三种人口模型对长春市的人口分析

环境工程系统工程学长春市人口模型学院：环境科学与工程学院专业：环境工程姓名：包伟韩兵陈昱寇朝卫一、人口预测的意义社会人口的变化和发展是由很多因素决定的。

社会制度、自然环境、生活水平、文化程度、战争、灾害和移民等等都能极大的影响社会人口的发展过程。

决定人口发展过程的因素虽然很多，但随着时间变化对人类状态的影响，出生、死亡和居民的迁移直接决定该社会人口变化，所有的因素对社会人口数量的影响都是通过这三种现象表现的。

人口预测是指以规划区域或单位现有人口现状为基础,并对未来人口的发展趋势提出合理的控制要求和假定条件即参数条件,来获得对未来人口数据提出预报的技术或方法。

一般需要充分采集资料、确定预测参数,通过建立预测模型来进行,包括人口数量、人口性别和年龄构成等。

在人口预测中，最关键的部分就是建立预测的模型。

人口的增长并不是按比例线性增长的，也就是说人口问题是非线性动力学问题，如果能定量建立他们之间的平衡关系，就可以得到描述人口发展过程的数学模型。

人口模型是人口发展过程分析、预测和控制的基础。

有了数学模型，再结合现代科学技术中的如控制论、系统科学、系统工程技术和计算机技术的一些理论和方法去研究人口发展过程，便能够得到一些意想不到的结果。

要通过一些假设，建立起含有参数的模型，然后通过长期的观察研究，估计参数的值。

但是由于各地区情况不同，可能无法通用一个模型，所以应该根据各地的实际情况，通过数值拟合估计参数。

人口预测的方法有很多,如:人口年增长法、马尔萨斯人口模型、Logistic增长模型、GM 灰色模型法、时间序列法、回归分析预测法、劳动平衡法等。

本次预测运用马尔萨斯人口模型、Logistic增长模型和GM(1,1)模型,对长春市人口规模在未来10年的发展做出预测。

二、长春市人口发展状况长春市人口从1991年637.823万增加到2011年的761.856万(表1)。

22年间增加了124.033 万人，年均增加5.637 万人，年均人口增长率为0.85%。

在这一过程中，总人口数呈现出逐年增加的趋势，各年间的人口增长相对平稳。

表1 长春市1990年--2011年总人口数（单位：人）年份人口数年份人口数19906378237200170513131991642634620027126546199264573512003718542319936510368200472626461994657499920057315654199566729122006739321119966767781200774594531997683787520087525321199868686732009756035619996912278201075892452000699635420117618564由图表可以看出长春市人口自改革开放以来都比较平稳的增长，没有大的变动。

三、马尔萨斯模型英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料,于1798年提出了著名的人口模型,是基于指数增长的模型。

这个模型的基本假设是:人口的增长率是常数,即随着时间的增加,人口按指数规律无限增长，Y=X0(1+r)k,其中,X0为初始年人口数,r为年增长率,k为规划年限；长春市1990～2011年的年平均人口增长率为0.85%,设定2012～2021年人口的自然增长率作高、中、低3个方案预测。

其中,高方案认为2012～2021年长春市人口自然增长率保持现有水平0.85%不变;低方案认为2012～2021年人口的自然增长率为1990～2011年的最小值0.39%,中方案取其平均值0.62%；由此得出长春市2012～2021年的人口情况。

以2007年为基准年可以得出以下数据。

表2 长春市2008～2021年人口马尔萨斯模型预测方案年份实际人口低方案人口中方案人口高方案人口2008 7525321 7517637 7488545 7503464 2009 7560356 7576274 7517750 7547734 2010 7589245 7635369 7547069 7592266 2011 7618564 7694925 7576503 7637060 2012————7754946 7606051 7682119 2013 ————7815434 7635715 7727443 2014 ————7876394 7665494 7773035 2015 ————7937830 7695390 7818896 2016 ————7999745 7725402 7865028 2017 ————8062143 7755531 7911431 2018 ————8125028 7785777 7958109 2019 ————8188403 7816142 8005062 2020 ————8252273 7846625 8052291 2021 ————8316641 7877227 8099800相对误差年份 高方案误差（%） 低方案误差（%） 中方案误差（%）2008 0.10%0.49% 0.29% 2009 0.21% 0.57% 0.17% 2010 0.61% 0.56% 0.04% 20111.00% 0.56% 0.24%绝对误差年份 高方案误差（个） 低方案误差（个） 中方案误差（个）2008 7684 36776 21857 2009 15918 42605 12621 2010 46124 42175 3020 2011 76361 42061 18496图2长春市马尔萨斯模型实际人口与预测人口对比图从上图可知高方案人口增长趋势与实际人口增长趋势近似，其他两方案增长率均出现降低现象。

