导数在研究函数中的应用

(x1，f (x1))
(x0，f (x0 ))
一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如 下关系：
在某个区间
内，如果
，那么
函数
在这个区间内单调递增；如果
，那么函数
在这个区间内
单调递减。
例、已知导函数 f / (x) 的下列信息：
当 1 x 4时，f / (x) 0； 当 x 4或 x 1 时，f / (x) 0； 当 x 4或 x 1 时， f / (x) 0.
例题讲解
例、确定函数 f ( x) x3 6x2 7 在哪个区间内是增函数， 哪个区间内是减函数．
解：f ( x) 6x2 12x 令 6x2 12x 0，解得 x 2或 x 0， 因此，当 x (,0) 时，f ( x)是增函数； 当 x (2,) 时，f ( x)是增函数； 再令 6x2 12x 0 ，解得 0 x 2， 因此，当 x (0,2)时，f ( x)是减函数；
试画出函数 f (x) 图象的大致形状。
例、判断下列函数的单调性，并求出单调区间:
(1) f (x) x3 3x; (2) f (x) x2 2x 3;
(3) f (x) sin x x，x (0， );
(4) f (x) 2x3 3x2 24x 1.
wk.baidu.com
(1) f (x) x3 3x; (2) f (x) x2 2x 3;
0
t0
t0
t0
t
（A） （B） （C）
（D）
y
y f (x)
a
ob
x
例题讲解
例、确定函数 f ( x) x2 2x 4 在哪个区间内是增函数， 哪个区间内是减函数．
解： f ( x) 2x 2 令 2x 2 0 ，解得 x 1，因此， 当 x (1,) 时，f ( x)是增函数； 再令 2x 2 0 ，解得 x 1，因此， 当 x (,1) 时，f ( x)是减函数；
(3) f (x) sin x x，
x (0， );
(4) f (x) 2x3 3x2 24x 1.
例、如图，水以常速（即单位时间内注入水的 体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中， 请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象。
（1）
h
（2）
h
（3）
h
（4）
h
高台跳水运动员的高度h 随时间t变化的函数:
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
高台跳水运动员的速度v 随时间t变化的函数:
v(t) h/ (t) 9.8t 6.5
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水 这两段时间的运动状态有什么区别？
观察右边函 数的图象， 探讨函数的 单调性与其 导函数正负 的关系。