第7篇平面电磁波(8)
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第七章 平面电磁波
§7.1 无限大理想介质中的均匀平面波 §7.2 平面波的极化 §7.3 导电媒质中的均匀平面波 §7.4 均匀平面波对平面边界的垂直入射 §7.5 均匀平面波对多层介质分界面的
垂直入射 §7.6 沿任意方向传播的均匀平面波 §7.7 均匀平面波对平面边界的斜入射 §7.8 相速与群速
大于相速，称为反常色散。在反常色散区域内， 群速既可小于光速，也可大于光速，甚至变为负 值，此时群速无意义。
§ 6.4 电磁波的色散和群速
1、问题的提出
• 单频的谐变信号是不携带任何信息的； • 具有一定信息的信号可由一群不同频率的谐变信号组 成，形成包络，包络上一点的传播速度（群速）； • 在色散介质中，某一频率的谐变电磁波的相速是与频 率有关的； • 群速与相速的关系。
g
dz dt
当Δω →0 时，上式可写为
g
d d
(m / s)
3、 群速与相速的关系
由于在色散介质中，电磁波的相速与频率有关，有必要研究 群速与相速的关系
Q
vg
d d
vp
vg
d (vp ) d
vp
dvp
d
vp
vp
dvp
d
vg
vg
1
vp
vp
dvp
d
vg
1
vp
dvp vp d
(1)
vg
dz dt
由于群速是波的包vg 络 dd的传播速度，所以只有
当包络的形状不随波的传播而变化（即不失真）
时，群速才有意义。包络不失真的条件是：在频
带内衰减常数为恒定值，不随频率变化；相位常
数与频率呈线性函数关系，即包络传播速度一致。
若信号频谱很宽不能满足上述条件，则信号包络
在传播过程中将发生畸变。
色散会使已调制的无线电信号波形发生畸变一 个调制波可认为是由许多不同频率的时谐波合成 的波群，不同频率的时谐波相速不同，衰减也不 同，传播一段距离后，必然会有新的相位和振幅 关系，合成波将可能发生失真。而且，已调波中 这些不同频率的时谐波在媒质中各有各的相速， 造成无法用相速进行总体描述，因此，有必要研 究作为整体的波群在空间的传播速度。
相速仅仅确定相位关系，相速可以超过光速, 例如在等离子体中常有vp c 的情形，这不违反 相对论，因为未调制载波不能传递信息，相速 也不代表能量的速度。
（2）群速 载信息的信号总是包含许多不同频率的分量，
现在讨论一个简单情况。假设信号由两个振幅相 同、角频率分别为 0 （ 0 ）和 0 的时 谐波组成。由于角频率不同，两个波的相位常数 也不同，分别为 0 和 0 ，则合成波为
电磁波的色散与波速
1．色散现象 在有损耗媒质中，衰减常数和相位常数
都是频率的函数，因而相速也是频率的函 数。
色散(dispersive):电磁波传播的相速随 频率而变化的现象。
色散的名称来源于光学，当一束太阳光入射 至三棱镜上时，则在三棱镜的另一边就可看到散 开的七色光，其原因是不同频率的光在同一媒质 中具有不同的折射率，亦即具有不同的相速。
E(z, t) E0 cos0 t 0 z E0 cos0 t 0 z
2 E0 cost z cos0t 0z
合成波的振幅随时间按余弦变化，这个按余弦变
化的调制波称为包络（Envelope）或波群。该包络
移动的相速度定义为群速（Group Velocity）vg 。
由调制波的相位 t z＝常数，可得 当 0时，可得群速
E(t) E1 E2 2E0 cos(t z ) cos(0t 0z)
下图表示了某一时刻的波形图，由图知：
Q 0, 0
cos(t z ) 描述了包络线
cos(0t 0 z) 描述了包络线内快速震荡变化的曲线
群速 vg 的定义：包络波上某一恒定相位点推进的速度，即
Q t z const.
