第九章 振动

T ′ = 2π
故 即T ′ = T
2m′Rh′ 2R T ′ = 2π , = 1. m′gh′源自文库g T
可知不管圆环去掉多少，只要刀口高于剩余圆弧中央，其振动周 期均不变。 9.2.11 1m 长的杆绕过其一端的水平轴作微小摆动而成为物理摆.另
一线度极小的物体与杆的质量相等.固定于杆上离转轴为 h 的地方. 用 T0 表示未加小物体时杆子的周期， 用 T 表示加上小物体以后的周期.
T （1）求当 h = 50cm 和 h = 100cm 时的比值 T0 .（2）是否存在某一 h 值，
可令 T = T0 ，若有可能，求出 h 值并解释为什么 h 取此值时周期不变. [解 答]
T = 2π I mgh c
（1）利用 9.2.1 得到的物理摆公式
设 m 0 为杆质量， ℓ 为杆长，未加小物体时， 加小物体后，
3
6
[解 答] 以平衡位置为原点，建立坐标系 O-x，竖直向下为正方向。
T=
2π m = 2π = 0.199(s ) ω0 k
（1）
（2）设运动方程为：
x = A cos(ω0t + α ) ω0 = k = 31.6 m ⎧ x0 A cos α t = 0时， ⎨ ⎩ν 0 = − Aω0 sin α x ⎧ cos α = 0 = 0.726 ⎪ A ⎪ ⎨ ⎪sin α = − ν 0 = −0.688 − Aω0 ⎪ ⎩ α = −0.759(rad ) = −43.49�
即 故
所以运动学方程为：
x = 6.89 × 10 −3 cos(31.6t − 0.759) π x = 5cos(8t+ ) 4 ，若计时起点提前 9.2.8（1）一简谐振动的运动规律为
0.5s，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或 推迟若干？ （2）一简谐振动的运动学方程为 x = 8sin(3t − π ) .若计时起点推迟 1s，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？ （3） 画出上面两种简谐振动在计时起点改变前后 t = 0 时旋转矢量 的位置. [解 答] （1）
t =0
x = 8cos(3t −
3π ) 2
π x = 5cos(8t + ) 4 t′ = 0 π x = 5cos(8t ′ − 4 + ) 4
) 45
−184
� �
−
t=0 x
3π 2
x
−98
�
t′ = 0
x = 8cos(3t ′ + 3 −
3π ) 2
(b)
(a) 9.2.9 画出某简谐振动的位移——时间曲线，其运动规律为
mg − k1 (x +△ℓ) = m m d2 x + k1 x=0 dt 2 k1 m d2x dt 2
ω0 =
串联另一刚度系数为 k 2 的弹簧： 此时弹簧组的劲度系数为 k = ?
k1 △ℓ1 = mg ⎫ ⎬; k 2 △ℓ 2 = mg ⎭ k + k2 mg △ℓ1 +△ℓ 2 = 1 mg = k1k 2 k1k 2 /(k1 + k 2 ) △ℓ = mg / k ∴ k = k1k 2 /(k1 + k 2 )
π x = 5cos(8t + ) 4
（1）
计时起点提前 0.5，则 t ′ = t + 0.5 ，代入（1）式，运动方程为：
x = 5cos[8(t ′ − 0.5) + π π ) = 5cos[8t ′ − 4 + ) 4 4
设计时起点提前 t0 秒，可使初相为零，即 t ′′ = t + t0 ，代入（1）式得：
� � W （1）以车为参照系，摆锤为隔离体，受重力 ，摆线张力 T ，
∗ 惯性力 f = −ma 。 ∗ 平衡位置处有： T + mg + f = 0
�
�
�
� �
由此可得平衡位置时摆线铅直夹角
tgα = a g
(1)
由平衡位置发生小角位移 θ 由牛顿第二定律:在切线方向的分量式
−mg sin(α + θ ) + ma cos(α + θ ) = maτ
第九章
振动
