最新浙江大学高等代数试题解答汇总

2008年浙江大学高等代数试题解答

1。解：由题意可知1123212233131231,1,1δλλλδλλλλλλδλλλ=++=-=++=== 从而知()()()2123121231g g g λλλδδδ++=-++=

()()()()()()2212233121312312122324231

g g g g g g λλλλλλδδδδδδδδδδ++=-+-+-+++=-()()()22123311223313212213g g g λλλδδδδδδδδδδδ=++++--++=-

故()323p x x x x =--+

2。证明：由分析知()()21112221n n n n f x nx nx nx x ---'=+=+。如果()f x 有重数大于2的非零根，在()f x '有重数大于1的非零根，根据()f x '的表达式可知

()f x '没有非零重根，从而()f x 没有重数大于2的非零根 3。解：由于()111n

n

k

j

k k k j n

D x x

x =≤<≤=-∏∏，又可知

()()12

1

11111

121111*********

1

1211111

1n n

i i i i i n n n n k j k i i i i i k k j n

n n i i i i i n n

n

n

n n

n

n n

x x x x y

x x x x y y x x x x x x x y x x x x y x x x x y -------=≤<≤-+++++--=--∏∏ 从而知()()()

()1

11

1

111n

n i n i i i i i

j

k k j n

D y

x

x y δ+-----≤<≤-=--∏即()1n

i i

j

k k j n

D x

x δ≤<≤=-∏，从而

知

()111n

n

n i i j k i i k j n D x x δ==≤<≤⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∑∑∏ 4。解；由于11T T A E XY Y X α=+=+=+从而

()1当1α≠时，A 可逆

()2由于当1α=时()()()

1

11n T T

E E XY E XY λλλλ--+=--=-，从而A 的特征

多项式为()

1

1n λλ--故()1rank A n =-，又

()()()1T T rank A E rank X Y rank YX -===

从而()()rank A rank A E n =-=，从而2A A =，故A 的最小多项式()m λ能整除

()1λλ-，从而()m λ无重根，从而A 可对角化

5。证明：若1n =时，11A a =显然满足。若2n =时，由于2

112212A a a a =-，由于A 为正定矩阵，从而0A >，即2112212a a a >，从而1122A a a ≤等号成立时，

12210a a ==，即A 为对角矩阵时候成立显然为充要条件

若小于n 时成立，且等号成立时候充要条件A 为对角矩阵。令11

nn A b A b

a ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

，则11A 为1n -阶正定矩阵，从而1

11A -存在且也为正定矩阵。又

1

111111111111000101T T T nn nn A b A E

E A b b a a b A b b A ---⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦从而1111100T nn A a b A b -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦为正定矩阵，且有()1

1111T nn A A a b A b -=-，根据A 正定和111

A -正定可知：11nn A A a ≤，当等号成立时候0b =，由归纳假设可知11111,1n n A a a --≤，等号

成立时候充要条件11A 为对角矩阵，从而可知1122nn A a a a ≤等号成立充要条件

为A 为对角矩阵。

6.证明：由分析考虑A 的Jordan 块，则存在实可逆矩阵J ，有

()

()

()1210000000

0s J J J AJ J -⎡⎤

⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦ ()

1()()(

)

121110001100

1s J J A E J AJ J J J --+=+=

=

()2若AB BA =则1111J AJJ BJ J BJJ AJ ----=，从而

12

1

00000

s B B J BJ B -⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦，其中12

1

2

1000i i i i

it

i i b b b B b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

则有()121121

110

1i i i t i i i i it

i i b b b J B b B b b b ++=

==+

从而可知()1

1

1

1

0s

s

i i i i i A B J AJ J BJ J B B B --==+=+=+==∏∏

7。证明：当0λ≠时，由

0000A A I I A I AB I

A I I BA I

B I B I B I I I λλλλλλ⎡

⎤⎡

⎤⎡⎤

---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢

⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣

⎦

即BA I AB I I BA λλλλ⎛

⎫-=-=- ⎪

⎝⎭，先让()1n BA AB A B -=-=-，从而对任何λ均有I AB I BA λλ-=-，即AB 和BA 有相同的特征多项式。 8。证明：由于A 为幂零矩阵，从而，则存在实可逆矩阵J ，有

()

()

()

121

0000000

0s J J J AJ J -⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥⎣⎦()()()111

211100

000

0r r r r s J J J A J J ++-++⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦，又由于()rank A r =则可知()()()11

1120000r r r s J J J +++====即就有

110r J A J -+=，即10r A +=

9：解；()()3

11111

11311

1

1

11I A λ

λ

λλλλ

λ

-----=

=-+----

从而A 的特征值为()13重和3-，解()0I A X -=可得基础解系为