四川省绵阳中学高一数学上学期第一次月考试卷新人教A版
2022-2023学年人教A版高一上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 命题，的否定形式￢为( )A.，B.，C.，D.，2. 已知集合，，则（ ）A.B.C.D.3. 不等式的解集为( )A.B.C. D.4. 已知集合，则集合的子集的个数为（）A.B.C.p :∀x ∈N >x 3x 2p ∀x ∈N ≤x 3x 2∃x ∈N ≤x 3x 2∃x ∈N <x 3x 2∃x ∈N >x 3x 2M ={x|y =ln }3−xx N ={x|x <2}(M ∪N)=∁R (3,+∞)[3,+∞)(−∞,2)(−∞,2]5−>4x x 2(−∞,−5)∪(1,+∞)(−∞,−1)∪(5,+∞)(−1,5)(−5,1)A ={x ∈Z|−2≤x <2},B ={y|y =,x ∈A}x 2B 78155. 已知：直线与直线平行，则成立的一个必要不充分条件是( )A.B.或C.D.6. 已知，且，则的最小值为( )A.B.C.D.7. 已知集合，则( )A.B.C.或D.或8. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.）C.）D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 设函数若，则实数可以为( )P x +ay +1=0(a +2)x −ay −2=0P a <1a =3a =0a =−3a >−2a +b =2a >−1，b >0+1a +11b 2314332A ={x|(x −1)(x +2)<0}A =∁R {x|−2<x <1}{x|−1<x <2}{x|x ≤−2x ≥1}{x|x ≤−1x ≥2}x >1x +≥a 1x −1a (−∞,2][2,+∞[3,+∞(−∞,3]f (x)={1−x,x ≤a,,x >a,2x f (1)=2f (0)aB.C.D.10. 已知集合，，定义运算，则下列描述正确的是( )A.B.记为集合，则C.若，则符合要求的有个D.中所有元素之和为11. 关于的不等式的解集中恰有个整数，则可以为A.B.C.D.12. 下列式子中，可以是的必要条件的有( )A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 函数的定义域是________.14. 设集合，满足，则实数的取值范围是________.15. 已知正实数，满足，则的最小值是________．012A ={0,1,3}B ={1,2}A ∗B ={x |x =a +b ，a ∈A,b ∈B}0∈(A ∗B)A ∗B U (B)∩A ={3}∁U B ⊆M ⊆(A ∗B)M 4A ∗B 15x (ax −1)(x +2a −1)>03a ( )−121−12<1x 2x <10<x <1−1<x <0x >−1f (x)=+ln(x −1)3−x−−−−−√A ={x |1<x <2}B ={x |x <a}A ⊆B a a b ab −b +1=0+4b 1a16. 已知不等式的解集为，则________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 设集合 .求 ；若集合 满足 ，求实数的取值范围．18.已知，求的最小值；已知，且，求的最小值． 19. 已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数的最大值为；②函数的图象可由的图象平移得到；③函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为．（1）请写出这两个条件的序号，并求出的解析式；（2）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，求周长的最大值．20. 为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为平方米．若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值；若草坪四周及中间的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值．21. 解关于的不等式.22. 已知集合，.当时，求；设，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．aa +5x +c >0x 2(2,3)a +c =A ={x|≤<27},B ={x|x −2≥0}133x (1)A ∪B (2)C ={x|x >a}B ∪C =C a (1)x >23x +1x −2(2)a >0,b >0+=21a 2b a +b f (x)=msin(ωx +)(m >0,ω>0)π6f (x)2f (x)y =sin(2x −)2–√π4f (x)π2f (x)△ABC A B C a b c f (A)=2,a =2△ABC 400(1)9(2)2x −ax −2<0(a ∈R)x 2a 2A ={x|−2x −3<0}x 2B ={x||x −a|<1}(1)a =3A ∪B (2)p :x ∈A,q :x ∈B p q a参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】全称命题与特称命题命题的否定【解析】命题为全称命题，根据全称命题的否定是特称命题解答．【解答】解：命题，的否定形式是特称命题；∴￢：“，”．故选.2.【答案】B【考点】补集及其运算并集及其运算【解析】无【解答】解：依题意，由得，因此，于是，．故选．P p :∀x ∈N >x 3x 2p ∃x ∈N ≤x 3x 2B >03−x x0<x <3M =(0,3)M ∪N ={x|x <3}∴(M ∪N)=[3,+∞)∁R B3.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法【解析】不等式化为，求出解集即可．【解答】解：不等式可化为，即解得，所以不等式的解集为.故选．4.【答案】B【考点】子集与真子集的个数问题【解析】本题主要考察子集个数的求法.【解答】解：由题知:{}，{}，的子集个数为个.故选5.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】+4x −5<0x 25−>4x x 2+4x −5<0x 2(x +5)(x −1)<0−5<x <1(−5,1)D A =−2,−1,0,1B =0,1,4B =823B.【解答】解：当直线与直线平行时，可得，解得或，由选项可知成立的一个必要不充分条件是.故选.6.【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，∴，当且仅当即，时取等号，∴的最小值为.故选7.【答案】C【考点】补集及其运算一元二次不等式的解法【解析】x +ay +1=0(a +2)x −ay −2=0=−a +2a 1a a =−30P a =−3C a +b =2a +1+b =3+=(+)(a +1+b)1a +11b 131a +11b =(2++)13b a +1a +1b≥(2+2)=13⋅b a +11+a b −−−−−−−−−−−√43b =a +1a =12b =32+1a +11b 43C.A先利用一元二次不等式的解法求出集合，然后再由补集的定义求解即可．【解答】解：因为集合，由补集的定义可知， 或．故选．8.【答案】D【考点】不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】∵，∴．∴．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B【考点】函数的求值分段函数的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：若，由题意知，；当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去．所以实数的取值范围为．A A ={x|(x −1)(x +2)<0}={x|−2<x <1}A ={x|x ≤−2∁R x ≥1}C a ≤x −1++11x −1x −1>0x −1++1≥2+1=31x −1a ≤3a =0f (0)=1f (1)=2a <1f(1)==221a ≥1f(1)=−1+1=0a (−∞,1)AB故选．10.【答案】B,D【考点】集合新定义问题交、并、补集的混合运算集合的包含关系判断及应用元素与集合关系的判断【解析】先根据题设求得,然后在进行集合的运算，集合间的关系，可得解.【解答】解：由题设得，，，故错误；，，，故正确；，符合条件的分别是，，共个，故错误；，元素之和为，故正确.故选.11.【答案】A,C【考点】一元二次不等式的解法【解析】利用已知条件判断的符号，求出不等式对应方程的根，然后列出不等式求解即可.【解答】解：关于的不等式的解集中恰含有个整数，可得.因为时，不等式的解集中的整数有无数个.不等式对应的方程为：，方程的根为：和.又，且，解得.当时，不等式的解集是，含有个整数：，，，满足题意；AB A ∗B A ∗B ={1,2,3,4,5}A 0∉(A ∗B)B B ={3,4,5}∁U (B)∩A ={3}∁U C M {1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5}{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}8D A ∗B 1+2+3+4+5=15BD a x (ax −1)(x +2a −1)>03a <0a ≥0(ax −1)(x +2a −1)>0(ax −1)(x +2a −1)=01a 1−2a <01a 1−2a ≤30>a ≥−1a =−1(−1,3)3012=−1当时，不等式的解集是，含有个整数：，，，满足题意；当时，不等式的解集是，含有个整数：，，，，不满足题意；当时，不等式的解集是，含有整数个数多于个，不满足题意，所以符合条件的的解集为.故选.12.【答案】A,D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】先求出的解集，再利用集合的包含关系求必要条件即可.【解答】解：由可得，由于，，∴可以是的必要条件的有 和.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】函数的定义域及其求法【解析】利用二次根式的被开方数为非负数，对数的真数大于零列不等式组求解即可.【解答】解：要使函数有意义，则且，解得，∴函数的定义域为.a =−12(−2,2)3−101a ∈(−1,−)12(,1−2a)1a 4−1012a ∈(−,0)12(,1−2a)1a 4a {−,−1}12AC <1x 2<1x 2−1<x <1{x|−1<x <1} {x|x <1}{x|−1<x <1} {x|x >−1}<1x 2x <1x >−1AD (1,3]f (x)=+ln(x −1)3−x−−−−−√3−x ≥0x −1>01<x ≤3(1,3](1,3]故答案为：.14.【答案】【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】根据子集的定义、以及、两个集合的范围，求出实数的取值范围．【解答】解：由于 集合，，且满足，∴，故答案为：.15.【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】由条件利用基本不等式可得，再由，且在上是减函数，求得它的最小值．【解答】解：由 可得 ，由 得，所以 .因为 ，所以 ，(1,3]a ≥2A B a A ={x |1<x <2}B ={x |x <a}A ⊆B a ≥2a ≥29ab ∈(0,]18+4+=1−4ab +a 2b 21ab 1ab1−4ab +1ab (0,]18ab −b +1=0a =b −1b a =>0b −1b b >1+4b =+4b =+4(b −1)+51a bb −11b −1+4(b −1)≥41b −1+4b ≥91a =,b =13当且仅当 时等号成立故答案为：.16.【答案】【考点】一元二次不等式的解法【解析】由题意可得，为方程＝的两根，运用韦达定理可得，，可得所求和．【解答】解：不等式的解集为，可得，为方程的两根，可得，，解得，，则．故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：，，所以 因为 ，所以 ，又，，所以 ，即实数的取值范围是 .【考点】集合关系中的参数取值问题交、并、补集的混合运算【解析】（1）根据集合的补集，两个集合的交集、并集的定义和求法，求出，，，．a =,b =1332.9−723a +5x +c x 20a c a +5x +c >0x 2(2,3)23a +5x +c =x 202+3=−5a 2×3=c a a=−1c=−6a +c =−7−7(1)A ={x|≤<27}={x|−1≤x <3}133x B ={x|x ≥2}A ∪B ={x|x ≥−1}.(2)B ∪C =C B ⊆C B ={x|x ≥2}C ={x|x >a}a <2a (−∞,2)A ∩B A ∪B (A ∪B)C U (A)∩B C U <3a（2）由题意可得，故有，由此解得的取值范围．【解答】解：，，所以 因为 ，所以 ，又，，所以 ，即实数的取值范围是 .18.【答案】解：∵，∴，，当且仅当，即时等号成立.故的最小值为；.当且仅当，即时等号成立.故的最小值为.【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，B ⊆C −<3a 2a (1)A ={x|≤<27}={x|−1≤x <3}133x B ={x|x ≥2}A ∪B ={x|x ≥−1}.(2)B ∪C =C B ⊆C B ={x|x ≥2}C ={x|x >a}a <2a (−∞,2)(1)x >2x −2>03x +=3(x −2)++61x −21x −2≥2+63(x −2)⋅1x −2−−−−−−−−−−−−−√=2+63–√3(x −2)=1x −2x =+23–√33x +1x −22+63–√(2)a +b =(a +b)×2=(a +b)×(+)12121a 2b =(1+2++)122a b b a ≥(3+2)122–√=+322–√=2a b b a =2b 2a 2a +b +322–√(1)x >2x −2>03x +=3(x −2)++61x −21x −2≥2+63(x −2)⋅1x −2−−−−−−−−−−−−−√=2+63–√，当且仅当，即时等号成立.故的最小值为；.当且仅当，即时等号成立.故的最小值为.19.【答案】解：（）函数满足条件为①③，理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，故③为函数满足的条件之一．由③可知： 所以，故②不合题意．：函数满足条件为①③，由①知：．∴．（2）中，，由，得解法一：又·，由余弦定理得∴，解得，当且仅当时，等号成立，的最大值为，∴周长的最大值为解法二：又·，由正弦定理得…在中有 即则∴，即周长的最大值为，此时 ：为等边三角形．【考点】命题的真假判断与应用【解析】（1）直接利用①③得到函数的解析式．（2）利用三角函数的方程的应用求出所有的的值，进一步求出它们的和．【解答】=2+63–√3(x −2)=1x −2x =+23–√33x +1x −22+63–√(2)a +b =(a +b)×2=(a +b)×(+)12121a 2b =(1+2++)122a b b a ≥(3+2)122–√=+322–√=2a b b a =2b 2a 2a +b +322–√1f (x)=msin(ωx +)π6f (x)=msin(ωx +)π6T =2πω=1f (x)=msin(ωx +)π6A =2f (x)=2sin(x +)π6△ABC A ∈(0,π)f (A)=2sin(A +)=2π6A =π3a =2=+−2bc cos A a 2b 2c 2+−bc =4b 2c 2bc =≤−4(b +c)23()b +c 22≤16(b +c)2b =c =2b +c 4△ABC 6.a =2==b sin B c sin C 43–√3b =sin B,c =sin C 43–√343–√3△ABC A +B +C =πC =π−(A +B)=−B.2π3b +c =[sin B +sin(−B)]=(sin B +cos B)=4sin(B +)43–√32π343–√3323–√2π6b +c ≤4△ABC 6B =π3△ABC x (x)=msin(ωx +)π解：（）函数满足条件为①③，理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，故③为函数满足的条件之一．由③可知： 所以，故②不合题意．：函数满足条件为①③，由①知：．∴（2）中，，由，得解法一：又·，由余弦定理得∴，解得，当且仅当时，等号成立，的最大值为，∴周长的最大值为解法二：又·，由正弦定理得…在中有 即则∴，即周长的最大值为，此时 ：为等边三角形．20.【答案】解：设草坪的宽为米，长为米，由面积均为平方米，得．因为矩形草坪的长比宽至少大米，所以，整理，得，解得，又，所以，所以草坪宽的最大值为米．记整个的绿化面积为平方米，由题意，得，当且仅当时，等号成立，所以整个绿化面积的最小值为平方米．【考点】一元二次不等式的应用根据实际问题选择函数类型基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】1f (x)=msin(ωx +)π6f (x)=msin(ωx +)π6T =2πω=1f (x)=msin(ωx +)π6A =2f (x)=2sin(x +)π6△ABC A ∈(0,π)f (A)=2sin(A +)=2π6A =π3a =2=+−2bc cos A a 2b 2c 2+−bc =4b 2c 2bc =≤−4(b +c)23()b +c 22≤16(b +c)2b =c =2b +c 4△ABC 6.a =2==b sin B c sin C 43–√3b =sin B,c =sin C 43–√343–√3△ABC A +B +C =πC =π−(A +B)=−B.2π3b +c =[sin B +sin(−B)]=(sin B +cos B)=4sin(B +)43–√32π343–√3323–√2π6b +c ≤4△ABC 6B =π3△ABC (1)x y 400y =400x9≥x +9400x +9x −400≤0x 2−25≤x ≤16x >00<x ≤1616(2)S S =(2x +6)(y +4)=(2x +6)(+4)400x =824+8(x +)≥824+160300x 3–√x =103–√824+1603–√(1)解：设草坪的宽为米，长为米，由面积均为平方米，得．因为矩形草坪的长比宽至少大米，所以，整理，得，解得，又，所以，所以草坪宽的最大值为米．记整个的绿化面积为平方米，由题意，得，当且仅当时，等号成立，所以整个绿化面积的最小值为平方米．21.【答案】解：∵，当时， ，则不等式的解集为：，当时， ，则不等式的解集为：，当时，不等式的解集为.【考点】一元二次不等式的解法【解析】先将不等式化为，再对的取值进行讨论即可.【解答】解：∵，当时， ，则不等式的解集为：，当时， ，则不等式的解集为：，当时，不等式的解集为.22.【答案】解：集合，化简得，,当时，，所以 .因为是的必要不充分条件，所以，(1)x y 400y =400x 9≥x +9400x +9x −400≤0x 2−25≤x ≤16x >00<x ≤1616(2)S S =(2x +6)(y +4)=(2x +6)(+4)400x =824+8(x +)≥824+160300x 3–√x =103–√824+1603–√−ax −2=(x −2a)(x +a)<0x 2a 2a >02a >−a −ax −2<0x 2a 2{x|−a <x <2a}a <02a <−a −ax −2<0x 2a 2{x|2a <x <−a}a =0−ax −2<0x 2a 2∅−ax −2=(x −2a)(x +a)<0x 2a 2a −ax −2=(x −2a)(x +a)<0x 2a 2a >02a >−a −ax −2<0x 2a 2{x|−a <x <2a}a <02a <−a −ax −2<0x 2a 2{x|2a <x <−a}a =0−ax −2<0x 2a 2∅(1)A B A ={x|−1<x <3}B ={x|a −1<x <a +1}a =3B ={x|2<x <4}A ∪B ={x|−1<x <3}∪{x|2<x <4}={x|−1<x <4}(2)p q B A ⇒{所以验证当时满足，所以实数的取值范围为 .【考点】并集及其运算一元二次不等式的解法根据充分必要条件求参数取值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：集合，化简得，,当时，，所以 .因为是的必要不充分条件，所以，所以验证当时满足，所以实数的取值范围为 . {⇒{a −1≥−1,a +1≤3,a ≥0,a ≤2,a =0,2B A a [0,2](1)A B A ={x|−1<x <3}B ={x|a −1<x <a +1}a =3B ={x|2<x <4}A ∪B ={x|−1<x <3}∪{x|2<x <4}={x|−1<x <4}(2)p q B A {⇒{a −1≥−1,a +1≤3,a ≥0,a ≤2,a =0,2B A a [0,2]。
2022-2023学年人教A版高一上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：76 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）1. 已知全集，集合，则（ ）A.B.C.D.2. 已知命题“，”是假命题，则的取值范围是( )A.）B.C.D.3. 若集合，，则（ ）A.B.C.D.4. 下列结论描述正确的是（ ）A.B.C.{U=\left\left\{ x\in N | x^{2}-9x+8\lt 0\right\right\}}{A=\left\left\{ 3, 4, 5, 6\right\right\}}A =∁U {2,7}{1,2,7}{2,7,8}{1,2,7,8}∃>2x 0a −a −4<0x 20x 0a [2,+∞(2,+∞)(−∞,2](−∞,2)M ={−1,0,1,2}N ={x|x(x −1)=0}M ∩N ={−1,0,1,2}{0,1,2}{−1,0,1}{0,1}N =(−∞,0)∁R π∈Qφ={0}D.5. 设集合，集合，且，则实数的取值范围是( )A.B.C.）D.6. 已知集合，则（ ）A.B.C.D.7. 是“方程 表示椭圆”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）8. 已知集合，，若，则的值可以是( )A.B.C.D.Z ∪N =ZA ={x|≤≤4}182x B ={x|a ≤x ≤2a −1}A ∪B =A a [1,]32[−3,]32[1,+∞(−∞,]32A ={x ∈N|0<x <4},B ={x|−2x ≤0}x 2A ∩B =[0,2][1,2]{1,2}{0,1,2}−1<m <3"+=1x 2m +1y 27−m()P ={x|=4}x 2Q ={x|ax =1}Q ⊆P a 2120−12b a <b9. 若非零实数，满足，则下列不等式不一定成立的是( )A.B.C.D.10. 若，且，则下列不等式恒成立的是( )A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）11. 已知点在直线上，当，时，的最小值为________．12. 设①②当时，必有，则同时满足①，②的非空集合的个数为________．四、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）13. 已知为全集， .求 ；求与.14. 设，，常数，定义运算“*”：．（1）若，求动点的轨迹的方程；（2）若，不过原点的直线与轴、轴的交点分别为，，并且与（1）中的轨迹交于不同的两点，，试求的取值范围；（3）设是平面上的任意一点，定义a b a <b <1a b+≥2b a a b<1ab 21ba 2+a <+ba 2b 2p >0q >0p +q =2+≤2p –√q √pq ≤1+≤21p 1q+≥2p 2q 2(a,b)x +4y =4a >0b >0+4a 9bA ⊆{1,2,3,4,5,6,7}a ∈A 8−a ∈A A R A ={x|(3−x)≥−2},B ={x|≥1}log 125x +2(1)A ∩B (2)(A)∩B ∁R (A)∪B ∁R x 1∈R x 2a >0∗=(+−(−x 1x 2x 1x 2)2x 1x 2)2x ≥0P(x,)x ∗a −−−−√C a =2l x y T S C P Q +||ST −→||SP −→||ST −→||SQ −→P(x,y)P)=，(P)=11．若在（1）中的轨迹存在不同的两点，，使得成立，求实数的取值范围． 15. 已知集合＝，＝，＝（1）当＝时，用列举法表示出集合；（2）若＝，求实数的取值范围． 16. 已知正实数，，，满足.证明：；证明：.(P)=，(P)=d 112(x ∗x)+(y ∗y)−−−−−−−−−−−−−√d 212(x −a)∗(x −a)−−−−−−−−−−−−−√C A 1A 2()=()(i =1,2)d 1A i a −√d 2A i a A {x |−3≤x ≤5}B {x |m +1<x <2m −1}C {x ∈Z |x ∈A 或x ∈B}m 3C A ∩B B m a b c ab +bc +ac =abc (1)a +b +c ≥9(2)++≥1b a 2c b 2a c 2参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）1.【答案】A【考点】补集及其运算【解析】由集合的补集的定义进行运算.【解答】解：全集，集合，则.故选：.2.【答案】A【考点】全称命题与特称命题命题的否定【解析】命题“，”是假命题，则该命题的否定为真命题，将问题转化为不等式恒成立问题.【解答】解：命题“，”是假命题，则“，”是真命题.当时显然不成立，当时，，，∴对恒成立，只需，U ={x ∈N|1<x <8}={2,3,4,5,6,7}A ={3,4,5,6}A ={2,7}∁U A ∃>2x 0a −a −4<0x 20x 0∃>2x 0a −a −4<0x 20x 0∀x >2a −ax −4≥0x 2a =0a ≠0∵x >2∴−x =x(x −1)>0x 2a ≥4−x x 2∀x >2a ≥(4−xx 2)max (x)=4设，，函数在上单调递减，∴，∴.故选.3.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】D【考点】集合的相等元素与集合关系的判断【解析】利用元素与集合，集合与集合的基本关系判断即可【解答】集合水为自然数集，还包括正整数之外的其他正数，不符合题意为无理数，不符合题意空集是任何非空集合的真子集，表示不含任何元素的集合，不符合题意整数集的范围比自然数集大，所以 ，对故答案为：5.【答案】Dg(x)=4−x x 2x ∈(2,+∞)g(x)=4−x x 2=4(x −−12)214x ∈(2,+∞)g(x)<=24−222a ≥2A N C R A πB C Z ∪N =Z D D【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】分为两种情况，若，和若，分别计算的取值范围.【解答】解：由题意，，而由可知，若，即，解得；若，即解得；综上，的取值范围为.故选.6.【答案】C【考点】交集及其运算一元二次不等式的解法【解析】1【解答】1 7.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】本题考查椭圆的定义及逻辑推理．【解答】B =∅B ≠∅a A ={x|−3≤x ≤2}A ∪B =A B ⊆A B =∅a >2a −1a <1B ≠∅ a ≤2a −1，2a −1≤2，a ≥−3，1≤a ≤32a a ≤32D解：由题意得，要使椭圆存在，必有：，∵，是方程 表示椭圆的充分不必要条件.故选．二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）8.【答案】B,C,D【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】先化简，再根据分情况对参数的取值分当时和当时两种情况，进行讨论，即可求出参数的取值集合．【解答】解：当 时，集合 ，满足，当时，集合 ，∵集合，∴,∴,综上所述的值是，或.故选.9.【答案】A,B,D【考点】不等式的基本性质【解析】本题考查利用比较法判断不等式，基本不等式、不等式的性质，属于基础题.根据性质逐项验证，即可可求出结果.m ∈(−1,3)∪(3,7) m +1>0,7−m >0,m +1≠7−m,(−1,3)⊂(−1,3)∪(3,7)∴−1<m <3+=1x 2m +1y 27−m A P Q ⊆P a =0a ≠0a a =0Q ={x |ax =1}=∅Q ⊆P a ≠0Q ={x |ax =1}={}1a P ={x =4}={−2,2}∣∣x 2=±21a a =±12a 012−12BCD解：当时，，故错误；当时，不成立，故错误；因为，则一定成立，故正确；因为符号不定，故不一定成立，故错误.故选10.【答案】A,B,D【考点】基本不等式在最值问题中的应用基本不等式【解析】利用基本不等式逐一分析四个结论的正误，可得答案．【解答】解：∵，，，∴，即，即，当且仅当时取等号，故正确；∵，故，当且仅当时取等号，故正确；∵，当且仅当时取等号，故正确；∵ ，当且仅当时取等号，故不正确．故选.三、 填空题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）11.【答案】【考点】基本不等式a <b <0≥1a b A ab <0+≥2b a a b B −=<01ab 21b a 2a −b (ab)2<1ab 21ba 2C +a −−b =(a −b)(a +b +1)a 2b 2+a <+b a 2b 2D ABD.p >0q >0p +q =2p +q =2≥2pq −−√≤1pq −−√pq ≤1p =q =1B =p +q +2≤2(p +q)=4(+)p –√q √2pq −−√+≤2p –√q √p =q =1A +=−2pq ≥4−2=2p 2q 2(p +q)2p =q =1D +=(+)(p +q)1p1q 121p 1q =1+12(+)≥1+×2=2q p p q 12p =q =1C ABD 16无【解答】解：因为，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为．故答案为：．12.【答案】【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据时，必有，把中的元素分为组，而为组的非空子集合，由子集的公式求出个数即可【解答】解：时，必有，可以分成组，集合里的元素以这组的形式出现有就有，有就有，有就有，有就有，所以集合等于个组的非空子集合，由个故答案为：．四、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）13.【答案】解：已知，即，得解得：，+=(a +4b)(+)4a 9b 144a 9b =(40++)≥1416b a 9a b (40+2)=1614⋅16b a 9a b −−−−−−−√=16b a 9a b a =1b =34+4a 9b 161615a ∈A 8−a ∈A {1,2,3,4,5,6,7}4A 4a ∈A 8−a ∈A 4(1,7)(2,6)(3,5)(4)A 417263544A 4−1=154215(1)(3−x)≥−2log 12(3−x)≥4log 12log 12{3−x >0，3−x ≤4，−1≤x <3A ={x|−1≤x <3}即，由， 得，解得：，即，∴ ．或，∴或，∴．【考点】交、并、补集的混合运算交集及其运算【解析】化简集合、，再计算（1） 和（2）与即可．【解答】解：（）由，即，得，解得，即，由， 得，解得，即，∴ ．或，∴或，∴．14.【答案】解：（1）设∴动点的轨迹的方程为：（2）由题意得，设直线，由已知，则．，，，都在直线上，∴，由题得，，∴由消去得A ={x|−1≤x <3}≥15x +2≤0x −3x +2−2<x ≤3B ={−2<x ≤3}A ∩B ={−1≤x <3}(2)(A)={x|x <−1∁R x ≥3}(A)∩B ={x|−2<x <1∁R x =3}(A)∪B =R ∁R A B A ∩B (A)∩B ∁R (A)∪B ∁R 1(3−x)≥−2log 12(3−x)≥4log 12log 12{3−x >03−x ≤4−1≤x <3A ={x|−1≤x <3}≥15x +2≤0x −3x +2−2<x ≤3B ={−2<x ≤3}A ∩B ={−1≤x ≤3}(2)(A)={x|x <−1∁R x ≥3}(A)∩B ={x|−2<x <1∁R x =3}(A)∪B =R ∁R y ===x ∗a −−−−√(x +a −(x −a )2)2−−−−−−−−−−−−−−−√4ax−−−√P C =4ax(y ≥0)y 2=8x(y ≥0)y 2l :x =my +c m >0c <0T(c,0)S T P Q l +=+=|c |(+)||ST −→||SP −→||ST −→||SQ −→|0−c ||−0|x P |0−c ||−0|x Q 1||x P 1||x Q c <0>0x P >0x Q +=−c(+)=||ST −→||SP −→||ST −→||SQ −→1x P 1x Q −c(+)x P x Q x P x Q {=8x y 2x =my +cy −(2c +8)x +=0x 2m 2c 2 △=32(2+c)>022∴∵，∴∴∴，的取值范围是（3）由，设，，由已知有故方程在有两个不等的实数解整理得在有两个不等的实数解∴又∵，∴故实数的取值范围是【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系轨迹方程【解析】（1）动点的轨迹的方程即，代入定义的运算，即可得轨迹的方程（2）由题意得，设直线，由已知，，将，，，的坐标代入可知只需求，，将直线与曲线联立后即可得，，代入即得与的函数关系，求范围即可（3）设，，由定义，分别计算，，，，成立，可转化为方程在有两个不等的实数解，利用韦达定理得到不等式组，即可求得实数的取值范围【解答】解：（1）设∴动点的轨迹的方程为： △=32(2+c)>0m 2m 2+=2c +8>0x P x Q m 2=>0x P x Q c 2c <0>−c m 212<−m 2c 12+=2−>2||ST −→||SP −→||ST −→||SQ −→8m 2c +||ST −→||SP −→||ST −→||SQ −→(2,+∞)(P)==d 112(x ∗x)+(y ∗y)−−−−−−−−−−−−−√+x 2y 2−−−−−−√(P)=|x −a |d 2(,)A 1x 1y 1(,)A 2x 2y 2=|−a |，=|−a |+x 21y 21−−−−−−√a −√x 1+x 22y 22−−−−−−√a −√x 2=|x −a |+4ax x 2−−−−−−−√a −√x ∈[0,+∞)(a −1)−(2+4a)x +=0x 2a 2a 3x ∈[0,+∞) △=(2+4a −4(a −1)>0a 2)2a 3+=>0x 1x 22+4a a 2a −1=≥0x 1x 2a 3a −1a >0a >1a (1,+∞)P(x,)x ∗a −−−−√C y =x ∗a −−−−√C =8x(y ≥0)y 2l :x =my +c m >0c <0S T P Q +||ST −→||SP −→||ST −→||SQ −→+x p x q ⋅x p x q +x p x q ⋅x p x q +||ST −→||SP −→||ST −→||SQ −→m (,)A 1x 1y 1(,)A 2x 2y 2(P)=，(P)=d 112(x ∗x)+(y ∗y)−−−−−−−−−−−−−√d 212(x −a)∗(x −a)−−−−−−−−−−−−−√()d 1A 1()d 1A 2()d 2A 1()d 2A 2()=()(i =1,2)d 1A i a −√d 2A i =|x −a |+4ax x 2−−−−−−−√a −√x ∈[0,+∞)a y ===x ∗a −−−−√(x +a −(x −a )2)2−−−−−−−−−−−−−−−√4ax−−−√P C =4ax(y ≥0)y 2=8x(y ≥0)2（2）由题意得，设直线，由已知，则．，，，都在直线上，∴，由题得，，∴由消去得∴∵，∴∴∴，的取值范围是（3）由，设，，由已知有故方程在有两个不等的实数解整理得在有两个不等的实数解∴又∵，∴故实数的取值范围是15.【答案】当＝时，＝，∴＝＝；∵＝，∴，①当时，，此时＝，当时，，∴，综上：实数的取值范围是．【考点】集合的包含关系判断及应用=8x(y ≥0)y 2l :x =my +c m >0c <0T(c,0)S T P Q l +=+=|c |(+)||ST −→||SP −→||ST −→||SQ −→|0−c ||−0|x P |0−c ||−0|x Q 1||x P 1||x Q c <0>0x P >0x Q +=−c(+)=||ST −→||SP −→||ST −→||SQ −→1x P 1x Q −c(+)x P x Q x P x Q {=8x y 2x =my +c y −(2c +8)x +=0x 2m 2c 2 △=32(2+c)>0m 2m 2+=2c +8>0x P x Q m 2=>0x P x Q c 2c <0>−c m 212<−m 2c 12+=2−>2||ST −→||SP −→||ST −→||SQ −→8m 2c +||ST −→||SP −→||ST −→||SQ −→(2,+∞)(P)==d 112(x ∗x)+(y ∗y)−−−−−−−−−−−−−√+x 2y 2−−−−−−√(P)=|x −a |d 2(,)A 1x 1y 1(,)A 2x 2y 2=|−a |，=|−a |+x 21y 21−−−−−−√a −√x 1+x 22y 22−−−−−−√a −√x 2=|x −a |+4ax x 2−−−−−−−√a −√x ∈[0,+∞)(a −1)−(2+4a)x +=0x 2a 2a 3x ∈[0,+∞) △=(2+4a −4(a −1)>0a 2)2a 3+=>0x 1x 22+4a a 2a −1=≥0x 1x 2a 3a −1a >0a >1a (1,+∞)m 3B (4,5)C {x ∈Z |−3≤x ≤5,或4<x <5}{−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5}A ∩B B B ⊆A m +1≥2m −1m ≤2B ∅⊆A m +1<2m −1{m +1≥−32m −1≤52<m ≤3m (−∞,3]【解析】（1）代入的值，先求出集合，再求集合；（2）由＝得，注意对空集的讨论，再得出的范围．【解答】当＝时，＝，∴＝＝；∵＝，∴，①当时，，此时＝，当时，，∴，综上：实数的取值范围是．16.【答案】证明：因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以．，当且仅当时，等号成立，所以．【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】m B C A ∩B B B ⊆A m m 3B (4,5)C {x ∈Z |−3≤x ≤5,或4<x <5}{−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5}A ∩B B B ⊆A m +1≥2m −1m ≤2B ∅⊆A m +1<2m −1{m +1≥−32m −1≤52<m ≤3m (−∞,3](1)ab +bc +ac =abc ++=11a 1b 1c a +b +c =(a +b +c)⋅(++)1a 1b 1c=3++++++a b b a a c c a c b b c ≥3+2+2+2=9⋅a b b a −−−−−√⋅a c c a −−−−−√⋅c b b c −−−−−√a =b =c a +b +c ≥9(2)++b a 2c b 2a c 2=+++++−1b a 2c b 2a c 21a 1b 1c =(+)+(+)+(+)−1b a 21bc b 21c a c 21a ≥++−1=12a 2b 2c a =b =c++≥1ba 2cb 2ac 2(1)ab +bc +ac =abc证明：因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以．，当且仅当时，等号成立，所以．(1)ab +bc +ac =abc ++=11a 1b 1c a +b +c =(a +b +c)⋅(++)1a 1b 1c =3++++++a b b a a c c a c b b c ≥3+2+2+2=9⋅a b b a −−−−−√⋅a c c a −−−−−√⋅c b b c −−−−−√a =b =c a +b +c ≥9(2)++b a 2c b 2a c 2=+++++−1b a 2c b 2a c 21a 1b 1c =(+)+(+)+(+)−1b a 21b c b 21c a c 21a ≥++−1=12a 2b 2c a =b =c ++≥1b a 2c b 2a c 2。
高一数学上学期第一次月考试题及答案(新人教A版 第70套)
