2015年北京西城高三二模数学(理科)试题及答案

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2015西城区高三二模数学(理科)

2015西城区高三二模数学（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设集合A={x|x﹣1＞0}，集合B={x|x≤3}，则A∩B=（）A．（﹣1，3）B．（1，3]C．[1，3） D．[﹣1，3]2．（5分）已知平面向量，，，=（﹣1，1），=（2，3），=（﹣2，k），若（+）∥，则实数k=（）A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣83．（5分）设命题p：函数f（x）=e x﹣1在R上为增函数；命题q：函数f（x）=cos（x+π）为奇函数．则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∧（￢q）4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的n∈{1，2，3}，则输出的s属于（）A．{1‚2}B．{1‚3}C．{2‚3}D．{1‚3‚9}5．（5分）某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x 满足函数关系y=4x2+64，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）A．3 B．4 C．5 D．66．（5分）数列{a n}为等差数列，满足a2+a4+…+a20=10，则数列{a n}前21 项的和等于（）A．B．21 C．42 D．847．（5分）若“x＞1”是“不等式2x＞a﹣x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．a＞3 B．a＜3 C．a＞4 D．a＜48．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=，BC=AA1=1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP+PQ的最小值为（）A． B． C．D．1二、填空题：（本小题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）复数=．10．（5分）双曲线C：﹣=1的离心率为；渐近线的方程为．11．（5分）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则；cos2α=．12．（5分）如图，P为⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B、C，且PC=2PA，D为线段PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．若PB=，则PA=；AD•DE=．13．（5分）现有6人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有种．（用数字作答）14．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）=；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a=，b=3，sinB+sinA=2．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．16．（13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a=b=3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a=1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）17．（14分）如图，在边长为4 的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图．（1）求证：A1E⊥平面BCDE；（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（13分）已知函数f（x）=，其中a∈R．（1）当a=﹣时，求 f （x）的单调区间；（2）当a＞0时，证明：存在实数m＞0，使得对于任意的实数x，都有|f（x）|≤m成立．19．（14分）设F1，F2分别为椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E 的上顶点，且|AB|=2．（1）若椭圆E 的离心率为，求椭圆E 的方程；（2）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线F2P与y 轴相交于点Q，若以PQ 为直径的圆经过点F1，证明：|OP|＞．20．（13分）无穷数列P：a1，a2，…，a n，…，满足a i∈N*，且a i≤a i+1（i∈N*），对于数列P，记T k （P）=min{n|a n≥k}（k∈N*），其中min{n|a n≥k}表示集合{n|a n≥k}中最小的数．（Ⅰ）若数列P：1‚3‚4‚7‚…，写出T1（P），T2（P），…，T5（P）；（Ⅱ）若T k（P）=2k﹣1，求数列P 前n项的和；（Ⅲ）已知a20=46，求s=a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）的值．参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．【解答】由A中不等式解得：x＞1，即A=（1，+∞），∵B=（﹣∞，3]，∴A∩B=（1，3]．故选：B．2．【解答】∵=（﹣1，1），=（2，3），∴+=（1，4），若（+）∥，则，即k=﹣8，故选：D．3．【解答】命题p：函数f（x）=e x﹣1在R上为增函数，为真命题，则￢p为假命题，命题q：函数f（x）=cos（x+π）=﹣cosx为偶函数，故q为假命题，则￢为真命题，∴p∧q为假命题，￢p∨q为假命题，￢p∧￢q为假命题，p∧￢q为真命题．故选：D．4．【解答】由程序框图可得，当n的值为1时，不满足条件n＞2，可得n=3，满足条件n＞2，计算并输出s=1；当n的值为2时，不满足条件n＞2，可得n=9，满足条件n＞2，计算并输出s=2；当n的值为3时，满足条件n＞2，计算并输出s=1；综上，输出的s∈{1‚2}．故选：A．5．【解答】解法一，根据题意，得；该设备所花费的年平均费用为f（x）===4x+，其中x＞0；∵x＞0，∴4x+≥2=32，当且仅当4x=，即x=4时，取“=”；∴当x=4时，该设备的年平均花费最低．解法二，根据题意，得；该设备所花费的年平均费用为f（x）==，其中x＞0；设t=，∴4x2﹣tx+64=0，∴△=t2﹣4×4×64≥0，解得t≥32或t≤﹣32（不和题意，舍去），当t=32时，x==4，∴x=4时，该设备的年平均花费最低．故选：B．6．【解答】根据题意，得10=a2+a4+…+a20=a2+a20+a4+a18+…+a10+a12=10a11，∴a11=1，∴S21=a1+a21+a2+a20+…+a10+a12+a11=21a11=21，故选：B．7．【解答】若2x＞a﹣x，即2x+x＞a；设f（x）=2x+x，该函数为增函数；根据题意“不等式2x+x＞a成立，即f（x）＞a成立”能得到“x＞1”，并且反之不成立；∵x＞1时，f（x）＞3；∴a＞3．故选A．8．【解答】由题意，要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形ACC1与三角形AB1C1，在同一个平面上，如图，易知∠B1AC1=∠C1AC=30°，AM=，可知MQ⊥AC时，MP+PQ的最小，最小值为：=．故选：C．二、填空题：（本小题共6小题，每小题5分，共30分）9．【解答】=．故答案为：1+3i．10．【解答】∵双曲线的方程是﹣=1，∴a2=8，b2=4，∴c2=a2+b2=12，∴a=2，b=2，c=2，∴离心率为e==，渐近线的方程为y=±x，故答案为：，y=±x．11．【解答】∵角α的终边经过点（﹣3，4），则x=﹣3，y=4，r=|OP|=5，∴cosα==﹣cos2α=2cos2α﹣1=﹣，故答案为：﹣；﹣．12．【解答】∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，PB=，∴PA2=•2PA，∴PA=；∵PA2=PB•PC，PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB ， ∴PB=BD ，∴BD•DC=PB•2PB ， ∵AD•DE=BD•DC ， ∴AD•DE=2PB 2=．故答案为：，．13．【解答】分类讨论，甲站第2个位置，则乙站4，5，6中的一个位置，不同的排法有=72种；甲站第3个位置，则乙站1，5，6中的一个位置，不同的排法有=72种；甲站第4个位置，则乙站1，2，6中的一个位置，不同的排法有=72种；甲站第5个位置，则乙站1，2，3中的一个位置，不同的排法有=72种，故共有72+72+72+72=288．故答案为：288．14．【解答】当0≤x ≤arctan2时，f （x ）==；当arctan2＜x ＜，在△OBE 中，f （x ）=S 矩形OABM ﹣S △OME =2﹣=2﹣；当x=时，f （x ）=2；当＜x ≤π﹣arctan2时，同理可得f （x ）=2﹣．当π﹣arctan2＜x ≤π时，f （x ）=4﹣=4+．于是可得：①==，正确； ②对任意x ∈[0，]，都有f （﹣x ）+f （+x ）=4用换元法，以x 代替﹣x ，可得：f （x ）+f （π﹣x ）=4，因此，故②正确； ③不妨设x 1＜x 2，则＜0⇔f （x 1）＞f （x 2），显然不正确．综上只有：①②正确．故答案为：①②．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理可得=，∴sinB=3sinA，再根据sinB+sinA=2，求得sinA=，∴角A=．（Ⅱ）锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理可得a2=7=c2+9﹣6c•cos，解得c=1 或c=2．当c=1时，cosB==﹣＜0，故B为钝角，这与已知△ABC为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．当c=2时，△ABC 的面积为bc•sinA=•3•2•=．16．【解答】（Ⅰ）根据茎叶图，可得甲组数据的平均数为=24，乙组数据的平均数为=26.5，甲型号电视机的“星级卖场”数量为m=5，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n=5，所以m=n；（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，X的分布列为：∴Eξ=0×+1×+2×=1．（Ⅲ）若a=1，b=0时，s2达到最小值．17．【解答】（1）证明：∵DE⊥BE，BE∥DC，∴DE⊥DC，∵A1D⊥DC，A1D∩DE=D，∴DC⊥平面A1DE，∴DC⊥A1E，∵A1E⊥DE，DC∩DE=D，∴A1E⊥平面BCDE；（2）解：由题意，以EB，ED，EA1分别为x，y，z轴，建立坐标系，则DE=2，A1（0，0，2），B（2，0，0），C（4，2，0），D（0，2，0），∴=（﹣2，0，2），=（2，2，0），平面A1BE的一个法向量为=（0，1，0），设平面A1BC的一个法向量为=（x，y，z），则，∴=（﹣，1，﹣），∴cos＜，＞=，∴二面角E﹣A1B﹣C的余弦值为﹣；（3）解：在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC，设P（t，0，0）（0≤t≤2），则=（t，0，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面A1DP的法向量为=（a，b，c），则，∴=（2，，t），∵平面A1DP⊥平面A1BC，∴﹣2+﹣t=0，∴t=﹣3，∵0≤t≤2，∴在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC．18．【解答】（1）当a=﹣时，f（x）=；f（x）的定义域为{x|x≠±2}；；∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣2，2），（2，∞）上单调递减；∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2），（﹣2，2），（2，+∞）；（2）证明：当a＞0时，f（x）=的定义域为R；f′（x）=，令f′（x）=0得：，；∴f（x）在（﹣∞，x1]，[x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减；又f（1）=0，当x＜1时，f（x）；当x＞1时，f（x）＜0；∴x≤1时，0≤f（x）≤f（x1）；x＞1时，f（x2）≤f（x）＜0；记M=max{|f（x1）|，|f（x2）|}，其中max{|f（x1）|，|f（x2）|}表示两数|f（x1）|，|f（x2）|中最大的数；综上，当a＞0时，存在实数m∈[M，+∞），使得对任意的实数x，不等式|f（x）|≤m恒成立．19．【解答】（1）设c=，由题意可得a2+b2=4，且e==，解得a=，b=1，c=，则椭圆方程为+y2=1；（2）证明：a2+b2=4，则椭圆E：+=1，F1（﹣c，0），F2（c，0），c==，设P（x0，y0），则x 0≠c，直线F1P的斜率=，直线F 2P的斜率为=，直线F2P：y=（x﹣c），当x=0时，y=﹣，即Q（0，﹣），F 1Q的斜率为=，以PQ 为直径的圆经过点F1，即有F 1P⊥F1Q，即有•=•=﹣1，化简可得y02=x02﹣（2a2﹣4）①又P为E上一点，在第一象限内，则+=1，x0＞0，y0＞0，②由①②解得x0=a2，y0=2﹣a2，即有|OP|2=x02+y02=（a2﹣2）2+2，由a2+b2=4＜2a2，即a2＞2，则有|OP|＞．20．【解答】（Ⅰ）∵数列P：1‚3‚4‚7‚…，即从第三项起每项是前两项的和，∴T1（P）=1，T2（P）=2，T3（P）=2，T4（P）=3，T5（P）=4；（Ⅱ）∵T k（P）=2k﹣1，∴T1（P）=1，T2（P）=3，T3（P）=5，T4（P）=7，…∵T2（P）=3，且T k（P）=min{n|a n≥k}（k∈N*），∴a3≥2，且a2＜2，同理，由T3（P）=5，且T k（P）=min{n|a n≥k}（k∈N*），得a5≥3，a4＜3，以此类推，得a7≥4，a6＜4；…；a2n﹣1≥n，a2n﹣2＜n；…∵a i≤a i+1（i∈N*），a i∈N*，∴a1=a2=1，a3=a4=2，…，a2n﹣1=a2n=n，…当n为奇数时，a1+a2+a3+…+a n=2（1+2+…+）+=，当n为偶数时，a1+a2+a3+…+a n=2（1+2+…+）=，∴数列{a n}前n项的和S n=；（Ⅲ）考查符合条件的数列P中，，若存在某个i（1≤i≤19）满足a i≤a i+1对应可得T k（P），及s=a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）．∵T k（P）=min{n|a n≥k}（k∈N*），∴（P）=i+1，下面将数列P略作调整，仅将第a i的值增加1，具体如下：将a j′=a j+1，对于任何j（j≠1）令a j′=a j，可得数列P′及其对应数列T k（P′），根据数列T k（P′）的定义，可得（P′）=i，且T j（P′）=T j（P）（j≠a i+1）．显然（P′）=（P）﹣1，∴s′=a1′+a2′+…+a20′+T1（P′）+T2（P′）+…+T46（P′）=a 1+a2+…+a i﹣1+（a i+1）+a i+1+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+（﹣1）++…+T46（P）=a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）=s，即调整后s′=s．如果数列{a n′}还有存在相邻两项不相等，继续做以上的操作，最终一定可以经过有限次的操作，使得{a n}中的每一项变为相等，且操作中保持s的值不变，而当a1=a2=…=a20=46时，T1（P）=T2（P）=…=T46（P）=1，∴s=a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）=46×20+46=966．。

