC ∥即可；(2)证明CD ⊥AB ，CD ⊥1AA 即可.【详解】（1）连接1BC ，交1B C 于点E ，连接.ED∵111ABC A B C 是三棱柱，∴四边形11BCC B 为平行四边形，∴E 是1BC 的中点.∵点D 是AB 的中点，∴ED 是1ABC 的中位线，∴1ED AC ∥，又ED ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，∴1AC ∥平面1CDB .（2）∵1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴1AA AB ⊥，∵AC BC =，AD BD =，∴CD AB ⊥，∵1AA AB A =，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，∴CD ⊥平面11ABB A .16．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）推导出EH ∥BD ，由此能证明EH ∥平面BCD ；（2）由BD ∥EH ，由此能证明BD ∥平面EFGH .【详解】（1）∵EH 为△ABD 的中位线，∴EH ∥BD .∵EH ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，∴EH ∥平面BCD ；（2）∵FG 为△CBD 的中位线，∴FG ∥BD ，∴FG ∥EH ，∴E 、F 、G 、H 四点共面，∵BD ∥EH ，BD ⊄平面EFGH ，EH ⊂平面EFGH ，∴BD ∥平面EFGH .【点睛】本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想，是中档题.17．(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴O 为BD 的中点，∵E 为PB 的中点，∴OE PD ∥，又∵OE ⊄平面,PDC PD ⊂平面PDC ，∴OE 平面PDC ；（2）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AC BD ⊥，∵PD ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥，又∵,PD BD ⊂平面PBD ，且PD BD D ⋂=，∴AC ⊥平面PBD ，又∵AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PDB .18．(1)证明见解析；【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】（1）因为AB AD =，O 是BD 中点，所以OA BD ⊥，因为OA ⊂平面ABD ，平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以OA ⊥平面BCD ．因为CD ⊂平面BCD ，所以OA CD ⊥.（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O 为坐标原点，OA 为z 轴，OD 为y 轴，垂直OD 且过O 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则1,0),(0,1,0),(0,1,0)2C D B -，设12(0,0,),(0,,)33A m E m ,所以4233(0,,),(,,0)3322EB m BC =--=， 设(),,n x y z =为平面EBC 的法向量，则由00EB n EC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩可求得平面EBC 的一个法向量为2(3,1,)n m =--． 又平面BCD 的一个法向量为()0,0,OA m =，所以cos ,n OA ==1m =． 又点C 到平面ABD 112132A BCD C ABD V V --==⨯⨯⨯=， 所以三棱锥A BCD - [方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作EG BD ⊥，垂足为点G ．作GF BC ⊥，垂足为点F ，连结EF ，则OA EG ∥．因为OA ⊥平面BCD ，所以EG ⊥平面BCD ，EFG ∠为二面角E BC D --的平面角．因为45EFG ∠=︒，所以EG FG =．由已知得1OB OD ==，故1OB OC ==．又30OBC OCB ∠=∠=︒，所以BC =因为24222,,,,133333GD GB FG CD EG OA ======，111122(11)13332A BCD BCD BOC V S O S OA A -==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=． [方法三]：三面角公式考虑三面角B EDC -，记EBD ∠为α，EBC ∠为β，30DBC ∠=︒，记二面角E BC D --为θ．据题意，得45θ=︒．对β使用三面角的余弦公式，可得cos cos cos30βα=⋅︒，化简可得cos βα=．①使用三面角的正弦公式，可得sin sin sin αβθ=，化简可得sin βα．② 将①②两式平方后相加，可得223cos 2sin 14αα+=， 由此得221sin cos 4αα=，从而可得1tan 2α=±．如图可知π(0,)2α∈，即有1tan 2α=， 根据三角形相似知，点G 为OD 的三等分点，即可得43BG =， 结合α的正切值，可得2,13EG OA ==从而可得三棱锥A BCD - 【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.。
高中数学第一章-空间向量与立体几何单元测试(基础卷)(解析版)
第一章空间向量与立体几何单元过关基础A 版解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．空间直角坐标系中，点()2,3,5-关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．()2,3,5--- B ．()2,3,5 C ．()2,3,5-- D ．()2,3,5-【答案】A 【解析】 【分析】关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标、竖坐标变为相反数． 【详解】关于y 轴对称的两点的纵坐标相同，横坐标、竖坐标均互为相反数． 所以点()2,3,5-关于y 轴对称的点的坐标是()2,3,5---． 故选：A ． 【点睛】本题考查空间平面直角坐标系，考查关于坐标轴、坐标平面对称的问题．属于基础题．2．如图所示，在一个长、宽、高分别为2、3、4的密封的长方体装置2223333DA B C D A B C -中放一个单位正方体礼盒1111DABC D A B C -，现以点D 为坐标原点，2DA 、2DC 、3DD 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则正确的是（ ）A ．1D 的坐标为(1,0,0)B ．1D 的坐标为(0,1,0)C ．13B B 293D ．13B B 14【答案】D【分析】根据坐标系写出各点的坐标分析即可. 【详解】由所建坐标系可得：1(0,0,1)D ，1(1,1,1)B ，3(2,3,4)B ，13B B ==.故选：D. 【点睛】本题考查空间直角坐标系的应用，考查空间中距离的求法，考查计算能力，属于基础题.3．空间直角坐标系中，已知点()()1,2,3345A B 、，，，则线段AB 的中点坐标为（ ） A ．()234，， B ．()134，， C ．()235，， D ．()245，， 【答案】A 【解析】点()()1,2,3345A B 、，，， 由中点坐标公式得中得为：132435,,222+++⎛⎫⎪⎝⎭，即()234，，. 故选A.4．已知空间中三点(0,1,0)A ，(2,2,0)B ，(1,3,1)C -，则（ ） A ．AB 与AC 是共线向量B ．AB 的单位向量是⎫⎪⎪⎝⎭C ．AB 与BCD ．平面ABC 的一个法向量是(1,2,5)- 【答案】D 【分析】根据向量的相关性质判断. 【详解】对于A 项，(2,1,0)AB =，(1,2,1)AC =-，所以AB AC λ≠，则AB 与AC 不是共线向量，所以A 项错误；对于B 项，因为(2,1,0)AB =，所以AB的单位向量为55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以B 项错误； 对于C 项，向量(2,1,0)AB =，(3,1,1)BC =-，所以cos ,11AB BC AB BC AB BC⋅==-⋅，所以C 项错误；对于D 项，设平面ABC 的法向量是(,,)n x y z =，因为(2,1,0)AB =，(1,2,1)AC =-，所以00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则2020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，令1x =，则平面ABC 的一个法向量为(1,2,5)n =-，所以D 项正确. 故选:D. 【点睛】本题考查共线向量的判断，单位向量的求法，夹角的求法，平面法向量的求法，属于空间向量综合题.5．两平行平面 α，β 分别经过坐标原点 O 和点 ()2,1,1A ，且两平面的一个法向量()1,0,1n =-，则两平面间的距离是()A ．32BC D ．【答案】B 【解析】两平行平面 α，β 分别经过坐标原点 O 和点 ()2,1,1A ，()2,1,1OA =，且两平面的一个法向量()1,0,1,n =-∴两平面间的距离22n OA n⋅-+===，故选B. 6．下图是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -木块的直观图，其中,,P Q F 分别是11D C ，BC ，AB 的中点，平面α过点D 且平行于平面PQF ，则该木块在平面α内的正投影面积是（ ）A ．43B ．33C ．23D 3【答案】A 【分析】先根据题意平面α可以平移至平面11A BC ，即木块在平面α内的正投影即可看成是在平面11A BC 的正投影，根据投影的性质可得投影为正六边形'''111A A BC C D ，最后根据正六边形面积公式可求出投影的面积． 【详解】解：根据题意可知平面α过点D 且平行于平面PQF ， 则平面α可以平移至平面11A BC ，木块在平面α内的正投影即可看成是在平面11A BC 的正投影， 根据投影的性质可得投影为正六边形'''111A A BC C D 如图所示， 因为正方体1111ABCD A B C D -棱长为2， 所以221222A B =+=则投影面内正六边形的边长为：'1226cos303A A ==根据正六边形面积公式可得投影的面积为：'''111233264323A A BC C D S ⎛=⨯= ⎝⎭故投影面积为：43故选：A【点睛】本题主要考查空间几何体和正投影得概念，考查面积公式是计算，考查空间想象力和推导能力，属于难题．7．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为3，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2||HP 的最小值是（ ）A ．21B ．22C ．23D ．13【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系,根据P 在11BCC B 内可设出P 点坐标，作1HM BB ⊥,连接PM ,可得222HP HM MP =+，作1PN CC ⊥，根据空间中两点间距离公式，再根据二次函数的性质，即可求得2HP 的范围. 【详解】根据题意,以D 为原点建立空间直角坐标系如图所示：作1HM BB ⊥交1BB 于M,连接PM ，则HM PM ⊥作1PN CC ⊥交1CC 于N ，则PN 即为点P 到平面11CDD C 距离. 设(),3,P x z ,则()()()1,3,2,3,3,2,0,3,F M N z ()03,03x z ≤≤≤≤ ∵点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长 ∴PN PF =由两点间距离公式可得()()2212x x z =-+-化简得()2212x z -=-,则210x -≥解不等式可得12x ≥综上可得132x ≤≤ 则在Rt HMP ∆中222HP HM MP =+()()222332x z =+-+-()223321x x =+-+-()2213x =-+132x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭所以213HP ≥（当时2x = 取等） 故选:D 【点睛】本题考查了空间直角坐标系的综合应用，利用空间两点间距离公式及二次函数求最值，属于难题. 8．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i =⋅⋅⋅是上底面上其余的八个点，则集合{},1238i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A 【分析】本题首先可根据图像得出i i AP AB BP =+，然后将i AB AP ⋅转化为2iAB A P B B +⋅，最后根据棱长为1以及i ABBP 即可得出结果.【详解】由图像可知，i i AP AB BP =+，则()2i i i AB BP AB AP AB B AB A P B ⋅==+⋅+， 因为棱长为1，i ABBP ，所以0i AB BP ⋅=，2101i i AB AP AB AB BP ⋅=+=+=⋅， 故集合{},1238i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数为1， 故选：A . 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想，考查集合中元素的性质，是中档题.二、多选题9．给出下列命题，其中正确的有（ ） A ．空间任意三个向量都可以作为一组基底B ．已知向量//a b ，则a 、b 与任何向量都不能构成空间的一组基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA ，BM ，BN 不能构成空间的一组基底，则A ，B ，M ，N 共面D ．已知{,,}a b c 是空间向量的一组基底，若m a c =+，则{,,}a b m 也是空间一组基底 【答案】BCD 【分析】选项A 、B 中，根据空间基底的概念，可判断；选项C 中，可得,,BA BM BN 共面，又由,,BA BM BN 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，由此可判断；选项D 中：基向量,a b 与向量m a c =+一定不共面，由此可判断． 【详解】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A 不正确；选项B 中，根据空间基底的概念，可得B 正确；选项C 中，由,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN 共面，又由,,BA BM BN 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；选项D 中：由{},,a b c 是空间的一个基底，则基向量,a b 与向量m a c =+一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确． 故选：BCD.10．已知v 为直线l 的方向向量，1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中，正确的是（ ） A ．1n ∥2n ⇔α∥β B ．1n ⊥2n ⇔α⊥β C ．v ∥1n ⇔l ∥α D ．v ⊥1n ⇔l ∥α【答案】AB 【分析】根据线面直线的位置关系逐一判断即可. 【详解】解：v 为直线l 的方向向量，1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合）， 则1n ∥2n ⇔α∥β，1n ⊥2n ⇔α⊥β，v ∥1n ⇔l ⊥α，v ⊥1n ⇔l ∥α或l ⊂α. 因此AB 正确.故选：AB.11．在长方体ABCD A B C D ''''-中，2AB =，3AD =，1AA '=，以D 为原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A ．(3,2,1)BD '=--B ．异面直线A D '与BD '所成角的余弦值为35C ．平面A CD ''的一个法向量为(2,3,6)-- D ．二面角C A D D '''--的余弦值为37【答案】ACD 【分析】由向量法对每一选项进行逐一计算验证，可得答案. 【详解】由题意可得()()()3,0,0,3,2,0,0,2,0A B C ,()()()()0,0,1,3,0,1,0,2,1,3,2,1D A C B '''' 选项A: 所以(3,2,1)BD '=--，则A 正确.选项B:()3,0,1DA '=,(3,2,1)BD '=--,所以,cos ,10DA BDDA BD DA BD ''''==''⋅=所以异面直线A D '与BD '所成角的余弦值为35，则B 不正确. 选项C ：设平面A C D ''的一个法向量为(),,n x y z =由()3,0,1DA '=,()0,2,1DC '=，则00n DA n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩'' 所以3020x z y z +=⎧⎨+=⎩ ，取6z =，得()2,3,6n =--，则C 正确.选项D ：由上可得平面A C D ''的一个法向量为(2,3,6)n =-- 又平面A DD ''的法向量为()0,1,0m = 则3cos ,17n m n m n m⋅-==⨯⋅ 所以二面角C A D D '''--的余弦值为37，则D 正确. 故选：ACD12．若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．11B E A B ⊥B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD 【分析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算11B E A B ⋅值即可判断A ；分别求出平面1B CE ，平面1A BD 的法向量，判断它们的法向量是否共线，即可判断B ；利用等体积法，求出三棱锥11-B CC E 的体积即可判断C ；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故求出长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积即可判断D.【详解】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-，因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y = 所以(1,2,1)n =，同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误； 在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高， 所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△， 故C 正确；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径22222462R ++==，所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行，等体积法的应用及几何体外接球的表面积.三、填空题13．若直线l 的方向向量为()4,2,m ，平面α的法向量为()2,1,1-，且l α⊥，则m =______． 【答案】2- 【分析】由已知可知，直线l 的方向向量与平面α的法向量平行，根据空间向量平行的充要条件可得到一个关于λ和m 的方程组，解方程组即可得到答案. 【详解】 解：l α⊥，直线l 的方向向量为()4,2,m ，平面α的法向量为()2,1,1-，∴直线l 的方向向量与平面α的法向量平行.则存在实数λ使()4,2,m λ=()2,1,1-，即422m λλλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴2m =-. 故答案为：2-.【点睛】本题考查向量语言表述线面垂直，直线的方向向量与平面的法向量平行是解本题的关键，属于基础题.14．若(1,1,0),(1,0,2),a b a b ==-+则与同方向的单位向量是________________【答案】【解析】 试题分析：，与同方向的单位向量是考点：空间向量的坐标运算；15．如图，在正四面体P ABC -中，,M N 分别为,PA BC 的中点，D 是线段MN 上一点，且2ND DM =，若PD xPA yPB zPC =++，则x y z ++的值为_______．【答案】23【分析】利用基向量表示PD ,结合空间向量基本定理可得. 【详解】1111111()2323366PD PM MD PA MN PA PN PM PA PB PC =+=+=+-=++ 所以11,36x y z ===，所以23x y z ++=.【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，把目标向量向基底向量靠拢是求解的主要思路.16．如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形ABCD 是上底面正中间一个正方形，正方形1111D C B A 是下底面最大的正方形，已知点P 是线段AC 上的动点，点Q 是线段1B D 上的动点，则线段PQ 长度的最小值为_______．334【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出目标PQ 的表达式，从而可得最小值. 【详解】以1B 为坐标原点，1111,B C B A 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,1,2,3,2,1,3,2,2,3B A C D , 设11B Q B D λ=,AP AC μ=,[],0,1λμ∈.()12,2,3B Q λλλ=,()1111,2,3B P B A AP B A AC μμμ=+=+=+-. ()1112,22,33QP B P B Q μλμλλ=-=+----, ()()()2222122233QP μλμλλ=+-+--+-222215191730221417217234λλμμλμ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当1517λ=且12μ=时，2QP 取到最小值934，所以线段PQ 长度的最小值为33434. 【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量求解距离的最值问题时，一般是把目标式表示出来，结合目标式的特征，选择合适的方法求解最值.四、解答题17．如图，已知1111ABCD A B C D -是四棱柱，底面ABCD 是正方形，132AA AB ==，，且1160C CB C CD ︒∠=∠=，设1,,CD C a b B CC c ===.（1）试用,,a b c 表示1AC ； （2）已知O 为对角线1A C 的中点，求CO 的长.【答案】（1）1AC a b c =---；（2）292. 【分析】（1）由11AC A A AD DC =++可表示出来； （2）由21||()4CO a b c =++可计算出. 【详解】（1）11AC A A AD DC =++1AA BC CD =-+- 1CC CB CD c b a a b c =---=---=---；（2）由题意知||2,||2,||3a b c ===，110,233,23322a b a c a b ⋅=⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯=，111()22CO CA a b c ==++，∴21||()4CO a b c =++ ()22212224a b c a b a c b c =+++⋅+⋅+⋅， ()2221292922302323442=⨯++++⨯+⨯==. 【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查利用向量计算长度，属于基础题.18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 中点，O 为AC 中点，222AD AB AP ===.（1）证明：OE //平面PAB ；（2）异面直线PC 与OE 所成角的余弦值.【答案】（1）见详解； （2）33【分析】（1）连接BD ，得到O 为BD 中点，然后利用中位线定理，可得//OE PB ，根据线面平行的判定定理，可得结果.（2）通过建系，可得,PC OE ，然后利用向量的夹角公式，可得结果. 【详解】（1）证明：连接BD ，则O 为BD 中点， 又E 为PD 中点，∴OE //PB .∵PB ⊂平面PAB ，OE ⊄平面PAB ， ∴OE //平面PAB（2）以A 为原点建立空间直角坐标系， 如图，则(0,0,1),(1,2,0),(0,2,0)P C D ，110,1,,,1,022E O ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴11(1,2,1),,0,22PC OE ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， ∴3cos ,162PC OE ==⋅即异面直线PC 与OE 3【点睛】本题考查线面平行的判定定理以及建系通过利用向量的方法解决线线角，将几何问题用代数方法来解决，化繁为简，属基础题.19．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，2DE =，M 为线段BF 的中点．（1）求M 到平面DEC 的距离及三棱锥M CDE -的体积； （2）求证：DM ⊥平面ACE ．【答案】（1）M 到平面DEC 的距离为3，233M CDE V -=；（2）证明见解析. 【分析】 （1）设ACBD O =，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过O 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点M 到平面DEC 的距离，计算出CDE △的面积，利用锥体的体积公式可计算出三棱锥M CDE -的体积；（2）利用向量法证明出0AC DM ⋅=，0AE DM ⋅=，可得出DM AC ⊥，DM AE ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得DM ⊥平面ACE . 【详解】 （1）设ACBD O =，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过O 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．易知z 轴在平面BDEF 内，且////BF DE z 轴，则()0,3,0C 、()1,0,0D -、()1,0,2E -、()1,0,1M ，()0,0,2DE ∴=，()1,3,0DC =，()2,0,1DM =，设平面DEC 的一个法向量(),,n x y z =，则2030n DE z n DC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取3x =，得()3,1,0n =-，M ∴到平面DEC 的距离23331DM n h n⋅===+， 又1122222DECSDE DC =⨯⨯=⨯⨯=， 因此，三棱锥M CDE -的体积112323333M CDE DEC V S h -=⨯⨯=⨯⨯=△； （2）证明：由（1）易知()0,3,0A -，则()0,23,0AC =，()1,3,2AE =-，02230010AC DM ⋅=⨯+⨯+⨯=，1230210AE DM ⋅=-⨯+⨯+⨯=，DM AC ∴⊥，DM AE ⊥，ACAE A =，DM ∴⊥平面ACE .【点睛】本题考查利用空间向量法计算点到平面的距离、三棱锥体积的计算，同时也考查了利用空间向量法证明线面垂直，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是正方形，侧面PDC 是边长为a 的正三角形，且平面PDC ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）求异面直线PA 与DE 所成角的余弦值； （2）求直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值． 【答案】（16（26【分析】取CD 的中点O ，连接PO ，证明出PO ⊥平面ABCD ，然后以点O 为坐标原点，OC 、OP 所在的直线分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系.（1）写出PA 、DE 的坐标，利用空间向量法可求得异面直线PA 与DE 所成角的余弦值； （2）求得平面ABCD 的一个法向量，并写出PA ，利用空间向量法可求得直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值． 【详解】取DC 的中点O ，连接PO ，PDC △为正三角形，O 为DC 的中点，则PO DC ⊥．又平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC平面ABCD DC =，PO ⊂平面PDC ，PO ∴⊥平面ABCD ．以点O 为坐标原点，OC 、OP 所在的直线分别为y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，则30,0,2P a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、,,02a A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭、0,,02a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭、0,,02a D ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）设异面直线PA 与DE 所成的角为θ，E 为PC 的中点，30,4a E ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，330,4DE a ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，3,,2a PA a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 233330244a a PA DE a a ∴⋅=⨯-⨯=-，2PA a =，32DE =，2364cos cos ,4322a PA DE PA DE PA DEa a θ⋅=<>===⋅⨯， 因此，异面直线PA 与DE 6 （2）设直线AP 与平面ABCD 所成的角为α，易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =，362cos ,421aPA n PA n a PA n-⋅<>===-⨯⋅. 因此，直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值为64. 【点睛】本题考查利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值以及线面角的正弦值，考查计算能力，属于中等题.21．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD 、底面ABCD 为菱形，E 为PD 的中点.（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设1,120PA BAD ︒=∠=，菱形ABCD 的面积为23D AE C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）14. 【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则//PB OE ，利用线面平行的判定定理，即可得证； （2）根据题意，求得菱形ABCD 的边长，取BC 中点M ，可证AM BC ⊥，如图建系，求得点坐标及,AE AC 坐标，即可求得平面ACE 的法向量，根据AM ⊥平面P AD ，可求得面ADE 的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则O 、E 分别为,AB ACAM PAD AE AC =⊥、PD 的中点，所以//PB OE ， 又OE ⊂平面,ACE PB ⊄平面ACE 所以//PB 平面ACE（2）由菱形ABCD 的面积为23，120BAD ︒∠=，易得菱形边长为2， 取BC 中点M ，连接AM ，因为AB AC =，所以AM BC ⊥，以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，AD 方向为y 轴，AP 方向为z 轴，建立如图所示坐标系.则()())10,2,0,0,0,0,0,1,,3,1,02D A E C⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()10,1,,3,1,02AE AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭设平面ACE 的法向量()1,,n x y z =，由11,n AE n AC ⊥⊥得10230y z x y ⎧+=⎪⎪+=⎩，令3x =3,6y z =-= 所以一个法向量()13,3,6n =-，因为AM AD ⊥，AM PA ⊥，所以AM ⊥平面P AD ， 所以平面ADE 的一个法向量()21,0,0n = 所以12121231cos ,43936n n n n n n ⋅<>===++，又二面角D AE C --为锐二面角，所以二面角D AE C --的余弦值为14【点睛】解题的关键是熟练掌握证明平行的定理，证明线面平行时，常用中位线法和平行四边形法来证明；利用空间向量求解二面角为常考题型，步骤为建系、求点坐标、求所需向量坐标、求法向量、利用夹角公式求解，属基础题.22．如图，在四棱锥M ABCD -中，//AB CD ，90ADC BM C ∠=∠=，M B M C =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（1）求证：//CD 平面ABM ； （2）求证：AC ⊥平面BCM ；（3）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π？若存在，求出AEAM 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在；23AE AM=【分析】（1）由线面平行判定定理证明即可；（2）由勾股定理得出2BC =，进而得AC BC ⊥，再由面面垂直的性质定理即可证明AC ⊥平面BCM ；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】证明：（1）因为AB CD ∥，AB 平面ABM ，CD ⊄平面ABM ，所以CD ∥平面ABM .（2）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中， 易知2AN BN CD ===CN AB ⊥.在Rt CNB △中，由勾股定理得2BC =. 在ACB △中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ， 且平面BCM平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM .（3）取BC 的中点O ，连接OM ，ON . 所以ON AC ∥， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,1M ，()0,1,0B ，()0,1,0C -，()2,1,0A -，()2,1,1AM =-，()0,2,0BC =-，()2,2,0BA =-.易知平面BCM 的一个法向量为()1,0,0m =.假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π.不妨设AE AM λ=（01λ≤≤）， 所以()22,2,BE BA AE λλλ=+=--， 设(),,n x y z =为平面BCE 的一个法向量，则0,0,n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即()20,220,y x z λλ-=⎧⎨-+=⎩令x λ=，22z λ=-，所以(),0,22n λλ=-.从而2cos ,2m n m nm n ⋅==⋅.解得23λ=或2λ=. 因为01λ≤≤，所以23λ=. 由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π， 此时23AE AM=.【点睛】本题主要考查了证明线面平行，线面垂直以及由面面角求其他量，属于中档题.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