9.2.1 一刚体可绕水平轴摆动.已知刚体质量为 m，其重心 C 和轴 O 间的距离为 h， 刚体对转动轴线的转动惯量为 I.问刚体围绕平衡位置 的微小摆动是否是简谐运动？如果是，求固有频率，不计一切阻力. [解 答] 刚体受力如图所示， 规定逆时针为转动正方向， φ 为与 OC 铅垂 线（为平衡位置）的夹角，由对 O 的转动定理；
k1
m
k2
� � k , k F1 , F2 , 1 2 以物体 m 为隔离体,水平方向受 的弹性力 以平衡位置
为原点建立坐标系 O − x ，水平向右为 x 轴正方向。设 m 处于 O 点对两 弹簧的伸长量为 0，即两个弹簧都处于原长状态。m 发生一小位移 x 之后，弹簧 k1 的伸长量为 x，弹簧 k 2 被压缩长也为 x。 故物体受力为： Fx = −k1x − k 2 x= − (k1 + k 2 )x （线性恢复力）
k=
1 2 mω0 = 354( N / m) 2
9.2.6 一弹簧振子，弹簧的劲度系数为 k = 9.8N / m ，物体质量为 20g 现将弹簧自平衡位置拉长 2 2cm 并给物体一远离平衡位置的速度，其 大小为 7.0m/s，求该振子的运动学方程(SI). [解 答] 以平衡位置为原点建立坐标系 O-x,水平向右为正方向。弹簧 振子的运动方程为:
′= ω0
k1k 2 k , 前ω0 = 1 m(k1 + k 2 ) m
ω0 =2 已知： ω ′
′= ω0 k1k 2 k , 前ω0 = 1 m(k1 + k 2 ) m
k1 m =2 k1k 2 m(k1 + k 2 ) 1 k 2 = k1 3 解得：
9.2.4 单摆周期的研究.（1）单摆悬挂于以加速度 a 沿水平方向直线 行驶的车厢内.（2）单摆悬挂于以加速度 a 上升的电梯内.（3）单摆 悬挂于以加速度 a(<g)下降的电梯内.求此三种情况下单摆的周期.摆 长为 ℓ . [解 答]
x = A cos(ω0t + α ),∵ k = 9.8( N / m), m = 200 g ω0 =
9.8 = 7(rad / s ) 200 × 10−3
故
t = 0 时， x = x0 = 2 2(cm),ν = ν 0 = 7.0(cm / s )
2 A = x0 +
ν 02 = 3 × 10−2 (m ) 2 ω0 x0 = A cos α ⎫ ⎬ ν 0 = − Aω0 sin α ⎭
原子之间彼此以弹簧连结.一摩尔银的质量为 108g 且包含 6.02 × 10 个 原子.现仅考虑一列原子，且假设只有一个原子以上述频率振动，其 它原子皆处于静止，计算一根弹簧的劲度系数. [解 答]
23
由 9.2.2 知 这里
ω0 =
k1 + k 2 m
k1 = k2 = k
∴ω0 = 2k m
Iβ = M = − mgh sin φ
因 φ 很小故 sin φ = φ
d 2φ ∴ I 2 + mghφ = 0 dt 2 d φ mgh + φ =0 dt 2 I
2 ω0 = mgh/2
9.2.2 轻弹簧与物体的连接如图所示， 物体 质量为 m，轻弹簧的劲度系数为 k 1 和 k 2 ，支 承面是理想光滑面，求系统振动的固有频 率. [解 答]
π x = 5cos(8t ′′ − 8t0 + ) = 5 cos(8t ′′ ) 4
有
−8t0 +
π π = 0, 即t0 = 4 32
π 即提前 32 秒时计时可使其初相为零。
（2）
x = 8sin(3t − π ) = 8cos(3t −
3π ) 2
（2）
计时起点提前 t0 秒时 t ′ = t + t0 代入
m 相当于受到刚度系数为 k=k1 + k 2 的单一弹簧的作用 由牛顿第二定律：
d2x m 2 = −(k1 + k 2 )x dt d2x m 2 + (k1 + k 2 )x=0 dt
2 ω0 =
k1 + k 2 m
9.2.3 一垂直悬挂的弹簧振子，振子质量为 m，弹簧的劲度系数为 k 1 . 若在振子和弹簧 k 1 之间串联另一弹簧，使系统的频率减少一半.串联 上的弹簧的劲度系数 k 2 应是 k 1 的多少倍？ [解 答] 未串时：平衡位置 mg = k1△ℓ
