高等数学 下册 (殷锡铭 许树声 著) 华东理工出版社 课后答案 第11章 khdaw

0
f x (0,0),
f y (0,0)
。
x2 ln x2
解：
f
x
(0,0)
=
lim
x→0
x
=0 ，
f y (0,0)
=
lim
y→0
0
− y
0
=
0
。
***5. 设 f (x, y) = x − y ϕ(x, y) ， 其 中 ϕ ( x, y) 在 点 （ 0 ， 0 ） 的 邻 域 内 连 续 ， 欲 使 f x (0,0)存在，问ϕ ( x, y)应满足什么条件？
第 11 章（之 3）
（总第 60 次）
教材内容：§11.2 偏导数 [§11.2.2 ~ 11.2.4]
**1. 求函数 f (x, y, z) = xchz − yshx 的全微分，并求出其在点 (0,1, ln 2) 处的梯度向量。
解： df (x, y, z) = d (xchz) − d(yshx)
其次， y = 0 时，极限为
lim
x2 − y2 x2 = =1，
y=0
(x, y )→(0,0)
x2
+
y2
x2
x2 − y2
故极限
(
x,
lim
y )→(0,0
)
x
2
+
y2
不存在。
1 + xy −1
***9. 求极限： lim
。
(x, y )→(0,0) x2 + y2
( )( ) ( )( ) 解：0 ≤
***7. 求出满足 f ⎜⎛ x + y, y ⎟⎞ = x2 − y2 的函数 f (x, y) .
⎝
x⎠
解：令
⎪⎧s ⎪⎩⎨t
= =
x y x
+
y
，
∴
⎪⎧x ⎨
⎪y
= =
1
s
+ st
t
⎩ 1+t
∴
f
(s,t) =
s2 − s2t 2
(1 + t)2
=
s2(1 − t) ， 1+ t
即
f (x, y) = x2(1 − y) 。
1 ⋅ 1+ y
(0,0)
=
1， 2
ห้องสมุดไป่ตู้
1+ ⎜ ⎟
⎝1+ y⎠
∂z
1 ⎡ 1+ x ⎤
1
∂y (0,0) =
⎛1+
2
x⎞
⋅
⎢− ⎣
(1
+
y)
2
⎥ ⎦
(0,0)
=
− 2
，
1+⎜ ⎟
⎝1+ y⎠
∂z
=
1
cosα
+
(−
1 )
sin α
=
1
{1,−1} ⋅{cosα,sinα}
=
2 cosϕ ，
∂l 2
2
2
2
***6.
求曲线
⎧ ⎨ ⎩
z x
= =
x 1
2
− xy +
y2 在 (1,1,1)点处切线与
y 轴的夹角。
( ) 解：由于曲线在平面 x = 1 内，故由 z y (1,1) = − x + 2 y (1,1) = 1，
得切线与 y 轴的夹角为 arctan1 = π 。[也可求出切向量为 {0,1,1}]
答：A
x2 + y2 ≠ 0
x2 + y2 = 0
(B) 处处有极限，但不连续 (D) 除（0,0）点外处处连续
答（ ）
**3. 画出多元函数 u = x − y 的定义域。
{ } 解：定义域为： (x, y) y ≤ x ，见图示阴影部分：
y
0
x
**4. 求函数 z =
x− y
的定义域，并在直角坐标系中画出其图形：
于是 df (x, y) = xdx + ydy = x∆x + y∆y ，
x2 + y2
x2 + y2
f (x + ∆x, y + ∆y) ≈ f (x, y) + x∆x + y∆y ，
x2 + y2
∴ (2.98)2 + (4.03)2 ≈ 32 + 42 + 3(− 0.02) + 4(0.03) = 5.012 。
4
{0,1,1}{0,1,0}
2π
∴夹角= arccos
= arccos = 。
12 + 12 12
24