时间：120分钟 满分：150分一、选择题、(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{1,3,6,9}，C ＝{3,7,8}，则(A∩B)∪C 等于( ) A ．{0,1,2,6,8} B ．{3,7,8} C ．{1,3,7,8} D ．{1,3,6,7,8} 2．下列四个函数中，在(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．()3f x x =- B ．2()3f x x x =-C ．()f x x=- D ．1()1f x x =-+3.若212x mx k++是一个完全平方式，则k 等于( )A.2m B.214m C.213m D.2116m4．已知f (x 1)=11+x ，则f (x)的解析式为 （ ）A. f(x) =x +11B. f (x)=x x +1 C. f (x)=x x+1 D. f (x)=1+x 5.设βα、是方程)( 02442R x m mx x ∈=++-的两实根，则22βα+的最小值为（ ）.A 1617.B 21 .C2 .D 16156.已知,,a b c 是ABC 的三边长，那么方程2()04ccx a b x +++=的根的情况是( ) A.没有实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个异号实数根7．如图所示，I 是全集，M ，P ，S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A ．()M P S ⋂⋂ B ．()M P S ⋂⋃ C ．()I (C )M P S ⋂⋂ D ．()I (C )M P S ⋂⋃8．设集合A=10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭, B=1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 函数f(x)=()1,221,,x x A x x B ⎧+∈⎪⎨⎪-∈⎩若x 0A ∈,且f [ f (x 0)]A ∈,则x 0的取值范围是( )A.10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B.11,42⎛⎤ ⎥⎝⎦C.11,42⎛⎫⎪⎝⎭D.30,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为221y x =-，值域为{1，7}的“孪生函数”共有 （ ）A ．10个B ．9个C ．8个D ．4个10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)11. 已知⎩⎨⎧=<--≥-0,4)6(0,4)(x a x a x ax x f 是R 上的增函数，则a 的范围是( )A ．()0,6B ．[)0,6C ．[)1,6 D ．(]1,6 12对实数a和b ，定义运算“⊗”：,1,,1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩．设函数()()()221f x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(](]2,11,2-- B ．(]()1,12,-+∞C ．()(],21,2-∞- D ．[]2,1--二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置）． 13．分解因式：22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+- ． 14．若函数)(x f 的定义域是[)2,2-，则函数)12(+=x f y 的定义域是____15．已知3(9)(),(7)[(4)](9)x x f x f f f x x -≥⎧==⎨+<⎩则16．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a+b 、a-b 、ab 、ab∈P （除数b ≠0）则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，有下列命题：①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q ⊆M ,则数集M 必为数域；④数域必为无限集。
四川省绵阳第一中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试卷(含答案)
四川省绵阳市绵阳一中2022-2023学年高三第一次月考数学试卷一、选择题1. 已知集合A ={x ∈N|2x 2−5x ≤7}，B ={y|y ≤2}，则A ∩B =（ ） A.⌀ B.{−1,0} C.{0,1,2} D.{−1,0,1,2}2. 已知向量a →=(2, 3)，b →=(1, 4)，c →=(k, 3)，(a →+b →)⊥c →，则实数k =( ) A.−7 B.−2 C.2 D.73. 设α是第二象限角，P(x, 4)为其终边上的一点，且cosα=x5，则tan2α=( ) A.−247B.127C.−127D.2474. 若a >b >0, c ∈R ，则（ ） A.1a >1b B.ac 2>bc 2C.(13)a<(13)bD.a|c +1|>b|c +1|5. 已知命题p ：若x >1，则2x >1；命题q:∀x >0,lgx >0．那么下列命题为真命题的是（ ） A.p ∧q B.p ∧(¬q ) C.(−p )∧q D.(¬p )∧(¬q )6. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d <0，若S 7=7，a 2⋅a 6=−15，则a 11=( ) A.−13 B.−14 C.−15 D.−167. 已知函数f (x )={−3x +3,x <0−x 2+3,x ≥0，则不等式f (a )>f (3a −4)的解集为（ ）A.(−12,+∞)B.(2,+∞)C.(−∞,2)D.(−∞,−12)8. 已知函数f (x )=sin2x +2cos 2x ，下列四个结论正确的是（ ） A.函数f (x )在区间[−3π8,π8]上是减函数B.点(3π8,0)是函数f (x )图象的一个对称中心C.若x ∈[−π8,π4]，满足f (x )+m =0有两个零点，则m 的取值范围为(−1−√2,−2] D.函数f (x )的图象可以由函数y =√2sin2x 的图象向左平移π4个单位长度得到9. 已知函数f (x )=13x 3+bx 2+(b +2)x +3在R 上单调递增，则实数b 的取值范围是（ ） A.(−1,2)B.[−1,2]C.(−∞,−1)∪(2,+∞)D.(−∞,−2]∪[2,+∞)10. 已知x >1，y >1，且lgx,14，lgy 成等比数列，则xy 有（ ） A.最小值10 B.最小值√10 C.最大值10 D.最大值√1011. “φ=−π4”是“函数f(x)=cos(3x −φ)的图象关于直线x =π4对称”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12. 若x =2是函数f (x )=x 2+2(a −2)x −4alnx 的极大值点，则实数a 的取值范围是（ ） A.(−∞,−2) B.(−2,+∞) C.(2,+∞) D.(−2,2)二、填空题)13. 已知sinα=−5cosα，则tan2α=_________.14. 若直线y =x +b 是曲线y =xlnx 的一条切线，则实数b =________．15. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且周期为4，当x ∈(0,2]时， f (x )=x +m ，若f (7)=1，则m =_______.16. 已知函数f (x )={2x 2,x ≤0e x ,x >0，若方程[f (x )]2=a 恰有两个不同的实数根m ，n ，则m +n 的最大值是________. 三、解答题)17. 在等差数列{a n }，已知2a 6−a 3=10且S 5=20. (1)求{a n }的通项公式：(2)设b n =2a n ⋅a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n .18. 已知函数f (x )=√3sin xcos x −cos 2 x +12． (1)求f (π4)的值；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)当x ∈[π4,5π12]时，求f(x)的值域．19. 如图，在△ABC 中，点P 在BC 边上，∠PAC =60∘，PC =2，AP +AC =4.(1)求边AC 的长；(2)若△APB 的面积是 2√3 ，求sin∠BAP 的值.20. 已知函数f(x)=x 3+3x 2−9x +1． （1）求f(x)的极大值；（2）若f(x)在[k, 2]上的最大值为28，求k 的取值范围．21. 已知函数f(x)＝ae x −x(a ∈R)，其中e 为自然对数的底数，e ＝2.71828… (1)判断函数f(x)的单调性，并说明理由(2)若x ∈[1, 2]，不等式f(x)≥e −x 恒成立，求a 的取值范围．22. 已知曲线C 的参数方程为{x =3+cosαy =4+sinα（α为参数）．以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ=π4.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)射线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|的值．23. 设函数f (x )=|x −3|+|x +1| (1)求不等式f (x )≥6的解集；(2)对任意的实数x ∈R ，不等式m 2−m −2≤f (x )恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案与试题解析四川省绵阳市绵阳一中2022-2023学年高三第一次月考数学试卷 一、选择题 1. 【答案】 C【考点】 交集及其运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】【详解】由题意知， A ={x ∈N|−1≤x ≤72}={0,1,2,3}所以A ∩B ={0,1,2}故选：C 2. 【答案】 A【考点】平面向量数量积的运算 【解析】先求出向量a →+b →，由(a →+b →)⊥c →得(a →+b →)⋅c →=0；代入坐标求出k 的值． 【解答】解：∵ 向量a →=(2, 3)，b →=(1, 4)，c →=(k, 3)， ∴ a →+b →=(2+1, 3+4)=(3, 7)； 又∵ (a →+b →)⊥c →， ∴ (a →+b →)⋅c →=0； 即3k +7×3=0， 解得k =−7； 故选：A ． 3. 【答案】 D【考点】二倍角的正切公式 【解析】根据题意，利用同角三角函数的基本关系算出sinα，可得tanα，再由二倍角的正切公式加以计算，可得tan2α的值．【解答】解：∵ α是第二象限角，P(x, 4)为其终边上的一点，∴ x <0，又∵ cosα=x 5=√x 2+16，∴ x =−3，∴tanα=y x=−43，∴ tan2α=2tanα1−tan 2α=247.故答案为：247．4.【答案】 C【考点】不等式比较两数大小 【解析】 此题暂无解析 【解答】【详解】∵ a >b >0，1ab>0，∴ 1a<1b，故A 错误；当c =0时， ac 2=bc 2，故B 错误；由a >b >0，可得(13)a<(13)b，故C 正确； 当c =−1时， a|c +1|=b|c +1|，故D 错误． 故选：C ． 5. 【答案】 B【考点】逻辑联结词“或”“且”“非” 复合命题及其真假判断 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：命题p ：若x >1，则2x >1；故命题p 为真命题； 命题q:∀x >0,lgx >0，命题q 为假命题：故： p ∧q 为假命题， p ∧(¬q )为真命题， (¬p )∧q 为假命题， (¬p )∧(¬q )为假命题； 故选：B ． 6. 【答案】 A【考点】等差数列的前n 项和 等差数列的通项公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：∵S 7=7(a 1+a 7)2=72×2a 4=7a 4=7，∴a4=1.又a2⋅a6=(a4−2d)⋅(a4+2d)=a42−4d2=−15，d<0，∴d=−2，∴a11=a4+7d=−13.故选A.7.【答案】B【考点】分段函数的应用函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】【详解】根据题目所给的函数解析式，可知函数f(x)在(−∞,+∞)上是减函数，所以a<3a−4，解得a>2故选：B8.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的图象正弦函数的对称性【解析】此题暂无解析【解答】【详解】f(x)=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=√2sin(2x+π4)+1，当x∈[−3π8,π8]时，2x+π4∈[−π2,π2]，f(x)单增，故A错；当x=3π8时，2x+π4=π，f(3π8)=√2sinπ+1=1，函数对称中心为(3π8,1)，故B错；当x∈[−π8,π4]，2x+π4∈[0,3π4]，√2sin(2x+π4)∈[0,√2],f(x)∈[1,√2+1],f(π4)=2，由图象性质可知，f(x)+m=0有两个零点，则−m=f(x)，−m∈[2,√2+1)，m∈(−√2−1,−2]，故C正确；f(x)=√2sin(2x+π4)+1=√2sin2(x+π8)+1，则f(x)的图象可以由函数y=√2sin2x的图象向左平移π8个长度单位，再向上平移1个单位得到，故D错．故选：C9.【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】【详解】由题意得f′(x)=x2+2bx+b+2，∵f(x)在R上单调递增，∴x2+2bx+b+2≥0在R上恒成立，∴Δ≤0，即b2−b−2≤0，解得−1≤b≤2故选：B10.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用等比数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】【详解】因为lgx,14、lgy成等比数列，所以(14)2=(lgx)(lgy)因为x>1,y>1所以lgx>0,lgy>0,lgx+lgy≥2√(lgx)(lgy)=12即lgxy≥12，xy≥√10，当且仅当x=y时取“=”号，故选B．11.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，若函数f(x)=cos(3x−φ)的图象关于直线x=π4对称，则当x=π4时，函数f(x)=cos(3x−φ)取得最值，所以cos(34π−φ)=±1，34π−φ=kπ,k∈Z，解得φ=(34−k)π.当k=1时，φ=−π4，当k=±1时，φ≠−π4，所以条件“函数f(x)=cos(3x−φ)的图象关于直线x=π4对称”推不出条件$``\varphi = - \frac{\pi}{4}"$，而条件$``\varphi = - \frac{\pi}{4}"$可推出条件“函数f(x)=cos(3x−φ)的图象关于直线x=π4对称”，所以$``\varphi = - \frac{\pi}{4}"$是“函数f(x)=cos(3x−φ)的图象关于直线x=π4对称”的充分不必要条件.故选A.12.【答案】A【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】【详解】f′(x)=2x+2(a−2)−4ax =2x2+2(a−2)x−4ax=2(x−2)(x+a)x,(x>0)若a≥0时，当x>2时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0则f(x)在(0,2)上单调递减；在(2,+∞)上单调递增．所以当x=2时，f(x)取得极小值，与条件不符合，故满足题意．当a<−2时，由f′(x)>0可得0<x<2或x>−a；由f′(x)<0可得2<x<−a所以在(0,2)上单调递增；在(2,−a)上单调递减，在(−a,+∞)上单调递增．所以当x=2时，f(x)取得极大值，满足条件．当−2<a<0时，由f′(x)>0可得0<x<−a或x>2；由f′(x)<0可得−a<x<2所以在(0,−a)上单调递增；在(−a,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增．所以当x=2时，f(x)取得极小值，不满足条件．当a=−2时，f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，即f(x)在(0,+∞)上单调递增．此时f(x)无极值．综上所述：a<−2满足条件故选：A二、填空题13.【答案】512【考点】两角和与差的正切公式【解析】此题暂无解析【解答】【详解】因为sinα=−5cosα，所以tanα=−5，则tan2α=2tanα1−tan2α=2×(−5)1−25=512故答案为：51214.【答案】−1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】设切点为(x0, x0lnx0)，对y=xlnx求导数得y′=lnx+1，从而得到切线的斜率k=lnx0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y=(lnx0+1)x−x0，对照已知直线列出关于x0、b的方程组，解之即可得到实数b的值．【解答】【详解】试题分析：设切点为P(t,tlnt)，因y′=1+lnx，故切线的斜率k=1+lnt=1，则lnt=0，即t= 1．所以切点P(1,0)代入y=x+b可得b=−1，故应填答案−1.15.【答案】−2【考点】函数的周期性函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】【详解】因为f(x)是定义在R上周期为4的函数，所以f(7)=f(7−8)=f(−1)又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(−1)=−f(1)=1，即f(1)=−1又因为当x∈(0,2]时，f(x)=x+m所以f(1)=1+m=−1，解得m=−2故答案为：−216.【答案】3ln2−2【考点】分段函数的应用利用导数研究函数的最值 函数的零点与方程根的关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】【详解】作出函数f (x )={2x 2,x ≤0e x ,x >0的图象，如图所示，由[f (x )]2=a 可得f (x )=√a ，所以√a >1，即a >1 不妨设m <n ，则2m 2=e n =√a 令√a =t (t >1)，则m =−√t2,n =lnt所以m +n =lnt −√t2，令g (t )=lnt −√t2，则g ′(t )=4−√2t 4t所以当1<t <8时， g ′(t )>0；当t >8时， g ′(t )<0 当t =8时， g (t )取得最大值g (t )=ln8−2=3ln2−2 故答案为： 3ln2−2 三、解答题 17. 【答案】（1）由题意，设等差数列{a n }的公差为d由2a 6−a 3=10得2(a 1+5d )−(a 1+2d )=10 即a 1+8d =10，① 由S 5=5a 1+5×42d =20，即a 1+2d =4，②由①②得a 1=2,d =1∴ a n =a 1+(n −1)d =2+(n −1)×1=n +1 （2）∵ b n =2an ⋅a n+1=2(n+1)(n+2)=2(1n+1−1n+2)∴ T n =2[(12−13)+(13−14)+(14−15)+⋯+(1n+1−1n+2)]=2(12−1n+2)=nn+2 【考点】等差数列的通项公式 数列的求和【解析】 此题暂无解析 【解答】（1）由题意，设等差数列{a n }的公差为d由2a 6−a 3=10得2(a 1+5d )−(a 1+2d )=10 即a 1+8d =10，① 由S 5=5a 1+5×42d =20，即a 1+2d =4，②由①②得a 1=2,d =1∴ a n =a 1+(n −1)d =2+(n −1)×1=n +1 （2）∵ b n =2an ⋅a n+1=2(n+1)(n+2)=2(1n+1−1n+2)∴ T n =2[(12−13)+(13−14)+(14−15)+⋯+(1n+1−1n+2)]=2(12−1n+2)=nn+2 18. 【答案】解析：（1）∵ f (x )=√3sinxcosx −cos 2x +12， ∴ f (π4)=√3sin π4cos π4−cos 2π4+12=√32−12+12=√32（2）由f (x )=√3sinxcosx −cos 2x +12 =√32sin2x −12(cos2x +1)+12=sin (2x −π6)当2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，k ∈z 时，函数单调递增，解得函数的单调增区间为[kπ−π6,kπ+π3](k ∈z ) （3）∵ x ∈[π4,5π12]，∴ π3≤2x −π6≤2π3，∴ √32≤sin (2x −π6)≤1 故函数的值域为[√32,1]【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 正弦函数的单调性正弦函数的定义域和值域 【解析】 此题暂无解析 【解答】解析：（1）∵f(x)=√3sinxcosx−cos2x+12，∴f(π4)=√3sinπ4cosπ4−cos2π4+12=√32−12+12=√32（2）由f(x)=√3sinxcosx−cos2x+12=√32sin2x−12(cos2x+1)+12=sin(2x−π6 )当2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，k∈z时，函数单调递增，解得函数的单调增区间为[kπ−π6,kπ+π3](k∈z)（3）∵x∈[π4,5π12]，∴π3≤2x−π6≤2π3，∴√32≤sin(2x−π6)≤1故函数的值域为[√32,1]19.【答案】解：(1)在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60∘，PC=2，AP+AC=4，则：设AC=x，利用余弦定理得：PC2=AP2+AC2−2AP⋅AC⋅cos∠PAC，则：4=x2+(4−x)2−2x(4−x)⋅12，整理得：3x2−12x+12=0，解得：x=2.故：AC=2.(2)由于AC=2,AP+AC=4，所以：AP=2，所以△APC为等边三角形.由于△APB的面积是2√3，则12⋅AP⋅BPsin∠BPA=2√3 ,解得BP=4.在△APB中，利用余弦定理：AB2=BP2+AP2−2⋅BP⋅AP⋅cos∠BPA，解得：AB=2√7，在△APB中，利用正弦定理得：BP sin∠BAP =ABsin∠BPA，所以：4sin∠BAP =√7√32，解得：sin∠BAP=√217.【考点】三角形的面积公式余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60∘，PC=2，AP+AC=4，则：设AC=x，利用余弦定理得：PC2=AP2+AC2−2AP⋅AC⋅cos∠PAC，则：4=x2+(4−x)2−2x(4−x)⋅12，整理得：3x2−12x+12=0，解得：x=2.故：AC=2.(2)由于AC=2,AP+AC=4，所以：AP=2，所以△APC为等边三角形.由于△APB的面积是2√3，则12⋅AP⋅BPsin∠BPA=2√3 ,解得BP=4.在△APB中，利用余弦定理：AB2=BP2+AP2−2⋅BP⋅AP⋅cos∠BPA，解得：AB=2√7，在△APB中，利用正弦定理得：BPsin∠BAP=ABsin∠BPA，所以：4sin∠BAP=√7√32解得：sin∠BAP=√217.20.【答案】解：（1）∵f(x)=x3+3x2−9x+1，∴f(x)的定义域为R，f′(x)=3x2+6x−9，令f′(x)=3x2+6x−9>0，得x>1或x<−3，列表讨论：x(−∞, −3)−3(−3, 1)1(1, +∞)f’(x)+ 0- 0+f(x)单调递增↗28单调递减↘−4单调递增↗∴当x=−3时，f(x)有极大值f(−3)=28．（2）由（1）知f(x)在[1, 2]为增函数，在[−3, 1]为减函数，(−∞, −3)为增函数，且f(2)=3，f(−3)=28，∵f(x)在[k, 2]上的最大值为28，∴所求k的取值范围为k≤−3，即k∈(−∞, −3]．【考点】导数求函数的最值利用导数研究函数的极值【解析】（1）由已知条件知f(x)的定义域为R，f′(x)=3x2+6x−9，令f′(x)=3x2+6x−9>0，得x>1或x<−3，列表讨论能求出f(x)的极大值．（2）由（1）知f(x)在[1, 2]为增函数，在[−3, 1]为减函数，(−∞, −3)为增函数，由此能求出k的取值范围．【解答】解：（1）∵f(x)=x3+3x2−9x+1，∴f(x)的定义域为R，f′(x)=3x2+6x−9，令f′(x)=3x2+6x−9>0，得x>1或x<−3，列表讨论：∴当x=−3时，f(x)有极大值f(−3)=28．（2）由（1）知f(x)在[1, 2]为增函数，在[−3, 1]为减函数，(−∞, −3)为增函数，且f(2)=3，f(−3)=28，∵f(x)在[k, 2]上的最大值为28，∴所求k的取值范围为k≤−3，即k∈(−∞, −3]．21.【答案】解：（1）由f(x)＝ae x−x，得f′(x)＝ae x−1，当a≤0时，f′(x)<0，f(x)＝ae x−x为R上的减函数；当a>0时，令ae x−1＝0，得x＝lna，若x∈(−∞, −lna)，则f′(x)<0，此时f(x)为的单调减函数；若x∈(−lna, +∞)，则f′(x)>0，此时f(x)为的单调增函数．综上所述，当a≤0时，f(x)＝ae x−x为R上的减函数；当a>0时，若x∈(−∞, −lna)，f(x)为的单调减函数；若x∈(−lna, +∞)，f(x)为的单调增函数．（2）由题意，x∈[1, 2]，不等式f(x)≥e−x恒成立，等价于ae x−x≥e−x恒成立，即x∈[1, 2]，a≥1+xe xe2x恒成立．令g(x)=1+xe xe2x，则问题等价于a不小于函数g(x)在[1, 2]上的最大值．由g(x)=1+xe xe2x =1e2x+xe x，函数y=1e2x在[1, 2]上单调递减，令ℎ(x)=xe x ，x∈[1, 2]，ℎ′(x)=ex−xe xe2x=1−xe x≤0．∴ℎ(x)=xe x 在x∈[1, 2]上也是减函数，∴g(x)在x∈[1, 2]上也是减函数，∴g(x)在[1, 2]上的最大值为g(1)=1e2+1e．故x∈[1, 2]，不等式f(x)≥e−x恒成立的实数a的取值范围是[1e2+1e, +∞)．【考点】函数单调性的判断与证明函数恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）由f(x)＝ae x−x，得f′(x)＝ae x−1，当a≤0时，f′(x)<0，f(x)＝ae x−x为R上的减函数；当a>0时，令ae x−1＝0，得x＝lna，若x∈(−∞, −lna)，则f′(x)<0，此时f(x)为的单调减函数；若x∈(−lna, +∞)，则f′(x)>0，此时f(x)为的单调增函数．综上所述，当a≤0时，f(x)＝ae x−x为R上的减函数；当a>0时，若x∈(−∞, −lna)，f(x)为的单调减函数；若x∈(−lna, +∞)，f(x)为的单调增函数．（2）由题意，x∈[1, 2]，不等式f(x)≥e−x恒成立，等价于ae x−x≥e−x恒成立，即x∈[1, 2]，a≥1+xexe2x恒成立．令g(x)=1+xexe2x，则问题等价于a不小于函数g(x)在[1, 2]上的最大值．由g(x)=1+xexe2x=1e2x+xe x，函数y=1e2x在[1, 2]上单调递减，令ℎ(x)=xe x，x∈[1, 2]，ℎ′(x)=ex−xe xe2x=1−xe x≤0．∴ℎ(x)=xe x在x∈[1, 2]上也是减函数，∴g(x)在x∈[1, 2]上也是减函数，∴g(x)在[1, 2]上的最大值为g(1)=1e2+1e．故x∈[1, 2]，不等式f(x)≥e−x恒成立的实数a的取值范围是[1e2+1e, +∞)．22.【答案】（1）将方程{x=3+cosαy=4+sinα，消去参数α得(x−3)2+(y−4)2=1∵x=ρcosθ, y=ρsinθ∴曲线C的极坐标方程为ρ2−(6cosα+8sinα)ρ+24=0（2）设A，B两点的极坐标方程分别为(ρ1,π4),(ρ2,π4)将θ=π4代入ρ2−(6cosα+8sinα)ρ+24=0，得ρ2−7√2ρ+24=0其中Δ>0，可得ρ1,ρ2是方程ρ2−7√2ρ+24=0的两根，由韦达定理知ρ1+ρ2=7√2,ρ1ρ2=24 ∴ |AB|=|ρ1−ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=√2 【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 参数方程与普通方程的互化 【解析】 此题暂无解析 【解答】（1）将方程{x =3+cosαy =4+sinα，消去参数α得(x −3)2+(y −4)2=1∵ x =ρcosθ, y =ρsinθ∴ 曲线C 的极坐标方程为ρ2−(6cosα+8sinα)ρ+24=0 （2）设A ，B 两点的极坐标方程分别为(ρ1,π4),(ρ2,π4)将θ=π4代入ρ2−(6cosα+8sinα)ρ+24=0，得ρ2−7√2ρ+24=0其中Δ>0，可得ρ1,ρ2是方程ρ2−7√2ρ+24=0的两根，由韦达定理知ρ1+ρ2=7√2,ρ1ρ2=24 ∴ |AB|=|ρ1−ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=√2 23. 【答案】（1）x ≥3时， f (x )=x −3+x +1≥6，x ≥4，−1≤x <3时， f (x )=3−x +x +1=4，f (x )≥6无解； x <−1时， f (x )=3−x −x −1≥6,x ≤−2 综上， x ≤−2或x ≥4（2）由（1）知 f (x )={2x −2,x ≥34,−1≤x <32−2x,x <−1,f (x )min =4不等式m 2−m −2≤f (x )恒成立，则m 2−m −2≤4,−2≤m ≤3 【考点】绝对值不等式的解法与证明 绝对值不等式 【解析】 此题暂无解析 【解答】（1）x ≥3时， f (x )=x −3+x +1≥6，x ≥4，−1≤x <3时， f (x )=3−x +x +1=4，f (x )≥6无解； x <−1时， f (x )=3−x −x −1≥6,x ≤−2 综上， x ≤−2或x ≥4（2）由（1）知 f (x )={2x −2,x ≥34,−1≤x <32−2x,x <−1,f (x )min =4不等式m 2−m −2≤f (x )恒成立，则m 2−m −2≤4,−2≤m ≤3。
2022-2023学年人教A版高一上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：65 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）1. 若集合＝，＝，则等于（ ）A.B.C.D.2. 设，则使为奇函数且在上单调递减的的值的个数是（ ）A.B.C.D.3. 设则（ ）A.B.C.D.4. 不等式的解集是A {x |x −3≤0,x ∈N}B {0,2,4,6}(A ∩B)∁A ∪B {1,3,4,6}{0,1,3,4,6}{0,2}{2}α∈{−1,，1，2，3}12f(x)=x α(0,+∞)α1234f (x)={,0<x <1,x −√2(x −1),x ≥1,f (f ())=32−320121≤()12x x −√( )0,]1A.B.C.D.5. 函数在上的图象大致为A.B.C.D.[0,]12[,+∞)12[0,]2–√2[,+∞)2–√2f (x)=sin x +x 21x[−4,4]( )f (x)R f (5)=4f (x +3)∈[3,+∞)6. 已知函数的定义域为，，是偶函数，任意，满足，则不等式的解集为( )A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）7. 已知函数＝，＝，则（ ）A.（）＝B.（）＝C.（）＝D.（）＝8. 函数，且）的图象可能是 A.B.f (x)R f (5)=4f (x +3)x 1∈[3,+∞)x 2>0f ()−f ()x 1x 2−x 1x 2f (3x −1)<4(,3)23(−∞,)∪(2,+∞)23(2,3)(,2)23f(x)3x +2g(x)+x 2x f g(1)11g f(1)35f g(x)3⋅+3x +22x g f(x)4⋅+3x +28x f(x)=(a >0a |x+a|a ≠1()C. D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）9. 已知为上的奇函数，当时，（为常数），则________.10. 已知数列满足，．定义：使乘积为正整数的叫做“易整数”．则在内所有“易整数”的和为________．四、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ） 11. 计算：；． 12. 已知函数.求函数的解析式；判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明；解不等式. 13. 已知函数为偶函数．求的值；y =f(x)R x ≥0f(x)=+2x +b 2x b f(−1)={}a n =1a 1=(n +1)(n ≥2,n ∈)a n log n N ∗⋅...a 1a 2a k k(k ∈)N ∗[1,2015](1)×+−+(−)13233412(2−)3–√−13–√(2)7⋅81−lg25−log 3log 7210log 2f(x)=x −,(a >1)log a 1x(1)f(x)(2)f(x)(3)f()+f(−4)<02x f (x)=(+1)+ax +b (a,b ∈R)log 24x (1)a (2)，，∈[−1，(2+)]–√f ()+f ()=f ()若存在实数， ，使得，求的取值范围．(2)，，x 1x 2∈[−1，(2+)]x 3log 23–√f ()+f ()=f ()x 1x 2x 3b参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）1.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】此题暂无解析【解答】解： 为奇函数，．又 在 上为减函数，．故选．3.【答案】B【考点】分段函数的应用∵f(x)=x α∴α=−1,1,3∵f(x)(0,+∞)∴α=−1A函数的求值【解析】此函数为分段函数问题，分别代入得出函数值即解决问题.【解答】解：∵，∴.故选.4.【答案】B【考点】指数函数的单调性与特殊点函数单调性的性质【解析】时，，，在上单调递减，在上单调递增，结合函数单调性可得解．【解答】解：的定义域为，.在上单调递减.又在上单调递增，且时，，，，的解集为．故选．5.【答案】A【考点】函数的图象f ()=2×(−1)=13232f (f ())=f (1)=2×(1−1)=032B x =12=()12x x −√0<<112y =()12x (0,+∞)y =x −√[0,+∞)y =x −√x ∈[0,+∞)∴x ≥0∵y =()12x[0,+∞)y =x −√[0,+∞)x =12==()12x ()12122–√2==x −√12−−√2–√2=()12x x −√∴≤()12x x −√[,+∞)12B此题暂无解析【解答】解：因为，所以是奇函数，所以的图象关于点对称，排除，；当时，，，所以当时，，排除．故选．6.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】解：因为是偶函数，所以的图象关于直线对称，则，因为任意，满足，所以在上单调递增，在上单调递减，故等价于，解得．故选．二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）7.【答案】A,C,D【考点】函数解析式的求解及常用方法f (−x)=sin(−x)+(−x)21(−x)=−(sin x +)=−f (x)x 21x f (x)f (x)(0,0)B C x ∈(0,π)sin x >0x 2>01x x ∈(0,π)f (x)>0D A f (x +3)f (x)x =3f (5)=f (1)=4x 1∈[3,+∞)x 2>0f ()−f ()x1x 2−x 1x 2f (x)[3,+∞)(−∞,3)f (3x −1)<41<3x −1<5<x <223D根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．【解答】根据题意，函数＝，依次分析选项：对于，＝＝，正确，对于，＝＝，错误，对于，（）＝＝，正确，对于，（）＝＝，正确，故选：．8.【答案】B,C【考点】指数函数的图象【解析】据题设分析知，先讨论，再讨论，并将每类情况下函数转化为分段函数研讨实现问题求解．故选 .【解答】解：由题意得，当时，.当时，，当时，单调递增，当时，单调递减，故不符合题意，符合题意；当时，，当时，单调递减，当时，单调递增，故符合题意，不符合题意.故选 .三、 填空题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）9.【答案】【考点】f(x)3x ++x 2x A g(1)8+13A B f(1)+58537B C f g(x)4(+x)+22x 7⋅+3x +22x C D g f(x)+(3x +2)23x+38⋅+3x +58x D ACD a >10<a <1BC f(x)={,x ≥−a,a x+a ,x <−a,a −x−a x =−a f(−a)=1a >1−a <−1x ≥−a f(x)x <−a f(x)A B 0<a <1−1<−a <0x ≥−a f(x)x <−a f(x)C D BC −3函数奇偶性的性质函数的求值【解析】已知函数是上的奇函数，可得，可以令，可得，可得的解析式，从而求解．【解答】解：∵函数是上的奇函数，∴，，∴，解得，∵当时，，∴．故答案为：.10.【答案】【考点】函数新定义问题等比数列的前n 项和数列的函数特性对数及其运算【解析】由题意，及对数的换底公式知，，结合等比数列的前项和进行求解即可．【解答】解：∵，∴由为整数得为整数，设，则，∴；∵，∴区间内所有“易整数”为：，，，…，，其和．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）11.f(x)R f(−x)=−f(x)x <0−x >0x <0f(x)R f(−x)=−f(x)f(0)=0+b =020b =−1x ≥0f(x)=+2x −12x f(−1)=−f(1)=−(2+2−1)=−3−32035⋅⋅...=(k +1)a 1a 2a 3a k log 2n =(n +1)a n log n ⋅...a 1a 2a k 1⋅3⋅ 4...(k +1)=(k +1)log 2log 3log k log 2(k +1)=m log 2k +1=2m k =−12m =2048>2015211[1,2015]−122−123−124−1210M =−1+−1+−1+...+−1=20352223242102035【答案】解：原式．原式．【考点】有理数指数幂的化简求值对数的运算性质【解析】此题暂无解析【解答】解：原式 ．原式．12.【答案】解：令，则，所以.函数在上为单调递增函数.取任意，且，则(1)=×27+2−+1912−3–√3–√=3+2−2−+3–√3–√=3(2)=7×−lg25−2lg2log 381log 37log 3=81−2(lg5+lg2)log 3=4−2=2(1)=×27+2−+1912−3–√3–√=3+2−2−+3–√3–√=3(2)=7×−lg25−2lg2log 381log 37log 3=81−2(lg5+lg2)log 3=4−2=2(1)t =x(t ∈R)log a x =(x >0)a t f(x)=−(x ∈R ，a >1)a x 1a x (2)f(x)R ，∈R x 1x 2<x 1x 2f()−f()=−−+x 1x 2a x 11a x 1a x 21a x 2=−−(−)a x 1a x 21a x 11a x 2=(−)+−a x 1a x 2a +x 1x 2a x 1a x 2a +x 1x 2=(−)(+1)a x 1a x 2a +x 1x 2a +x 1x 2<，a >1因为，所以，即，故函数在上为单调递增函数.对于任意 ，都有，所以为上奇函数.又因为为上增函数，所以转化为，即，解得.【考点】其他不等式的解法指数函数的单调性与特殊点函数单调性的判断与证明函数解析式的求解及常用方法【解析】此题暂无解析【解答】解：令，则，所以.函数在上为单调递增函数.取任意，且，则因为，所以，即，故函数在上为单调递增函数.对于任意 ，都有，所以为上奇函数.<，a >1x 1x 20<<，>0，−<0a x 1a x 2a +x 1x 2a x 1a x 2f()<f()x 1x 2f(x)R (3)x ∈R f(−x)=−=−(−)=−f(x)a −x a x a x a −x f(x)R f(x)R f()+f(−4)<02x f()<f(4)2x <42x {x|x <2}(1)t =x(t ∈R)log a x =(x >0)a t f(x)=−(x ∈R ，a >1)a x 1a x (2)f(x)R ，∈R x 1x 2<x 1x 2f()−f()=−−+x 1x 2a x 11a x 1a x 21a x 2=−−(−)a x 1a x 21a x 11a x 2=(−)+−a x 1a x 2a +x 1x 2a x 1a x 2a +x 1x 2=(−)(+1)a x 1a x 2a +x 1x 2a +x 1x 2<，a >1x 1x 20<<，>0，−<0a x 1a x 2a +x 1x 2a x 1a x 2f()<f()x 1x2f(x)R (3)x ∈R f(−x)=−=−(−)=−f(x)a −x a x a x a −x f(x)R f(x)R又因为为上增函数，所以转化为，即，解得.13.【答案】解：由得，即，得 . ，当时，令，则，即，得，存在实数，使得，即 ，若，则或，得，故时有 . 【考点】函数奇偶性的性质对数的运算性质【解析】（1）由得，即，得 .【解答】解：由得，即，得 . ，当时，令，则，即，得，存在实数，使得，即 ，若，则或，得，故时有 . f(x)R f()+f(−4)<02x f()<f(4)2x <42x {x|x <2}(1)f (−x)=f (x)(+1)−ax +b =(+1)+ax +b log 24−x log 24x +2ax =0log 24x a =−1(2)f (x)=(+1)−x +b =(+)+b log 24x log 22x 12x x ∈[−1，(2+)log 23–√t =∈[,2+]2x 123–√(+)+b =(t +)+b ∈[1+b,2+b]log 22x 12x log 21t f(),f(),f()∈[1+b,2+b]x 1x 2x 3f()+f()∈[2+2b,4+2b]x 1x 2,,∈[−1,(2+)]x 1x 2x 3log 23–√f ()+f ()=f ()x 1x 2x 3[2+2b ，4+2b]∩[1+b ，2+b]≠∅[2+2b ，4+2b]∩[1+b ，2+b]=∅2+2b >2+b 4+2b <1+b b >0或b <−3[2+2b,4+2b]∩[1+b,2+b]≠∅−3≤b ≤0f (−x)=f (x)(+1)−ax +b =(+1)+ax +b log 24−x log 24x +2ax =0log 24x a =−1(1)f (−x)=f (x)(+1)−ax +b =(+1)+ax +b log 24−x log 24x +2ax =0log 24x a =−1(2)f (x)=(+1)−x +b =(+)+b log 24x log 22x 12xx ∈[−1，(2+)log 23–√t =∈[,2+]2x 123–√(+)+b =(t +)+b ∈[1+b,2+b]log 22x 12x log 21t f(),f(),f()∈[1+b,2+b]x 1x 2x 3f()+f()∈[2+2b,4+2b]x 1x 2,,∈[−1,(2+)]x 1x 2x 3log 23–√f ()+f ()=f ()x 1x 2x 3[2+2b ，4+2b]∩[1+b ，2+b]≠∅[2+2b ，4+2b]∩[1+b ，2+b]=∅2+2b >2+b 4+2b <1+b b >0或b <−3[2+2b,4+2b]∩[1+b,2+b]≠∅−3≤b ≤0。