北京各区2015届高三二模理科数学分类汇编(三角)

北京各区二模理科数学分类汇编三角(2015届西城二模)11．已知角α的终边经过点（－3，4），则cos α＝；cos 2α＝．答案：257,53-- (2015届西城二模)15．（本小题满分13 分）在锐角△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a，b ＝3，32sin sin 7=+A B ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．（Ⅰ）解：在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b AB=， ……………… 2分得3sin sin AB=3sin B A =， ……………… 3分sin B A +=，解得sin 2A =……………… 5分因为ABC ∆为锐角三角形，所以π3A =. ……………… 6分（Ⅱ）解：在ABC ∆中，由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=， ……………… 8分得219726c c+-=，即2320c c -+=，解得1c = 或 2c =. ……………… 10分当1c =时，因为222cos 2014c b Baca +-==-<，所以角B 为钝角，不符合题意，舍去. ……………… 11分当2c =时，因为222cos 20c b B aca +-==>，且b c >，b a >，所以ABC ∆为锐角三角形，符合题意.所以ABC ∆的面积11sin 3222S bc A ==⨯⨯. ……………… 13分(2015届海淀二模)答案：B(2015届海淀二模)（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为a A =，所以22222b c a a bc+-=. ………………3分因为 5c =，b =所以23404930a a +-⨯=.解得：3a =，或493a =-（舍）. ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：cos 3A ==.所以21cos 22cos 13A A =-=. ………………9分因为3a =，5c =，b =，所以2221cos 23a cb B ac +-==. ………………11分所以cos2cos A B =. ………………12分因为 c b a >>，所以 (0,)3A π∈.因为 (0,)B ∈π，所以2B A ∠=∠. ………………13分另解：因为(0,)A ∈π，所以sin 3A ==.由正弦定理得：sin 3B = 所以sin 3B =.所以sin 22sin 333A B =⨯==. ………………12分因为 c b a >>，所以 (0,)3A π∈，(0,)2B π∈.所以 2B A ∠=∠. ………………13分(2015届东城二模) （1）23sin()6π-=（C ）（A）-（B ）12-（C ）12（D(2015届东城二模) （15）（本小题共13分）已知函数2sin 22sin ()sin x x f x x-=．（Ⅰ）求()f x 的定义域及其最大值；（Ⅱ）求()f x 在(0,π)上的单调递增区间．（15）（共13分）解：（Ⅰ）由sin 0x ≠，得xk k ≠π(∈)Z ．所以()f x 的定义域为{|}x x k k ∈≠π,∈R Z ． …………………2分因为2sin 22sin ()sin x x f x x-=，2cos 2sin x x =-)4x π=+， …………………6分所以()f x的最大值为 …………………7分（Ⅱ）函数cos y x =的单调递增区间为[22k k π+π,π+2π]（k ∈Z ）由224k x k ππ+π≤+≤π+2π，x k k ≠π(∈)Z ，且(0,x ∈π)，所以()f x 在(0,π)上的单调递增区间为3[,4ππ)． ……13分(2015届昌平二模) 11. 在ABC ∆中，若a =b =5π6B ∠=，则边c =__________. 答案：1(2015届昌平二模) 15. (本小题满分13分) 已知函数()sin()(0,0,||,)2f x A x A x ωϕωϕπ=+>><∈R 的部分图象如图所示. （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）求函数()()()123g x f x f x ππ=+-+ 的单调递增区间.解：（I ）由题意可知，2A =,39412T π=，得T =π,2T ωπ==π，解得2=ω.()2sin(2)233f ϕππ=⨯+=，即2232k k ϕππ+=+π,∈Z ，||2ϕπ<，所以 6ϕπ=-，故()2sin(2)6f x x π=-. ……………7分(II)ππππ()2sin(2(+)-)-2sin(2(+)-)12636g x x x =π2sin2-2sin(2+)2=2sin22cos2)4x x x -x =x =π-由222,242k x k k πππ-+π≤-≤+π∈Z,,88k x k k π3π-+π≤≤+π∈Z. 故()g x 的单调递增区间是[,],88k k k π3π-+π+π∈Z..……………13分(2015届丰台二模)15.（本小题共13分）在△ABC 中，30A ︒=，52=BC ，点D 在AB 边上，且BCD ∠为锐角，2CD =，△BCD 的面积为4．（Ⅰ）求cos BCD ∠的值；（Ⅱ）求边AC 的长． 15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为1sin 42BCDS BC CD BCD ∆=⋅⋅∠=，所以552sin =∠BCD ．因为BCD ∠为锐角，所以cos BCD∠==． ……………………6分（Ⅱ）在BCD ∆中，因为BCD BC CD BC CD DB∠⋅⋅-+=cos 2222，所以4=DB ．因为222BC CD DB=+，所以︒=∠90CDB ．所以ACD ∆为直角三角形．因为30A ︒=，所以24AC CD ==，即4AC =． ……………………13分。

北京各区2015届高三二模理科数学分类汇编(概率统计)

北京各区二模理科数学分类汇编概率统计(2015届西城二模)16．（本小题满分13 分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并根据这10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a ＝b ＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a ＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：根据茎叶图，得甲组数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=，………1分乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=. …………2分由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数5m=，………………3分乙型号电视机的“星级卖场”的个数5n=，所以m n=. ………………4分（Ⅱ）解：由题意，X的所有可能取值为0，1，2，………………5分且0255210C C2(0)C9P X===，1155210C C5(1)C9P X===，2055210C C2(2)C9P X===，…………8分所以X的分布列为：X0 1 2P295929………………9分所以252()0121999E X=⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）解：当b=0时，2s达到最小值．………………13分(2015届海淀二模)答案：A(2015届海淀二模)（16）（共13分）解：（Ⅰ）20名女生掷实心球得分如下：5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10．所以中位数为8，众数为9．………………3分（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．………………4分73 5 5 284 5 519 7 8 乙甲()21222033095C P X C ===；()1112822048195C C P X C ===；()2822014295C P X C ===；………………10分（Ⅲ）略. ………………13分评分建议：从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议.(2015届东城二模) （4）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，12,s s 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（B ）（A ）12x x >，12s s < （B ）12x x =，12s s <（C ）12x x =，12s s = （D ）12x x <，12s s >(2015届东城二模) （16）（本小题共13分）某校高一年级开设A ，B ，C ，D ，E 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A 课程，不选B 课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（Ⅰ）求甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率；（Ⅱ）用X 表示甲、乙、丙选中C 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望．（16）（共13分）解：（Ⅰ）设事件A 为“甲同学选中C 课程”，事件B 为“乙同学选中C 课程”．则1223C 2()C 3P A ==，2435C 3()C 5P B ==．因为事件A 与B 相互独立，所以甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率为224()()()()[1()]3515P AB P A P B P A P B ==-=⨯=． …………………4分（Ⅱ）设事件C 为“丙同学选中C 课程”．1=6,a则2435C 3()C 5P C ==．X 的可能取值为：0,1,2,3．1224(0)()35575P X P ABC ===⨯⨯=． (1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2221321232035535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． (2)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2322231333335535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． 23318(3)()35575P X P ABC ===⨯⨯=． X 为分布列为：420331814028()0123757575757515E X =⨯+⨯+⨯+⨯==．………13分(2015届昌平二模) 5. 在篮球比赛中，某篮球队队员投进三分球的个数如表所示：右图是统计上述6名队员在比赛中投进的三分球总数s A. 6i < B. 7i < C. 8i < D. 9i <(2015届昌平二模) 16. （本小题满分13分）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业．．．．”的概率为25.现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.（I ）求,m n 的值；（II ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生．．的概率；（III ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业．．．．．．．”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ.16. (本小题满分13分)解：（I ）设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”．由题意可知，“数学专业”的学生共有(1)m +人．则12()105m P A +==．解得 3m =．所以1n =． …………… 4分（II ）设事件B ：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则123331011()12C C P B C +==． ……………7分（III ）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3．由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．所以333101(0)120C P C ===ξ，1273310217(1)12040C C P C ====ξ， 21733106321(2)12040C C P C ====ξ，37310357(3)12024C P C ====ξ．所以ξ的分布列为所以 012312040402410E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ． ……………13分(2015届丰台二模) 16.（本小题共13分）长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．（Ⅰ）请根据样本数据，估计A ，B 两班的学生平均每周上网时长的平均值；（Ⅱ）从A 班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（Ⅲ）从A 班、B 班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，写出ξ的分布列和数学期望ξE ．(2015届昌平二模) 16. （本小题满分13分）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业．．．．”的概率为25.现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）. （I ）求,m n 的值；（II ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生．．的概率；（III ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业．．．．．．．”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ. 解：（I ）设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”．A 班B 班 0 1 2 39 1 0 73 41 1 62 57由题意可知，“数学专业”的学生共有(1)m +人．则12()105m P A +==．解得 3m =．所以1n =． …………… 4分（II ）设事件B ：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则123331011()12C C P B C +==． ……………7分（III ）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3．由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．所以333101(0)120C P C ===ξ，1273310217(1)12040C C P C ====ξ， 21733106321(2)12040C C P C ====ξ，37310357(3)12024C P C ====ξ．所以ξ的分布列为所以1721721012312040402410E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ． ……………13分。