四、Logistic 模型1.Logistic 模型的建立马尔萨斯模型现在社会肯定是不符合实际的。

正如恩格斯所说， 大自然决不会让一个树长得刺破了天。

人口的增长也必将受到环境的约束，为此需要在马尔萨斯人口模型式中加上一个环境约束因子二次项qP(t)2，从而得到二阶齐次方程：dP(t)／dt=rP(t)-qP(t)2式中的q 为约束参数。

对上式求解并进行数学变换后得到方程：P(t)=bta e K -+1式中，P(t)为第t 年的人口规模；K 为人口极限规模；a 、b 为模型参数。

这便是著名的Logistic 人口预测模型，它是由荷兰数学家、生物学家Verhulst 在1838 年提出的，最初用于虫口—人口预测。

该模型的现实含义为：在人口发展的早期人口总量的增长速度较快，但随着人口的不断增多，人口增长速度不断放慢，每单位时间增加的人口数也逐渐减少，最后人口规模接近最高值K 。

2.Logistic 模型参数的确定在Logistic 模型的参数求解过程中， 合理地确定极限人口规模Pm 是模型拟合精度的关键。

从上式中可以看出，Logistic 模型有三个参数， 普通的回归无法实现数据的拟合。

一个比较简单常用的Logistic 模型求解方法是先求出K 。

K 值估计方法K 值估计方法有三点法和四点法。

由于该样本总数是偶数，所以我们用四点法。

四点法用实测序列中的4 个数据点来估计K 值。

与上同理,可推导出用四点法估计K 值的公式为:324141323241)()(NN N N N N N N N N N N K -+-+=, t 2 + t 3 = t 1 + t 4其中(t 1 ,N 1) 、(t 4 ,N 4) 分别为实测数据序列的始点、终点, (t 2 ,N 2) 、(t 3 ,N 3) 则为中间两点。

本文我们取t 1=1980,t 2=1990,t 3=1999,t 4=2009.分别将对应的N 1,N 2,N 3,N 4代入上式求出K= 7902354 a,b 参数的求解把上式中的方程转化为bt a t p t p k -=-)()(ln。

由于K 已求出。

这样就可以把非线性的方程转化为一元线性回归分析了。

令)()(ln t p t p k Y -=，取长春市人口1991-2011年22年的人口用EXCELY=-0.0909x+179.55,R 2=0.9712,进而确定a=179.55,b=0.0909.则得到的人口预测模型为预测结果如表3，人口单位：个。

表3 Logistic 模型对长春市2012-2021年人口的预测结果年份总人口年份总人口20127632111 2017 772864420137654858 2018 774343420147675746 2019 775698920157694920 2020 77694072016 7712511 2021 7780781图3 Logistic模型对长春市人口的预测与实际人口的对比从图3可得所做的Logistic模型总的增长趋势与实际基本一致，但在1993——2008年之间存在一定误差。

具体可见表4表4 Logistic模型对长春市人口的预测与实际人口的误差分析年份人口(个) 预测值相对误差绝对误差（万）1990 6378237 6263835 1.79% 111991 6426346 6378758 0.74% 51992 6457351 6487441 0.47% 31993 6510368 6589966 1.22% 81994 6574999 6686455 1.70% 111995 6672912 6777061 1.56% 101996 6767781 6861966 1.39% 91997 6837875 6941373 1.51% 101998 6868673 7015502 2.14% 151999 6912278 7084587 2.49% 172000 6996354 7148869 2.18% 152001 7051313 7208592 2.23% 162002 7126546 7264004 1.93% 142003 7185423 7315351 1.81% 132004 7262646 7362874 1.38% 102005 7315654 7406810 1.25% 92006 7393211 7447390 0.73% 5200774594537484833 0.34% 32008 7525321 7519354 0.08% 12009 7560356 7551154 0.12% 12010 7589245 7580427 0.12% 12011 7618564 7607355 0.15% 1五、灰色预测与GM(1,1)模型的建立1. 灰色系统和灰色预测灰色系统(Grey System)理论是我国著名学者邓聚龙教授20世纪80年代初创立的一种兼备软硬科学特性的新理论。