2009年全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案

2009年全国高中数学联赛试题及答案

全国高中数学联赛全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。

全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。

全卷包括 4 道大题，其中一道平面几何题 .一试一、填空（每小题 7 分，共 56 分）1．若函数 f x x x 2 且 f( n ) x f f f f x ，则 f 99 1 ．1 n2．已知直线 L : x y9 0 和圆M : 2 x 2 2 y 2 8x 8y 1 0 ，点 A 在直线 L 上， B ，C 为圆 M 上两点，在 ABC 中， BAC 45 ， AB 过圆心 M ，则点 A 横坐标范围为．y≥ 0．在坐标平面上有两个区域 M 和 N ， M 为 y ≤ x ， N 是随 t 变化的区域，它由3y≤ 2 x不等式 t ≤ x ≤ t 1 所确定， t 的取值范围是 0 ≤ t ≤ 1 ，则 M 和 N 的公共面积是函数f t ．4．使不等式 1 1 1 a 2007 1 对一切正整数 n 都成立的最小正整数n 1 n 2 2n 1 3a 的值为．2 25．椭圆 x y 1 a b 0 上任意两点 P ，Q ，若 OP OQ ，则乘积 OP OQ 的最a 2 b2小值为．6．若方程 lg kx 2lg x 1 仅有一个实根，那么 k 的取值范围是．第一行是前则最后一行的数是（可以用指数表示） 8．某车站每天 8∶00 ~ 9∶00 ， 9∶00 ~ 10∶00 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻 8∶10 8∶30 8∶50 9∶10 9∶30 9∶50 概率 1 1 1 6 2 3 一旅客 8∶20 到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）．二、解答题 1．（ 14 分）设直线 l : y kx m （其中 k ， m 为整数）与椭圆 x 2 y 2 16 1交于不同两 x 2 y 2 12 点 A ， B ，与双曲线 1 交于不同两点 C ， D ，问是否存在直线 l ，使得向量 4 12AC BD 0 ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 162．（ 15 分）已知 p ，q q 0 是实数，方程 x2 px q 0 有两个实根，，数列 an 满足 a1 p ， a2 p 2 q ， an pan 1 qan 2 n 3，4 ，(Ⅰ )求数列a n的通项公式（用，表示）；(Ⅱ )若 p 1 ， q 1 ，求 a n的前 n 项和．43．（ 15 分）求函数y x 27 13 x x 的最大和最小值．加试一、填空（共 4 小题，每小题50 分，共 200 分）9．如图， M ， N 分别为锐角三角形 ABC （AB ）的外接圆中点．过点 C 作 PC ∥ MN 交圆于 P 点， I 为ABC 的内心，连接PI⑴求证： MP MT NP NT ；⑵在弧 AB （不含点 C ）上任取一点Q （ Q ≠ A ，T ， B ），记上弧BC 、AC 的并延长交圆于 T ．AQC ，△QCB 的内心分别为 I1， I 2，P CN MI BAT Q1610．求证不等式：nk ln n ≤1，n1 ，2，⋯12k 1 k 1 211．设 k ， l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m≥ k ，使得 C k m与 l 互素．16\-16。

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(江西.理)含详解

绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。

第Ⅰ卷考生注意：答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。

若在试题卷上作答，答案无效。

考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

参考公式如果事件,A B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件,A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)k k n k n n P k C p p -=- 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 A ．1- B ．0 C ．1 D ．1-或12．函数y =的定义域为A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1]-3．已知全集U =A B 中有m 个元素，()()U U A B 痧中有n 个元素．若A B I 非空，则A B I 的元素个数为A ．mnB ．m n +C ．n m -D ．m n -4．若函数()(1)cos f x x x =，02x π≤<，则()f x 的最大值为A ．1B ．2 C1 D25．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为A ．4B ．14-C ．2D ．12-6．过椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为A．2 B． C ．12 D ．137．(1)n ax by ++展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则,,a b n 的值可能为A ．2,1,5a b n ==-=B ．2,1,6a b n =-=-=C ．1,2,6a b n =-==D ．1,2,5a b n ===8．数列{}n a 的通项222(cos sin )33n n n a n ππ=-，其前n 项和为n S ，则30S 为A ．470B ．490C ．495D ．5109．如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误的为A ．O ABC -是正三棱锥B ．直线OB ∥平面ACDC ．直线AD 与OB 所成的角是45D ．二面角D OB A --为45 10．为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种y xz OA B CD。

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(江西.文)含详解

绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。

考生注意：答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

在试题卷上作答，答案无效。

考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

参考公式如果事件,A B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件,A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)k kn k n n P k C p p -=- 第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题是真命题的为A ．若11x y =,则x y =B ．若21x =,则1x =C ．若x y =,= D ．若x y <,则 22x y <2．函数y =的定义域为A ．[4,1]-B ．[4,0)-C ．(0,1]D ．[4,0)(0,1]-3．50 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为A ．50B ．45C ．40D ．35 4．函数()(1)cos f x x x =的最小正周期为A ．2πB ．32πC ．πD ．2π5．已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为A ．2-B ．1-C ．1D ．26．若122n nnn n C x C x C x +++能被7整除，则,x n 的值可能为A ．4,3x n ==B ．4,4x n ==C ．5,4x n ==D ．6,5x n ==7.设1F 和2F 为双曲线22221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为A ．32B ．2C ．52 D ．38．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项,832S =,则10S 等于A. 18B. 24C. 60D. 909．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为A . AC BD ⊥B . AC ∥截面PQMNC . AC BD = D . 异面直线PM 与BD 所成的角为4510．甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为A ．16B ．14C ．13D ．1211．如图所示，一质点(,)P x y 在xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x 轴上的投影点(,0)Q x 的运动速度()V V t =的图象大致为P QMNABCDV tA B C D12．若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x=和21594y ax x=+-都相切，则a等于A．1-或25-64B．1-或214C．74-或25-64D．74-或7绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。