北京市西城区2015年高三二模理综试卷及答案详解

2．下图为苯丙氨酸部分代谢途径示意图。苯丙酮尿症是由于苯丙氨酸羟化酶基因突变所致。患者的苯丙氨酸羟化酶失活，苯丙氨酸转化为酪氨酸受阻，组织细胞中苯丙氨酸和苯丙酮酸蓄积，表现为智力低下、毛发与皮肤颜色较浅等症状。下列分析错．误．的是（）
A．一个基因可能会影响多个性状表现 B．生物的一个性状只受一个基因的控制 C．基因可通过控制酶的合成控制代谢过程，进而控制性状 D．在婴幼儿时期限制对苯丙氨酸的摄入可缓解患者的病症
可能用到的相对原子质量： H1 N14 O16 Mg24 Si28
选择题（共 20 题每小题 6 分共 120 分）
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．下列有关细胞的叙述错．误．的是（）
A．大肠杆菌基因的转录仅发生在拟核区 B．蓝藻没有叶绿体，但可以进行光合作用 C．乳酸菌与醋酸杆菌异化作用类型不同 D．酵母菌的细胞核和线粒体内可进行 DNA 复制
品红溶液褪色
结论
氧化性： Cl2 Br2 l2
H 的浓度是影响反应速率的唯一因素蔗糖水解产物没有还原性
气体中含有 Cl2
12．恒温慢容下，向 2L 密闭容器中加入 MgSO4 (s) 和 (CO)(g) ，发生反应：
MgSO4 (s) CO(g)
MgO(s) CO2 (g) SO2 (g)
B．向硫酸铝溶液中加入氨水制备氢氧化铝： Al3
3NH2
H2O
AlOH 3
3NH4
C．铁在潮湿的环境中生锈： 3Fe 4H2O Fe3O4 4H2
D．二氧化氮溶于水有硝酸生成： 3NO2 H2O 2HNO3 NO
9．下列说法不．正．确．的是 A．为除去 FeSO4 溶液中的 Fe2 (SO4 )3 ，可加入铁粉，再过滤 B．为除去溴苯中的溴，可用 NaOH 溶液洗涤，再分液 C．为除去乙炔气中少量的 H2S ，可使其通过 CuSO4 溶液 D．为除去 CO2 中少量 SO2 ，可使其通过饱和 Na2CO 溶液

北京市西城区2015届高三二模理科综合试卷

北京市西城区2015年高三二模试卷理科综合能力测试2015.5本试卷分为选择题和非选择题两个部分，选择题1-5页，非选择题6-16页，共300分．考试时长150分钟．考生务必将答案填写在答题卡上和答题纸的相应区域内，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷及答题卡和答题纸一并交回．可能用到的相对原子质量：Mg24 Si28 H1 N14 O16一、选择题（共20题每小题6分共120分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．下列有关细胞的叙述错误的是（）A．大肠杆菌基因的转录仅发生在拟核区B．蓝藻没有叶绿体，但可以进行光合作用C．乳酸菌与醋酸杆菌异化作用类型不同D．酵母菌的细胞核和线粒体内可进行复制DNA2．下图为苯丙氨酸部分代谢途径示意图。

苯丙酮尿症是由于苯丙氨酸羟化酶基因突变所致。

患者的苯丙氨酸羟化酶失活，苯丙氨酸转化为酪氨酸受阻，组织细胞中苯丙氨酸和苯丙酮酸蓄积，表现为智力低下、毛发与皮肤颜色较浅等症状。

下列分析错误的是（）A．一个基因可能会影响多个性状表现B．生物的一个性状只受一个基因的控制C．基因可通过控制酶的合成控制代谢过程，进而控制性状D．在婴幼儿时期限制对苯丙氨酸的摄入可缓解患者的病症3．为研究交感神经和副交感神经对心脏的支配作用，分别测定狗在正常情况、阻断副交感神经和阻断交感神经后的心率，结果如下表所示。

下列分析错误的是（）A．副交感神经兴奋引起心脏搏动减慢B．对心脏支配占优势的是副交感神经C．交感神经和副交感神经的作用是相互协同的D．正常情况下，交感神经和副交感神经均可检测到膜电位变化4．下图是生物甲与生物乙的种群数量变化曲线，下列分析正确的是（）A．有生物乙时，甲的数量在第6周时达到值KB．生物甲与生物乙之间的关系是互利共生C．无生物乙时，生物甲的种群数量呈指数增长D．无生物乙时，周生物甲种群出生率大于死亡率1 35．下列与实验相关的叙述不正确的是（）A．培养小鼠胚胎细胞时，原代培养和传代培养均可出现接触抑制B．调查群落中土壤动物类群丰度和种群密度时，宜用标志重捕法C．制备单克隆抗体时，需诱导经免疫的细胞与骨髓癌细胞融合BD．植物组织培养时，在接种前对外植体进行消毒处理可减少污染6．下列物质与危险化学品标志的对应关系不正确．．．的是7A．煤的干馏和煤的液化均是物理变化B．海水淡化的方法有蒸馏法、电渗析法等C．天然纤维和合成纤维的主要成分都是纤维素D．用活性炭为糖浆脱色和用次氯酸盐漂白纸浆的原理相同8．下列解释事实的化学方程式不正确．．．的是△A．金属钠在空气中加热，生成淡黄色固体：2Na＋O2 === Na2O2B．向硫酸铝溶液中加入氨水制备氢氧化铝：Al3+＋3NH3•H2O=Al(OH)3↓＋3NH4+ C．铁在潮湿的环境中生锈：3Fe＋4H2O= Fe3O4＋4H2↑D．二氧化氮溶于水有硝酸生成：3NO2＋H2O=2HNO3＋NO9．下列说法不正确．．．的是A．为除去FeSO4溶液中的Fe2(SO4)3，可加入铁粉，再过滤B．为除去溴苯中的溴，可用NaOH溶液洗涤，再分液C．为除去乙炔气中少量的H2S，可使其通过CuSO4溶液D ．为除去CO 2中少量的SO 2，可使其通过饱和Na 2CO 3溶液10．电化学气敏传感器可用于监测环境中NH 3的含量，其工作原理示意图如下。

北京市西城区2015届高三二模理科综合试卷(扫描版).pdf

生物答案解析【考点】真核细胞与原核细胞的区别【解析】 A选项考查大肠杆菌基因转录的场所，大肠杆菌的基因除在拟核区外，质粒中也有基因，所以大肠杆菌基因转录的场所在拟核区和质粒。

A错误蓝藻为原核生物，无叶绿体但含有光合色素能进行光合作用。

B正确异化作用是将自身有机物分解成无机物，并释放能量的过程，分为需氧型和厌氧型。

乳酸菌异化作用类型为厌氧性，醋酸杆菌异化作用类型为需氧型。

C正确酵母菌为真核生物，DNA分布在细胞核和线粒体中，并能完成复制过程。

D正确 2．【答案】B 【考点】信息提取，基因与性状的关系【解析】由题知，苯丙氨酸羟化酶基因突变，会导致苯丙酮尿症；苯丙氨酸羟化酶失活，苯丙氨酸转化为酪氨酸受阻，苯丙氨酸和苯丙酮酸蓄积，表现智力低下，毛发与皮肤颜色较浅等症状。

一个基因确实可以影响多个性状表现。

A正确由题知，苯丙氨酸羟化酶基因突变，最终会使毛发与皮肤颜色较浅等症状，由图知，若控制酪氨酸酶的基因突变同样会使黑色素减少，出现毛发与皮肤颜色较浅等症状，所以不是一个性状只受一个基因控制。