新人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试题(有答案解析)
一、选择题1．如图，正三角形ACB 与正三角形ACD 所在平面互相垂直，则二面角B CD A --的余弦值是（ ）A ．12B ．22C ．33D ．552．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，12AP PA =，点M 在侧面11AA B B 内.若1D M CP ⊥，则点M 的轨迹为（ ）A ．线段B ．圆弧C ．抛物线一部分D ．椭圆一部分3．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 为等边三角形，△PAC 为等腰直角三角形，PA ＝PC ＝4，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为（ ）A ．14B 2C ．2D ．124．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，且1,2AB BC ==，60ABC ∠=,AP ⊥平面ABCD ，AE PC ⊥于E ，下列四个结论：①AB AC ⊥；②AB ⊥平面PAC ；③PC ⊥平面ABE ;④BE PC ⊥ .其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．正方体1111ABCD A B C D -中,动点M 在线段1A C 上,E ，F 分别为1DD ，AD 的中点.若异面直线EF 与BM 所成的角为θ，则θ的取值范围为（ ） A ．[,]63ππB ．[,]43ππC ．[,]62ππD ．[,]42ππ6．如图，正四棱锥P ABCD -中，已知PA a =，PB b =，PC c =，12PE PD =，则BE =（ ）A ．131222a b c -+ B ．111222a b c --- C ．131222a b c --+ D ．113222a b c --+ 7．在一直角坐标系中，已知(1,6),(3,8)A B --，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则折叠后,A B 两点间的距离为（ ） A ．41B 41C 17D ．178．在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，22AC =PB ⊥平面ABC ，点M ，N 分别AC ，PB 的中点，6MN =，Q 为线段AB 上的点，使得异面直线PM 与CQ 所成的角的余弦值为3434，则BQ BA为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．349．如图，平行六面体中1111ABCD A B C D -中，各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，则对角线1BD 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．210．如图，在菱形ABCD 中，23ABC π∠=，线段AD 、BD 的中点分别为E 、F ．现将ABD ∆沿对角线BD 翻折，当二面角A BD C --的余弦值为13时，异面直线BE 与CF 所成角的正弦值是（ ）A ．35 B ．16C ．26D ．1511．已知在四面体ABCD 中，点M 是棱BC 上的点，且3BM MC =，点N 是棱AD 的中点，若MN xAB y AC z AD =++其中,,x y z 为实数，则x y z ++的值是（ ）A ．12B ．12-C ．－2D ．212．如图在一个120︒的二面角的棱上有两点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB 垂直，若2AB =1AC =，2BD =，则CD 的长为（ ）.A ．2B ．3C ．23D ．413．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是（ ） A ．OM OA OB OC =++ B ．23OM OA OB OC =++ C ．111222OM OA OB OC =++ D ．111333OM OA OB OC =++ 二、填空题14．若面α的法向量(1,,1)n λ=，面β的法向量(2,1,2)m =--，两面夹角的正弦值为346，则λ=________. 15．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14CC =，点E 是线段1CC 的中点，点F 是正方形ABCD 的中心，则直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值为___16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为______17．a ，b 为空间两条互相垂直的直线，直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以AC 为旋转轴旋转，30ABC ∠=︒，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成45°角； ⑤直线AB 与a 所成角的最大值为60°； ④直线AB 与a 所成角的最小值为30°；其中正确的是___________.（填写所有正确结论的编号）18．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点，给出如下命题：①直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45︒；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定值；④CE PE +的最小值为22，其中正确命题的序号是__________.（将你认为正确的命题序号都填上）19．在一直角坐标系中，已知()1,6A -，()3,8B -，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离为__________．20．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2，直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为_____．21．平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱AB 、AD 、AA 1的长均为1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠DAB 3π=，则对角线AC 1的长为_____．22．已知向量()()2,1,3,1,2,1a b =-=-，若()a ab λ⊥-，则实数λ的值为______. 23．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，122AA =，若M 是1AA 的中点，则BM 与平面11B D M 所成角的正弦值是___________.24．正三棱柱ABC A B C '''-，2,22AB AA ='=，M 是直线BC 上的动点，则异面直线AB '与C M '所成角的范围为_____________．25．设向量(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-，且//a b ，则a b ⋅的值为__________．26．若平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u =，(1,1,0)v =-，则这两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】取AC 的中点E ，连接BE,DE,证明BE 垂直于平面ACD ，以点E 为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面BCD 和平面CDA 的法向量，利用空间向量公式即可求出所求二面角的余弦. 【详解】如图示，取AC 中点E ，连结BE 、DE ，在正三角形ACB 与正三角形ACD 中， BE ⊥AC ，DE ⊥AC ，因为面ACB ⊥面ACD ，面ACB 面=ACD AC ，所以BE ⊥面ADC ,以E 为原点，ED 为x 轴正方向，EC 为y 轴正方向，EB 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，设AC =2，则())()()(0,0,0,3,0,0,0,1,0,0,1,0,3E DC A B -,平面ACD 的一个法向量为(3EB = 而()()0,1,3,3,1,0CB CD =-=-，设(),,n x y z =为面BCD 的一个法向量，则：·0·0n CB n DC ⎧=⎨=⎩即 3030y z y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令x =1，则()1,3,1n = 设二面角B CD A --的平面角为θ，则θ为锐角， 所以35cos |cos ,||||||||35EB n EB n EB n θ⋅====⨯.故选：D 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键：(1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.2．A解析：A 【分析】首先建立空间直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示求点M 的轨迹. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设棱长为3，()3,0,2P ，()0,3,0C，()10,0,3D ，()3,,M y z ，()13,,3D M y z =-，()3,3,2CP =-， ()193230D M CP y z ⋅=-+-=，整理为：3230y z --=，点M 的轨迹方程是关于,y z 的二元一次方程，所以轨迹是平面11ABB A 平面内，直线3230y z --=内的一段线段.故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查利用几何中的轨迹问题，本题的关键是解题方法，建立空间直角坐标系后，转化为坐标运算，根据方程形式判断轨迹.3．B解析：B 【分析】取AC 的中点O ，连结OP ，OB ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC 与PD 所成角的余弦值． 【详解】取AC 的中点O ，连结OP ，OB ，PA PC =，AC OP ∴⊥，平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC平面ABC AC =，OP ∴⊥平面ABC ，又AB BC =，AC OB ∴⊥，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，PAC ∆是等腰直角三角形，4PA PC ==，ABC ∆为直角三角形，(22A ∴，0，0)，(22C -，0，0)，(0P ，0，22)， (2D ，6，0)，∴(42AC =-，0，0)，(2PD =，6，22)-，cos AC ∴<，2||||424AC PD PD AC PD >===-⨯．∴异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为24． 故选：B ．【点睛】本题考查异线直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．4．D解析：D 【详解】已知1260AB BC ABC ==∠=︒，，， 由余弦定理可得2222cos60AC AB BC AB BC =+-︒3=， 所以22AC AB +2BC =，即AB AC ⊥，①正确；由PA ⊥平面ABCD ，得AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAC ，②正确；AB ⊥平面PAC ，得AB ⊥PC ，又AE PC ⊥，所以PC ⊥平面ABE ，③正确；由PC ⊥平面ABE ，得PC BE ⊥，④正确，故选D ．5．A解析：A 【详解】以D 点为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 如图设DA 2=，易得()1,0,1EF=-,设()()()12,2,20122,2,2CM CA BM λλλλλλλλ==-≤≤=--，， 则cos θcos ,?BM EF =， 即())222201122321222823()33cos θλλλλλλ===≤≤-+-+-+.当13λ=时，cos θ31λ=时，cos θ取到最小值12，所以θ的取值范围为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：A.点睛：本题主要考查异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.6．A解析：A 【分析】连接AC BD 、交点为O ，根据根据向量加法运算法则1122PO PA PC =+，1122PO PD PB =+，求得PD ，然后由BE BP PE =+求解.【详解】 如图所示：连接AC BD 、交点为O ，则1122PO a c =+， 又1122PO PD PB =+， 所以PD a c b =+-， 又11112222PE PD a c b ==+-， 所以131222BE BP PE a b c =+=-+. 故选：A. 【点睛】本题主要考查空间向量基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.7．D解析：D 【分析】画出图形，作,AC CD BD CD ⊥⊥，则6,8,4AC BD CD ===，可得0,0AC CD BD CD ⋅=⋅=，沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，故两异面直线,CA DB所成的角为60︒，结合已知，即可求得答案. 【详解】如图为折叠后的图形，其中作,AC CD BD CD ⊥⊥则6,8,4AC BD CD ===，∴0,0AC CD BD CD ⋅=⋅=沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角∴两异面直线,CA DB 所成的角为60︒．可得：.cos6024CA DB CA DB ︒⋅=⋅= 故由AB AC CD DB =++ 得22||||AB AC CD DB =++2222+22AC CD DB AC CD CD DB AC DB +++⋅⋅+⋅=2222+22AC CD DB AC CD CD DB CA DB +++⋅⋅-⋅=36166448=++-68=||AB ∴=故选：D. 【点睛】本题考查了立体几何体中求线段长度，解题的关键是作图和掌握空间向量的距离求解公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.8．A解析：A 【分析】以B 为原点，,,BA BC BP 坐标轴建立空间直角坐标系，设BQ BA λ=,由异面直线PM 与CQ 可列式22234343244PM CQ PMCQ，求出λ即可. 【详解】如图，在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，AC =BA BC ∴⊥,PB ⊥平面ABC ，以B 为原点，,,BA BC BP 坐标轴建立空间直角坐标系，可知()0,0,0B ，()0,2,0C ，()1,1,0M ，2,6BM MN，222BN MN BM ，4PB ∴=，则()0,0,4P ，设BQBAλ=，且01λ<<，则2,0,0Q ，可知1,1,4,2,2,0PM CQ, 12124022PM CQ ， 22211432PM，244CQ，异面直线PM 与CQ 34， 22234343244PM CQ PM CQ ，解得14λ=或4λ=（舍去）， 14BQ BA∴=. 故选：A. 【点睛】本题考查向量法求空间线段的比例分点，属于中档题.9．B解析：B 【分析】在平行六面体中1111ABCD A B C D -中，利用空间向量的加法运算得到11BD BA BB BC =++，再根据模的求法，结合各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，由()()2211BD BA BB BC =++222111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅求解.【详解】在平行六面体中1111ABCD A B C D -中，因为各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，所以111111cos120,11cos6022BA BB BA BC BC BB ⋅=⋅=⨯⨯=-⋅=⨯⨯=， 所以11BD BA BB BC =++， 所以()()2211BD BA BB BC =++，222111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅，113+22+2222⎛⎫=⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以12BD =故选：B 【点睛】本题主要考查空间向量的运算以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．A解析：A 【分析】过E 作EH BD ⊥，交BD 于H 点，设二面角A BD C --的大小为α，设BE 与CF 的夹角为θ，则0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，由向量数量积的运算律得出CF BE CF HE ⋅=⋅，由题意可得出12HE BE =，利用数量积的定义可求出cos ,CF BE <>的值，即可求出cos θ的值，进而利用同角三角函数的平方关系可求出sin θ的值. 【详解】如下图所示，过E 作EH BD ⊥，交BD 于H 点，设BE 与CF 的夹角为θ，则0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦， 记二面角A BD C --的大小为α，()CF BE CF BH HE CF HE ⋅=⋅+=⋅， 即()cos CF BE CF HE πα⋅=⋅-，即11cos ,23CF BE CF BE CF BE ⎛⎫⋅<>=⋅⋅- ⎪⎝⎭，1cos ,6CF BE ∴<>=-，所以1cos 6θ=，即35sin 6θ=，故选：A ．【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，同时也考查了二面角的定义，涉及利用空间向量数量积的计算，考查计算能力，属于中等题.11．B解析：B 【分析】利用向量运算得到131442MN AB AC AD =--+得到答案. 【详解】()3113142442MN MB BA AN AB AC AB AD AB AC AD =++=--+=--+ 故12x y z ++=- 故选：B 【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力.12．B解析：B 【分析】由CD CA AB BD =++，两边平方后展开整理，即可求得2CD ，则CD 的长可求． 【详解】 解：CD CA AB BD =++，∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++，CA AB ⊥，BD AB ⊥，∴0CA AB =，0BD AB =，()1||||cos 1801201212CA BD CA BD =︒-︒=⨯⨯=．∴2124219CD =+++⨯=，||3CD ∴=，故选：B ． 【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．D解析：D 【分析】首先利用坐标法，排除错误选项，然后对符合的选项验证存在,λμ使得AM AB AC λμ=+，由此得出正确选项.【详解】不妨设()()()()0,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,1O A B C .对于A 选项，()1,1,3OM OA OB OC =++=，由于M 的竖坐标31>，故M 不在平面ABC 上，故A 选项错误.对于B 选项，()231,3,6OM OA OB OC =++=，由于M 的竖坐标61>，故M 不在平面ABC 上，故B 选项错误. 对于C 选项，111113,,222222OM OA OB OC ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，由于M 的竖坐标312>，故M 不在平面ABC 上，故C 选项错误.对于D 选项，11111,,133333OM OA OB OC ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，由于M 的竖坐标为1，故M 在平面ABC 上，也即,,,A B C M 四点共面.下面证明结论一定成立： 由111333OM OA OB OC =++，得()()1133OM OA OB OA OC OA -=-+-， 即1133AM AB AC =+，故存在13λμ==，使得AM AB AC λμ=+成立，也即,,,A B C M 四点共面.故选：D.【点睛】本小题主要考查空间四点共面的证明方法，考查空间向量的线性运算，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题14．【分析】设平面的夹角为利用空间向量夹角公式得：由已知知建立关于的方程解方程即可得到答案【详解】设平面的夹角为又面的法向量面的法向量则利用空间向量夹角公式得：由已知得故故即解得：故答案为：【点睛】结论 解析：2±【分析】设平面,αβ的夹角为θ，利用空间向量夹角公式得：2cos 32⋅==+m n m nλθλ，由已知34sin 6=θ，知21cos 18=θ，建立关于λ的方程，解方程即可得到答案.【详解】设平面,αβ的夹角为θ，又面α的法向量(1,,1)n λ=，面β的法向量(2,1,2)m =--， 则利用空间向量夹角公式得：2222cos 1141432⋅--===+++++m n m nλλθλλ由已知得sin 6=θ，故22221cos 1sin 1118=-=-=-=⎝⎭⎝⎭θθ故2118=，即2222119(2)1822=⇒=++λλλλ，解得：λ=故答案为： 【点睛】结论点睛：本题考查利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为,u v ，则 ①两直线,l m 所成的角为θ(02πθ<≤),cos a b a bθ⋅=；②直线l 与平面α所成的角为θ(02πθ≤≤),sin a u a uθ⋅=；③二面角l αβ--的大小为θ(0θπ≤≤),cos .u v u vθ⋅=15．【分析】以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系写出向量的坐标利用空间向量法可求得直线与直线所成角的余弦值【详解】如下图所示以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系则点因此直线与直线 【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，写出向量1A E 、1B F 的坐标，利用空间向量法可求得直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值. 【详解】如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()12,0,4A 、()12,2,4B、()0,2,2E 、()1,1,0F ， ()12,2,2A E =--，()11,1,4B F =---，11111126cos ,2332A EB F A E B F A E B F⋅<>===⨯⋅， 因此，直线1A E 与直线1B F 26. 故答案为：269. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．16．3【分析】以为原点以分别为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系设根据则可得从而点在底面内的轨迹为一条线段从而可得答案【详解】以为原点以分别为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系则设则由则即则当时设所以点在底面内解析：3 【分析】以D 为原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，设(),,0P x y ，根据11B P D E ⊥，则110PB ED ⋅=，可得220x y +-=，从而点P 在底面ABCD 内的轨迹为一条线段AF ,从而可得答案.【详解】以D 为原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系， 则()()()112,2,2,1,2,0,0,0,2B E D ，设(),,0P x y ，则02,02x y ≤≤≤≤()12,2,2PB x y =--，()11,2,2ED =--由11B P D E ⊥，则110PB ED ⋅=，即()22240x y -+⨯-+=，则220x y +-= 当0x =时，1y =,设()0,1,0F所以点P 在底面ABCD 内的轨迹为一条线段AF , 所以()()2221224548B P x y y y =-+-+=-+，则01y ≤≤又二次函数2548t y y =-+的对称轴为25，当01y ≤≤时，当1y =时，1B P 有最大值3. 故答案为：3【点睛】关键点睛：本题考查根据垂直关系得出动点的轨迹从而求线段的长度的最值，解答的关键是建立坐标系，利用向量根据11B P D E ⊥，则110PB ED ⋅=，可得220x y +-=，从而点P 在底面ABCD 内的轨迹为一条线段AF ，可得01y ≤≤，从而可出答案，属于中档题.17．②④【分析】由题意知abAC 三条直线两两相互垂直构建如图所示的长方体|AC|＝1|AB|=2斜边AB 以直线AC 为旋转轴则A 点保持不变B 点的运动轨迹是以C 为圆心为半径的圆以C 坐标原点以CD 为x 轴CB 为解析：②④ 【分析】由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，构建如图所示的长方体，|AC |＝1，|AB |=2，斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，3为半径的圆，以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出结果．【详解】由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示的长方体高为13 故|AC |＝1，|AB |=2，斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以C 3为半径的圆，以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则D 3，0，0），A （0，0，1），直线a 的方向单位向量a =（0，1，0），|a |＝1， 直线b 的方向单位向量b =（1，0，0），|b |＝1，设B 点在运动过程中的坐标中的坐标B ′3θ3θ，0），其中θ为B ′C 与CD 的夹角，[02θπ∈，），∴AB ′在运动过程中的向量，'AB =3θ3θ，﹣1），|'AB |=2， 设'AB 与a 所成夹角为α∈[0，2π]， 则()()10103cos 233，，，，θθα--⋅=='⋅cos sin a AB |sin θ|∈[03， ∴α∈[6π，2π]，∴③错误，④正确． 设'AB 与b 所成夹角为β∈[0，2π]， ()()11003c 33os ，-，，，θθβ-⋅'⋅===''⋅⋅cos sin AB b AB bb AB θ|，当'AB 与a 夹角为60°时，即α3π=，|sin θ|3πα===，∵cos 2θ+sin 2θ＝1，∴cos β=|cos θ|=，∵β∈[0，2π]，∴4πβ=，此时'AB 与b 的夹角为45°，∴②正确，①错误． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉及空间向量的知识点，属于中档题．18．①③④【分析】由三垂直可采用以为轴建立空间直角坐标系①中通过异面直线的夹角公式和不等式性质即可判断正确；②中结合向量数量积公式可判断错误；③采用补形法将四棱锥还原为长方体再结合等体积法即可求解三棱锥解析：①③④ 【分析】由,,AB AD AP 三垂直，可采用以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，①中通过异面直线的夹角公式和不等式性质即可判断正确；②中结合向量数量积公式可判断错误；③采用补形法将四棱锥还原为长方体，再结合等体积法即可求解三棱锥E BCO -的体积为定值；④中将平面ABCD 以AD 为轴旋转到平面PAD 内形成平面''AB C D ，结合两点间直线最短即可判断正确 【详解】如图所示：以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,1)P ，()1,0,0B ，(1,2,0)C ，设(0,,0)E y ，[]0,2y ∈，则(1,0,1)BP =-，(1,2,0)CE y =--，||cos ,||||2BP CE BP CE BP CE ⋅〈〉==≤⋅2y =时等号成立， 此时,4BP CE π〈〉=，故直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45︒，①正确；(1,,0)(1,2,1)21BE PC y y ⋅=-⋅-=-，当12y =时，BE PC ⊥，②错误； 将四棱锥放入对应的长方体中，则球心为体对角线交点， 1111112323226BCE E BCO O BCE AP V V S --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，③正确；如图所示：将平面ABCD 以AD 为轴旋转到平面PAD 内形成平面''AB C D ，则22''2222CE PE C E PE PC +=+≥=+=，当'PEC 共线时等号成立，④正确.故答案为：①③④.【点睛】本题考查向量法在立体几何中的实际应用，合理建系，学会将所求问题有效转化是解决问题的关键，如本题求线线角的最小值转化为求线线夹角的余弦值，求两直线垂直转化为数量积为0，求三棱锥体积的补形法和等体积法，利用旋转将异面直线的距离转化为共面直线的距离，属于中档题19．【分析】通过用向量的数量积转化求解距离即可【详解】解：在直角坐标系中已知现沿轴将坐标平面折成的二面角后在平面上的射影为作轴交轴于点所以所以所以故答案为：【点睛】此题考查与二面角有关的立体几何综合题考 解析：17【分析】通过用向量的数量积转化求解距离即可 【详解】解：在直角坐标系中，已知()1,6A -，()3,8B -，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角后，()1,6A -在平面xOy 上的射影为C ，作BD x ⊥轴，交x 轴于点D ， 所以AB AC CD DB =++,所以2222222AB AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++⋅+⋅+⋅2221648268682=++-⨯⨯⨯=， 所以217AB =, 故答案为：17【点睛】此题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查了数形结合的思想，属于中档题.20．4【分析】以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系设求出平面的一个法向量则则可以得到答案【详解】解：以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系设则故设平面的一个法向量为则解析：4 【分析】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系, 设1DD a =，求出平面1ACD 的一个法向量n ，则11cos ,3n CC <>=，则可以得到答案. 【详解】解：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1DD a =，则(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，1(0,0,)D a ，故(2,2,0)=-AC ，1(2,0,)AD a =-，1(0,0, )CC a =，设平面1ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则122020n AC x y n AD x az ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，可取21,1,n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故112122cos ,||||4242n CC n CC n CC a a a⋅<>===+⋅+， 又直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为13，21324a ∴=+，解得4a =．故答案为：4．【点睛】本题考查根据线面角，利用向量法求柱体的高，属于中档题.21．【分析】由题知：再给式子平方即可求出的长度【详解】如图由题意可知所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查利用向量法求线段长度解题时要认真审题注意向量法的合理应用属于中档题 6【分析】由题知：11AC AB AD AA =++，再给式子平方即可求出1AC 的长度 【详解】如图，由题意可知，111AC AB AD CC AB AD AA =++=++，所以1221())(AC AB AD AA =++ 222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA +=++++1112(cos 60cos 60cos 60)6+++++==.所以16AC =6 【点睛】本题主要考查利用向量法求线段长度，解题时要认真审题，注意向量法的合理应用.属于中档题.22．2【分析】由题意知向量所以由空间向量的坐标运算即可求解【详解】由题意知向量所以又由解得【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算及空间向量的数量积的运算其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式准确运算解析：2【分析】由题意知，向量()a a b λ⊥-，所以()0a a b λ⋅-=，由空间向量的坐标运算，即可求解． 【详解】由题意知，向量()a ab λ⊥-，所以()0a a b λ⋅-=， 又由()()()()222222132112311470a a b a a b λλλλ⎛⎫⎡⎤⋅-=-⋅=-++--⨯-+⨯+⨯=-=⎪⎣⎦⎝⎭，解得2λ=． 【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．23．【分析】以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值【详解】以点为坐标原点所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系则设平面的法向量为由可得令则可 解析：63【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，利用空间向量法可求得直线BM 与平面11B D M 所成角的正弦值.【详解】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()2,2,0B、(12,2,B、(10,0,D、(M ，设平面11B D M 的法向量为(),,n x y z =，()112,2,0D B =，(12,0,D M =，由111100n D B n D M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得22020x y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令1x =，则1y =-，z =()1,1,n =-，(0,2,2BM =-，cos ,32n BM n BM n BM⋅<>===⨯⋅， 因此，BM 与平面11B D M 所成角的正弦值是3. . 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.24．【分析】建立如图所示的空间直角坐标系设由向量法求两异面直线所成角的余弦表示为的函数求出最大值和最小值后得的范围这里需引入函数用导数求出函数的最小值从而得出的最大值【详解】以为轴为轴建立如图所示的空间解析：,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设CM kCB =，由向量法求两异面直线所成角的余弦cos θ表示为k 的函数，求出最大值和最小值后得θ的范围．这里需引入函数()f x 用导数求出函数的最小值，从而得出cos θ的最大值． 【详解】以AB 为x 轴，AA '为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(2,0,B '，(2,0,0)B ，(1,3,0)C，(1,3,2C '，设CM kCB =，则k ∈R ，(1,CB =，(0,0,(1,(,,C M C C CM k k ''=+=-+=-．又(2,0,AB '=， 设直线AB '与C M '所成角为θ， 则cos 2AB C M AB C M θ''⋅==''=， 4k =时，min (cos )0θ=，设()f x =，则32224()(2)x f x x +'==+，12x <-时，()0f x '<，()f x 递减，12x >-时，()0f x '>，()f x 递增，∴12x =-时，()f x 取得极小值也是最小值132f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，4x <时，()0f x <，4x >时，222(4)8162x x x x -=-+<+1<，∴max ()3f x =，max (cos )2θ==， 即0cos 2θ≤≤，∴,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故答案为：,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】方法点睛：本题考查求异面直线所成的角．解题方法是空间向量法．求异面直线所成角的方法：（1）几何法（定义法）：作出异面直线所成的角并证明，然后解三角形得解；（2）向量法：建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量的夹角余弦的绝对值得异面直线所成角的余弦值，从而得角．25．168【分析】根据向量设列出方程组求得得到再利用向量的数量积的运算公式即可求解【详解】由题意向量设又因为所以即解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的共线的坐标运算以及向量的数量积的运算其解析：168 【分析】根据向量//a b ，设λab ，列出方程组，求得12λ=，得到(2,4,8),(4,8,16)a b ==，再利用向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，向量//a b ，设λab ，又因为(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-， 所以(2,23,2)(4,21,32)m n m n λ-+=+-，即2423(21)2(32)m m n n λλλ=⨯⎧⎪-=+⎨⎪+=-⎩，解得17,,622m n λ===，所以(2,4,8),(4,8,16)a b ==， 所以2448816168a b ⋅=⨯+⨯+⨯=.故答案为：168. 【点睛】本题主要考查了向量的共线的坐标运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的共线条件，熟练应用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.26．【分析】直接利用空间向量的数量积求解两个平面的二面角的大小即可【详解】解：两个平面的法向量分别为则这两个平面所成的锐二面角的大小是这两个平面所成的锐二面角的余弦值为故答案为：【点睛】本题考查空间二面解析：5【分析】直接利用空间向量的数量积求解两个平面的二面角的大小即可． 【详解】解：两个平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u →=，(1,1,0)v →=-， 则这两个平面所成的锐二面角的大小是θ，2cos 4a ba bθ→→→→+===这两个平面所成的锐二面角的余弦值为5.故答案为：5. 【点睛】本题考查空间二面角的求法，空间向量的数量积的应用，考查计算能力．。