2009年全国高中数学联赛一试(试题参考答案及评分标准)

2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空（共8小题，每小题7分，共56分） 1．若函数()f x =且()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ，则()()991f = ．【答案】110【解析】 ()()()1f x f x ==，()()()2fx f f x ==⎡⎤⎣⎦……()()99fx =故()()991110f =．2．已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在A B C ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为．【答案】 []36，【解析】设()9A a a -，，则圆心M 到直线A C 的距离sin 45d AM =︒，由直线A C 与圆M 相交，得2d ≤解得36a ≤≤．3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212t t -++【解析】由题意知()f t S =阴影部分面积AOB OCD BEF S S S ∆∆∆=-- ()22111122t t =---212t t =-++4．使不等式1111200712213a n n n +++<-+++ 对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为．【答案】 2009 【解析】设()1111221f n n n n =++++++ ．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．5．椭圆22221x y ab+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为．【答案】22222a ba b+【解析】设()cos sin P O P O P θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有 222221cos sin abO Pθθ=+① 222221sin cos abO Qθθ=+②①+②得 22221111abOPOQ+=+．于是当OP OQ ==OP OQ 达到最小值22222a ba b+．6．若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是．【答案】0k <或4k = 【解析】 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩ 当且仅当kx > ① 10x +> ② ()2210x k x +-+=③对③由求根公式得1x，2122x k ⎡=-±⎣④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅰ)当0k <时，由③得12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩ 所以1x ，2x 同为负根．又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x ．(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112k x =-=．(ⅲ)当4k >时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去．综上可得0k <或4k =为所求．7．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦ 323232n n a --=+⨯……()121212n n a n --=+-⨯()212n n -=+故981001012a =⨯．8．某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）．【答案】 27 【解析】旅候车时间的数学期望为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1．（本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612xy+=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412xy-=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【解析】由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834km x x k+=-+()()()222184344480km km∆=-+->① ………………………………………………4分由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223km x x k+=-()()()2222243120km km∆=-+-+>② ………………………………………………8分因为0A C B D +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得 2282343km km kk-=+-．所以20km =或2241343kk-=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得m -<因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得k <<．因k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2．（本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-= ，， (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）； (Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．【解析】方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n = ，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=-令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+== ，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以21n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n = ，，．所以11n n n a a βα++=+()12n = ，，．①当240p q ∆=-=时，αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n = ，，变为11n n n a a αα++=+()12n = ，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n = ，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1nn a n α=+；……………………………………………………………………………5分②当240p q ∆=->时，αβ≠， 11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n = ，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n = ，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--．于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n nn n s -+=+++++ 234112341222222n n nn s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n nn s +=-．……………………………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β．①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+= ，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得121A A ==．故()1nn a n α=+．……………………………………………………5分②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+= ，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3．（本小题满分15分）求函数y =的最大和最小值．【解析】函数的定义域为[]013，.因为y =≥=当0x =时等号成立．故y的最小值为13分又由柯西不等式得22y =()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤ 所以11y ≤． ………………………………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立．因此y 的最大值为11． (15)分。

2009年全国高考理科数学试题及答案-江西卷

绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至4页.共150分。

第Ⅰ卷考生注意：1. 答题前.考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2. 第I 卷每小题选出答案后.用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后.再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。

若在试题卷上作答.答案无效。

3. 考试结束.监考员将试题卷、答题卡一并收回。

参考公式如果事件,A B 互斥.那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件,A B .相互独立.那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p .那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)k kn k n n P k C p p -=- 一．选择题：本大题共12小题.每小题5分.共60分。

在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的。

1．若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数.则实数x 的值为A ．1-B ．0C ．1D ．1-或12．函数y =的定义域为A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1]- 3．已知全集U =A B 中有m 个元素.()()U U A B 痧中有n 个元素．若A B I 非空.则A B I 的元素个数为A ．mnB ．m n +C ．n m -D ．m n - 4．若函数()(1)cos f x x x =.02x π≤<.则()f x 的最大值为A ．1B ．2 C1 D25．设函数2()()f x g x x =+.曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+.则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为A ．4B ．14-C ．2D ．12- 6．过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P .2F 为右焦点.若1260F PF ∠=.则椭圆的离心率为A．2 B．3C ．12D ．137．(1)nax by ++展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243.不含y 的项的系数绝对值的和为32.则,,a b n 的值可能为A ．2,1,5a b n ==-=B ．2,1,6a b n =-=-=C ．1,2,6a b n =-==D ．1,2,5a b n === 8．数列{}n a 的通项222(cossin )33n n n a n ππ=-.其前n 项和为n S .则30S 为 A ．470 B ．490 C ．495 D ．510 9．如图.正四面体ABCD 的顶点A .B .C 分别在两两垂直的三条射线Ox .Oy .Oz 上.则在下列命题中.错误．．的为 A ．O ABC -是正三棱锥yxzOAB CDB ．直线OB ∥平面ACDC ．直线AD 与OB 所成的角是45 D ．二面角D OB A --为4510．为了庆祝六一儿童节.某食品厂制作了3种不同的精美卡片.每袋食品随机装入一张卡片.集齐3种卡片可获奖.现购买该种食品5袋.能获奖的概率为A ．3181 B ．3381 C ．4881 D ．508111．一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”.封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”.下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为1234,,,ττττ.则下列关系中正确的为A ．143τττ>>B ．312τττ>>C ．423τττ>>D ．341τττ>> 12．设函数()0)f x a =<的定义域为D .若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域.则a 的值为A ．2-B ．4-C ．8-D ．不能确定第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷2页.须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题上作答.答案无效。