B错误苯丙氨酸羟化酶基因突变，苯丙氨酸羟化酶失活，苯丙氨酸转化为酪氨酸受阻，苯丙氨酸和苯丙酮酸蓄积，表现智力低下，毛发与皮肤颜色较浅等症状。

表明基因可以通过控制酶的合成控制代谢，进而控制性状。

C正确苯丙氨酸羟化酶基因突变，苯丙氨酸羟化酶失活，苯丙氨酸转化为酪氨酸受阻，苯丙氨酸和苯丙酮酸蓄积，表现智力低下，毛发与皮肤颜色较浅等症状。

所以如果婴儿期限制对苯丙氨酸的摄入，苯丙氨酸和苯丙酮酸蓄积减少，可缓解患者的病症。

D正确 3．【答案】C 【考点】信息提取【解析】由图知，阻断副交感神经心率大幅度提高，说明副交感神经对心脏搏动起抑制作用。

A正确由图知，阻断副交感神经心率大幅度提高。

阻断交感神经心率降低的变化并不明显。

B正确阻断副交感神经，心率大幅度提高，说明副交感神经对心脏搏动起抑制作用。

阻断交感神经心率降低，说明交感神经对心脏搏动起促进作用。

2015年北京市西城区高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2015年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设集合A＝{x|x﹣1＞0}，集合B＝{x|x≤3}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．（1，3]C．[1，3）D．[﹣1，3] 2．（5分）已知平面向量，，，＝（﹣1，1），＝（2，3），＝（﹣2，k），若（+）∥，则实数k＝（）A．4B．﹣4C．8D．﹣83．（5分）设命题p：函数f（x）＝e x﹣1在R上为增函数；命题q：函数f（x）＝cos（x+π）为奇函数．则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∧（￢q）4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的n∈{1，2，3}，则输出的s属于（）A．{1‚2}B．{1‚3}C．{2‚3}D．{1‚3‚9} 5．（5分）某生产厂商更新设备，已知在未来x年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系y＝4x2+64，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）A．3B．4C．5D．66．（5分）数列{a n}为等差数列，满足a2+a4+…+a20＝10，则数列{a n}前21 项的和等于（）A．B．21C．42D．847．（5分）若“x＞1”是“不等式2x＞a﹣x成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A．a＞3B．a＜3C．a＞4D．a＜48．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝，BC＝AA1＝1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP+PQ的最小值为（）A．B．C．D．1二、填空题：（本小题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）复数＝．10．（5分）双曲线C：﹣＝1的离心率为；渐近线的方程为．11．（5分）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则cosα；cos2α＝．12．（5分）如图，P为⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B、C，且PC＝2P A，D为线段PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．若PB＝，则P A＝；AD•DE＝．13．（5分）现有6人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有种．（用数字作答）14．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA 出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S＝f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）＝；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）＝4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a ＝，b＝3，sin B+sin A＝2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．16．（13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a＝b＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）17．（14分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图．（1）求证：A1E⊥平面BCDE；（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（13分）已知函数f（x）＝，其中a∈R．（1）当a＝﹣时，求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，证明：存在实数m＞0，使得对于任意的实数x，都有|f（x）|≤m成立．19．（14分）设F1，F2分别为椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，且|AB|＝2．（1）若椭圆E的离心率为，求椭圆E的方程；（2）设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：|OP|＞．20．（13分）无穷数列P：a1，a2，…，a n，…，满足a i∈N*，且a i≤a i+1（i∈N*），对于数列P，记T k（P）＝min{n|a n≥k}（k∈N*），其中min{n|a n≥k}表示集合{n|a n≥k}中最小的数．（Ⅰ）若数列P：1‚3‚4‚7‚…，写出T1（P），T2（P），…，T5（P）；（Ⅱ）若T k（P）＝2k﹣1，求数列P前n项的和；（Ⅲ）已知a20＝46，求s＝a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）的值．2015年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设集合A＝{x|x﹣1＞0}，集合B＝{x|x≤3}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．（1，3]C．[1，3）D．[﹣1，3]【解答】解：由A中不等式解得：x＞1，即A＝（1，+∞），∵B＝（﹣∞，3]，∴A∩B＝（1，3]．故选：B．2．（5分）已知平面向量，，，＝（﹣1，1），＝（2，3），＝（﹣2，k），若（+）∥，则实数k＝（）A．4B．﹣4C．8D．﹣8【解答】解：∵＝（﹣1，1），＝（2，3），∴+＝（1，4），若（+）∥，则，即k＝﹣8，故选：D．3．（5分）设命题p：函数f（x）＝e x﹣1在R上为增函数；命题q：函数f（x）＝cos（x+π）为奇函数．则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∧（￢q）【解答】解：命题p：函数f（x）＝e x﹣1在R上为增函数，为真命题，则￢p为假命题，命题q：函数f（x）＝cos（x+π）＝﹣cos x为偶函数，故q为假命题，则￢为真命题，∴p∧q为假命题，￢p∨q为假命题，￢p∧￢q为假命题，p∧￢q为真命题．故选：D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的n∈{1，2，3}，则输出的s属于（）A．{1‚2}B．{1‚3}C．{2‚3}D．{1‚3‚9}【解答】解：由程序框图可得，当n的值为1时，不满足条件n＞2，可得n＝3，满足条件n＞2，计算并输出s ＝1；当n的值为2时，不满足条件n＞2，可得n＝9，满足条件n＞2，计算并输出s ＝2；当n的值为3时，满足条件n＞2，计算并输出s＝1；综上，输出的s∈{1‚2}．故选：A．5．（5分）某生产厂商更新设备，已知在未来x年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系y＝4x2+64，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：解法一，根据题意，得；该设备所花费的年平均费用为f（x）＝＝＝4x+，其中x＞0；∵x＞0，∴4x+≥2＝32，当且仅当4x＝，即x＝4时，取“＝”；∴当x＝4时，该设备的年平均花费最低．解法二，根据题意，得；该设备所花费的年平均费用为f（x）＝＝，其中x＞0；设t＝，∴4x2﹣tx+64＝0，∴△＝t2﹣4×4×64≥0，解得t≥32或t≤﹣32（不和题意，舍去），当t＝32时，x＝＝4，∴x＝4时，该设备的年平均花费最低．故选：B．6．（5分）数列{a n}为等差数列，满足a2+a4+…+a20＝10，则数列{a n}前21 项的和等于（）A．B．21C．42D．84【解答】解：根据题意，得10＝a2+a4+…+a20＝a2+a20+a4+a18+…+a10+a12＝10a11，∴a11＝1，∴S21＝a1+a21+a2+a20+…+a10+a12+a11＝21a11＝21，故选：B．7．（5分）若“x＞1”是“不等式2x＞a﹣x成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A．a＞3B．a＜3C．a＞4D．a＜4【解答】解：若2x＞a﹣x，即2x+x＞a；设f（x）＝2x+x，该函数为增函数；根据题意“不等式2x+x＞a成立，即f（x）＞a成立”能得到“x＞1”，并且反之不成立；∵x＞1时，f（x）＞3；∴a＞3．故选：A．8．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝，BC＝AA1＝1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP+PQ的最小值为（）A．B．C．D．1【解答】解：由题意，要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形ACC1与三角形AB1C1，在同一个平面上，如图，易知∠B1AC1＝∠C1AC＝30°，AM ＝，可知MQ⊥AC时，MP+PQ的最小，最小值为：＝．故选：C．二、填空题：（本小题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）复数＝1+3i．【解答】解：＝．故答案为：1+3i．10．（5分）双曲线C：﹣＝1的离心率为；渐近线的方程为y＝±x．【解答】解：∵双曲线的方程是﹣＝1，∴a2＝8，b2＝4，∴c2＝a2+b2＝12，∴a＝2，b＝2，c＝2，∴离心率为e＝＝，渐近线的方程为y＝±x，故答案为：，y＝±x．11．（5分）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则cosα﹣；cos2α＝﹣．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣3，4），则x＝﹣3，y＝4，r＝|OP|＝5，∴cosα＝＝﹣cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣，故答案为：﹣；﹣．12．（5分）如图，P为⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B、C，且PC＝2P A，D为线段PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．若PB＝，则P A＝；AD•DE＝．【解答】解：∵P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴P A2＝PB•PC，∵PC＝2P A，PB＝，∴P A2＝•2P A，∴P A＝；∵P A2＝PB•PC，PC＝2P A，∴P A＝2PB，∴PD＝2PB，∴PB＝BD，∴BD•DC＝PB•2PB，∵AD•DE＝BD•DC，∴AD•DE＝2PB2＝．故答案为：，．13．（5分）现有6人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有 288 种．（用数字作答）【解答】解：分类讨论，甲站第2个位置，则乙站4，5，6中的一个位置，不同的排法有＝72种；甲站第3个位置，则乙站1，5，6中的一个位置，不同的排法有＝72种；甲站第4个位置，则乙站1，2，6中的一个位置，不同的排法有＝72种；甲站第5个位置，则乙站1，2，3中的一个位置，不同的排法有＝72种，故共有72+72+72+72＝288．故答案为：288．14．（5分）如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记∠AOP 为x （x ∈[0，π]），OP 所经过正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积S ＝f （x ），那么对于函数f （x ）有以下三个结论：①f （）＝；②任意x ∈[0，]，都有f （﹣x ）+f （+x ）＝4；③任意x 1，x 2∈（，π），且x 1≠x 2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是 ①② ．【解答】解：当0≤x ≤arctan2时，f （x ）＝＝；当arctan2＜x ＜，在△OBE 中，f （x ）＝S 矩形OABM ﹣S △OME ＝2﹣＝2﹣；当x ＝时，f （x ）＝2；当＜x ≤π﹣arctan2时，同理可得f （x ）＝2﹣．当π﹣arctan2＜x≤π时，f（x）＝4﹣＝4+．于是可得：①＝＝，正确；②对任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）＝4用换元法，以x代替﹣x，可得：f（x）+f（π﹣x）＝4，因此，故②正确；③不妨设x1＜x2，则＜0⇔f（x1）＞f（x2），显然不正确．综上只有：①②正确．故答案为：①②．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a ＝，b＝3，sin B+sin A＝2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）锐角△ABC中，由条件利用正弦定理可得＝，∴sin B＝3sin A，再根据sin B+sin A＝2，求得sin A＝，∴角A＝．（Ⅱ）锐角△ABC中，由条件利用余弦定理可得a2＝7＝c2+9﹣6c•cos，解得c＝1 或c＝2．当c＝1时，cos B＝＝﹣＜0，故B为钝角，这与已知△ABC为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．当c＝2时，△ABC的面积为bc•sin A＝•3•2•＝．16．（13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a＝b＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图，可得甲组数据的平均数为＝24，乙组数据的平均数为＝26.5，甲型号电视机的“星级卖场”数量为m＝5，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n＝5，所以m＝n；（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，X的分布列为：∴Eξ＝0×+1×+2×＝1．（Ⅲ）若a＝1，b＝0时，s2达到最小值．17．（14分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图．（1）求证：A1E⊥平面BCDE；（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：∵DE⊥BE，BE∥DC，∴DE⊥DC，∵A1D⊥DC，A1D∩DE＝D，∴DC⊥平面A1DE，∴DC⊥A1E，∵A1E⊥DE，DC∩DE＝D，∴A1E⊥平面BCDE；（2）解：由题意，以EB，ED，EA1分别为x，y，z轴，建立坐标系，则DE＝2，A1（0，0，2），B（2，0，0），C（4，2，0），D（0，2，0），∴＝（﹣2，0，2），＝（2，2，0），平面A1BE的一个法向量为＝（0，1，0），设平面A1BC的一个法向量为＝（x，y，z），则，∴＝（﹣，1，﹣），∴cos＜，＞＝，∴二面角E﹣A1B﹣C的余弦值为﹣；（3）解：在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC，设P（t，0，0）（0≤t≤2），则＝（t，0，﹣2），＝（0，2，﹣2），设平面A1DP的法向量为＝（a，b，c），则，∴＝（2，，t），∵平面A1DP⊥平面A1BC，∴﹣2+﹣t＝0，∴t＝﹣3，∵0≤t≤2，∴在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC．18．（13分）已知函数f（x）＝，其中a∈R．（1）当a＝﹣时，求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，证明：存在实数m＞0，使得对于任意的实数x，都有|f（x）|≤m成立．【解答】解：（1）当a＝﹣时，f（x）＝；f（x）的定义域为{x|x≠±2}；；∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣2，2），（2，∞）上单调递减；∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2），（﹣2，2），（2，+∞）；（2）证明：当a＞0时，f（x）＝的定义域为R；f′（x）＝，令f′（x）＝0得：，；∴f（x）在（﹣∞，x1]，[x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减；又f（1）＝0，当x＜1时，f（x）；当x＞1时，f（x）＜0；∴x≤1时，0≤f（x）≤f（x1）；x＞1时，f（x2）≤f（x）＜0；记M＝max{|f（x1）|，|f（x2）|}，其中max{|f（x1）|，|f（x2）|}表示两数|f（x1）|，|f（x2）|中最大的数；综上，当a＞0时，存在实数m∈[M，+∞），使得对任意的实数x，不等式|f（x）|≤m恒成立．19．（14分）设F1，F2分别为椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，且|AB|＝2．（1）若椭圆E的离心率为，求椭圆E的方程；（2）设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：|OP|＞．【解答】解：（1）设c＝，由题意可得a2+b2＝4，且e＝＝，解得a＝，b＝1，c＝，则椭圆方程为+y2＝1；（2）证明：a2+b2＝4，则椭圆E：+＝1，F1（﹣c，0），F2（c，0），c＝＝，设P（x0，y0），则x 0≠c，直线F1P的斜率＝，直线F 2P的斜率为＝，直线F2P：y＝（x﹣c），当x＝0时，y＝﹣，即Q（0，﹣），F 1Q的斜率为＝，以PQ为直径的圆经过点F1，即有F 1P⊥F1Q，即有•＝•＝﹣1，化简可得y02＝x02﹣（2a2﹣4）①又P为E上一点，在第一象限内，则+＝1，x0＞0，y0＞0，②由①②解得x0＝a2，y0＝2﹣a2，即有|OP|2＝x02+y02＝（a2﹣2）2+2，由a2+b2＝4＜2a2，即a2＞2，则有|OP|＞．20．（13分）无穷数列P：a1，a2，…，a n，…，满足a i∈N*，且a i≤a i+1（i∈N*），对于数列P，记T k（P）＝min{n|a n≥k}（k∈N*），其中min{n|a n≥k}表示集合{n|a n≥k}中最小的数．（Ⅰ）若数列P：1‚3‚4‚7‚…，写出T1（P），T2（P），…，T5（P）；（Ⅱ）若T k（P）＝2k﹣1，求数列P前n项的和；（Ⅲ）已知a20＝46，求s＝a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵数列P：1‚3‚4‚7‚…，即从第三项起每项是前两项的和，∴T1（P）＝1，T2（P）＝2，T3（P）＝2，T4（P）＝3，T5（P）＝4；（Ⅱ）∵T k（P）＝2k﹣1，∴T1（P）＝1，T2（P）＝3，T3（P）＝5，T4（P）＝7，…∵T2（P）＝3，且T k（P）＝min{n|a n≥k}（k∈N*），∴a3≥2，且a2＜2，同理，由T3（P）＝5，且T k（P）＝min{n|a n≥k}（k∈N*），得a5≥3，a4＜3，以此类推，得a7≥4，a6＜4；…；a2n﹣1≥n，a2n﹣2＜n；…∵a i≤a i+1（i∈N*），a i∈N*，∴a1＝a2＝1，a3＝a4＝2，…，a2n﹣1＝a2n＝n，…当n为奇数时，a1+a2+a3+…+a n＝2（1+2+…+）+＝，当n为偶数时，a1+a2+a3+…+a n＝2（1+2+…+）＝，∴数列{a n}前n项的和S n＝；（Ⅲ）考查符合条件的数列P中，若存在某个i（1≤i≤19）满足a i≤a i+1，对应可得T k（P），及s＝a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）．∵Tk（P）＝min{n|a n≥k}（k∈N*），∴（P）＝i+1，下面将数列P略作调整，仅将第a i的值增加1，具体如下：将a j′＝a j+1，对于任何j（j≠1）令a j′＝a j，可得数列P′及其对应数列T k（P′），根据数列Tk（P′）的定义，可得（P′）＝i，且T j（P′）＝T j（P）（j ≠a i+1）．显然（P′）＝（P）﹣1，∴s′＝a1′+a2′+…+a20′+T1（P′）+T2（P′）+…+T46（P′）＝a 1+a2+…+a i﹣1+（a i+1）+a i+1+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+（﹣1）+ +…+T46（P）＝a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）＝s，即调整后s′＝s．如果数列{a n′}还有存在相邻两项不相等，继续做以上的操作，最终一定可以经过有限次的操作，使得{a n}中的每一项变为相等，且操作中保持s的值不变，而当a1＝a2＝…＝a20＝46时，T1（P）＝T2（P）＝…＝T46（P）＝1，∴s＝a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）＝46×20+46＝966．。