2022-2023学年人教A版高一上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 地震震级是衡量地震本身大小的尺度，由地震所释放出来的能量大小来决定，释放出的能量愈大，则震级愈大.震级的大小可通过地震仪测出. 中国使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，地震释放的能量与地震里氏震级之间的关系为. 已知地区最近两次地震的震级，的值分别为，，释放的能量分别为，，记，则( )A.B.C.D.2. 已知，且，则等于( )A.B.C.D.3. 函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）A.B.C.E M =(E 104.810−−√)3M A M 1M 265E 1E 2λ=E 1E 2λ∈(30,31)(31,32)(32,33)(33,34)f(x −1)=2x −512f(a)=6a −747443−43f(x)=(2a −1)x R a 0<a <120<a <1<a <112D.4. 已知则 A.B.C.D.5. 已知函数，，且，则的值域为A.B.C.D.6. 下列判断正确的是( )A.B.C.D.7. 函数的图象大致为 A.a >1f(x)={ sin x ，x <0，π2f(x −1)+2，x ≥0，f(2)=()4765f(x)=ax +1x x ∈[1，+∞)f(1)=4f(x)()(3，4](3，+∞)(−∞，4][4，+∞)>1.72.5 1.73<0.820.83<π2π2√>1.70.30.90.3y =1x −ln(x +1)()B. C. D.8. 设函数，若＝，＝，则关于的方程＝的根的个数为（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A.B.C.D. f(x)={ +bx +c,x ≤0x 2ln x,x >0f(−4)f(0)f(−2)−2x f(x)x 1234−=x −√(−x)12=(y <0)y 2−−√6y 12=(x ≠0)x −131x−√3=(x >0)[](−x)2−−−−−√334x 1210. 下列各式错误的是（ ）A.B.C.D.11. 已知函数，，下列结论正确的是( )A.B.C.D.12. 关于已知函数，则下列结论正确的是( )A.的图像关于原点对称B.在上单调递增C.在上单调递增D.的值域为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若关于的不等式的解集是，则实数________.14. 已知幂函数的图象经过点，则的单调增区间为________．15. 比较，的大小，可得．（用，，或表示）16. 已知为偶函数，当时，，则________ .四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知，且，求下列各式的值：5⋅6=(5×6)log 2log 2log 24+5=(4+5)log 3log 3log 2⋅=(a >0)a 12a 14a 182⋅=(a >0)a−1312a −231a f(x)=−e x e −x 2g(x)=+e x e −x 2f(−x)=−f(x)f(−2)>f(3)f(2x)=2f(x)⋅g(x)[f(x)−[g(x)=]2]21f (x)=x (−1)2+1e x f (x)f (x)(−∞,0)f (x)(0,+∞)f (x)(−∞,0]x a −6x +<0x 2a 2(1,m)m =f(x)=x a (，2)2–√f(1−x)a =20.6b =0.62________<>=f (x)x <0f (x)=−x e −x f (ln 2)=+=47a 2a −2a >0(1)+1−1；.18. 计算；.19. 设集合 ，，则 ( )A. B.C.D. 20. 已知函数的图象过点和点．求的表达式；解不等式；当时，求函数的值域．21. 已知，求函数的最大值和最小值及相应的值 22. 已知函数是定义在上的奇函数，且.求的解析式；判断在上的单调性，并用定义加以证明．(1)+a 1a −1(2)+a 32a−32(1)8+22−log 3log 3log 3329(2) 6.25+lg +ln +log 2.51100e √21+3log 2A ={x|≤0}x +2x −1B ={x|y =(−2x −3)}log 2x 2A ∩B ={x|−2≤x <−1}{x|−1<x ≤1}{x|−2≤x <1}{x|−1≤x <1}f(x)=a +(b >0,b ≠1)b x (1,4)(2,16)(1)f(x)(2)f(x)>(12)3−x 2(3)x ∈(−3,4]g(x)=f(x)+−6log 2x 2x ∈[−3,2]f(x)=−12x 14x x .f (x)=x ++n (m,n ∈R)m x{x ∈R|x ≠0}f (1)=10(1)f (x)(2)f (x)(0,3)参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】有理数指数幂的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，∵，，∴，，∴.∵，∴.故选.2.【答案】B【考点】函数的求值【解析】根据题意，令，求出的值，再计算对应的值．【解答】解：∵，且，∴令，解得，E =×=104.8101.5M 104.8+1.5M=6M 1=5M 2=E 11013.8=E 21012.3λ=E 1E 2=101.5=1010−−√3.1<<3.210−−√31<λ<32B 2x −5=6x a f(x −1)=2x −512f(a)=62x −5=6x =112=×−1=1117∴．故选．3.【答案】C【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】若函数在上是减函数，则底数，解得答案．【解答】解：∵函数在上是减函数，∴，解得：，故选：．4.【答案】D【考点】分段函数的应用函数的求值【解析】由已知中，将＝代入可得答案．【解答】解：∵∴.故选．5.【答案】Aa =×−1=1211274B f(x)=(2a −1)xR 2a −1∈(0,1)f(x)=(2a −1)xR 0<2a −1<1<a <112C f(x)={ sin x ，x <0π2f(x −1)+2，x ≥0x 2f(x)={ sin x ，x <0，π2f(x −1)+2，x ≥0，f(2)=f(1)+2=f(0)+4=f(−1)+6=5D函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：由，得，∴，，结合的函数图象，可知.故选.6.【答案】D【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用指数函数单调性的应用【解析】本题中四个选项中，，三个是指数型函数，选项中函数是幂函数类型的，依据相关的函数单调性验证那个判断是正确的即可．【解答】解：对于选项：考察函数性质知，不正确；对于选项：考察函数性质知，不正确；对于选项：考察函数性质知，不正确；对于选项：考察函数性质知，正确.由上分析知，判断正确的是．故选．7.【答案】A【考点】函数的图象【解析】此题暂无解析f(1)=a +1=4a =3f(x)==3+3x +1x 1x x ∈[1，+∞)f(x)f(x)∈(3，4]A A B C D A y =1.7x <1.72.5 1.73A B y =0.8x >0.820.83B C y =πx >π2π2√C D y =x 0.3>1.70.30.90.3D D D解：，排除，；由，方程无解，即函数没有零点，排除.故选.8.【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】求出的解析式，作出与＝的函数图象，根据图象的交点个数判断．【解答】∵＝，＝，∴在上的对称轴为＝，最小值为，∴，解得＝，＝．∴，作出的函数图象如图所示：由图象可知与直线＝有两个交点，∴方程＝有两解．故选：．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.f(1)=>011−ln 2C D y ==01x −ln(x +1)B A f(x)f(x)y x f(−4)f(0)f(−2)−2f(x)(−∞,0)x −2−2−=−2b 24−2b +c =−2b 4c 2f(x)={ +4x +2,x ≤0x 2ln x,x >0f(x)f(x)y x f(x)x BC,D【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算【解析】根据题目所给信息利用根式与分式指数幂互化的法则，逐一进行筛选即可.【解答】解：对于选项，，故选项错误；对于选项，，故选项错误；对于选项，成立，故选项正确；对于选项，当时，，故选项正确.故选.10.【答案】A,B,C【考点】对数的运算性质有理数指数幂的化简求值【解析】由对数运算率即可验证、是否正确，由指数运算律即可验证、是否正确【解答】解：，而，不正确；，不正确；，不正确；，正确.故选.11.【答案】A,C【考点】A −=−≠x −√x 12(−x)12A B =−(y <0)y 2−−√6y 13B C =(x ≠0)x −131x −√3C D x >0[==(−x)2−−−−−√3]34[|−x ]|2334x 12D CD A B C D 5+6=(5×6)log 2log 2log 25⋅6≠5+6log 2log 2log 2log 2A 4+5=4×5≠(4+5)log 3log 3log 3log 2B ⋅==(a >0)a 12a 14a +1214a 34C 2⋅===(a >0)a −1312a −23a −−1323a −11a D ABC函数奇偶性的判断函数单调性的性质【解析】根据函数解析式分别代入进行验证即可．【解答】解：，故正确；为增函数，则成立，故错误；，故正确；，故错误；故选．12.【答案】B,D【考点】函数的值域及其求法奇偶性与单调性的综合【解析】无【解答】解：，函数定义域为，，，故函数为偶函数，其图像关于轴对称，所以错误．，当时，，且在单调递减，设，则，所以，故在单调递减，故错误．f(−x)=−e −x e x 2=−−e x e −x 2=−f(x)A f(x)f(−2)<f(3)B 2f(x)⋅g(x)=2×⋅−e x e −x 2+e x e −x 2=−e 2x e −2x 2=f(2x)C [f(x)−[g(x)=]2]2[f(x)+g(x)]⋅[f(x)−g(x)]=⋅(−)=e x e −x −1D AC A f (x)=x (−1)2+1e x R f (x)=x (−1)=x ()2+1e x 1−e x +1e x f(−x)=(−x)()=(−x)()=f(x)1−e −x +1e −x −1e x +1e xf (x)y A C x >0y =−1≤02+1e x y =−12+1e x (0,+∞)0<<x 1x 20>−1>−12+1e x 12+1e x 2(−1)≥(−1)x 12+1e x 1x 22+1e x 2f(x)=x (−1)2+1e x (0,+∞)C f (x)，又由的图像关于轴对称，故在上单调递增，所以正确．，结合的单调性可知，，故的值域为，所以正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：因为的解集是，所以和是方程的两个不相等的解，且开口向上，即，解得故答案为：.14.【答案】【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域指数函数的单调性与特殊点【解析】先根据图象所过的点求出函数解析式，再根据二次函数的图象和性质求出函数的单调增区间．B f (x)y f (x)(−∞,0)B D f (x)f (x)≤f (0)=0f (x)(−∞,0]D BD 2a −6x +<0x 2a 2(1,m)x =1x =m a −6x +=0x 2a 2 a −6+=0，a 2a −6m +=0m 2a 2a >0m >1{a =2，m =2，2(1,+∞)f(x)=x 2f(1−x)【解答】解：因为幂函数的图象经过点，所以，解得，所以，，因此，其图象为抛物线，且开口向上，对称轴为，所以，函数的单调增区间为，故答案为：（也可填：））．15.【答案】【考点】不等式比较两数大小指数函数单调性的应用【解析】由，，即可进行大小比较.【解答】解：∵，，∴.故答案为：.16.【答案】【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】根据题意，由偶函数的性质可得，结合函数的解析式分析可得答案．【解答】解：根据题意， 为偶函数，则，又由当时， ，则.故答案为： .f(x)=x a (，2)2–√(=22–√)a a =2f(x)=x 2f(1−x)=(1−x =(x −1)2)2x =1f(1−x)(1,+∞)(1,+∞)[1,+∞a >ba =>120.6b ==0.36<10.62a =>120.6b ==0.36<10.62a >b a >b 2+ln 2f(ln 2)=f(−ln 2)f (x)f (ln 2)=f (−ln 2)x <0f (x)=−x e −x f (ln 2)=f (−ln 2)=−(−ln 2)=2+ln 2e ln 22+ln 2四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：∵，又，∴．，又，∴，∴．【考点】有理数指数幂的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，又，∴．，又，∴，∴．18.【答案】解：原式.原式(1)(a +=++2a −1)2a 2a −2=47+2=49a +>0a −1a +=7a −1(2)(+)a 12a −122=a ++2=7+2=9a −1a >0+=3a 12a −12+a 32a −32=(+)(a −1+)a 12a −12a −1=3×(7−1)=18(1)(a +=++2a −1)2a 2a −2=47+2=49a +>0a −1a +=7a −1(2)(+)a 12a −122=a ++2=7+2=9a −1a >0+=3a 12a −12+a 32a −32=(+)(a −1+)a 12a −12a −1=3×(7−1)=18(1)=8+4−log 3log 3log 3329=(8×4÷)log 3329=9log 3=log 332=2(2)=+++2×log 52()522log 101102log e e √23log 2=2+2++2×3log 5252log 10110log e e 12=2−2++61213.【考点】对数及其运算【解析】（1）原式（2）原式【解答】解：原式.原式.19.【答案】A【考点】交集及其运算其他不等式的解法=132=8+24−log 3log 3log 3329=(8×4÷)log 3329=9log 3=log 332=2=+++2×log 52()522log 101102log e e √23log 2=2+2++2×3log 5252log 10110log e e 12=2−2++612=132(1)=8+4−log 3log 3log 3329=(8×4÷)log 3329=9log 3=log 332=2(2)=+++2×log 52()522log 101102log e e √23log 2=2+2++2×3log 5252log 10110log e e 12=2−2++612=132函数的定义域及其求法【解析】本题考查交集的运算，先解有关不等式代简集合、再进行交集运算即可．【解答】解：由得，即，由得或，即，∴.故选．20.【答案】解：由题设知解得或（舍去），∴.由，即，∴.为单调增函数，∴，解得，∴不等式的解集为.∵.又，∴，当时，，∴函数的值域为.【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域指数函数的性质函数的值域及其求法【解析】（1）把点代入即可求出的表达式，（2）根据指数的单调性，原不等式转化为，解不等式即可；（3）根据对数函数的图象和性质，函数转化为，根据定义域即可求出值域【解答】A B ≤0x +2x −1−2≤x <1A =[−2,1)−2x −3>0x 2x >3x <−1B =(−∞,−1)∪(3,+∞)A ∩B =[−2,−1)A (1){4=a +b ，16=a +，b 2{a =0，b =4{a =7，b =−3f(x)=4x (2)f(x)>(12)3−x 2>(4x 12)3−x 2>22x 2−3x 2∵y =2x 2x >−3x 2−1<x <3(−1,3)(3)g(x)=f(x)+−6log 2x 2=+−6log 24x x 2=2x +−6x 2=(x +1−7)2x ∈(−3,4]g(x =g(−1)=−7)min x =4g(x =18)max g(x)[−7,18]f(x)2x >−3x 2g(x)g(x)=(x +1−7)24=a +b ，解：由题设知解得或（舍去），∴.由，即，∴.为单调增函数，∴，解得，∴不等式的解集为.∵.又，∴，当时，，∴函数的值域为.21.【答案】解：设，则.∵，∴，∴.又∵，∴时，，此时；时，，此时；∴当时，取得最大值.当时，取得最小值【考点】二次函数在闭区间上的最值指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析(1){4=a +b ，16=a +，b 2{a =0，b =4{a =7，b =−3f(x)=4x (2)f(x)>(12)3−x 2>(4x 12)3−x 2>22x 2−3x 2∵y =2x 2x >−3x 2−1<x <3(−1,3)(3)g(x)=f(x)+−6log 2x 2=+−6log 24x x 2=2x +−6x 2=(x +1−7)2x ∈(−3,4]g(x =g(−1)=−7)min x =4g(x =18)max g(x)[−7,18]=t 12x y =t −t 2x ∈[−3,2]≤≤4182x ≤t ≤814y =−(t −+12)214t =12=y max 14x =1t =8=−56y min x =−3x =1f(x)14x =−3f(x)−56.【解答】解：设，则.∵，∴，∴.又∵，∴时，，此时；时，，此时；∴当时，取得最大值.当时，取得最小值22.【答案】解：因为是定义在上的奇函数，所以，得．又因为，得．所以．在上单调递减．证明如下：设，则．因为，所以，，所以，即．所以在上单调递减．【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明函数解析式的求解及常用方法【解析】=t 12x y =t −t 2x ∈[−3,2]≤≤4182x ≤t ≤814y =−(t −+12)214t =12=y max 14x =1t =8=−56y min x =−3x =1f(x)14x =−3f(x)−56.(1)f(x)=x ++n(m,n ∈R)m x {x ∈R|x ≠0}f (−x)=−f (x)n =0f (1)=1+m =10m =9f (x)=x +(x ≠0)9x(2)f (x)(0,3)0<<<3x 1x 2f()−f()=−+−x 1x 2x 1x 29x 19x 2=(−)(−9)x 1x 2x 1x 2x 1x 20<<<3x 1x 2−<0x 1x 20<<9x 1x 2>0(−)(−9)x 1x 2x 1x 2x 1x 2f ()>f ()x 1x 2f (x)(0,3)【解答】解：因为是定义在上的奇函数，所以，得．又因为，得．所以．在上单调递减．证明如下：设，则．因为，所以，，所以，即．所以在上单调递减．(1)f(x)=x ++n(m,n ∈R)m x {x ∈R|x ≠0}f (−x)=−f (x)n =0f (1)=1+m =10m =9f (x)=x +(x ≠0)9x(2)f (x)(0,3)0<<<3x 1x 2f()−f()=−+−x 1x 2x 1x 29x 19x 2=(−)(−9)x 1x 2x 1x 2x 1x 20<<<3x 1x 2−<0x 1x 20<<9x 1x 2>0(−)(−9)x 1x 2x 1x 2x 1x 2f ()>f ()x 1x 2f (x)(0,3)。
2023-2024学年四川省绵阳市高一上册第一次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年四川省绵阳市高一上册第一次月考数学试题一、单选题1．集合{1,2,3}的非空真子集共有（）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个【正确答案】B【分析】按照子集元素个数1个，2个的顺序列举计数.【详解】解：集合{1,2,3}的非空真子集有：{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}共6个.故选：B.2．命题“x ∀∈R ，210x x ++≤”的否定为（）A ．x ∃∈R ，210x x ++>B ．x ∀∈R ，210x x ++≥C ．x R ∃∉，210x x ++>D ．x R ∀∉，210x x ++≤【正确答案】A由含有一个量词的命题的否定的定义进行求解即可．【详解】命题“x ∀∈R ，210x x ++≤”的否定为“x ∃∈R ，210x x ++>”故选：A3．已知集合{}1,3M =，{}1,3N a =-，若{}1,2,3M N = ，则a 的值是（）A ．-2B ．-1C ．0D ．1【正确答案】B【分析】根据集合N 和并集，分别讨论a 的值，再验证即可.【详解】因为{}1,2,3M N = ，若110a a -=⇒=，经验证不满足题意；若121a a -=⇒=-，经验证满足题意.所以1a =-.故选：B.4．有下列说法：（1）与表示同一个集合；（2）由组成的集合可表示为{1,2,3}或{}3,2,1；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{}1,1,2；（4）集合{}|45x x <<是有限集．其中正确的说法是A ．只有（1）和（4）B ．只有（2）和（3）C ．只有（2）D ．以上四种说法都不对【正确答案】C【详解】试题分析：（1）不正确：0是数字不是集合，但{}00∈；（2）正确：集合元素满足无序性，即{}{}1,2,33,2,1=；（3）不正确:集合元素具有互异性,方程的解集应为{}1,2；（4）不正确:满足不等式45x <<的x 有无数个,所以集合{}|45x x <<是无限集．故C 正确．1元素与集合的关系；2集合元素的特性．5．能正确表示集合{|02}M x R x =∈≤≤和集合2{|0}N x R x x =∈+=的关系的韦恩图的是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】求出集合N 的元素，即可得到两集合的关系，再用韦恩图表示出来．【详解】解： 集合{}2{|0}0,1N x R x x =∈+==-，集合{|02}M x R x =∈≤≤，{}0M N ∴= 且互不包含，故选：A ．本题主要考查了韦恩图表达集合的关系，是基础题．6．设,a b ∈R ,则“2()0a b a -<”是“a b <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【详解】由2()0a b a -<一定可得出a b <；但反过来，由a b <不一定得出2()0a b a -<，如0a =，故选A.【考点定位】本小题主要考查充分必要条件、不等式的性质等基础知识，熟练掌握这两部分的基础知识是解答好本类题目的关键.7．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是（）A ．A ≤B B ．A ≥BC ．A <B 或A >BD ．A >B【正确答案】B 作差法比较两式大小.【详解】()2234A B a ab ab b -=+-- 22a ab b =-+223204b a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭≥，A B ∴≥.故选：B本题考查代数式的大小比较，属于基础题.8．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为（）A ．{x |0<x <2}B ．{x |－2<x <1}C ．{x |x <－2或x >1}D ．{x |－1<x <2}【正确答案】B【分析】根据定义可得(x ＋2)(x －1)<0，结合一元二次不等式的解法即可选出正确答案.【详解】根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，故不等式的解集是{x |－2<x <1}．故选:B.二、多选题9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利用奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知0b a <<，则下列选项正确的是（）A ．22a b >B ．a b ab +<C ．a b<D ．2ab b >【正确答案】BC【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.【详解】对于A,由0b a <<得:22a b <，故错误；对于B ，因为0b a <<，所以00a b ab +<>，，故正确；对于C;由0b a <<得:a b <，故正确；对于D,由于()20ab b b a b -=-<，故2ab b <，故错误；故选：BC10．设{}1,2A =，{}1B x ax ==．若A B A ⋃=，则实数a 的值可以为（）A ．1B ．2C ．0D ．12【正确答案】ACD【分析】由A B A ⋃=得B A ⊆,分类讨论集合B 的元素情况，即可求得答案.【详解】由A B A ⋃=得：B A ⊆,当0a =时，B =∅,符合题意；当B ≠∅时，B A ⊆，若{1}B =，则1a =；若{2}B =，则12a =；由于B 中至多有一个元素，故B A ≠,所以实数a 的值可以为10,1,2，故选：ACD11．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像经过点A （1，0），B （5，0），下列说法正确的是（）A ．c ＜0B ．b 2﹣4ac ＜0C ．x ＝3时函数y ＝ax 2+bx +c 取最小值D ．图像的对称轴是直线x ＝3【正确答案】CD【分析】由20ax bx c ++=的两根分别为1,5，结合韦达定理以及二次函数的性质判断即可.【详解】因为二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像经过点A （1，0），B （5，0），所以20ax bx c ++=的两根分别为1,5.由图可知，0a >，由韦达定理可知150ca=⨯>，即0c >，故A 错误；由图可知，该二次函数与x 轴有两个交点，即240b ac ∆=->，故B 错误；由韦达定理可知，6b a -=，即该二次函数的对称轴为32b x a=-=，即在x ＝3时函数y ＝ax 2+bx +c 取最小值，故CD 正确；故选：CD12．已知∃x ∈R ，不等式2410x x a ---<不成立，则下列关于a 的取值不正确的是（）A ．{}5a a ≤-B ．{}2a a ≤-C ．{}3a a ≤-D ．{}1a a ≤-【正确答案】BCD【分析】转化为2R,410x x a ∀∈---≥成立，利用判别式法求解.【详解】解：因为∃x ∈R ，不等式2410x x a ---<不成立，所以2R,410x x a ∀∈---≥成立，则()()24410a ∆=----≤，解得5a ≤-.故选：BCD三、填空题13．高一某班共有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛.则该班这两项比赛都没有参加的人数是______.【正确答案】29【分析】利用ven 图求解.【详解】由题意画出ven 图，如图所示：由ven 图知：参加比赛的人数为26人，所以该班这两项比赛都没有参加的人数是29人，故2914．设集合6ZN 2A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭，则用列举法表示集合A 为______.【正确答案】{1,0,1,4}-【分析】根据自然数集N 与整数集Z 的概念分析集合A 中的元素即可.【详解】要使6N 2x ∈+，则2x +可取1,2,3,6，又Z x ∈，则x 可取1,0,1,4-，故答案为.{}1,0,1,4-15．若不等式222(1)0x a x a +++≥恒成立，则a 的取值范围是______.【正确答案】12a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】因为不等式222(1)0x a x a +++≥恒成立，所以()224(1)44210a a a ∆=+-=+≤，即12a ≤-.故12a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭16．已知不等式﹣2x 2+bx +c ＞0的解集{x |﹣1＜x ＜3}，若对任意﹣1≤x ≤0，不等式2x 2+bx +c +t ≤4恒成立.则t 的取值范围是______.【正确答案】{}2t t ≤-【分析】根据不等式﹣2x 2+bx +c ＞0的解集{x |﹣1＜x ＜3}，求得b ，c ，再将对任意﹣1≤x ≤0，不等式2x 2+bx +c +t ≤4恒成立，转化为对任意﹣1≤x ≤0，不等式2242t x x ≤---恒成立求解.【详解】解：因为不等式﹣2x 2+bx +c ＞0的解集{x |﹣1＜x ＜3}，所以()132132b c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得46b c =⎧⎨=⎩，因为对任意﹣1≤x ≤0，不等式2x 2+bx +c +t ≤4恒成立，所以为对任意﹣1≤x ≤0，不等式2242t x x ≤---恒成立，令2242y x x =---，()2212x =-+≥-，所以2t ≤-，故{}2t t ≤-四、解答题17．解下列不等式：(1)(2)(3)1x x x x +>-+；(2)21()10x a x a -++≤(01a <<).【正确答案】(1)12x x ⎧<-⎨⎩或}1x >(2)1x a x a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【分析】（1）整理得2210x x -->，再解不等式即可；（2）根据11a>直接求解即可.【详解】（1）解：由(2)(3)1x x x x +>-+有2210x x -->，方程2210x x --=的两根分别为121,12x x =-=，故原不等式的解集为12x x ⎧<-⎨⎩或}1x >（2）解：由21(10x a x a -++=有121,x a x a==，因为01a <<，所以11a>.故原不等式的解集为1x a x a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭18．已知集合{13}A xx =≤≤∣，集合{21}B x m x m =<<-∣.(1)当1m =-时，求A B ⋃；()R A B ⋂ð；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1){23}A B xx ⋃=-<≤∣，(){21}R B x A x ⋂=-<<∣ð(2)(,2)-∞-【分析】（1）根据交并补的定义直接计算即可；（2）由题可得AB ，根据包含关系列出不等式即可求出.【详解】（1）当1m =-时，{13}A x x =≤≤∣，{22}B x x =-<<∣.则{23}A B xx ⋃=-<≤∣，{1R A x x =<ð或3x >，(){21}R A B x x ∴⋂=-<<∣ð；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，则AB ，∵{13}A xx =≤≤∣，集合{21}B x m x m =<<-∣，∴2113m m <⎧⎨->⎩，解得2m <-，∴实数m 的取值范围是(,2)-∞-.19．设集合2{|320}A x x x =++=，()2{|10}B x x m x m =+++=.(1)若B 中有且只有一个元素，求实数m 的值；(2)若B A ⊆求实数m 的值.【正确答案】(1)1(2)m ＝1或m ＝2【分析】（1）解法一：利用十字相乘法解方程，由题意，可得答案；解法二：根据二次方程根的判别式，结合题意，建立方程，可得答案；（2）求得两个方程的根，利用集合之间的关系，根据分类讨论的思想，可得答案.【详解】（1）解法一：因为()210x m x m +++=，整理可得()()10x x m ++=，解得=1x -或x m =-，又B 中只有一个元素，故1m =.解法二：B 中有且只有一个元素，所以方程()210x m x m +++=有唯一实根，从而22(1)4(1)0m m m ∆=+-=-=，所以m ＝1.（2）由2320x x ++=，解得=1x -或2x =-，由()210x m x m +++=，整理可得()()10x x m ++=，解得=1x -或x m =-，B ⊆A ，当m ＝1时，B ＝{﹣1}，满足B ⊆A ，当m ＝2时，B ＝{﹣1，﹣2}同样满足B ⊆A ，故m ＝1或m ＝2.20．已知集合{}{}222|340,|450A x x x B x x mx m =--<=+-<.(1)若集合{}51B x x =-<<，求此时实数m 的值；(2)若A B A = ，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)1(2)(][),14,-∞-⋃+∞【分析】（1）由题知22450x mx m +-=的两个根为5-和1，进而根据韦达定理求解即可；（2）由题知A B ⊆，{}14A x x =-<<，进而分0m >和0m <两种情况求解集合B ，并根据集合关系求解范围.【详解】（1）解：根据题意，集合{}{}22|45051B x x mx m x x =+-<=-<<，所以，方程22450x mx m +-=的两个根为5-和1，所以，有()()2451551m m ⎧-=-+⎪⎨-=-⨯⎪⎩，解得1m =；所以，1m =；（2）解：若A B A = ，则A B ⊆，{}{}2|34014A x x x x x =--<=-<<，{}()(){}22|45050B x x mx m x x m x m =+-<=+-<因为A B ⊆，则B ≠∅，所以5m m -≠，即0m ≠，当0m >时，()(){}{}505B x x m x m x m x m =+-<=-<<，此时有514m m -≤-⎧⎨≥⎩，解得4m ≥；当0m <时，()(){}{}505B x x m x m x m x m =+-<=<<-，此时有154m m ≤-⎧⎨-≥⎩，解得1m ≤-.综上，1m ≤-或4m ≥.所以，故m 的取值范围为(][),14,-∞-⋃+∞.21．已知0,0x y >>，且141x y+=．(1)求x y +的最小值；(2)若26xy m m >+恒成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)9(2)()8,2-【分析】（1）根据系数“1”的妙用，结合基本不等式即可得到结果；（2）根据题意结合基本不等式可得16xy ≥，然后求解关于m 的不等式，即可得到结果.【详解】（1）因为0,0x y >>，所以()144559x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当4x yy x=，即3,6x y ==时取等号，所以x y +的最小值为9（2）因为0,0x y >>，所以141x y =+≥，所以16xy ≥，当且仅当2,8x y ==时等号成立，因为26xy m m >+恒成立，所以2166m m >+，解得82m -<<所以实数m 的取值范围为()8,2-22．志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD ，已知点E 在边CD 上，AE ＝CE ，AB ＞AD ，且矩形的周长为8cm.(1)设AB ＝x cm ，试用x 表示出图中DE 的长度，并求出x 的取值范围；(2)计划在△ADE 区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE 的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽.【正确答案】(1)84(24)DE x x=-<<(2)队徽的长和宽分别为4-【分析】（1）在直角三角形ADE 中，由勾股定理得出DE 的长度；（2）由三角形面积公式结合基本不等式求解.【详解】（1）由题意可得4AD x =-，且40x x >->，可得24x <<，由CE AE x DE ==-，在直角三角形ADE 中，可得222AE AD DE =+，即222()(4)x DE x DE -=-+，化简可得84(24)DE x x=-<<；（2）118(4)422ADE S AD DE x x ⎛⎫=⋅=-- ⎪⎝⎭△8262612xx ⎛⎛⎫=--≤-=- ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当x =-，可得△ADE 的面积取得最大值.。