2009年全国高中数学联合竞赛一试

2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）1．若函数()21x f x x=+且()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ，则()()991f = ．【答案】 110【解析】()()()121x f x f x x==+，()()()2212x f x f f x x==⎡⎤⎣⎦+，……，()()992199x f x x =+．故()()991110f =． 2．已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为．【答案】 []36，【解析】设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC与圆M 相交，得342d ≤．解得36a ≤≤． 3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】212t t -++【解析】由题意知()f t S =阴影部分面积AOB OCD BEF S S S ∆∆∆=-- ()22111122t t =---212t t =-++ 4．使不等式1111200712213a n n n +++<-+++ 对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为．【答案】2009 【解析】设()1111221f n n n n =++++++ ．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．5．椭圆22221x y a b+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为．F ED CB A O yx【答案】 22222a b a b+ 【解析】设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得22221111a b OPOQ+=+．于是当22222a b OP OQ a b ==+时，OP OQ 达到最小值22222a b a b +．6．若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是．【答案】0k <或4k = 【解析】当且仅当 0kx > ① 10x +> ② ()2210x k x +-+= ③对③由求根公式得1x ，221242x k k k ⎡⎤=-±-⎣⎦ ④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅰ)当0k <时，由③得12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩，所以1x ，2x 同为负根．又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩，所以原方程有一个解1x ．(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112kx =-=．(ⅲ)当4k >时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩，所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去．综上可得0k <或4k =为所求．7．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）【答案】981012⨯ 【解析】易知： (ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯=……()121212n n a n --=+-⨯()212n n -=+故981001012a =⨯．8．某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻810∶ 830∶ 850∶910∶ 930∶ 950∶概率16 12 13一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）．【答案】 27【解析】旅客候车的分布列为候车时间（分） 10 30 50 70 90概率12 131166⨯ 1126⨯ 1136⨯ 候车时间的数学期望为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1．（本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【解析】由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k x kmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k +=-+()()()222184344480km k m ∆=-+-> ① ………4分由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k x kmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k +=-()()()2222243120km k m ∆=-+-+> ② …………8分因为0AC BD +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得2282343km kmk k -=+-．所以20km =或2241343k k -=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得2323m -<<．因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得33k -<<．因k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2．（本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-= ，， (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；(Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．【解析】方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以 ()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n = ，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=-令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+== ，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以211n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n = ，，．所以11n n n a a βα++=+()12n = ，，．①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n = ，，变为11n n n a a αα++=+()12n = ，，．整理得，111n n n n a a αα++-=，()12n = ，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111n na n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1n n a n α=+；……………………………5分 ②当240p q ∆=->时，αβ≠，11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n = ，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n = ，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--．于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++234112341222222n n n n s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-．………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β．①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+= ，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得121A A ==．故 ()1nn a n α=+．…………5分 ②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+= ，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得 12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩，解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3．（本小题满分15分）求函数2713y x x x =++-+的最大和最小值．【解析】函数的定义域为[]013，.因为()27132713213y x x x x x x =+++-=+++-2713+≥3313=+当0x =时等号成立．故y 的最小值为3313+．……………………5分又由柯西不等式得()222713y x x x =+++- ()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤． …………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立．因此y 的最大值为11．……………………………………15分2009年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC ⌒ 、AC ⌒的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ．⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅； ⑵在弧AB ⌒（不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，ITQ PNMCBA求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．【解析】 ⑴连NI ，MI ．由于PC MN ∥，P ，C ，M ，N 共圆，故PCMN 是等腰梯形．因此NP MC =，PM NC =．ABCMNPTI连AM ，CI ，则AM 与CI 交于I ，因为MIC MAC ACI MCB BCI MCI ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以MC MI =．同理NC NI =．于是NP MI =，PM NI =．故四边形MPNI 为平行四边形．因此PMT PNT S S =△△（同底，等高）．又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180TNP PMT ∠+∠=︒，由三角形面积公式1sin 2PMT S PM MT PMT =⋅∠△1sin 2PNT S PN NT PNT ==⋅∠△1sin 2PN NT PMT =⋅∠于是PM MT PN NT ⋅=⋅．⑵因为1111NCI NCA ACI NQC QCI CI N ∠=∠+∠=∠+∠=∠，I 2I 1ABCMNPQ TI所以1NC NI =，同理2MC MI =．由MP MT NP NT ⋅=⋅得NT MTMP NP=．由⑴所证MP NC =，NP MC =，故12NT MTNI MI =．又因12I NT QNT QMT I MT ∠=∠=∠=∠，有12I NT I MT ∆∆∽．故12NTI MTI ∠=∠，从而1212I QI NQM NTM I TI ∠=∠=∠=∠．因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．二、求证不等式：2111ln 12n k k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，… 【解析】证明：首先证明一个不等式：⑴ln(1)1x x x x<+<+，0x >．事实上，令()ln(1)h x x x =-+，()ln(1)1xg x x x =+-+．则对0x >，1()101h x x'=->+，2211()01(1)(1)x g x x x x '=-=>+++．于是()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．在⑴中取1x n=得 ⑵111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭．令21ln 1nn k k x n k ==-+∑，则112x =， 121ln 111n n n x x n n -⎛⎫-=-+ ⎪+-⎝⎭211n n n <-+210(1)n n =-<+ 因此1112n n x x x -<<<= ．又因为111ln (ln ln(1))(ln(1)ln(2))(ln 2ln1)ln1ln 1n k n n n n n k -=⎛⎫=--+---++-+=+ ⎪⎝⎭∑ ．从而12111ln 11nn n k k k x k k -==⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑12211ln 111n k k n k k n -=⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑12111n k k k k -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑ 1211(1)n k k k -==-+∑111(1)n k k k-=-+∑≥111n =-+>-．三、设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与l 互素．【解析】证法一：对任意正整数t ，令(!)m k t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1k m l =，．设p 是l 的任一素因子，只要证明：p ／∣C k m．若p ／∣k !，则由1!C ()kkmi k m k i ==-+∏1[((!)]ki i tl k =≡+∏1ki i =≡∏ ()1!mod k p α+≡．及|!p k α，且pα+1／∣k !，知|!C k m p k α且1α+p ／∣!C k m k ．从而p ／∣C k m．证法二：对任意正整数t ，令2(!)m k t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1k m l =，．设p 是l 的任一素因子，只要证明：p ／∣C k m ．若p ／∣k !，则由1!C ()==-+∏kkmi k m k i 21[((!)]ki i tl k =≡+∏ 1ki i =≡∏ ()!mod k p ≡．即p 不整除上式，故p ／∣C k m ．若|!p k ，设1α≥使|!p k α，但1!p k α+Œ．12|(!)p k α+．故由11!C ()k kmi k m k i -==-+∏ 21[((!)]ki i tl k =≡+∏ 1ki i =≡∏()1!mod k p α+≡,及|!p k α，且pα+1／∣k !，知|!C k m p k α且1α+p ／∣!C k m k ．从而p ／∣C k m ．四、在非负数构成的39⨯数表111213141516171819212223242526272829313233343536373839x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使得⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列．（ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍然具有性质()O ．【解析】（ⅰ）假设最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3不是取自数表S 的不同列．则存在一列不含任何i u ．不妨设2i i u x ≠，1i =，2，3．由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等，于是2i i u x <，1i =，2，3．另一方面，由于数表S 具有性质()O ，在⑶中取2k =，则存在某个{}0123i ∈，，使得002i i x u ≤．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知，{}1112min x x ，，{}2122min x x ，，{}3132min x x ，中至少有两个值取在同一列．不妨设{}212222min x x x =，，{}313232min x x x =，．由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111x u =．同样，第二列中也必含某个i u ，1i =，2．不妨设222x u =．于是333u x =，即i u 是数表S 中的对角线上数字．111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记{}129M = ，，，，令集合{}{}12|min 13ik i i I k M x x x i =∈>=，，，．显然{}111332|k k I k M x x x x =∈>>，且1，23I ∉．因为18x ，38111x x >≥，32x ，所以8I ∈．故I ∅≠．于是存在*k I ∈使得{}*22max |k k x x k I =∈．显然，*1k ≠，2，3．下面证明33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ．从上面的选法可知{}{}*1212:min min i i i i i ik u x x x x x '==，，，，(13)i =，．这说明 {}*111211min k x x x u >，≥，{}*313233min k x x x u >，≥．又由S 满足性质()O ．在⑶中取*k k =，推得*22k x u ≤，于是{}**2212222min k k u x x x x '==，，．下证对任意的k M ∈，存在某个1i =，2，3使得i ik u x '≥．假若不然，则{}12min ik i i x x x >，，1i =，3且*22k k x x >．这与*2k x 的最大性矛盾．因此，数表S '满足性质()O ．下证唯一性．设有k M ∈使得数表111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭具有性质()O ，不失一般性，我们假定{}111121311min u x x x x ==，， ⑷{}221222322min u x x x x ==，， {}331323333min u x x x x ==，， 3231x x <．由于3231x x <，2221x x <及（ⅰ），有 {}11112111min k u x x x x ==，，．又由（ⅰ）知：或者()a {}3313233min k k u x x x x ==，，，或者 {}2212222()min k k b u x x x x ==，，．如果()a 成立，由数表 S具有性质()O ，则 {}11112111min k u x x x x ==，，，⑸ {}22122222min k u x x x x ==，，， {}3313233min kkux x x x ==，，．由数表 S 满足性质()O ，则对于3M ∈至少存在一个{}123i ∈，，使得 *i ik u x ≥．由*k I ∈及⑷和⑹式知， *1111k x x u >=， *3323k x x u >=．于是只能有 *222k k x u x =≤．类似地，由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*222k k x u x '=≤．从而*k k =．。