2015高三数学理科西城二模解析

f x1 f x2 x1 x2 0 ，③错
π π f x f x =4 2 2
③显然 f x 是增函数，所以
故选①②
注：第 10，11，12 题第一问 2 分，第二问 3 分；第 14 题多选、漏选或错选均不得分．
又因为 A1 E ⊥ DE ， DC DE D ，所以 A1 E ⊥ 平面 BCDE 4分
⑵ 解：因为 A1 E ⊥ 平面 BCDE ， DE ⊥ BE ，所以 A1 E，DE ，BE 两两垂直，以
EB ，ED ，EA1 分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴，如图建立空间直角坐标系， 5 分
2 0 2 1 C5 C5 2 C0 2 C1 5 5C5 5 C5 P ( X 2) ，， P ( X 1) ， 2 2 2 C10 9 C10 9 C10 9
……8 分
所以 X 的颁布列为：
X P
0
2 9
1
5 9
2
2 9
5 2 所以 E ( X ) 0 1 2 1 ． 9 9 9
x2 2x 4 1 4 1 x 2 4
2
1分
x 1 3 1 4 1 x 2 4
2 2
求导，得 f x

0，
4分
2 ，所以函数 f x 在区间， 2 ，2 ， 2 ，上单调递减．5 分
5.
64 4 x 2 64 64 ，即x4 当且仅当 4 x 4x 2 4 64 32 ， x x x
6.
(a1 a21 ) 21 21 ，所以选 B. 2

2015年北京市朝阳区和西城区高三二模数学理试题及答案(word版)