电磁波的传播速度或波速是一个统称，通常有 相速、能速、群速和信号速度之分，其大小和相互 关系依赖于媒质特性与导波系统的结构。只有在非 色散媒质中，均匀平面波的能速、群速与相速相等 可以笼统地称之为波速v，若媒质为真空,则波速等 于光速c。
（1）相速
相速定义为单一频率的平面波（单色波）的等相位 面的传播速度，计算公式是 vp / 。相速的概念只 适用于一个t从 延伸到 的单色波,而这样的波是 不可能实现的，实际的波总是从某个时刻开始产生， 这就成了一种被阶跃函数调制的已调波。
虽然理论上只要 () 在任一频率 有导数 d / d
就可以由式（6-41）计算一个 vg，但是只有满足包络 不失真条件时，严格的群速概念才成立。如果不满 足不失真条件，在传播过程中包络的形状必然改变， 因而在传播了一定时间以后，无法确定波形所走的
距离， 也v就g 不能再表示包络的传播速度。
进一步分析表明，在包络不失真群速有确定意义 时，电磁波的能量传播速度等于群速。
（3）群速与相速的关系
群速与相速的关系可推导如下
vg
d d
d(vp ) d
vp
dv p
d
vp
dv p
d
d d
故
vg
vp
1 dvp
1
vp
dvp
d
v p d
可见，只有当 dvp / d 0 ，即无色散时，群速才
等于相速。 当 dvp / d 0 时，频率越高相速越小，则有群速
小于相速，称为正常色散。 当 dvp / d 0 时，频率越高相速越大，则有群速
电场强度表达式为
E1 E0 cos[(0 )t (0 )z]
E2 E0 cos[(0 )t (0 )z]
合成电磁波的场强表达式为
E(t) E1 E2
E0 cos[(0 )t (0 )z] E0 cos[(0 )t (0 )z] 2E0 cos(t z ) cos[(0t 0z)
dvp 0
d
，则vg < vp，这类色散称为正常色散；
Байду номын сангаас
(2) dvp 0 ，则 vg> vp，这类色散称为非正常色散。 d
2、 群速 vg
假定色散媒质中同时存在着两个电场强度方向相同、 振幅 相同、频率不同，向z方向传播的线极化谐变平面波， 它们的角 频率和相位常数分别为
1 0 2 0
1 0 2 0
且有 0 , 0
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
§7.1 无限大理想介质中的均匀平面波 §7.2 平面波的极化 §7.3 导电媒质中的均匀平面波 §7.4 均匀平面波对平面边界的垂直入射 §7.5 均匀平面波对多层介质分界面的
垂直入射 §7.6 沿任意方向传播的均匀平面波 §7.7 均匀平面波对平面边界的斜入射 §7.8 相速与群速
大于相速，称为反常色散。在反常色散区域内， 群速既可小于光速，也可大于光速，甚至变为负 值，此时群速无意义。
§ 6.4 电磁波的色散和群速
1、问题的提出
• 单频的谐变信号是不携带任何信息的； • 具有一定信息的信号可由一群不同频率的谐变信号组 成，形成包络，包络上一点的传播速度（群速）； • 在色散介质中，某一频率的谐变电磁波的相速是与频 率有关的； • 群速与相速的关系。
g
dz dt
当Δω →0 时，上式可写为
g
d d
(m / s)
3、 群速与相速的关系
由于在色散介质中，电磁波的相速与频率有关，有必要研究 群速与相速的关系
Q
vg
d d
vp
vg
d (vp ) d
vp
dvp
d
vp
vp
dvp
d
vg
vg
1
vp
vp
dvp
d
vg
1
vp
dvp vp d
(1)
vg
dz dt
由于群速是波的包vg 络 dd的传播速度，所以只有
当包络的形状不随波的传播而变化（即不失真）
时，群速才有意义。包络不失真的条件是：在频
带内衰减常数为恒定值，不随频率变化；相位常
数与频率呈线性函数关系，即包络传播速度一致。
若信号频谱很宽不能满足上述条件，则信号包络
在传播过程中将发生畸变。
色散会使已调制的无线电信号波形发生畸变一 个调制波可认为是由许多不同频率的时谐波合成 的波群，不同频率的时谐波相速不同，衰减也不 同，传播一段距离后，必然会有新的相位和振幅 关系，合成波将可能发生失真。而且，已调波中 这些不同频率的时谐波在媒质中各有各的相速， 造成无法用相速进行总体描述，因此，有必要研 究作为整体的波群在空间的传播速度。