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(江西.文)含详解

第 - 1 - 页共 12 页绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。

考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

在试题卷上作答，答案无效。

3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

参考公式如果事件,A B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件,A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R π= n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)kk n k n n P k C p p -=-第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列命题是真命题的为A ．若11x y =,则x y = B ．若21x =,则1x = C ．若x y =,= D ．若x y <,则 22x y <2．函数y x=的定义域为A ．[4,1]-B ．[4,0)-C ．(0,1]D ．[4,0)(0,1]-U3．50 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为 A ．50 B ．45 C ．40 D ．35 4．函数()(1)cos f x x x =+的最小正周期为第 - 2 - 页共 12 页yxO (,)P x y (,0)Q x A ．2π B ．32π C ．π D ．2π 5．已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为 A ．2- B ．1- C ．1 D ．26．若122n nn n n C x C x C x +++L 能被7整除，则,x n 的值可能为A ．4,3x n ==B ．4,4x n ==C ．5,4x n ==D ．6,5x n ==7.设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为A ．32 B ．2 C ．52D ．3 8．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项,832S =,则10S 等于A. 18B. 24C. 60D. 909．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误．．的为A . AC BD ⊥B . AC ∥截面PQMNC . AC BD = D . 异面直线PM 与BD 所成的角为45o10．甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为 A ．16 B ．14 C ．13 D ．1211．如图所示，一质点(,)P x y 在xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x 轴上的投影点(,0)Q x 的运动速度()V V t =的图象大致为A C DP QMNABCDO ()V t t O ()V t tO ()V t t O()V t t第 - 3 - 页共 12 页12．若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于 A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64D ．74-或7绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。

