专题五 第二讲 战考场

一、选择题

1．(2011·杭州五校质检)在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，AA1⊥底面ABC，AA1＝3，那么直线AB与平面A1BC所成角的正弦值为()

A.

3

4 B.

5

4

C.

7

4 D.

3

4

解析：如图，设D为BC的中点，连接A1D，AD，容易得到A1D ⊥BC，AD⊥BC，于是，过A作AH⊥A1D于H，易得AH⊥平面A1BC，连接BH，则∠ABH就是直线AB与平面A1BC所成的角，在Rt△A1AD

中，AA1＝3，AD＝3，A1D＝23，∴AH＝3

2，sin∠ABH＝

3

4.

答案：D

2．(2011·重庆高考)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点()

A．只有1个B．恰有3个

C．恰有4个D．有无穷多个

解析：在长方体ABCD－A

1

B1C1D1中建立如图所示的空间直角坐

标系，易知直线AD与D1C1是异面且垂直的两条直线，过直线AD与

D1C1平行的平面是平面ABCD，因此考虑在平面ABCD内到直线AD

与D1C1的距离相等的动点M(x，y,0)的坐标所满足的条件，作MM1⊥

AD于点M1，MN⊥CD于点N，NP⊥D1C1于点P，连接MP，易知MN⊥平面CDD1C1，MP⊥D1C1，若MM1＝MP，则有y2＝x2＋a2(其中a是异面直线AD与D1C1间的距离)，即有y2－x2＝a2，从而可知在平面ABCD内动点M的轨迹是双曲线的一部分，故满足题意的点有无穷多个．

答案：D

3．(2011·唐山一模)正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1B与平面A1ACC1所成的角为

() A．30°B．45°

C．60°D．90°

解析：连接BD，设BD∩AC＝O，连接A1O，

则有BD⊥AC.

又AA1⊥平面ABCD，

BD ⊂平面ABCD ，

因此有BD ⊥AA 1，

BD ⊥平面A 1ACC 1，

则∠OA 1B 是直线A 1B 与平面A 1ACC 1所成的角．

设正方体的棱长为a .在Rt △OA 1B 中，

sin ∠OA 1B ＝OB A 1B ＝22a 2a ＝12

，所以∠OA 1B ＝30°， 直线A 1B 与平面A 1ACC 1所成的角是30°.

答案：A

4.在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点，

则点A 到平面A 1DM 的距离为( )

A.

63a B.66a C.22a D.12

a 解析：作AN ⊥DM ，N 为垂足，连接A 1N ，作AG ⊥A 1N ，G

为垂足，正方体中AA 1⊥平面ABCD 则AA 1⊥DM ，从而DM ⊥平

面AA 1N ，则有DM ⊥AG .

又AG ⊥A 1N

得AG ⊥平面A 1DM ，AG 即为点A 到平面A 1DM 的距离，

在Rt △ADM 中，DA ＝a ，AM ＝a 2，DM ＝52a ， AN ＝AD ·AM DM ＝55

a .在Rt △AA 1N 中， A 1N ＝AN 2＋AA 21＝

305a ， 则AG ＝AN ·AA 1A 1N ＝66

a . 答案：B

二、填空题

5．在三棱锥P －ABC 中，∠ABC ＝90°，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝22，PB ＝2，则点B 到平面PAC 的距离是________．

解析：建立空间直角坐标系B －xyz ，如图，

则A (22，0,0)，C (0,22，0)，P (0,0,2)

则PA ＝(22，0，－2)．

PC ＝(0,22，－2)

设平面PAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )

则⎩⎨⎧ 22x －2z ＝0，22y －2z ＝0.

取x ＝1得平面PAC 的一个法向量为n ＝(1,1，2)．又BP ＝(0,0,2)， ∴B 到平面PAC 的距离d ＝

|BP ·n ||n |＝222＝ 2. 答案： 2

6．(2011·石家庄一检)已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，若将其沿对角线AC 折成直二

面角，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为________．

解析：作DE ⊥AC 于点E ，作BF ⊥AC 于点F ，则DE ⊥平面ABC ，

BF ⊥平面ADC .

且AF ＝CE ＝165， AB ·CD ＝(AF ＋FB )·(CE ＋ED )＝AF ·CE ＋AF ·ED ＋FB ·CE ＋FB ·ED ＝－(165

)2， 故cos 〈AB ，CD 〉＝AB ·CD | AB |·|CD |

＝－1625， 故异面直线AB ，CD 所成角的余弦值为1625

.

答案：1625

7．(2011·广西阶段性检测)如图，已知α－l －β是60°的二面角，A

∈l ，射线AC ⊂β，AC 与l 成45°角，线段AP ⊂α，AP ⊥l ，且AP ＝4，

PH ⊥AC 交AC 于H ，则AH ＝________.

解析：过P 作PB ⊥β，垂足为B ，

连接AB 、BH ，易知∠PAB 就是二面角α－l －β的平面角，

即∠PAB ＝60°，易得BH ⊥AC ，BA ⊥l ，那么∠BAH ＝45°.

在Rt △PAB 中，可得AB ＝2，

在Rt △HAB 中，可得AH ＝ 2.

答案： 2

三、解答题

8.(2011·新课标全国卷)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD

为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .

(1)证明：PA ⊥BD ；