专题五 第二讲 战考场

一、选择题

1．(2011·杭州五校质检)在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，AA1⊥底面ABC，AA1＝3，那么直线AB与平面A1BC所成角的正弦值为()

A.

3

4 B.

5

4

C.

7

4 D.

3

4

解析：如图，设D为BC的中点，连接A1D，AD，容易得到A1D ⊥BC，AD⊥BC，于是，过A作AH⊥A1D于H，易得AH⊥平面A1BC，连接BH，则∠ABH就是直线AB与平面A1BC所成的角，在Rt△A1AD

中，AA1＝3，AD＝3，A1D＝23，∴AH＝3

2，sin∠ABH＝

3

4.

答案：D

2．(2011·重庆高考)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点()

A．只有1个B．恰有3个

C．恰有4个D．有无穷多个

解析：在长方体ABCD－A

1

B1C1D1中建立如图所示的空间直角坐

标系，易知直线AD与D1C1是异面且垂直的两条直线，过直线AD与

D1C1平行的平面是平面ABCD，因此考虑在平面ABCD内到直线AD

与D1C1的距离相等的动点M(x，y,0)的坐标所满足的条件，作MM1⊥

AD于点M1，MN⊥CD于点N，NP⊥D1C1于点P，连接MP，易知MN⊥平面CDD1C1，MP⊥D1C1，若MM1＝MP，则有y2＝x2＋a2(其中a是异面直线AD与D1C1间的距离)，即有y2－x2＝a2，从而可知在平面ABCD内动点M的轨迹是双曲线的一部分，故满足题意的点有无穷多个．

答案：D

3．(2011·唐山一模)正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1B与平面A1ACC1所成的角为

() A．30°B．45°

C．60°D．90°

解析：连接BD，设BD∩AC＝O，连接A1O，

则有BD⊥AC.

又AA1⊥平面ABCD，

BD ?平面ABCD ，

因此有BD ⊥AA 1，

BD ⊥平面A 1ACC 1，

则∠OA 1B 是直线A 1B 与平面A 1ACC 1所成的角．

设正方体的棱长为a .在Rt △OA 1B 中，

sin ∠OA 1B ＝OB A 1B ＝22a 2a ＝12

，所以∠OA 1B ＝30°， 直线A 1B 与平面A 1ACC 1所成的角是30°.

答案：A

4.在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点，

则点A 到平面A 1DM 的距离为( )

A.

63a B.66a C.22a D.12

a 解析：作AN ⊥DM ，N 为垂足，连接A 1N ，作AG ⊥A 1N ，G

为垂足，正方体中AA 1⊥平面ABCD 则AA 1⊥DM ，从而DM ⊥平

面AA 1N ，则有DM ⊥AG .

又AG ⊥A 1N

得AG ⊥平面A 1DM ，AG 即为点A 到平面A 1DM 的距离，

在Rt △ADM 中，DA ＝a ，AM ＝a 2，DM ＝52a ， AN ＝AD ·AM DM ＝55

a .在Rt △AA 1N 中， A 1N ＝AN 2＋AA 21＝

305a ， 则AG ＝AN ·AA 1A 1N ＝66

a . 答案：B

二、填空题

5．在三棱锥P －ABC 中，∠ABC ＝90°，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝22，PB ＝2，则点B 到平面PAC 的距离是________．

解析：建立空间直角坐标系B －xyz ，如图，

则A (22，0,0)，C (0,22，0)，P (0,0,2)

则PA ＝(22，0，－2)．

PC ＝(0,22，－2)

设平面PAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )

则??? 22x －2z ＝0，22y －2z ＝0.

取x ＝1得平面PAC 的一个法向量为n ＝(1,1，2)．又BP ＝(0,0,2)， ∴B 到平面PAC 的距离d ＝

|BP ·n ||n |＝222＝ 2. 答案： 2

6．(2011·石家庄一检)已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，若将其沿对角线AC 折成直二

面角，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为________．

解析：作DE ⊥AC 于点E ，作BF ⊥AC 于点F ，则DE ⊥平面ABC ，

BF ⊥平面ADC .

且AF ＝CE ＝165， AB ·CD ＝(AF ＋FB )·(CE ＋ED )＝AF ·CE ＋AF ·ED ＋FB ·CE ＋FB ·ED ＝－(165

)2， 故cos 〈AB ，CD 〉＝AB ·CD | AB |·|CD |

＝－1625， 故异面直线AB ，CD 所成角的余弦值为1625

.

答案：1625

7．(2011·广西阶段性检测)如图，已知α－l －β是60°的二面角，A

∈l ，射线AC ?β，AC 与l 成45°角，线段AP ?α，AP ⊥l ，且AP ＝4，

PH ⊥AC 交AC 于H ，则AH ＝________.

解析：过P 作PB ⊥β，垂足为B ，

连接AB 、BH ，易知∠PAB 就是二面角α－l －β的平面角，

即∠PAB ＝60°，易得BH ⊥AC ，BA ⊥l ，那么∠BAH ＝45°.

在Rt △PAB 中，可得AB ＝2，

在Rt △HAB 中，可得AH ＝ 2.

答案： 2

三、解答题

8.(2011·新课标全国卷)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD

为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .

(1)证明：PA ⊥BD ；

(2)若PD ＝AD ，求二面角A －PB －C 的余弦值．

解：(1)证明：因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，

由余弦定理得BD ＝3AD .

从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD .

又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD .

所以BD ⊥平面PAD .故PA ⊥BD .

(2)如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为

x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则

A (1,0,0)，

B (0，3，0)，

C (－1，3，0)，P (0,0,1)． AB ＝(－1，3，0)，PB ＝(0，3，－1)， BC ＝(－1,0,0)．

设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，

则??? n ·AB ＝0，n ·PB ＝0，即???

－x ＋3y ＝0，3y －z ＝0， 因此可取n ＝(3，1，3)． 设平面PBC 的法向量为m ，则???

m ·PB ＝0，m ·

BC ＝0， 可取m ＝(0，－1，－3)．

则cos 〈m ，n 〉＝－427＝－277. 故二面角A －PB －C 的余弦值为－277

.

9.(2011·西城模拟)如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面

ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝3AF ，BE 与平面ABCD 所成角为60°.

(1)求证：AC ⊥平面BDE ；

(2)求二面角F －BE －D 的余弦值；

(3)设点M 是线段BD 上一个动点，试确定M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论．

解：(1)证明：因为DE ⊥平面ABCD ，

所以DE ⊥AC .

因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，

从而AC ⊥平面BDE .

(2)因为DA ，DC ，DE 两两垂直，

所以建立空间直角坐标系D －xyz 如图所示．

因为BE 与平面ABCD 所成角为60°，

即∠DBE ＝60°，

所以ED DB ＝ 3. 因为正方形ABCD 的边长为3，所以BD ＝32，

所以DE ＝36，AF ＝ 6.

则A (3,0,0)，F (3,0，6)，E (0,0,36)，B (3,3,0)，C (0，3,0)，

所以BF ＝(0，－3，6)，EF ＝(3,0，－26)，

设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，

则??? n ·BF ＝0，n ·EF ＝0，即???

－3y ＋6z ＝0，3x －26z ＝0， 令z ＝6，则n ＝(4,2，6)．

因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的一个法向量，CA ＝(3，－3,0)，

所以cos 〈n ，CA 〉＝n ·CA |n ||CA |＝626×32＝1313. 因为二面角为锐角，所以二面角F －BE －D 的余弦值为

1313. (3)点M 是线段BD 上一个动点，设M (t ，t,0)．

则AM ＝(t －3，t,0)，

因为AM ∥平面BEF ，

所以AM ·n ＝0，

即4(t －3)＋2t ＝0，解得t ＝2.

此时，点M 坐标为(2,2,0)，BM ＝13

BD ，符合题意． 10.(2011·东莞模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD ⊥

底面ABCD ，侧棱PA ＝PD ＝2，底面ABCD 为直角梯形，其中

BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD ＝2AB ＝2BC ＝2，O 为AD 中点．

(1)求证 ：PO ⊥平面ABCD ；

(2)求直线BD 与平面PAB 所成角的正弦值；

(3)线段AD 上是否存在点Q ，使得它到平面PCD 的距离为32. 解：法一：(1)证明：在△PAD 中，PA ＝PD ，O 为AD 的中点，∴PO ⊥AD .

又侧面PAD ⊥底面ABCD ，

平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，

PO ?平面PAD ，

∴PO ⊥平面ABCD .

(2)由(1)知PO ⊥平面ABCD ，

∴PO ⊥AB .又AB ⊥AD ，PO ∩AD ＝O ，

∴AB ⊥平面PAD .∴AB ⊥PD .

∵PA ＝PD ＝2，AD ＝2，

∴在Rt △APD 中，PD ⊥PA ，PA ∩AB ＝A ，

∴PD ⊥平面PAB .

∴∠DBP 为直线BD 与平面PAB 所成的角．

在Rt △DPB 中，BD ＝5，PD ＝2，

∴sin ∠DBP ＝PD BD ＝25＝10

5.

∴直线BD 与平面PAB 所成角的正弦值为10

5.

(3)假设存在点Q ，使得它到平面PCD 的距离为3

2.

设QD ＝x ，则S △DQC ＝1

2x ，由(2)得CD ＝OB ＝2，

在Rt △POC 中，PC ＝OC 2＋OP 2＝2，

∴PC ＝CD ＝DP ＝ 2.∴S △PCD ＝34·(2)2＝3

2.

由V P －DQC ＝V Q －PCD ，得

1

3PO ·S △DQC ＝13·3

2·S △PDC ，

∴x ＝32.∴存在点Q 满足题意，此时QD ＝3

2.

法二：(1)同法一(1)．

(2)由(1)知可以以OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，得

A (0，－1,0)，D (0,1,0)，

B (1，－1,0)，

C (1,0,0)，P (0,0,1)， B

D ＝(－1,2,0)，AB ＝(1,0,0)，AP ＝(0,1,1)，

设平面PAB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，

由n ·AP ＝0，n ·AB ＝0可以求得

n＝(0,1，－1)，cos〈BD，n〉＝10 5，

∴直线BD与平面PAB所成角的正弦值为10 5.

(3)设平面PCD的一个法向量为m＝(a，b，c)，

DC＝(1，－1,0)，PD＝(0,1，－1)，可求得m＝(1,1,1)．设Q(0，q,0)(－1≤q≤1)，QD＝(0,1－q,0)，

那么Q到平面PCD的距离为d＝|QD·m|

|m|＝

3

2，

解得q＝－1

2，∴在线段AD上存在Q(0，－

1

2，0)，

使得它到平面PCD的距离为

3 2.