2009年全国高中数学联合竞赛一试试题解析

(2)
若
p = 1, q
=
1 ，求 4
{an}
的前
n
项和.
解答
(1) 由于 α + β = p, αβ = q，则 an = (α + β)an−1 − αβan−2
⇒ an − αan−1 = β(an−1 − αan−2) ⇒ {an+1 − αan} 是公比为 β 的等比数列.
且 a2 − αa1 = (α + β)2 − αβ − α(ßα +™β) = β2 ⇒ an+1 − αan = βn+1.
β
β −
α
⇒
ß an
−
βn+1 ™ β−α
是公比为
α
的等比数列.
α 1−
β
β n+1
此时
a1
=
α
+
β
=
β2 β
− −
α2 α
⇒
a1
−
β
β2 −α
=
α2 −
β−α
⇒
an
β n+1 −
β − α
=
αn+1 −
β−α
⇒
an
=
β n+1 β
− −
αn+1 α
=
αn+1 α
− −
βn+1 . β
(2)
由
α + β αβ =
为等腰直角三角形，且 |OB| = t, |CF | = 2 − (t + 1)
=
1
− t，于是
S△OAB
+
S△DCF

2009年全国高中数学联合竞赛试题及解答.

2009年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题7分，共56分。

2009*1、函数21)(x x x f +=，且fn n x f f f f x f个)]]([[)()(=，则=)1()99(f◆答案：101★解析：由题意得2)1(1)()(xxx f x f+==，2)2(21)]([)(xx x f f x f+==，······2)99(991)(x x x f +=.故 101)1()99(=f .2009*2、已知直线09:=-+y x L 和圆018822:22=---+y x y x M ，点A 在直线L 上，点C B ,为圆M 上两点，在ABC ∆中，045=∠BAC ，直线AB 过圆心M ，则点A 横坐标的取值范围为 ◆答案：[]6,3★解析：设A （a ，9-a ），则圆心M 到直线AC 的距离d =AM sin ︒45，由直线AC 与圆M 相交，得 234≤d .解得 63≤≤a .2009*3、在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≥x y x y y 20，N 是随t 变化的区域，它由不等式1+≤≤t x t 所确定，t 的取值范围是10≤≤t ，则M 和N 的公共面积是函数=)(t f◆答案：212++-t t ★解析：由题意知阴影部分面积s t f =)( =BEF OCD AOB S S S ∆∆∆--=212++-t t2009*4、若不等式3120071212111<++++++n n n 对一切正整数n 都成立，则最小正整数a 的值为 ◆答案：2009★解析：设121...2111)(++++++=n n n n f .显然)(n f 单调递减.则由)(n f 的最大值312007)1(-<a f ，可得2009=a .2009*5、椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上任意两点Q P ,，若OQ OP ⊥，则OQ OP ⋅的最小值为◆答案：.22222ba b a + ★解析：设)sin ,cos (θθOP OP P ，)).2sin(),2cos((πθπθ±±OQ OQ Q由Q P 、在椭圆上，有22222sin cos 1b a OP θθ+=（1）， 22222cos sin 1b a OQθθ+=（2）（1）+（2）得.11112222b a OQOP+=+于是当 22222ba b a OQ OP +==时，OQ OP 达到最小值.22222b a b a +2009*6、若关于x 的方程)1lg(2lg +=x kx 仅有一个实根，则实数k 的取值范围为 ◆答案：0<k 或4=k★解析：由题意，方程等价于⎪⎩⎪⎨⎧+=>+>2)1(010x kx x kx ，当且仅当 0>kx （1）；01>+x （2）；01)2(2=+-+x k x （3）对（3）由求根公式得]42[21,221k k k x x -±-= （4）又0042≤⇒≥-=∆k k k 或4≥k)(i 当0<k 时，由（3）得⎩⎨⎧>=<-=+01022121x x k x x ，所以21x x 同为负根。

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(江西.文)含详解

绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。

考生注意：答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

在试题卷上作答，答案无效。

考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

参考公式如果事件,A B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件,A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)k kn k n n P k C p p -=- 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、1、下列命题是真命题的为A 、若11x y =,则x y =B 、若21x =,则1x =C 、若x y =,D 、若x y <,则 22x y <2、函数y =的定义域为A 、[4,1]-B 、[4,0)-C 、(0,1]D 、[4,0)(0,1]-3、50 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为A 、50B 、45C 、40D 、354、函数()(1)cos f x x x =的最小正周期为A 、2πB 、32πC 、πD 、2π5、已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为A 、2-B 、1-C 、1D 、26、若122n nn n n C x C x C x +++能被7整除，则,x n 的值可能为A 、4,3x n ==B 、4,4x n ==C 、5,4x n ==D 、6,5x n ==7.设1F 和2F 为双曲线22221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为A 、32B 、2C 、52 D 、38、公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项,832S =,则10S 等于A. 18B. 24C. 60D. 909、如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为A . AC BD ⊥B . AC ∥截面PQMNC . AC BD = D . 异面直线PM 与BD 所成的角为4510、甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为A 、16B 、14C 、13D 、1211、如图所示，一质点(,)P x y 在xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x 轴上的投影点(,0)Q x 的运动速度()V V t =的图象大致为P QMNABCD(V tA B C D12、若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于A 、1-或25-64B 、1-或214C 、74-或25-64D 、74-或7绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(江西

绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。

考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

在试题卷上作答，答案无效。

3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

参考公式如果事件,A B 互斥，那么球的表面积公式如果事件,A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R π= n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列命题是真命题的为A ．若11x y =,则x y = B ．若21x =,则1x = C ．若x y =,= D ．若x y <,则 22x y <2．函数y =的定义域为A ．[4,1]-B ．[4,0)-C ．(0,1]D ．[4,0)(0,1]-3．50 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为 A ．50 B ．45 C ．40 D ．354．函数()(1)cos f x x x =+的最小正周期为 A ．2π B ．32π C ．π D ．2π 5．已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为A ．2-B ．1-C ．1D ．26．若122n n n n n C x C x C x +++能被7整除，则,x n 的值可能为A ．4,3x n ==B ．4,4x n ==C ．5,4x n ==D ．6,5x n ==7.设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A ．32 B ．2 C ．52D ．3 8．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项,832S =,则10S 等于A. 18B. 24C. 60D. 909．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误．．的为A . AC BD ⊥B . AC ∥截面PQMNC . AC BD = D . 异面直线PM 与BD 所成的角为4510．甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为 A ．16 B ．14 C ．13 D ．1211．如图所示，一质点(,)P x y 在xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x 轴上的投影点(,0)Q x 的运动速度()V V t =的图象大致为 12．若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于 A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64 D ．74-或7 绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。

普通高等学校招生全国统一考试数学理(江西卷,解析版)

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理（江西卷，解析版）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。

第Ⅰ卷考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。

若在试题卷上作答，答案无效。

3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

参考公式如果事件,A B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件,A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R表示球的半径()(1)k kn k n n P k C p p -=- 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为A ．1-B ．0C ．1D ．1-或1答案：A【解析】由210110x x x ⎧-=⇒=-⎨-≠⎩ 故选A 2．函数y =的定义域为A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1]- 答案：C【解析】由21011141340x x x x x x +>>-⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<--+>⎩⎩.故选C3．已知全集U =A B 中有m 个元素，()()U U A B 痧中有n 个元素．若A B I 非空，则A B I 的元素个数为A ．mnB ．m n +C ．n m -D ．m n - 答案：D 【解析】因为[()()]U U U AB A B =痧?，所以AB 共有m n -个元素,故选D4．若函数()(1)cos f x x x =，02x π≤<，则()f x 的最大值为A ．1B ．2C 1D 2 答案：B【解析】因为()(1)cos f x x x ==cos x x =2cos()3x π-当3x π=是，函数取得最大值为2. 故选B5．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 A ．4 B ．14- C ．2 D ．12- 答案：A【解析】由已知(1)2g '=，而()()2f x g x x ''=+，所以(1)(1)214f g ''=+⨯=故选A6．过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为A．12 D ．13答案：B【解析】因为2(,)b P c a -±，再由1260F PF ∠=有232,b a a =从而可得c e a ==，故选B 7．(1)n ax by ++展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则,,a b n 的值可能为A ．2,1,5a b n ==-=B ．2,1,6a b n =-=-=C ．1,2,6a b n =-==D ．1,2,5a b n === 答案：D【解析】5(1)2433n b +==，5(1)322n a +==，则可取1,2,5a b n ===，选D 8．数列{}n a 的通项222(cossin )33n n n a n ππ=-，其前n 项和为n S ，则30S 为 A ．470 B ．490 C ．495 D ．510 答案：A【解析】由于22{cossin }33n n ππ-以3 为周期,故 2222222223012452829(3)(6)(30)222S +++=-++-+++-+221010211(32)(31)591011[(3)][9]25470222k k k k k k ==-+-⨯⨯=-+=-=-=∑∑故选A9．如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误．．的为 A ．O ABC -是正三棱锥 B ．直线OB ∥平面ACDC ．直线AD 与OB 所成的角是45 D ．二面角D OB A --为45yxzOAB CD答案：B【解析】将原图补为正方体不难得出B 为错误，故选B10．为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为 A ．3181 B ．3381 C ．4881 D ．5081答案：D【解析】5553(323)50381P -⨯-==故选D 11．一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为1234,,,ττττ，则下列关系中正确的为A ．143τττ>>B ．312τττ>>C ．423τττ>>D ．341τττ>> 答案：C【解析】前三个区域的周率依次等于正方形、圆、正三角形的周长和最远距离，所以1τ=2τπ=、33τ=，第四个区域的周率可以转化为一个正六边形的周长与它的一对平行边之间的距离之比，所以4τ=4231ττττ>>>，选C 12．设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为A ．2-B ．4-C ．8-D ．不能确定答案：B【解析】12max ||()x x f x -==||a =，4a =-，选B︒︒绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。

2009年全国高考江西卷(文数)答案

绝密★启用前秘密★启用后2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学参考答案1. 由11x y =得x y =,而由21x =得1x =±,由x y =,而x y <得不到22x y <故选A.2. 由20340x x x ≠⎧⎨--+≥⎩得40x -≤<或01x <≤,故选D.3. 仅参加了一项活动的学生人数=50-(30+25-50)=45, 故选B.4. 由()(1)cos cos 2sin()6f x x x x x x π===+可得最小正周期为2π,故选A. 5. 1222(2008)(2009)(0)(1)log log 1f f f f -+=+=+=,故选C.6.122(1)1n n n n n n C x C x C x x +++=+- ,当5,4x n ==时,4(1)1613537n x +-=-=⨯能被7整除, 故选C.7. 由tan62c b π==有2222344()c b c a ==-,则2ce a ==,故选B.8. 由2437a a a =得2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++得1230a d +=,再由81568322S a d =+=得1278a d +=则12,3d a ==-,所以1019010602S a d =+=,.故选C9. 由PQ ∥AC ，QM ∥BD ，PQ ⊥QM 可得AC ⊥BD ，故A 正确；由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故B 正确；异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与PN 所成的角，故D 正确；综上C 是错误的，故选C .10. 所有可能的比赛分组情况共有22424122!C C ⨯=种，甲乙相遇的分组情况恰好有6种，故选D .11. 由图可知，当质点(,)P x y 在两个封闭曲线上运动时，投影点(,0)Q x 的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故A 错误；质点(,)P x y 在终点的速度是由大到小接近0，故D 错误；质点(,)P x y 在开始时沿直线运动，故投影点(,0)Q x 的速度为常数，因此C 是错误的，故选B .12. 设过(1,0)的直线与3y x =相切于点300(,)x x ，所以切线方程为320003()y x x x x -=-即230032y x x x =-，又(1,0)在切线上，则00x =或032x =-，当00x =时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得2564a =-，当032x =-时，由272744y x =-与21594y ax x =+-相切可得1a =-，所以选A .二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2009年全国高中数学联合竞赛一试