高中数学选修2-1 第三章《空间向量与立体几何》单元测试题(含答案)
这时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，则当|AB →|取最小值时，x 的值等于________．解析：AB →＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)，则 |AB →|＝1－x2＋2x －32＋－3x ＋32＝14x 2－32x ＋19＝14⎝⎛⎭⎪⎫x －872＋57，故当x ＝87时，|AB →|取最小值．答案：8714．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值是________． 解析：如图，以DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)， 易证AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量．AC 1→＝(－1,1,1)，BC 1→＝(－1,0,1)． cos 〈AC 1→，BC 1→〉＝1＋13×2＝63. 所以BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值为63.答案：63设AC ∩BD ＝N ，连结NE ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E (0,0,1)， ∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. 又A (2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1， ∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. ∴NE →＝AM →，且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM .又NE ⊂平面BED ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE .(2)设P (t ，t,0)(0≤t ≤2)，则PF →＝(2－t ，2－t,1)，CD →＝(2，0,0)．又∵PF →与CD →所成的角为60°，|2－t ·2|2－t2＋2－t 2＋1·2＝12， 解之得t ＝22，或t ＝322(舍去)． 故点P 为AC 的中点．22．(本小题满分12分)如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是AB 的中点，D 为AC 的中点．。
高二数学-空间向量与立体几何测试题及答案
高二数学空间向量与立体几何测试题第1卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在下列命题中：CD若a、b共线则a、b所在的直线平行；＠若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；＠若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；＠已知三向量a、b、c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=a+yb+zc,, y, z R.其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若三点共线为空间任意一点且则的值为（）A. lB.C.D.3. 设，且，则等千（）A. B. 9 C. D4. 已知a=(2, —1, 3) , b= C—1, 4, —2) , c= (7, 5, 入），若a、b、c三向量共面，则实数入等千（）A. B. C.5.如图1,空间四边形的四条边及对角线长都是，点分别是的中点则等千（）D.A.C.．．BD6. 若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7. 已知点0是LABC所在平面内一点满足• = • = • '则点0是LABC的（）A. 三个内角的角平分线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条中线的交点8. 已知a+b+c=O,al =2, bl =3,A. 30°B. 45°D.三条高的交点l e = , 则向量a与b之间的夹角为（）C. 60°D. 以上都不对9. 已知， ＇ ，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A.B.10. 给出下列命题：CD已知，则C. D.＠为空间四点若不构成空间的一个基底，那么共面；＠已知则与任何向量都不构成空间的一个基底；＠若共线则所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）C. 3A.1B.2D.4 第II卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.已知LABC的三个顶点为A(3, 3, 2) , B (4, —3, 7) , C (0, 5, 1) , 则BC边上的中线长为12. 已知三点不共线为平面外一点若由向量确定的点与共面，那么13. 已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m,n的夹角为14. 在空间四边形ABC D中，AC和B D为对角线G为L:.ABC的重心，E是B D上一点BE=3E D, 以｛， ， ｝为基底，则＝15. 在平行四边形ABCD中，AB=AC=l,乙ACD=90, 将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则B,D两点间的距离为16. 如图二面角a-t -B的棱上有A,B两点直线AC,B D分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直千AB,已知AB=4,AC=6, B D=8, C D= ,二面角Q—t—B的大小三、解答题（本大题共5小题，满分70分），17. C lo分）设试问是否存在实数，使成立？如果存在，求出；如果不存在，请写出证明．18. (12分）如图在四棱锥中，底面ABC D是正方形，侧棱底面ABC D,, 是PC的中点，作交PB千点F.(1)证明PAIi平面EDB:(2)证明PB上平面E F D:(3)求二面角的大小．、、、、、、、、.、19. (12分）如图在直三棱柱ABC—AlBlCl中，底面是等腰直角三角形，乙ACB=90°.侧棱AA1=2, D. E 分别是CCl与AlB的中点点E在平面ABO上的射影是DAB D的重心G.(1)求AlB与平面ABO所成角的大小．(2)求Al到平面ABO的距离1) 20. 12分）如图在三棱柱ABC-AlBlCl中，AB上AC,顶点Al在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.2)求棱AA1与BC所成角的大小；在棱BlCl上确定一点P,使AP=, 并求出二面角P—AB—Al的平面角的余弦值A1C1B21. (12分）如图直三棱柱ABC-AlBlCl中AB上AC,D.E分别为AAl.B lC的中点DEl_平面BCCl.C I)证明：A B=ACC II)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小c,22. (12分）P是平面ABC D外的点四边形ABC D是平行四边形，AP= (-1, 2, -1)(1)求证：PA 平面ABC D.(2)对千向量，定义一种运算：，试计算的绝对值；说明其与几何体P—ABC D的体积关系，并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义（几何体P-ABC D叫四棱锥，锥体体积公式：V= ) .一、选 1 2 择题（本大题土2上、10小题，每3 4空间向量与立体几何(2)参考答案5 6 7 8 9 10小题5/刀\.让,/、50分）题号答案D D D A B C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11. (0, ,) 12. 0 13. 1, —3 14. 90° l厮—15。
最新人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试题(含答案解析)
一、选择题1．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为111,BD B C 的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP CN ⊥，则下列说法正确的是（ ）A ．点P 可以是棱1BB 的中点 B ．线段MP 的最大值为32C ．点P 的轨迹是正方形D ．点P 轨迹的长度为2+52．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（ ）A ．1122a b c -+ B ．a b c +- C ．a b c -+D ．1122a b c -+- 3．在空间直角坐标系中，已知()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -，则直线AD 与BC 的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法判定4．如图，在四面体O ABC -中，1G 是ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且12OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则(,,)x y z 为（ ）A ．111(,, )222B ．222(, , )333C ．111(, , )333D ．222(,, )9995．已知(),(3,0,1),(131,2,3,1),55a b c =-==--给出下列等式：①a b c a b c ++=--；②()()a b c a b c +⋅=⋅+；③2222()a b c b c a =++++ ④()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅.其中正确的个数是 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．在底面为锐角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 的中点，记直线1B D 与直线AC 所成角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（ ） A ．2123,θθθθ<<B ．2123 ,θθθθ><C ．2123 ,θθθθD ．2123 ,θθθθ>>7．已知1e ，2e 是夹角为60的两个单位向量，则12a e e =+与122b e e =-的夹角是（ ） A ．60B ．120C ．30D ．908．如图，平行六面体中1111ABCD A B C D -中，各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，则对角线1BD 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．29．在空间直角坐标系O xyz -中，(0,0,0),(22,0,0),(0,22,0)O E F ，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足||||3CO CB ==，若1cos ,6EF BC <>=，，则OC OF ⋅=（ ） A ．9B ．7C ．5D ．310．棱长为1的正四面体ABCD 中，点E ，F 分别是线段BC ，AD 上的点，且满足13BE BC =，14AF AD =，则AE CF ⋅=（ ）A ．1324-B ．12-C ．12D ．132411．如图所示，直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为3，底面边长11111A C B C ==，且11190A C B ∠=，D 点在棱1AA 上且12AD DA =，P 点在棱1C C 上，则1PD PB ⋅的最小值为（ ）A ．52B ．14-C ．14D ．52-12．已知在四面体ABCD 中，点M 是棱BC 上的点，且3BM MC =，点N 是棱AD 的中点，若MN x AB y AC z AD =++其中,,x y z 为实数，则x y z ++的值是（ ）A ．12B ．12-C ．－2D ．213．以下四个命题中正确的是（ ）A ．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B ．若{},,a b c 为空间向量的一组基底，则{},,a b b c c a +++构成空间向量的另一组基底 C ．ABC ∆为直角三角形的充要条件是0AB AC ⋅= D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底二、填空题14．三棱锥O ABC -中，OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA OB OC ==.给出下列四个命题：①()()223OA OB OCOA ++=；②()0BC CA CO ⋅-=；③()OA OB +和CA 的夹角为60；④三棱锥O ABC -的体积为()16AB AC BC ⋅. 其中所有正确命题的序号为______________.15．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC AA ==，则11D C 与平面11A BC 所成角的正弦值为______________．16．在空间直角坐标系中， ()()()2,1,1,3,4,,2,7,1,A B C AB CB 若λ-⊥,则λ=____ 17．ABC ∆的三个顶点分别是(1,1,2)A -，(5,6,2)B -，(1,3,1)C -，则AC 边上的高BD 长为__________．18．在空间直角坐标系O xyz -中，已知(1,0,2)A -，(0,1,1)B -，点,C D 分别在x 轴，y 轴上，且AD BC ⊥，那么CD →的最小值是______.19．已知向量()2,1,3a =-，31,,2b k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若向量a 、b 的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是__________．20．如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG ，设OG x OA y OB z OC =⋅+⋅+⋅，则x 、y 、z 的和为______.21．若平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u =，(1,1,0)v =-，则这两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为________.22．已知(2,1,3)a →=-，(4,2,)b x →=-，(1,,2)c x →=-，若a b c →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，是x =________.23．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为顶点的三条棱的长均为2，且两两所成角均为60°，则1||AC =__________.24．如图，在正四棱锥V ABCD -中，二面角V BC D --为60°，E 为BC 的中点.已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为60°，则VFVA=_____________.25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，122AA AB AC ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为3π，当1B M 最小时，AMB ∠=__________.26．已知四棱柱111ABCD A BC D -的底面ABCD 是矩形，5AB =，3AD =，14AA =，1160BAA DAA ∠=∠=︒，则1AC =________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，根据MP CN ⊥，确定点P 的轨迹，在逐项判断，即可得出结果. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为该正方体的棱长为1，,M N 分别为111,BD B C 的中点， 则()0,0,0D ，111,,222M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1,12N ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,0C ， 所以1,0,12CN ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设(),,P x y z ，则111,,222MP x y z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，因为MP CN ⊥， 所以1110222x z ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，2430x z +-=，当1x =时，14z =；当0x =时，34z =； 取11,0,4E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,1,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,1,4G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,0,4H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接EF ，FG ，GH ，HE ，则()0,1,0EF GH ==，11,0,2EH FG ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以四边形EFGH 为矩形，则0EF CN ⋅=，0EH CN ⋅=，即EF CN ⊥，EH CN ⊥， 又EFEH E =，且EF ⊂平面EFGH ，EH ⊂平面EFGH ，所以CN ⊥平面EFGH ， 又111,,224EM ⎛⎫=-⎪⎝⎭，111,,224MG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以M 为EG 中点，则M ∈平面EFGH ，所以，为使MP CN ⊥，必有点P ∈平面EFGH ，又点P 在正方体的表面上运动， 所以点P 的轨迹为四边形EFGH ， 因此点P 不可能是棱1BB 的中点，即A 错； 又1EF GH ==，5EH FG ==，所以EF EH ≠，则点P 的轨迹不是正方形；且矩形EFGH 的周长为2222+⨯=+C 错，D 正确； 因为点M 为EG 中点，则点M 为矩形EFGH 的对角线交点，所以点M 到点E 和点G的距离相等，且最大，所以线段MP ，故B 错. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法，由MP CN ⊥，求出动点轨迹图形，即可求解.2．A解析：A 【分析】利用空间向量的加法和减法法则可得出BD 关于a 、b 、c 的表达式. 【详解】()11112222OD OA AD OA AC OA OC OA OA OC =+=+=+-=+， 因此，11112222BD OD OB OA OB OC a b c =-=-+=-+. 故选：A. 【点睛】本题考查利用基底表示空间向量，考查计算能力，属于中等题.3．B解析：B 【分析】根据题意，求得向量AD 和BC 的坐标，再结合空间向量的数量积的运算，即可得到两直线的位置关系，得到答案. 【详解】由题意，点()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -， 可得()3,1,6AD =--，()2,0,1BC =， 又由()()2310610AD BC ⋅=⨯+-⨯+-⨯=， 所以AD BC ⊥，所以直线AD 与BC 垂直. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记空间向量的坐标运算，以及空间向量的数量积的运算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．D解析：D 【分析】根据空间向量线性运算进行计算，用,,OA OB OC 表示出OG ． 【详解】因为E 是BC 中点，所以1()2OE OB OC =+， 1G 是ABC 的重心，则123AG AE =， 所以122()33AG AE OE OA ==-， 因为12OG GG = 所以112224()()3339OG OG OA AG OA OE OA ==+=+-2422222()9999999OA OE OA OB OC OA OB OC =+=++=++， 若OG xOA yOB zOC =++，则29x y z ===． 故选：D ． 【点睛】本题考查空间的向量的线性运算，掌握向量线性运算的运算法则是解题关键．5．D解析：D 【详解】由题设可得197(,3,)55a b c ++=，则63525a b c ++== 923(,1,)55a b c --=-，63525a b c --=，则①正确；因1346()(4,2,2)(,1,)205555a b c +⋅=⋅--=-+-=， 1481424()(1,2,3)(,1,)205555a b c ⋅+=⋅-=+-=，故②正确；又因2635127()255a b c ++==，而22235714,10,255a b c ====， 所以22271272455a b c ++=+=，即③正确； 又3030a b ⋅=+-=，则()0a b c ⋅⋅=，而330055b c ⋅=-++=，故()0a b c ⋅⋅=，也即④正确. 故选：D ．6．A解析：A 【分析】以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，分别求出直线的方向向量以及平面的法向量，通过向量法即可求得各个角度的余弦值，再结合余弦函数的单调性即可判断. 【详解】由题可知，直三棱柱111ABC A B C -的底面为锐角三角形，D 是棱BC 的中点， 设三棱柱111ABC A B C -是棱长为2的正三棱柱，以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则1(0,0,2)A ，1(3,1,2)B ，(0,2,0)C ，33,02D ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,0,0)A ， (0,2,0)AC =，131,22B D ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，11(3,1,0)A B =，因为直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，10,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，111||cos ||||25θ⋅∴==⋅B D AC B D AC ，因为直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，20,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 平面111A B C 的法向量()0,0,1n =，121||sin ||5∣θ⋅∴==⋅B D n B D n ，222cos 155θ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭，设平面11A B D 的法向量(,,)m a b c =，则11130312022m A Ba b m B D a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩， 取a =33,3,2m ⎛⎫=--⎪⎝⎭， 因为二面角111C A B D --的平面角为3θ， 由图可知，其为锐角，33||2cos ||57m n m n θ⋅∴===⋅∣，231cos cos cos θθθ>>， 由于cos y θ=在区间(0,)π上单调递减，故231θθθ<<， 则2123,θθθθ<<. 故选：A . 【点睛】本题考查利用向量法研究空间中的线面角以及二面角，属综合基础题.7．B解析：B 【分析】利用平面向量的数量积公式先求解a b ⋅，再计算a 与b ，根据数量积夹角公式，即可求解. 【详解】由题意得：()()12122a b e e e e ⋅=+⋅-221122132111222e e e e =-⋅-=-⨯⨯-=-，2222121122()21a e e e e e e a ==+=++==⋅2222112122(2)4?41b b e e e e e e ==-=+-=-=设,a b 夹角为312,cos ,018032a b a bθθθ-⋅===-︒≤≤︒⋅，∴120θ=.故选：B. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的夹角问题，难度一般，准确运用向量的数量积公式即可.8．B解析：B 【分析】在平行六面体中1111ABCD A B C D -中，利用空间向量的加法运算得到11BD BA BB BC =++，再根据模的求法，结合各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，由()()2211BD BA BB BC=++222111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅求解.【详解】在平行六面体中1111ABCD A B C D -中，因为各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，所以111111cos120,11cos6022BA BB BA BC BC BB ⋅=⋅=⨯⨯=-⋅=⨯⨯=， 所以11BD BA BB BC =++， 所以()()2211BD BA BB BC =++，222111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅，113+22+2222⎛⎫=⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以12BD =故选：B 【点睛】本题主要考查空间向量的运算以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9．D解析：D 【分析】利用中点坐标公式可得点B 的坐标，设(,,)C x y z ，利用||||3CO CB ==，1cos ,6EF BC <>=可解出点C 的纵坐标，最后利用数量积的坐标运算可得OC OF ⋅的值. 【详解】设(,,)C x y z ，(2,2,0)B ，(,,)OC x y z =，()BC x y z =，(EF =-，由(()1cos ,436EF BC x y z EF BC EF BC⋅-⋅-===⋅⋅，整理可得：2x y -=-，由||||3CO CB ==化简得x y +=以上方程组联立得x y =，则()(,,)3OC OF x y z =⋅==. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系下向量数量积的运算,解题关键是掌握向量数量积运算的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.10．A解析：A 【分析】设AB a =，AC b =，AD c =，以这3个向量为空间中的基底，将AE CF ⋅转化为基底的数量积运算，即可得答案. 【详解】设AB a =，AC b =，AD c =， 由题意可得121()333AE AB BE a b a a b =+=+-=+，14CF c b =-， 则211334AE CF a b c b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2121163123a c a b b c b =⋅-⋅+⋅- 11211111316232122324=⨯-⨯+⨯-⨯=-. 故选：A. 【点睛】本题考查空间向量基本定理的运用、数量积运算，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意基底思想的运用.11．B解析：B 【分析】由题易知1,,AC BC CC 两两垂直，以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设()03PC a a =≤≤，可知()0,0,P a ，进而可得1,PD PB 的坐标，然后求得1PD PB ⋅的表达式，求出最小值即可.由题意可知，1,,AC BC CC 两两垂直，以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()10,1,3B ，()1,0,2D ，设()03PC a a =≤≤，则()0,0,P a ， 所以()1,0,2P a D =-，()10,1,3a PB =-，则()()2151002324a a a PD PB ⎛⎫=++--=-- ⎪⎝⋅⎭， 当52a =时，1PD PB ⋅取得最小值14-. 故选：B.【点睛】本题考查两个向量的数量积的应用，考查向量的坐标运算，考查学生的计算求解能力，属于中档题.12．B解析：B 【分析】利用向量运算得到131442MN AB AC AD =--+得到答案. 【详解】()3113142442MN MB BA AN AB AC AB AD AB AC AD =++=--+=--+ 故12x y z ++=- 故选：B 【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力.13．B解析：B根据空间向量基底的定义：任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，逐一分析A ，B ，D 可判断这三个结论的正误；根据向量垂直的充要条件，及直角三角形的几何特征，可判断C 的真假. 【详解】对A ，空间的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量表示，A 中忽略三个基底不共面的限制，故A 错误；对B ，若{},,a b c 为空间向量的一组基底，则,,a b c 三个向量互不共面；则,,a b b c c a +++，也互不共面，故{,,}a b b c c a +++可又构成空间向量的一组基底，故B 正确；对C ，0AB AC ABC ⋅=⇔∆的A ∠为直角ABC ⇒∆为直角三角形，但ABC ∆为直角三角形时，A ∠可能为锐角，此时0AB AC ⋅>，故C 错误；对D ，任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，三个向量不共线时可能共面，故D 错误； 故选：B ． 【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查空间向量的基底概念、向量垂直的充要条件，考查对概念的理解与应用，属基础题．二、填空题14．①②③【分析】设以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量数量积的坐标运算可判断①②③④的正误【详解】设由于两两垂直以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如下图所示：则对解析：①②③ 【分析】设OA OB OC a ===，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算可判断①②③④的正误.【详解】设OA OB OC a ===，由于OA 、OB 、OC 两两垂直，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 如下图所示：则()0,0,0O、(),0,0A a 、()0,,0B a 、()0,0,C a .对于①，(),,OA OB OC a a a ++=，所以，()()22233OA OB OC a OA ++==，①正确；对于②，(),0,0CA CO OA a -==，()0,,BC a a =-，则()0BC CA CO ⋅-=，②正确；对于③，(),,0OA OB a a +=，(),0,CA a a =-，()()221cos ,22OA OB CA a OA OB CA OA OB CAa+⋅<+>===+⋅， 0,180OA OB CA ≤<+>≤，所以，()OA OB +和CA 的夹角为60，③正确；对于④，(),,0AB a a =-，(),0,AC a a =-，()0,,BC a a =-，则2AB AC a ⋅=，所以，()223122666a a AB AC BC BC a ⋅===，而三棱锥O ABC -的体积为3111326V OA OB OC a =⨯⋅⋅=，④错误. 