2009年全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案

2009年全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案

2009年全国高中数学联赛江西省预赛试题

一、填空题（ 每小题10分，共80分）

1.

某人在将2009中间的两个数码00分别换成两

位数ab 与cd 时，恰好都得到完全平方数：

2229,29,(,,)

ab n cd m m n m n N ==>∈，

则

数

组

(),m n ab cd ++= ．

2. 若一个椭圆的焦点和顶点分别是双曲线

22

1916

y x -=的顶点和焦点，则椭圆的方程

为： ．

3.

实数,x y 满足2

2236x

y y

+=，则x y +的最大值

是 ．

4. 四面体ABCD 中，,,,1CD BC AB BC CD AC AB BC ⊥⊥===平面BCD 与平面ABC 成0

45的二面角，则点B 到平面

ACD

的距离为 ． 5.

从集合{}

1,2,3,

,2009M =中，去掉所有3的倍数以及

5

的倍数后，则M

中剩下的元素个数

为 ．

6.

函数

3

22

()(1)x x f x x -=

+的值域是 ．

7.

247cos

cos

cos cos 15

151515

π

πππ--+= ．

8. 九个连续正整数自小到大排成一个数列

129

,,,a a a ，若1

3

579

a a

a a a ++++的值为一平方数，

2

4

68

a a a a +++的值为一立方数，则这九个正整数之和的最小值是 ．

二、解答题（ 共70分）

9

. （20分）给定Y 轴上的一点(0,)A a （1a >），对

于曲线2

1

1

2

y x =-上的动点(,)M x y ，试求,A M 两点之间

距离AM 的最小值（用a 表示）．

10

. （25分）如图，AB 、CD 、EF 是一个圆中

三条互不相交的弦，以其中每两条弦为一组对边，各得到一个凸四边形，设这三个四边形的对角线的交点分别为,,M N P ；证明：,,M N P

三点共线．

D

F

B A

C

答案

1. (100,100)

提示： 注意到，对于整数k ，若2

k 的

末位数为9，则k 的末位数必为3或7，易知

244200029

ab <<，（

2452025

=），

255302529

cd =>，因此

4455

n m <<<，于是，若要,m n 满足条件，只可能是，

47,53

n m ==，由于2

472209=，2

532809=，所以

20,80,47,53ab cd n m ====，()(),100,100m n ab cd ++=． 2.

22

11625

x y += 提示：双曲线的两顶点为()0,3±，两

焦点为()0,5±，故由条件，椭圆的两焦点为()0,3±，两顶点为()0,5±，因此，3,5c a ==，2

2216

b a

c =-=，则椭

圆的方程为

22

11625

x y +=．

3. 11102

+

提示：令x y t

+=，则

x t y

=-，由

()2

2236t y y y

-+=，得()2

2522320

y

t y t -++=，因y 为实数，则

判别式()2

24234520

t t ∆=+-⨯⨯≥210210t -+≤≤．

4.

33

提示：2DC AC ==，作DE ⊥平面ABC ，垂

足为E ，连,CE AE ，由三垂线逆定理，EC BC ⊥，所以

45DCE ∠=，故2

12

CE DE DC ==

=，1136

ABCD

ABC V

DE S =⋅=，又因

ABCE

为正方形，1AE =，则2AD =因此正三角形ACD

的面积为

3

2

，设B 到平面ACD 的距离为h ，由

1136

ACD h S ⋅=，得3

3

h =

5. 1072

．提示：集合M 中，3的倍数有20096693

⎡⎤

=⎢⎥⎣

⎦

个，5

的倍数有20094015⎡⎤=⎢⎥⎣

⎦

个，15的倍数有200913315⎡⎤

=⎢⎥⎣

⎦

个，

则剩下的元素个数为()20096694011331072-+-=个．

6. 11

[,]

44

- 提示：

2

22

1()11x x f x x x -=⋅

++，令tan x α=，则 11

sin 2cos 2sin 424

f ααα

=⋅=，

由此，1144f -≤≤，当tan ,tan 88

x ππ

=-时两边分别取得等号．

7

.

12

-

．提示：