最新浙江大学高等代数试题解答汇总
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2008年浙江大学高等代数试题解答
1。解:由题意可知1123212233131231,1,1δλλλδλλλλλλδλλλ=++=-=++=== 从而知()()()2123121231g g g λλλδδδ++=-++=
()()()()()()2212233121312312122324231
g g g g g g λλλλλλδδδδδδδδδδ++=-+-+-+++=-()()()22123311223313212213g g g λλλδδδδδδδδδδδ=++++--++=-
故()323p x x x x =--+
2。证明:由分析知()()21112221n n n n f x nx nx nx x ---'=+=+。如果()f x 有重数大于2的非零根,在()f x '有重数大于1的非零根,根据()f x '的表达式可知
()f x '没有非零重根,从而()f x 没有重数大于2的非零根 3。解:由于()111n
n
k
j
k k k j n
D x x
x =≤<≤=-∏∏,又可知
()()12
1
11111
121111*********
1
1211111
1n n
i i i i i n n n n k j k i i i i i k k j n
n n i i i i i n n
n
n
n n
n
n n
x x x x y
x x x x y y x x x x x x x y x x x x y x x x x y -------=≤<≤-+++++--=--∏∏ 从而知()()()
()1
11
1
111n
n i n i i i i i
j
k k j n
D y
x
x y δ+-----≤<≤-=--∏即()1n
i i
j
k k j n
D x
x δ≤<≤=-∏,从而
知
()111n
n
n i i j k i i k j n D x x δ==≤<≤⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑∏ 4。解;由于11T T A E XY Y X α=+=+=+从而
()1当1α≠时,A 可逆
()2由于当1α=时()()()
1
11n T T
E E XY E XY λλλλ--+=--=-,从而A 的特征
多项式为()
1
1n λλ--故()1rank A n =-,又
()()()1T T rank A E rank X Y rank YX -===
从而()()rank A rank A E n =-=,从而2A A =,故A 的最小多项式()m λ能整除
()1λλ-,从而()m λ无重根,从而A 可对角化
5。证明:若1n =时,11A a =显然满足。若2n =时,由于2
112212A a a a =-,由于A 为正定矩阵,从而0A >,即2112212a a a >,从而1122A a a ≤等号成立时,
12210a a ==,即A 为对角矩阵时候成立显然为充要条件
若小于n 时成立,且等号成立时候充要条件A 为对角矩阵。令11
nn A b A b
a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
,则11A 为1n -阶正定矩阵,从而1
11A -存在且也为正定矩阵。又
1
111111111111000101T T T nn nn A b A E
E A b b a a b A b b A ---⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦从而1111100T nn A a b A b -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦为正定矩阵,且有()1
1111T nn A A a b A b -=-,根据A 正定和111
A -正定可知:11nn A A a ≤,当等号成立时候0b =,由归纳假设可知11111,1n n A a a --≤,等号
成立时候充要条件11A 为对角矩阵,从而可知1122nn A a a a ≤等号成立充要条件
为A 为对角矩阵。
6.证明:由分析考虑A 的Jordan 块,则存在实可逆矩阵J ,有
()
()
()1210000000
0s J J J AJ J -⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦ ()
1()()(
)
121110001100
1s J J A E J AJ J J J --+=+=
=
()2若AB BA =则1111J AJJ BJ J BJJ AJ ----=,从而
12
1
00000
s B B J BJ B -⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦,其中12
1
2
1000i i i i
it
i i b b b B b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
则有()121121
110
1i i i t i i i i it
i i b b b J B b B b b b ++=
==+
从而可知()1
1
1
1
0s
s
i i i i i A B J AJ J BJ J B B B --==+=+=+==∏∏
7。证明:当0λ≠时,由
0000A A I I A I AB I
A I I BA I
B I B I B I I I λλλλλλ⎡
⎤⎡
⎤⎡⎤
---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣
⎦
即BA I AB I I BA λλλλ⎛
⎫-=-=- ⎪
⎝⎭,先让()1n BA AB A B -=-=-,从而对任何λ均有I AB I BA λλ-=-,即AB 和BA 有相同的特征多项式。 8。证明:由于A 为幂零矩阵,从而,则存在实可逆矩阵J ,有
()
()
()
121
0000000
0s J J J AJ J -⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎣⎦()()()111
211100
000
0r r r r s J J J A J J ++-++⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦,又由于()rank A r =则可知()()()11
1120000r r r s J J J +++====即就有
110r J A J -+=,即10r A +=
9:解;()()3
11111
11311
1
1
11I A λ
λ
λλλλ
λ
-----=
=-+----
从而A 的特征值为()13重和3-,解()0I A X -=可得基础解系为