3 x = 8cos(3t ′ − 3t0 − π ) 2
若计时起点推迟一秒，则 t0 = −1 ，此时初相为
3 3 α = −3t0 − π = 3 − π 2 2 3 π α = −3t0 − π = 0 t0 = − 2 2 若要 ，需
π 即推迟 2 秒计时时，可使初相为零。
（3） 见图 a,b
即
∵θ
− g (sin α cos θ + cos α sin θ ) + a (cos α cos θ − sin α sin θ ) = aτ
角很小,故 sin θ = θ , cosθ = 1.于是得:
− g (sin α + θ cos α ) + a(cos α − θ sin α ) = aτ
1 ℓ I = m 0 ℓ 2 , m = m0 , h c = 3 2 1 m0 ℓ2 2ℓ T0 = 2π 3 = 2π ℓ 3g m 0g 2 m0 ℓ + m0h ℓ h 2 = + 2m0 4 2
1 I′ = m0 ℓ 2 + m0 h 2 , m′ = 2m0 , h′ c = 3 1 m 0ℓ 2 + m 0h 2 T = 2π 3 ℓ h 2m0 g( + ) 4 2
∵ t = 0 时，
→ α = −0.34(rad )
弹簧振子的运动方程：
x = 3 × 10−2 cos(7t − 0.34)
9.2.7 质量为 1.0 × 10 g 的物体悬挂在劲度系数为 1.0 × 10 dyn / cm 的弹簧 下面.（1）求其振动的周期.（2）在 t = 0 时，物体距平衡位置的位移 为 +0.5cm ，速度为 +15cm / s ，求其运动学方程.
1 x = 2 cos 2π (t + ) 4 （SI 制）
[解 答]
1 x = 2cos 2π (t + ) 4 （ SI 制） 1 t′ = t + 4 令 −
x(cm)
2
1 O 0 4 1 4 1 2
t ( s)
则 有 x = 2cos 2π t ′
为周期引的余弦曲线。 画出
t = t′ −
x − t′
ω0 = mgh I , T = 2π .m I mgh 为薄圆球质量。 h = R
根据平行轴定理：
′ + moo′2 = mR2 + mR2 = 2 mR2 I = I0 = I0 2mR 2 2R ∴T = 2π = 2π mgR g
（2）根据单摆公式
T0 = 2π
ℓ g
由 T = T0 , 可得 ℓ = 2 R
T ′ = 2π
（3）该装置为物理摆，仍利用公式
I′ m′gh′
由对称性可知，质心位于 oo′ 上。 m′ 为剩余圆弧的质量， h′ = oc 。
2 ′ + m′o′c 2 = IC ′ + m′( R − h′)2 根据平衡轴定理。 I 0′ = m′R = IC
′ = IC ′ + m′n′ = m′R 2 − m′( R − h′) 2 + m′h′2 = 2 m′Rh′ I0
ω0 = T = 2π
g cos α + a sin α = ℓ
ℓ
g 2 + a2 ℓ
g 2 + a2
(2)以电梯为参照系,惯性力与重力沿铅垂方向,同于的分析摆线 为铅垂位置时为平衡态.
T = 2π
ℓ g +a
(3) 同(2)的分析得:
T = 2π
ℓ g−a
3 9.2.5 在通常温度下，固体内原子振动的频率数量级为 10 / s .设想各
曲线，再根据
1 1 4 的关系。将 ox 轴右移 4 周期。
9.2.10 半径为 R 的薄圆环静止于刀口 O 上，令其在自身平面内作微 小摆动.（1）求其振动的周期.（2）求与其振动周期相等的单摆的长
2 度.（3）将圆环去掉 3 而刀口支于剩余圆弧的中央，求其周期与整圆
环摆动周期之比. [解 答] （1）该装置为物理摆，利用 9.2.1 对一般刚体得到的公式
利用(1)式, g sin α = a cos α , 则 即
d 2θ −( g cos α + a sin α )θ = aτ = ℓ 2 dt d 2θ g cos α + a sin α + θ =0 dt 2 ℓ
sin α =
a g 2 + a2
, cos α =
g g 2 + a2
因为 所以