2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）1．若函数()f x =且()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦L 144424443，则()()991f = ．【答案】 110【解析】 ()()()1f x f x = ()()()2f x f f x =⎡⎤⎣⎦……()()99f x故()()991110f =．2．已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为．【答案】 []36，【解析】设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得d 解得36a ≤≤．3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212t t -++【解析】由题意知()f t S =阴影部分面积 AOB OCD BEF S S S ∆∆∆=--()22111122t t =---212t t =-++4．使不等式1111200712213a n n n +++<-+++L 对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为．【答案】 2009【解析】设()1111221f n n n n =++++++L ．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．5．椭圆22221x y a b+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为．【答案】 22222a b a b+【解析】设()cos sin P OP OP θθ，， ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有 222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得22221111a b OP OQ+=+．于是当OP OQ ==OP OQ 达到最小值22222a b a b+．6．若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是．【答案】 0k <或4k = 【解析】 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩ 当且仅当0kx >① 10x +>② ()2210x k x +-+=③对③由求根公式得1x，2122x k ⎡=-⎣④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅰ)当0k <时，由③得 12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩ 所以1x ，2x 同为负根．又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x ．(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112kx =-=． (ⅲ)当4k >时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去．综上可得0k <或4k =为所求．7．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯……()121212n n a n --=+-⨯ ()212n n -=+故981001012a =⨯．8．某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）．【答案】 27【解析】旅客候车的分布列为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1．（本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=u u u r u u u r，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【解析】由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k+=-+ ()()()222184344480km k m ∆=-+->① ………………………………………………4分由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k+=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+>② ………………………………………………8分因为0AC BD +=u u u r u u u r，所以()()42310x x xx -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得2282343km kmk k -=+-．所以20km =或2241343k k -=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得m -<因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得k <．因k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2．（本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=L ，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）； (Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．【解析】方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n =L ，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=-令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+==L ，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以211n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n =L ，，．所以11n n n a a βα++=+()12n =L ，，． ①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n =L ，，变为11n n n a a αα++=+()12n =L ，，．整理得，111n nn n a a αα++-=，()12n =L ，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1n n a n α=+；……………………………………………………………………………5分②当240p q ∆=->时，αβ≠， 11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n =L ，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n =L ，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--．于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++L234112341222222n n n n s n ++=+++++L 以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-．……………………………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β．①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+=L ，，由12a α=，223a α=得 ()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得121A A ==．故()1n n a n α=+．……………………………………………………5分 ②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+=L ，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3．（本小题满分15分）求函数y 【解析】函数的定义域为[]013，.因为y == 当0x =时等号成立．故y 的最小值为．……………………………………………5分又由柯西不等式得22y =()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤． ………………………………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立．因此y 的最大值为11．…………………………………………………………………………………15分。