故答案为：①②③. 【点睛】关键点点睛：在立体几何中计算空间向量的相关问题，可以选择合适的点与直线建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可.15．【详解】如图建立空间直角坐标系则所以设平面的一个法向量为由题可得令可得设与平面所成角为则故直线与平面所成角的正弦值为故答案为：解析：13【详解】如图，建立空间直角坐标系D xyz -，则1(0,0,1)D ，1(0,2,1)C ，1(1,0,1)A ，(1,2,0)B ，所以11(0,2,0)DC =，设平面11A BC 的一个法向量为(,,)n x y z =， 由题可得111(,,)(1,2,0)20(,,)(0,2,1)20n AC x y z x y n A B x y z y z ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩，令1y =，可得(2,1,2)n =， 设11D C 与平面11A BC 所成角为θ， 则11111121sin cos ,233D C n D C n D C nθ⋅====⨯⋅， 故直线11D C 与平面11A BC 所成角的正弦值为13． 故答案为：13．16．【分析】利用空间向量的结论将垂直的问题转化为向量数量积等于零的问题然后利用向量的数量积坐标运算计算的值即可【详解】又即解得故答案为【点睛】本题主要考查空间向量的应用向量垂直的充分必要条件等知识意在考 解析：3±【分析】利用空间向量的结论将垂直的问题转化为向量数量积等于零的问题，然后利用向量的数量积坐标运算计算λ的值即可. 【详解】()()()2,1,1,3,4,,2,7,1A B C λ-， ∴AB ()1,3,1,λ=+CB ()1,3,1λ=--，又,AB CB ⊥0AB CB ∴⋅=，即()()()1133110λλ⨯+⨯-++-=，解得3λ=±， 故答案为3±. 【点睛】本题主要考查空间向量的应用，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．5【解析】分析：设则的坐标利用求得即可得到即可求解的长度详解：设则所以因为所以解得所以所以点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减或数乘运算(2)解析：5 【解析】分析：设AD AC λ=，则,OD BD 的坐标，利用BD AC ⊥，求得45λ=-，即可得到 912(4,,)55BD =-，即可求解BD 的长度. 详解：设AD λAC =，则()()()OD OA λAC 1,1,2λ0,4,31,14λ,23λ=+=-+-=-+-，所以()BD OD OB 4,54λ,3λ=-=-+-，因为BD AC ⊥， 所以()BD AC 0454λ9λ0⋅=+++=，解得4λ5=-， 所以912BD 4,,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以(22912BD 5⎫⎛⎫=-=.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.18．【分析】设0则由知所以由此能求出其最小值【详解】设001-即（当时取最小值）故答案为：【点睛】方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法要根据已知【分析】设(C x ，0，0)，(0D ，y ，0)，则(1,,2)AD y →=-，(,1,1)BC x →=-，由20AD BC x y →→=--=，知2x y =+．所以||CD →【详解】设(C x ，0，0)，(0D ，y ，0)， (1A -，0，2)，(0B ，1，-1)，∴(1,,2)AD y →=-，(,1,1)BC x →=-，AD BC ⊥，∴20AD BC x y →→=--=，即2x y =+．(,,0)CD x y →=-，∴||CD →=2．（当1y =-时取最小值）【点睛】方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知条件灵活选择方法求解.19．【分析】根据向量夹角为钝角可知且解不等式可求得结果【详解】由题意可知：且解得：且即本题正确结果：【点睛】本题考查向量夹角的相关问题的求解易错点是忽略夹角为的情况造成出现增根解析：1311,,222⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】根据向量夹角为钝角，可知cos ,0a b <><且cos ,1a b <>≠-，解不等式可求得结果. 【详解】 由题意可知：132cos ,014k a b a b a b--⋅<>==<⋅且13cos ,1ka b --<>=≠-解得：132k >-且12k ≠，即1311,,222k ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题正确结果：1311,,222⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查向量夹角的相关问题的求解，易错点是忽略夹角为π的情况，造成出现增根.20．【分析】利用向量的加法公式得出再由得出的值即可得出的和【详解】即故答案为：【点睛】本题主要考查了用空间基底表示向量属于中档题解析：78【分析】利用向量的加法公式得出111222MN OA OB OC =-++，再由1324OG OM MG OA MN =+=+，得出,,x y z 的值，即可得出,,x y z 的和.【详解】MN MA AB BN =++11111()22222OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=-++ 13131112424222OG OM MG OA MN OA OA OB OC ⎛⎫∴=+=+=+-++ ⎪⎝⎭813388OA OB OC =++ 133,,888x y z ∴===即78x y z ++= 故答案为：78【点睛】本题主要考查了用空间基底表示向量，属于中档题.21．【分析】直接利用空间向量的数量积求解两个平面的二面角的大小即可【详解】解：两个平面的法向量分别为则这两个平面所成的锐二面角的大小是这两个平面所成的锐二面角的余弦值为故答案为：【点睛】本题考查空间二面【分析】直接利用空间向量的数量积求解两个平面的二面角的大小即可． 【详解】解：两个平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u →=，(1,1,0)v →=-， 则这两个平面所成的锐二面角的大小是θ，2cos a ba bθ→→→→===这两个平面所成的锐二面角的余弦值为5.故答案为：5. 【点睛】本题考查空间二面角的求法，空间向量的数量积的应用，考查计算能力．22．-4【分析】由题可知可得运用向量数量积的坐标运算即可求出【详解】解：根据题意得解得：故答案为：【点睛】本题考查空间向量垂直的数量积关系运用空间向量数量积的坐标运算考查计算能力解析：-4【分析】由题可知，a b c →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，可得0a b c →→→⎛⎫+= ⎪⎝⎭，运用向量数量积的坐标运算，即可求出x ． 【详解】解：根据题意得， ()2,1,3a b x →→+=-+ a b c →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭， ∴22(3)0a b c x x →→→⎛⎫+=--++= ⎪⎝⎭， 解得：4x =-．故答案为：4-．【点睛】本题考查空间向量垂直的数量积关系，运用空间向量数量积的坐标运算，考查计算能力． 23．【分析】设且利用数量积运算即得解【详解】设故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的模长数量积运算考查了学生空间想象数学运算能力属于中档题 解析：【分析】设1,,AB a AD b AA c===,且1|||++|AC a b c =，利用数量积运算即得解. 【详解】设1,,||||||2,,,60o AB a AD b AA c a b c a b a c c b ===∴===<>=<>=<>=， 222221|||++|||||||22224AC a b c a b c a b a c c b ==+++⋅+⋅+⋅=||26AC ∴=故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的模长，数量积运算，考查了学生空间想象，数学运算能力，属于中档题.24．11【分析】由题意建立空间直角坐标系由二面角的定义得出从而写出的坐标由向量共线的性质设利用向量的加法得出由异面直线与所成角利用向量法得出的值从而得出的值【详解】取的中点G 与的交点为以O 为坐标原点分别 解析：11【分析】由题意建立空间直角坐标系，由二面角的定义得出60OEV ∠=︒，从而写出,,,V E B A 的坐标，由向量共线的性质设(1)VF VA λλ=≠，利用向量的加法得出BF ，由异面直线BF 与VE 所成角，利用向量法得出λ的值，从而得出VF VA 的值. 【详解】 取AB 的中点G ，AC 与DB 的交点为O ，以O 为坐标原点，分别以,,OG OE OV 为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，设2AB =因为二面角V BC D --为60°，所以60OEV ∠=︒则()()()()0,0,3,0,1,0,1,1,0,1,1,0V E B A -()()()1,1,3,1,1,3,0,1,3VA VB VE =--=-=-.设(1)VF VA λλ=≠，则()1,1,33BF VF VB λλλ=-=----+从而22||cos ,cos 60||||24(1)(1)BF VE BF VE BF VE λλ⋅===︒-++ 整理得210110λλ+-=，解得1λ=(舍)，11λ=-故11VF VA=. 故答案为：11【点睛】本题主要考查了已知面面角，线线角求参数，属于中档题.25．【分析】根据题意建立空间直角坐标系设出的长写出各个点的坐标求得平面与平面的法向量利用法向量及二面角大小求得的等量关系即可判断当取最小时各自的长即可求得的正切值进而求得的大小【详解】因为三棱柱中两两互 解析：6π【分析】根据题意,建立空间直角坐标系,设出,CN BM 的长,写出各个点的坐标,求得平面AMN 与平面ABC 的法向量,利用法向量及二面角大小,求得,CN BM 的等量关系.即可判断当1B M 取最小时,CN BM 各自的长.即可求得AMB ∠的正切值,进而求得AMB ∠的大小.【详解】因为三棱柱111ABC A B C -中,AB ,AC ,1AA 两两互相垂直,建立如下图所示的空间直角坐标系:122AA AB AC ==,M ,N 是线段1BB ,1CC 上的点可设,,1BM a CN b AB ===,则12,1AA AB ==所以()()0,0,0,1,0,0A B ,()()1,0,,0,1,M a N b则()()1,0,,0,1,AM a AN b ==设平面AMN 的法向量为(),,m x y z =则00AM m AN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩,代入可得00x az y bz +=⎧⎨+=⎩,令1z =代入解得x a y b =-⎧⎨=-⎩ 所以(),,1m a b =--平面ABC 的法向量()0,0,1n =由题意可知平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为3π 则由平面向量数量积定义可知22cos31m n m n a b π⋅==⋅++ 化简可得223a b += 1B M 最小值,即a 取得最大值,当0b =时,a 取得最大值为3a = 所以3tan 3AB AMB MB ∠=== 所以6AMB π∠=故答案为:6π 【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用,由法向量法结合二面角求值,属于中档题. 26．【分析】根据两边平方化简得到得到答案【详解】故故故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的运算意在考查学生的计算能力【分析】根据11AC AB AD AA =++，两边平方化简得到182AC =.【详解】11AC AB AD AA =++ 故2222211111222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅ 222113452432458222=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，故182AC =【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力.。
高二几何和空间向量练习题
高二几何和空间向量练习题一、直线与平面1. 已知平面P：2x - 3y + z = 5，直线L：x = -2 + 3t，y = 4 - 2t，z = 1 + t。
求直线L与平面P的交点坐标。
解：将直线L的参数方程代入平面P的方程，得：2(-2 + 3t) - 3(4 - 2t) + (1 + t) = 5化简得：-6t + 7 = 5解得：t = 1/3将t = 1/3代入直线L的参数方程，得交点坐标为：(-1, 2, 4/3)。
2. 已知平面P：2x + y + z = 3，直线L：x = 1 + 3t，y = -2 + 3t，z = 1 - t。
求直线L与平面P的关系，并画出它们的示意图。
解：将直线L的参数方程代入平面P的方程，得：2(1 + 3t) + (-2 + 3t) + (1 - t) = 3化简得：8t = 1解得：t = 1/8将t = 1/8代入直线L的参数方程，得交点坐标为：(1+3/8, -2+3/8, 1-1/8) = (11/8, -13/8, 7/8)。
由于直线L与平面P有交点，所以它们不平行。
画出示意图如下图所示：（注：由于回答内容不能使用图片，此处无法给出示意图）二、线段和向量1. 已知平面P的法向量为n(1, 2, 3)，点A(1, -3, 4)在平面P上。
求过点A且与平面P垂直的直线方程。
解：由于过点A且与平面P垂直的直线方向向量为平面P的法向量n，所以直线方程为：x - 1 = y + 3 = z - 4化简得：x = y + 4，z = y + 52. 已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(1, -2, 3)，B(2, 1, -1)，C(-1, 3, 2)。
求向量AB与向量AC的内积及它们的夹角。
解：向量AB = B - A = (2, 1, -1) - (1, -2, 3) = (1, 3, -4)向量AC = C - A = (-1, 3, 2) - (1, -2, 3) = (-2, 5, -1)向量AB与向量AC的内积为：(1, 3, -4) · (-2, 5, -1) = -2 + 15 + 4 = 17向量AB的模长为：|AB| = √(1^2 + 3^2 + (-4)^2) = √26向量AC的模长为：|AC| = √((-2)^2 + 5^2 + (-1)^2) = √30所以向量AB与向量AC的夹角θ满足：cosθ = (AB · AC) / (|AB||AC|)代入已知数据计算夹角θ的值。
新人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，12AP PA =，点M 在侧面11AA B B 内.若1D M CP ⊥，则点M 的轨迹为（ ）A ．线段B ．圆弧C ．抛物线一部分D ．椭圆一部分2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，且1,2AB BC ==，60ABC ∠=,AP ⊥平面ABCD ，AE PC ⊥于E ，下列四个结论：①AB AC ⊥；②AB ⊥平面PAC ；③PC ⊥平面ABE ;④BE PC ⊥ .其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．若直线l 的方向向量,1)2(,m x -=，平面α的法向量2,2(),4n -=-，且直线l ⊥平面α，则实数x 的值是( )A ．1B ．5C ．﹣1D ．﹣54．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，E 是DD 1的中点，则（ ）A ．直线B 1E //平面A 1BD B ．11B E BD ⊥C ．三棱锥C 1-B 1CE 的体积为313aD ．直线B 1E 与平面CDD 1C 1所成的角正切值为255．在三棱锥P ABC -中，PA ，AB ，AC 两两垂直，D 为棱PC 上一动点，2PA AC ==，3AB =.当BD 与平面PAC 所成角最大时，AD 与平面PBC 所成角的正弦值为（ ）A ．1111B ．21111C ．311D ．411116．已知(),(3,0,1),(131,2,3,1),55a b c =-==--给出下列等式：①a b c a b c ++=--；②()()a b c a b c +⋅=⋅+；③2222()a b c b c a =++++ ④()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅.其中正确的个数是 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．ABC 中，90ACB ∠=︒，22AB BC ==，将ABC 绕BC 旋转得PBC ，当直线PC 与平面PAB 所成角正弦值为6时，P 、A 两点间的距离为（ ）A 2B ．2C ．42D ．48．在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，22AC =PB ⊥平面ABC ，点M ，N 分别AC ，PB 的中点，6MN =，Q 为线段AB 上的点，使得异面直线PM 与CQ 所成的角的余弦值为3434，则BQ BA为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．349．已知二面角l αβ--的两个半平面α与β的法向量分别为,a b ，且,a b 6π<>=，则二面角l αβ--的大小为（ ） A ．6π B ．56π C ．6π或56πD ．6π或3π10．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）111ABC A B C -中，2AB =，E ，F 分别为11A C 和11A B 的中点，当AE 和BF 所成角的余弦值为14时，AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ） A ．62B ．64C ．104D ．10211．在如图所示的几何体ABCDEF 中，四边形EDCF 是正方形，ABCD 是等腰梯形，AD DE =，90ADE ∠=，//AB CD ，120ADC ∠=．给出下列三个命题：1:p 平面ABCD ⊥平面EDCF ；2:p 异面直线AF 与BD 所成角的余弦值为34；3:p 直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值为55．那么，下列命题为真命题的是（ ） A ．12p p ∧B ．13p p ⌝∧C ．23p p ∧D ．13p p ∧12．如图，在菱形ABCD 中，23ABC π∠=，线段AD 、BD 的中点分别为E 、F ．现将ABD ∆沿对角线BD 翻折，当二面角A BD C --的余弦值为13时，异面直线BE 与CF 所成角的正弦值是（ ）A ．35 B ．16C ．26D ．1513．如图，在60︒二面角的棱上有两点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，若4AB AC BD ===，则线段CD 的长为（ ）A ．43B ．16C ．8D ．42二、填空题14．a ，b 为空间两条互相垂直的直线，直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以AC 为旋转轴旋转，30ABC ∠=︒，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成45°角； ⑤直线AB 与a 所成角的最大值为60°； ④直线AB 与a 所成角的最小值为30°；其中正确的是___________.（填写所有正确结论的编号）15．如图：二面角α﹣l ﹣β等于120°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 的长等于__．16．已知(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.若a 与b 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是________.17．若(2,3,1)a =-，(2,0,3)b =，(0,2,2)c =，则()a b c ⋅+=_____18．已知空间三点(0,A 2，3)，(2,B 5，2)，(2,C -3，6)，则以,AB AC 为邻边的平行四边形的面积为______．19．在空间直角坐标系O xyz -中，已知(1,0,2)A -，(0,1,1)B -，点,C D 分别在x 轴，y 轴上，且AD BC ⊥，那么CD →的最小值是______.20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC ⊥，AC BC ⊥，2AC BC ==，160C CB ∠=︒，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1AD =，2CE =，则二面角1B B E D --的正切值_______21．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P 垂直于CM ，则PBC ∆的面积的最小值为__________.22．设向量()1,2,a λ=，()2,2,1b =-，若4cos ,9a b =，则实数λ的值为________. 23．如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为ABC ∆的重心E 是BD 上一点，3,BE ED =以,,AB AC AD 为基底，则GE =__________．24．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为1，113BAD A AD A AB π∠=∠=∠=，E 为1CC 的中点，则AE 的长度是________.25．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为顶点的三条棱的长均为2，且两两所成角均为60°，则1||AC =__________.26．在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1B B ，CD 的中点，有以下命题： ①//MN 平面1A BD ；②1MN CD ⊥；③平面1A MN ⊥平面1A AC ， 则正确命题的序号为______.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【分析】首先建立空间直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示求点M 的轨迹. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设棱长为3，()3,0,2P ，()0,3,0C，()10,0,3D ，()3,,M y z ，()13,,3D M y z =-，()3,3,2CP =-， ()193230D M CP y z ⋅=-+-=，整理为：3230y z --=，点M 的轨迹方程是关于,y z 的二元一次方程，所以轨迹是平面11ABB A 平面内，直线3230y z --=内的一段线段.故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查利用几何中的轨迹问题，本题的关键是解题方法，建立空间直角坐标系后，转化为坐标运算，根据方程形式判断轨迹.2．D解析：D 【详解】已知1260AB BC ABC ==∠=︒，，， 由余弦定理可得2222cos60AC AB BC AB BC =+-︒3=， 所以22AC AB +2BC =，即AB AC ⊥，①正确；由PA ⊥平面ABCD ，得AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAC ，②正确；AB ⊥平面PAC ，得AB ⊥PC ，又AE PC ⊥，所以PC ⊥平面ABE ，③正确；由PC ⊥平面ABE ，得PC BE ⊥，④正确， 故选D ． 3．C解析：C 【分析】根据直线与平面垂直时直线的方向量与平面的法向量共线，利用共线时对应的坐标关系即可计算出x 的值. 【详解】因为直线l ⊥平面α，所以//m n ， 所以12224x -==--，所以1x =-. 故选：C. 【点睛】本题考查根据直线与平面的位置关系求解参数，其中涉及到空间向量的共线计算，难度一般.已知直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若//l α则有a b ⊥，若l α⊥则有//a b . 4．D解析：D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量一一验证即可； 【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则()1,0,A a a ，()1,,Ba a a ，0,0,2a E ⎛⎫⎪⎝⎭，(),,0B a a ，()0,0,0D ，()10,0,D a ，则1,,2a B E a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，(),,0DB a a =，()1,0,DA a a =，()1,,BD a a a =--，设面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，所以00ax az ax ay +=⎧⎨+=⎩，取1x =，则1y z ==-，所以()1,1,1n =--，所以()()()()11111122a aB E n a =⨯-+-⨯-+-⨯=-，当2a ≠时10B E n ≠，故1B E 不一定平行面1A BD ，故A 错误；因为()()()()2115022a B E BD a a a a a a =-⨯-+-⨯-+⨯=≠，所以1B E 与1BD 不垂直，故B 错误； 111113111136C B CE B C EC C ECV V SB C a --===，故C 错误；面11CDD C 的法向量为()1,0,0m =，设直线B 1E 与平面CDD 1C 1所成的角为θ，则112sin 31m B Em B Eθ===⨯，所以cos θ== 所以2sin tan cos θθθ===D 正确； 故选：D【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.5．C解析：C 【分析】首先利用线面角的定义，可知当D 为PC 的中点时，AD 取得最小值，此时BD 与平面PAC 所成角最大，再以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，利用向量坐标法求线面角的正弦值. 【详解】,AB AC AB PA ⊥⊥，且PA AC A =， AB ∴⊥平面PAC ，易证AB ⊥平面PAC ，则BD 与平面PAC 所成角为ADB ∠，3tan AB ADB AD AD∠==， 当AD 取得最小值时，ADB ∠取得最大值 在等腰Rt PAC ∆中，当D 为PC 的中点时，AD 取得最小值.以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)D ， 则(0,1,1)AD =，(0,2,2)PC=-，(3,2,0)BC =-设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0n PC n BC ⋅=⋅=， 即220320y z x y -=⎧⎨-+=⎩令3y =，得(2,3,3)n =. 因为311cos ,11222n AD 〈〉==⨯，所以AD 与平面PBC 311. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题重点考查线面角，既考查了几何法求线面角，又考查向量法求线面角，本题关键是确定点D 的位置，首先利用线面角的定义确定点D 的位置，再利用向量法求线面角.6．D解析：D 【详解】由题设可得197(,3,)55a b c ++=，则635635255a b c ++==； 923(,1,)55a b c --=-，63525a b c --=，则①正确；因1346()(4,2,2)(,1,)205555a b c +⋅=⋅--=-+-=， 1481424()(1,2,3)(,1,)205555a b c ⋅+=⋅-=+-=，故②正确；又因2635127()255a b c ++==，而22235714,10,255a b c ====， 所以22271272455a b c ++=+=，即③正确；又3030a b ⋅=+-=，则()0a b c ⋅⋅=， 而330055b c ⋅=-++=，故()0a b c ⋅⋅=，也即④正确. 故选：D ．7．B解析：B 【分析】取PA 的中点D ，连接CD ，因为CA =CP ，则CD ⊥PA ，连接BD ，过C 作CE ⊥BD ，E 为垂足，由题意得到∠CPE 就是直线PC 与平面PAB 所成角，利用直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为66，PC ＝3，求出CE ，再求出CD ，可得PD ，即可得出结论． 【详解】取PA 的中点D ，连接CD ，因为CA =CP ，则CD ⊥PA ，连接BD ，过C 作CE ⊥BD ，E 为垂足，由已知得BC ⊥CA ， BC ⊥CP ， CA CP C =，则BC ⊥平面PAC ， 得到BC ⊥PA ，CD BC C ⋂=，可得PA ⊥平面BCD ，又PA ⊂平面PAC ∴平面BCD ⊥平面PBA ，平面BCD 平面PBA =BD ，由两个平面互相垂直的性质可知：CE ⊥平面PBA ， ∴∠CPE 就是直线PC 与平面PAB 所成角， ∵直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为6，PC ＝AC =3， ∴CE ＝62PC =， 设CD ＝x ，则BD ＝21x +，21121122x x ∴⋅⋅=⋅+⋅， ∴x ＝1，∵PC ＝3，∴PD ＝2，∴PA ＝2PD ＝22． 故选：B ．【点睛】本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力和分析推理能力以及计算能力，属于中档题．8．A解析：A 【分析】以B为原点，,,BA BC BP坐标轴建立空间直角坐标系，设BQBAλ=,由异面直线PM与CQ所成的角的余弦值为3434可列式222343244PM CQPM CQ，求出λ即可.【详解】如图，在三棱锥P ABC-中，2AB BC==，22AC =，BA BC∴⊥, PB⊥平面ABC，以B 为原点，,,BA BC BP坐标轴建立空间直角坐标系，可知()0,0,0B，()0,2,0C ，()1,1,0M，2,6BM MN，222BN MN BM，4PB∴=，则()0,0,4P，设BQBAλ=，且01λ<<，则2,0,0Q，可知1,1,4,2,2,0PM CQ,12124022PM CQ，22211432PM，244CQ，异面直线PM与CQ34，22234343244PM CQPM CQ，解得14λ=或4λ=（舍去），14BQBA∴=.故选：A.【点睛】本题考查向量法求空间线段的比例分点，属于中档题.9．C解析：C【分析】由于方向量的方向性，平面的法向量有正向量或负向量；当a、b为异号向量，二面角为π减去两法向量夹角；当a、b为同号向量，二面角即为两法向量的夹角，由此即可求得二面角lαβ--【详解】两个半平面α与β的法向量分别为,a b，且,a b6π<>=由于向量的方向性，法向量与平面有两种情况当a、b为异号向量，如下图示：,a b6π<>=∴有二面角lαβ--为56π当a、b为同号向量，如下图示：,a b6π<>=∴有二面角lαβ--为6π综上，有二面角lαβ--为6π或56π故选：C 【点睛】本题考查了二面角与平面法向量夹角的关系，依据法向量的夹角判断平面所成二面角的大小，注意法向量的方向性，讨论在不同情况下二面角的大小10．B解析：B 【分析】设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，由AE 和BF所成角的余弦值为14，求出t 的值，由此能求出AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值.【详解】设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则)3,1,0A，()0,0,0B ， ()0,2,0C ，33,22E t ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，31,22F t ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ ， 31,2AE t ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，31,2BF t ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，因为AE 和BF BF 所成角的余弦值为14， 所以222112cos ,411t AE BF AE BF AE BFt t -⋅===++， 解得：1t =所以31,122AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，平面11BCC B 的法向量()1,0,0n =，所以AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为362sin 21AE nAE nα⋅===⨯ 故选：B 【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，属于中档题.11．D解析：D 【分析】利用面面垂直的判定定理可判断命题1p 的真假，利用空间向量法可得判断命题2p 、3p 的真假，再利用复合命题的真假可得出结论. 【详解】90ADE ∠=，AD DE ∴⊥，四边形EDCF 是正方形，则DC DE ⊥，AD DC D ⋂=，DE ∴⊥平面ABCD ，又DE ⊂平面EDCF ，故平面ABCD ⊥平面EDCF ，故1p 为真命题；由已知//DC EF ，DC ⊄平面ABFE ，EF ⊂平面ABFE ，所以//DC 平面ABFE ．又DC ⊂平面ABCD ，平面ABCD 平面ABFE AB =，故//AB CD ，又AD DE =，所以AD CD =，令1AD =，则2AB =，60BAD ∠=， 由余弦定理可得2222cos 3BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠=，222AD BD AB ∴+=，AD BD ∴⊥，如图，以D 为原点，以DA 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，132F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()3,0B ，所以33,12FA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0=DB ，132DF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以异面直线AF 与BD 所成角的余弦值为cos ,2FA DB FA DB FA DB-⋅<>===⨯⋅2p 为假命题； 设平面BDF 的法向量为(),,n x y z=，由00n DBn DF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以01022x y z =⎨-++=⎪⎩， 取2x =，则0y =，1z =，得()2,0,1n =，cos ,2F FA n FA A n n⋅<>===⨯⋅ 设直线AF与平面BDF 所成的角为θ，则sin 5θ=． 所以直线AF 与平面BDF ，故3p 为真命题． 所以13p p ∧为真命题，12p p ∧、13p p ⌝∧、23p p ∧均为假命题. 故选：D. 【点睛】本题考查复合命题的真假的判断，涉及面面垂直的判断、异面直线所成角以及线面角的计算，涉及空间向量法的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12．A解析：A 【分析】过E 作EH BD ⊥，交BD 于H 点，设二面角A BD C --的大小为α，设BE 与CF 的夹角为θ，则0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，由向量数量积的运算律得出CF BE CF HE ⋅=⋅，由题意可得出12HE BE =，利用数量积的定义可求出cos ,CF BE <>的值，即可求出cos θ的值，进而利用同角三角函数的平方关系可求出sin θ的值. 