2022-2023学年人教A版高一上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知，，则的值为( )A.B.C.D.2. 已知，，则的值为( )A.B.C.D.3. 已知有三个数，，，则它们之间的大小关系是（ ）A.B.C.D.4. 已知函数则的值为 A.B.=210m =410n 103m−n222–√10−−√22–√f (x)=3x +6g(x −1)=2x +3f (g(3))39331527a =(113)−2b =40.3c =80.25a <c <ba <b <cb <a <cb <c <af(x)={x(x ≥3)，log 14(x <3)，2x f[f(2)]()−1C.D.5. 函数的图象大致为 A.B.C.D.6. 设，，，则，，的大小关系是( )A.B.C.D.7. 函数在区间上的大致图象为A.19f (x)=ln |x|+x 2+sin x x 3()a =0.6log 3b =30.6c =0.63a b c a >b >ca >c >bb >c >ac >b >ay =sin x(1+cos 2x)[−π,π]( )B. C. D.8. 已知函数，若函数＝有三个零点，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A.B.C.D.10. 下列各式错误的是（ ）A.B.C.D.f(x)={ ,x ∈(−∞,0]2x +2ax +1,x ∈(0,+∞)x 2g(x)f(x)+2x −aa (0,+∞)(−∞,−1)(−∞,−3)(0,−3)−=x −√(−x)12=(y <0)y 2−−√6y 12=(x ≠0)x −131x −√3=(x >0)[](−x)2−−−−−√334x 125⋅6=(5×6)log 2log 2log 24+5=(4+5)log 3log 3log 2⋅=(a >0)a 12a 14a 182⋅=(a >0)a −1312a −231a (x)=−x −x (x)=+x −x11. 已知函数，，下列结论正确的是( )A.B.C.D.12. 关于函数有如下四个命题，其中正确的命题有( )A.的图象关于轴对称B.的图象关于原点对称C.的图象关于直线对称D.的值域为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知不等式的解集为，则________．14. 已知幂函数的图象经过点，则的单调增区间为________．15. 若 ， ， ，则，，的大小关系是_______（用“”连接）.16. 已知函数，实数，满足，则的最小值为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. . 18. 若，是方程的两个实根，的值 19. 已知函数 且 .判断并证明 的奇偶性；f(x)=−e x e −x 2g(x)=+e x e −x 2f(−x)=−f(x)f(−2)>f(3)f(2x)=2f(x)⋅g(x)[f(x)−[g(x)=]2]21f (x)=cos x +1cos x f (x)y f (x)f (x)x =π2f (x)(−∞,−2]∪[2,+∞)a +5x +c >0x 2(2,3)a +c =f(x)=x a (，2)2–√f(1−x)a =21.4b =80.2c =(12)−4log 2a b c >f(x)=(x −1+−+2)33x−13−x+1a b f(a)+f(b)=4a +(b −1)2−(π−1−(614−−−√)0278)13a b 2(lgx −lg +1=0)2x 4lg(ab)⋅(b +a)log a log b .f(x)=(1+x)−(1−x)(a >0log a log a a ≠1)(1)f (x)(2)f (x)>0求使 的的取值范围． 20. 已知集合 .化简集合，;若集合 ，满足 ,求实数的取值范围.21. 已知函数（，为常数且）的图象经过点，.试求，的值；若不等式在有解，求的取值范围．22. 已知函数是定义在上的奇函数，且.求的解析式；判断在上的单调性，并用定义加以证明．(2)f (x)>0x A ={x|≤≤81}，B ={y|y =ln x,x ∈[,]}193x−11ee 2(1)A B (2)C ={x|m −1<x <m +1}C ⊆(A ∩B)mf (x)=b ⋅a x a b a >0,a ≠1A (1,8)B(3,32)(1)a b (2)+−2m ≥1a x b x x ∈[−1,2]m f (x)=x ++n (m,n ∈R)m x{x ∈R|x ≠0}f (1)=10(1)f (x)(2)f (x)(0,3)参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】有理数指数幂的化简求值【解析】利用指数的运算法则即可得出．【解答】解：∵，，∴．故选.2.【答案】A【考点】函数的求值【解析】按照顺序代入求值，先求出的值，然后再求出的值即可.【解答】解：由题意得，，则.故选.3.【答案】B=210m =410n ===103m−n 2(10m )310n−−−−−−√234−−−√2–√B g(3)f(g(3))g(3)=g(4−1)=2×4+3=11f(11)=3×11+6=39A【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】先判断出，，，再用指数的运算性质，将指数式化为同底式，进而可以比较大小．【解答】解：，，，且，故，故选.4.【答案】A【考点】分段函数的应用函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以.故选.5.【答案】C【考点】函数的图象【解析】a ∈(0,1)bc ∈(1,+∞)a =(=(∈(0,1)113)−2311)2b ==>140.320.6c ==>180.2520.75>20.7520.6a <b <c B f(2)==422f[f(2)]=f(4)=4=−1log 14A f (x)(−∞,0)∪(0,+∞)A f (x)+f (−x)=0f (x)求出函数的定义域，排除项，再根据，可知函数是奇函数，其图象关于坐标原点对称，排除项．再利用特殊点的值即可得解.【解答】解：由题意可得，，∴，∴函数的定义域为，故排除选项；∵，∴函数是奇函数，故排除选项；∵，∴排除选项.故选.6.【答案】C【考点】对数值大小的比较指数函数单调性的应用【解析】利用指数函数对数函数的单调性即可得出．【解答】解：，，，则，，的大小关系是．故选.7.【答案】A【考点】函数的图象【解析】利用三角函数的特殊角的函数值，判断选项即可．f (x)(−∞,0)∪(0,+∞)A f (x)+f (−x)=0f (x)D +sin x ≠0x 3x ≠0f (x)(−∞,0)∪(0,+∞)A f (x)+f (−x)=+ln |x|+x 2+sin x x 3ln |−x|+(−x)2+sin(−x)(−x)3=−ln |x|+x 2+sin x x 3ln |x|+x 2+sin x x 3=0f (x)D f ()=<0e −2−2+e −4+sin()e −6e −2B C a =0.6<0log 3b =>130.6c =∈(0,1)0.63a b c b >c >a C【解答】解：当时，，对应点在第一象限，排除，选项；当时，，对应点在轴上，排除选项.故选.8.【答案】C【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】由题意可得需使指数函数部分与轴有一个交点，抛物线部分与轴有两个交点，判断，与交点的情况，列出关于的不等式，解之可得答案．【解答】＝，函数＝有三个零点，可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为＝，最多两个零点，如上图，要满足题意，函数＝是增函数，一定与相交，过，＝，与轴相交，，可得还需保证时，抛物线与轴由两个交点，可得：，＝，解得，综合可得，故选：．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】C,D【考点】x =π4y =(1+0)=2–√22–√2C D x =π2y =1+cos π=0x B A x x x ≤0x >0a g(x)f(x)+2x −a ={ +2x −a,x ≤02x +(2a +2)x +1−a,x >0x 2g(x)f(x)+2x −a x −a −1y +2x 2x x ≤0x (0,1)g(x)+2x −a 2x x 1−a ≥0a ≤(1)x >0x −a −1>0△4(a +1−4(1−a)>0)2a <−3a <−3C根式与分数指数幂的互化及其化简运算【解析】根据题目所给信息利用根式与分式指数幂互化的法则，逐一进行筛选即可.【解答】解：对于选项，，故选项错误；对于选项，，故选项错误；对于选项，成立，故选项正确；对于选项，当时，，故选项正确.故选.10.【答案】A,B,C【考点】对数的运算性质有理数指数幂的化简求值【解析】由对数运算率即可验证、是否正确，由指数运算律即可验证、是否正确【解答】解：，而，不正确；，不正确；，不正确；，正确.故选.11.【答案】A,C【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的性质【解析】A −=−≠x −√x 12(−x)12A B =−(y <0)y 2−−√6y 13B C =(x ≠0)x −131x −√3C D x >0[==(−x)2−−−−−√3]34[|−x ]|2334x 12D CD A B C D 5+6=(5×6)log 2log 2log 25⋅6≠5+6log 2log 2log 2log 2A 4+5=4×5≠(4+5)log 3log 3log 3log 2B ⋅==(a >0)a 12a 14a +1214a 34C 2⋅===(a >0)a −1312a −23a −−1323a −11a D ABC根据函数解析式分别代入进行验证即可．【解答】解：，故正确；为增函数，则成立，故错误；，故正确；，故错误；故选．12.【答案】A,D【考点】函数奇偶性的判断函数的对称性函数的值域及其求法【解析】无【解答】解：由题意知的定义域为，且关于原点对称．又，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，所以正确，错误．因为，，所以，所以函数的图象不关于直线对称，错误．当时，，当时，，所以正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）f(−x)=−e −x e x 2=−−e x e −x 2=−f(x)A f(x)f(−2)<f(3)B 2f(x)⋅g(x)=2×⋅−e x e −x 2+e x e −x 2=−e 2x e −2x 2=f(2x)C [f(x)−[g(x)=]2]2[f(x)+g(x)]⋅[f(x)−g(x)]=⋅(−)=e x e −x −1D AC f(x){x|x ≠+kπ,k ∈Z}π2f(−x)=cos(−x)+=cos x +=f(x)1cos(−x)1cos x f (x)y A B f (−x)=cos(−x)+π2π21cos(−x)π2=sin x +1sin x f (+x)π2=cos(+x)π2+1cos(+x)π2=−sin x −1sin x f (+x)≠f (−x)π2π2f(x)x =π2C cos x <0f(x)≤−2cos x >0f(x)≥2D AD13.【答案】【考点】一元二次不等式的解法【解析】由题意可得，为方程＝的两根，运用韦达定理可得，，可得所求和．【解答】解：不等式的解集为，可得，为方程的两根，可得，，解得，，则．故答案为：.14.【答案】【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域指数函数的单调性与特殊点【解析】先根据图象所过的点求出函数解析式，再根据二次函数的图象和性质求出函数的单调增区间．【解答】解：因为幂函数的图象经过点，所以，解得，所以，，因此，其图象为抛物线，且开口向上，对称轴为，所以，函数的单调增区间为，故答案为：（也可填：））．15.【答案】−723a +5x +c x 20a c a +5x +c >0x 2(2,3)23a +5x +c =x 202+3=−5a 2×3=c a a=−1c=−6a +c =−7−7(1,+∞)f(x)=x 2f(1−x)f(x)=x a (，2)2–√(=22–√)a a =2f(x)=x 2f(1−x)=(1−x =(x −1)2)2x =1f(1−x)(1,+∞)(1,+∞)[1,+∞c >a >b【考点】不等式比较两数大小指数函数单调性的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，，，∴.故答案为：.16.【答案】【考点】函数最值的应用函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：，令，由得.因，且，所以为上的奇函数，且在上单调递增，所以，所以，c >a >ba =21.4b ==80.220.6c =(==12)−4log 224log 222c >a >b c >a >b 34f(x)=(x −1+−+2)33x−13−x+1g(x)=f(x)−2=(x −1+−)33x−13−x+1f(a)+f(b)=4g(a)+g(b)=0g(x +1)=+−x 33x 3−x g(−x +1)=−g(x +1)g(x +1)R g(x +1)R g(a)=g(a −1+1)=−g(−a +2)=−g(b)−a +2=b +(b −1=−a +1=(a −+≥133所以，故的最小值为.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：原式.【考点】有理数指数幂的化简求值【解析】根据指数幂和对数的运算法则进行化简即可．【解答】解：原式.18.【答案】解：方程，化简为：，令，则，，可得，.∵，是方程的两个实根，∴，.a +(b −1=−a +1=(a −+≥)2a 212)23434a +(b −1)23434=−1−(254−−−√32)3×13=−1−5232=0=−1−(254−−−√32)3×13=−1−5232=02(lgx −lg +1=0)2x 42(lgx −4lgx +1=0)2t =lgx 2−4t +1=0t 2Δ=16−8=8>0+=2t 1t 2=t 1t 212a b 2(lgx −lg +1=0)2x 4=lga t 1=lgb t 2lg(ab)⋅(b +a)log a log b =(lga +lgb)⋅(+)lgb lga lga lgb =(lga +lgb)⋅(lgb +(lga )2)2lga ⋅lgb(lga +lgb)⋅(lgb +lga −2lga ⋅lgb )2.【考点】对数及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：方程，化简为：，令，则，，可得，.∵，是方程的两个实根，∴，..19.【答案】解：由题得，函数的定义域为关于原点对称，，∴函数是奇函数．，即，即，①当时，等价于，等价于，由定义域知 .故对，当时有②当时．等价于，解得，故对，当时有 .=(lga +lgb)⋅(lgb +lga −2lga ⋅lgb )2lga ⋅lgb=2×−2×221212=122(lgx −lg +1=0)2x 42(lgx −4lgx +1=0)2t =lgx 2−4t +1=0t 2Δ=16−8=8>0+=2t 1t 2=t 1t 212a b 2(lgx −lg +1=0)2x 4=lga t 1=lgb t 2lg(ab)⋅(b +a)log a log b =(lga +lgb)⋅(+)lgb lga lga lgb =(lga +lgb)⋅(lgb +(lga )2)2lga ⋅lgb =(lga +lgb)⋅(lgb +lga −2lga ⋅lgb )2lga ⋅lgb=2×−2×221212=12(1)f (x)(−1,1)f (−x)=(1−x)−(1+x)log a log a =−f (x)f (x)(2)f (x)>0(1+x)−(1−x)>0log a log a log a>01+x 1−x a >1>11+x 1−x 1+x >1−x 0<x <1a >1x ∈(0,1)f (x)>0.0<a <10<<11+x 1−x −1<x <00<a <1x ∈(−1,0)f (x)>0x ∈(0,1)综上可得，当时，；当时， .【考点】函数奇偶性的判断函数的定义域及其求法对数函数的图象与性质【解析】【解答】解：由题得，函数的定义域为关于原点对称，，∴函数是奇函数．，即，即，①当时，等价于，等价于，由定义域知 .故对，当时有②当时．等价于，解得，故对，当时有 .综上可得，当时，；当时， .20.【答案】解：由，得，∴，解得：，；∵在上单调递增，∴，∴.由得，∵ ，∴解得：.综上，实数的取值范围是.a >1x ∈(0,1)0<a <1x ∈(−1,0)(1)f (x)(−1,1)f (−x)=(1−x)−(1+x)log a log a =−f (x)f (x)(2)f (x)>0(1+x)−(1−x)>0log a log a log a>01+x 1−x a >1>11+x 1−x 1+x >1−x 0<x <1a >1x ∈(0,1)f (x)>0.0<a <10<<11+x 1−x −1<x <00<a <1x ∈(−1,0)f (x)>0a >1x ∈(0,1)0<a <1x ∈(−1,0)(1)≤≤81193x−1≤≤3−23x−134−2≤x −1≤4−1≤x ≤5∴A ={x|−1≤x ≤5}y ∈x x ∈[,]1e e 2−1≤y ≤2B ={y|−1≤y ≤2}(2)(1)A ∩B ={x|−1≤x ≤2}C ⊆(A ∩B){m −1≥−1，m +1≤2，0≤m ≤1m [0,1]【考点】对数函数的单调性与特殊点指数函数的性质交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由，得，∴，解得：，；∵在上单调递增，∴，∴.由得，∵ ，∴解得：.综上，实数的取值范围是.21.【答案】解：由题可知，函数的图象经过点，则又因为，为常数且， ，所以解得，.由可知： ，,所以在有解，即在有解.令，则在上有解，设，则是开口向上、对称轴为的二次函数，故 ，(1)≤≤81193x−1≤≤3−23x−134−2≤x −1≤4−1≤x ≤5∴A ={x|−1≤x ≤5}y ∈x x ∈[,]1e e 2−1≤y ≤2B ={y|−1≤y ≤2}(2)(1)A ∩B ={x|−1≤x ≤2}C ⊆(A ∩B){m −1≥−1，m +1≤2，0≤m ≤1m [0,1](1)f (x)=b ⋅a x A (1,8)，B (3,32){f (1)=ba =8，f (3)=b =32，a 3ab a >0a ≠1a =2b =4(2)(1)a =2b =4+−2m ≥12x 4x x ∈[−1,2]≥m +−12x 4x 2x ∈[−1,2]t =,t ∈[,4]2x 12+−≥m t 22t 212t ∈[,4]12g(t)=+−t 22t 212=−12(t +)12258g(t)t =−12g(t)∈[−,]18192≤19故.【考点】二次函数在闭区间上的最值指数函数综合题指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】利用指数函数性质求解.利用指数函数性质求解.【解答】解：由题可知，函数的图象经过点 ，则又因为，为常数且， ，所以解得，.由可知： ，,所以在有解，即在有解.令，则在上有解，设，则是开口向上、对称轴为的二次函数，故 ，故.22.【答案】解：因为是定义在上的奇函数，所以，得．又因为，得．所以．在上单调递减．证明如下：设，m ≤192(1)(1)f (x)=b ⋅a x A (1,8)，B (3,32){f (1)=ba =8，f (3)=b =32，a 3ab a >0a ≠1a =2b =4(2)(1)a =2b =4+−2m ≥12x 4x x ∈[−1,2]≥m +−12x 4x 2x ∈[−1,2]t =,t ∈[,4]2x 12+−≥m t 22t 212t ∈[,4]12g(t)=+−t 22t 212=−12(t +)12258g(t)t =−12g(t)∈[−,]18192m ≤192(1)f(x)=x ++n(m,n ∈R)m x {x ∈R|x ≠0}f (−x)=−f (x)n =0f (1)=1+m =10m =9f (x)=x +(x ≠0)9x(2)f (x)(0,3)0<<<3x 1x 2(−)(−9)则．因为，所以，，所以，即．所以在上单调递减．【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明函数解析式的求解及常用方法【解析】【解答】解：因为是定义在上的奇函数，所以，得．又因为，得．所以．在上单调递减．证明如下：设，则．因为，所以，，所以，即．所以在上单调递减．f()−f()=−+−x 1x 2x 1x 29x 19x 2=(−)(−9)x 1x 2x 1x 2x 1x 20<<<3x 1x 2−<0x 1x 20<<9x 1x 2>0(−)(−9)x 1x 2x 1x 2x 1x 2f ()>f ()x 1x 2f (x)(0,3)(1)f(x)=x ++n(m,n ∈R)m x {x ∈R|x ≠0}f (−x)=−f (x)n =0f (1)=1+m =10m =9f (x)=x +(x ≠0)9x(2)f (x)(0,3)0<<<3x 1x 2f()−f()=−+−x 1x 2x 1x 29x 19x 2=(−)(−9)x 1x 2x 1x 2x 1x 20<<<3x 1x 2−<0x 1x 20<<9x 1x 2>0(−)(−9)x 1x 2x 1x 2x 1x 2f ()>f ()x 1x 2f (x)(0,3)。
2022-2023学年高中高一上数学人教A版月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I（选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 已知集合A={x|x<1}，B={x|3x<1}，则( )A. A∩B={x|x<0}B. A∪B=RC. A∪B={x|x>1}D.A∩B=∅2. “b≥2a>0”是“函数f(x)=ax2+2bx+1(a≠0)在(−2，+∞)上是增函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 终边在直线y=√3x上的角的集合为（）A.{α|α=2kπ+π3,k∈Z}B.{α|α=kπ+π3,k∈Z}C.{α|α=2kπ±π3,k∈2}π34. 在下列四组函数中， f(x)与g(x)表示同一函数的是( )A.f(x)=x −1，g(x)=x 2−1x +1B.f(x)=|x +1|，g(x)={x +1，x ≥−1，−x −1，x <−1C.f(x)=√x 2−9，g(x)=√x −3⋅√x +3D.f(x)=x ，g(x)=√x 25. 已知f(x)=x ⋅2|x|，a =f (log 3√5)，b =f (log 312)，c =f(ln3)，则a ，b ，c 的大小关系为 ( )A.c >b >aB.b >c >aC.a >b >cD.c >a >b6. 已知函数f(x)＝elog a x −(a >1)没有零点，则实数a 的取值范围为（ ）A.(e,+∞)B.（ ，+∞)C.(1,+∞)D.（，+∞)7. 复兴号动车组列车，是中国标准动车组的中文命名，由中国铁路总公司牵头组织研制、具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．2019年12月30日，CR400BF −C 智能复兴号动车组在京张高铁实现时速350km 自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小，我们用声强I （单位：W/m 2）表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级L （单位：dB ）与声强I 的函数关系式为L =10lg(aI)，已知I =1013W/m 2时，L =10dB ．若要将某列车的声强级降低30dB ，则该列车的声强应变为原声强的( )A.10−5倍C.10−3倍D.10−2倍8. 已知函数f(x)=(x+1)2−3，若函数g(x)={f(x)+2−kx,x≥0,−f(−x)−2−kx,x<0仅有1个零点，则实数k的取值范围为（）A.(−∞,2]B.(−∞,1]C.(−∞,4]D.(−∞,e]二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 若角α是第一象限角，在角α的终边上有一点 P(1,1) ，则下列结论正确的有( )A.角α一定等于π4B.角α终边与π4的终边相同C.tanα=1D.sin(π−α)=−√2210. 下列各式运算正确的是（）A.log25√125=34B.(log43+log23)⋅log92=3C.若log a3=m，log a2=n，则a m−2n=32D.log26⋅log36−log23−log32=211. “双11”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给与优惠：(1)如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；(2)如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；(3)如果购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予9折优惠；(4)如果购物总额超过300元，其中300元内的按第(3)条给予优惠，超过300元的部分给予8折优惠．某人购买了部分商品，则下列说法正确的是( )A.如果购物总额为78元，则应付款为73元B.如果购物总额为228元，则应付款为205.2元C.如果购物总额为368元，则应付款为294.4元D.如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元12. 已知正数x,y,z 满足3x =4y =6z ．则下列说法中正确的是( )A.1x +12y =1zB.3x >4y >6zC.x +y >(√32+√2)zD.xy >2z 2卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知α∈R,sinα+2cosα=√102，则tanα＝________．14. 已知实数m 、n 满足等式(13)m =(14)n ，下列五个关系式：①m <n <0，②m =n ，③n <m <0，④m >n >0，其中不可能成立的关系式有________．15. 对于定义在R 上的函数f(x)，若存在正常数a ，b ，使得f(x +a)≤f(x)+b 对一切x ∈R 恒成立，则称f(x)是“控制增长函数”.在以下四个函数中：①f(x)=2x −1；②f(x)=|x |+1；③f(x)=2x 2−1；④f(x)=2x −2−x ，你认为是“控制增长函数”的序号是________.16. 一条河的两岸平行，河的宽度d =4km ，一艘船从岸边A 处出发到河的正对岸，已知船的速度|v 1|=10km/h ，水流速度|v 2|=2km/h ，那么行驶航程最短时，所用时间是________(h)(附：√6≈2.449，精确到0.01h)四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. （本小题满分12分）已知集合{A=\left\{ x | x^{2}-\left(m+1\right)x+\dfrac{ \rm m^{2} +2m}{4}\lt 0} m ∈R},B ={x |x 2−x <0}(1)当m =1时，求A ∩B(2)若A ∩B =∅，求π的取值范围．18. 已知函数f(x)=2|x|−1√1+x 2.(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性（不必写出过程），并解不等式f(x −1)>f(2x).19. 已知函数f(x)=2x +ax +b ，且满足f(2)=13，f(9)=32.(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性，并用定义证明其结论.20. 已知函数f(x)=x +a +lnx ，g(x)=x +b +e x ，且存在x 1，x 2(x 1>x 2)，使得f (x 1)=g (x 2)=0．(1)若函数f(x)在(1,f(1))的切线方程为y =2x +3求a 的值；(2)若b <−e −1，求证： f (x 2)+g (x 1)>0．21. 借贷10000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？（1.016≈1.061,1.015≈1.051）22. 已知函数f(x)=x +tx ，t ∈R.(1)当t =2时，写出f(x)的单调递减区间（不必证明），并求f(x)的值域；(2)设函数g(x)=−4cos(x +π3)，若对任意x 1∈[1,2]，总有x 2∈[0,π]，使得f(x 1)=g(x 2)，求实数t 的取值范围.参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一上数学月考试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】A【考点】交集及其运算并集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：∵集合A={x|x<1}，B={x|3x<1}={x|x<0}，∴A∩B={x|x<0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x<1}故B和C都错误.故选A．2.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断函数的单调性及单调区间【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x)=a(x 2+2ba x)+1=a(x+ba)2+1−b2a，当a<0时，f(x)的单调增区间为(−∞，−ba).∵f(x)在（−2，+∞）上是增函数，∴a>0，−ba≤−2，∴b≥2a>0.反之，∵b≥2a>0，∴ba≥2，−ba≤−2，∴f(x)在(−2,+∞)上是增函数.故选C.3.【答案】B【考点】终边相同的角【解析】此题暂无解析【解答】B【分析】先求出终边在y=√3x上的度数，即可得到结论．【详解】在[0,2π]内终边在直线y=√3x上的角为π3和4π3=π+π3则终边在直线y=x上的角的集合为{a|a=2kπ+π3或2kπ+4π3},k∈Z即{a|a=kπ+π3,k∈Z}故选B．4.【答案】B【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】利用函数的定义域，对应关系是否相同判定是否为同一函数.【解答】解：对于A，f(x)定义域为R，g(x)定义域为{x|x≠−1}，故不是同一函数；对于，两个函数的定义域为，且一函数；对于C ，由x 2−9≥0，得x ∈(−∞,−3]∪[3,+∞)，而g(x)需满足{x −3≥0，x +3≥0，解得x ≥3，可得两个函数的定义域不同，不是同一函数；对于D ，g(x)=√x 2=|x|，故不是同一函数.故选B.5.【答案】D【考点】指数式、对数式的综合比较对数值大小的比较【解析】此题暂无解析【解答】解：∵y =log 3x 在(0,+∞)上单调递增，∴log 312<log 3√5<1，同理可得ln3>1.又f(x)=x ⋅2|x|在(0,+∞)上是增函数，∴c >a >b.故选D.6.【答案】A【考点】函数零点的判定定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.C【考点】函数模型的选择与应用对数及其运算【解析】无【解答】解：由已知得10=10lg (a ×1013)，解得a =10−12，故L =10lg (10−12×I )=10(−12+lgI)．设某列车原来的声强级为L 1，声强为I 1，该列车的声强级降低30dB 后的声强级为L 2，声强为I 2，则L 1−L 2=10(−12+lgI 1)−10(−12+lgI 2)=10(lgI 1−lgI 2)=101g I 1I 2=30，所以lg I 1I 2=3，解得I 2I 1=10−3．故选C ．8.【答案】A【考点】由函数零点求参数取值范围问题分段函数的应用【解析】无【解答】解：令h(x)={f(x)+2,x ≥0,−f(−x)−2,x <0,故g(x)=0⇒h(x)=kx ，作出函数h(x)的大致图象如图所示，观察可知，临界状态为直线y =kx 与曲线y =h(x)在(0,h(0))处的切线，故k ≤2，二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】B,C【考点】终边相同的角【解析】此题暂无解析【解答】解：因为角α的终边上有一点 P(1,1) ，所以点P到原点的距离为√2，由三角函数定义可知，sinα=√22，cosα=√22，√22，所以tanα=1，sin(π−α)=sinα=故C正确；D错误；又π4的终边过点(1,1)，所以角α终边与π4的终边相同，α=2kπ+π4，故A错误；B正确.故选BC.10.【答案】A,D【考点】对数与对数运算指数式与对数式的互化换底公式的应用【解析】利用对数的运算和对数与指数的互化进行求解即可.【解答】解：A，log25√125=log52532=log5532log552=322=34，故A正确；B，(log43+log23)⋅log92=(log232log22+log23)⋅log222log23=14+12=34，故B错误；C，若log a3=m，log a2=n，则a m=3，a n=2，则am−2n=a m÷(a n)2=34，故C错误；D，log26⋅log36−log23−log32=(log23+log22)(log33+log32)−log23−log32=log23+1+1+log32−log23−log32=2，故D正确.故选AD.11.【答案】A,B,D【考点】根据实际问题选择函数类型函数模型的选择与应用【解析】本题主要是根据题目意思选择不同价位的付款方式进行运算【解答】解：A，购物总额为78元，属于(2)的范围，可以使用一张5元的优惠卷，则应付款为78−5=73元，故A正确；B，购物总额为228元，属于(3)的范围，则按标价给予9折优惠，则应付款为228×0.9=205.2元，故B正确；C，购物总额为368元，属于(4)的范围，300元内按9折给予优惠，超出300元的部分按8折优惠，则应付款为300×0.9+68×0.8=324.4元，故C错误；D，若一次性付款442.8元，设超出300元的部分为x元，根据优惠策略，可列方程为300×0.9+0.8x=442.8，解得x=216，则应付款为516元，故D正确.故选ABD.12.【答案】A,C,D【考点】指数式与对数式的互化指、对数不等式的解法基本不等式【解析】方法二：设3x =4y =6z =k >1则x =log 3k ，y =log 4k ，z =log 6k ，1x +12y −1z=log k 3+12log k 4−log k 6=log k 3√46=0，故A 正确；3x −4y =3log 3k −4log 4k=lg (3lg3−4lg4)=lgk(3lg2−2lg3)lg3<0，∴3x <4y ，故B 错误；x +y −(32+√2)=log 3k +log 4k −(32+√2)log 6klnk (1ln3+1ln4−32+√216)=lnk ⋅ln4ln6+ln3ln6−(32+√2)ln3ln4ln3ln4⋅ln6=lnk [2ln 22+ln 23+√2ln2ln3]ln3ln3ln6>0 ，故C 正确；xy2z 2=lnkln3lnkln42(lnkln6)2=12(ln6)2ln3ln4=12(ln2+ln3)22ln3，xy2z 2−1=(ln2+ln3)2−4ln2ln34ln2ln3=(ln2−ln3)24ln3>0∴xy2z 2>1，即xy >2z 2∴D 正确．【解答】解：设3x =4y =6z =k(k >1), x =log 3k,y =log 4k,z =log 6k ，易知A 选项正确；3x =log 3k 3,4y =log 4k 4,6z =log 6k 6，13x =log k 33=13log k 3=log k 3√3，14y =log k 44=14log k 4=log k 4√4，16z =log k 66=16log k 6=log k6√6，易知13x >14y >16z ，故3x <4y <6z ，B 选项不正确；x +y >(32+√2)z ⇔x +yz >32+√2，xz =log 3klog 6k =lg6lg3，yz =log 4klog 6k =lg6lg4，xz +yz =(lg2+lg3)(1lg3+12lg2)，即32+lg2lg3+1lg32lg2>32+√2，故C 选项正确；xy >2z 2⇔xz ×yz >2⇔(lg6)22lg2⋅lg3>2⇔(lg2+lg3)2>4lg2lg3，此式显然成立，D 选项正确.故选ACD.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】3或−13【考点】同角三角函数间的基本关系【解析】吧所给的等式两边平方可得：sin 2α+4cos 2α+4sinαcosα=52，把分母看做1，利用“弦化切”，化简解出即可得出tanα的值．【解答】：∵sinα+2cosα=√102，两边平方可得：sin 2α+4cos 2α+4sinαcosα=52，∴sin 2α+4cos 2α+4sinαcosαsin 2α+cos 2α=tan 2α+4+4tanαtan 2α+1=52，求得tanα＝3，或tanα=−13，14.【答案】③【考点】指数式与对数式的互化【解析】由(13)m =(14)n ，知lg(13)m =lg(14)n ，故mn =lg4lg3>1，所以当n >0时，m >0，m >n >0；当n <0时，m <0，m <n <0；当m =n =0时，式(13)m =(14)n =1成立．【解答】解：∵(13)m =(14)n ，∴lg(13)m =lg(14)n，∴−mlg3=−nlg4，∴mn =lg4lg3>1，∴当n >0时，m >0，m >n >0；当n <0时，m <0，m <n <0；当m =n =0时，式(13)m =(14)n =1成立，故①②④正确，③不正确．故答案为：③．15.【答案】①②【考点】函数恒成立问题抽象函数及其应用函数新定义问题【解析】此题暂无解析【解答】解：对于①，由f(x +a)≤f(x)+b 得2x +2a −1≤2x −1+b ，解得2a ≤b ，即当2a ≤b 时，函数f(x)=2x −1显然满足，是“控制增长函数”；对于②，当f(x)=|x |+1时，由f(x +a)≤f(x)+b 得|x +a |+1≤|x |+1+b ，即|x +a |≤|x |+b ，取a =1，b =2时，|x +1|≤|x |+1≤|x |+2，对一切x ∈R 恒成立，即函数f(x)=|x |+1是“控制增长函数”；对于③，当f(x)=2x 2−1时，由f(x +a)≤f(x)+b 得2(x +a)2−1≤2x 2−1+b ，解得4ax ≤b −2a 2.又a >0，则x ≤b −2a 24a ，故不能对一切x ∈R 恒成立，即f(x)=2x 2−1不是“控制增长函数”；对于④，若f(x)=2x −2−x 是“控制增长函数”，则存在正数a ，b 使得2x+a −2−x−a ≤2x −2−x +b 恒成立，化简得2x +2−(x+a)≤b2a −1.设g(x)=2x +2−(x+a)，x ∈R ，则g(x)=2x +2−a 2x ≥2√2−a ，即g(x)的值域为[2√2−a ,+∞)，故不等式不可能对一切x ∈R 恒成立，所以函数f(x)=2x −2−x 不是“控制增长函数”，∴是“控制增长函数”的全部正确序号是①②．故答案为：①②．16.【答案】0.41【考点】函数模型的选择与应用【解析】（1）根据题目所给信息进行求解即可.【解答】解：要使行驶航程最短，则需要船的速度和水流的速度的合速度v 垂直于对岸，此时v =√|v 1|2−|v 2|2=4√6=4×2.449=9.796 ，所以t =dv =49.796≈0.41h.故答案为：0.41.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】【考点】交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】【解答】18.【答案】解：(1)函数f(x)是R 上的偶函数．证明如下：依题意，函数f(x)的定义域为R ．对任意x ∈R ，都有f(−x)=2|−x|−1√1+(−x)2=2|x|−1√1+x 2=f(x)，即函数f(x)是R 上的偶函数．(2)函数f(x)在[0,+∞)上单调递增．因为函数f(x)为R 上的偶函数，所以f(x −1)>f(2x)等价于f(|x—1|)>f(|2x |)．因为函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，所以|x—1|>|2x |，即3x 2＋2x −1<0，解得−1<x <13，所以不等式f(x −1)>f(2x)的解集为(−1,13)．【考点】函数奇偶性的判断奇偶性与单调性的综合【解析】左侧图片未给出解析左侧图片未给出解析【解答】解：(1)函数f(x)是R 上的偶函数．证明如下：依题意，函数f(x)的定义域为R ．对任意x ∈R ，都有f(−x)=2|−x|−1√1+(−x)2=2|x|−1√1+x 2=f(x)，即函数f(x)是R 上的偶函数．(2)函数f(x)在[0,+∞)上单调递增．因为函数f(x)为R 上的偶函数，所以f(x −1)>f(2x)等价于f(|x—1|)>f(|2x |)．因为函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，所以|x—1|>|2x |，即3x 2＋2x −1<0，解得−1<x <13，所以不等式f(x −1)>f(2x)的解集为(−1,13)．19.【答案】解：(1)∵f(2)=13，f(9)=32，{2×2+a2+b=13,2×9+a9+b=32,∴代入可得方程组解得{a=−3,b=1,∴函数f(x)的解析式为f(x)=2x−3x+1.(2)f(x)在区间[0,+∞)上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[0,+∞)，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=x1−x2(x1+1)(x2+1).因为0<x1<x2，所以x1−x2<0，(x1+1)(x2+1)>0，所以f(x1)−f(x2)=x1−x2(x1+1)(x2+1)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数．【考点】函数解析式的求解及常用方法函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵f(2)=13，f(9)=32，{2×2+a2+b=13,2×9+a9+b=32,∴代入可得方程组解得{a=−3,b=1,∴函数f(x)的解析式为f(x)=2x−3x+1.(2)f(x)在区间[0,+∞)上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[0,+∞)，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=x1−x2(x1+1)(x2+1).因为0<x1<x2，所以x1−x2<0，(x1+1)(x2+1)>0，所以f(x1)−f(x2)=x1−x2(x1+1)(x2+1)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数．20.【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题分段函数的应用导数求函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】21.【答案】解析：法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款a n元（1≤n≤6），则a0=10000，a1=1.01a0−a，a2=1.01a1−a=1.012a0−(1+1.01)a．……a6=1.01a5−a=⋯=1.016a0−[1+1.01+⋯+1.015]a．由题意，可知a6=0，即1.016a0−[1+1.01+⋯+1.015]a=0，a=(1.01)6×102(1.01)6−1．因为1.016=1.061，所以a=1.061×1021.061−1≈1739．故每月应支付1739元．法二一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1=104(1+0.01)6=104×(1.01)6（元）．另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2=a(1+0.01)5+a(1+0.01)4+⋯+a=a[(1+0.01)6−1]1.01−1=a(1.016−1)×102（元）．由S1=S2，得a=(1.01)6×102(1.01)6−1≈1739．故每月应支付1739元．方法规律：解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S=P(1+r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．【考点】函数模型的选择与应用根据实际问题选择函数类型【解析】此题暂无解析【解答】略22.【答案】解：(1)当t=2时，f(x)=x+2x，则f(x)的单调递减区间为(−√2,0)，(0,√2)，单调递增区间为(−∞,−√2)，(√2,+∞).当x<0时，f(x)=x+2x=−[(−x)+2−x]≤−2√(−x)⋅2(−x)=−2√2，当且仅当−x=−2x，即x=−√2时取等号.当x>0时，f(x)=x+2x≥2√x⋅2x=2√2，当且仅当x=2x，即x=√2时取等号，故函数f(x)的值域为(−∞,−2√2]∪[2√2,+∞).(2)由题意知，函数g(x)=−4cos(x+π3).当x∈[0,π]时， x+π3∈[π3,4π3]，所以g(x)∈[−2,4]，设函数f(x)在x∈[1,2]上的值域为A，因为对任意x1∈[1,2]，总有x2∈[0,π]，使得f(x1)=g(x2)，所以A⊆[−2,4].又f(1)=1+t，f(2)=2+t2，故1+t∈[−2,4]，2+t2∈[−2,4]，解得−3≤t≤4.当−3≤t≤0时，f(x)=x+tx在[1,2]上单调递增，则有A=[1+t,2+t2]⊆[−2,4]，{1+t≥−2，2+t2≤4，可得解得−3≤t≤4，所以−3≤t≤0.当0<t≤4时，f(x)=x+tx≥2√x⋅tx=2√t，当且仅当x=√t时取等号，①当0<√t≤1，即0<t≤1时，因为f(x)在[1,2]上单调递减，所以A=[2+t2,1+t]⊆[−2,4]，{2+t2≥−2，1+t≤4，可得解得−8≤t≤3，所以0<t≤1.②当1<√t≤√2，即1<t≤2时，因为f(2)>f(1)，所以A=[2√t,2+t2]⊆[−2,4]，{2√t≥−2，2+t2≤4，可得解得0≤t≤4，所以1<t≤2.③当√2<√t≤2，即2<t≤4时，因为f(1) >f(2)，所以A=[2√t,1+t]⊆[−2,4]，可得{2√t≥−2，1+t≤4，解得0≤t≤3，所以2<t≤3.综上可得，t的取值范围为[−3,3].【考点】函数的值域及其求法函数单调性的判断与证明【解析】【解答】解：(1)当t=2时，f(x)=x+2x，则f(x)的单调递减区间为(−√2,0)，(0,√2)，单调递增区间为(−∞,−√2)，(√2,+∞).当x<0时，f(x)=x+2x=−[(−x)+2−x]≤−2√(−x)⋅2(−x)=−2√2，当且仅当−x=−2x，即x=−√2时取等号.当x>0时，f(x)=x+2x≥2√x⋅2x=2√2，当且仅当x=2x，即x=√2时取等号，故函数f(x)的值域为(−∞,−2√2]∪[2√2,+∞). (2)由题意知，函数g(x)=−4cos(x+π3).当x∈[0,π]时， x+π3∈[π3,4π3]，所以g(x)∈[−2,4]，设函数f(x)在x∈[1,2]上的值域为A，因为对任意x1∈[1,2]，总有x2∈[0,π]，使得f(x1)=g(x2)，所以A⊆[−2,4].又f(1)=1+t，f(2)=2+t2，故1+t∈[−2,4]，2+t2∈[−2,4]，解得−3≤t≤4.当−3≤t≤0时，f(x)=x+tx在[1,2]上单调递增，则有A=[1+t,2+t2]⊆[−2,4]，{1+t≥−2，2+t2≤4，可得解得−3≤t≤4，所以−3≤t≤0.当0<t≤4时，f(x)=x+tx≥2√x⋅tx=2√t，当且仅当x=√t时取等号，①当0<√t≤1，即0<t≤1时，因为f(x)在[1,2]上单调递减，所以A=[2+t2,1+t]⊆[−2,4]，{2+t2≥−2，1+t≤4，可得解得−8≤t≤3，所以0<t≤1.②当1<√t≤√2，即1<t≤2时，因为f(2)>f(1)，所以A=[2√t,2+t2]⊆[−2,4]，{2√t≥−2，2+t2≤4，可得解得0≤t≤4，所以1<t≤2.③当√2<√t≤2，即2<t≤4时，因为f(1) >f(2)，所以A=[2√t,1+t]⊆[−2,4]，可得{2√t≥−2，1+t≤4，解得0≤t≤3，所以2<t≤3.综上可得，t的取值范围为[−3,3].。