北京市朝阳区理科数学2015学年度第二学期高三综合练习2015．5第一部分（选择题共40 分）一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合，集合，则＝（）．B．C．D．2．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是（）．A．7 B．10 C．66 D．1663．设为虚数单位，，“复数是纯虚数”是“”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．已知平面上三点A，B，C，满足，则=（）．A．48 B．-48 C．100 D．-1005．已知函数，若对任意的实数x，总有，则的最小值是（）．A．2 B．4 C．D．26．已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若，则双曲线的渐近线方程为（）．7．已知函数，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是（）．8．如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起部分面积的最小值为（）．第Ⅱ卷（非选择题共110 分）二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．展开式中含项的系数是__________．10．已知圆C的圆心在直线x－y=0上，且圆C与两条直线x＋y=0和x＋y－12=0都相切，则圆C的标准方程是__________．11．如图，已知圆B的半径为5，直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线，且割线AMN过圆心B．若AM=2，，则AD=__________．12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为__________．13．已知点在函数的图像上，则数列的通项公式为__________；设O为坐标原点，点，则，中，面积的最大值是__________．14．设集合，集合A中所有元素的个数为__________；集合A 中满足条件“”的元素个数为__________．三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题共13分）在梯形ABCD中，（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求梯形ABCD的高．某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如下表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，A，B，C三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A，B，C三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率；（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望EX．如图，在直角梯形ABCD中，．直角梯形ABEF可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面平面ABCD．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；（Ⅲ）设H为BD的中点，M，N分别为线段FD，AD上的点（都不与点D重合）．若直线平面MNH，求MH的长．18．（本小题共13分）已知点M为椭圆的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为14．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及焦点坐标；（Ⅱ）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．19．（本小题共14分）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若在区间(1,2)上存在不相等的实数成立，求的取值范围；（Ⅲ）若函数有两个不同的极值点，，求证：．20．（本小题共13分）已知数列，是正整数1，2，3，，n的一个全排列．若对每个都有或3，则称为H数列．（Ⅰ）写出满足的所有H数列；（Ⅱ）写出一个满足的数列的通项公式；（Ⅲ）在H数列中，记．若数列是公差为d的等差数列，求证：或．参考答案及评分标准高三数学（理科）一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案 A B B C A C D B二、填空题：题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案三、解答题：15．（本小题共13 分）解：（Ⅰ）在中，因为，所以．由正弦定理得：，即．（Ⅱ）在中，由余弦定理得：，整理得，解得（舍负）．过点作于，则为梯形的高．因为，，所以．在直角中，．即梯形的高为．16．（本小题共13 分）解：（Ⅰ）由题意可得：题 A B C答卷数180 300 230抽出的答卷数 3 5 2应分别从题的答卷中抽出份，份．（Ⅱ）记事件：被抽出的三种答卷中分别再任取出份，这份答卷中恰有份得优，可知只能题答案为优，依题意．（Ⅲ）由题意可知，题答案得优的概率为，显然被抽出的题的答案中得优的份数的可能取值为，且．；；；；；．随机变量的分布列为：所以．17．（本小题共14分）证明：（Ⅰ）由已知得，．因为平面平面，且平面平面，所以平面，由于平面，所以．（Ⅱ）由（1）知平面所以，．由已知，所以两两垂直．以为原点建立空间直角坐标系（如图）．因为，则，，，，所以，，设平面的一个法向量．所以，即．令，则．设直线与平面所成角为，因为，所以．所以直线和平面所成角的正弦值为．（Ⅲ）在为原点的空间直角坐标系中，，，，，．设，即．，则，，．若平面，则．即．．解得．则，．18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）椭圆的方程可化为，则，，．故离心率为，焦点坐标为，．（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在，可设直线的方程为，，，则，．由得．判别式．所以，，因为直线与直线的斜率之积为，所以，所以．化简得，所以，化简得，即或．当时，直线方程为，过定点．代入判别式大于零中，解得．当时，直线的方程为，过定点，不符合题意．故直线过定点．19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）当时，，．由，解得，．当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以的单调增区间为，单调减区间为．（Ⅱ）依题意即求使函数在上不为单调函数的的取值范围．，设，则，．因为在上为增函数．当，即当时，函数在上有且只有一个零点，设为，当时，，即，为减函数；当时，，即，为增函数，满足在上不为单调函数．当时，，，所以在上成立（因在上为增函数），所以在上成立，即在上为增函数，不合题意．同理时，可判断在为减函数，不合题意．综上．（Ⅲ）．因为函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，即方程的判别式，解得．由，解得，．此时，．随着变化，和的变化情况如下：+ +极大值极小值所以是的极大值点，是的极小值点，所以是极大值，是极小值所以因为，所以，所以．20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）满足条件的数列有两个：．（Ⅱ）由（1）知数列满足，把各项分别加后，所得各数依次排在后，因为，所得数列显然满足或，，即得数列．其中，．如此下去即可得到一个满足的数列为：（其中）（写出此通项也可以（其中））（Ⅲ）由题意知，，且．有解：①，，，则，这与是矛盾的．②时，与①类似可得不成立．③时，，则不可能成立．④时，若或，则或．若或，则，类似于③可知不成立．④时，若同号，则，由上面的讨论可知不可能；若或，则或；⑤时，若异号，则，不行；若同号，则，同样由前面的讨论可知与矛盾．综上，只能为或，且（2）中的数列是的情形，将（2）中的数列倒过来就是，所以为或．北京市西城区2015 年高三二模试卷数学（理科）2015.5本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至6 页，共150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

2015年北京西城高三二模数学(理科)试题及答案

北京市西城区 2 0 1 5年高三二模试卷数学（理科）2015.5本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 6 页，共 150 分．考试时长 120 分钟．考生务势必答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．1．设会合，会合?，则 A I B＝（）（－1? 3）?（1? 3］?［?（－］A ．B ．C． 1? 3） D ．1? 32．已知平面向量，则实数 k ＝（）A ． 4B．－ 4C． 8D．－ 83．设命题 p ：函数在 R上为增函数；命题q：函数为奇函数．则以下命题中真命题是（）4．履行如下图的程序框图，若输入的，则输出的 s属于（）A．{ 1?2}?B．{1?3}?C．{2?3}?D．{1?3?9}?5．某生产厂商更新设施，已知在将来x 年内，此设施所花销的各样花费总和y（万元）与 x知足函数关系，若欲使此设施的年均匀花销最低，则此设施的使用年限x为（）A ． 3B． 4C．5D． 66．数列为等差数列，知足，则数列前 21项的和等于（）A ．B．21C． 42D． 847．若“x＞ 1 ”是“不等式建立”的必需而不充足条件，则实数a的取值范围是（）A ． a ＞ 3B ． a ＜ 3C． a ＞ 4 D ．a ＜ 48．在长方体，点 M 为AB1的中点，点 P 为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P，Q能够重合），则MP＋PQ的最小值为（）第Ⅱ卷（非选择题共110 分）二、填空题：本小题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．复数＝＿＿＿＿10．双曲线 C ：的离心率为；渐近线的方程为．．已知角的终边经过点（－，）； cos 2 ＝．11 3 4 ，则 cos ＝ ?12．如图， P 为O 外一点， PA是切线，A为切点，割线PBC 与O订交于点B、C，且 PC ＝ 2PA ， D 为线段 PC 的中点，AD 的延伸线交O于点 E．若PB＝3? ，则4PA ＝； AD·DE ＝．13．现有 6 人要排成一排照相，此中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两头，则不一样的排法有种．（用数字作答）14．如图，正方形 ABCD 的边长为 2， O为AD 的中点，射线 OP 从 OA 出发，绕着点 O 顺时针方向旋转至 OD，在旋转的过程中，记， OP 所经过的在正方形 ABCD 内的地区（暗影部分）的面积S ＝ f （x），那么关于函数 f （x）有以下三个结论：①；②随意，都有③随意此中全部正确结论的序号是．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 13分）在锐角△ ABC 中，角 A， B ，C 所对的边分别为 a， b ， c ，已知 a ＝7 ，b＝3，．（Ⅰ）求角 A 的大小；（Ⅱ）求△ ABC 的面积．16．（本小题满分 13分）某厂商检查甲、乙两种不一样型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并依据这10个卖场的销售状况，获得如下图的茎叶图．为了鼓舞卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据均匀数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当 a ＝ b ＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数目为m，乙型号电视机的“星级”n，比较m，n的大小关系；卖场数目为（Ⅱ）在这 10个卖场中，随机选用 2 个卖场，记 X 为此中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求 X 的散布列和数学希望．（Ⅲ）若 a ＝ 1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，依据茎叶图推测 b为什么值时， s2达到最小值．（只要写出结论）17．（本小题满分 14分）如图 1，在边长为 4的菱形 ABCD中，于点 E ，将△ADE沿DE 折起到的地点，使，如图2．⑴求证：平面 BCDE ；⑵求二面角的余弦值；⑶判断在线段 EB 上能否存在一点 P ，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明原因．18．（本小题满分 13分）已知函数，此中 a R ．⑴当时，求 f (x)的单一区间；⑵a0m0x f (x)｜≤m建立．当＞时，证明：存在实数＞，使得关于随意的实数，都有｜19．（本小题满分 14分）设分别为椭圆 E：x2y21(a b0) 的左、右焦点，点 A 为椭圆 E 的左极点，a2b2点 B 为椭圆 E 的上极点，且｜AB｜＝ 2．⑴若椭圆 E 的离心率为，求椭圆 E 的方程；⑵设 P 为椭圆 E 上一点，且在第一象限内，直线与y轴订交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：20．（本小题满分 13 分）无量数列P：，知足，关于数列P ，记，此中表示会合中最小的数．（Ⅰ）若数列P:1?3?4?7?，写出；（Ⅱ）若，求数列P 前 n项的和；（Ⅲ）已知＝ 46，求的值．欢迎接见“高中试卷网”——。