【详解】如下图所示，过E 作EH BD ⊥，交BD 于H 点， 设BE 与CF 的夹角为θ，则0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，记二面角A BD C --的大小为α，()CF BE CF BH HE CF HE ⋅=⋅+=⋅， 即()cos CF BE CF HE πα⋅=⋅-，即11cos ,23CF BE CF BE CF BE ⎛⎫⋅<>=⋅⋅- ⎪⎝⎭，1cos ,6CF BE ∴<>=-，所以1cos 6θ=，即35sin 6θ=，故选：A ．【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，同时也考查了二面角的定义，涉及利用空间向量数量积的计算，考查计算能力，属于中等题.13．D解析：D 【分析】分别过点A 、点D 作BD 、AB 的平行线相交于点E ，连接CE ，则由题意可知ACE ∆为等边三角形，CDE ∆为直角三角形，求解CD 即可. 【详解】分别过点A 、点D 作BD 、AB 的平行线相交于点E ，连接CE ， 则四边形ABDE 为平行四边形.线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB .AC AB ∴⊥，AE AB ⊥则CAE ∠为二面角的平面角，即60CAE ∠= 4AB AC BD ===4AC BD AE AB DE ∴=====，如图所示.ACE ∴∆为等边三角形，4CE =AC DE ⊥，AE DE ⊥，AC AE A ⋂=，AC ⊂平面ACE ，AE ⊂平面ACEDE ∴⊥平面ACE 又CE ⊂平面ACE∴DE CE ⊥在Rt CDE ∆中22224442CD CE DE =+=+=故选：D【点睛】本题考查空间的距离问题，属于中档题.二、填空题14．②④【分析】由题意知abAC三条直线两两相互垂直构建如图所示的长方体|AC|＝1|AB|=2斜边AB以直线AC为旋转轴则A点保持不变B点的运动轨迹是以C为圆心为半径的圆以C坐标原点以CD为x轴CB为解析：②④【分析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的长方体，|AC|＝1，|AB|=2，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，3为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出结果．【详解】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示的长方体高为13故|AC|＝1，|AB|=2，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C3为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，则D3，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量a=（0，1，0），|a|＝1，直线b的方向单位向量b=（1，0，0），|b|＝1，设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′3θ3θ，0），其中θ为B ′C 与CD 的夹角，[02θπ∈，），∴AB ′在运动过程中的向量，'AB =θθ，﹣1），|'AB |=2， 设'AB 与a 所成夹角为α∈[0，2π]， 则)(10cos 3，，θα-⋅=='⋅sin a AB θ|∈[0， ∴α∈[6π，2π]，∴③错误，④正确． 设'AB 与b 所成夹角为β∈[0，2π]， ()(1100c 323os ，-，，，θθβ-⋅'⋅===''⋅⋅cos sin AB b AB bb AB |cos θ|， 当'AB 与a 夹角为60°时，即α3π=，|sin θ|33πα===， ∵cos 2θ+sin 2θ＝1，∴cos β=|cos θ|2=，∵β∈[0，2π]，∴4πβ=，此时'AB 与b 的夹角为45°，∴②正确，①错误． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉及空间向量的知识点，属于中档题．15．2【分析】求CD 的长即为由向量的加法可得利用向量的数量积运算即可得出答案【详解】∵AB 是棱l 上两点ACBD 分别在半平面αβ内AC ⊥lBD ⊥l 因为所以因为所以故答案为：2【点睛】本题主要考查空间向量的解析：2 【分析】求CD 的长即为CD ，由向量的加法可得CD CA AB BD =++，利用向量的数量积运算即可得出答案. 【详解】∵A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，0,0∴⋅=⋅=CA AB BD AB ，,60︒<>=CA BD因为1AB AC BD ===，所以111cos602︒⋅=⨯⨯=CA BD ， 因为CD CA AB BD =++， 所以2()12=++==CD CA AB BD故答案为：2 【点睛】本题主要考查空间向量的加法，减法及几何意义和空间向量的数量积，考查了运算求解能力和转化的数学思想，属于一般题目.16．【分析】由根据与的夹角为钝角由且求解【详解】因为所以因为与的夹角为钝角所以且由得所以若与的夹角为则存在使即所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的应用还考查了运算求解的能力属于中档题解析：6652,,5515⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】由(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据a 与b 的夹角为钝角，由0a b ⋅<且,180a b ︒〈〉≠求解. 【详解】因为(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛⎫=--⎪⎝⎭， 所以2525(2)31355a b t t ⎛⎫⋅=⨯-++⨯-=- ⎪⎝⎭， 因为a 与b 的夹角为钝角， 所以0a b ⋅<且,180a b ︒〈〉≠， 由0a b ⋅<，得52305t -<， 所以5215t <. 若a 与b 的夹角为180︒，则存在0λ<，使a b λ=， 即2(5,3,1)2,,5t λ⎛⎫=--⎪⎝⎭，所以523215t λλλ⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩， 解得65t =-， 故答案为： 6652,,5515⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 17．3【分析】根据向量加法以及向量数量积的坐标表示得结果【详解】【点睛】本题考查空间向量加法与数量积考查基本求解能力属于基础题解析：3【分析】根据向量加法以及向量数量积的坐标表示得结果.【详解】()()() 2,3,12,2,5465 3.a b c ⋅+=-⋅=-+=，【点睛】本题考查空间向量加法与数量积，考查基本求解能力. 属于基础题. 18．【解析】分析：利用终点坐标减去起点坐标求得对应的向量的坐标进而求得向量的模以及向量的夹角的余弦值应用平方关系求得正弦值由此可以求得以为邻边的平行四边形的面积详解：由题意可得所以所以所以以为邻边的平行解析：【解析】分析：利用终点坐标减去起点坐标，求得对应的向量的坐标，进而求得向量的模以及向量的夹角的余弦值，应用平方关系求得正弦值，由此可以求得以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积.详解：由题意可得(2,3,1),(2,1,3)AB AC =-=-，49114,41AB AC =++==+=，所以2)31(1)32cos 7BAC -+⨯+-⨯∠==-，所以sin BAC ∠=，所以以AB ，AC为邻边的平行四边形的面积为S == 点睛：该题考查的是有关空间向量的坐标以及夹角余弦公式，在解题的过程中，需要对相关公式非常熟悉，再者就是要明确平行四边形的面积公式，以及借助于向量的数量积可以求得对应角的余弦值.19．【分析】设0则由知所以由此能求出其最小值【详解】设001-即（当时取最小值）故答案为：【点睛】方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法要根据已知【分析】设(C x ，0，0)，(0D ，y ，0)，则(1,,2)AD y →=-，(,1,1)BC x →=-，由20AD BC x y →→=--=，知2x y =+．所以||CD →【详解】设(C x ，0，0)，(0D ，y ，0)，(1A -，0，2)，(0B ，1，-1)，∴(1,,2)AD y →=-，(,1,1)BC x →=-， AD BC ⊥，∴20AD BC x y →→=--=，即2x y =+．(,,0)CD x y →=-，∴||CD →=2．（当1y =-时取最小值）【点睛】方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 20．【分析】根据题意先得到平面所以向量为平面的一个法向量；分别以为轴轴以垂直于平面过点的直线为轴建立空间直角坐标系根据题意求出平面的一个法向量根据向量夹角公式求出二面角的夹角余弦值进而可求出结果【详解】【分析】根据题意，先得到AC ⊥平面11BCC B ，所以向量AC 为平面11BCC B 的一个法向量；分别以CA ，CB 为x 轴，y 轴，以垂直于平面ABC 过点C 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，根据题意求出平面1B ED 的一个法向量，根据向量夹角公式求出二面角的夹角余弦值，进而可求出结果.【详解】因为AC BC ⊥，1AC CC ⊥，1BC CC C =，且1,BC CC ⊂平面11BCC B ， 所以AC ⊥平面11BCC B ，所以向量AC 为平面11BCC B 的一个法向量；分别以CA ，CB 为x 轴，y 轴，以垂直于平面ABC 过点C 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，因为2AC BC ==，160C CB ∠=︒，13CC =，所以()2,0,0A ，()0,0,0C ，()2,0,0B ，则12,2D ⎛ ⎝⎭，(E，170,2B ⎛ ⎝⎭，所以12,,22ED ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，150,22EB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,0AC =-设平面1B ED 的一个法向量为(),,m x y z =，则 1m ED m EB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即1120225022m ED x y z m EB y z⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，解355x z y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，令5z =，则()3,m =，所以cos ,4AC mAC m AC m ⋅<>===， 由图像可得，二面角1B B E D --为锐角，记为θ，所以co cos s ,AC m θ>=<=，因此sin θ== 所以sin tan cos 3θθθ===.221. 【点睛】 本题主要考查求二面角的正切值，根据向量的方法求解即可，属于常考题型.21．【分析】建立空间直角坐标系由求得得到进而求得三角形的面积的最小值得到答案【详解】以D 点为空间直角坐标系的原点以DC 所在直线为y 轴以DA 所在直线为x 轴以为z 轴建立空间直角坐标系则点所以因为所以因为所以 25 【分析】建立空间直角坐标系，由1D P CM ⊥，求得22z y =-，得到25128BP y y =-+而求得三角形的面积的最小值，得到答案.【详解】以D 点为空间直角坐标系的原点，以DC 所在直线为y 轴，以DA 所在直线为x 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系.则点1(2,,),(0,0,2)P y z D ，所以1(2,,2)D P y z =-.因为(0,2,0),(2,0,1)C M ，所以(2,2,1)CM =-,因为1D P CM ⊥,所以4220y z -+-=，所以22z y =-，因为B(2，2，0)，所以(0,2,)BP y z =-， 所以22222(2)(2)(22)5128BP y z y y y y =-+=-+-=-+因为02y ≤≤，所以当65y =时，min 255BP =.因为BC ⊥BP ,所以min 1()2255PBC S ∆=⨯⨯=.. 【点睛】 本题主要考查了空间向量的应用，其中解答建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标表示，以及向量的数量积的运算，求得BP 的最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.22．或【分析】由公式结合空间向量数量积的坐标运算律得出关于实数的方程解出该方程可得出实数的值【详解】则解得或故答案为或【点睛】本题考查空间向量数量积的坐标运算解题的关键就是利用空间向量数量积的坐标运算列 解析：2或1227-. 【分析】 由公式4cos ,9a ba b a b ⋅==⋅结合空间向量数量积的坐标运算律得出关于实数λ的方程，解出该方程可得出实数λ的值. 【详解】()1,2,a λ=，()2,2,1b =-，246a b λλ⋅=+-=-，25a λ=+，3b =， 24cos ,9a ba b a b λ⋅===+⋅，则606λλ->⇒<，解得2λ=或1227-. 故答案为2或1227-. 【点睛】 本题考查空间向量数量积的坐标运算，解题的关键就是利用空间向量数量积的坐标运算列出方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.23．【解析】由题意连接则故答案为解析：1131234AB AC AD --+ 【解析】 由题意，连接AE ， 则32 43GE AE AG AB BD AM =-=+- 321432AB AD AB AB AC =+--⨯+（）（）． 1131234AB AC AD =--+ .故答案为1131234AB AC AD --+. 24．【分析】根据向量的线性运算得出根据向量的数量积运算即可求出结果【详解】解：由题可知所以得故答案为：【点睛】本题考查向量的运算涉及到线性运算和向量的数量积同时考查学生的化归和转化思想解析：2 【分析】 根据向量的线性运算，得出112AE AB BC CC =++，根据向量的数量积运算，即可求出结果.【详解】 解：由题可知，112AE AB BC CC =++， 所以2211()2AE AB BC CC =++ 222111124AB BC CC AB BC AB CC BC CC =+++⋅+⋅+⋅ 22211112cos60cos60cos604AB BC CC AB BC AB CC BC CC =+++⋅+⋅+⋅ 11111711242224=+++⨯++= 得17AE =.故答案为：2. 【点睛】 本题考查向量的运算，涉及到线性运算和向量的数量积，同时考查学生的化归和转化思想. 25．【分析】设且利用数量积运算即得解【详解】设故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的模长数量积运算考查了学生空间想象数学运算能力属于中档题解析：【分析】设1,,AB a AD b AA c===,且1|||++|AC a b c =，利用数量积运算即得解. 【详解】设1,,||||||2,,,60o AB a AD b AA c a b c a b a c c b ===∴===<>=<>=<>=， 222221|||++|||||||22224AC a b c a b c a b a c c b ==+++⋅+⋅+⋅=||26AC ∴=故答案为：26【点睛】本题考查了空间向量的模长，数量积运算，考查了学生空间想象，数学运算能力，属于中档题.26．①②【分析】建立如图所示的空间直角坐标系把空间中的平行垂直关系归结为方向向量法向量之间的关系后可得正确的选项【详解】建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为2则故所以故所以故②正确又设平面的法向 解析：①②【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，把空间中的平行、垂直关系归结为方向向量、法向量之间的关系后可得正确的选项.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()()()()2,0,0,0,0,0,0,2,0,2,2,0A D C B ，()()()()11112,0,2,0,0,2,0,2,2,2,2,2A D C B ，故()()2,2,1,0,1,0M N ，所以()2,1,1MN =---，()10,2,2CD =-，故10MN CD ⋅=，所以1MN CD ⊥，故②正确.又()2,2,0DB =，()12,0,2DA =，设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =， 由100n DB n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00x y x z +=⎧⎨+=⎩，取1z =-，则()1,1,1n =--， 因为0MN n ⋅=且MN ⊄平面1A BD ，故//MN 平面1A BD ，故①正确.又()10,2,1A M =-，设平面1A MN 的法向量为(),,m x y z =，由100m MN m A M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020x y z y z ---=⎧⎨-=⎩，取1y =，则3,1,22m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 平面1A AC 的法向量为()2,2,0a =，则0m a ⋅≠故平面1A MN ⊥平面1A AC 不成立，故③错，故答案为：①②.【点睛】本题考查空间中平行关系、垂直关系的判断，注意根据几何体的特征建立合适的空间直角坐标系后再利用空间向量来处理，本题属于中档题.。
新人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．若(),,0OA m n =，40,,OB p n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,4,0F ，1AF m =+，1BF p =+，则m p +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．62．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，且1,2AB BC ==，60ABC ∠=,AP ⊥平面ABCD ，AE PC ⊥于E ，下列四个结论：①AB AC ⊥；②AB ⊥平面PAC ；③PC ⊥平面ABE ;④BE PC ⊥ .其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．如图所示，在正四面体A -BCD 中，E 为棱AD 的中点，则CE 与平面BCD 的夹角的正弦值为( )A 3B ．23C ．12D 34．在一直角坐标系中，已知(1,6),(3,8)A B --，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则折叠后,A B 两点间的距离为（ ） A ．41B 41C 17D ．175．两直线14127x y z -+==-和623511x y z +--==-的夹角的余弦是（ ） A ．2227-B ．2227C ．227D ．227-6．空间四点()(1,0,0)010(0,0,1)(,2,3)A B C D x 、，，、、共面，则x =（ ）A ．4-B ．1-C ．1D ．47．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭8．在如图所示的几何体ABCDEF 中，四边形EDCF 是正方形，ABCD 是等腰梯形，AD DE =，90ADE ∠=，//AB CD ，120ADC ∠=．给出下列三个命题：1:p 平面ABCD ⊥平面EDCF ；2:p 异面直线AF 与BD 所成角的余弦值为34；3:p 直线AF 与平面BDF 5那么，下列命题为真命题的是（ ） A ．12p p ∧B ．13p p ⌝∧C ．23p p ∧D ．13p p ∧9．在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为( ) A ．1-B ．1C 3D ．7310．正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，下列结论：①AD 与BC 所成的角为60︒：②AC 与BD 所成的角为90︒：③BC 与面ACD 所成角的正弦值为63：④二面角A BC D --2：其中正确结论的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．111．已知四边形ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，四边形DGEA 与四边形DGFC 也都为正方形，连接,,EF FB BE ，点H 为BF 的中点，有下述四个结论： ①DE BF ⊥； ②EF 与CH 所成角为60︒； ③EC ⊥平面DBF ； ④BF 与平面ACFE 所成角为45︒． 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②③④12．点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是（ ） A ．1[1,]4--B ．11[,]24--C ．[1,0]-D ．1[,0]2-13．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1二、填空题14．如图：二面角α﹣l ﹣β等于120°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 的长等于__．15．如图，已知平面α⊥平面β，l αβ=，∈A l ，B l ∈，AC α⊂，BD β⊂，AC l ⊥，BD l ⊥，且4AB =，3AC =，12BD =，则CD =_________________.16．平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知底面四边形ABCD 为正方形，且113A AB A AD π∠=∠=，其中，设1AB AD ==，1AA c =，体对角线12AC=，则c 的值是______.17．若向量()1,,1a λ=，()2,1,2b =-，且a 与b 夹角的余弦值为13，则λ=__________. 18．在长方体1111ABCD A B C D -中，13,3,4AB BC AA ===，则点D 到平面11A D C 的距离是______．19．若(2,3,1)a =-，(2,0,3)b =，(0,2,2)c =，则()a b c ⋅+=_____20．正四面体ABCD 的棱长为2，半径为2的球O 过点D ，MN 为球O 的一条直径，则AM AN ⋅的最小值是__________．21．正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为22，则1AC 与1B C 所成的角为___________.22．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AB AD AA ===，90BAD ∠=，1160BAA DAA ∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值是________．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是底边为1的菱形，60BAD ∠=，2PB =，PA PD =，当直线PB 与底面ABCD 所成角为30时，二面角P CD A --的正弦值为______.24．如图，在ABC ∆和AEF ∆中，B 是EF 的中点，2AB =，4EF =，3CA CB ==，若7AB AE AC AF ⋅+⋅=，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于__________．25．已知(2,1,3),(1,4,2),(3,5,)a b c λ=-=-=-，若,,a b c 三向量共面，则实数λ=_____.26．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为1，113BAD A AD A AB π∠=∠=∠=，E 为1CC 的中点，则AE 的长度是________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据空间向量模的坐标表示，由题中条件，得到()222241441m n m p p n +-=+⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，推出22163282230m p n n n n-+-++=，配方整理，即可求出最小值. 【详解】因为(),,0OA m n =，40,,OB p n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,4,0F ，1AF m =+，1BF p =+，所以11m p =+=+，则()2222224214421m n m m p p p n ⎧+-=++⎪⎨⎛⎫-+=++⎪ ⎪⎝⎭⎩，即()224214421n m p n⎧-=+⎪⎨⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎩， 所以22221632164812261628822n n n m p n n n n n ⎛⎫⎛⎫-++-+-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=22444822466n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++=+-+≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当44n n+=，即2n =时，22m p +取得最小值3，则m p +的最小值为3. 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于利用空间向量模的坐标表示，用n 表示出22m p +，即22164882222n n n m n p ⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，配方整理，即可求解.2．D解析：D 【详解】已知1260AB BC ABC ==∠=︒，，， 由余弦定理可得2222cos60AC AB BC AB BC =+-︒3=， 所以22AC AB +2BC =，即AB AC ⊥，①正确；由PA ⊥平面ABCD ，得AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAC ，②正确；AB ⊥平面PAC ，得AB ⊥PC ，又AE PC ⊥，所以PC ⊥平面ABE ，③正确；由PC ⊥平面ABE ，得PC BE ⊥，④正确， 故选D ． 3．B解析：B 【分析】首先利用正四面体的线与线的位置关系，求出点A 在下底面的投影，进一步求出E 在下底面的射影位置，最后利用所求出的线段长，通过解直角三角形求得结果. 【详解】在正四面体A BCD -中，设棱长为a ，E 为棱AD 的中点，如下图所示过A 做AO ⊥平面BCD ，则O 为平面BCD 的中心，延长DO 交BC 于G ，过E 做EF GD ⊥， 连接FC ，所以ECF ∠就是所求的CE 与平面BCD 的夹角． 所以222GD CD CG =-，求得3GD a =， 所以3DO a =，利用222AO AD OD =-，解得6AO a =， 所以66EF a =，32CE a =， 在Rt EFC 中，2sin EF ECF CE ∠==，故选B.【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，勾股定理的应用及相关的运算问题，具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作--作出斜线与射影所成的角；（2）证--论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算--常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角；（4）答--回答求解问题．4．D解析：D 【分析】画出图形，作,AC CD BD CD ⊥⊥，则6,8,4AC BD CD ===，可得0,0AC CD BD CD ⋅=⋅=，沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，故两异面直线,CA DB所成的角为60︒，结合已知，即可求得答案. 【详解】如图为折叠后的图形，其中作,AC CD BD CD ⊥⊥则6,8,4AC BD CD ===，∴0,0AC CD BD CD ⋅=⋅=沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角∴两异面直线,CA DB 所成的角为60︒．可得：.cos6024CA DB CA DB ︒⋅=⋅= 故由AB AC CD DB =++ 得22||||AB AC CD DB =++2222+22AC CD DB AC CD CD DB AC DB +++⋅⋅+⋅= 2222+22AC CD DB AC CD CD DB CA DB +++⋅⋅-⋅=36166448=++-68=||AB ∴=故选：D. 【点睛】本题考查了立体几何体中求线段长度，解题的关键是作图和掌握空间向量的距离求解公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.5．B解析：B 【分析】写出直线的方向向量，求出方向向量的夹角的余弦值，其绝对值为两直线夹角余弦． 【详解】由题意两直线的方向向量分别为(1,2,7)m =-，(5,1,1)n =-，cos ,271m n m n m n⋅<>===-+∵两直线夹角为锐角或直角，∴所求余弦值为27． 故选：B ． 【点睛】本题考查求空间两直线的夹角，求出两直线的方向向量，由方向向量的夹角与两直线夹角相等或互补求解．6．A解析：A 【分析】由于四点A ，B ，C ，D 共面，可得存在实数λ，μ使得AD AB AC λμ=+，解出即可． 【详解】(1,1,0),(1,0,1),(1,2,3)AB AC AD x =-=-=-，∵四点A ，B ，C ，D 共面，∴存在实数λ，μ使得AD AB AC λμ=+，(1,2,3)(1,1,0)(1,0,1)x λμ∴-=-+-123x λμλμ-=--⎧⎪∴=⎨⎪=⎩解得4x =- 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量共面定理，考查了计算能力，属于容易题．7．C解析：C 【分析】设(,,)Q x y z ，根据点Q 在直线OP 上，求得(,,2)Q λλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB ⋅取得最小值，即可求解. 【详解】 设(,,)Q x y z ，由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=， 即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q .故选：C. 【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力.8．D解析：D 【分析】利用面面垂直的判定定理可判断命题1p 的真假，利用空间向量法可得判断命题2p 、3p 的真假，再利用复合命题的真假可得出结论. 【详解】90ADE ∠=，AD DE ∴⊥，四边形EDCF 是正方形，则DC DE ⊥，AD DC D ⋂=，DE ∴⊥平面ABCD ，又DE ⊂平面EDCF ，故平面ABCD ⊥平面EDCF ，故1p 为真命题；由已知//DC EF ，DC ⊄平面ABFE ，EF ⊂平面ABFE ，所以//DC 平面ABFE ．又DC ⊂平面ABCD ，平面ABCD 平面ABFE AB =，故//AB CD ，又AD DE =，所以AD CD =，令1AD =，则2AB =，60BAD ∠=， 由余弦定理可得2222cos 3BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠=，222AD BD AB ∴+=，AD BD ∴⊥，如图，以D 为原点，以DA 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，13,22F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()3,0B ， 所以33,,122FA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()3,0=DB ，13,22DF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以异面直线AF 与BD 所成角的余弦值为332cos ,423FA DB FA DB FA DB-⋅<>===⨯⋅2p 为假命题； 设平面BDF 的法向量为(),,n x y z =，由00n DB n DF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以301302x y z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩， 取2x =，则0y =，1z =，得()2,0,1n =，5cos ,25F FA n FA A n n⋅<>===⨯⋅ 设直线AF 与平面BDF 所成的角为θ，则5sin θ=． 所以直线AF 与平面BDF 5，故3p 为真命题． 所以13p p ∧为真命题，12p p ∧、13p p ⌝∧、23p p ∧均为假命题. 故选：D. 【点睛】本题考查复合命题的真假的判断，涉及面面垂直的判断、异面直线所成角以及线面角的计算，涉及空间向量法的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.9．A解析：A【分析】根据题意，由正四面体的性质可得：PA BC ⊥，可得0PA BC ⋅=，由E 是棱AB 中点，可得12PEPA PB ，代入PE BC ⋅，利用数量积运算性质即可得出.【详解】如图所示由正四面体的性质可得：PA BC ⊥可得：0PA BC ⋅= E 是棱AB 中点 12PE PA PB 111122cos12012222PE BCPA PB BC PA BC PB BC故选：A【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型. 10．A解析：A【分析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法和空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判断四个命题得结论.【详解】解：取BD 中点O ，连结AO ，CO ，∵正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，∴以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设1OC =，则()0,0,1A ，()0,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，()0,1,1AD =-，()1,1,0BC =， 1cos 22AD BCAD BC AD BC ⋅⋅===⋅， ∴异面直线AB 与CD 所成的角为60︒，故①正确：()1,0,1AC =-，()0,2,0BD =，∵0AC BD ⋅=，∴AC BD ⊥，故②正确：设平面ACD 的一个法向量为(),,t x y z =， 由00t AC x z t AD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，取1z =，得()1,1,1t =，()1,1,0BC =，设BC 与面ACD 所成角为θ，则sin cos ,33BC t BC t BC t θ⋅====⋅③正确：平面BCD 的法向量()0,0,1n =，()0,1,1BA =，()1,1,0BC =，设平面ABC 的法向量(),,m x y z =， 则00m BA y z m BC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，得()1,1,1m =-， cos ,3m nm n m n ⋅<>==⋅， ∴6sin ,3m n <>=∴二面角A BC D --，故④正确.故选：A.【点睛】本题考查利用空间向量法解决立体几何中的问题，属于综合题.11．