2022-2023学年人教A版高一上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知，则等于A.B.C. D.2. 已知函数，如果，其中，，则 A.B.C.D.3. 当时，下列不等式中正确的是（ ）A.B.C.D.4. 已知函数且，则（ ）=4x−23x ( )±18±84–√34±22–√3f(x)=(+x)++log a +1x 2−−−−−√1−1a x 32(a >0,a ≠1)f(b)log 3=2019b >0b ≠1f(b)=(log 13)20192017−2019−20170<a <b <1>(1−a (1−a)1b )b(1+a >(1+b )a )b(1−a >)b (1−a)b2(1−a >(1−b )a )bf (x)={−1,x ≥1,3x−1−1−(x +5),x <1，log 3f (m)=−2f (6+m)=A.B.C.D.5. 函数（实数为常数，且）的图象大致是( ) A. B. C. D.6. 若，则下列结论正确的是( )A.B.−16162627f (x)=(−cx)x 2e x c c >00<m <n >3m 3n<()12m ()12nm >nlog logC.D.7. 已知函数，若且，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.8. 已知函数，，则方程的解的个数为（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A.B.C.D.10. 下列各式错误的是（ ）A.B.C.D.m >nlog 12log 12m >nlog 3log 3f (x)=|−1|x 20<a <b f (a)=f (b)b (0,+∞)(1,+∞)(1,)2–√(1,2)f(x)= 2+4x +1,x <0x 2,x ≥02ex g(x)=−f(−x)f(x)=g(x)4321−=x −√(−x)12=(y <0)y 2−−√6y 12=(x ≠0)x −131x −√3=(x >0)[](−x)2−−−−−√334x 125⋅6=(5×6)log 2log 2log 24+5=(4+5)log 3log 3log 2⋅=(a >0)a 12a 14a 182⋅=(a >0)a −1312a −231a11. 已知函数，，下列结论正确的是( )A.B.C.D.12. 已知函数则下列结论正确的是( )A.是偶函数B.C.是增函数D.的值域为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若关于的不等式的解集是，则实数________.14. 已知幂函数的图象经过点，则的单调增区间为________．15. 若 ， ， ，则，，的大小关系是_______（用“”连接）.16. 已知函数是奇函数，且满足，若，则________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 17.计算：；化简的结果 18. 计算2af(x)=−e x e −x 2g(x)=+e x e −x 2f(−x)=−f(x)f(−2)>f(3)f(2x)=2f(x)⋅g(x)[f(x)−[g(x)=]2]21f (x)={+1，x ≥0，x 2cos x ，x <0，f (x)f (f (−π))=132f (x)f (x)[−1,+∞)x a −6x +<0x 2a 2(1,m)m =f(x)=x a (，2)2–√f(1−x)a =21.4b =80.2c =(12)−4log 2a b c >f (x)f (x +)=−f (x)52f (−1)=3f (6)=(1)(−4⋅(−2+(−12)−1)−314)09−12(2)()⋅(−3)÷()a 23b 12a 12b 1313a 16b 56.8+22−32；.19. 已知函数的定义域为．求；当时，求的值域．20. 在平面直角坐标系中，过坐标原点的一次函数的图象与函数的图象交于、两点，求线段长的最小值． 21. 某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值（值越大产品的性能越好）与这种新合金材料的含量（单位：克）的关系：当时，是的二次函数；当时，．测得部分数据如下表所示：求关于的函数关系式；求该新合金材料的含量为何值时产品的性能达到最佳.22. 已知函数是定义在上的奇函数，且.求的解析式；判断在上的单调性，并用定义加以证明．(1)8+22−log 3log 3log 3329(2) 6.25+lg +ln +log 2.51100e √21+3log 2f(x)=−+ln(−)2−x −−−−−√3+x −−−−−√3x 13M (1)M (2)x ∈M g(x)=−+14x+122x+2xOy f (x)=2x P Q PQ y y x 0≤x <7y x x ≥7y =(13)x−m x 02610⋯y −48819⋯(1)y x (2)x f (x)=x ++n (m,n ∈R)m x{x ∈R|x ≠0}f (1)=10(1)f (x)(2)f (x)(0,3)参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】有理数指数幂的化简求值【解析】本题考查指数的运算．【解答】解：∵，即，∴，∴时，；时，．故选．2.【答案】D【考点】函数的求值【解析】设＝，推导出＝，由此利用＝，，能求出的值．【解答】解：设，则，=4x −23=()x −13222=±2x −13=2x −13x =18=−2x −13x =−18A g(x)(+x)+log a +1x 2−−−−−√1−1a x g(x)+g(−x)−1f(b)log 32019lo b =−b g 13log3f(lo b)g 13g(x)=(+x)+log a +1x 2−−−−−√1−1a x g(−x)=(−x)+log a +1x 2−−−−−√1−1a −x g(x)+g(−x)，∴.∵函数，，其中，，，∴．故选.3.【答案】D【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】根据指数的单调性，即当底数大于时单调递增，当底数大于小于时单调递减，对选项逐一验证即可得到答案．【解答】解析：∵，∴，＝为减函数，又∵，∴，，∴，，∴、均错，又∵，∴，∴错．对于，，而，∴．4.【答案】C【考点】函数的求值分段函数的应用【解析】g(x)+g(−x)=(+x)+(−x)++log a +1x 2−−−−−√log a +1x 2−−−−−√1−1a x 1−1a −x =[(+x)(−x)]++log a +1x 2−−−−−√+1x 2−−−−−√1−1a x a x 1−a x =1+=0−1log a 1−a x −1a x =−1g(x)+g(−x)=−1f(x)=(+x)++log a +1x 2−−−−−√1−1a x 32(a >0,a ≠1)f(b)log 3=2019b >0b ≠1b =−b log 13log 3f(b)=−1−2019+×2=−2017log 1332D 1010<a <10<1−a <1y (1−a)x 0<b <1>b 1b b >b 2<(1−a (1−a)1b )b (1−a <)b (1−a)b 2A C 1<1+a <1+b (1+a <(1+b <(1+b )a )a )b B D (1−a >(1−a )a )b (1−a >(1−b )b )b (1−a >(1−b )a )b本题考查分段函数求值．【解答】解：若，则，方程无解；若，可得，解得，符合题意．所以．故选．5.【答案】B【考点】函数的图象【解析】本题主要通过求导判断导函数的解，从而确定极值点进行排除，然后根据取值进行筛选进行求解即可【解答】解：由函数，可得函数，令，得，即方程有个解，则原函数有个极值点，排除，；函数，当时， ，排除．故选．6.【答案】C【考点】对数值大小的比较指数函数单调性的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：，∵是单调递增函数，∴，故该选项错误；f (m)=−1=−23m−1=−13m−1f (m)=−1−(m +5)=−2log 3(m +5)=1log 3m =−2f (6+m)=f (4)=−1=2633C f (x)=(−cx)x 2e x (x)=(2x −c +−cx)f ′x 2e x 2x −c +−cx =0x 2Δ=+4c >0(2−c)222A D f (x)=(−cx)x 2e x x <0f (x)>0C B A y =3x <3m 3n =)1x)1m)1n，∵是单调递减函数，∴，故该选项错误；，∵是单调递减函数，∴，故该选项正确；，∵是单调递增函数，∴，故该选项错误.故选.7.【答案】C【考点】函数的图象【解析】由题意，先画出函数的图形，利用数形结合进行求解即可.【解答】解：由题意，画出函数的图像如图所示：已知且，当时，，解得，当时，，解得，，由图像可得.故选.8.【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】作出的图象，由题意可得和的图象关于原点对称，作出的图象，由两图象的交点个数，可得方程解的个数．【解答】B y =()12x >()12m ()12nC y =x log 12m >n log 12log 12D y =x log 3m <n log 3log 3C f(x)=|−1|x 20<a <b f(a)=f(b)y =0|−1|=0x 2x =±1y =1|−1|=1x 2x =±2–√0b ∈(1,)2–√C y =f(x)g(x)f(x)y =g(x)(x)=2+4x +1,x <02函数的图象如图所示，由，可得和的图象关于原点对称，作出的图象，可得和的图象有个交点，则方程的解的个数为（4）二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】C,D【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算【解析】根据题目所给信息利用根式与分式指数幂互化的法则，逐一进行筛选即可.【解答】解：对于选项，，故选项错误；对于选项，，故选项错误；对于选项，成立，故选项正确；对于选项，当时，，故选项正确.故选.10.【答案】A,B,C【考点】对数的运算性质有理数指数幂的化简求值【解析】由对数运算率即可验证、是否正确，由指数运算律即可验证、是否正确【解答】解：，而，不正确；f(x)= 2+4x +1,x <0x 2,x ≥02e xg(x)=−f(−x)g(x)f(x)y =g(x)y =f(x)y =g(x)4f(x)=g(x)A −=−≠x −√x 12(−x)12A B =−(y <0)y 2−−√6y 13B C =(x ≠0)x −131x −√3C D x >0[==(−x)2−−−−−√3]34[|−x ]|2334x 12D CD A B C D 5+6=(5×6)log 2log 2log 25⋅6≠5+6log 2log 2log 2log 2A 4+5=4×5≠(4+5)log log log log，不正确；，不正确；，正确.故选.11.【答案】A,C【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的性质【解析】根据函数解析式分别代入进行验证即可．【解答】解：，故正确；为增函数，则成立，故错误；，故正确；，故错误；故选．12.【答案】B,D【考点】分段函数的应用函数的值域及其求法函数奇偶性的判断【解析】当时，不单调，根据函数的奇偶性的定义知为非奇非偶函数，利用分段函数，当时，，当时，，故的值域为，可得结果.【解答】4+5=4×5≠(4+5)log 3log 3log 3log 2B ⋅==(a >0)a 12a 14a +1214a 34C 2⋅===(a >0)a −1312a −23a −−1323a −11a D ABC f(−x)=−e −x e x 2=−−e x e −x 2=−f(x)A f(x)f(−2)<f(3)B 2f(x)⋅g(x)=2×⋅−e x e −x 2+e x e −x 2=−e 2x e −2x 2=f(2x)C [f(x)−[g(x)=]2]2[f(x)+g(x)]⋅[f(x)−g(x)]=⋅(−)=e x e −x −1D AC x <0f (x)f (x)f [f (−)]=f (0)=13π2x ≥0f (x) 1x <0−1 f (x) 1f (x)[−1,+∞)f(x)解：当时，不单调，又为非奇非偶函数，故错误；，，故正确；当时，，当时，，故的值域为，故正确.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：因为的解集是，所以和是方程的两个不相等的解，且开口向上，即，解得故答案为：.14.【答案】【考点】∵x <0f(x)f (x)={+1，x ≥0，x 2cos x ，x <0f(−x)={+1，x ≤0，x 2cos x ，x >0，∴f(x)AC ∵f (−)=cos(−)=03π23π2∴f [f (−)]=f (0)=13π2B x ≥0f (x)≥1x <0−1≤f (x)≤1f(x)[−1,+∞)D BD 2a −6x +<0x 2a 2(1,m)x =1x =m a −6x +=0x 2a 2 a −6+=0，a 2a −6m +=0m 2a 2a >0m >1{a =2，m =2，2(1,+∞)幂函数的概念、解析式、定义域、值域指数函数的单调性与特殊点【解析】先根据图象所过的点求出函数解析式，再根据二次函数的图象和性质求出函数的单调增区间．【解答】解：因为幂函数的图象经过点，所以，解得，所以，，因此，其图象为抛物线，且开口向上，对称轴为，所以，函数的单调增区间为，故答案为：（也可填：））．15.【答案】【考点】不等式比较两数大小指数函数单调性的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，，，∴.故答案为：.16.【答案】【考点】函数奇偶性的性质函数的周期性f(x)=x 2f(1−x)f(x)=x a (，2)2–√(=22–√)a a =2f(x)=x 2f(1−x)=(1−x =(x −1)2)2x =1f(1−x)(1,+∞)(1,+∞)[1,+∞c >a >ba =21.4b ==80.220.6c =(==12)−4log 224log 222c >a >b c >a >b −3由已知，可推出，即是周期为的周期函数.又函数为奇函数，且，所以.【解答】解：，，即是周期为的周期函数.又函数为奇函数，且，.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：；原式.【考点】有理数指数幂的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：；原式.18.f (x +)=−f (x)52f (x +5)=−f (x +)=f (x)52f (x)5f (x)f (−1)=3f (6)=f (1)=−f (−1)=−3∵f (x +)=−f (x)52∴f (x +5)=−f (x +)=f (x)52f (x)5f (x)f (−1)=3∴f (6)=f (1)=−f (−1)=−3−3(1)(−4⋅(−2+(−12)−1)−314)09−12=2++1−1213=196(2)=−3×3×⋅a +−231216b +−121356=−9a (1)(−4⋅(−2+(−12)−1)−314)09−12=2++1−1213=196(2)=−3×3×⋅a +−231216b +−121356=−9a解：原式.原式.【考点】对数及其运算【解析】（1）原式（2）原式【解答】解：原式.原式(1)=8+4−log 3log 3log 3329=(8×4÷)log 3329=9log 3=log 332=2(2)=+++2×log 52()522log 101102log e e √23log 2=2+2++2×3log 5252log 10110log e e 12=2−2++612=132=8+24−log 3log 3log 3329=(8×4÷)log 3329=9log 3=log 332=2=+++2×log 52()522log 101102log e e √23log 2=2+2++2×3log 5252log 10110log e e 12=2−2++612=132(1)=8+4−log 3log 3log 3329=(8×4÷)log 3329=9log 3=log 332=2(2)=+++2×log 52()522log 101102log e e √23log 2=2+2++2×3log 5252log 10110log e e 122−2++61.19.【答案】解：由已知可得∴，∴；由题意，.∵，即，∴，∴当，即时，，当，即时，.故的值域为．【考点】函数的值域及其求法函数的定义域及其求法【解析】（2）讲化简，转化为二次函数的问题，利用时，考查单调性可得值域．【解答】解：由已知可得∴，∴；由题意，.∵，即，=2−2++612=132(1)⇒{ ≥0，2−x 3+x −≥0，3x 13−3<x ≤2，x ≥−1，−1≤x ≤2M =[−1,2](2)g(x)=−+14x+122x+2=2⋅−4⋅+122x 2x =2−1(−1)2x 2x ∈M −1≤x ≤2≤≤4122x =12x x =0g(x =−1)min =42x x =2g(x =17)max g(x)[−1,17]g(x)x ∈M (1)⇒{ ≥0，2−x 3+x −≥0，3x 13−3<x ≤2，x ≥−1，−1≤x ≤2M =[−1,2](2)g(x)=−+14x+122x+2=2⋅−4⋅+122x 2x =2−1(−1)2x 2x ∈M −1≤x ≤2≤41∴，∴当，即时，，当，即时，.故的值域为．20.【答案】解析一：设过坐标原点的直线方程为，则由解得交点坐标为，，即为、两点，所以线段长为，当且仅当时等号成立，故线段长的最小值是．解析二：假设直线与函数的图象在第一象限内的交点为，在第三象限内的交点为，由题意知线段的长为线段长的倍．假设点的坐标为，则当且仅当，即时，取“”号．【考点】指数函数的性质函数的图象与图象变化基本不等式及其应用【解析】此题暂无解析【解答】略21.【答案】解：当时，是的二次函数，可设，由，，可得，由，，即，①由，，可得，②由①②解得，，即有；≤≤4122x =12x x =0g(x =−1)min =42x x =2g(x =17)max g(x)[−1,17]y =kx (k >0) y =kx,y =2x (,)2k−−√k 2k −−√(−,−)2k−−√k 2k −−√P Q PQ 2≥+2k 2k −−−−−−√2=42⋅2k 2k −−−−−√−−−−−−−−√k =1PQ 4f (x)=2x P Q PQ OP 2P (,)x 02x 0|PQ|=2|OP|=2≥4+x 204x 20−−−−−−−√=x 204x 20=x 02–√=(1)0≤x <7y x y =a +bx +c (a ≠0)x 2x =0y =−4c =−4x =2y =84a +2b =12x =6y =836a +6b =12a =−1b =8y =−+8x −4(0≤x <7)x 2=(1−m当时，，由，，可得，即有.综上可得当时，，即当时，取得最大值；当时，递减，可得，即当时，取得最大值.综上可得当时产品的性能达到最佳.【考点】根据实际问题选择函数类型二次函数的性质指数函数的实际应用指数函数的定义、解析式、定义域和值域函数最值的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，是的二次函数，可设，由，，可得，由，，即，①由，，可得，②由①②解得，，即有；当时，，由，，可得，即有.x ≥7y =(13)x−m x =10y =19m =8y =((x ≥7)13)x−8y = −+8x −4，0≤x <7，x 2(，x ≥7.13)x−8(2)0≤x <7y =−+8x −4=−+12x 2(x −4)2x =4y 12x ≥7y =(13)x−8y ≤3x =7y 3x =4(1)0≤x <7y x y =a +bx +c (a ≠0)x 2x =0y =−4c =−4x =2y =84a +2b =12x =6y =836a +6b =12a =−1b =8y =−+8x −4(0≤x <7)x 2x ≥7y =(13)x−m x =10y =19m =8y =((x ≥7)13)x−8= −+8x −4，0≤x <7，2综上可得当时，，即当时，取得最大值；当时，递减，可得，即当时，取得最大值.综上可得当时产品的性能达到最佳.22.【答案】解：因为是定义在上的奇函数，所以，得．又因为，得．所以．在上单调递减．证明如下：设，则．因为，所以，，所以，即．所以在上单调递减．【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明函数解析式的求解及常用方法【解析】【解答】解：因为是定义在上的奇函数，y = −+8x −4，0≤x <7，x 2(，x ≥7.13)x−8(2)0≤x <7y =−+8x −4=−+12x 2(x −4)2x =4y 12x ≥7y =(13)x−8y ≤3x =7y 3x =4(1)f(x)=x ++n(m,n ∈R)m x {x ∈R|x ≠0}f (−x)=−f (x)n =0f (1)=1+m =10m =9f (x)=x +(x ≠0)9x(2)f (x)(0,3)0<<<3x 1x 2f()−f()=−+−x 1x 2x 1x 29x 19x 2=(−)(−9)x 1x 2x 1x 2x 1x 20<<<3x 1x 2−<0x 1x 20<<9x 1x 2>0(−)(−9)x 1x 2x 1x 2x 1x 2f ()>f ()x 1x 2f (x)(0,3)(1)f(x)=x ++n(m,n ∈R)m x {x ∈R|x ≠0}f (−x)=−f (x)f (1)=1+m =10所以，得．又因为，得．所以．在上单调递减．证明如下：设，则．因为，所以，，所以，即．所以在上单调递减．f (−x)=−f (x)n =0f (1)=1+m =10m =9f (x)=x +(x ≠0)9x(2)f (x)(0,3)0<<<3x 1x 2f()−f()=−+−x 1x 2x 1x 29x 19x 2=(−)(−9)x 1x 2x 1x 2x 1x 20<<<3x 1x 2−<0x 1x 20<<9x 1x 2>0(−)(−9)x 1x 2x 1x 2x 1x 2f ()>f ()x 1x 2f (x)(0,3)。
2022-2023学年人教A版高一上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：108 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I（选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分）1. 已知集合＝，＝，则＝（ ）A.B.C.D.2. 在中，角，，的对边分别为，，，则“”是“”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件3. 命题“”的否定是（ ）A. B. C. D.A{x∈Z|<4}x2B{−1,2}A∪B{−1}{−1,2}{−1,0,1,2}{−2,−1,0,1,2}△ABC A B C a b c a=b sin C−sin2A=sin(A−B) ( )p:∀a∈R,+a+1≥024. 已知命题 ，则为( )A.B.C.D.5. 已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于两点，则的最小值为 A.B.C.D.6. 若，，，则下列结论正确的是（ ）A.B.C.D.7. 下列四种说法正确的个数有 ①若，，为三个集合，满足 则一定有 ；②函数的图象与垂直于轴的直线的交点有且仅有一个；③若 ，则；④若函数 在 和 都为增函数，则 生 为增函数.A. 个B.个C.个D.个8. 若集合，则的真子集个数为（ ）A.个p :∀a ∈R,+a +1≥0a 2¬p ∃∈R,++1≤0a 0a 20a 0∀a ∈R,+a +1≤0a 2∃∈R,++1<0a 0a 20a 0∀a ∈R,+a +1<0a 2=16x y 2F F l M ，N −|NF|94|MF|()23−23−1313a =3log 2b =2log 3c =6log 4b <a <ca <b <cc <b <ab <c <a()A B C A ∪B =B ∩C A ⊆C x A ⊆U,B ⊆U A =(A ∩B)∪(A ∩B)∁U f(x)[a,b][b,c]f(x)[a,c]1234A ={x|−x =0}x 2A 2B.个C.个D.个二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）9. 以下说法，正确的是( )A.，使B.，函数都不是偶函数C.，，是的充要条件D.中，“”是“”的充要条件10. 下列关于空集的说法中，正确的有（ ）A.B.C.D.11. 关于的不等式的解集中恰有个整数，则可以为A.B.C.D.12. 已知，且，则下列说法中正确的有（ ）A.的最大值为B.的最大值为C.的最小值为D.的最小值为卷II （非选择题）345∃∈R x 0<+1e x 0x 0∀θ∈Rf (x)=sin(2x +θ)a b ∈R a >b a|a|>b|b|△ABC sin A +sin B =cos A +cos B C =π2∅∈∅∅⊆∅∅∈{∅}∅⊆{∅}x (ax −1)(x +2a −1)>03a ( )−121−12x >0,y >02x +y =2xy 124+x 2y 22+4x 2y 4+2x xy 4三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13. 随机变量服从正态分布，，，则的最小值为________．14. 设集合＝，若是空集，则实数的取值范围是________．15. 设集合，，，则的元素个数为________．16. 设，则的最小值是________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）17. 已知集合，．分别求，；已知集合，若，求实数的取值集合．18. 设，．若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围；已知命题：“至少存在一个实数，使不等式成立”为真，试求参数的取值范围．19. 某公司生产的商品，当每件售价为元时，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销量相应减少万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多可提高多少元？为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问该商品销售量至少应达到多少万件时，才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？ 20. 已知函数的最小值等于．（1）求的值；（2）若正数，，满足，求的最大值．21. 已知函数.当时，不等式对恒成立，求实数的取值范围；当时，解关于的不等式. 22. 已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为万元，每生产万部还需另投入万元．设X X ∼N (10,)σ2P (X >12)=m P (8≤X ≤10)=n+2m 1nA {x |+2x −a ＝0,x ∈R}x 2A a A ={1,2,3,⋯,99}B ={2x|x ∈A}C ={x|2x ∈A}B ∩C a >b >0+a 214b (a −b)A ={x |3≤≤27}3xB ={x |x >1}log 2(1)A ∩B (B)∪A ∁R (2)C ={x |1<x <a}C ⊆A a (1)p :|4x −3|≤1q :−(2a +1)x +a (a +1)≤0x 2¬p ¬q a (2)p ∈[1,2]x 0+2ax +2−a >0x 2a A 510(1)11(2)x (+x)12x 2x 4m f(x)=|x +m|−|2x −4|(m >0)3m a b c a +b +c =3m ++a −√b √c √y =a +(a +b)x −3x 2(1)a =−2a +(a +b)x −3≤b x 2∀x ∈(1,+∞)b (2)b =−3x a +(a +b)x −3<0x 240116R(x)该公司一年内共生产该款手机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且写出年利润(万元)关于年产量(万部)的函数解析式；当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．x R(x)R(x)= 400−6x,0<x ≤40，−,x >40.7400x 40000x2(1)W x (2)参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1.【答案】C【考点】并集及其运算【解析】先求出集合，再利用并集定义直接求解．【解答】∵集合＝＝，＝，∴＝．2.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由题意结合三角恒等变化化简，由等腰三角形的性质可判定充分性和必要性是否成立即可．【解答】解：在中，，，或，所以或，因此“”是““成立的充分不必要条件．故选.3.【答案】A A {x ∈Z |<4}x 2{−1,0,1}B {−1,2}A ∪B {−1,0,1,2}△ABC sin C −sin 2A =sin(A −B)⇔sin(A +B)−sin 2A =sin(A −B)⇔2cos A sin B =sin 2A =2sin A cos A ⇔sin A =sin B cos A =0a =b A =90∘a =b sin C −sin 2A =sin(A −B)AA【考点】命题的否定【解析】由全称命题的否定为特称命题可得解．【解答】由全称命题的否定为特称命题得：命题“”的否定是，，4.【答案】C【考点】全称命题与特称命题【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，命题的否定为：.故选.5.【答案】D【考点】直线与抛物线结合的最值问题根与系数的关系基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】∃>0x 0ln x 6p ∃∈R,++1<0a 0a 20a 0C =16x 2(4,0)解：由题意知，抛物线的焦点坐标为，设，，将代入抛物线方程，可得，所以，，所以.又因为，由抛物线的性质可得，故①，由①可得，故有，当且仅当时取等号.故选.6.【答案】D【考点】不等式比较两数大小【解析】根据 ，，，从而得出结论．【解答】解：∵，，，故有 ，故选．7.=16x y 2(4,0)M(,)x 1y 1N(,)x 2y2l :x =my +4=16(my +4)y 2+=16m y 1y 2=−64y 1y 2+=m +4+m +4=m(+)+8x 1x 2y 1y 2y 1y 2=16+8m 2=⋅=16x 1x 2y2116y 2216|MF|=+4,|NF|=+4x 1x 2+1|MF|1|NF|=+1+4x 11+4x 2=++8x 1x 2(+4)(+4)x 1x 2==++8x 1x 2+4(+)+16x 1x 2x 1x 214=−1|MF|141|NF|−=−1,4|MF|4|NF|−=+−1≥−1=|NF|94|MF||NF|94|NF|4313|NF|=6D a =>1lg3lg2b =<1lg2lg3c ==<=alg6lg4lg3+lg22lg2lg3+lg32lg2a =3=>1log 2lg3lg2b =2=<1log 3lg2lg3c =6==<=log 4lg6lg4lg3+lg22lg2lg3+lg32lg2lg3lg2b <c <a DC【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】解：①若，，为三个集合，满足，则一定有 ，正确；②函数的图象与垂直于，轴的直线的交点至多有一个，错误；③若则，正确；④若函数 在和都为增函数，则在为增函数，正确．故选8.【答案】B【考点】子集与真子集【解析】因为集合，则的真子集个数为．【解答】解：因为集合，则的真子集个数为．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）9.【答案】C,DA B C A ∪B =B ∩C A ⊆B ≅C A ⊆U,B ⊆U A =(A ∩B)∪(A ∩UB)f (x)[a,b][b,c]f (x)[a,c]C.A ={0,1}A −1=322A ={0,1}A −1=322B函数奇偶性的判断同角三角函数间的基本关系诱导公式绝对值不等式的解法与证明必要条件、充分条件与充要条件的判断不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：设，则，显然，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，∴，，故错误；当时，是偶函数，故错误；是的充分条件，又是的必要条件，故正确；，，即或，或(舍去).即是的充分条件.当时，，，，即是的必要条件，故正确.故选.10.【答案】f(x)=−x −1e x (x)=−1f ′e x x ∈(−∞,0)(x)<0f ′x ∈(0,+∞)(x)>0f ′∀x ∈R f(x)≥f(0)=0A ∵θ=π2f(x)=sin(2x +)=cos 2x π2B∵a >b ⇒ a >b ≥0⇒>⇒a|a|>b|b|，a 2b 2a ≥0>b ⇒a|a|≥0>b|b|，0≥a >b ⇒<⇒a ⋅(−a)>b ⋅(−b)⇒a|a|>b|b|，a 2b 2∴a >b a|a|>b|b|∵a|a|>b|b|⇒ a ≥0,b ≥0，>⇒a >b ，a 2b 2ab <0，a >0>b ，a <0,b <0，−>−⇒<⇒|a|<|b|⇒a >b ，a 2b 2a 2b 2∴a >b a|a|>b|b|C ∵sin A +sin B =cos A +cos B ∴sin A −cos A=cos B −sin B sin(A −)=sin(−B)2–√π42–√π4∴A −=−B π4π4(A −)+(−B)=ππ4π4∴A +B =π2A −B =π∴sin A +sin B =cos A +cos B ⇒A +B =⇒C =.π2π2sin A +sin B =cos A +cos B C =π2∵C =π2sin A +sin B =sin A +cos A cos A +cos B =cos A +sin A ∴C =⇒sin A +sin B =cos A +cos B π2sin A +sin B =cos A +cos B C =π2D CDB,C,D【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】略11.【答案】A,C【考点】一元二次不等式的解法【解析】利用已知条件判断的符号，求出不等式对应方程的根，然后列出不等式求解即可.【解答】解：关于的不等式的解集中恰含有个整数，可得.因为时，不等式的解集中的整数有无数个.不等式对应的方程为：，方程的根为：和.又，且，解得.当时，不等式的解集是，含有个整数：，，，满足题意；当时，不等式的解集是，含有个整数：，，，满足题意；当时，不等式的解集是，含有个整数：，，，，不满足题意；当时，不等式的解集是，含有整数个数多于个，不满足题意，所以符合条件的的解集为.故选.12.【答案】A,C,D【考点】a x (ax −1)(x +2a −1)>03a <0a ≥0(ax −1)(x +2a −1)>0(ax −1)(x +2a −1)=01a1−2a <01a1−2a ≤30>a ≥−1a =−1(−1,3)3012a =−12(−2,2)3−101a ∈(−1,−)12(,1−2a)1a 4−1012a ∈(−,0)12(,1−2a)1a4a {−,−1}12AC基本不等式基本不等式在最值问题中的应用【解析】根据均值不等式逐项分析解答【解答】解：，，，由均值不等式 ，，，当且仅当，即，时，“”成立， ，故正确；，，当且仅当，即，时，“”成立，，故错误；，由均值不等式，，当且仅当，当且仅当，即，时，“”成立，，故正确；，，，由均值不等式，，当且仅当，即时“”成立，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13.【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用正态分布的密度曲线【解析】本题考查了正态分布的概率计算，利用基本不等式求最值，属于中档题．∵x >0y >02x +y =2≤≤ab −−√a +b 2+a 2b 22−−−−−−√A ∵=1≥2x +y 22xy−−−√2x =y x =12y =1=∴xy ≤12A B ∵=1≤2x +y 24+x 2y 22−−−−−−−−√2x =y x =12y =1=∴4+≥2x 2y 2B C +=+≥2=2=44x 2y 22x 2y 22x+y −−−−√22−−√=4x 2y 2x =y x =12y =1=∴+≥44x 2y C D ∵2x +y =2∴x +=1y2(+)(x +)=2+++2x xy y 2y x x 2y x 2=2++y x x (2x +y)2y ≥2+2⋅y x x (2x +y)2y −−−−−−−−−−−−√=2+2=42x +y 2−−−−−−√=y x x (2x +y)2y x =y =23=D ACD 6+42–√+n =1由题意，得到，再利用基本不等式，得到最值．【解答】解：随机变量服从正态分布，，，，，，当且仅当且时，等号成立，的最小值为．故答案为：．14.【答案】【考点】集合的含义与表示空集的定义、性质及运算【解析】根据题意可知，一元二次方程＝无解，从而得出＝，解出的范围即可．【解答】∵集合＝，是空集，∴＝无解，∴＝，解得，∴实数的取值范围是．15.【答案】【考点】交集及其运算【解析】m +n =12∵X X ∼N (10,)σ2P(X >12)=m P(8≤x ≤10)=n ∴P(10≤X ≤12)=n ∴m +n =12∴+=2(+)(m +n)2m 1n 2m 1n=2(3++)2n m m n ≥2(3+2)⋅2n m mn−−−−−−−√=2×(3+2)2–√=6+42–√=2n m m n m +n =12∴+2m 1n 6+42–√6+42–√(−∞,−1)+2x −a x 20△4+4a <0a A {x |+2x −a ＝0,x ∈R}x 2A +2x −a x 20△4−4(−a)<0a <−1a (−∞,−1)此题暂无解析【解答】此题暂无解答16.【答案】【考点】基本不等式【解析】此题暂无解析【解答】∵，则，当且仅当时取等号．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）17.【答案】解：，，，；当时，，此时，当时，，则，综上所述，的取值范围是.【考点】集合关系中的参数取值问题交、并、补集的混合运算【解析】（1）解指数不等式我们可以求出集合，解对数不等式，我们可以求集合，再由集合补集的运算规则，求出，进而由集合交集和并集的运算法则，即可求出，；（2）由（1）中集合，结合集合，我们分和两种情况，分别求出对应的实数的取值，最后综合讨论结果，即可得到答案．2a >b >0+≥+=a 214b (a −b)a 21(a −b +b)2+≥2=2a 21a 2⋅a 21a2−−−−−−√a =2b =1>0(1)A ={x |3≤≤27}={x |1≤x ≤3}3x B ={x |x >1}={x |x >2}log 2A ∩B ={x |2<x ≤3}(B)∪A ={x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}={x |x ≤3}∁R (2)a ≤1C =∅C ⊆A a >1C ⊆A 1<a ≤3a (−∞,3]A B B ∁R A ∩B (B)∪A ∁R A C ={x |1<x <a}C =∅C ≠∅a【解答】解：，，，；当时，，此时，当时，，则，综上所述，的取值范围是.18.【答案】解：∵，，∴，解得，.∵是的必要而不充分条件，∴，推不出，可得，推不出，∴解得，∴实数的取值范围为.，.令，则即解得，故命题中，，即参数的取值范围为．【考点】根据充分必要条件求参数取值问题命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，，∴，解得，.