**7. 设 f (x, y) = xy ，试证明 fx '(0,0) = 0 ， f y '(0,0) = 0 。
解：由于 f (x,0) = 0 ，∴ f x '(0,0) = 0 ，同理 f y '(0,0) = 0 。
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x+ y
解：
x x
− +
y y
≥
0
⇔
⎧(x − y)(x +
⎨ ⎩
x
+
y
≠
0
y)≥
0
⇔
⎧x ≥ y ⎩⎨x ≠ − y
***5. 试讨论函数z = arctan x + y 的连续性。 1 − xy
解：由于arctan x + y 是初等函数，所以除xy = 1以外的点都连续，但在 1 − xy
xy = 1上的点处不连续。
32 + 42
***5．已知圆扇形的中心角为α = 60o ，半径为 r = 20cm ，如果 α 增加了1o ， r 减少了 1cm，
试用全微分计算面积改变量的近似值。
解： S = 1 r 2 πα ， 2 180
53
dS = π (2rα dr + r 2dα ) ， 360
∴ ∆S ≈ dS = π ( 2 × 20 × 60 × (−1) + (20)2 ×1) = −17.4533(cm2 ) 。
360
360
***6. 计算函数 f (x, y, z) = ln(x + 2 y + 3z) 在点 (1,2,0)处沿给定方向
v vvv l = 2i + j − k
的
方向导数。
解：
fx
=
x+
1 2y
+ 3z
,
fy
=
x+
2 2y + 3z
,
fz
=
3 x + 2y + 3z
，
v el
=
⎧ ⎨
⎩
2, 6
1 ,− 6
1⎫ ⎬，
6⎭
∴
∂fv ∂l
=
∇f
⋅ evl
=
⎧1 ⎩⎨5
,
2 5
,
3 5
⎫ ⎬ ⎭
⋅
⎧ ⎨ ⎩
2, 6
1 ,− 6
1 6
⎫ ⎬ ⎭
=
5
1 6
。
***7.
函数z
=
1+ arctan
x 在（0，0）点处沿哪个方向的方向导数最大，并求此方向导数
1+ y
的值。
解： ∂z ∂x
(0,0)
=
1
2
⎛1+ x⎞
教材内容：§11.1 多元函数
第 11 章（之 1）
（总第 58 次）
**1. 函数 f (x, y) = ln(x 2 + y 2 − 1) 连续区域是 _______ 。
答：x 2 + y 2 > 1
⎧ xy
**2.
函数
f
(x, y)
=
⎪ ⎨
x2 + y2
⎩⎪ 0
(A) 处处连续
(C) 仅在（0,0）点连续
= chzdx + xshzdz − shxdy − ychxdx
= (chz − ychx)dx − shxdy + xshzdz
∴
df
(x,
y,
z)
(0,1,ln 2)
=
1 4
dx
，
∇f
(x,
y)
(0,1,ln 2)
=
⎧1
⎨ ⎩
4
,0,0⎬⎫ 。 ⎭
**2.求函数 z = arctan x + y 的全微分. 1 − xy
⎧
***10.
讨论函数
f (x, y)
=
⎪ ⎨
x2
+
y2
sin
x2
1 +
y2
,
⎩⎪ 0
x2 + y2 ≠ 0
在点（0，0）处的连
x2 + y2 = 0
续性，可导性和可微性。
解：因为 lim f (x, y) = lim
x→0
x→0
x2
+
y2
sin x2
1 +
y2
=0=
f (0,0)
，
y→0
y→0
所以 f (x, y)在点（0，0）连续。
**1. 设z = x + ( y − 2) arcsin
x
∂z
，那么
=
y
∂y (!,2)
（）
(A) 0 ； 答：(D)