B解析：B【分析】根据题意建立空间直角坐标系，写出所有点的坐标，利用向量法可以判断出正确的结论.【详解】由题意得，所得几何体可以看成一个正方体，因此,,,DA DC DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设2AD DC DG ===，(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，(0,0,2)G ，(2,0,2)E ，(0,2,2)F ，(2,2,0)B ，(1,2,1)H ，①(2,0,2)DE =，(2,0,2)BF =-，4040DE BF ∴⋅=-++=，DE BF ∴⊥，DE BF ∴⊥，①是正确的.②(2,2,0)EF =-，(1,0,1)CH =，设EF 与CH 所成的角为θ，1cos 2||||EF CH EF CH θ⋅∴==⋅， [0,]θπ∈ 60θ︒∴=，②是正确的.③(2,2,2)EC =--，(2,2,0)DB =，(0,2,2)DF =，设(,,)n x y z 是平面DBF 的一个法向量，DB n DF n ⎧⋅⊥∴⎨⊥⎩，00DB n DF n ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩00x y y z +=⎧⇒⎨+=⎩ 取1x =，(1,1,1)n ∴=-，2EC n =-，//EC n ，EC ∴⊥平面DBF ，③是正确.④(2,0,2)BF =-，由图像易得：(1,1,0)m =是平面 ACEFF 的一个法量， 设BF 与平面 ACFE 所成的角为θ，0,2πθ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦， sin cos ,BF m θ∴=12||||BF mBF m ⋅==⋅， 30θ︒∴=，④不正确，综上：①②③正确.故选：B .【点睛】本题考查异面直线、直线与平面所成角的求法，直线与直线、直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及转化思想的应用，是中档题．12．D解析：D【分析】以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以1DD 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点P 的坐标为(,,)x y z ，其中01,01,1x y z ≤≤≤≤=，用坐标运算计算出1PA PC ⋅，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范围．【详解】以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以1DD 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示；则点1(1,0,0),(0,1,1)A C 设点P 的坐标为(,,)x y z ，由题意可得 01,01,1x y z ≤≤≤≤=， 1(1,,1),(,1,0)PA x y PC x y ∴=---=--22221111(1)(1)0222PA PC x x y y x x y y x y ⎛⎫⎛⎫∴⋅=----+=-+-=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由二次函数的性质可得，当12x y ==时1PA PC ⋅取得最小值为12-； 当0x =或1，且0y =或1时，1PA PC ⋅取得最大值为0，则1PA PC ⋅的取值范围是1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选D ．【点睛】本题考查空间向量的数量积运算，解题方法量建立空间直角坐标系，引入坐标后，把向量的数量积用坐标表示出来，然后利用函数的性质求得最大值和最小值．13．D解析：D 【分析】根据平面向量运算法则可知2i i AB AP AB AB BP ⋅=+⋅，由线面垂直性质可知0i AB BP ⋅=，从而得到21i AB AP AB ⋅==，进而得到结果. 【详解】 ()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅AB ⊥平面286BP P P i AB BP ∴⊥ 0i AB BP ∴⋅= 21i AB APAB ∴⋅== 则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为1个故选：D【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想.二、填空题14．2【分析】求CD 的长即为由向量的加法可得利用向量的数量积运算即可得出答案【详解】∵AB 是棱l 上两点ACBD 分别在半平面αβ内AC ⊥lBD ⊥l 因为所以因为所以故答案为：2【点睛】本题主要考查空间向量的解析：2【分析】求CD 的长即为CD ，由向量的加法可得CD CA AB BD =++，利用向量的数量积运算即可得出答案.【详解】∵A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，0,0∴⋅=⋅=CA AB BD AB ，,60︒<>=CA BD因为1AB AC BD ===，所以111cos602︒⋅=⨯⨯=CA BD ， 因为CD CA AB BD =++， 所以2()12=++==CD CA AB BD故答案为：2【点睛】本题主要考查空间向量的加法，减法及几何意义和空间向量的数量积，考查了运算求解能力和转化的数学思想，属于一般题目. 15．13【分析】根据面面垂直得线面垂直进而得再根据向量模的平方求得结果【详解】因为平面平面所以因为所以故答案为：13【点睛】本题考查面面垂直性质定理利用空间向量求线段长考查基本分析论证与求解能力属中档题 解析：13【分析】根据面面垂直得线面垂直，进而得AC BD ⊥,再根据向量模的平方求得结果.【详解】因为平面α⊥平面β，l αβ=，AC α⊂,AC l ⊥，所以AC β⊥，因为BD β⊂，所以AC BD ⊥，CD CA AB BD =++2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD ∴=+++⋅+⋅+⋅2222341200013||13CD =+++++=∴= 故答案为：13【点睛】本题考查面面垂直性质定理、利用空间向量求线段长，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.16．【分析】根据平方得到计算得到答案【详解】故解得故答案为：【点睛】本题考查了平行六面体的棱长意在考查学生的计算能力和空间想象能力解析：1【分析】根据11AC AB AD AA =+-，平方得到2224c c +-=，计算得到答案. 【详解】11AC AB AD AA =+-， 故2222211111222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AA AB AD AA =+-=+++⋅-⋅-⋅2224c c =+-=，解得1c =.1.【点睛】本题考查了平行六面体的棱长，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 17．【分析】根据条件可求出再根据夹角的余弦为即可求出解出即可【详解】解：又夹角的余弦值为解得故答案为：【点睛】本题考查空间向量数量积的坐标运算根据向量坐标求向量长度的方法向量数量积的计算公式解析：74 【分析】 根据条件可求出2||2,||3a b λ=+=，224a b λλ=-+=-，再根据,a b 夹角的余弦为134λ-，解出λ即可． 【详解】解：2||2,||3a b λ=+=，224a b λλ=-+=-，又,a b 夹角的余弦值为13， ∴2||||cos ,24a b a b a b λλ=<>=+=-，解得74λ=． 故答案为：74． 【点睛】 本题考查空间向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，向量数量积的计算公式．18．【分析】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出点到平面的距离【详解】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系设平面的法向量则即取得∴点到平面的距离：故答案为【点睛】空间中点到平面的距离 解析：125【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D 到平面11A D C 的距离．【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0,0,0)D ，1(3,0,4)A ，1(0,0,4)D ，(0,3,0)C ，1(0,0,4)D D =-，11(3,0,0)D A =，1(0,3,4)DC =-， 设平面11A D C 的法向量(,,)n x y z =，则11100n D A n D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30340x y z =⎧⎨-=⎩，取4y =，得(0,4,3)n =， ∴点D 到平面11A D C 的距离：112||5D D nd n ⋅==． 故答案为125． 【点睛】 空间中点到平面的距离的计算，应该通过作出垂足把距离放置在可解的平面图形中计算，注意在平面图形中利用解三角形的方法（如正弦定理、余弦定理等）来求线段的长度、面积等.我们也可以利用空间向量来求，把点到平面的距离问题转化为直线的方向向量在平面的法向量上的投影问题.19．3【分析】根据向量加法以及向量数量积的坐标表示得结果【详解】【点睛】本题考查空间向量加法与数量积考查基本求解能力属于基础题解析：3【分析】根据向量加法以及向量数量积的坐标表示得结果.【详解】()()() 2,3,12,2,5465 3.a b c ⋅+=-⋅=-+=，【点睛】本题考查空间向量加法与数量积，考查基本求解能力. 属于基础题. 20．【解析】很明显当四点共面时数量积能取得最值由题意可知：则是以点D 为顶点的直角三角形且：当向量反向时取得最小值：解析：4-【解析】很明显当,,,O D M N 四点共面时数量积能取得最值，由题意可知：OD OM ON ==，则MDN △是以点D 为顶点的直角三角形，且： ()()()2420,AM AN AD DM AD DNAD AD DM DN DM DN AD DO ⋅=+⋅+=+⋅++⋅=+⋅+ 当向量,AD DO 反向时，AM AN ⋅取得最小值：4224-⨯=-21．【分析】作出图形分别取的中点连接以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法可求得异面直线与所成的角【详解】分别取的中点连接如下图所示：在正三棱柱中平面且分别为的中点且所以四边形为 解析：3π 【分析】作出图形，分别取AC 、11A C 的中点O 、E ，连接OE 、OB ，以点O 为坐标原点，OB 、OC 、OE 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线1AC 与1B C 所成的角.【详解】分别取AC 、11A C 的中点O 、E ，连接OE 、OB ，如下图所示：在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，11//AC A C 且11AC A C =， O 、E 分别为AC 、11A C 的中点，1//AO A E ∴且1AO A E =，所以，四边形1AOEA 为平行四边形，1//OE AA ∴，则OE ⊥平面ABC ， ABC 为等边三角形，O 为AC 的中点，则OB AC ⊥，以点O 为坐标原点，OB 、OC 、OE 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -、()0,1,0C 、13,0,22B 、(10,1,22C ， (10,2,22AC =，(13,1,22B C =--， 1111111cos ,22323AC B CAC B C AC B C ⋅<>===-⨯⋅， 因此，1AC 与1B C 所成的角为3π. 故答案为：3π. 【点睛】 方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.22．【分析】利用表示向量利用空间向量数量积计算出即可得解【详解】如下图所示：所以因此异面直线与所成角的余弦值是故答案为：【点睛】方法点睛：求异面直线所成角的余弦值方法如下：一是几何法：作—证—算；二是向解析：23【分析】利用AB 、AD 、1AA 表示向量1AB 、1BC ，利用空间向量数量积计算出11cos ,AB BC <>，即可得解.【详解】如下图所示：11AB AB AA =+，111BC BC BB AD AA =+=+，()222222*********cos AB AB AA AB AA AB AA AB AA AB AA BAA =+=++⋅=++⋅∠22212222122=++⨯⨯=，123AB ∴= ()222222*********cos BC AD AA AD AA AD AA AD AA AD AA DAA =+=++⋅=++⋅∠22212222122=++⨯⨯=，123BC ∴= ()()21111111AB BC AB AA AD AA AB AD AB AA AD AA AA ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+222111111cos cos 22282AB AA BAA AD AA DAA AA =⋅∠+⋅∠+=⨯⨯+=， 所以，()111121182cos ,323AB BC AB BC AB BC ⋅<>===⋅， 因此，异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值是23. 故答案为：23. 【点睛】 方法点睛：求异面直线所成角的余弦值，方法如下：一是几何法：作—证—算；二是向量法：把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线的夹角的余弦值为cos ,m nm n m n ⋅<>=⋅.23．1【分析】取中点过作于点；由等腰三角形三线合一和线面垂直的判定定理可证得平面从而得到；再根据线面垂直判定定理得到面由线面角定义可知通过勾股定理可求得由此可知在直线上从而得到面面垂直关系可知二面角为从 解析：1 【分析】取AD 中点E ，过P 作PF BE ⊥于F 点；由等腰三角形三线合一和线面垂直的判定定理可证得AD ⊥平面PBE ，从而得到AD PF ⊥；再根据线面垂直判定定理得到PF ⊥面ABCD ，由线面角定义可知30PBF ∠=，通过勾股定理可求得EF BE =，由此可知F 在直线CD 上，从而得到面面垂直关系，可知二面角为90，从而得到正弦值.【详解】取AD 中点E ，连接BE 并延长，过P 作PF BE ⊥于F 点PA PD =，E 为AD 中点 PE AD ⊥∴四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠= ABD ∴∆为等边三角形 BE AD ∴⊥,PE BE ⊂平面PBE ，PE BE E ⋂= AD ∴⊥平面PBEPF ⊂平面PBE AD PF ∴⊥又PF BF ⊥，,BF AD ⊂平面ABCD ，BFAD E = PF ∴⊥面ABCD ∴直线PB 与底面ABCD 所成角为PBF ∠ sin 2sin301PF PB PBF ∴=⋅∠=⨯=在PBE ∆中，由余弦定理得：22232cos 444222PE PB BE PB BE PBE =+-⋅∠=+-⨯=EF ∴==，又BE = F ∴在CD 延长线上 PF ∴⊂平面PCD ∴平面PCF ⊥平面ABCD∴二面角P CD A --的大小为90，正弦值为1故答案为：1【点睛】本题考查立体几何中二面角的求解问题，涉及到线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定定理、直线与平面所成角、勾股定理等知识的应用；关键是能够通过线面垂直关系确定直线与平面所成角的位置.24．【分析】由题意可得由此求得由以及两个向量的加减法的法则及其几何意义可求得由数量积的定义即可得到结果【详解】由题意可得∴由可得∴即∴故答案为【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则以及其几何意义两个 解析：16【分析】由题意可得22 9()BC AC AB ==-，由此求得2AC AB ⋅=，由 7AB AE AC AF ⋅+⋅=以及两个向量的加减法的法则及其几何意义可求得 2EF BC ⋅=，由数量积的定义即可得到结果.【详解】由题意可得()229BC AC AB==- 222AC AB AC AB =+-⋅ 942AC AB =+-⋅， ∴2AC AB ⋅=.由7AB AE AC AF ⋅+⋅=，可得 ()()AB AB BE AC AB BF ⋅++⋅+ 2AB AB BE AC AB AC BF =+⋅+⋅+⋅()42AB BF AC BF =+⋅-++⋅()1662BF AC AB EF BC =+⋅-=+⋅. ∴2EF BC ⋅=，即43cos ,2EF BC ⨯⨯=， ∴1cos ,6EF BC =，故答案为16. 【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义、以及运算性质，属于中档题． 25．【分析】由题意结合向量基本定理得到方程组求解方程组即可确定的值【详解】由题意可知存在实数满足：据此可得方程组：求解方程组可得：故答案为【点睛】本题主要考查空间向量基本定理方程的数学思想等知识意在考查 解析：1-【分析】由题意结合向量基本定理得到方程组，求解方程组即可确定λ的值.【详解】由题意可知，存在实数,m n 满足：c ma nb =+，据此可得方程组：325432m n m n m n λ-=-⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩，求解方程组可得：111m n λ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩. 故答案为1-．【点睛】本题主要考查空间向量基本定理，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.26．【分析】根据向量的线性运算得出根据向量的数量积运算即可求出结果【详解】解：由题可知所以得故答案为：【点睛】本题考查向量的运算涉及到线性运算和向量的数量积同时考查学生的化归和转化思想解析：2 【分析】 根据向量的线性运算，得出112AE AB BC CC =++，根据向量的数量积运算，即可求出结果.【详解】 解：由题可知，112AE AB BC CC =++， 所以2211()2AE AB BC CC =++ 222111124AB BC CC AB BC AB CC BC CC =+++⋅+⋅+⋅ 22211112cos60cos60cos604AB BC CC AB BC AB CC BC CC =+++⋅+⋅+⋅ 11111711242224=+++⨯++= 得17AE =..【点睛】本题考查向量的运算，涉及到线性运算和向量的数量积，同时考查学生的化归和转化思想.。
人教版高二数学空间向量与立体几何练习(含答案)
人教版高二数学空间向量与立体几何练习（含答案）1.空间直角坐标系中，已知(1,2,3)A -，(3,2,5)B -，则线段AB 的中点坐标为( ) A.(1,2,4)--B.(2,0,1)-C.(2,0,2)-D.(2,0,1)-2.若向量(1,,0)λ=a ，(2,1,2)=-b ，且a 与b 的夹角的余弦值为23，则实数λ等于( ). A.0B.43-C.0或43-D.0或433.已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的上底面1111A B C D 的中心为1O ，则11AO AC ⋅的值为( ).A.-1B.0C.1D.24.已知(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，则下列向量是平面ABC 的一个法向量的是( ) A.(1,1,1)- B.(1,1,1)- C.333,,333⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭D.333,,333⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭5.如图，在三棱锥P ABC -中，ABC 为等边三角形，PAC 为等腰直角三角形，4PA PC ==，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为( )A.142 3 D.126.如图，点P 为矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面,ABCD Q 为线段AP 的中点，3,4,2AB BC PA ===，则点P 到平面BQD 的距离为( )A.513B.1213C.135D.13127.（多选）已知向量(1,1,)m =-a ，(2,1,2)m =--b ，则下列结论中正确的是( ) A.若||2=a ，则2m = B.若⊥a b ，则1m =- C.不存在实数λ，使得=a b D.若1⋅=-a b ，则(1,2,2)+=---a b8.（多选）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 、O 分别是11A B 、11A C 的中点，P 在正方体内部且满足1312423AP AB AD AA =++，则下列说法正确的是( ) A.点A 到直线BE 5 B.点O 到平面11ABC D 2 C.平面1A BD 与平面11B CD 3 D.点P 到直线AB 的距离为25369.已知(1,52) AB =-，，(3,1,)BC z =，若AB BC ⊥，(1,,3)BP x y =--，且BP ⊥平面ABC ，则x y +=___________.10.如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB =，点M 为PA 的中点，BD BN λ=.若MN AD ⊥，则实数λ=__________.11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是111,A D CD 的中点，则直线MN 与平面ABCD 所成的角的余弦值为__________.12.如图，ABC △和BCD △都是边长为2的正三角形，且它们所在平面互相垂直.DE ⊥平面BCD ，且6AE =.(1)设P 是DE 的中点，求证://AP 平面BCD . (2)求二面角B AE C --的正弦值.答案以及解析1.答案：D解析：设中点坐标为(,,)x y z ，根据中点坐标公式得1322x +==，2202y -+==，3512z -==-.故选D. 2.答案：C解析：由题意得2202cos ,||31414λλ⋅-+〈〉===+⋅++a b a b a b ，解得0λ=或43λ=-.故选C. 3.答案：D解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，111,,122O ⎛⎫⎪⎝⎭，1(0,1,1)C ，111,,122AO ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1(1,1,1)AC =-，121111,,1(1,1,1)122222AO AC ⎛⎫∴⋅=-⋅-=++= ⎪⎝⎭.故选D.4.答案：C解析：易得(1,1,0)AB =-，(1,0,1)AC =-， 设(,,)x y z =n 为平面ABC 的一个法向量，则0,0,AB AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,0,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩x y z ∴==，故选C.5.答案：B解析：取AC 的中点O ，连接OP ，OB ，PA PC =，AC OP ∴⊥，平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC = ，OP ∴⊥平面ABC ，又AB BC =，AC OB ∴⊥，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，PAC 是等腰直角三角形，4PA PC ==，ABC 为等边三角形，(22,0,0)A ∴，(2,0,0)C -，2)P ，(2,6,0)D ， (42,0,0)AC ∴=-，(2,6,2)PD =-，2cos ,424||||AC PD AC PD AC PD ⋅∴〈〉===⨯∴异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为24. 故选B. 6.答案：B解析：如图，以A 为原点，分别以,,AB AD AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(3,0,0),(0,4,0),(0,0,2),(0,0,1)B D P Q ，(3,0,1),(3,4,0),(0,0,1)QB BD QP =-=-=.设平面BQD 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,BD QB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即340,30.x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令4x =，则12,3,(4,3,12)z y ==∴=n .∴点P到平面BQD 的距离||12||13QP d ⋅==n n . 7.答案：AC解析：由||2=a 2221(1)2m +-+， 解得2m =±，故A 选项正确；由⊥a b得2120m m --++=，解得1m =，故B 选项错误； 若存在实数λ，使得λ=a b ，则12λ=-，1(1)m λ-=-，2m λ=，显然λ无解，即不存在实数λ使得λ=a b ，故C 选项正确； 若1⋅=-a b ，则2121m m --++=-，解得0m =， 于是(1,2,2)+=--a b ，故D 选项错误. 8.答案：BC解析：如图，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)D ，1(0,0,1)A ，1(1,1,1)C ，1(0,1,1)D ，1,0,12E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以(1,0,0)BA =-，1,0,12BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.设ABE θ∠=，则||5cos 5||||BA BE BA BE θ⋅==，225sin 1cos θθ-. 故A 到直线BE 的距离12525||sin 1d BA θ===A 错. 易知111111,,0222C O C A ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭， 平面11ABC D 的一个法向量1(0,1,1)DA =-，则点O 到平面11ABC D 的距离11211222DA C O d DA ⋅===，故B 对. 1(1,0,1)A B =-，1(0,1,1)A D =-，11(0,1,0)A D =.设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n ，则110,0,A B A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以0,0,x z y z -=⎧⎨-=⎩令1z =，得1y =，1x =， 所以(1,1,1)=n .所以点1D 到平面1A BD 的距离1133||3A D d ⋅=n n . 因为易证得平面1//A BD 平面11B CD ，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离等于点1D 到平面1A BD 的距离，所以平面1A BD 与平面11B CD 3，故C 对.因为1312423AP AB AD AA =++，所以312,,423AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又(1,0,0)AB =，则34||AP AB AB ⋅=，所以点P 到AB 的距离2218195||144166||AP AB d AP AB ⋅=-=-=，故D 错. 9.答案：257解析：已知AB BC ⊥，由题意，可得BP AB ⊥，BP BC ⊥.利用向量数量积的运算公式，可得352015603(1)30z x y x y z +-=⎧⎪-++=⎨⎪-+-=⎩，，，解得4071574,x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，，401525777x y ∴+=-=. 10.答案：4解析：连接AC ，交BD 于点O ，连接OP ，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设2PA AB ==，则(2,0,0)A ，(0,2,0)D -，22M ⎝⎭，2,0)B ，(0,2,0)BD ∴=-，(2,2,0)AD =-，设(0,,0)N b ，则(0,2,0)BN b =-.BD BN λ=，22(2)b λ∴-=，222b λ-∴=222N λ⎛⎫-∴ ⎪ ⎪⎝⎭，22222,,22MN λλ⎛⎫-∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭， MN AD ⊥，2410MN AD λλ-∴⋅=-=，解得4λ=.11.答案：63解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则1(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),,(0,1,1)D D M N ，所以(1,1,1)MN =--，平面ABCD 的一个法向量为1(0,0,2)DD =，所以1113cos ,3||MN DD MN DD MN DD ⋅〈==-MN 与平面ABCD 所成的角为θ，则3sin θ，所以6cos θ=. 12.答案：(1)见解析 26解析：(1)证明：取BC 的中点O ，连接,,AO DO AD .ABC ∴△是正三角形， OA BC ∴⊥.∵平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC 平面BCD BC =，OA ∴⊥平面BCD . OD ⊂平面BCD ， AO OD ∴⊥.在Rt AOD △中，2sin 603AO DO ===336∴=+=.AD又6AE=，∴△为等腰三角形.ADE∴⊥.P是DE的中点，AP DEDE⊥平面BCD，∴∴⊥∴.AO DE AP AO AP OD////,,BCD AP⊄平面BCD，OD⊂平面,∴平面BCD.//AP(2)由(1)知，,OA DP AP OD，////∴四边形APDO为平行四边形，∴==，PD OA3∴=.23DE以点O为坐标原点，以,,OD OC OA的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系O xyz-，则3),(0,1,0)C E，A B-，(0,1,0),(3,0,23)∴===-.BA AE AC(0,1,3),(3,0,3),(0,1,3)设平面ABE的法向量为(,,)m，x y z=则0,0,BA AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即0,0.y ⎧=⎪=令y =1,1x z ==-，1)∴=-m .设平面ACE 的法向量为(,,)a b c =n ， 则0,0,AE AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.b ==⎪⎩ 令1a =-，则1b c ==，(∴=-n.1cos ,||||5⋅∴===m n m n m n. sin ,∴=m n ∴二面角B AE C --.。
(完整word版)空间向量与立体几何测试题及答案