∵是的必要而不充分条件，∴，推不出，可得，推不出，(1)A ={x |3≤≤27}={x |1≤x ≤3}3x B ={x |x >1}={x |x >2}log 2A ∩B ={x |2<x ≤3}(B)∪A ={x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}={x |x ≤3}∁R (2)a ≤1C =∅C ⊆A a >1C ⊆A 1<a ≤3a (−∞,3](1)p :|4x −3|≤1q :−(2a +1)x +a(a +1)≤0x 2p :−1≤4x −3≤1p :{x |≤x ≤1}12q :{x |a ≤x ≤a +1}¬p ¬q ¬q ⇒¬p ¬p ¬q p ⇒q q p a +1≥1,a ≤,120≤a ≤12a [0,]12(2)¬p :∀x ∈[1,2]+2ax +2−a ≤0x 2f(x)=+2ax +2−a x 2{ f(1)≤0,f(2)≤0,{ 1+2a +2−a ≤0,4+4a +2−a ≤0,a ≤−3p a >−3a (−3,+∞)(1)p :|4x −3|≤1q :−(2a +1)x +a(a +1)≤0x 2p :−1≤4x −3≤1p :{x |≤x ≤1}12q :{x |a ≤x ≤a +1}¬p ¬q ¬q ⇒¬p ¬p ¬q p ⇒q q p∴解得，∴实数的取值范围为.，.令，则即解得，故命题中，，即参数的取值范围为．19.【答案】解：设商品的销售价格提高元，则，解得，答：商品的销售价格最多提高元．由题意知，技术革新后的销售收入为万元，要使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和，则只需满足即可，其中，即，当且仅当，即时取等号.答：销售量至少应达到万件时，才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和．【考点】基本不等式在最值问题中的应用一元二次不等式的解法【解析】（2）结合基本不等式的性质即可求出函数的最值．【解答】解：设商品的销售价格提高元，则，解得，答：商品的销售价格最多提高元．由题意知，技术革新后的销售收入为万元，要使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和，则只需满足即可，其中，a +1≥1,a ≤,120≤a ≤12a [0,]12(2)¬p :∀x ∈[1,2]+2ax +2−a ≤0x 2f(x)=+2ax +2−a x 2{ f(1)≤0,f(2)≤0,{ 1+2a +2−a ≤0,4+4a +2−a ≤0,a ≤−3p a >−3a (−3,+∞)(1)a (10−a)(5+a)≥500≤a ≤55(2)mx mx =(+x)++5012x 2x4x >5m =x ++123450x ≥+2=34x ⋅1250x −−−−−−−√434x =1250xx =10m 434(1)a (10−a)(5+a)≥500≤a ≤55(2)mx mx =(+x)++5012x 2x 4x >5+2=−−−−−−−即，当且仅当，即时取等号.答：销售量至少应达到万件时，才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和．20.【答案】【考点】基本不等式基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答21.【答案】解：当时，不等式对恒成立．整理得：，因为，所以，所以，令，，．因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，所以．当时，，不等式等价于，①时，；②时，的两根为，，则；③时，当时，即时，或 ，当时，即时，，当时，即时，或．m =x ++123450x ≥+2=34x ⋅1250x −−−−−−−√434x =1250xx =10m 434(1)a =−2−2+(b −2)x −3≤b x 2∀x ∈(1,+∞)(x −1)b ≤2+2x +3x 2x ∈(1,+∞)x −1>0b ≤()2+2x +3x 2x −1mint =x −1(t >0)2+2x +3x 2x −1=2+2(t +1)+3(t +1)2t =2t ++67tt >02t +≥2=27t 2t ⋅7t−−−−−√14−−√2t =7t t =14−−√2=2+6()2+2x +3x 2x −1min 14−−√b ≤2+614−−√(2)b =−3a +(a −3)x −3<0x 2(ax −3)(x +1)<0a =0x >−1a >0(ax −3)(x +1)=0=x 13a =−1x 2−1<x <3aa <0<−13a −3<a <0x <3a x >−1=−13a a =−3≠−1x 1>−13a a <−3x <−1x>3a−∞,−1)∪(,+∞)3综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．【考点】不等式恒成立问题一元二次不等式的解法基本不等式在最值问题中的应用二次函数的性质【解析】【解答】解：当时，不等式对恒成立．整理得：，因为，所以，所以，令，，．因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，所以．当时，，不等式等价于，①时，；②时，的两根为，，则；③时，当时，即时，或 ，当时，即时，，当时，即时，或．综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；a <−3(−∞,−1)∪(,+∞)3aa =−3(−∞,−1)∪(−1,+∞)−3<a <0(−∞,)∪(−1,+∞)3aa =0(−1,+∞)(1)a =−2−2+(b −2)x −3≤b x 2∀x ∈(1,+∞)(x −1)b ≤2+2x +3x 2x ∈(1,+∞)x −1>0b ≤()2+2x +3x 2x −1mint =x −1(t >0)2+2x +3x 2x −1=2+2(t +1)+3(t +1)2t =2t ++67tt >02t +≥2=27t 2t ⋅7t−−−−−√14−−√2t =7t t =14−−√2=2+6()2+2x +3x 2x −1min 14−−√b ≤2+614−−√(2)b =−3a +(a −3)x −3<0x 2(ax −3)(x +1)<0a =0x >−1a >0(ax −3)(x +1)=0=x 13a =−1x 2−1<x <3aa <0<−13a −3<a <0x <3a x >−1=−13a a =−3≠−1x 1>−13a a <−3x <−1x>3aa <−3(−∞,−1)∪(,+∞)3aa =−3(−∞,−1)∪(−1,+∞)−∞,)∪(−1,+∞)3当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．22.【答案】解：由利润等于收入减去成本，可得当时，；当时，，∴当时，，∴时，；当时，，当且仅当，即时，.∵，∴时，的最大值为万元．【考点】函数模型的选择与应用基本不等式在最值问题中的应用【解析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．【解答】解：由利润等于收入减去成本，可得当时，；当时，，∴当时，，∴时，；当时，，当且仅当，即时，.∵，∴时，的最大值为万元．−3<a <0(−∞,)∪(−1,+∞)3aa =0(−1,+∞)(1)0<x ≤40W =xR(x)−(16x +40)=−6+384x −40x 2x >40W =xR(x)−(16x +40)=−−16x +736040000xW =−6+384x −40，0<x ≤40，x 2−−16x +7360，x >40.40000x(2)0<x ≤40W =−6+384x −40=x 2−6(x −32+6104)2x =32=W max 6104x >40W =−−16x +7360≤−2+736040000x ⋅16x 40000x−−−−−−−−−−√=16x 40000xx =50=W max 57606104>5760x =32W 6104(1)0<x ≤40W =xR(x)−(16x +40)=−6+384x −40x 2x >40W =xR(x)−(16x +40)=−−16x +736040000xW =−6+384x −40，0<x ≤40，x 2−−16x +7360，x >40.40000x(2)0<x ≤40W =−6+384x −40=x 2−6(x −32+6104)2x =32=W max 6104x >40W =−−16x +7360≤−2+736040000x ⋅16x 40000x−−−−−−−−−−√=16x 40000xx =50=W max 57606104>5760x =32W 6104。
2023-2024学年绵阳中学高一数学上学期第一学月考试卷附答案解析
2023-2024学年绵阳中学高一数学上学期第一学月考试卷满分150分，时长120分钟一､选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．下列各式中，正确的是（）①{}{}00,1,2∈；②{}{}0,1,22,1,0⊆；③{}0,1,2∅⊆；④{}0∅=；⑤{}(){}0,10,1=；⑥{}00=.A ．①②B ．②⑤C ．④⑥D ．②③2．满足条件{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆的集合A 有（）种A ．3B ．5C ．7D ．83．若{}{}2,0,1,,0a a b -=，则a b -的值是（）A ．1或2-或2B ．1或2C ．2±D ．1或2-4．设集合{}{R 11},20A x x B y y =∈-≤=-≤≤∣∣，则()R A B =ð（）A ．∅B ．{}0C ．{}0x x ∈≠R ∣D ．R5．命题“2[1,2],0x x a ∃∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（）A ．4a ≥B ．4a ≤C ．1a ≥D ．1a ≤6．设a ，b ∈R ，且0a b <<，则（）A ．11a b<B ．b a a b >C．2a b+>D ．2b aa b +>7．若下列3个关于x 的方程290x ax -+=，220x ax a +-=，()29104x a x +++=中最多有两个方程没有实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．(][),40,-∞-+∞U B ．(][),62,-∞⋃+∞C ．(][),42,-∞-+∞ D ．()4,0-8．已知0x >，0y >，且22x y +=，若21m x ym xy +≤-对任意的0x >，0y >恒成立，则实数m 的值不可能为（）A ．14B ．98C ．127D ．2二､多选题（共4小题，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，共20分）9．下列选项中正确的有（）A ．{质数}⊆{奇数}B ．集合{}1,2,3与集合{4,5,6}没有相同的子集C ．空集是任何集合的子集D ．若,A B B C ⊆⊆，则A C ⊆10．下列命题中是真命题的有（）A ．“1,1a b >>”是“1ab >”成立的充分不必要条件B ．“0a b >>”是“22a b >”成立的充要条件C ．“”a b >是“11a b <”成立的既不充分也不必要条件D ．命题“21,0x x x ∀>->”的否定是“21,0x x x ∃≤-≤”11．若不等式20ax bx c -+>的解集是(1,2)-，则下列选项正确的是（）A ．0b <且0c >B ．0a b c -+>C ．0a b c ++>D ．不等式20ax bx c ++>的解集是{|21}x x -<<12．下列不等式正确的有（）A ．若x ∈R，则函数y =2B ．4(01)y x x x =+<<最小值等于4C ．当11,11x x x >-+≥+D ．函数312(0)y x x x =--<最小值为1+三､填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．某班共40人，其中20人喜欢篮球，15人喜欢乒乓球，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数为．14．已知集合{}2|(1)320A x a x x =-+-=有且仅有两个子集，则实数=a .15．已知实数x ，y 满足14x y -≤+≤且23x y ≤-≤，则3x y +的取值范围是.16．已知关于x 的不等式2240ax x b ++≤的解集为1=x x a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭且a b >，则ab =，22a b a b +-的最小值为.四､解答题（共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，满分70分）17．已知集合{}2|20a M x x ax =-+>（a 为实数）．(1)求3M ；(2)若(,)(4,)a Mb =-∞⋃+∞，求,a b 的值；18．求解下列问题：已知a ∈R ，b ∈R ，()()37M a a =++，()()46N a a =++，()()24P b b =--．(1)比较M 与N 的大小；(2)比较3M +与3P -的大小.19．已知集合2{}2|A x a x a =-≤≤+，2{|650}B x x x =-+≥．（1）当3a =时，求A B ⋂，()R A C B ⋃；（2）若A B φ= ，求实数a 的取值范围．20．已知{}12A x x =-≤≤，()(){}110B x x m x m ⎡⎤⎡⎤=-+--≤⎣⎦⎣⎦.(1)若:p x A ∈，:q x B ∈，且p 是q的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若x A ∀∈，243x m x +≥+恒成立，求实数m 的取值范围.21．设()()212f x ax a x a =+-+-．(1)若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()()1R f x a a <-∈．22．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x 米（26x ≤≤）.(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为900(1)a x x +元(0)a >，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围.1．D【解析】理解元素与集合、集合与集合之间的关系即可判断各项的正误，进而得到正确选项.【详解】①集合之间没有属于、不属于关系，错误.②{}{}0,1,2,2,1,0是相等的，故{}{}0,1,22,1,0⊆成立，正确.③空集时任何集合的子集，正确.④{},0∅不相等，错误.⑤{}(){}0,1,0,1集合研究的元素不一样，没有相等或包含关系，错误.⑥{}00∈，元素与集合只有属于、不属于关系，错误.故选：D 2．D【分析】根据题意知集合A 必包含1,2，再根据{1,2,3,4,5}A ⊆列举出集合A 即可.【详解】因为{1,2}{1,2,3,4,5}A ⊆⊆，所以集合A 可以为{}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,5，{}{}{}{}1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5,1,2,3,4,5，共8个.故选：D.3．C【分析】根据{}{}2,0,1,,0a a b -=得到21a a b ⎧=⎨=-⎩或21a b a ⎧=⎨=-⎩，然后解方程根据元素的互异性进行取舍即可.【详解】因为{}{}2,0,1,,0a a b -=，所以①21a a b ⎧=⎨=-⎩或②21a ba ⎧=⎨=-⎩，由①得01a b =⎧⎨=-⎩或11a b =⎧⎨=-⎩，其中01a b =⎧⎨=-⎩与元素互异性矛盾，舍去，11a b =⎧⎨=-⎩符合题意，此时2a b -=，由②得11b a =⎧⎨=-⎩，符合题意，此时2a b -=-，故选：C.4．C【分析】解不等式化简集合A ，再利用交集、补集的定义求解作答.【详解】解不等式|1|1x -≤，得111x -≤-≤，即02x ≤≤，因此{|02}A x x =≤≤，所以{0}A B = ，R (){R |0}A B x x =∈≠ ð.故选：C.5．A【分析】先找到命题成立的等价条件，再分析充分不必要条件.【详解】[1,2]x ∈等价于2[1,4]x ∈，∴“2[1,2],0x x a ∃∈-≤”为真命题等价条件为[1,)a ∈+∞，∴命题“2[1,2],0x x a ∃∈-≤”是真命题的一个充分不必要条件，则a 的取值范围是[1,)+∞的真子集，故选：A 6．D【解析】由0a b <<，可得11a b >，A 错；利用作差法判断B 错；由02a b +<0>，可得C 错；利用基本不等式可得D 正确．【详解】0a b <<Q ，11a b ∴>，故A 错；0a b <<Q ，22a b ∴>，即220,0b a ab -<>，可得220b a b a a b ab --=<，b a a b ∴<，故B 错；0a b <<Q ，02a b +∴<0>，则2a b+<，故C 错；0a b <<Q ，0,0b aa b ∴>>，2b a a b +>，等号取不到，故D 正确；故选：D 7．A【分析】根据3个关于x 的方程都没有实数根求出a 的取值范围，再求其补集即可.【详解】假设3个关于x 的方程都没有实数根，则()2223608091404a a a a ⎧⎪-<⎪+<⎨⎪⎪+-⨯<⎩即66,80,42,a a a -<<⎧⎪-<<⎨⎪-<<⎩所以40a -<<，所以若这3个关于x 的方程中最多有两个方程没有实数根，则实数a 的取值范围是(][),40,-∞-+∞U .故选：A.8．B【分析】先用基本不等式求出2x y xy +的最小值，以确定1mm -的范围，再解不等式即可求出m 的范围.【详解】由条件22x y +=，得12y x +=，2121255922222x y y x y x xyy x y x y x ⎛⎫+⎛⎫=+=++=++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，912m m ∴≤-，即()79021m m -+≤-，得()()()21790210m m m ⎧--+≤⎪⎨-≠⎪⎩，解得1m <或97m ≥；故选：B.9．CD【分析】对于A ，举例判断，对于B ，根据子集的定义判断，对于C ，根据空集的性质分析判断，对于D ，根据子集的性质分析判断【详解】对于A ，因为2是质数，但2不是奇数，所以{质数}不是{奇数}的子集，所以A 错误，对于B ，因为空集是任何集合的子集，所以集合{}1,2,3与集合{4,5,6}有相同的子集为空集，所以B 错误，对于C ，因为空集是任何集合的子集，所以C 正确，对于D ，因为,A B B C ⊆⊆，所以A C ⊆，所以D 正确，故选：CD 10．AC【分析】根据特殊值、不等式的性质以及全称命题的否定逐项判断即可.【详解】对A ，由不等式的性质知：11a b >>，，则1ab >，当2a =-，2b =-，满足()()2241ab =-⨯-=>，但不满足11a b >>，，∴“1,1a b >>”是“1ab >”成立的充分不必要条件，故A 正确；对B ，由不等式的性质知：0a b >>，则22a b >，当1,0a b ==时，满足22a b >，但不满足0a b >>，“0a b ∴>>”是“22a b >”成立的充分不必要条件，故B 错误；对C ，当1,1a b ==-时，满足a b >，但11a b >，当1,1a b =-=时，满足11a b <，但a b <，∴“a b >”是“11a b <”成立的既不充分又不必要条件；故C 正确；对D ，根据全称命题的否定得其否定为“21,0x x x ∃>-≤”，故D 错误.故选：AC.11．ABD【分析】根据一元二次不等式的解集可判断出a 的正负以及,,a b c 的关系，由此可判断各选项的对错.【详解】因为20ax bx c -+>的解集为()1,2-，解集属于两根之内的情况，所以a<0，又因为0420a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩，所以2b ac a =⎧⎨=-⎩；A ．0,20b a c a =<=->，故正确；B ．因为()11,2∈-，所以0a b c -+>，故正确；C ．因为解集为()1,2-，所以0a b c ++=，故错误；D ．因为20ax bx c ++>即为2220ax ax a +->，即220x x +-<，解得()2,1x ∈-，故正确；故选：ABD.12．CD【分析】利用基本不等式的性质和对勾函数单调性依次判断选项即可.【详解】对选项A ，，令t =，则2t ≥，1y t t =+，2t ≥，根据对勾函数的单调性知：1y t t =+在()1,+∞上单调递增，min15222y ∴=+=，故A 错误；对选项B ，当()0,1x ∈时，根据对勾函数的单调性知：4y x x =+为减函数，所以145y >+=，故B 错误；对选项C ，因为1x >-，10x +>，所以11111111x x x x +=++-≥=++，当且仅当111x x +=+，即0x =时，等号成立，故C 正确；对选项D ，31211y x x=--≥=+，当且仅当32x x -=-，即2x =-时，等号成立，故D 正确.故选：CD.13．3【分析】设出喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数，根据题意，列方程即可解出答案.【详解】设喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数为x ，则2015840x +-+=，解得3x =.故答案为：3.14．1或18-【分析】结合已知条件，求出2(1)320a x x -+-=的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可.【详解】若A 恰有两个子集，所以关于x 的方程恰有一个实数解，①当1a =时，23x =，满足题意；②当0a ≠时，810a ∆=+=，所以18a =-，综上所述，1a =或18a =-.故答案为：1或18-.15．[5,6]-【分析】结合已知条件，利用不等式性质即可求解.【详解】因为14x y -≤+≤，所以2228x y -≤+≤①，又由23x y ≤-≤可得，32x y -≤-+≤-②，由①②相加可得，536x y -≤+≤，故3x y +的取值范围是[5,6]-.故答案为：[]5,6-16．24【分析】由题可得Δ=0>0a ⎧⎨⎩，从而得出,a b 的关系，然后利用基本不等式即得.【详解】因为关于x 的不等式2240ax x b ++≤的解集为1=x x a ⎧⎫-⎨⎩⎭，所以Δ=168=0>0ab a -⎧⎨⎩，所以2ab =，又a b >，0a b ->，因为()()()22222444a b ab a b a b a b a b a b a b a b -+-++===-+≥----当且仅当4a b a b -=-时取等号，所以22a b a b +-的最小值为4故答案为：2；4.17．(1)(,1)(2,)-∞⋃+∞.(2)19,22b a ==.【分析】（1）解一元二次不等式即可求解；（2）由一元二次不等式的解可知方程的根，由根与系数的关系求解.【详解】（1）由题意，{}{}23|320|(1)(2)0M x x x x x x =-+>=-->，由(1)(2)0x x -->解得1x <或2x >，所以3(,1)(2,)M =-∞+∞ .（2）因为(,)(4,)a M b =-∞⋃+∞，所以,4b 是方程220x ax -+=的两根，则+4=4=2b a b ⎧⎨⎩，解得19,22b a ==.18．(1)M N <(2)33M P +>-【分析】（1）利用作差法即可比较；（2）作差后配方再比较大小.【详解】（1）因为()()()()374630M N a a a a -=++-++=-<，所以M N <.（2）因为()()()()][()()33373243M P a a b b ⎡⎤+--=+++----⎣⎦()()222222102461110356(5)(3)1a ab b a a b b a b =++--+-=+++-=++-+2(5)0a +≥ ，2(3)0b -≥，()()3310M P ∴+--≥>，故33M P +>-.19．（1）{|11A B x x ⋂=-≤≤或}5x =，()R A C B ⋃{|15}x x =-≤≤；（2）1a <.【分析】（1）先求出集合,A B ,再利用集合的交并补运算即可；（2）利用A B φ= ，按A φ=，A φ≠分类讨论，求出a 的取值范围即可.【详解】（1）当3a =时，集合15{|}A x x =-≤≤,{|1,5}B x x x =≤≥或∴{|11,5}A B x x x ⋂=-≤≤=或，()R AC B ⋃{|15}x x =-≤≤（2）由A B φ= ，得当A φ=时，即22a a ->+时，解得a<0，符合题意；当A φ≠时，0a ≥时，2125a a ->⎧⎨+<⎩，解得01a ≤<综上可知：1a <【点睛】本题考查了集合的交并补运算，集合的包含关系，分类讨论思想，属于基础题.20．(1)[]0,1(2)25,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）求出集合B ，由题意可得出B A ，即可得出关于实数m 的不等式组，即可解出答案；（2）由参变分离法得出234m x x ≥-++，对于任意[]1,2x ∈-恒成立，利用二次函数的基本性质求出234y x x =-++在[]1,2x ∈-上的最大值，即可解出答案.【详解】（1）()(){}110B x x m x m ⎡⎤⎡⎤=-+--≤⎣⎦⎣⎦ ，且11m m -<+，{}11B x m x m ∴=-≤≤+，若:p x A ∈，:q x B ∈，且p 是q的必要不充分条件，则B A ,则1112m m -≥-⎧⎨+≤⎩且等号不同时成立，解得：01m ≤≤，即实数m 的取值范围为：[]0,1；（2）若x A ∀∈，243x m x +≥+恒成立，即234m x x ≥-++，[]1,2x ∈-，令223253424y x x x ⎛⎫=-++=--+⎪⎝⎭，[]1,2x ∈-，当32x =时，y 取最大值为254，则254m ≥，即实数m 的取值范围为：25,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.21．(1)1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)答案见解析.【分析】(1)根据给定条件利用一元二次不等式恒成立求解作答.(2)分类讨论解一元二次不等式即可作答.【详解】（1）R x ∀∈，()2f x ≥-恒成立等价于R x ∀∈，2(1)0ax a x a +-+≥，当0a =时，0x ≥，对一切实数x 不恒成立，则0a ≠，此时必有220Δ(1)40a a a >⎧⎨=--≤⎩，即203210a a a >⎧⎨+-≥⎩，解得13a ≥，所以实数a 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）依题意，()1f x a <-，可化为2(1)10ax a x +--<，当0a =时，可得1x <，当0a >时，可得1(1)0x x a +-<，又11a -<，解得11x a -<<，当a<0时，不等式2(1)10ax a x +--<可化为1()(1)0x x a +->，当1a =-时，11a -=，解得1x ≠，当10a -<<时，11a ->，解得1x <或1x a >-，当1a <-时，101a <-<，解得1x a <-或1x >，所以，当0a >时，原不等式的解集为11x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，当0a =时，原不等式的解集为{}1x x <，当10a -<<时，原不等式的解集为{|1x x <或1}x a >-；当1a =-时，原不等式的解集为{R |1}x x ∈≠；当1a <-时，原不等式的解集为1{|x x a <-或1}x >.22．(1)4米；(2)012a <<.【分析】（1）由题意得出甲工程队报价y 元关于左右两侧墙的长度x 的函数，利用均值不等式求最小值即可；（2）由题意得不等式恒成立，分离参数后，利用均值不等式求最小值即可得解.【详解】（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为x 米（26x ≤≤），底面积为12平方米，所以屋子的前面墙的长度均为12x 米（26x ≤≤），设甲工程队报价为y 元，所以12163400215037200900()7200,26y x x x x x =⨯⨯+⨯⨯+=++≤≤（元），因为16900()7200900720014400x x ++≥⨯+=，当且仅当16x x =，即4x =时等号成立，所以当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队报价最低为14400元.（2）根据题意可知16900(1)900()7200a x x x x +++>对任意的[]2,6x ∈恒成立，即2(4)(1)x a x x x ++>对任意的[]2,6x ∈恒成立，所以2(4)1x a x +<+对任意的[]2,6x ∈恒成立，因为0a >，22(4)(1)6(1)99(1)6612111x x x x x x x +++++==+++≥=+++，当且仅当911x x +=+，即2x =时等号成立，所以012a <<，故当012a <<时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功.。
2022-2023学年人教A版高一上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 设全集，，，则图中阴影部分表示的区间是（ ）A.B.C.D.2. 已知复数满足，且是纯虚数，则（ ）A.B.C.D.3. 已知平面向量，的夹角为，且，则的最小值为（ ）A.B.C.D.4. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得米内U =R A ={x |−2x ≤0}x 2B ={y |y =cos x,x ∈R}[0,1][−1,2](−∞,−1)∪(2,+∞)(−∞,−1]∪[2,+∞)z (1−i)z =2+2ai (a ∈R)z a =2−21−1a →b →120∘⋅=−1a →b →|−|a →b →6–√3–√2–√11536夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内夹谷约为（ ）A.石B.石C.石D.石5. 直线的倾斜角为（ ）A.B.C.D.6. 从点观察一轮船，开始轮船位于点北偏东的方向上，过分钟后发现轮船位于点北偏东的方向上，再过分钟后发现轮船位于点的正北方向，已知轮船一直是直线航行的，则再过（ ）时间，轮船位于点的正西方向．A.分钟B.小时C.小时D.小时7. 若函数为偶函数，为奇函数，且满足，则（ ）A.B.C.D.8. 已知，，则 A.B.C.25618108169237338x +y +1=03–√150∘120∘60∘30∘A A 60∘45A 30∘15A A 4511.52f(x)g(x)f(x)−g(x)=++1x 3x 2f(2)+g(2)=−335−5P(B |A)=310P(A)=15P(AB)=()1232233D. 9. 双曲线的顶点到其渐近线的距离等于( )A.B.C.D.10. 已知，，且，则的最大值为 A.B.C.D.11. 已知点，，，在球的表面上，平面，，若＝，＝，与平面所成角的正弦值为，则球表面上的动点到平面距离的最大值为（ ）A.B.C.D.12. 已知， ，（其中为自然对数的底数），则( )A.B.C.D.卷II （非选择题）350−=1x 24y 225–√5145–√52x >0y >0x +y =2π3z =4(sin x +sin y)+23–√()63–√623–√3A B C D O AB ⊥BCD BC ⊥CD AB 2BC 4AC ABD O P ACD 2345−4=2ln <0a 2a 2−+2=2lnb <0b 2e 2−3=ln <0c 2c 23e c <b <ab <a <ca <b <ca <c <b二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 在正项等比数列中， ，则_______.14. 在正方体中，异面直线与所成的角是________．15. 的展开式中的常数项是________．16. 定义在上的函数满足，且，则不等式的解集是________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知的内角的对边分别为,且.求角;若，求及的面积. 18. 潍坊市为切实保障疫情防控期间全市食品质量安全，采取食品安全监督抽检和第三方托管快检室相结合的方式，全面加强食品安全检验检测．据了解，潍坊市市场监管部门组织开展对全市部分生产企业、农贸市场、大型商超、餐饮服务场所生产经营的小麦粉、大米、食用油、调味品、肉制品、乳制品等与人民群众日常生活关系密切且消费量大的食品进行监督抽检．组织抽检批次，抽检种类涵盖大类个品种．全市各快检室快检批次，其中不合格批次．某快检室在对乳制品进行抽检中，发现某品牌乳制品质量不合格，现随机抽取其个批次的乳制品进行质量检测，已知其中有个批次的乳制品质量不合格．下面有两种检测方案：方案甲：逐批次进行检测，直到确定质量不合格乳制品的批次；方案乙：先任取个批次的乳制品，将他们混合在一起检测．若结果不合格，则表明不合格批次就在这个批次中，然后再逐个检测，直到能确定不合格乳制品的批次；若结果合格，则在另外个批次中，再任取个批次检测．方案乙中，任取个批次检测，求其中含有不合格乳制品批次的概率；求方案甲检测次数的分布列；判断哪一种方案的效率更高，并说明理由．19. 已知等差数列满足，数列是以为首项，公差为的等差数列．求和；若，求数列的前项和．20. 如图，直三棱柱中，，是棱的中点，.{}a n +2+=100a 25a 6a 8a 29+=a 5a 9ABCD −A 1B 1C 1D 1AB 1BC 1(x +)1x23(0,+∞)f(x)x (x)<1f ′f(1)=1f(3x −1)>ln(3x −1)+1△ABC A,B,C a,b,c (a cos C −b)=a sin C 3–√(1)A (2)a =2,b =47–√c △ABC 4008316020953513321(1)3(2)X (3){}a n (n +1)=+2n +ka n n 2{}log 2b n 11(1)a n b n (2)=⋅c n a n b n {}c n n T n ABC −A 1B 1C 1AC =BC =A 12A 1D AA 1AC ⊥BC证明：；求平面与平面所成角的余弦值.21. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时， .求抛物线的方程；若直线，且和抛物线有且只有一个公共点，试问直线（为抛物线上异于原点的任意一点）是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 22. 已知函数.若，求函数的最值；讨论函数的零点个数.(1)D ⊥DB C 1(2)BDC 1B C B 1C 1C :=2px (p >0)y 2F A C A l C B x D |FA|=|FD|A 3|FA|=4(1)C (2)//l l 1l 1C E AE A C f(x)=x −a ln x,x ∈[1,e](1)a =2f(x)(2)g(x)=xf(x)+a +1参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】Venn 图表达集合的关系及运算【解析】根据图，确定集合关系，即可得到结论．【解答】解：由可知，对应阴影部分的集合为，，，则，则，故选：．2.【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】无【解答】解：设，依题意，得故选.3.Venn Venn (A ∪B)∁U A ={x |−2x ≤0}={x |0≤x ≤2}x 2B ={y |y =cos x,x ∈R}={y |−1≤y ≤1}A ∪B ={x |−1≤x ≤2}(A ∪B)={x |x >2或x <−1}=(−∞,−1)∪(2,+∞)∁U C z =bi (1−i)×bi =2+2ai ⇒b +bi =2+2ai ⇒{⇒{b =2，b=2a b =2，a =1.C【答案】A【考点】数量积表示两个向量的夹角平面向量数量积向量的模【解析】根据平面向量的数量积的应用，利用基本不等式即可求解．【解答】解：∵平面向量，的夹角为，∴，∴，则，当且仅当时取等号，故的最小值为，故选．4.【答案】A【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征【解析】利用概率的性质能求出结果．【解答】粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，a →b →120∘⋅=||⋅||cos =−⋅||⋅||=−1a →b →a →b →120∘12a →b →||⋅||=2a →b →|−|=a →b →(−a →b →)2−−−−−−−−√=|−2⋅+|a →|2a →b →b →|2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=|+|+2a →|2b →|2−−−−−−−−−−−−−−−√≥==2||⋅||+2a →b →−−−−−−−−−−−−−−√4+2−−−−√6–√||=||=a →b →2–√|−|a →b →6–√A 153625618×=10818这批米内夹谷约为：（石）．5.【答案】A【考点】直线的一般式方程【解析】直接利用倾斜角的正切值等于斜率求解．【解答】解：设直线的倾斜角为，则．所以．故选．6.【答案】D【考点】解三角形的实际应用【解析】建立如图所示的坐标系，求出线的倾斜角，即可得出结论．【解答】解：建立如图所示的坐标系，则，，，∴，设，则，∴直线的方程为，直线的倾斜角为，∴，∴再过小时，轮船位于点的正西方向．故选：．7.【答案】A 1536×=10818256α(<α<)0∘180∘tan α=−=−13–√3–√3α=150∘A ∠DAC =30∘∠DAB =60∘BC =3CD AB =3AD D(0,1)B(,)33–√232DB y =x +13–√330∘DE =22A D【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】根据偶函数和奇函数的性质，利用条件建立方程关系进行求解．【解答】解：∵为偶函数，为奇函数，且满足，∴，即.故选.8.【答案】D【考点】条件概率与独立事件【解析】根据条件概率的公式，整理出求事件同时发生的概率的表示式，代入所给的条件概率和事件的概率求出结果．【解答】解：∵，，∴，故选．9.【答案】A【考点】点到直线的距离公式双曲线的渐近线【解析】由对称性可取双曲线的顶点，渐近线，利用点到直线的距离公式即可得f(x)g(x)f(x)−g(x)=++1x 3x 2f(−2)−g(−2)=(−2+(−2+1)3)2=−8+4+1=−3f(2)+g(2)=−3A AB A P(B/A)=310P(A)=15P(AB)=P(B/A)⋅P(A)=×=31015350D −=1x 24y 2(2,0)y =±x 12到顶点到渐近线的距离．【解答】解：因为双曲线的顶点，其渐近线方程为，则顶点到渐近线的距离．故选．10.【答案】A【考点】两角和与差的正弦公式三角函数中的恒等变换应用正弦函数的定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】解：由易知,故,由,又,所以,易知当时，−=1x 24y 2(2,0)y =±x 12d ==1+114−−−−−√25–√5A x +y =2π3y =−x 2π3z =4(sin x +sin y)+23–√=4[sin x +sin(−x)]+22π33–√=4(sin x +sin cos x −cos sin x)+22π32π33–√=4(sin x +cos x)+2323–√23–√=4sin(x +)+23–√π63–√y =−x >0⇒x <2π32π3x >0<x +<π6π65π6x +=π6π2=6ax 3–√取得最大值，.故选.11.【答案】B【考点】点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性函数单调性的性质对数的运算性质【解析】本题考查对数函数．【解答】解：，，.，，.，，.令 ，z =6z max 3–√A −4=2lna 2a 2−4=2ln a −2ln 2a 2−2ln a =4−2ln 2a 2−+2=2lnb b 2e 2−2ln b =−2b 2e 2−2ln b =−2ln e b 2e 2−3=lnc 2c 23−3=2ln c −ln 3c 2−2ln c =−2ln c 2()3–√23–√f (x)=−2ln x x 2(x >0)x)=2x −=02令得，当时，，单调递减，当时， ， 单调递增，∴，，.，.又，， ，，， ，.故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】等比数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由等比数列的性质可知，∴，∴.故答案为：.14.【答案】【考点】异面直线及其所成的角【解析】由，得到是异面直线与所成的角，由此能求出异面直线与所成的角；由，得是异面直线与所成的角，由此能求出异面直线与所成的角．(x)=2x −=0f ′2x x =10<x <1(x)<0f ′f(x)x >1(x)>0f ′f (x)f (a)=−2ln a =4−2ln 2=f (2)a 2f (b)=−2ln b =−2ln e =f (e)b 2e 2f (c)=−2ln c =−2ln =f ()c 2()3–√23–√3–√∵1<<2<e 3–√∴f (1)<f ()<f (2)<f (e)3–√∵0<a <20<b <10<c <3–√∴0<a <10<b <10<c <1∴0<b <a <c <1B 10+2+=+2+=100a 25a 6a 8a 29a 25a 5a 9a 29=100(+)a 5a 92+=10a 5a 91060∘D //A D 1A 1∠AB A 1AB 1DD 1AB 1DD 1A //D B 1C 1∠D B C 1AB 1BC 1AB 1BC 1【解答】解：如图，在正方体中，∵，∴是异面直线与所成的角，∵，∴，∴异面直线与所成的角为．故答案为：．15.【答案】【考点】二项式系数的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答16.【答案】【考点】利用导数研究函数的单调性函数单调性的性质【解析】本题主要考查函数不等式的求解，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可．