2015年北京市高考数学试题及答案(理科)【解析版】

2015年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）（2015•北京）复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i考点：复数代数形式得乘除运算．专题：数系得扩充与复数．分析：利用复数得运算法则解答．解答：解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；故选：A．点评：本题考查了复数得运算；关键就是熟记运算法则．注意i2=﹣1．2．（5分）（2015•北京）若x，y满足，则z=x+2y得最大值为（）A．0B．1C．D．2考点：简单线性规划．专题：不等式得解法及应用．分析：作出题中不等式组表示得平面区域，再将目标函数z=x+2y对应得直线进行平移，即可求出z取得最大值．解答：解：作出不等式组表示得平面区域，得到如图得三角形及其内部阴影部分，由解得A（，），目标函数z=x+2y，将直线z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值==故选：C．点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y得最大值，着重考查了二元一次不等式组表示得平面区域与简单得线性规划等知识，属于基础题．3．（5分）（2015•北京）执行如图所示得程序框图，输出得结果为（）A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）考点：程序框图．专题：图表型；算法与程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到得x，y，k得值，当k=3时满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0）．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=1，y=1，k=0s=0，i=2x=0，y=2，k=1不满足条件k≥3，s=﹣2，i=2，x=﹣2，y=2，k=2不满足条件k≥3，s=﹣4，i=0，x=﹣4，y=0，k=3满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0），故选：B．点评：本题主要考查了循环结构得程序框图，正确写出每次循环得到得x，y，k得值就是解题得关键，属于基础题．4．（5分）（2015•北京）设α，β就是两个不同得平面，m就是直线且m⊂α，“m∥β“就是“α∥β”得（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分不要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件得判断．专题：简易逻辑．分析：m∥β并得不到α∥β，根据面面平行得判定定理，只有α内得两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．解答：解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m与α，β得交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m与β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”就是“α∥β”得必要不充分条件．故选B．点评：考查线面平行得定义，线面平行得判定定理，面面平行得定义，面面平行得判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件得概念．5．（5分）（2015•北京）某三棱锥得三视图如图所示，则该三棱锥得表面积就是（）A．2+B．4+C．2+2D．5考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图可判断直观图为：A⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判断几何体得各个面得特点，计算边长，求解面积．解答：解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面得垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S △BCO =2×=．故该三棱锥得表面积就是2，故选：C ．点评：本题考查了空间几何体得三视图得运用，空间想象能力，计算能力，关键就是恢复直观图，得出几何体得性质．6．（5分）（2015•北京）设{a n }就是等差数列，下列结论中正确得就是（） A ．若a 1+a 2＞0，则a 2+a 3＞0 B ．若a 1+a 3＜0，则若a 1+a 2＜0， C ．若若0＜a 1＜a 2，则a 2 D ．若a 1＜0，则（a 2﹣a 1）（a 2﹣a 3）＞0考点：等差数列得性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：对选项分别进行判断，即可得出结论．解答：解：若a 1+a 2＞0，则2a 1+d ＞0，a 2+a 3=2a 1+3d ＞2d ，d ＞0时，结论成立，即A 不正确；若a 1+a 2＜0，则2a 1+d ＜0，a 2+a 3=2a 1+3d ＜2d ，d ＜0时，结论成立，即B 不正确；{a n }就是等差数列，0＜a 1＜a 2，2a 2=a 1+a 3＞2，∴a 2＞，即C 正确；若a 1＜0，则（a 2﹣a 1）（a 2﹣a 3）=﹣d 2＜0，即D 不正确．故选：C ．点评：本题考查等差数列得通项，考查学生得计算能力，比较基础． 7．（5分）（2015•北京）如图，函数f （x ）得图象为折线ACB ，则不等式f （x ）≥log 2（x+1）得解集就是（）A ． {x|﹣1＜x ≤0}B ． {x|﹣1≤x ≤1}C ． {x|﹣1＜x ≤1}D ． {x|﹣1＜x ≤2}考点：指、对数不等式得解法．专题：不等式得解法及应用．分析：在已知坐标系内作出y=log2（x+1）得图象，利用数形结合得到不等式得解集．解答：解：由已知f（x）得图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）得图象，如图满足不等式f（x）≥log2（x+1）得x范围就是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）得解集就是{x|﹣1＜x≤1}；故选C．点评：本题考查了数形结合求不等式得解集；用到了图象得平移．8．（5分）（2015•北京）汽车得“燃油效率”就是指汽车每消耗1升汽油行驶得里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确得就是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时得速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油考点：函数得图象与图象变化．专题：创新题型；函数得性质及应用．分析：根据汽车得“燃油效率”就是指汽车每消耗1升汽油行驶得里程，以及图象，分别判断各个选项即可．解答：解：对于选项A，消耗1升汽油，乙车行驶得距离比5小得很多，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C，甲车以80千米/小时得速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙得燃油效率高于乙得燃油效率，故D正确．点评：本题考查了函数图象得识别，关键掌握题意，属于基础题．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）（2015•北京）在（2+x）5得展开式中，x3得系数为40（用数字作答）考点：二项式定理得应用．专题：二项式定理．分析：写出二项式定理展开式得通项公式，利用x得指数为3，求出r，然后求解所求数值．解答：解：（2+x）5得展开式得通项公式为：T r+1=25﹣r x r，所求x3得系数为：=40．故答案为：40．点评：本题考查二项式定理得应用，二项式系数得求法，考查计算能力．10．（5分）（2015•北京）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）得一条渐近线为x+y=0，则a=．考点：双曲线得简单性质．专题：圆锥曲线得定义、性质与方程．分析：运用双曲线得渐近线方程为y=±，结合条件可得=，即可得到a得值．解答：解：双曲线﹣y2=1得渐近线方程为y=±，由题意可得=，解得a=．故答案为：．点评：本题考查双曲线得方程与性质，主要考查双曲线得渐近线方程得求法，属于基础题．11．（5分）（2015•北京）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6得距离为1．考点：简单曲线得极坐标方程．专题：坐标系与参数方程．分析：化为直角坐标，再利用点到直线得距离公式距离公式即可得出．解答：解：点P（2，）化为P．直线ρ（cosθ+sinθ）=6化为．∴点P到直线得距离d==1．故答案为：1．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线得距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=1．考点：余弦定理；二倍角得正弦；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．解答：解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案为：1．点评：本题考查余弦定理，考查学生得计算能力，比较基础．13．（5分）（2015•北京）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=﹣．考点：平面向量得基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：首先利用向量得三角形法则，将所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到x，y值．解答：解：由已知得到===；由平面向量基本定理，得到x=，y=；故答案为：．点评：本题考查了平面向量基本定理得运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一得实数对（x，y）使，向量等式成立．14．（5分）（2015•北京）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）得最小值为﹣1；②若f（x）恰有2个零点，则实数a得取值范围就是≤a＜1或a≥2．考点：函数得零点；分段函数得应用．专题：创新题型；函数得性质及应用．分析：①分别求出分段得函数得最小值，即可得到函数得最小值；②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a得范围．解答：解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤时，即a≥2时，g（x）得两个交点为x1=a，x2=2a，都就是满足题意得，综上所述a得取值范围就是≤a＜1，或a≥2．点评：本题考查了分段函数得问题，以及函数得零点问题，培养了学生得转化能力与运算能力以及分类能力，属于中档题．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=sin cos﹣sin．（Ⅰ）求f（x）得最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上得最小值．考点：两角与与差得正弦函数；三角函数得周期性及其求法；三角函数得最值．专题：计算题；三角函数得求值；三角函数得图像与性质．分析：（Ⅰ）运用二倍角公式与两角与得正弦公式，化简f（x），再由正弦喊话说得周期，即可得到所求；（Ⅱ）由x得范围，可得x+得范围，再由正弦函数得图象与性质，即可求得最小值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin cos﹣sin=sinx﹣（1﹣cosx）=sinxcos+cosxsin﹣=sin（x+）﹣，则f（x）得最小正周期为2π；（Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得﹣≤x+≤，即有﹣1，则当x=﹣时，sin（x+）取得最小值﹣1，则有f（x）在区间[﹣π，0]上得最小值为﹣1﹣．点评：本题考查二倍角公式与两角与得正弦公式，同时考查正弦函数得周期与值域，考查运算能力，属于中档题．16．（13分）（2015•北京）A，B两组各有7位病人，她们服用某种药物后得康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人得康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出得人记为甲，B 组选出得人记为乙．（Ⅰ）求甲得康复时间不少于14天得概率；（Ⅱ）如果a=25，求甲得康复时间比乙得康复时间长得概率；（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间得方差相等？（结论不要求证明）考点：极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：设事件A i为“甲就是A组得第i个人”，事件B i为“乙就是B组得第i个人”，由题意可知P（A i）=P（B i）=，i=1，2，••，7（Ⅰ）事件等价于“甲就是A组得第5或第6或第7个人”，由概率公式可得；（Ⅱ）设事件“甲得康复时间比乙得康复时间长”C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，易得P （C）=10P（A4B1），易得答案；（Ⅲ）由方差得公式可得．解答：解：设事件A i为“甲就是A组得第i个人”，事件B i为“乙就是B组得第i个人”，由题意可知P（A i）=P（B i）=，i=1，2，••，7（Ⅰ）事件“甲得康复时间不少于14天”等价于“甲就是A组得第5或第6或第7个人”∴甲得康复时间不少于14天得概率P（A5∪A6∪A7）=P（A5）+P（A6）+P（A7）=；（Ⅱ）设事件C为“甲得康复时间比乙得康复时间长”，则C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，∴P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）P+（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P （A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=（Ⅲ）当a为11或18时，A，B两组病人康复时间得方差相等．点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率得加法公式与方差，属基础题．17．（14分）（2015•北京）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF得中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B得余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a得值．考点：二面角得平面角及求法；直线与平面垂直得判定；直线与平面垂直得性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直得性质定理即可证明AO⊥BE．（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角F﹣AE﹣B得余弦值；（Ⅲ）利用线面垂直得性质，结合向量法即可求a得值解答：证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF得中点，∴AO⊥EF，∵平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，∴AO⊥平面EFCB∴AO⊥BE．（Ⅱ）取BC得中点G，连接OG，∵EFCB就是等腰梯形，∴OG⊥EF，由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，∵OG⊂平面EFCB，∴OA⊥OG，建立如图得空间坐标系，则OE=a，BG=2，GH=a，BH=2﹣a，EH=BHtan60°=，则E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，，0），=（﹣a，0，a），=（a﹣2，﹣，0），设平面AEB得法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1，则x=，y=﹣1，即=（，﹣1，1），平面AEF得法向量为，则cos＜＞==即二面角F﹣AE﹣B得余弦值为；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，则BE⊥OC，即=0，∵=（a﹣2，﹣，0），=（﹣2，，0），∴=﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2=0，解得a=．点评：本题主要考查空间直线与平面垂直得判定以及二面角得求解，建立坐标系利用向量法就是解决空间角得常用方法．18．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处得切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）；（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k得最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中得应用．专题：导数得综合应用．分析：（1）利用函数得导数求在曲线上某点处得切线方程．（2）构造新函数利用函数得单调性证明命题成立．（3）对k进行讨论，利用新函数得单调性求参数k得取值范围．解答：解答：（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处得切线方程为y=2x．（2）证明：令g（x）=f（x）﹣2（x+），则g'（x）=f'（x）﹣2（1+x2）=，因为g'（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增．所以g（x）＞g（0）=0，x∈（0，1），即当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）．（3）由（2）知，当k≤2时，f（x）＞对x∈（0，1）恒成立．当k＞2时，令h（x）=f（x）﹣，则h'（x）=f'（x）﹣k（1+x2）=，所以当时，h'（x）＜0，因此h（x）在区间（0，）上单调递减．当时，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜．所以当k＞2时，f（x）＞并非对x∈（0，1）恒成立．综上所知，k得最大值为2．点评：本题主要考查切线方程得求法及新函数得单调性得求解证明．在高考中属常考题型，难度适中．19．（14分）（2015•北京）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）得离心率为，点P（0，1）与点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C得方程，并求点M得坐标（用m，n表示）；（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上就是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q得坐标，若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线得综合问题；椭圆得标准方程．专题：创新题型；圆锥曲线得定义、性质与方程；圆锥曲线中得最值与范围问题．分析：（I）根据椭圆得几何性质得出求解即可．（II）求解得出M（，0），N（，0），运用图形得出tan∠OQM=tan∠ONQ，=，求解即可得出即y Q2=x M•x N，+n2，根据m，m得关系整体求解．解答：解：（Ⅰ）由题意得出解得：a=，b=1，c=1∴+y2=1，∵P（0，1）与点A（m，n），﹣1＜n＜1∴PA得方程为：y﹣1=x，y=0时，x M=∴M（，0）（II）∵点B与点A关于x轴对称，点A（m，n）（m≠0）∴点B（m，﹣n）（m≠0）∵直线PB交x轴于点N，∴N（，0），∵存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，y Q），∴tan∠OQM=tan∠ONQ，∴=，即y Q2=x M•x N，+n2=1y Q2==2，∴y Q=，故y轴上存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，）或Q（0，﹣）点评：本题考查了直线圆锥曲线得方程，位置关系，数形结合得思想得运用，运用代数得方法求解几何问题，难度较大，属于难题．20．（13分）（2015•北京）已知数列{a n}满足：a1∈N*，a1≤36，且a n+1=（n=1，2，…），记集合M={a n|n∈N*}．（Ⅰ）若a1=6，写出集合M得所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一个元素就是3得倍数，证明：M得所有元素都就是3得倍数；（Ⅲ）求集合M得元素个数得最大值．考点：数列递推式．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）a1=6，利用a n+1=可求得集合M得所有元素为6，12，24；（Ⅱ）因为集合M存在一个元素就是3得倍数，所以不妨设a k就是3得倍数，由a n+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n就是3得倍数；（Ⅲ）分a1就是3得倍数与a1不就是3得倍数讨论，即可求得集合M得元素个数得最大值．解答：解：（Ⅰ）若a1=6，由于a n+1=（n=1，2，…），M={a n|n∈N*}．故集合M得所有元素为6，12，24；（Ⅱ）因为集合M存在一个元素就是3得倍数，所以不妨设a k就是3得倍数，由a n+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n就是3得倍数．如果k=1，M得所有元素都就是3得倍数；如果k＞1，因为a k=2a k﹣1，或a k=2a k﹣1﹣36，所以2a k﹣1就是3得倍数；于就是a k 就是3得倍数；﹣1类似可得，a k﹣2，…，a1都就是3得倍数；从而对任意n≥1，a n就是3得倍数；综上，若集合M存在一个元素就是3得倍数，则集合M得所有元素都就是3得倍数（Ⅲ）对a1≤36，a n=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n＜36（n=2，3，…）因为a1就是正整数，a2=，所以a2就是2得倍数．从而当n≥3时，a n就是2得倍数．如果a1就是3得倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a n就是3得倍数．因此当n≥3时，a n∈{12，24，36}，这时M得元素个数不超过5．如果a1不就是3得倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a n不就是3得倍数．因此当n≥3时，a n∈{4，8，16，20，28，32}，这时M得元素个数不超过8．当a1=1时，M={1，2，4，8，16，20，28，32}，有8个元素．综上可知，集合M得元素个数得最大值为8．点评：本题考查数列递推关系得应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力，属于难题．2015年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）（2015•北京）复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．（5分）（2015•北京）若x，y满足，则z=x+2y得最大值为（）A．0B．1C．D．23．（5分）（2015•北京）执行如图所示得程序框图，输出得结果为（）A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）4．（5分）（2015•北京）设α，β就是两个不同得平面，m就是直线且m⊂α，“m∥β“就是“α∥β”得（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分不要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）（2015•北京）某三棱锥得三视图如图所示，则该三棱锥得表面积就是（）A．2+B．4+C．2+2D．56．（5分）（2015•北京）设{a n}就是等差数列，下列结论中正确得就是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则若a1+a2＜0，C．若若0＜aD．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 1＜a2，则a27．（5分）（2015•北京）如图，函数f（x）得图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）得解集就是（）A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2}8．（5分）（2015•北京）汽车得“燃油效率”就是指汽车每消耗1升汽油行驶得里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确得就是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时得速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）（2015•北京）在（2+x）5得展开式中，x3得系数为（用数字作答）10．（5分）（2015•北京）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）得一条渐近线为x+y=0，则a=．11．（5分）（2015•北京）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6得距离为．12．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=．13．（5分）（2015•北京）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=．14．（5分）（2015•北京）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）得最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a得取值范围就是．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=sin cos﹣sin．（Ⅰ）求f（x）得最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上得最小值．16．（13分）（2015•北京）A，B两组各有7位病人，她们服用某种药物后得康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人得康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出得人记为甲，B 组选出得人记为乙．（Ⅰ）求甲得康复时间不少于14天得概率；（Ⅱ）如果a=25，求甲得康复时间比乙得康复时间长得概率；（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间得方差相等？（结论不要求证明）17．（14分）（2015•北京）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF得中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B得余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a得值．18．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处得切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）；（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k得最大值．19．（14分）（2015•北京）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）得离心率为，点P（0，1）与点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C得方程，并求点M得坐标（用m，n表示）；（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上就是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q得坐标，若不存在，说明理由．20．（13分）（2015•北京）已知数列{a n}满足：a1∈N*，a1≤36，且a n+1=（n=1，2，…），记集合M={a n|n∈N*}．（Ⅰ）若a1=6，写出集合M得所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一个元素就是3得倍数，证明：M得所有元素都就是3得倍数；（Ⅲ）求集合M得元素个数得最大值．。