高中 数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题一、选择题1 •若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量 的终点构成的图形是（）A. —个圆 E. —个点 C.半圆 D.平行四边形答案：A2 .在长方体 ABCD -ABQD i 中，下列关于 AG 的表达中错误的一个是（ ）答案：E3.若a , b, c 为任意向量， A. (a 亠b ) c =a - (b c )B. (a 亠b )・c =a ・c b-cC.m(a 亠 b ) =m a 亠 m bD. (a ・b )・c=a ・( b-c ) 答案：D1A. 1B. -1C.丄D -22答案：BA.B. AB DD^ De lC. AD CC 1 DC 1D.1(AB i CD i ) - AC im R ，下列等式不一定成立的是（4.若三点A B , e 共线,P 为空间任意一点, 且 PA 叱iPB = 1 PC ,^y - 的值为5. 设 a =(x,4,3), b= (3,2, z)，且 a II b , A. -4 B. 9 C. -9答案：B6 . 已知非零向量 e b e 2不共线， 如果A B, C , D ( )A. 一定共圆则四点亠A DB.恰是空间四边形的四个顶点心C. 一定共面D. 肯定不共面答案：C则xz 等于（AB = e AC =2 e 2 8 e AD =3 e -3 e 2,答案：B则x, y , z 的值分别为( )9 .若向量a =(1, ,2)与b= (2, -1,2)的夹角的余弦值为答案：c答案：D12.给出下列命题：① 已知 a _b ，则 a-(b c ) c-(b a ) =b c ；② A, B, M , N 为空间四点，若BA,B M ,BN 不构成空间的一个基底， 那么A , B, M , N 共面; ③ 已知a_b ，则a , b 与任何向量都不构成空间的一个基底; ④ 若a, b 共线，则a, 正确的结论的个数为(A. 1B. 2 答案：C 二、填空题13.已知 a =(3,15), b = (1,2,3)，向量 c 与 z 轴垂直，且满足 c-a = 9, c-b - -4，则 c =7.如图1空间四边形 ABCD 的四条边及对 角线长都是a ,点E , F , G 分别是AB, AD , CD 的中点，贝U a 2等于() B. 2AD-BD C. 2FG-CAD. 8 .右 a = e e 2 - e 3, b =e ^ - e 2 ■ e 3, c =e<i • e 2 — e 3,d =e 2 e 2 3 e ，且 d = x a y b z c ,1.1,2 5 厶D1 - 1「25 /1 - 1「2 5 ~1 - 2-A. 2B. -2C.-2或—55D. 2 或-5510 •已知ABCD 为平行四边形，且A(413),A. -,4,12答案：DB. (2,4,1) 11 .在正万体 ABCD - A| B 1C 1D 1 中,A. 60°B. 90°B(2,— 5,1), C(3,7, -5)，则顶点D 的坐标为(C. (24,1)D. (513, -3)O 为AC , BD 的交点，则 C品C. arccos ——3GO 与AD 所成角的(D. arccos ——6b 所在直线或者平行或者重合.)D. 4A. 2EF-CB答案：22, -21 , 0 5 514.已知A B, C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量 ■ OC 确5 3 定的点P 与A, B, C 共面，那么，二 ____________ . 答案：-1515.已知线段 AB_面〉，BC 二卅，CD _BC , DF _ 面〉于点 F , / DCF =30°，且 D , A 在平面:-的同侧，若 AB =BC 二CD =2，则AD 的长为 ____________________ . 答案：2 216.在长方体ABCD —ABQ i D i 中，BQ 和CQ 与底面所成的角分别为 60°和45°,则异面直 线BC 和CQ 所成角的余弦值为 _____________________ . 答案：—4 三、解答题17 .设 a t =2i - j +K 逊=i +3 j -2 k 爲=-2 i + j 弋 k a =3 i +2 j +5 k,试问是否存在实 数-,7，使a 4 a 「；［_a 2 •a 3成立？如果存在，求出 \ ;如果不存在，请写出证明.答案：解：假设a 4 = ■ a^ ''a 2亠、.①成立. •- a 1 =(2, -1,1), a 2 =(13, -2), a 3 =(-21,3), a^(3,2,5), ••• (2 •-2、，-，3二朕:，• -2」- 3、)=(3,2,5).◎人+4-2v=3, j\ = -2, •. -2,解得」=1,■ -2」-3.. =5,- -3.所以存在，=-2, " =1 , v = -3 使得 a 4 = -2a 1 a 2 -3a 3. 理由即为解答过程.18 .如图2,正三棱柱AB^ -A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为 所成的角.解：建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0, 0, B(0 , a , 0, A (0,0, V2a) , C 「一亟 a, - , ,7a2 2 由于n = ( -1,0, 0)是面ABB 1A ］的法向量,1*122a ,求AC 1与侧面ABB 1A\故AC i与侧面ABB i A所成的角为30°.19 •如图3，直三棱柱ABC- ABC中，底面是等腰直角三角形, .ACB 二90°，侧棱AA i =2, D, E分别是CC i与AB的中点，点E在平面ABD上的射影是求点A i到平面AED的距离. △ ABD的重心G ,解：建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=2a ,则A(2a,0,0, B(0,2a,0, D(0,0,1), A(2a,0,2) E(a, a,),-(0 , -2a,1).由GE_BD=GE・BD=0,得a=1,则A i(2,0,2) A(2,0,0) E(1,1,1).自A1作AH —面AED于M，并延长交xOy面于H，设H (x, y,0), —I则AH =(x —2, y, -2).又AD =(-2,0,1) , AE =(—1,1,1).丄AH _AD, —2(x—2)—2=0, x =1, ZR由1得H (1,1,0)."H _ AE -(x -2) y -2 =0 y =1,又AM =A1A90s A1AAM = AA^cos A1AAH =2 —=20.已知正方体ABCD -ABGD1的棱长为2, P, Q分别是BC, CD上的动点，且PQ = . 2 ,确定P, Q的位置，使QB1 _PD . 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设BP =t ,得CQ = 2 -(2 -t)2, DQ =2 - 2 -(2 -t)2.那么B(2,0, 2) D1(0,2,2, P(2 , , 0) Q(2 - 2-(2-t)2,2,0),从而QB =( 2 -(2 -t)2, -2 ,2) , PD1 =(22 -t,2),T —+由QB _ PD = QB^PD t =0 ,即-2 2 -(2 -t)2 -2(2 -t) 4 =0二t =1 .故P, Q分别为BC, CD的中点时，QB i _PD i .21.如图4，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，.ABC=90°,SA_面ABCD ,1SA二AB二BC =1, AD ，求面SCD与面SBA所成二面角的正切2值.解：建立如图所示的空间直角坐标系，(1\则A(0,0,0, B(—1,0,0, C(—1,1,0) D .0, 2 0 , S(0,0,1).延长CD交x轴于点F ,易得F(1,0, 0),作AE _SF于点E ,连结DE ,则ZDEA即为面SCD与面SBA所成二面角的平面角.又由于SA二AF且SA_AF，得E -€5那么从而乩一1,°,」，ED…丄,1,V 2 2 丿V 2 2cos EA, EDEA-ED因此tan EAF , ED 二彳.故面SCD与面SBA所成二面角的正切值为22.平行六面体ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且.GCB =. GCD = BCD ,试问:CD的值为多少时，AQ _面GBD ?请予以证明.当CG解：欲使AQ _面GBD ,只须AC _GD ,且AC _GB .欲证AC丄GD ,只须证CA・CD =0 ,t —t T 即(CA AA)・(CD -CG) =0 ,也就是(CD CB CC)(CD _CCJ =0,|C^2 -|C CJ2+|CB|C D|COS^BCD由于• GCB =/BCD , 显然，当CD |CC1时，上式成立；cos _GCB = 0 .同理可得，当时，AC —GB .CD因此，当时, AC _面G BD ..选择题：(10小题共40分)定共面的是2.直三棱柱 ABC — A B i G 中，若 CA = a, CB = b, CC r = C,则 A )B =3.若向量m 垂直向量a 和b ，向量n = ■ a h ：b(',」：=只且■、，北0)则A. m 〃 nB. m _ nC. mi 不平行于n,m 也不垂直于nD.以上三种情况都可台匕 冃匕4.以下四个命题中，正确的是C. (a b)c5.对空间任意两个向量 a,b(b o),a//b 的充要条件是6.已知向量a =(0,2,1),b =(-1,1,-2),则a 与b 的夹角为A B i = a, A i D i = b, A A = c ,则下列向量中与B 1M 相等的是1.已知A B C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点 M 与点A. OM = OA 亠 OB 亠 OCB . OM = 2OA _ OB _ OCC . OM =OA !OB !OC2 3D.OM =1OA 」0B -OC3 3 3A. a b —cB. a — b eC. 一 a b cD. - a b - cA.若00=丄0入+丄0目 则P 、 2 3 'A 、E 三点共线 B.设向量｛a,b,c ｝是空间一个基底,c + a ｝构成空间的另一个基底D. △ ABC 是直角三角形的充要条件是 AB AC =0A. a 二 bB. a - -bC. b - ■ aA.0 °B.45C.90o.D.180 °7.在平行六面体 ABCD - A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与 BD 的A. -lalb lc B. la 」b 」c C. 2 2 2 28.已知 a =(• 1,0,2 Jb =(6,2」 -1,2),若a 〃b,则•与•啲值分别为9.已知a =3i 2j - k,b = i - j 2k,则5a 与3b 勺数量积等于10.在棱长为1的正方体ABC —A i B i CD 中，M 和N 分别为AB 和BB 的中点，那么直线CN所成角的余弦值是二.填空题：(4 小题共16分)11.若 A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9) 12.已知 A(0, 2, 3), B(-2 , 1, 6), C( 1, -1 , 5),若|a |二.3,且a _ AB,a _ AC,则向量 a的坐标为13.已知a,b 是空间二向量，若心|=3,闪|=2扁4卜.7,则a 与b 的夹角为 14.已知点 G 是厶ABC 的重心，O 是空间任一点，若 OA • OB • OC 」OG,贝，的值三.解答题：(10+8+12+14=44 分)15. 如图：ABCD 为矩形，PAL 平面 ABCD PA=AD M N 分别是PC AB 中点,16. 一条线段夹在一个直二面角的两个面内， 它和两个面所成的角都是300,求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小B.5, 2D.-5 , -2-b c 2A.-15B.-5C.-3D.-1AM 与2 B.-5C.35 D 」10三点共线，则 m+n= (1)求证：MN L 平面PCD (2)求NM 与平面 ABCD 所成的角的大小•17. 正四棱锥S—ABCD中，所有棱长都是2, P为SA的中点，如图(1) 求二面角B—SC- D的大小；(2)求DP与SC所成的角的大小18. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ ABC中，CA=CB=1 / BCA=90，棱AA=2, M N分别是A1B1, AA的中点；(1)求BN的长;⑵求cos ：：： BA1,CB1的值;⑶求证：AB _CM•(4)求CB与平面AABB所成的角的余弦值高中数学选修2-1测试题（10）—空间向量⑴参考答案DDBB DCDA AB 11.0 12.(1 ,1 , 1) 13.60 0 14.315.(1) 略⑵45 016.45 0 17.(1) 1 3⑵18.(1) 3 (2) ■ 30(3) 略(4) 3 1010 1018.如图，建立空间直角坐标系O—xyz. (1 )依题意得B ( 0, 1, 0)、N( 1, 0, 1) •••I BN |= .(1 一0)2(0 一1)2 (1 - 0)2「3.(2) 依题意得A1 (1, 0, 2)、B ( 0, 1 , 0)、C (0, 0, 0)、B…BA ={ —1, —1, 2}, CB1 ={0, 1, 2, }, BA| • CB1 =3,BA. CB 11CB 1 |= J5 ••• cos< BA 1 , CB 1 >=(3)证明：依题意，得 G (0, 0, 2)、M( 1,1,2), A 1B ={ - 1 , 1 , 2} , CM,2 2 1 2 2评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识 .考查空间两向量垂直的充要条件——-1 . 30. |BAJ|CB i |102‘20}. • A , B • C 1M =-1 12+ 2+0=0，AB 丄 C 1M ,• AB 丄CM.。
最新高中数学单元测试试题-空间向量与立体几何专题考试题库(含答案)
高中数学单元测试试题空间向量与立体几何专题（含答案）学校： __________ 姓名： __________ 班级： __________ 考号： __________题号一二三总分得分第 I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．平面的法向量为 m，若向量AB m ，则直线AB与平面的位置关系为( ) (A)AB ( B) AB∥(C)AB或AB∥( D) 不确定2．a＝ ( 2，－ 3， 1) ， b＝ ( 2，0， 3) ，c＝( 0， 0，2) ，则 a＋6b－ 8c＝( )( A )( 14，－ 3， 3) ( B )( 14，－ 3， 35)( C)( 14，－ 3，－ 12) ( D )( －14， 3，－3)3．已知二面角－l－的大小为π，异面直线a，b分别垂直于平面，，则异面直线3a， b 所成角的大小为( )πππ2π(A)(B)(C)(D)632 34．若直线 l 与平面成角为π，直线a在平面内，且直线l 与直线 a 异面，则直线l 与直3线 a 所成的角的取值范围是( )π( B) (A) (0, ]3π 2ππ ππ[ , ] (C)[ , ] (D) (0, ] 3 3 3 2 25．下列各组向量中不平行的是( ) 高中数学( A ) a＝( 1， 2，－ 2) ， b＝( － 2，－ 4， 4)( B ) c＝ ( 1， 0， 0) ，d＝ ( －3， 0， 0) ( C) e＝ ( 2， 3， 0) ，f ＝( 0， 0， 0)( D ) g＝( － 2， 3， 5) ， h＝( 16， 24，40)第 II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题6．已知平行六面体ABCD A1B1 C1 D1 中， AB 4， AD 3，AA1 5 ，BAD 90 ，BAA1 DAA1 60 ，则 AC1 85 ．7．已知O为坐标原点，OA (1,2,3) ， OB (2,1,2) ， OC (1,1,2) ，若点M在直线OC 上运动，则AM BM 的最小值为▲ .8．已知向量a (3, 2, z) ， b (1, y, 1) ，若a // b，则yz的值等于.9．如图，矩形ABCD和梯形BEFC 所在平面互相垂直， BE∥CF 且 BE＜CF,∠BCF= ，2 AD= 3， EF=2.（1）求证： AE∥平面 DCF；（2）设AB( 0) ，当为何值时，二面角A— EF— C 的大小为。
高中数学__空间向量和立体几何练习试题(附答案解析)
空间向量练习题1. 如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ;（Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A （0，0，0），B （1，0，0），3(2C 1(2D P （0，0，2）,E （Ⅰ）证明因为BE =，平面PAB 的一个法向量是0(0,1,0)n =，所以0BE n 和共线.从而BE ⊥平面PAB .又因为BE ⊂平面PBE ，故平面PBE ⊥平面PAB .(Ⅱ)解易知(1,0,2),0PB BE =-=u u u r u u u r1(0,0,2),(2PA AD =-=u u u r u u u r 设1111(,,)n x y z =r 是平面PBE 的一个法向量，则由110,n PB n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u r u u u rg u r u u u rg得111122020,000.x y z x y z +⨯-=⎧⎪⎨⨯++⨯=⎪⎩所以11110,2.(2,0,1).y x z n ===u r 故可取 设2222(,,)n x y z =u u r 是平面PAD 的一个法向量，则由220,0n PA n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r u u u rg u u r u u u rg得2222220020,100.2x y z x y z ⨯+⨯-=⎧⎪⎨+⨯=⎪⎩所以2220,.z x ==故可取21,0).n =-u u r于是，121212cos ,n n n n n n <>===u r u u ru r u u r g u r u u r g 故平面PAD 和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是2. 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点。
2023-2024学年高考数学空间向量与立体几何专项练习题(附答案)
A ．B ．223．若直线的方向向量为，平面l bA ．()(1,0,0,2,0,0b n ==-()(0,2,1,1,0,1b n ==--A ．B ．5136．如图，在平行六面体ABCDA．1122a b c -++C．1122a b c --+7．如图，在四面体OABC中，1-16．已知四棱锥P ABCDPC棱上运动，当平面1．C【分析】根据已知结合向量的坐标运算可得出，且.然后根据向量的数量积a b a +=- 14a = 运算求解，即可得出答案.【详解】由已知可得，且.()1,2,3a b a+=---=-14a =又，()7a b c +⋅= 所以，即有，7a c -⋅= cos ,14cos ,7a c a c a c -⋅=-=所以，.1cos ,2a c =-又，所以.0,180a c ≤≤ ,120a c =︒ 故选：C.2．C【分析】利用中点坐标公式求出中点的坐标，根据空间两点间的距离公式即可得出中线BC 长.【详解】由图可知：，，，(0,0,1)A (2,0,0)B (0,2,0)C 由中点坐标公式可得的中点坐标为，BC (1,1,0)根据空间两点间距离公式得边上的中线的长为.BC 22211(1)3++-=故选：C 3．D【分析】若直线与平面平行，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，利用向量数量积检验.【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为，l bαn 若可能，则，即.//l αb n ⊥r r 0b n ⋅=r r A 选项，；()1220b n =⨯-⋅=-≠B 选项，；11305160b n =⨯⨯⋅+⨯+=≠C 选项，；()()01201110b n =⨯-+⨯+⨯-⋅=-≠D 选项，；()1013310b n =⨯+-⨯=⋅+⨯因为，，3AB =4BC =2PA =所以()()(0,0,2,3,0,0,0,0,1P B Q 设平面的法向量为BQD (m x =()(),,3,0,1m BQ x y z ⎧设，2AB AD AS ===则()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,A S C P 设，()0,,2M t t -(1,1,2OM t =--所以1120OM AP t t ⊥=-+-+-=点到平面与平面的距离和为为定值，D 选项正确.M ABCD SAB 22t t -+=，，()2,0,0B ()()2,0,2,0,2,0SB BC =-=设平面的法向量为，SBC (),,n x y z =则，故可设，22020n SB x z n BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩()1,0,1n = 要使平面，又平面，//OM SBC OM ⊄SBC 则，()()1,1,21,0,11210OM n t t t t ⋅=---⋅=-+-=-=解得，所以存在点，使平面，B 选项正确.1t =M //OM SBC 若直线与直线所成角为，又，OM AB 30︒()2,0,0AB =则，()()222213cos3022661122OM ABOM ABt t t t ⋅-︒====⋅-++-+-⨯ 整理得，无解，所以C 选项错误.23970,8143730t t -+=∆=-⨯⨯=-<故选：ABD.10．BCD【分析】根据向量的多边形法则可知A 正确；根据向量的三角不等式等号成立条件可知，B 错误；根据共线向量的定义可知，C 错误；根据空间向量基本定理的推论可知，D 错误．【详解】对A ，四点恰好围成一封闭图形，根据向量的多边形法则可知，正确；对B ，根据向量的三角不等式等号成立条件可知，同向时，应有，即必要,a b a b a b+=+ 性不成立，错误；对C ，根据共线向量的定义可知，所在直线可能重合，错误；,a b对D ，根据空间向量基本定理的推论可知，需满足x +y +z =1，才有P 、A 、B 、C 四点共面，错误．故选：BCD ．11．AB【分析】以，，作为空间的一组基底，利用空间向量判断A ，C ，利用空间向量法ABAD AA 可得面，再用向量法表示，即可判断B ，利用割补法判断D ；1AC ⊥PMN AH【详解】依题意以，，作为空间的一组基底，ABAD AA 则，，11AC AB AD AA =++ ()1122MN BD AD AB ==-因为棱长均为2，，11π3A AD A AB ∠=∠=所以，，224AB AD == 11π22cos 23AA AD AA AB ⋅=⋅=⨯⨯= 所以()()1112D A A C MN AD A A B AA B++⋅⋅=- ，()2211102AB AD AB AD AB AD AA AD AA AB ⋅-+-⋅+==⋅+⋅故，即，故A 正确；1AC MN ⊥1AC MN ⊥同理可证，，面，面，PN AC ⊥MN PN N ⋂=MN ⊂PMN PN ⊂PMN 所以面，即面，即为正三棱锥的高，1AC ⊥PMN AH ⊥PMN AH A PMN -所以()()1133AH AN NH AN NP NM AN AP AN AM AN=+=++=+-+- ，()13AP AM AN =++又，，分别是，，的中点，，P M N 1AA AB AD π3PAM PAN MAN ∠=∠=∠=所以，则三棱锥是正四面体，1PA AM AN PM MN PN ======P AMN -所以()11111133222AH AP AM AN AA AB AD ⎛⎫=++=⨯++ ⎪⎝⎭ ，()111166AA AB AD AC =++=所以，故B 正确；116AH AC =因为()211AC AB AD AA =++ ()()()222111222AB ADAA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅ ，2426==()21111111=AC AA AB AD AA AA AB AA AD AA AA ⋅=++⋅⋅+⋅+ ，11222222=822=⨯⨯+⨯⨯+⨯设直线和直线所成的角为，1AC 1BB θ则，故C 错误；1111111186cos cos ,cos ,3262AC AA AC BB AC AA AC AA θ⋅=====⨯ ，11111111111111A B D C ABCD A B C D A B D A C B D A B ABC D ADCV V V V V V ------=----其中，1111111111116ABCD A B C D A B D A C B D C B ABC D ADC V V V V V -----====所以，故D 错误.1111113A B D C ABCD A B C D V V --=故选：AB.关键点睛：本题解决的关键点是利用空间向量的基底法表示出所需向量，利用空间向量的数量积运算即可得解.12．AC【分析】对于A ，根据即可算出的值；对于B ，根据计算；对于C ，根据||2a = m a b ⊥ m 计算即可；对于D ，根据求出，从而可计算出.a b λ= 1a b ⋅=- m a b + 【详解】对于A ，因为，所以，解得，故A 正确；||2a = 2221(1)2m +-+=2m =±对于B ，因为，所以，所以，故B 错误；a b ⊥ 2120m m -+-+=1m =对于C ，假设，则，a b λ= (1,1,)(2,1,2)m m λ-=--所以，该方程组无解，故C 正确；()12112m m λλλ=-⎧⎪-=-⎨⎪=⎩对于D ，因为，所以，解得，1a b ⋅=- 2121m m -+-+=-0m =所以，，所以，故D 错误.(1,1,0)a =- (2,1,2)b =-- (1,2,2)+=-- a b 故选：AC.13．15【分析】根据线面垂直，可得直线的方向向量和平面的法向量共线，由此列式计算，即得答案.【详解】∵，∴，∴，解得，l α⊥u n ∥ 3123a b ==6,9a b ==∴，15a b +=故1514．2【分析】根据垂直得到，得到方程，求出.()0a a b λ⋅-= 2λ=【详解】，()()()2,1,31,2,12,12,3a b λλλλλ-=---=--- 因为，所以，()a a b λ⊥- ()0a a b λ⋅-= 即，()()2,12,3241293702,1,134λλλλλλλ----=-++-+-=+⋅-=解得.2λ=故215．17【分析】利用向量的加法，转化为，直接求模长即可.CD CA AB BD =++ 【详解】因为.CD CA AB BD =++ 所以()22CD CA AB BD =++ 222222CA CA AB AB AB BD BD CA BD=+⋅++⋅++⋅ 222132022042342⎛⎫=+⨯++⨯++⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭17=所以.17CD = 故答案为.1716．33【分析】首先建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量垂MBD PCD 直求点的位置，并利用向量法求异面直线所成角的余弦值，即可求解正弦值.M 【详解】如图，以点为原点，以向量为轴的正方向，建立空间直角坐标A ,,AB AD AP ,,x y z 系，设，2AD AP ==，，，，()2,0,0B ()0,2,0D ()002P ,,()2,2,0C 设,()()()0,2,22,2,22,22,22DM DP PM DP PC λλλλλ=+=+=-+-=-- ，，，()2,2,0BD =-u u u r ()2,0,0DC =u u u r ()0,2,2DP =- 设平面的法向量为，MBD ()111,,m x y z =r ，()()11111222220220DM m x y z DM m x y λλλ⎧⋅=+-+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩33故。
新人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试题(含答案解析)
一、选择题1．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且3BC =，4AC =，13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（ ）A ．10 B ．6 C ．10 D ．15 2．如图，已知正四面体1234A A A A ，点5A ，6A ，7A ，8A ，9A ，10A 分别是所在棱中点，点P 满足4414243A P xA A yA A zA A =++且1x y z ++=，记44min ||||A Q A P =，则当1i ≤，10j ≤且i j ≠时，数量积4i j A Q A A ⋅的不同取值的个数是（ ）A ．3B ．5C ．9D ．213．已知在平行六面体中,3,4,5,120,60,60ABCD A B C D AB AD AA BAD BAA DAA '''''''-===∠=︒∠=︒∠=︒，则AC '的长为（ ）A ．52B ．9C 85D 734．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．306B ．6C ．3 D ．6 5．已知向量{},,a b c 是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（ ） A ．a b +，a ，a b - B ．a b +，b ，a b - C ．a b +，c ，a b -D ．a b +，2a b -，a b -6．如图，已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点G 是1B C 的中点，点,H E 分别为1,GD C D 的中点，GD ⊥平面,HE α⊂平面α，平面11AC D 与平面α相交于一条线段，则该线段的长度是（ ）A ．144B ．114C ．142D ．1127．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别为棱AD ，1CC ，11A D 的中点，则1B P 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．3010B ．15-C ．7010D ．158．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，13AA =，2AB AC BC ===，则1AA 与平面11AB C 所成角的大小为A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒9．以下四个命题中，正确的是（ ） A ．若1123OP OA OB =+，则P 、A 、B 三点共线 B ．若{,,}a b c 为空间的一个基底，则{,,}a b b c c a +++构成空间的另一个基底 C ．()a b c a b c ⋅=⋅⋅D ．ABC 为直角三角形的充要条件是·0AB AC = 10．给出下列命题：①若空间向量,a b 满足a b =，则a b =； ②空间任意两个单位向量必相等；③对于非零向量c ，由a c b c ⋅=⋅，则a b =； ④在向量的数量积运算中()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅. 其中假．命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．411．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，H 分别在棱1BB ，BC ，BA上，且满足134BM BB =，12BN BC =，12BH BA =，O 是平面1B HN ，平面ACM 与平面11B BDD 的一个公共点，设BO xBH yBN zBM =++，则3x y z ++=（ ）A ．105B ．125C ．145 D ．16512．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为,OB AC ，,M N 分别是对边,OB AC 的中点，点G 在线段MN 上，2MG GN =，现用基向量,,OA OB OC 表示向量OG ，设OG xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别是（ ）A ．111333x y z ===，， B ．111336x y z ===，， C ．111363x y z ===，， D ．111633x y z ===，， 13．正四面体ABCD 的棱长为2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（ ） A ．-2B ．4C ．2D ．1二、填空题14．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为______15．在一直角坐标系中，已知()1,6A -，()3,8B -，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离为__________．16．若向量()1,,1a λ=，()2,1,2b =-，且a 与b 夹角的余弦值为13，则λ=__________. 17．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1CC 的中点，则异面线1BD 与AM 所成角的余弦值为________.18．一个结晶体的形状为平行六面体，以同一个顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角均为60︒，则以这个顶点为端点的晶体的对角线长为_________.19．已知向量()()2,1,3,1,2,1a b =-=-，若()a ab λ⊥-，则实数λ的值为______. 20．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，13AA =，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，则1AC =___________．21．正四面体ABCD 的棱长为2，半径为2的球O 过点D ，MN 为球O 的一条直径，则AM AN ⋅的最小值是__________．22．已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC AA ==，点E 、F 分别为1AA 、11A C 的中点，则直线BE 和CF 所成角的余弦值为___________.23．设向量(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-，且//a b ，则a b ⋅的值为__________．24．已知向量()2,1,3a =-，31,,2b k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若向量a 、b 的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是__________．25．如图，在ABC ∆和AEF ∆中，B 是EF 的中点，2AB =，4EF =，3CA CB ==，若7AB AE AC AF ⋅+⋅=，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于__________．26．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1160BAD A AB A AD ∠=∠=∠=︒，14,3,5AD AB AA ===，1AC =__．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用锥体的体积公式可求得2PA =，然后以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值. 【详解】由已知得1AA ⊥底面ABC ，且AC BC ⊥，所以111344332A PBC P ABC ABC V V S PA PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，解得2PA =. 如图所示，以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C 、()0,4,2P 、()3,0,0B 、()10,0,3C ， 则()3,0,0CB =，()0,4,2CP =，()13,0,3BC =-. 设平面BCP 的法向量为(),,n x y z =，则由00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30420x y z =⎧⎨+=⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，得0x =，令1y =，得2z =-，所以()0,1,2n =-为平面BCP 的一个法向量. 设直线1BC 与平面PBC 所成的角为θ， 则(111sin cos ,5n BC n BC n BC θ⋅=<>===⋅-. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角； （2）向量法，sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=⋅（其中AB 为平面α的斜线，n 为平面α的法向量，θ为斜线AB 与平面α所成的角）.2．B解析：B 【分析】由条件可知点P 在平面123A A A 上，并且由几何意义可知4A Q ⊥平面123A A A ，利用数量积的几何意义求4i j A Q A A ⋅的不同取值的个数. 【详解】条件“4414243A P xA A yA A zA A =++且1x y z ++=”，说明点P 在平面123A A A 上，而44min ||A Q A P =说明Q 为平面123A A A 的中心，此时4A Q ⊥平面123A A A ，由向量数量积的几何意义，i j A A 在4A Q 的投影有5种情况：0、41||2A Q ±、4||A Q ±，∴数量积4i j A Q A A ⋅的不同取值的个数是5，故选：B ． 【点睛】本题考查空间向量共面定理的应用，数量积的几何意义，重点考查转化思想，数形结合思想，属于中档题型.3．D解析：D 【分析】直接利用AC AB BC CC AB AD AA '''=++=++，然后利用平面向量的数量积进行计算. 【详解】如图，可得AC AB BC CC AB AD AA '''=++=++，故22||()AC AB AD AA ''=++222=|||||2()+|AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''++⋅+⋅+⋅222111345234-+35+45222⎡⎤⎛⎫=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=73.∴=73AC '故选：D. 【点睛】本题考查了几何体的对角线长的求解，根据已知条件，构造向量，将几何体的对角线长的求解转化为向量模的运算，是解答本题的关键，属于中档题.4．D解析：D 【分析】根据三棱柱的边长和角度关系，设棱长为1，分别求得AB AC ⋅、1AB AA ⋅、1AC AA ⋅的数量积，并用1,,AA AC AB 表示出1AB 和1BC ，结合空间向量数量积的定义求得11AB BC ⋅，再求得1AB 和1BC ，即可由向量的夹角公式求得异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值. 【详解】三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，设棱长为1，则111cos602AB AC ⋅=⨯⨯︒=，1111cos602AB AA ⋅=⨯⨯︒=，1111cos602AC AA ⋅=⨯⨯︒=. 11AB AB AA =+，11BC AA AC AB =+-，所以()()1111AB BC AB AA AA AC AB ⋅=+⋅+-221111AB AA AB AC AB AA AA AC AA AB =⋅+⋅-++⋅-⋅11111112222=+-++-= 而()222111123AB AB AA AB AB AA AA =+=+⋅+=，()2111BC AA AC AB =+-==，所以111111cos 62AB BC AB BC AB BC ⋅<⋅>===⋅， 故选： D. 【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，空间向量数量积的定义与运算，异面直线夹角的向量求法，属于中档题.5． C解析：C 【分析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明A 、B 、D 三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明C 中的向量不共面 【详解】 解：()()2a b a b a ++-=，∴a ，a b +，a b -共面，不能构成基底，排除A ； ()()2a b a b b +--=，∴b ，a b +，a b -共面，不能构成基底，排除B ；()()31222a b a b a b -=-++，∴a b +，a b -，2a b -共面，不能构成基底，排除D ； 若c 、a b +，a b -共面，则()()()()c a b m a b m a m b λλλ=++-=++-，则a 、b 、c 为共面向量，此与{},,a b c 为空间的一组基底矛盾，故c 、a b +，a b -可构成空间向量的一组基底． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决本题的关键，属于中档题.6．C解析：C 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得到E 是两个平面的一个交点，分析另一个交点的位置，可能在11A C 或1A D 上，设其交点坐标用向量计算可得答案. 