【解答】ABCD −A 1B 1C 1D 1A //D B 1C 1∠D B C 1AB 1BC 1BD =D =B C 1C 1∠D B =C 160∘AB 1BC 160∘60∘(0,)23g(x)=f(x)−ln x解：令，则，∵，∴，∴，故在上递减，而，由，得，故，解得.故答案为：．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解: 由正弦定理可得，又，,即，，又.由余弦定理可得,即,解得或(舍去).故.【考点】解三角形三角函数中的恒等变换应用【解析】此题暂无解析【解答】解: 由正弦定理可得，又，,即，g(x)=f(x)−ln x(x)=(x)−g ′f ′1x x (x)−1<0f ′(x)<f ′1x (x)<0g ′g(x)(0,+∞)g(1)＝f(1)＝1f(3x −1)>ln (3x −1)+1g(3x −1)>g(1)0<3x −1<10<x <23(0,)23(1)(sin A cos C −sin B)=sin A sin C 3–√A +B +C =π,∴B =π−(A +C)∴[sin A cos C −sin(A +C)]=sin A sin C 3–√−cos A sin C =sin A sin C 3–√∵0<C <π,∴sin C >0,∴tan A =−3–√∵0<A <π,∴A =2π3(2)cos A =+−b 2c 2a 22bc−=1216+−28c 22×4×c c =2c =−6=×4×2sin =2S △ABC 122π33–√(1)(sin A cos C −sin B)=sin A sin C 3–√A +B +C =π,∴B =π−(A +C)∴[sin A cos C −sin(A +C)]=sin A sin C 3–√−cos A sin C =sin A sin C 3–√∵0<C <π,∴sin C >0,∴tan A =−3–√，又.由余弦定理可得,即,解得或(舍去).故.18.【答案】解：由方案乙可知含有不合格乳制品批次的概率.依题意知检测次数的可能取值为，，，．，，，，故方案甲检测次数的分布列为：设方案乙检测次数为，则的可能取值为，．当时的情况为先检测个批次为不合格，再从中逐一检测时，恰好次检测出，或先检测个批次为合格，再从其他个批次中取出个批次检测．则，所以．故方案乙检测次数的分布列为：，则，因为，所以方案乙的效率更高．【考点】古典概型及其概率计算公式离散型随机变量及其分布列∵0<C <π,∴sin C >0,∴tan A =−3–√∵0<A <π,∴A =2π3(2)cos A =+−b 2c 2a 22bc −=1216+−28c 22×4×c c =2c =−6=×4×2sin =2S △ABC 122π33–√(1)P ==C 24C 3535(2)X 1234P (X =1)==A 44A 5515P (X =2)==A 44A 5515P (X =3)==A 44A 5515P (X =4)==+A 44A 44A 5525X X 1234P 15151525(3)Y Y 23Y =231321P (Y =2)=×+=×C 24A 33A 351A 13×A 34A 12A 35A 2235P (Y =3)=25Y Y 23P 3525E (Y )=+=6565125E (X)=+++=152********E (Y )<E (X)离散型随机变量的期望与方差【解析】无无无【解答】解：由方案乙可知含有不合格乳制品批次的概率.依题意知检测次数的可能取值为，，，．，，，，故方案甲检测次数的分布列为：设方案乙检测次数为，则的可能取值为，．当时的情况为先检测个批次为不合格，再从中逐一检测时，恰好次检测出，或先检测个批次为合格，再从其他个批次中取出个批次检测．则，所以．故方案乙检测次数的分布列为：，则，因为，所以方案乙的效率更高．19.【答案】解：因为，所以，，，因为是等差数列，所以，(1)P ==C 24C 3535(2)X 1234P (X =1)==A 44A 5515P (X =2)==A 44A 5515P (X =3)==A 44A 5515P (X =4)==+A 44A 44A 5525X X 1234P 15151525(3)Y Y 23Y =231321P (Y =2)=×+=×C 24A 33A 351A 13×A 34A 12A 35A 2235P (Y =3)=25Y Y 23P 3525E (Y )=+=6565125E (X)=+++=152********E (Y )<E (X)(1)(n +1)=+2n +ka n n 2=a 13+k 2=a 28+k 3=a 315+k 4{}a n 2=+a 2a 1a 3+2(8+k)即，解得，所以，，．因为数列是以为首项，公差为的等差数列，所以 ，所以.由得，所以①，②，①②得，所以.【考点】数列递推式等差数列的通项公式数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以，，，因为是等差数列，所以，即，解得，所以，，．因为数列是以为首项，公差为的等差数列，所以 ，所以.由得，所以①，②，①②得，所以.20.=+2(8+k)33+k 215+k 4k =1=2a 1=3a 2=2+(n −1)=n +1a n {}log 2b n 11=1+n −1=n log 2b n =b n 2n (2)(1)=(n +1)⋅cn 2n =2×+3×+4×+⋯T n 212223+(n +1)×2n 2=2×+3×+4×+⋯T n 222324+n ×+(n +1)×2n 2n+1−−=2×++++⋯+−(n +1)×T n 212223242n 2n+1=2+−(n +1)×=−n ×2(1−)2n 1−22n+12n+1=n ×T n 2n+1(1)(n +1)=+2n +k a n n 2=a 13+k 2=a 28+k 3=a 315+k 4{}a n 2=+a 2a 1a3=+2(8+k)33+k 215+k 4k =1=2a 1=3a 2=2+(n −1)=n +1an {}log 2b n 11=1+n −1=n log 2b n =b n 2n (2)(1)=(n +1)⋅c n 2n =2×+3×+4×+⋯Tn 212223+(n +1)×2n 2=2×+3×+4×+⋯T n 222324+n ×+(n +1)×2n 2n+1−−=2×++++⋯+−(n +1)×T n 212223242n 2n+1=2+−(n +1)×=−n ×2(1−)2n 1−22n+12n+1=n ×T n 2n+1【答案】解：由直三棱柱可知，.又∵，且，，平面，∴平面.又∵平面，∴.在矩形中，，∴，从而为等腰直角三角形，∴，同理，∴，即.又，且，平面，∴平面.又∵平面，∴.如图：取的中点，则由直三棱，易得四边形为矩形，∴，.又∵，且，平面，平面，∴平面，即平面.设平面与平面所成角为，，则，设，则易得，，∴，，∴，即平面与平面所成角的余弦值为.【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的性质二面角的平面角及求法【解析】利用线面垂直的性质，即可证明线线垂直；(1)ABC −A 1B 1C 1C ⊥C 1BC AC ⊥BC AC ∩C =C C 1AC C ⊂C 1A C A 1C 1BC ⊥A C A 1C 1D ⊂C 1A C A 1C 1BC ⊥DC 1A C A 1C 1AC =A 12A 1AC =AD △ACD ∠ADC =45∘∠D =A 1C 145∘∠CD =C 190∘D ⊥CD C 1CD ∩BC =C CD BC ⊂BDC D ⊥C 1BDC BD ⊂BDC D ⊥DB C 1(2)CC 1M ABC −A 1B 1C 1ACMD AC//DM AC ⊥CM AC ⊥BC BC ∩CM =C BC ⊂B C B 1C 1CM ⊂B C B 1C 1AC ⊥B C B 1C 1DM ⊥B C B 1C 1BDC 1B C B 1C 1θθ∈(0,)π2cos θ=S △BMC 1S △BDC 1AC =BC =A =a 12A 1D =a C 12–√BD =a 3–√=×a ×a =S △BMC 11212a 2=×a ×a =S △BDC 1122–√3–√6–√2a 2cos θ===S △BMC 1S △BDC 116–√6–√6BDC 1B C B 1C 16–√6(1)(2)作出投影面，利用投影面与原平面的面积比即为二面角的余弦值，得到答案.【解答】解：由直三棱柱可知，.又∵，且，，平面，∴平面.又∵平面，∴.在矩形中，，∴，从而为等腰直角三角形，∴，同理，∴，即.又，且，平面，∴平面.又∵平面，∴.如图：取的中点，则由直三棱，易得四边形为矩形，∴，.又∵，且，平面，平面，∴平面，即平面.设平面与平面所成角为，，则，设，则易得，，∴，，∴，即平面与平面所成角的余弦值为.21.【答案】解：由题意知，由抛物线的定义知：，解得，所以抛物线的方程为.由知，设，,(2)(1)ABC −A 1B 1C 1C ⊥C 1BC AC ⊥BC AC ∩C =C C 1AC C ⊂C 1A C A 1C 1BC ⊥A C A 1C 1D ⊂C 1A C A 1C 1BC ⊥DC 1A C A 1C 1AC =A 12A 1AC =AD △ACD ∠ADC =45∘∠D =A 1C 145∘∠CD =C 190∘D ⊥CD C 1CD ∩BC =C CD BC ⊂BDC D ⊥C 1BDC BD ⊂BDC D ⊥DBC 1(2)CC 1M ABC −A 1B 1C 1ACMD AC//DM AC ⊥CM AC ⊥BC BC ∩CM =C BC ⊂B C B 1C 1CM ⊂B C B 1C 1AC ⊥B C B 1C 1DM ⊥B C B 1C 1BDC 1B C B 1C 1θθ∈(0,)π2cos θ=S △BMC 1S △BDC 1AC =BC =A =a 12A 1D =a C 12–√BD =a 3–√=×a ×a =S △BMC 11212a 2=×a ×a =S △BDC 1122–√3–√6–√2a 2cos θ===S △BMC 1S △BDC 116–√6–√6BDC 1B C B 1C 16–√6(1)F (,0)p 23+=4p 2p =2C =4x y 2(2)(1)F (1,0)A (,)(>0)x 0y 0x 0D (,0)(>0)x D x D |FA|=|FD|因为，所以，由得，故，故直线的斜率为，因为直线和直线平行，故可设直线的方程为，代入抛物线方程得,由题意知，得,设，则，，当时，,可得直线的方程为,由，整理可得,所以直线恒过点,当时，直线的方程为，过点，所以直线恒过定点.【考点】抛物线的标准方程直线与抛物线的位置关系圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】（1）由题意知，由抛物线的定义知：，求出,即可得解抛物线的方程为由（）知，设,根据已知条件可得即,即可得到直线的斜率为，根据直线和直线平行，可设直线的方程为,联立抛物线方程即可得到，再分和分类讨论求解直线的方程，即可得解直线恒过定点.【解答】解：由题意知，由抛物线的定义知：，解得，所以抛物线的方程为.由知，设，,000D D|FA|=|FD||−1|=+1x D x 0>0x D =+2x D x 0D (+2,0)x 0AB =−k AB y 02l 1AB l 1y =−x +b y 02+y −=0y 28y 08b y 0Δ=+=064y 2032b y 0b =−2y 0E (,)x E y E =−y E 4y 0=x E 4y 20≠4y 20==k AE −y E y 0−x E x 04y 0−4y 20AE y −=(x −)y 04y 0−4y 20x 0=4y 20x 0y =(x −1)4y 0−4y 20AE F (1,0)=4y 20AE x =1F (1,0)AE F (1,0)F (,0)p 23+=4p 2p =2C =4x.y 2(Ⅱ)ⅠF (1,0)A (,)(>0),D (,)(>0)x 0y 0x 0x D y 0x D =+2,x D x 0D (+2,0)x 0AB =−k AB y 02l 1AB l 1y =−x +b y 02=−,=y E 4y 0x E 4y 20≠4y 20=4y 20AE AE F (1,0)(1)F (,0)p 23+=4p 2p =2C =4x y 2(2)(1)F (1,0)A (,)(>0)x 0y 0x 0D (,0)(>0)x D x D |FA|=|FD|因为，所以，由得，故，故直线的斜率为，因为直线和直线平行，故可设直线的方程为，代入抛物线方程得,由题意知，得,设，则，，当时，,可得直线的方程为,由，整理可得,所以直线恒过点,当时，直线的方程为，过点，所以直线恒过定点.22.【答案】解：若,则令,解得，而，故函数的最小值为 ,最大值为；令因为,故，令，故问题转化为函数的零点个数；而，①当时，即，当时，，故在上单调递减，，故当，即时，在上恒成立，当时，在 内无零点；当，即，|FA|=|FD||−1|=+1x D x 0>0x D =+2x D x 0D (+2,0)x 0AB =−k AB y 02l 1AB l 1y =−x +b y 02+y −=0y 28y 08b y 0Δ=+=064y 2032b y 0b =−2y 0E (,)x E y E =−y E 4y 0=x E 4y 20≠4y 20==k AE −y E y 0−x E x 04y 0−4y 20AE y −=(x −)y 04y 0−4y 20x 0=4y 20x 0y =(x −1)4y 0−4y 20AE F (1,0)=4y 20AE x =1F (1,0)AE F (1,0)(1)a =2f(x)=x −2ln x,(x)=1f ′−,2x (x)=0f ′x =2f(1)=1,f(2)=2−2ln 2,f(e)=e −2f(x)2−2ln 21(2)g(x)=xf(x)+a +1=−ax ln x +a +1=0,x 2x >0x −a ln x +=0a +1x h(x)=x −a ln x +a +1x h(x)(x)=h ′[x −(a +1)](x +1)x 2a >e −1a +1>e x ∈(1,e)(x)<0h ′h(x)(1,e)h(1)=2+a >0,h(e)=e +−a =a(−1)+a +1e 1e e +1e h(e)>0a(−1)+e +>0,a <1e 1e +1e 2e −1h(x)>0[1,e]e −1<a <+1e 2e −1h(x)[1,e]h(e)≤0a(−1)+e +≤01e 1e≥+12即时， ,由零点存在性定理可知，此时在内有零点，因为函数在内单调递减，此时在内有一个零点；②当时，即 ，当时，在 上单调递增， ,故当，即时，，由零点存在性定理，此时在 内有零点，因为在 内单调递增，故仅有个零点；当时， ,此时在 内无零点；③当时，即，当时，，当时， ,则函数在 上单调递减，在 上单调递增，故，故，此时在内无零点.综上所述，当或 时，在 内有个零点；当时，在内无零点.【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：若,则令,解得，而，故函数的最小值为 ,最大值为；令因为,故，令，故问题转化为函数的零点个数；而，①当时，即，当时，，故在上单调递减，，故当，即时，在上恒成立，a ≥+1e 2e −1h(1)⋅h(e)≤0h(x)[1,e]h(x)[1,e]h(x)[1,e]a ≤0a +1≤1x ∈(1,e)(x)>0,h(x)h ′(1,e)h(1)=2+a,h(e)=a(−1)+e +>01e 1e h(1)=2+a ≤0a ≤−2h(1)h(e)≤0h(x)[1,e]h(x)[1,e]1−2<a ≤0[h(x)=h(1)>0]min h(x)[1,e]0<a ≤e −11<a +1≤e x ∈(1,a +1)(x)<0h ′x ∈(a +1,e)(x)>0h ′h(x)(1,a +1)(a +1,e)[h(x)=h(a +1)=a +2−a ln(a +1)≥a +2−a =2]min h(x)>0h(x)[1,e]a ≤−2a ≥+1e 2e −1g(x)[1,e]1−2<a <+1e 2e −1g(x)[1,e](1)a =2f(x)=x −2ln x,(x)=1f ′−,2x (x)=0f ′x =2f(1)=1,f(2)=2−2ln 2,f(e)=e −2f(x)2−2ln 21(2)g(x)=xf(x)+a +1=−ax ln x +a +1=0,x 2x >0x −a ln x +=0a +1x h(x)=x −a ln x +a +1x h(x)(x)=h ′[x −(a +1)](x +1)x 2a >e −1a +1>e x ∈(1,e)(x)<0h ′h(x)(1,e)h(1)=2+a >0,h(e)=e +−a =a(−1)+a +1e 1e e +1e h(e)>0a(−1)+e +>0,a <1e 1e +1e 2e −1h(x)>0[1,e]−1<a <+12当时，在 内无零点；当，即，即时， ,由零点存在性定理可知，此时在内有零点，因为函数在内单调递减，此时在内有一个零点；②当时，即 ，当时，在 上单调递增， ,故当，即时，，由零点存在性定理，此时在 内有零点，因为在 内单调递增，故仅有个零点；当时， ,此时在 内无零点；③当时，即，当时，，当时， ,则函数在 上单调递减，在 上单调递增，故，故，此时在内无零点.综上所述，当或 时，在 内有个零点；当时，在内无零点.e −1<a <+1e 2e −1h(x)[1,e]h(e)≤0a(−1)+e +≤01e 1e a ≥+1e 2e −1h(1)⋅h(e)≤0h(x)[1,e]h(x)[1,e]h(x)[1,e]a ≤0a +1≤1x ∈(1,e)(x)>0,h(x)h ′(1,e)h(1)=2+a,h(e)=a(−1)+e +>01e 1e h(1)=2+a ≤0a ≤−2h(1)h(e)≤0h(x)[1,e]h(x)[1,e]1−2<a ≤0[h(x)=h(1)>0]min h(x)[1,e]0<a ≤e −11<a +1≤e x ∈(1,a +1)(x)<0h ′x ∈(a +1,e)(x)>0h ′h(x)(1,a +1)(a +1,e)[h(x)=h(a +1)=a +2−a ln(a +1)≥a +2−a =2]min h(x)>0h(x)[1,e]a ≤−2a ≥+1e 2e −1g(x)[1,e]1−2<a <+1e 2e −1g(x)[1,e]。
2022-2023学年人教A版高一上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：108 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1. 已知集合，，则中元素的个数是（ ）A.B.C.D.2. 已知集合＝，＝，则＝（ ）A.B.C.D.3. “”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 命题：，，命题的否定为( )A.，B.，A ={(x ，y)|−=1}x 2y 2B ={(x ，y)|y =x +1}A ∩B 0123A {x ∈Z |<4}x 2B {−1,2}A ∪B {−1}{−1,2}{−1,0,1,2}{−2,−1,0,1,2}x >0x ≠0p ∀x >0>0x 3x −2p ∃x >0≤0x 3x −2∃x ≤0≤0x 3x −203C.，D.，5. 若集合，则的真子集个数为（ ）A.个B.个C.个D.个6. 在棱长为的正方体中，球同时与以为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点，若球，的半径分别为，，则( )A.B.C.这两个球的体积之和的最小值是D.这两个球的表面积之和的最小值是7. “不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A.B.C.D.8. 当时，有不等式（ ）A.B.当时，当时C.D.当时，当时二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）9. 若，，且＝，则下列不等式恒成立的是（ ）∃x >0<0x 3x −2∃x >00≤x ≤2A ={x|−x =0}x 2A 2345+13–√ABCD −A 1B 1C 1D 1O 1B O 2D 1E O 1O 2r 1r 2B =O 12–√r 1+=6r 1r 2π3–√4π−x +m >0x 2R m >140<m <1m >0m >1x ≠0<1+xe x x >0<1+x e x x <0>1+xe x >1+xe x x <0<1+x e x x >0>1+xe x a >0b >0a +b 4+≥82b 2A.B.C.D.10. 下列关于命题的结论正确的是（ ）A.命题“，或”的否定是“，或”B.若命题“，”是真命题，则实数C.若命题“，”是真命题，则实数D.命题“中，若，则”是假命题11. 若，则下列结论正确的是( )A.B.C.D.12. 设，，且，则下列说法正确的有( )A.有最大值为B.有最小值为C.有最小值为D.有最大值为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13. 已知 ，且是的充分不必要条件，则的取值范围为________．14. 若命题：“”，命题：“”，则是的________条件． （填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”）.+≥8a 2b 2≥1ab 14≥2ab−−√+≤11a 1b∀x ∈R >0x 2x ≤0∃x ∈R ≤0x 2x >0∀x ∈R+x +≥4k xk ∈[4,+∞)∃x ∈R 2sin x +3cos x =m m ∈[−,]13−−√13−−√△ABC A >B sin A >sin B <<01a 1b<a 2b 2ab <b 2a +b <0|a |+|b |>|a +b |x >0y >0x +y =4xy 4+1x 1y1+x 2y 28+x −√y √2p :|x −a|<4q :2<x <3q p a p x <1q x <0log 2p q15. 已知集合，，若，则________.16. 已知全集，，，则________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）17. 已知集合 ，集合 若 ，求；若 ，求的取值范围.18. 若，求证：．19. 已知，求证：．20. 已知，为非负实数，求证：． 21. 设函数．解不等式；当，时，证明：．22.已知实数，满足，求的最大值；已知，求的最大值；已知，求的最小值．M ={−1,a}N ={0,−2a −4}a 2M ∪N ={−1,0,−2a −4}a 2a =U ={1,2,3,4,5,6,7}A ={2,4,5}B ={1,3,5,7}(A)∩(B)=∁U ∁U A ={y |y =x,0<x <5}log 5B ={x |<x <+a},a >0.1212(1)a =32A ∪B (2)A ∩B =B a 0<a <1b b −<b 21a +1a >b >0+≥16a 216b (a −b)a b +≥(+)a 3b 3ab −−√a 2b 2f(x)=|x +2|−|x −2|(1)f(x)≥2(2)x ∈R 0<y <1|x +2|−|x −2|≤+1y 11−y(1)x y ++xy =1x 2y 2x +y (2)0<x <13y =x (1−3x)(3)x >−1y =+3x +4x 2x +1参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：由解得所以．故选．2.【答案】C【考点】并集及其运算【解析】先求出集合，再利用并集定义直接求解．【解答】∵集合＝＝，＝，∴＝．3.【答案】A {−=1，x 2y 2y =x +1{x =−1，y =0，A ∩B ={(−1，0)}B A A {x ∈Z |<4}x 2{−1,0,1}B {−1,2}A ∪B {−1,0,1,2}【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】利用充分必要条件进行判定即可.【解答】解：当时，显然成立；反之，若，则不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选.4.【答案】D【考点】命题的否定全称命题与特称命题【解析】命题：，命等价于，或，由含有量词的命题的否定可直接判断．【解答】解：在命题中，由解得或，即命题：，等价于，或，则命题的否定为，.故选.5.【答案】B【考点】子集与真子集【解析】因为集合，x >0x ≠0x ≠0x >0x >0x ≠0A p ∀x >0>0x 3x −2∀x >0x <0x >2p >0x 3x −2x <0x >2p ∀x >0>0x 3x −2∀x >0x <0x >2p ∃x >00≤x ≤2D A ={0,1}−1=32则的真子集个数为．【解答】解：因为集合，则的真子集个数为．故选．6.【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用多面体的内切球问题【解析】由题意，根据正方体的性质、球的面积和基本不等式对选项进行逐一分析，进而即可求解.【解答】解：若球与为顶点的三个面相切，以为对角线可构造一个正方体，其棱长为，所以，选项错误；同理得，，故选项错误；所以两个球的体积和为，而，所以，即，当且仅当时，等号成立，故选项正确；此时两个球的表面积之和，当且仅当时，等号成立，故选项错误.故选.7.【答案】C【考点】A −1=322A ={0,1}A −1=322B O 1B B O 1r 1B ==O 1++r 21r 21r 21−−−−−−−−−√3–√r 1A =O 2D 13–√r 2=+=O 1O 2r 1r 23–√B π(+)=π(+)(−+)43r 31r 3243r 1r 2r 21r 1r 2r 22+=r 1r 23–√(+)(−+)=(3−3)r 1r 2r 21r 1r 2r 223–√r 1r 2≥[3−3(]=3–√+r 1r 22)233–√4(+)≥π4π3r 31r 323–√==r 1r 23–√2C S =4π(+)≥4π(=3πr 21r 22+r 1r 22)2==r 1r 23–√2D C必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，不等式在上恒成立，∴，在选项中只有“”是“不等式在上恒成立”的必要不充分条件．故选．8.【答案】C【考点】不等式的概念与应用【解析】令，利用导数研究其单调性、极值等即可得出．【解答】解：令，则，解，得，函数单调递增；解，得，函数单调递减，因此当时，函数取得最小值，∴，∴时，，即．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）9.【答案】A,B【考点】不等式的基本性质【解析】本题关键是借助基本不等式及均值不等式进行变形应用，再进行大小比较，进行分析即可得到正确选项．−x +m >0x 2R ⇔1−4m <0m >14m >0−x +m >0x 2R C f(x)=−1−xe x f(x)=−1−x e x f'(x)=−1e x f'(x)>0x >0f(x)f'(x)<0x <0f(x)x =0f(x)f(x)≥f(0)=0x ≠0f(x)>0>1+x e x C∵＝，∴，．∵，，∴．∴，故选项正确（1）∵，故选项错误（2）对于选项．故选项错误．故选：．10.【答案】B,C【考点】命题的真假判断与应用命题的否定全称命题与特称命题【解析】利用命题的否定以及量词的否定，依次写出命题，判断选项求出范围，即可得到答案.【解答】解：选项，命题“，或”的否定是“，且”，故错误 ；选项，命题“，”是真命题， 若 则存在 使得 ，则命题不成立,，，，，， ，故正确；选项，命题“，”是真命题， ， ,， 故正确；选项，若，，由正弦定理，（为外接圆半径），，故为真命题，故错误.故选.11.4a +b ≥2ab −−√≤2ab −−√ab ≤4a >0b >0ab >0≥1ab 14B ≤2ab −−√C D :+==≥=11a 1b a +b ab 4ab 44D AB A ∀x ∈R >0x 2x ≤0∃x ∈R ≤0x 2x >0A B ∀x ∈R+x +≥4k x k ≤0=x 0−k −−−√+=0x 0k x 0∴k >0∴x >0>0k x ∴x +≥2=2k x x ×k x −−−−−√k −√∴2≥4k −√∴≥2k −√∴k ≥4B C ∃x ∈R 2sin x +3cos x =m 2sin x +3cos x =sin(x +φ)4+9−−−−√∵sin(x +φ)∈[−,]13−−√13−−√13−−√∴m ∈[−,]13−−√13−−√C D A >B ∴a >b a =2R sinA b =2R sinB R ∴sin A >sin B D BCA,B,C【考点】不等式的概念与应用【解析】由题意可得和为负数且，由不等式的性质逐个选项验证可得．【解答】解：∵，∴和为负数且，∴，故正确；再由不等式的性质可得，故正确；由和为负数可得，故正确；再由和为负数可得，故错误．故选.12.【答案】A,B,C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】直接利用基本不等式的常规模型判断即可，利用特殊值排除.【解答】解：由题意得，，，，，，当且仅当时，等号成立，则的最大值为，故正确；，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故正确；，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故正确；，当时，，故错误.故选.a b a >b <<01a 1b a b a >b <a 2b 2A ab <b 2B a b a +b <0C a b |a |+|b |=|a +b |D ABC ABC D x >0y >0x +y =4A xy ≤=4()x +y 22x =y =2xy 4A B +=(+)(x +y)=(2++)≥11x 1y 141x 1y 14x y y xx =y =2+1x 1y1B C ≥=8+x 2y 22()x +y 22x =y =2+x 2y 28C D x =y =2+=+>2x −√y √2–√2–√D ABC三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13.【答案】【考点】根据充分必要条件求参数取值问题【解析】本题考查不等式的求解．【解答】解：由得，又是的充分不必要条件，∴且等号不能同时成立，得．故答案为：．14.【答案】必要不充分【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】求出命题成立时的范围，然后通过充要条件的判断方法判断即可．【解答】解：因为命题：“”，所以，显然命题：“”命题：“”，时不一定满足；所以是的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．15.【答案】或【考点】[−1,6]|x −a|<4−4+a <x <a +4q p {−4+a ≤23≤a +4−1≤a ≤6[−1,6]P x q x <0log 20<x <1q x <0log 2⇒p x <1x ∈p x q p q 04并集及其运算集合关系中的参数取值问题【解析】【解答】解：由题意可得 或，解得或或.当时，，，则，故符合题意；当时，不满足集合元素的互异性，故不符合题意；当时，，，则，故符合题意．综上，或.故答案为：或.16.【答案】【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）17.【答案】解：因为 ,所以 .故.因为 ，所以 ，则，即，a =0a =−2a −4a 2a =0a =−1a =4a =0M ={−1,0}N ={0,−4}M ∪N ={−1,0,−4}a =0a =−1a =−1a =4M ={−1,4}N ={0,4}M ∪N ={−1,0,4}a =4a =0a =404(1)A ={y |y <1}a =32B ={x |<x <2}12A ∪B ={x |x <2}(2)A ∩B =B B ⊆A +a ≤112a ≤12又，故的取值范围为 .【考点】其他不等式的解法并集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】解：因为 ,所以 .故.因为 ，所以 ，则，即，又，故的取值范围为 .18.【答案】证明．又，所以．于是．所以．a >0a (0,]12(1)A ={y |y <1}a =32B ={x |<x <2}12A ∪B ={x |x <2}(2)A ∩B =B B ⊆A +a ≤112a ≤12a >0a (0,]12>=1a +11+11b 1b +11>1−=(1+b)(1−b)b 2>1−b 11+b >b (1−b)=b −b 1+b b 2>>b −1a +1b b +1b 2−<1故．【考点】不等式比较两数大小不等式的概念与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】证明一：∵，∴．∴．当且仅当且时，取“”．即当且时“”号成立．证明二：∵，∴，．当且时取等号，∴．当，时，等号成立．【考点】不等式的基本性质不等式的概念与应用【解析】此题暂无解析【解答】b −<b 21a +1a >b >0a −b >0+=+a 216b (a −b)[(a −b)+b]216b (a −b)≥[2+(a −b)]−−−−−−√]216b (a −b)=4(a −b)b +16b (a −b)≥4×2=16(a −b)b ×4b (a −b)−−−−−−−−−−−−−−−−√a −b =b >0(a −b)b =>04b (a −b)=a =22–√b =2–√=a >b >0a −b >0b (a −b)≤=()a 22a 24a =2b +≥+=+≥2=16a 216b (a −b)a 216a 24a 264a 264−−√a =22–√b =2–√略20.【答案】证明：由，为非负实数，作差得当时，，从而，得；当时，从而，得；所以．【考点】基本不等式不等式比较两数大小不等式的概念与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答21.【答案】解：由已知可得：当时，成立；当时，，即有，则．当时，，即 不成立.故的解集为．证明：由知，，∵，则a b +−(+)a 3b 3ab −−√a 2b 2=(−)+(−)a 2a −√a −√b √b 2b √b √a −√=(−)[−]a −√b √()a −√5()b √5a ≥b ≥a −√b √≥()a −√5()b √5(−)[−]≥0a −√b √()a −√5()b √5a <b ，<a −√b √<()a −√5()b √5(−)[−]>0a −√b √()a −√5()b √5+≥(+)a 3b 3ab −−√a 2b 2(1)f(x)= 4,x ≥2,2x,−2<x <2,−4,x ≤−2,x ≥24>2−2<x <22x ≥2x ≥11≤x <2x ≤−2−4<2f(x)≥2f(x)≥2{x |x ≥1}(2)(1)|x +2|−|x −2|≤40<y <1+=(+)[y +(1−y)]1y 11−y 1y 11−y 2++≥2+2=41−y，当且仅当，即时，等号成立,∴．【考点】绝对值不等式的解法与证明基本不等式【解析】运用绝对值的定义，去掉绝对值，得到分段函数，再由各段求范围，最后求并集即可；由分段函数可得的最大值，再由基本不等式求得的最小值，即可得证．【解答】解：由已知可得：当 时，成立；当 时，，即有，则．当 时，，即 不成立.故 的解集为．证明：由知，，∵，则 ，当且仅当，即时，等号成立,∴．22.【答案】解：∵，∴，即，当且仅当且，即时，等号成立，的最大值为．∵，∴，=2++≥2+2=41−y y y 1−y =1−y y y 1−y y =12|x +2|−|x −2|≤+1y 11−y (I)(II)f(x)+1y 11−y(1)f(x)=4,x ≥2,2x,−2<x <2,−4,x ≤−2,x ≥24>2−2<x <22x ≥2x ≥11≤x <2x ≤−2−4<2f(x)≥2f(x)≥2{x |x ≥1}(2)(1)|x +2|−|x −2|≤40<y <1+=(+)[y +(1−y)]1y 11−y 1y 11−y =2++≥2+2=41−y y y 1−y =1−y y y 1−y y =12|x +2|−|x −2|≤+1y 11−y (1)1=++xy =−xyx 2y 2(x +y)2≥−(x +y)2()x +y 22≤(x +y)243x +y ≤23–√3x =y >0++xy =1x 2y 2x =y =3–√3x +y 23–√3(2)0<x <131−3x >0=x (1−3x)=⋅3x ⋅(1−3x)1．当且仅当，即时，取等号，∴当时，函数取得最大值．∵，∴，，当且仅当时，即时，函数的最小值为．【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】无无无【解答】解：∵，∴，即，当且仅当且，即时，等号成立，的最大值为．∵，∴，．当且仅当，即时，取等号，∴当时，函数取得最大值．∵，y =x (1−3x)=⋅3x ⋅(1−3x)13≤=13[]3x +(1−3x)221123x =1−3x x =16x =16112(3)x >−1x +1>0y =+3x +4x 2x +1=+(x +1)+2(x +1)2x +1=x +1++12x +1≥2+12–√x +1=2x +1x =−12–√y 2+12–√(1)1=++xy =−xy x 2y 2(x +y)2≥−(x +y)2()x +y 22≤(x +y)243x +y ≤23–√3x =y >0++xy =1x 2y 2x =y =3–√3x +y 23–√3(2)0<x <131−3x >0y =x (1−3x)=⋅3x ⋅(1−3x)13≤=13[]3x +(1−3x)221123x =1−3x x =16x =16112(3)x >−1∴，，当且仅当时，即时，函数的最小值为．x +1>0y =+3x +4x 2x +1=+(x +1)+2(x +1)2x +1=x +1++12x +1≥2+12–√x +1=2x +1x =−12–√y 2+12–√。