相速仅仅确定相位关系，相速可以超过光速, 例如在等离子体中常有vp c 的情形，这不违反 相对论，因为未调制载波不能传递信息，相速 也不代表能量的速度。
（2）群速 载信息的信号总是包含许多不同频率的分量，
现在讨论一个简单情况。假设信号由两个振幅相 同、角频率分别为 0 （ 0 ）和 0 的时 谐波组成。由于角频率不同，两个波的相位常数 也不同，分别为 0 和 0 ，则合成波为
电磁波的色散与波速
1．色散现象 在有损耗媒质中，衰减常数和相位常数
都是频率的函数，因而相速也是频率的函 数。
色散(dispersive):电磁波传播的相速随 频率而变化的现象。
色散的名称来源于光学，当一束太阳光入射 至三棱镜上时，则在三棱镜的另一边就可看到散 开的七色光，其原因是不同频率的光在同一媒质 中具有不同的折射率，亦即具有不同的相速。
E(z, t) E0 cos0 t 0 z E0 cos0 t 0 z
2 E0 cost z cos0t 0z
合成波的振幅随时间按余弦变化，这个按余弦变
化的调制波称为包络（Envelope）或波群。该包络
移动的相速度定义为群速（Group Velocity）vg 。
由调制波的相位 t z＝常数，可得 当 0时，可得群速
E(t) E1 E2 2E0 cos(t z ) cos(0t 0z)
下图表示了某一时刻的波形图，由图知：
Q 0, 0
cos(t z ) 描述了包络线
cos(0t 0 z) 描述了包络线内快速震荡变化的曲线
群速 vg 的定义：包络波上某一恒定相位点推进的速度，即
Q t z const.
电磁波的传播速度或波速是一个统称，通常有 相速、能速、群速和信号速度之分，其大小和相互 关系依赖于媒质特性与导波系统的结构。只有在非 色散媒质中，均匀平面波的能速、群速与相速相等 可以笼统地称之为波速v，若媒质为真空,则波速等 于光速c。
（1）相速
相速定义为单一频率的平面波（单色波）的等相位 面的传播速度，计算公式是 vp / 。相速的概念只 适用于一个t从 延伸到 的单色波,而这样的波是 不可能实现的，实际的波总是从某个时刻开始产生， 这就成了一种被阶跃函数调制的已调波。
虽然理论上只要 () 在任一频率 有导数 d / d
就可以由式（6-41）计算一个 vg，但是只有满足包络 不失真条件时，严格的群速概念才成立。如果不满 足不失真条件，在传播过程中包络的形状必然改变， 因而在传播了一定时间以后，无法确定波形所走的
距离， 也v就g 不能再表示包络的传播速度。
进一步分析表明，在包络不失真群速有确定意义 时，电磁波的能量传播速度等于群速。
（3）群速与相速的关系
群速与相速的关系可推导如下
vg
d d
d(vp ) d
vp
dv p
d
vp
dv p
d
d d
故
vg
vp
1 dvp
1
vp
dvp
d
v p d
可见，只有当 dvp / d 0 ，即无色散时，群速才
等于相速。 当 dvp / d 0 时，频率越高相速越小，则有群速
小于相速，称为正常色散。 当 dvp / d 0 时，频率越高相速越大，则有群速
电场强度表达式为
E1 E0 cos[(0 )t (0 )z]
E2 E0 cos[(0 )t (0 )z]
合成电磁波的场强表达式为
E(t) E1 E2
E0 cos[(0 )t (0 )z] E0 cos[(0 )t (0 )z] 2E0 cos(t z ) cos[(0t 0z)
dvp 0
d
，则vg < vp，这类色散称为正常色散；
Байду номын сангаас
(2) dvp 0 ，则 vg> vp，这类色散称为非正常色散。 d
2、 群速 vg
假定色散媒质中同时存在着两个电场强度方向相同、 振幅 相同、频率不同，向z方向传播的线极化谐变平面波， 它们的角 频率和相位常数分别为
1 0 2 0
1 0 2 0
且有 0 , 0
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)