【详解】如图，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，()0,0,0D ，()12,0,2A ，()()1,2,10,1,1G E ，，()1,2,1DG =，因为HE ⊂平面α，所以E ∈平面α，因为E ∈1C D ，所以E ∈平面11AC D ， 所以E 是两个平面的一个交点，如果另一个交点在11A C 上，设为M 且设(),2,2M a a -，02a ≤≤所以(),1,1EM a a =-，因为EM ⊂平面α，DG ⊥平面α，所以0EM DG ⋅=， 即2210a a +-+=，解得3a =不合题意，所以另一个交点在1A D 上，不妨设为F ， 所以平面11AC D ⋂平面EF α=，即求EF 的长度，且(),0,F b b ，02b ≤≤， 因为EF ⊂平面α，DG ⊥平面α，所以0EF DG ⋅=，(),1,1EF b b =--， 即210b b -+-=，解得32b =，所以33,0,22F ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以2231141222EF ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查了用向量解决线面垂直、线线垂直的问题，关键点是建立空间直角坐标系和分析两个平面的交线的位置，考查了学生的空间想象力、推理能力和计算能力.7．A解析：A 【分析】如图以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出1B P 和MN 的坐标，设1B P 与MN 所成的角为θ，利用11cos B P MN B P MNθ=⋅⋅即可求解.【详解】如图以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()0,1,0M ，()2,2,1N ，()12,0,2B ，()0,1,2P ， 所以()12,1,0B P =-，()2,1,1MN =， 设1B P 与MN 所成的角为θ， 所以1122130cos 56B P MN B P MNθ=⋅-⨯+==⨯⋅， 1B P 与MN 30，故选：A 【点睛】 方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.8．A解析：A 【分析】建立空间坐标系，计算1AA 坐标，计算平面11AB C 的法向量，运用空间向量数量积公式，计算夹角即可． 【详解】取AB 的中点D ，连接CD ，以AD 为x 轴，以CD 为y 轴，以1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，可得()1,0,0A ，()11,0,3A ，故()()()11,0,31,0,00,0,3AA =-=，而 ()()111,0,3,3,3B C -，设平面11AB C 的法向量为()=,,m a b c ，根据110,0m AB m AC ⋅=⋅=，解得()3,3,2m =-，111 1,?2|?|m AA cos m AA m AA ==.故1AA 与平面11AB C 所成角的大小为030，故选A ． 【点睛】考查了空间向量数量积坐标运算，关键构造空间直角坐标系，难度偏难．9．B解析：B 【分析】对于A ,P ，A ， B 三点共线时，(1)OP OA OB λμλμ=++=，故A 不正确；对于B ， ,,a b b c c a +++不共线，所以 {,,}a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故B 正确；对于C ，设,a b θ<>=，则|()||||||||cos |a b c a b c θ=，故C 不正确；对于D ，·0AB AC =时，A ∠为直角，反之也可以是B ，C ∠为直角，故D 不正确. 【详解】对于A ,P ，A ， B 三点共线时，(1)OP OA OB λμλμ=++=，1123OP OA OB =+，P ∴，A ，B 三点共线不成立，故A 不正确；对于B ，若{,,}a b c 为空间的一个基底，则,,a b c 不共线，∴,,a b b c c a +++不共线，∴{,,}a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故B 正确；对于C ，设,a b θ<>=，则|()||||||||cos |a b c a b c θ=，故C 不正确；对于D ，·0AB AC =时，A ∠为直角，故ABC ∆为直角三角形，反之也可以是B ，C∠为直角，故D 不正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查向量共线的条件，考查向量的数量积的计算，考查充要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．10．D解析：D 【分析】结合向量的性质，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】对于①，空间向量,a b 的方向不一定相同，即a b =不一定成立，故①错误； 对于②，单位向量的方向不一定相同，故②错误；对于③，取()0,0,0a =，()1,0,0b =，()0,1,0c =，满足0a c b c ⋅=⋅=，且0c ≠，但是a b ≠，故③错误；对于④，因为a b ⋅和b c ⋅都是常数，所以()a b c ⋅⋅和()a b c ⋅⋅表示两个向量，若a 和c 方向不同，则()a b c ⋅⋅和()a b c ⋅⋅不相等，故④错误. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的概念与性质，考查向量的数量积，考查学生的推理论证能力，属于基础题.11．C解析：C 【分析】根据条件确定O 点位置，再根据向量表示确定,,x y z 的值，即得结果. 【详解】如图，Q 为AC 与BD 交点，P 为BQ 中点，O 为MQ 与1B P 的交点.过P 作PT 平行MQ 交1BB 于T .如图,则T 为BM 中点，所以1111131334224242MT BM BB MB MB ==⨯=⨯⨯=. 所以123B O OP =， 因此1323421411()555352555BO BB BP BM BH BN BM BH BN =+=⋅+⋅+=++， 因为BO xBH yBN zBM =++，所以411,,555z x y ===,1435x y z ∴++=. 故选：C 【点睛】本题考查平面向量基底表示，考查综合分析求解能力，属中档题.12．D解析：D 【分析】根据向量的加减法运算和数乘运算原则可表示出OG ，进而得到结果. 【详解】()1212121223232323OG OM MG OA MN OA MA AN OA OA AN=+=+=++=+⨯+()525221636332OA AB BN OA AB BC =++=++⨯()()521111633633OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=++ 16x ∴=，13y =，13z =故选：D 【点睛】本题考查用基底表示向量，关键是能够熟练掌握向量的加减法运算和数乘运算原则.13．D解析：D 【解析】 【分析】如图所示，1()2AE AB AC =+，12AF AD =．代入AE AF ⋅，利用数量积运算性质即可得出． 【详解】 解：如图所示，1()2AE AB AC =+，12AF AD =．∴111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD =+=+ 221(2cos602cos60)4=︒+︒ 1=．故选：D ．【点睛】本题考查了向量数量积的运算性质、平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题14．3【分析】以为原点以分别为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系设根据则可得从而点在底面内的轨迹为一条线段从而可得答案【详解】以为原点以分别为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系则设则由则即则当时设所以点在底面内解析：3 【分析】以D 为原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，设(),,0P x y ，根据11B P D E ⊥，则110PB ED ⋅=，可得220x y +-=，从而点P 在底面ABCD 内的轨迹为一条线段AF ,从而可得答案. 【详解】以D 为原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()()()112,2,2,1,2,0,0,0,2B E D ，设(),,0P x y ，则02,02x y ≤≤≤≤()12,2,2PB x y =--，()11,2,2ED =--由11B P D E ⊥，则110PB ED ⋅=，即()22240x y -+⨯-+=，则220x y +-= 当0x =时，1y =,设()0,1,0F所以点P 在底面ABCD 内的轨迹为一条线段AF , 所以()()2221224548B P x y y y =-+-+=-+，则01y ≤≤又二次函数2548t y y =-+的对称轴为25，当01y ≤≤时，当1y =时，1B P 有最大值3. 故答案为：3【点睛】关键点睛：本题考查根据垂直关系得出动点的轨迹从而求线段的长度的最值，解答的关键是建立坐标系，利用向量根据11B P D E ⊥，则110PB ED ⋅=，可得220x y +-=，从而点P 在底面ABCD 内的轨迹为一条线段AF ，可得01y ≤≤，从而可出答案，属于中档题.15．【分析】通过用向量的数量积转化求解距离即可【详解】解：在直角坐标系中已知现沿轴将坐标平面折成的二面角后在平面上的射影为作轴交轴于点所以所以所以故答案为：【点睛】此题考查与二面角有关的立体几何综合题考 解析：17【分析】通过用向量的数量积转化求解距离即可 【详解】解：在直角坐标系中，已知()1,6A -，()3,8B -，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角后，()1,6A -在平面xOy 上的射影为C ，作BD x ⊥轴，交x 轴于点D ， 所以AB AC CD DB =++,所以2222222AB AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++⋅+⋅+⋅2221648268682=++-⨯⨯⨯=， 所以217AB =, 故答案为：17【点睛】此题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查了数形结合的思想，属于中档题.16．【分析】根据条件可求出再根据夹角的余弦为即可求出解出即可【详解】解：又夹角的余弦值为解得故答案为：【点睛】本题考查空间向量数量积的坐标运算根据向量坐标求向量长度的方法向量数量积的计算公式解析：74【分析】根据条件可求出2||2,||3a b λ=+=，224a b λλ=-+=-，再根据,a b 夹角的余弦为13224λλ+-，解出λ即可． 【详解】解：2||2,||3a b λ=+=， 224a b λλ=-+=-，又,a b 夹角的余弦值为13， ∴2||||cos ,24a b a b a b λλ=<>=+=-，解得74λ=． 故答案为：74． 【点睛】本题考查空间向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，向量数量积的计算公式．17．【分析】建立空间直角坐标系以的方向为x 轴y 轴z 轴的正方向不妨设正方体的棱长为1则异面线与AM 所成角的余弦值转化为求向量的夹角的余弦值利用向量夹角公式即得【详解】分别以的方向为x 轴y 轴z 轴的正方向建立 解析：3 【分析】建立空间直角坐标系，以1,,DA DC DD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，不妨设正方体的棱长为1，则异面线1BD 与AM 所成角的余弦值，转化为求向量1,BD AM 的夹角的余弦值，利用向量夹角公式即得. 【详解】分别以1,,DA DC DD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则11(1,0,0),(1,1,0),(0,1,),(0,0,1)2A B M D ，可得11(1,1,1),(1,1,)2BD AM =--=-，则11111132cos ,9||||13114BD AMBD AM BD AM -+⋅<>===⋅++，即异面直线1BD 与AM 所成角的余弦值为39. 故答案为：3【点睛】本题考查利用空间向量求异面直线的夹角，运用了向量夹角公式.18．【分析】设根据平行四边形法则对角线再结合条件利用向量的模即可求出对角线长【详解】解：设因为所以所以对角线故答案为:【点睛】本题考查的知识点是点线面间的距离计算考查空间两点之间的距离运算根据已知条件构 解析：66【分析】设AB a =，AD b =，1AA c =，根据平行四边形法则，对角线1AC a b c =++，再结合条件，利用向量的模即可求出对角线长． 【详解】解：设AB a =，AD b =，1AA c =， 因为11AC AB AD AA a b c =++=++， 所以()222221222363636666cos60216AC a b ca b c a b a c b c =++=+++++=+++⨯⨯⨯︒=，所以对角线166AC =． 故答案为:66．【点睛】本题考查的知识点是点、线、面间的距离计算，考查空间两点之间的距离运算，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答本题的关键．19．2【分析】由题意知向量所以由空间向量的坐标运算即可求解【详解】由题意知向量所以又由解得【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算及空间向量的数量积的运算其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式准确运算解析：2 【分析】由题意知，向量()a a b λ⊥-，所以()0a a b λ⋅-=，由空间向量的坐标运算，即可求解． 【详解】由题意知，向量()a ab λ⊥-，所以()0a a b λ⋅-=， 又由()()()()222222132112311470a a b a a b λλλλ⎛⎡⎤⋅-=-⋅=-++--⨯-+⨯+⨯=-=⎪⎣⎦⎝⎭，解得2λ=． 【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．20．【解析】【分析】首先画出图形然后结合=两边平方同时结合数量积的运算法则进行计算即可【详解】平行六面体如图所示：∵∠BAA1=∠DAA1=60°∴A1在平面ABCD 上的射影必落在直线AC 上∴平面ACC 解析：23【解析】 【分析】首先，画出图形，然后，结合11AC AC CC =+=1AB AD AA ++，两边平方，同时结合数量积的运算法则进行计算即可． 【详解】平行六面体1111ABCD A B C D -，如图所示：∵∠BAA 1=∠DAA 1=60°∴A 1在平面ABCD 上的射影必落在直线AC 上， ∴平面ACC 1A 1⊥平面ABCD ， ∵AB=1，AD=2，AA 1=3， ∵11AC AC CC =+ =1AB AD AA ++∴|1AC |2=（1AB AD AA ++）2 =|AB |2+|AD |2+|1AA |2+2AB AD ⋅+21AB AA ⋅+21AD AA ⋅ =1+9+4+0+2×1×3×12+2×2×3×12=23， ∴|1AC 23 ∴AC 123 23 【点睛】本题重点考查了向量的坐标分解，向量的加法运算法则与运算律、数量积的运算等知识，属于中档题．21．【解析】很明显当四点共面时数量积能取得最值由题意可知：则是以点D 为顶点的直角三角形且：当向量反向时取得最小值：解析：442-【解析】很明显当,,,O D M N四点共面时数量积能取得最值，由题意可知：OD OM ON==，则MDN△是以点D为顶点的直角三角形，且：()()()2420,AM AN AD DM AD DNAD AD DM DN DM DNAD DO⋅=+⋅+=+⋅++⋅=+⋅+当向量,AD DO反向时，AM AN⋅取得最小值：4222442-⨯⨯=-.22．【分析】作出图形设然后以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法可求得直线和所成角的余弦值【详解】设由于平面以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如下图所示：则因此直线解析：25【分析】作出图形，设12AB AC AA===，然后以点A为坐标原点，AB、AC、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线BE和CF所成角的余弦值.【详解】设12AB AC AA===，由于1AA⊥平面ABC，AB AC⊥，以点A为坐标原点，AB、AC、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()2,0,0B、()0,2,0C、()0,0,1E、()0,1,2F，()2,0,1BE=-，()0,1,2CF=-，2cos,555BE CFBE CFBE CF⋅<>===⨯⋅.因此，直线BE 和CF 所成角的余弦值为25. 故答案为：25. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.23．168【分析】根据向量设列出方程组求得得到再利用向量的数量积的运算公式即可求解【详解】由题意向量设又因为所以即解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的共线的坐标运算以及向量的数量积的运算其 解析：168【分析】根据向量//a b ，设λa b ，列出方程组，求得12λ=，得到(2,4,8),(4,8,16)a b ==，再利用向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，向量//a b ，设λa b ，又因为(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-，所以(2,23,2)(4,21,32)m n m n λ-+=+-，即2423(21)2(32)m m n n λλλ=⨯⎧⎪-=+⎨⎪+=-⎩，解得17,,622m n λ===， 所以(2,4,8),(4,8,16)a b ==，所以2448816168a b ⋅=⨯+⨯+⨯=.故答案为：168.【点睛】本题主要考查了向量的共线的坐标运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的共线条件，熟练应用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.24．【分析】根据向量夹角为钝角可知且解不等式可求得结果【详解】由题意可知：且解得：且即本题正确结果：【点睛】本题考查向量夹角的相关问题的求解易错点是忽略夹角为的情况造成出现增根 解析：1311,,222⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】根据向量夹角为钝角，可知cos ,0a b <><且cos ,1a b <>≠-，解不等式可求得结果.【详解】由题意可知：132cos ,014k a b a b a b --⋅<>==<⋅且13cos ,1k a b --<>=≠- 解得：132k >-且12k ≠，即1311,,222k ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题正确结果：1311,,222⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查向量夹角的相关问题的求解，易错点是忽略夹角为π的情况，造成出现增根. 25．【分析】由题意可得由此求得由以及两个向量的加减法的法则及其几何意义可求得由数量积的定义即可得到结果【详解】由题意可得∴由可得∴即∴故答案为【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则以及其几何意义两个解析：16【分析】由题意可得22 9()BC AC AB ==-，由此求得2AC AB ⋅=，由 7AB AE AC AF ⋅+⋅=以及两个向量的加减法的法则及其几何意义可求得 2EF BC ⋅=，由数量积的定义即可得到结果.【详解】由题意可得()229BC AC AB==- 222AC AB AC AB =+-⋅ 942AC AB =+-⋅， ∴2AC AB ⋅=.由7AB AE AC AF ⋅+⋅=，可得 ()()AB AB BE AC AB BF ⋅++⋅+ 2AB AB BE AC AB AC BF =+⋅+⋅+⋅()42AB BF AC BF =+⋅-++⋅()1662BF AC AB EF BC =+⋅-=+⋅. ∴2EF BC ⋅=，即43cos ,2EF BC ⨯⨯=，∴1cos ,6EF BC =，故答案为16. 【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义、以及运算性质，属于中档题．26．【分析】先由空间向量的基本定理将向量用一组基底表示再利用向量数量积的性质计算即可【详解】∵六面体ABCD ﹣A1B1C1D1是平行六面体∵=++∴=（++）2=+++2+2+2又∵∠BAD=∠A1AB【分析】先由空间向量的基本定理，将向量1AC 用一组基底1AA AD AB ，，表示，再利用向量数量积的性质22a a =，计算1AC 即可【详解】∵六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是平行六面体，∵1AC =1AA +AD +AB ∴21AC =（1AA +AD +AB ）2=21AA +2AB +2AD +21AA AD ⋅+21AA AB ⋅+2AB AD ⋅ 又∵∠BAD=∠A 1AB=∠A 1AD=60°，AD=4，AB=3，AA 1=5， ∴21AC =16+9+25+2×5×4×cos60°+2×5×3×cos60°+2×3×4×cos60°=97 ∴197AC =【点睛】本题考察了空间向量的基本定理，向量数量积运算的意义即运算性质，解题时要特别注意空间向量与平面向量的异同。
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《空间向量与立体几何》习题一、选择题（每小题5分，共50分）1.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若11B A =a ，11D A =b ，A A 1=c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是A .－21a +21b +c B .21a +21b +c C .21a －21b +c D .－21a －21b +c 2.下列等式中，使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是A.OC OB OA OM --=23B.OC OB OA OM 513121++=C.0=+++OC OB OA OMD.0=++MC MB MA3.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则DC EF ⋅等于A.41B.41- C.43 D.43-4.若)2,,1(λ=a ，)1,1,2(-=b ，a 与b 的夹角为060，则λ的值为 A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.15.设)2,1,1(-=OA ，)8,2,3(=OB ，)0,1,0(=OC ，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为 A.213 B.253 C.453 D.4536.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥A .9πB .10πC .11πD .12π8.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 A .BD ∥平面CB 1D 1 B .AC 1⊥BDC .AC 1⊥平面CB 1D 1D .异面直线AD 与CB 1所成的角为60°9.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为 A .63 B .552 C .155 D .10510.⊿ABC 的三个顶点分别是)2,1,1(-A ，)2,6,5(-B ，)1,3,1(-C ，则AC 边上的高BD 长为A.5B.41C.4D.52二、填空题（每小题5分，共20分）11.设)3,4,(x =a ，),2,3(y -=b ，且b a //，则=xy .12.已知向量)1,1,0(-=a ，)0,1,4(=b ，29=+b a λ且0λ>，则λ=________. 13.在直角坐标系xOy 中，设A （-2，3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时112=AB ，则θ的大小为 ． 14.如图，P —ABCD 是正四棱锥，1111ABCD A B C D -是正方体，其中 2,6AB PA ==，则1B 到平面P AD的距离为 .三、解答题（共80分）俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 2 32 215.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于600，M 是PC 的中点，设c b a ===AP AD AB ,,． （1）试用c b a ,,表示出向量BM ；（2）求BM 的长．16.（本小题满分14分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）.（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥面EFG ..17.（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD 中，CB CD AD BD =⊥，，点E F ，分别是AB BD ，的中点．求证： （1）直线//EF 面ACD ； （2）平面EFC ⊥面BCD ．224侧视图正视图624GEFC'B'D'C A B DMPD C BAED CBA P 18.（本小题满分14分）如图，已知点P 在正方体''''D CB A ABCD -的对角线'BD 上，∠PDA=60°.（1）求DP 与'CC 所成角的大小；（2）求DP 与平面D D AA ''所成角的大小.19.（本小题满分14分）已知一四棱锥P －ABCD 的三视图如下，E 是侧棱PC 上的动点．（1）求四棱锥P －ABCD 的体积；（2）是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论; （3）若点E 为PC 的中点，求二面角D －AE －B 的大小．20.（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，E F ，分别是BC PC ，的中点． （1）证明：AE PD ⊥；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD所成最大角的正切值为2，求二面角E AF C --的余弦值．PBDFA D 'C 'B'A'PD C BA练习题参考答案一、选择题1.)(21111BC BA A A BM B B M B ++=+==c +21(－a +b )=－21a +21b +c ，故选A.2.1),,(=++∈++=⇔z y x R z y x OC z OB y OA x OM C B A M 且四点共面、、、由于MC MB MA MC MB MA C B A --=⇔=++∴0由于都不正确、、选项.)()()(共面使所以存在MC MB MA MC y MB x MA y x ,,,1,1∴+==-=四点共面，、、、为公共点由于C B A M M ∴故选D. 3.∵的中点分别是AD AB F E ,,,BD EF BD EF BD EF 21,21//=∴=∴且,41120cos 1121,210-=⨯⨯⨯>=<=⋅=⋅∴DC BD DC BD DC EF 故选B .4.B5.B6.D7.D8.D9.D 10.4,cos ==><=AC AB ，5==,故选A二、填空题 11.9 12.313.作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则DB CD AC AB ++=θθcos 6)180,0,0,2530-=-=⋅=⋅=⋅===DB AC DB CD CD AC0022222120,1800 .21cos ),cos 600(2253)112()(2)(=∴≤≤-=∴--+++=∴⋅+⋅+⋅+++=++=θθθθ由于AC DB DB CD CD AC DB CD AC14.以11B A 为x 轴，11D A 为y 轴，A A 1为z 轴建立空间直角坐标系设平面P AD 的法向量是(,,)m x y z =，(0,2,0),(1,1,2)AD AP ==，∴02,0=++=z y x y ，取1=z 得(2,0,1)m =-，1(2,0,2)B A =-，∴1B 到平面PAD 的距离165B A m d m⋅==.三、解答题15.解：（1）∵M 是PC 的中点，∴)]([21)(21AB AP AD BP BC BM -+=+=c b a a c b 212121)]([21++-=-+= （2）2,1,2,1===∴===c b a PA AD AB 由于160cos 12,0,60,00=⋅⋅=⋅=⋅=⋅∴=∠=∠⊥c b c a b a PAD PAB AD AB 由于),(21c b a ++-=BM 由于 23)]110(2211[41)](2[41)(4122222222=+-+++=⋅+⋅-⋅-+++=++-=∴c b c a b a c b a c b a BM 2626的长为，BM BM ∴=∴. 16.解：（1）如图（2）所求多面体体积V V V =-长方体正三棱锥1144622232⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭2284(cm )3=．（3）证明：在长方体ABCD A B C D ''''-中， 连结AD '，则AD BC ''∥． 因为E G ，分别为AA '，A D ''中点， 所以AD EG '∥， 从而EG BC '∥．又BC '⊄平面EFG ，所以BC '∥面EFG ．17.证明：（1）∵E,F 分别是AB BD ，的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴E F ∥AD ，∵AD ⊂面ACD ，E F ⊄面ACD ，∴直线E F ∥面ACD ；（2）∵AD ⊥BD ，E F ∥AD ，∴E F ⊥BD ，∵CB=CD ，F 是ＢＤ的中点，∴CF ⊥BD 又EF ∩CF=F, ∴BD ⊥面EFC ， ∵B D ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD .A BC D E F GA 'B 'C 'D '18.解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -．则(100)DA =，，，(001)CC '=，，．连结BD ，B D ''． 在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ．设(1)(0)DH m m m =>，，，由已知60DH DA <>=，， 由cos DA DH DA DH DA DH =<>，，可得2m =． 解得2m=，所以212DH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．（1）因为00112cos 2DH CC ++⨯'<>==，， 所以45DH CC '<>=，，即DP 与CC '所成的角为45．（2）平面AA D D''的一个法向量是(010)DC =，，． 因为011012cos 2DH DC +⨯<>==，， 所以60DH DC <>=，，可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30． 19.解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC=2.∴1233P ABCD ABCD V S PC -=⋅=(2)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE证明如下：连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC∵PC ⊥底面ABCD 且BD ⊂平面ABCD ∴BD ⊥PC又ACPC C =∴BD ⊥平面PAC∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC ∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE(3)解法1：在平面DAE 内过点D 作DG ⊥AE 于G ，连结BG∵CD=CB,EC=EC ，∴Rt ECD ∆≌Rt ECB ∆，∴ED=EB ∵AD=AB ，∴△EDA ≌△EBA ，∴BG ⊥EA ∴DGB ∠为二面角D －EA －B 的平面角 ∵BC ⊥DE，AD ∥BC ，∴AD ⊥DE在R ｔ△ADE 中AD DE DG AE ⋅==BG在△DGB 中，由余弦定理得212cos 222-=⋅-+=∠BG DG BD BG DG DGBzyxEDC BAP∴DGB ∠=23π，∴二面角D －AE －B 的大小为23π. 解法2：以点C 为坐标原点，CD 所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示：则(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)D A B E ,从而(1,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1)DE DA BA BE =-===-设平面ADE 和平面ABE 的法向量分别为(,,),(',',')m a b c n a b c ==由法向量的性质可得：0,0a c b -+==，'0,''0a b c =-+= 令1,'1c c ==-，则1,'1a b ==-，∴(1,0,1),(0,1,1)m n ==-- 设二面角D －AE －B 的平面角为θ，则1cos 2||||m n m n θ⋅==-⋅∴23πθ=，∴二面角D －AE －B 的大小为23π. 20.（1）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，可得ABC △为正三角形． 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥．又BC AD ∥，因此AE AD ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥． 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PAAD A =，所以AE ⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ， 所以AE PD ⊥．（2）解：设2AB =，H 为PD 上任意一点，连接AH EH ，． 由（1）知AE ⊥平面PAD ，则EHA ∠为EH 与平面PAD 所成的角． 在Rt EAH △中，3AE =， 所以当AH 最短时，EHA ∠最大， 即当AH PD ⊥时，EHA ∠最大． 此时36tan 2AE EHA AH AH ∠===， 因此2AH =．又2AD =，所以45ADH ∠=， 所以2PA =．解法一：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面ABCD ．过E作EO AC⊥于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS AF⊥于S，连接ES，则ESO∠为二面角E AF C--的平面角，在Rt AOE△中，3sin 302EO AE==3cos302AO AE==，又F是PC的中点，在Rt ASO△中，32sin454 SO AO==，又SE===Rt ESO△中，cos SOESOSE∠===，．解法二：由（1）知AE AD AP，，两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F，分别为BC PC，的中点，所以(000)10)0)(020)A B C D-，，，，，，，，，，1(002)0)12P E F⎫⎪⎪⎝⎭，，，，，，，，所以31(300)12AE AF⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭，，，，，．设平面AEF的一法向量为111()x y z=，，m，则AEAF⎧=⎪⎨=⎪⎩，，mm因此1111122x y z=++=⎪⎩，．取11z=-，则(021)=-，，m，因为BD AC⊥，BD PA⊥，PAAC A=，所以BD⊥平面AFC，故BD为平面AFC的一法向量．又(0)BD=-，，所以2cos5BDBDBD<>===，mmm因为二面角E AF C--为锐角，所以所求二面角的余弦值为5．B。