北京市西城区2015届高三二模数学(理)试题含解析

汽车租赁中的车辆保险费用分摊范本近年来，汽车租赁行业的发展迅速，租车已成为一种常见的出行方式。

然而，在租车过程中，车辆保险费用分摊问题一直备受争议。

为了明确车辆保险费用的分摊范本，保障租车双方的权益，本文将对汽车租赁中的车辆保险费用分摊进行探讨。

一、保险费用的定义及计算方式在汽车租赁中，保险费用指的是为了保障车辆投保人和驾驶人的车辆安全而支付的费用。

计算保险费用时，通常会考虑车辆的价值、车型、驾驶人的驾龄和行驶记录等因素。

二、车辆保险费用的责任划分1.基本强制保险根据我国法律规定，每一辆机动车都必须购买基本强制保险，即交强险。

交强险保障的是在道路交通事故中由被保险人负责的人身伤亡、财产损失责任，费用由所有机动车车主共同分摊。

2.商业保险除了基本强制保险外，车辆租赁公司还可以按照客户的需求为租车提供商业保险，例如车损险、第三者责任险等。

商业保险的费用由租车双方通过协商决定，并在租车合同中明确注明。

三、车辆保险费用分摊的原则1.保险费用由使用方承担汽车租赁中，保险费用应由租车使用方承担。

使用方在租车之前应明确了解并同意支付相应的保险费用。

2.按照使用时间分摊车辆保险费用的分摊应根据租车的使用时间进行合理划分。

通常情况下，按照天数进行分摊是一种常见的方式。

四、车辆保险费用的分摊例子假设小明在租赁一辆汽车，租期为7天，每日租金为100元，保险费用为50元/天。

则车辆保险费用的分摊可以按照以下方式计算：保险费用总额 = 每日保险费用 ×租期天数保险费用总额 = 50元/天 × 7天 = 350元小明需要支付的保险费用 = 每日租金 ×租期天数 ×保险费用占租金比例小明需要支付的保险费用 = 100元 × 7天 × 50% = 350元五、车辆保险费用的支付方式车辆保险费用的支付方式可以根据租车双方的协商而定。

一种常见的做法是，在租车时支付全部保险费用，然后在还车时根据实际使用天数进行退还或调整。

北京西城区2015高三二模数学理试卷分析

北京市西城区２０１５高三二模数学（理）试卷分析总体分析：试卷难度：相对于2014高考，略难试卷计算量：一般8，14，20题难度比高考要高，但是8和14同时考察了动点问题，这从考察方式来看，算是对高考传统考察方式的回归。

北京高考微信公共平台（ＩＤ：ｂｊ－ｇａｏｋａｏ）２０１５年北京高考交流群：１５６４７２２３９；２０１６年北京高考交流群　４１９３０７０６４西城区这次二模值得关注的点•第5题的应用题考察本身难度很低，读懂题的情况下，使用简单的均值不等式即可直接解决。

此题和海淀一模第八题的思路基本一致，只是难度偏低。

说到底就是考察学生是不是知道“平均”是什么意思。

现在应用题在数学模拟考试中出场率越来越高，这可能也是高考命题的一个趋势。

这道题应该是取代线性规划问题出现的。

•平面几何部分考察了一个圆的切割线性质的填空题，实际上基本上用初中知识就可以解决，而这道题应该是挤掉了极坐标和参数方程的位置。

•创新的第8题，第14题都考察了曾经常见的动点问题，只是第8题考三维的，14题考二维的。

这两道题相对于一模，可以认为是对高考常规考察方式的回归•三角函数考察了一个终边的小题，这个在以往的考试里不常见到。

•立体几何小题没有考察三视图，总的来看，今年各区模拟题中三视图出现的频率很低。

由于今年有传言说西城区的考试对高考的指导意义较大，所以我在此大胆预测：2015年高考数学卷：1，很大可能出现纯应用题，具体形式参见西城二模5和海淀一模82，传统线性规划问题出现的可能性不大，即求最值或者求参数问题3，创新题中至少有一个会出现几何动点问题4，第20题很大可能与数列相结合5，导数问题可能会有变化，考察传统求导形式的可能性不大6，解析几何会倾向于降低技术含量，侧重单独考察计算量。

2015年北京西城高考二模数学(理)

15. 在锐角 △ �� 中，角 �� ，�� ，�� 所对的边分别为 �� ，�� ，�� ，已知 �� = 7，�� = 3， 7sin�� + sin�� = 2 3． (1)求角 �� 的大小； (2)求 △ �� 的面积．
��
3
��
为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该
�� 折起到 △ �� 1 �� 的位置，使 �� 1 �� ⊥ �� ，如图 2．
(1)求证：�� 1 �� ⊥ 平面�� ； (2)求二面角 �� − �� 1 �� − �� 的余弦值； (3)判断在线段 �� 上是否存在一点 �� ，使平面�� 1 �� ⊥ 平面�� 1 �� ？若存在，求出若不存在，说明理由． 18. 已知函数 �� =
�� ≥ �� 表示集合 ��
(1)若数列 �� ：1,3,4,7, ⋯，写出 �� 1 �� ，�� 2 �� ，⋯，�� 5 �� ； (2)若 �� = 2�� − 1，求数列 �� 前 �� 项的和； (3)已知 �� 20 = 46，求 �� = �� 1 + �� 2 + ⋯ + �� 20 + �� 1 �� + �� 2 �� + ⋯ + �� 46 �� 的值．

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