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2022-2023学年高中高一上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 设全集，已知集合，，则如图所示的阴影部分的集合等于( )A.B.{}C.D.2. 已知，且，那么角是 A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3. 圆的半径变为原来的倍，而弧长也增大到原来的倍，则（ ）A.扇形的面积不变B.扇形的圆心角不变C.扇形的面积增大到原来的倍D.扇形的圆心角增大到原来的倍4. 函数的单调递增区间为( )U ={0,1,2,3,4}A ={0,1,2}B ={0,2,3}{0,2}3{3,4}{1,4}tan x >0sin x +cos x >0x ()2222f(x)=ln(−2x)x 2(2,+∞)D.5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D.6. 已知， ， ，则 A.B.C.D.7. 若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）(−∞,0)f (x)=(−)⋅sin x e x e −x a =3log 2b =3log 12c =312()c >b >ac >a >ba >b >ca >c >bf (x)={−+2ax −2a,x ≥1,x 2ax +1,x <1(−∞,+∞)a (−2,0)D.8. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 设，，为复数， ．下列命题中正确的是( )A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10. 已知函数，则下列说法正确的是( )A.函数是偶函数B.函数是奇函数C.函数在上为增函数D.函数的值域为11. 记函数在区间内的零点个数为，则下列是数列中的项的是( )A.B.C.D.(−∞,0)f(x)= |−1|，x <22x ，x ≥23x −1f(x)−a =0a (0,1)(0,2)(0,3)(1,3)z 1z 2z 3≠0z 1||=||z 2z 3=±z 2z 3=z 1z 2z 1z 3=z 2z 3=|z 1z 2z 1|2=z 1z 2=z ¯¯¯2z 3||=||z 1z 2z 1z 3f (x)=(1+)−xlog 24x f (x)f (x)f (x)(−∞,0]f (x)[1,+∞)f (x)=sin 2nx −cos nx[0,π](n ∈)a n N ∗{}a n 1617181912. 定义在上的函数满足，且当时， ．若，则实数的取值可能是（ ）A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知集合，则子集的个数为________.14. 与终边相同的最小正角是________．15. 已知，，则________．16. 函数，如果方程＝有四个不同的实数解、、、，则＝________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 17. 已知集合，，全集.当时，求和；若，求实数的取值范围．18. 已知二次函数＝，对称轴为直线＝，且＝．（1）若函数的最小值为，求的解析式；（2）函数的最小值记为，求函数＝的最大值． 19. 已知幂函数在上是单调递减函数．求的值；若在区间上恒成立，求实数的取值范围．R f (x)f (x)−f (−x)=2sin x x ≥0(x)>1f ′f (t)−f (−t)≤sin t −cos t π2t π6π4π3π2A ={−1,2,3,6},B ={x|−2<x <3}A ∩B −π334sin α=5–√5≤α≤ππ2tan α=f(x)={ |x |,x ≤1(x −2,x >1)2f(x)b x 1x 2x 3x 4+++x 1x 2x 3x 4A ={x |a −1≤x ≤2a +3}B ={x |−2≤x ≤4}U =R (1)a =2A ∪B (A)∩B ∁R (2)A ∩B =A a f(x)a +bx +c(a >0)x 2x 2f(0)1f(x)−1f(x)f(x)g(a)H(a)a ⋅g(a)f (x)=(m ∈Z)x +4m+3m 2(0,+∞)(1)m (2)g(x)=(+a)f (x)≥2x 2[2,3]a (x)=a −(x ∈R)220. 设是实数，已知奇函数.求的值；证明函数在上是增函数；若对任意的，不等式有解，求的取值范围． 21. 下图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形，上部是圆弧，该圆弧所在圆的圆心为，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗（其中，在圆弧上，，在弦上），过作，交 于，交于，交圆弧于，已知，（单位：），记通风窗的面积为（单位：）按下列要求建立函数关系式：①设，将表示成的函数；②设，将表示成的函数；试问通风窗的高度为多少时，通风窗的面积最大？22. 已知二次函数＝的两个零点，，且＝．求的取值范围；若，且函数＝在区间上的最大值为，试判断点是否在直线＝上？并说明理由．a f (x)=a −(x ∈R)2+12x (1)a (2)f (x)R (3)t ∈R f (−2t)+f (2−k)<0t 2t 2k ABCD AB O EFGH E F AB G H AB O OP ⊥AB AB M EF N AB P OP =10MP =6.5m EFGH S m 2(1)∠POF =θ(rad)S θMN =x(m)S x (2)MN EFGH f(x)a +bx +c x 2x 1x 2f(1)2a (1)b a(2)a >c g(x)f(x −)+f(x −)x 1x 2[0,1]2a(a,b)x +y 1参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】Venn 图表达集合的关系及运算【解析】考查用韦恩图表示集合及集合的补集与交集运算．【解答】解：因为，，，所以阴影部分表示的集合为．故选．2.【答案】A【考点】三角函数值的符号象限角、轴线角【解析】由，可得的终边在第一或第三象限．再由且，可得则的终边只能在第一象限．【解答】解：∵，可得的终边在第一或第三象限，与同号，再由，可得则的终边只能在第一象限，不能在第三象限(第三象限内，，).故选．3.【答案】U ={0,1,2,3,4}A ={0,1,2}B ={0,2,3}(A)∩B ={3}∁U B tan α>0αsin α+cos α>0αtan x >0x sin x cos x sin x +cos x >0x sin x <0cos x <0AB【考点】扇形面积公式弧长公式【解析】设原来的半径和弧长分别为和，则扩大后分别变为，，由面积公式和圆心角的定义验证选项即可．【解答】解：设原来的半径和弧长分别为和，则扩大后分别变为，，∴原扇形的面积为，后来，面积变为原来的倍，故和错误；原扇形的圆心角为，后来为，故选：．4.【答案】A【考点】对数函数的单调区间复合函数的单调性【解析】根据复合函数的同增异减原则，函数的增区间即的单调减区间．【解答】解：函数的定义域为：，设，求函数的单调增区间，即求的单调增区间，又的单调增区间为，所以函数的单调增区间为.故选．5.【答案】D【考点】r l 2r 2l r l 2r 2l lr 12⋅2l ⋅2r =2lr 124A C l r =2l 2r l r B u =−2x x 2f(x)=ln(−2x)x 2(2,+∞)∪(−∞,0){y =ln u u =−2xx 2f(x)=ln(−2x)x 2u =−2x x 2u =−2x x 2(2,+∞)f(x)=ln(−2x)x 2(2,+∞)A函数的图象与图象变化函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：函数为偶函数，排除，当时，.故选.6.【答案】B【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】本题考查了利用对数及指数函数的性质比较大小，属于基础题.根据对数及指数函数的性质即可解答.【解答】解：因为，即，又，所以，因为，，所以.故选.7.【答案】B【考点】分段函数的应用已知函数的单调性求参数问题【解析】f(−x)=(−)⋅sin(−x)=−(−)⋅(−sin x)e −x e x e x e −x =(−)⋅sin x =f(x)e x e −x B ，C x =π2f (x)>0D a =3>2=1log 2log 2a >1a =3<=1.6log 2log 22851<a <1.6b =3<1=0log 12log 12c ==>1.73123–√c >a >b B (x)={−+2ax −2a,x ≥1,2若函数是上的减函数，则函数在每一段上均为减函数，且在时，前一段的函数值不小于后一段的函数值，进而构造关于的不等式，解得实数的取值范围.【解答】解：若函数是上的减函数，则解得：.故选.8.【答案】A【考点】根的存在性及根的个数判断【解析】根据分段函数的解析式，作出分段函数的图象，方程有三个不同的实数根，即为函数的图象与的图象有三个不同的交点，结合函数的图象即可求得实数的取值范围．【解答】解：∵函数函数，∴作出函数的图象如图所示，∵方程有三个不同的实数根，则函数的图象与的图象有三个不同的交点，根据图象可知，的取值范围为．故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.f (x)={−+2ax −2a,x ≥1,x 2ax +1,x <1,(−∞,+∞)x =1a a f (x)={−+2ax −2a,x ≥1,x 2ax +1,x <1,(−∞,+∞) a <0,a ≤1,a +1≥−1,a ∈[−2,0)B f(x)f(x)−a =0y =f(x)y =a a f(x)= |−1|，x <22x ，x ≥23x −1f(x)f(x)−a =0y =f(x)y =a a 0<a <1A【答案】B,D【考点】命题的真假判断与应用共轭复数复数的模复数代数形式的混合运算【解析】举反例说明错误，利用复数的运算得到正确.【解答】解：，设，（其中）∴，显然不成立，故错误；，若，则，又∵，∴，故正确；，设，（其中），∴ ，显然不成立，故错误；，若，则，又∵，∴，∴，故正确.故选．10.【答案】A,D【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】由，判断是偶函数；AD BC A =a +bi z 2=b +ai z 3a ≠b ||=||=z 2z 3+a 2b 2−−−−−−√=±z 2z 3A B =z 1z 2z 1z 3(−)=0z 1z 2z 3≠0z 1=z 2z 3B C =ai z 1=−ai z2a ≠0=|=z 1z 2z 1|2a 2=z 1z2C D =z ¯¯¯2z 3||=||=||z 2z 2¯¯¯¯¯z 3≠0z 1||⋅||=||⋅||z 1z 2z 1z3||=||z 1z 2z 1z 3D BD f (−x)=(1+)+x =(1+)−x =f (x)log 214x log 24x f (x)(−1)=>1=f (0)5由判断函数的值域为）【解答】解：∵，∴函数是偶函数，故选项正确，选项错误；则，故选项错误，选项正确．故选．11.【答案】A,D【考点】函数的零点函数的零点与方程根的关系函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】解：令，得，∴或．又，若，则，，，，，，共个解；若，则，或，，当为奇数时，；当为偶数时，．故当时，；当时，．故选．12.【答案】A,B【考点】f (−1)=>1=f (0)log 252f (x)[1,+∞f (−x)=(1+)+x =(1+)−x =f (x)log 214xlog 24x f (x)A B f (−1)=>1=f (0)log 252C D AD f (x)=02sin nx cos nx =cos nx cos nx =0sin nx =12nx ∈[0,nπ]cos nx =0nx =+kππ2k =012⋯n −1n sin nx =12nx =+2kππ60≤k ≤−n 2112nx =+2kπ5π60≤k ≤−n 2512n =n ++1++1=2n +1a n n −12n −12n =n ++=2n a n n 2n 2n =8=16a 8n =9=19a 9AD利用导数研究函数的单调性奇偶性与单调性的综合【解析】无【解答】解：设，由得，即 ，是偶函数，又，而时， ，所以，在递增，则其在上递减．化为，即，所以，解得．均满足．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】子集与真子集的个数问题交集及其运算【解析】先求出中的元素个数，即可求解【解答】解：已知，∴.∵共两个元素，∴子集的个数为.故答案为：.14.【答案】g(x)=f (x)−sin x f (x)−f (−x)=2sin x f (x)−sin x =f (−x)+sin x =f (−x)−sin(−x)g(x)=g(−x)g(x)(x)=(x)−cos x g ′f ′x ≥0f (x)>1(x)=(x)−cos x >0g ′f ′g(x)(0,+∞)(−∞,0)f (t)−f (−t)≤sin t −cos t π2f (t)−sin t ≤f (−t)−sin(−t)π2π2g(t)≤g(−t)π2|t|≤−t ∣∣π2∣∣t ≤π4AB AB 4A ∩B A ={−1,2,3,6},B ={x|−2<x <3}A ∩B ={−1,2}A ∩B ={−1,2}=4224π74【考点】终边相同的角【解析】直接把给出的角化为的整数倍加间的一个正角的形式得答案．【解答】解：由．所以与终边相同的最小的正角是．故答案为：．15.【答案】【考点】三角函数的化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】求出余弦函数值，然后求解正切函数值即可．【解答】解：，，可得，．故答案为：．16.【答案】【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】作出的图象，由题意可得＝和＝的图象有个交点，不妨设，由、2π[0,2π)−π=π=−10π+π334−40+7474−π334π74π74−12sin α=5–√5≤α≤ππ2cos α=−=−1−αsin 2−−−−−−−−√25–√5tan α==−sin αcos α12−124f(x)y f(x)y b 4<<<x 1x 2x 3x 4x 1(2,0)关于原点对称，、关于对称，计算即可得到所求和．【解答】作出函数的图象，方程＝有四个不同的实数解，等价为＝和＝的图象有个交点，不妨设它们交点的横坐标为、、、，且，由、关于原点对称，、关于对称，可得＝，＝，则＝．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：当时，，则.；.∵，∴.①若，则，解得，符合题意；②若，由，得到解得：.综上：的取值范围是．【考点】集合关系中的参数取值问题交、并、补集的混合运算【解析】（1）把代入确定出，求出和即可；（2）由与的交集为，得到为的子集，分为空集与不为空集两种情况求出的范围即可．【解答】解：当时，，则.；.x 2x 3x 4(2,0)f(x)={ |x |,x ≤1(x −2,x >1)2f(x)b y f(x)y b 4x 1x 2x 3x 4<<<x 1x 2x 3x 4x 1x 2x 3x 4(2,0)+x 1x 20+x 3x 44+++x 1x 2x 3x 44(1)a =2A ={x |1≤x ≤7}A ∪B ={x |−2≤x ≤7}A ={x |x <1或x >7}∁R (A)∩B ={x |−2≤x <1}∁R (2)A ∩B =A A ⊆B A =∅a −1>2a +3a <−4A ≠∅A ⊆B a −1≤2a +3,a −1≥−2,2a +3≤4,−1≤a ≤12a (−∞,−4)∪[−1,]12a =2A A A ∪B (A)∩B ∁R A B A A B A A a (1)a =2A ={x |1≤x ≤7}A ∪B ={x |−2≤x ≤7}A ={x |x <1或x >7}∁R (A)∩B ={x |−2≤x <1}∁R (2)A ∩B =A∵，∴.①若，则，解得，符合题意；②若，由，得到解得：.综上：的取值范围是．18.【答案】因为对称轴为直线＝，所以，则＝．又＝，所以＝．∴＝＝因为，所以当＝时有最小值＝，所以，∴．由（1）知＝＝．∴＝＝．∴，∴的最大值为．【考点】函数的最值及其几何意义函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）有条件知对称轴为直线＝，所以，则＝，由＝，得＝，用待定系数法设＝，再由函数的最小值为，解得的值即可．（2）由（1）可得＝＝．故＝，故配方法可求的最大值．【解答】因为对称轴为直线＝，所以，则＝．又＝，所以＝．∴＝＝因为，所以当＝时有最小值＝，所以，∴．由（1）知＝＝．∴＝＝．∴，(2)A ∩B =A A ⊆B A =∅a −1>2a +3a <−4A ≠∅A ⊆B a −1≤2a +3,a −1≥−2,2a +3≤4,−1≤a ≤12a (−∞,−4)∪[−1,]12f(x)x 2−=2b 2a b −4a f(0)1c 1f(x)a −4ax +1x 2a(x −2+1−4a)2a >0x 2f(x)1−4a −1a =12f(x)=−2x +112x 2f(x)a −4ax +1x 2a(x −2+1−4a )2g(a)f(2)1−4a H(a)=a(1−4a)=−4(a −+18)2116a ∈(0,+∞)H(a)116f(x)x 2−=2b 2a b −4a f(0)1c 1f(x)a −4ax +1x 2f(x)−1a f(x)a −4ax +1x 2a(x −2+1−4a )2g(a)1−4a H(a)f(x)x 2−=2b 2a b −4a f(0)1c 1f(x)a −4ax +1x 2a(x −2+1−4a)2a >0x 2f(x)1−4a −1a =12f(x)=−2x +112x 2f(x)a −4ax +1x 2a(x −2+1−4a )2g(a)f(2)1−4a H(a)=a(1−4a)=−4(a −+18)2116a ∈(0,+∞)1∴的最大值为．19.【答案】解：在区间上是单调递减函数，则，解得.又，所以 .由知，则，所以在上恒成立.则，可知当时，，所以实数的取值范围是 .【考点】幂函数的性质一元二次不等式的解法函数恒成立问题二次函数在闭区间上的最值【解析】【解答】解：在区间上是单调递减函数，则，解得.又，所以 .由知，则，所以在上恒成立.则，可知当时，，所以实数的取值范围是 .20.【答案】解：根据题意， 为上的奇函数，则，解得，当时， 为奇函数，H(a)116(1)f(x)=x +4m+3m 2(0,+∞)+4m +3<0m 2−3<m <−1m ∈Z m =−2(2)(1)f(x)=x −1g(x)=x +a x x +≥2a x x ∈[2,3]a ≥2x −=−(x −1+1x 2)2x =2a ≥(2x −=0x 2)max a [0,+∞)(1)f(x)=x +4m+3m 2(0,+∞)+4m +3<0m 2−3<m <−1m ∈Z m =−2(2)(1)f(x)=x −1g(x)=x +a xx +≥2a x x ∈[2,3]a ≥2x −=−(x −1+1x 2)2x =2a ≥(2x −=0x 2)max a [0,+∞)(1)f (x)R f (0)=a −=02+120a =1a =1f (x)=1−=2+12x −12x+12x所以符合题意，故.证明：由的结论可知， ，设，则，又，则， ， ，则，则函数在上是增函数.解：根据题意， 为奇函数，则不等式化为 ，即，又为增函数，则，变形可得，当时， 有最小值，故，故的取值范围为.【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明奇偶性与单调性的综合【解析】利用奇函数的性质，即可得出答案；利用单调性的定义证明即可；利用奇函数，偶函数得性质，即可得出答案.【解答】解：根据题意， 为上的奇函数，则，解得，当时， 为奇函数，所以符合题意，故.证明：由的结论可知， ，设，则，又，则， ， ，则，a =1(2)(1)f (x)=1−2+12x <x 1x 2f ()−f ()=(1−)−(1−)x 1x 22+12x 12+12x 2=2(−)2x 12x 2(+1)(+1)2x 12x 2<x 1x 2(−)<02x 12x2+1>02x 1+1>02x 2f ()−f ()<0x 1x 2f (x)R (3)f (x)f (−2t)+f (2−k)<0t 2t 2f (−2t)<−f (2−k)t 2t 2f (−2t)<f (k −2)t 2t 2f (t)−2t <k −2t 2t 23−2t <k t 2t =133−2t t 2−13k >−13k (−,+∞)13(1)(2)(3)(1)f (x)R f (0)=a −=02+120a =1a =1f (x)=1−=2+12x −12x+12x a =1(2)(1)f (x)=1−2+12x <x 1x 2f ()−f ()=(1−)−(1−)x 1x 22+12x 12+12x 2=2(−)2x 12x 2(+1)(+1)2x 12x 2<x 1x 2(−)<02x 12x2+1>02x 1+1>02x 2f ()−f ()<0x 1x 2f (x)R则函数在上是增函数.解：根据题意， 为奇函数，则不等式化为 ，即，又为增函数，则，变形可得，当时， 有最小值，故，故的取值范围为.21.【答案】解：由题意知，，，故．①在中，，．在矩形中，，，故．即所求函数关系是，，其中，为锐角．②因为，，所以．在中，,在矩形中，，，故．即所求函数关系是，．选择②中的函数模型：因为，令，则，因为当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取到最大值，此时有最大值．即时，通风窗的面积最大．【考点】函数模型的选择与应用f (x)R (3)f (x)f (−2t)+f (2−k)<0t 2t 2f (−2t)<−f (2−k)t 2t 2f (−2t)<f (k −2)t 2t 2f (t)−2t <k −2t 2t 23−2t <k t 2t =133−2t t 2−13k >−13k (−,+∞)13(1)OF =OP =10MP =6.5OM =3.5Rt △ONF NF =OF sin θ=10sin θON =OF cos θ=10cos θEFGH EF =2NF =20sin θFG =ON −OM =10cos θ−3.5S =EF ×FG =20sin θ(10cos θ−3.5)=10sin θ(20cos θ−7)S =10sin θ(20cos θ−7)0<θ<θ0cos =θ0720θ0MN =x OM =3.5ON =x +3.5Rt △ONF NF ===O −O F 2N 2−−−−−−−−−−√100−(x +3.5)2−−−−−−−−−−−−−√−7x −3514x 2−−−−−−−−−−−−√EFGH EF =2NF =351−28x −4x 2−−−−−−−−−−−−−√FG =MN =x S =EF ×FG =x 351−28x −4x 2−−−−−−−−−−−−−√S =x 351−28x −4x 2−−−−−−−−−−−−−√(0<x <6.5)(2)S =(351−28x −4)x 2x 2−−−−−−−−−−−−−−−−√f(x)=(351−28x −4)x 2x 2f'(x)=−2x(2x −9)(4x +39)0<x <92f'(x)>0f(x)<x <92132f'(x)<0f(x)x =92f(x)S MN =x =4.5m函数最值的应用【解析】由题意知，，，．在中与矩形中表示出边长，从而由写出面积公式，注意角的取值范围；在中与矩形中利用勾股定理等表示出边长，从而写出，注意的取值范围；方法一：选择中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点，再代入求的长度即可；方法二：选择中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点即可．【解答】解：由题意知，，，故．①在中，，．在矩形中，，，故．即所求函数关系是，，其中，为锐角．②因为，，所以．在中，,在矩形中，，，故．即所求函数关系是，．选择②中的函数模型：因为，令，则，因为当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取到最大值，此时有最大值．即时，通风窗的面积最大．22.【答案】(1)OF =OP =10MP =6.5OM =3.5(i)Rt △ONF EFGH S =EF ×FG S =10sin θ(20cos θ−7)θ(ii)Rt △ONF EFGH S =EF ×FG =x 351−28x −4x 2−−−−−−−−−−−−−√x (2)(I)NM (II)(1)OF =OP =10MP =6.5OM =3.5Rt △ONF NF =OF sin θ=10sin θON =OF cos θ=10cos θEFGH EF =2NF =20sin θFG =ON −OM =10cos θ−3.5S =EF ×FG =20sin θ(10cos θ−3.5)=10sin θ(20cos θ−7)S =10sin θ(20cos θ−7)0<θ<θ0cos =θ0720θ0MN =x OM =3.5ON =x +3.5Rt △ONF NF ===O −O F 2N 2−−−−−−−−−−√100−(x +3.5)2−−−−−−−−−−−−−√−7x −3514x 2−−−−−−−−−−−−√EFGH EF =2NF =351−28x −4x 2−−−−−−−−−−−−−√FG =MN =x S =EF ×FG =x 351−28x −4x 2−−−−−−−−−−−−−√S =x 351−28x −4x 2−−−−−−−−−−−−−√(0<x <6.5)(2)S =(351−28x −4)x 2x 2−−−−−−−−−−−−−−−−√f(x)=(351−28x −4)x 2x 2f'(x)=−2x(2x −9)(4x +39)0<x <92f'(x)>0f(x)<x <92132f'(x)<0f(x)x =92f(x)S MN =x =4.5m (1)f(x)a +bx +c 2f(1)解：二次函数＝的两个零点，，且＝，可得＝，即＝，＝＝，由，可得，解得或.若，则，且＝＝，即＝＝，，，＝＝＝＝，当时，在递增，最大值只能为，由＝，可得＝，即，则不在直线＝上；当时，的最大值为或或，由，解得＝，若在直线＝上，则＝，可得＝显然不成立；由＝，可得，即，显然不在直线＝上；由显然不成立．综上可得，点不在直线＝上．【考点】直线与抛物线的位置关系二次函数在闭区间上的最值二次函数的性质【解析】Ⅰ运用二次方程的判别式大于，结合二次不等式的解法，即可得到所求范围；Ⅱ若，则，化简可得＝，讨论的符号和最大值的取得，解方程即可得到结论．【解答】解：二次函数＝的两个零点，，且＝，可得＝，即＝，＝＝，由，可得，(1)f(x)a +bx +c x 2x 1x 2f(1)2a a +b +c 2a c a −b Δ−4ac b 2−4a(a −b)>0b 2>0a 2(+−4>0b a )24b a >2−2b a 2–√<−2−2b a 2–√(2)a >c b >0f()x 1f()x 20a +b +c x 21x 1a +b +c x 22x 20+=−x 1x 2b a =x 1x 2c a g(x)f(x −)+f(x −)x 1x 2a(x −+b(x −)+c +a(x −+b(x −)+c x 1)2x 1x 2)2x 22a +x(2b −2a −2a )+a −b +a −b +2cx 2x 1x 2x 21x 1x 22x 22a +4bx +x 22b 2a a >0g(x)[0,1]g(1)g(1)2a +4b +=2b 2a 2a (a +b)21a +b =1(a,b)x +y 1a <0g(x)g(0)g(1)g(−)b a g(0)==2b 2a 2a b 1(a,b)x +y 1a +b 1a 0g(1)2a +4b +=2b 2a 2a (a +b =1)2a +b =1(a,b)x +y 1g(−)==0b a 16−16b 2b 28a (a,b)x +y 1()0()a >c b >0g(x)2a +4bx +x 22b 2a a (1)f(x)a +bx +c x 2x 1x 2f(1)2a a +b +c 2a c a −b Δ−4ac b 2−4a(a −b)>0b 2>0a 2(+−4>0b a )24b a2−2b −2−2b解得或.若，则，且＝＝，即＝＝，，，＝＝＝＝，当时，在递增，最大值只能为，由＝，可得＝，即，则不在直线＝上；当时，的最大值为或或，由，解得＝，若在直线＝上，则＝，可得＝显然不成立；由＝，可得，即，显然不在直线＝上；由显然不成立．综上可得，点不在直线＝上．>2−2b a 2–√<−2−2b a 2–√(2)a >c b >0f()x 1f()x 20a +b +c x 21x 1a +b +c x 22x 20+=−x 1x 2b a =x 1x 2c a g(x)f(x −)+f(x −)x 1x 2a(x −+b(x −)+c +a(x −+b(x −)+c x 1)2x 1x 2)2x 22a +x(2b −2a −2a )+a −b +a −b +2cx 2x 1x 2x 21x 1x 22x 22a +4bx +x 22b 2a a >0g(x)[0,1]g(1)g(1)2a +4b +=2b 2a 2a (a +b)21a +b =1(a,b)x +y 1a <0g(x)g(0)g(1)g(−)b a g(0)==2b 2a 2a b 1(a,b)x +y 1a +b 1a 0g(1)2a +4b +=2b 2a 2a (a +b =1)2a +b =1(a,b)x +y 1g(−)==0b a 16−16b 2b 28a (a,b)x +y 1。
最新版高一数学上学期第一次月考试题及答案(新人教A版 第143套)
成安一中第一次月考高一数学（考试时间：90分钟 满分：120分） 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1、已知全集{0,1,2,3,4}U =,集合{1,2,3}A =,{2,4}B =,则B A C U⋃为（ ）A ．{0,2,4}B ．{2,3,4}C ．{1,2,4}D ．{0,2,3,4} 2．下列五个写法，其中错误．．写法的个数为 ( ) ①{0}∈{0,2,3}；②Ø⊆{0}；③{0,1,2}⊆{1,2,0}；④0∈Ø；⑤0∩Ø＝ØA ．1B ．2C ．4D ．33. 与函数y ＝x 有相同图象的一个函数是 （ ）A . y = B. log a x y a = (0a >，且0)a ≠C .log x a y a =(0a >，且0)a ≠ D. 2/y x x =4．已知M ＝{x |y ＝x 2－2}，N ＝{y |y ＝x 2－2}，则M ∩N 等于 ( ) A ．M B ．N C ．R D ．Ø 5.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 ( ）A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x=D ．||y x x =6．下列函数中，其定义域与值域相同的是 ( )A ．y ＝2xB ．y ＝2xC ．y ＝log 2xD ．y ＝x 27、已知13log 2a =， 121log 3b =， 0.31()2c =， 则 （ ） A ．a b c << B. b a c <<C ．b c a << D ．a c b <<8．已知302x ≤≤则函数f (x )＝x 2＋x ＋1 ( )A ．有最小值1，最大值194B ．有最小值34，最大值1C ．有最小值－34，无最大值D ．无最小值和最大值9．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则f (－1)＋f (1) ()A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．以上结论都不对10A B C D11．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=0,0,)21()(21x x x x f x，若)(a f >1，则a 的取值范围是 （ ）A ． (－1,1)B ． ),1(+∞-C ． ),0()2,(+∞⋃--∞D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ 12．若f (x )满足f (－x )＝－f (x )，且在(－∞，0)内是增函数，又f (－2)＝0，则xf (x )>0的解集是 ( ) A ．(－2,0)∪(0,2) B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(2，＋∞)第Ⅱ卷 （非选择题 共60分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若全集U R =，集合{|1}{|0}A x x x x =≥≤，则U C A = 。
《精编》四川省绵阳中学高三数学上学期第一次月考 文新人教A版.doc
高2021级文科数学高三上期第一次月考数学试题一、选择题〔每题5分〕1、假设集合131{|,11},{|(),0}2x A y y x x B y y x ==-≤≤==≤，那么A B 等于〔 〕 A ．∞(-,1) B ．[-1,1] C ．∅ D ．{1} 2、函数4()f x x x =-在点P 处的切线平行于直线30x y -=，那么P 点的坐标为〔 〕A ．〔1，0〕B ．〔1，－3〕C ．17(,)216-D ．〔1，3〕3、假设函数32()33(2)1f x x ax a x =++++既有极大值又有极小值，那么实数a 的取值范围为〔 〕A ．12a -<<B ．12a -≤≤C ．1a ≤-或2a ≥D ．1a <-或2a >4、函数2()1f x x mx =++的图象关于直线1x =对称的充要条件是〔 〕A ．2m =-B ．2m =C ．1m =-D ．1m = 5、函数288(1),()()log 0(1),x x f x g x x x -≤⎧==⎨>⎩，那么()f x 与()g x 两函数的图象的交点个数为〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．46、定义在R 上的函数()f x 满足2log (4)0,()(1)(2)0,x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩那么(3)f 的值为〔 〕 A ．－1 B ．－2C ．1D ．2 7、设0abc >，二次函数2()f x ax bx c =++的图象可能是〔 〕8、函数2,0,()2,0,x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩那么不等式2()f x x ≥的解集为〔 〕A ．[1,1]-B ．[2,2]-C ．[2,1]-D ．[1,2]-9、定义域为R 的函数()f x 在〔8，+∞〕上为减函数，且函数(8)y f x =+为偶函数，那么 〔 〕A ．(6)(7)f f >B ．(6)(9)f f >C ．(7)(9)f f >D ．(7)(10)f f > 10、设1113341230.4,0.5,0.5y y y ===，那么〔 〕A ．321y y y <<B ．123y y y <<C ．231y y y <<D ．132y y y <<11、对任意x R ∈，恒有()(),()()f x f x g x g x -=--=，且当0x >时，()0,()0f x g x '>'>，那么当0x <时有〔 〕A ．()0,()0f x g x '>'>B ．()0,()0f x g x '>'<C ．()0,()0f x g x '<'>D ．()0,()0f x g x '<'< 12、设1()f x -是函数2()log (1)f x x =+的反函数，假设11[1()][1()]8f a f b --++=，那么()f a b +的值为〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．2log 3二、填空题〔本大题共4小题，共20分〕13、计算：1222942log 3log 8+-= . 14、函数2()2(1)f x x xf =+'，那么(1)f '= .15、函数()log (1)x a f x a x =++在[0，1]上的最大值和最小值之和为a ，那么a 的值为 .16、对于函数()f x 定义域中任意的两个自变量的值1212,()x x x x ≠，有如下结论： 〔1〕1212()()()f x x f x f x +=；〔2〕1212()()()f x x f x f x =+； 〔3〕1212()()0f x f x x x ->-； 〔4〕1212()()()22x x f x f x f ++>； 当()ln f x x =时，上述结论中所有正确的结论序号为 .三、解答题：17、记函数()f x =,()lg[(1)(2)](1)A g x x a a x a =---<的定义域为〔1〕求A ；〔2〕假设A B A =，求实数a 的取值范围；18、函数1()||f x a x =- 〔1〕求证：函数()y f x =在(0,)+∞上是增函数；〔2〕假设()2f x x <在(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；19、函数212()log ()f x x ax a =--在区间(,1-∞上是曾函数，求实数a 的取值范围.20、函数321()()3f x x x ax a a R =-+-∈ 〔1〕当3a =-时，求函数()f x 的极值；〔2〕求证：当1a ≥时，函数()f x 的图象与x 轴有且只有一个交点21、11()()212x f x x =+-. 〔1〕求函数()f x 的定义域；〔2〕判断函数()f x 的奇偶性； 〔3〕求证：()0f x >22、设函数22()43f x x ax a =-+-〔1〕当1,[3,3]a x =∈-时，求函数()f x 的取值范围；〔2〕假设01,[1,1]a x a a <<∈-+时，恒有()a f x a -≤≤成立，试确定a 的取值范围高2021级文科数学高三上期第一次月考数学答卷二、填空题〔本大题共4小题，共20分〕13、 . 14、 .15、 . 16、 .三、解答题：17、记函数()f x =,()lg[(1)(2)](1)A g x x a a x a =---<的定义域为B〔1〕求A ；〔2〕假设A B A =，求实数a 的取值范围；18、函数1()||f x a x =- 〔1〕求证：函数()y f x =在(0,)+∞上是增函数；〔2〕假设()2f x x <在(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；19、函数212()log ()f x x ax a =--在区间(,1-∞上是曾函数，求实数a 的取值范围.20、函数321()()3f x x x ax a a R =-+-∈ 〔1〕当3a =-时，求函数()f x 的极值；〔2〕求证：当1a ≥时，函数()f x 的图象与x 轴有且只有一个交点21、11()()212x f x x =+-.〔1〕求函数()f x 的定义域；〔2〕判断函数()f x 的奇偶性； 〔3〕求证：()0f x >22、设函数22()43f x x ax a =-+-〔1〕当1,[3,3]a x =∈-时，求函数()f x 的取值范围；〔2〕假设01,[1,1]a x a a <<∈-+时，恒有()a f x a -≤≤成立，试确定a 的取值范围。
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绵阳中学高2013级第一学期第一学月考试数学试题
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A ．2(),()f x x g x x ==
B ．22(),()()f x x g x x =
=
C ．21
(),()11
x f x g x x x -=
=+-
D ．2()1
1,()1f x x x g x x =
+-=-
2．设集合{}
32M m m m Z =-<<∈且，{}
13N n n n Z =-≤≤∈且，
则M N =
（ ） A ．{}0,1
B ．{}1,0,1-
C ．{}0,1,2
D ．{}1,0,1.2-
3．设函数221(1)
()2(1)x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩
，则1(
)(2)f f =（ ） A ．
15
16
B ．2716
-
C ．
89
D ．16
4．函数0()1(2)f x x x =
++-的定义域是（ ）
A ．{}
1x x ≥-
B ．{}
12x x x ≥-≠且
C ．{}
12x x x >-≠且
D ．{}
1x x >-
6．设全集{}{}
,0,1U R A x x B x x ==>=<-，则()()U U A
B B A =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦（ ）
A ．∅
B ．{}
0x x ≤
C ．{}
1x x >-
D ．{}
01x x x ><-或
7．设{}12345,,,,M a a a a a ⊆且{}{}12312,,,M a a a a a =，则集合M 的个数是（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．设全集U R =，{}
{}2
21,M x y x N y y x
==+==-，则M 和N 的关系是（ ）
A ．M N ⊂≠
B ．N M ⊂≠
C ．M N =
D ．{}(1,1)M
N =-
9．设函数()f x 在(1,1)-上是奇函数，且在（－1，1）上是减函数，若(1)()0f m f m -+-<，则m 的取值范围是（ ）
A ．1(0,)2
B ．(1,1)-
C ．1(1,)2
-
D ．1(1,0)
(1,)2
- 10．设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则
(3.5)f =（ ）
A ．0.5
B ．－1.5
C ．－0.5
D ．－1.5
二、填空题（每小题4分，共20分） 11．设全集
{}{}23,4,5,3,1a a A a =-+-=-且
{}1U
A =，
则实数a = 。
12．设()f x 是偶函数，当0x <时，()(1)f x x x =+，则当0x >时，
()f x = 。
13．设函数2
()2f x x ax =-+与()a
g x x
=在区间[]1,2上都是减函数，则实数a 的取值范围是。
14．函数y =的增区间是 。
15．若函数
y =
的定义域是R ，则实数a 的取值范围是 。
三、解答题（每小题10分，共40分）
16．设全集{}
4U x x =≤，集合{}23A x x =-<<，{}
33B x x =-<≤，求
(),()
U
U A B A B 。
17．设集合{}{}
25,121A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-。
（1）若{}
25A x x x Z =-≤≤∈且，求A 的非空真子集的个数； （2）若A B B =，求实数m 的取值范围。
18．在某服装批发市场，季节性服装当季节即将来临时，价格呈现上升趋势，设某服装开始时定价10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售，10周后，当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售。
（1）试求价格p （元）与周次t 之间的函数关系式；
（2）若此服装每周进价q （元）与周次t 之间的关系是[]2
1(8)12,1,168
q t t =--+∈且
t N ∈，试问该服装第几周每件销售利润最大。
19．已知函数22()3mx f x x n +=+是奇函数且5
(2)3
f =。
（1）求实数m 和n 的值；
（2）判断()f x 在(,1)-∞-上的单调性，并加以证明。
绵阳中学高2013级第一学期第一学月考试
数学试题答卷
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．12．13．14．15．
三、解答题（每小题10分，共40分）
16．
17．
18．
19．
绵阳中学高2013级第一学期第一学月考试
数学试题答案
二、填空题（每小题4分） 11．－3
12．(1)x x -
13．01a <≤
14．[]1,1-
15．3
04
a ≤<
三、填空题（每小题4分）
16．解：{}23A B x x =-<<
（2分） {}()234U A B x x x ∴=≤-≤≤或
（3分） 又
{}234U
A x x x =≤-≤≤或
（2分）
{}()323U A B x x x ∴=-<≤-=或
（3分） 17．解：（1）{}2,1,0,1,2,3,4,5A =--
（2分）
A ∴的非空真子集有822254-=个
（2分）
（2）
A B B = B A ∴⊆ 当B =∅时，121m m +>- 2m ∴< （2分）
当B ≠∅时，1212
1232153
m m m m m m m +≤-≥⎧⎧⎪⎪+≥-∴≥-⎨⎨-≤≤⎪⎪⎩⎩ 23m ∴≤≤ （3分）
综上：3m ≤ （1分）
18．解：（1）102(15)20(610)402(1116)t t t N p t t N t t t N +≤≤∈⎧⎪=≤≤∈⎨-≤≤∈⎪⎩且（1分）
且（1分）
且（1分）
（2）设销售此服装的利润为y （元），则
2
2216
(15)(1)81
(8)8(610)(1)81
(16)4(1116)8
t t t N y p q t t t N t t t N ⎧+≤≤∈⎪⎪⎪=-=-+≤≤∈⎨⎪⎪-+≤≤∈⎪⎩且分且分且(1分)
当15t ≤≤且t N ∈时，有5t =时，max 73
8
y =
（1分） 当610t ≤≤且t N ∈时，有6t =或10t =时，max 172
y = （1分） 当1116t ≤≤且t N ∈时，有11t =时，max 578
y =
（1分）
综上：5t =时，max 738
y =
答：第5周时，每件销售利润最大为
73
8
元。
（1分）
19．解：（1）
()f x 为奇函数
()()f x f x ∴-=-
222222
333mx mx mx x n x n x n
+++∴=-=-++--
故n n =- 0n ∴=
22
()3mx f x x
+∴=
（2分）
又5
(2)3
f =
425
63
m +∴
=
2m ∴=
（2分）
故2,0m n ==。
（2）由（1）知22221
()()33x f x x x x
+=
=+ ()f x 在(,1)-∞-上是增函数，证明如下：
设任意的12,(,1)x x ∈-∞-且12x x <
（1分）
1212122121()()()()33f x f x x x x x -=
+-+ 2112122()3x x x x x x ⎡
⎤-=-+⎢⎥⎣⎦
12121212
()3x x x x x x -=
-
（3分）
12x x <
120x x ∴-< 11x <- 21x <- 121
x x ∴>
1210x x ->
12()()0f x f x ∴-<
12()()f x f x <
（1分） 故()f x 在(,1)-∞-上是增函数
（1分）。