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2009年全国高中数学联赛赛区复赛试题第一试（80分钟）一、填空题（本题满分56分，每小题8分）1.已知数列{}n a 的前n 项和234n S n n =++()*n ∈，则13521a a a a ++++=________．2.若集合{}1,A ax x ==+∈为空集，则实数a 的取值围是________．3. 设x 、y 为实数，21x y +≥，则二元函数2242u x x y y =++-的最小值是________4.设1F 、2F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，以12F F 为直径的圆交双曲线左支于A 、B 两点，且1120AF B ∠=︒. 双曲线的离心率的值介于整数k 与1k +之间，则k =________．5.已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为216，则四面体11AB CD 与四面体11A BC D 的重叠部分的体积等于________．6.设[]x 表示不大于x 的最大整数，则3333[log 1][log 2][log 3][log 258]++++=________．7.设方程21221221100n n n n n x a x a x a x a +--------=的根都是正数，且1a =()21n -+，则0a 的最大值是________．8. 20091911⨯的方格棋盘的一条对角线穿过________个棋盘格．二、解答题（本题满分14分）求函数()44sin tan cos cot f x x x x x =⋅+⋅的值域．三、解答题（本题满分15分）如图，抛物线22y x =及点()1,1P ，过点P 的不重合的直线1l 、2l 与此抛物线分别交于点A ，B ，C ，D ．证明：A ，B ，C ，D 四点共圆的充要条件是直线1l 与2l 的倾斜角互补．四、解答题（本题满分15分）设a ，b 是正数，且1a ≠，1b ≠，求证：()()55441125111164a b a b a b --⋅>++--．第二试（150分钟）一、（本题满分50分）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，△ADE 的切圆与DE 切于点M ，△ABC 的BC 边上的旁切圆切BC 于点N ，点P 是BE 与CD 的交点，求证M 、N 、P 三点共线.二、（本题满分50分）设k ，n 为给定的整数，2n k >≥. 对任意n 元的数集P ，作P 的所有k 元子集的元素和，记这些和组成的集合为Q ，集合Q 中元素个数是Q C ，求Q C 的最大值.AB C D PE N M三、（本题满分50分）设12222s n n n M=+++，12,,,s n n n 是互不相同的正整数，求证：.(122222221s n n n M =+++<+四、（本题满分50分）求满足下列条件的所有正整数x ，y ：（1）x 与1y -互素；（2）231x x y -+=.2009年全国高中数学联赛赛区复赛参考答案与评分标准第一试一、填空题（本题满分56分，每小题8分） 1.2682. 11(,)(,)36-∞-+∞3.95-4.25.366.9327.18.3871二、解答题（本题满分14分）解因为()2664432sin 2sin cos sin cos 2sin cos cos sin sin cos sin 2xx x x x f x x x x x x x x-+=⋅+⋅==. ………………8分令sin 2t x =，则[)(]1,00,1t ∈-，()2322322t f x t t t -==-. 易知函数()232g t t t =- 在区间[)1,0-与(]0,1上都是减函数，所以()g t 的值域为11(,][,)22-∞-+∞，故()f x 的值域为11(,][,)22-∞-+∞. ………………14分三、解答题（本题满分15分）解设1l 、2l 的倾斜角分别为α、β，由题设知α、()0,βπ∈. 易知直线1l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，代入抛物线方程可化得 ()22sin2sin cos 10t t ααα+--=.设上述方程的两根为1t 、2t ，则 1221sin t t α-=. 由参数t 的几何意义，得21sin AP BP α⋅=. …………………5分同理21sin CP DP β⋅=. …………………7分若A 、B 、C 、D 四点共圆，则 AP BP CP DP ⋅=⋅，即 22sin sin αβ=. 因为α、()0,βπ∈，所以 sin sin αβ=.又由1l 、2l 不重合，则αβ≠. 所以αβπ+=. …………………11分反过来，若αβπ+=，则因α、()0,βπ∈，故sin sin αβ=，且0α≠，0β≠. 所以2211sin sin αβ=，即AP BP CP DP ⋅=⋅. 故A 、B 、C 、D 四点共圆. …………………15分四、解答题（本题满分15分）解因为 54324321111a a a a a a a a a -++++=-+++，且 ()()()4323281511a a a a a a a a ++++-++++43232223a a a a =---+()()424322121a a a a a =-++--+()()()222212110a a a a =-+-++> （1a ≠），所以()4323215118a a a a a a a a ++++>++++，即()5415118a a a ->+-. …………………10分同理可证 5415(1)18b b b ->+-.于是，()55441125(1)11164a b a b a b --⋅>++--. …………………15分2009年全国高中数学联赛赛区复赛参考答案与评分标准加试一、（本题满分50分）证设BE 与MN 交于点'P .因为DE ∥BC ，所以BP BC PE DE =，''BP BNP E EM=. 故只需证明BC BN DE EM =，或BN EMBC DE=. ………………10分如图, 设1O 、2O 分别为三角形的切圆与旁切圆的圆心，F 、G 、H 、I 为切点，则 ()12EM AE DE AD =+-， AH AB BH AB BN =+=+，()12AH AI AB BC AC ==++， ()12BN AH AB AC BC AB =-=+-.………………30分又 ADE ∆∽ABC ∆，故可设AB BC ACk AD DE AE===，则1()2AC BC AB BN BC BC+-=()2()2k AE k DE k AD k DEAE DE AD EM DE DE⋅+⋅-⋅=⋅+-==故结论成立． ………………50分二、（本题满分50分）解 Q C 的最大值为kn C . …………………10分因P 共有k n C 个k 元子集，故显然有kQ n C C ≤. …………………20分下面我们指出，对集合2{2, 2, , 2}n P =，相应的Q C 等于kn C ，即P 的任意两个不同的k元子集的元素之和不相等. 从而Q C 的最大值为kn C .ABCD PE NM AB C D P E NM O 1 O 2F GIH事实上，若上述的集合P 有两个不同的k 元子集12{2,2,,2}k r r r A =， 12{2,2,,2}k s s s B =，使得A 与B 的元素之和相等，则1212222222k k r s r r s s M +++=+++=（设）. ①因①可视为正整数M 的二进制表示，由于i r 互不相同，i s 互不相同，故由正整数的二进制表示的唯一性，我们由①推出，集合12{,,,}k r r r 必须与12{,,,}k s s s 相同，从而子集A B =，矛盾.这就证明了我们的断言. …………………50分三、（本题满分50分）证对s 归纳.（1）当1s =时，结论显然成立. …………………10分（2）假设s k =时结论成立，当1s k =+时，不妨设121k k n n n n +>>>>.由归纳假设可知，122222(1kn n +++<，则1121222222222(12k k nn n n n+++++<.所以只要证明： 12(12(1n <此即1>. …………………30分因为正整数121k k n n n n +>>>>，所以122231211222221222.k nn n n nn n ++-≥>++++≥+++ .故=所以11222)21n n >=，即1s k =+时，命题成立.因此，由数学归纳法可知，命题对所有正整数s 成立.…………………50分四、（本题满分50分）解显然 1x =，1y =满足要求.…………………10分对于1x >，1y >，方程可化为 ()()()2111y y y x x -++=-.显然x y >. 因为(),11x y -=，故x 一定是21y y ++的一个因子. 设21y y kx ++=（k 为正整数），从而()11x k y -=-. 由x y >可知2k ≥.…………………20分消去x ，得()2211y y k y k ++=-+，即 ()()()221113y y k y k -+-=-+-. 由此推得 ()13y k --. …………………40分若3k >，则13y k -≤-，即2k y ≥+，从而()()2221121k y k y y k k -+=++<+-+，故必有10y -=，矛盾.所以 3k ≤，从而2k =，3. 验证知7y =，19x =.综上，()(),1,1x y =，()19,7. …………………50分。