(B) 1；
(C) π ； 2
(D) π 。 4
**2. 设z = x − 2y + ln
x2 + y2 + 3exy
，求z
x
,
z
。
y
解： zx
= 1+
x2
x +
y2
+ 3ye xy ，
zy
=
−2 +
x2
y +
y2
+ 3xe xy
。
**3. 求函数 z = arctan y 对各自变量的偏导数. x
解： z x
=
−
y x2+y2
,zy
=
x2
x +
y2
。
⎧ x 2 ln(x 2 + y 2 ), x 2 + y 2 ≠ 0
**4. 设 f (x, y) = ⎨ ⎩0,
x2
+
y2
=
，根据偏导数定义求
1 + xy −1 =
xy
( ) 1 x2 + y2
≤
2
x2 + y2
1 + xy + 1 x2 + y2
1 + xy + 1 x2 + y2
( ) = x2 + y2 → 0 （ (x, y) → (0,0) ） 2 1 + xy + 1
1 + xy −1
∴ lim
= 0。
(x, y )→(0,0) x2 + y2
其中ϕ
为lv
=
{cos α , sin α }
与gv
=
⎧ ⎨ ⎩
1 2
,−
1⎫
2
⎬的夹角， ⎭
所以ϕ
=
0 时，即lv
与gv
∂z
同向时，方向导数取最大值
∂l
=
2
。
2
**8. 对函数 f (x, y, z) = e xyz 求出 ∇f (x, y, z) 以及 ∇f (1,2,3) .
54
{ } 解： ∇f = yze xyz , xze xyz , xyexyz ， ∇f (1,2,3) = e6 {6,3,2}。
解： dz = d arctan x + y 1 − xy
= d (arctan x + arctan y)
52
= d arctan x + d arctan y
dx dy
=
+
1+ x2 1+ y2
sec2 (xy)
**3. 设z =
，求 d z 。
ln(xy − 1)
解：d z = [ln(xy − 1)]d sec2 (xy) − sec2 (xy) d ln(xy − 1) [ln(xy − 1)]2
50
y sin2x
**10. 求极限lim
。
x→0 xy + 1 − 1
y→0
解：lim
y sin 2x
y sin 2x ⋅ ( = lim
xy + 1 + 1)
= 4。
x→0 xy + 1 − 1 x→0
xy
y→0
y→0
第 11 章（之 2）
（总第 59 次）
教材内容：§11.2 偏导数 [§11.2.1]
1+ y
x2 − y2
**8. 说明极限 lim
不存在。
(x, y)→(0,0) x 2 + y 2
解：我们证明 (x, y)沿不同的路径趋于 (0,0)时，极限不同。
首先， x = 0 时，极限为 lim x 2 − y 2 = − y 2 = −1 ，
x=0
(x, y )→(0,0)
x2
+
y2
y2
f (0 + ∆x,0) − f (0,0)
∆x 1
因为 lim ∆x→0
∆x
=
lim
∆x→0
∆x
sin
( ∆x) 2
，
极限不存在， f ( x, y)在（0，0）处不可导，从而在（0，0）处不可微。
第 11 章（之 4）
**9.
求函数在指定点处的梯度:
f (x, y, z)
=
(x +
y)
1 z
,
(
e
+
1
,
e
−
1
,
1
)
2 22
解： ∇f
=
⎧
⎪1
⎨ ⎪
z
(x
+
y)
1 −1
z,
1 z
(x
+
y)
1 −1
z ,−
(x
+ z
1
y) z
2
⎫ ln(x + y)⎪⎬ ，
⎪
⎩
⎭
{ } ∇f (e + 1, e −1, 1) = 2e,2e,−4e2 。 2 22
=
1
[ln(xy − 1)2 sec2 (xy) tan(xy)( y d x + x d y) −
[ln(xy − 1)]2
sec2 (xy)
−
( y d x + x d y)]
xy − 1
= [2 ln(xy − 1) tan(xy)(xy − 1) − 1]( ydx + xdy) 。 (xy − 1) cos2 (xy) ln2 (xy − 1)
xy **6. 试求函数 f (x, y) = sin2 πx + sin2 πy 的间断点。 解：显然当(x, y) = (m,n) m,n ∈ Z 时， f (x, y)没定义，故不连续。
49
xy 又 f (x, y) = sin2 πx + sin2 πy 是初等函数。
所以除点(m, n)（其中m,n ∈ Z ）以外处处连续。
**4. 利用 ∆f ≈ df ，可推出近似公式： f (x + ∆x, y + ∆y) ≈ f (x, y) + df (x, y)，
并利用上式计算 (2.98)2 + (4.03)2 的近似值。 解：由于 f (x + ∆x, y + ∆y) ≈ f (x, y) + df (x, y)，
设 f (x, y) = x2 + y2 ， x = 3, y = 4, ∆x = −0.02, ∆y = 0.03 ，
f (∆x,0) − f (0,0)
∆x ϕ(∆x,0)
解： lim
= lim
，
∆x→0
∆x
∆x→0
∆x
51
欲使 f x (0,0)存在，只要
∆x ⋅ϕ(∆x,0)
− ∆x ⋅ϕ(∆x,0)
lim
= lim
；
∆x→0+
∆x
∆x→0−
∆x
即 ϕ(0,0) = −ϕ(0,0) ， 故 ϕ(0,0) = 0 。