2020年高考数学 大题专项练习 数列 三(15题含答案解析)

2020年高考数学 大题专项练习
数列 三
1.已知数列{a n }满足a n+1=λa n +2n (n ∈N *，λ∈R)，且a 1=2．
(1)若λ=1，求数列{a n }的通项公式；
(2)若λ=2，证明数列{n n a 2
}是等差数列，并求数列{a n }的前n 项和S n ． 2.设数列{}的前项和为
.已知=4，=2+1，.（1）求通项公式
；（2）求数列{}的前项和.
3.已知数列{a n }是等差数列，a 2=6，前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，b 2=2，a 1b 3=12，S 3＋b 1=19.
(1)求{a n }，{b n }的通项公式；
(2)求数列{b n cos(a n π)}的前n 项和T n .
4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＋a 13=34，S 3=9.
(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式；
(2)设数列{b n }的通项公式为b n =，问：是否存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m (m≥3，m an an ＋t
∈N)成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由．
5.已知数列满足：，。

数列的前n 项和为,且
.⑴求数列、的通项公式；⑵令数列满足，求其前n 项和为
6.已知{a n }是递增数列，其前n 项和为S n ，a 1>1，且10S n =(2a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项a n ；
(2)是否存在m ，n ，k ∈N *，使得2(a m ＋a n )=a k 成立？若存在，写出一组符合条件的m ，n ，k 的值；若不存在，请说明理由．
7.已知数列的前项和为，且满足；数列的前项和为，且满足
，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得恰为数列中的一项？若存在，求所有满足要求的；若不存在，说明理由.
8.已知是各项均为正数的等比数列,且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）为各项非零的等差数列,其前n项和S n,已知,求数列的前n项和.
9.已知数列{a n}是等比数列，为数列{a n}的前项和，且
（1）求数列{a n}的通项公式.
（2）设且{b n}为递增数列.若求证：
10.在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1=1，a 2，a 4，a 8成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n =2a n ，T n =b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .
11.已知数列{a n }满足a 1=1，且a n =2a n ﹣1+2n (n ≥2，且n ∈N *)
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设数列{a n }的前n 项之和S n ，求证：322
->n S n n ．12.已知数列是等比数列，首项为，公比，其前n 项和为，且
成等差数列.（1）求的通项公式；
（2）若数列满足为数列前n 项和，若恒成立，求的最大
值.
13.设数列{a n}满足a1=2，a n+1=2a n+2n+1（n∈N*）．
（1）若b n=，证明：数列{b n}为等差数列，并求出数列{b n}的通项公式；
（2）若c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和S n．
14.若数列{a n}的前项和S n满足,等差数列{b n}满足
.
(1)求数列{a n}、{b n}的通项公式;
(2)设,求数列的前项和为.
15.已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为，且满足，N.（1）求a2的值；
（2）求数列{a n}的通项公式；
（3）是否存在正整数k, 使a k,S2k-1,a4k成等比数列? 若存在, 求k的值；若不存在,请说明理由.
答案解析
1.解：
2.（1）；（2）.
3.解：(1)∵数列{a n}是等差数列，a2=6，
∴S3＋b1=3a2＋b1=18＋b1=19，
∴b 1=1，
∵b 2=2，数列{b n }是等比数列，
∴b n =2n-1.
∴b 3=4，
∵a 1b 3=12，∴a 1=3，
∵a 2=6，数列{a n }是等差数列，
∴a n =3n.
(2)设C n =b n cos(a n π)，由(1)得C n =b n cos(a n π)=(-1)n 2n-1，
则C n ＋1=(-1)n ＋12n ，∴=-2，Cn ＋1Cn
又C 1=-1，
∴数列{b n cos(a n π)}是以-1为首项、-2为公比的等比数列．
∴T n ==[(-2)n -1]．－1×[1－ －2 n]1－ －2 13
4.解：(1)设{a n }的公差为d ，由题意得Error!
解得a 1=1，d=2，故a n =2n －1，S n =n 2.
(2)由(1)知b n =，要使b 1，b 2，b m 成等差数列，必须有2b 2=b 1＋b m ，2n －12n －1＋t
即2×=＋，移项得=－=，33＋t 11＋t 2m －12m －1＋t 2m －12m －1＋t 63＋t 11＋t 6＋6t －3－t 3＋t 1＋t
整理得m=3＋.4t －1
因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2,3,5.
当t=2时，m=7；当t=3时，m=5；
当t=5时，m=4.
所以存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m 成等差数列．5.
6.解：
(1)由10a 1=(2a 1＋1)(a 1＋2)，得2a －5a 1＋2=0，解得a 1=2或a 1=.2112
又a 1>1，所以a 1=2.
因为10S n =(2a n ＋1)(a n ＋2)，
所以10S n =2a ＋5a n ＋2，2
n 故10a n ＋1=10S n ＋1－10S n =2a ＋5a n ＋1＋2－2a －5a n －2，2n ＋
12n 整理，得2(a －a )－5(a n ＋1＋a n )=0，2n ＋
12n 即(a n ＋1＋a n )[2(a n ＋1－a n )－5]=0.
因为{a n }是递增数列且a 1=2，
所以a n ＋1＋a n ≠0，因此a n ＋1－a n =.52
所以数列{a n }是以2为首项，为公差的等差数列，52
所以a n =2＋(n －1)=(5n －1)．5212
(2)满足条件的正整数m ，n ，k 不存在，理由如下：假设存在m ，n ，k ∈N *，使得2(a m ＋a n )=a k ，
则5m －1＋5n －1=(5k －1)，12
整理，得2m ＋2n －k=，(*)35
显然，(*)式左边为整数，所以(*)式不成立．故满足条件的正整数m ，n ，k 不存在．
7.
8.Ⅰ）；（Ⅱ）
9.
10.解：
(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意有Error!解得d=1或d=0(舍去)，∴a n =1＋(n －1)=n.
(2)由(1)得a n =n ，∴b n =2n ，∴{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，
∴T n ==2n ＋1－2.2 1－2n 1－2
11.解：
12.
13.
　14.解：
15.。