2-2 动量定理 动量守恒定律优秀课件
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12
解法二：考虑从锤自由下落到静止的整个过 程，动量变化为零。
重力作用时间为 t 2h / g
支持力的作用时间为t
根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，
即 FNt mg(t 2h / g ) 0
得到解法一相同的结果
FN mg m 2gh / t
13
例题2-3 一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为m 及的m’物体A和B， m’大于m。B静止在地面上，当 A自由下落距离h后，绳子才被拉紧。求绳子刚被拉 紧时两物体的速度，以及能上升的最大高度。
末时刻
(m d m)(v d v)
F
dm u
v
m+dm
v d v
t
tdt
18
对系统利用动量定理
(mmddvm)d(vmddvv)dmmvvFd
mu dt
F
dt
略去二阶小量，两端除dt
d
(mv)
大小，根据改变动量的等效性，
得到平均力。
F
F
t1
t2 t
将积分用平
均力代替
t2 Fdt Ft
t1
动量定 理写为
FtP
平均力写为
F
P
t
t2 F d t
平均力大小： F t1
t2 t1
9
动量定理
(4)对于多个质点组成的质点系，不考虑内力。 (5)动量定理是牛顿第二定律的积分形式， 因此其使用范围是惯性系。 (6)动量定理在处理变质量问题时很方便。
左于侧是积得分到表积示分力形对式时II间的p累tt122积F量dp，t1 叫注S位做意I中是冲：，牛冲量冲.秒量量。是的矢单量
2
这就是质点的动量定理：物体在运动过程中所受
到的合外力的冲量，I等于该tt12物F体d动t 量的增量。
冲量的微分形式
F
=
m
dv dt
=d
(mv dt
)
F dt = d ( mv )
取一小块风dm为研究对象
初 末
P P 0 0d dm m
由牛顿第 三定律
IP
风对帆的冲量大小
I P
方向与 P 相反
P
F t
6
动量定理
当力连续变化时 （设冲力为平面冲力）
I
t
=∫t
2 1
F
dt
Fx
t2
I x =∫t1 F x dt
t2
+
0
t1
t2
t
Iy =∫t1 Fy dt
冲量的几何意义：x方向冲量的大小等于
§2-2 动量定理 动量守恒定律
微分形式的牛顿第二定律是关于力 与加速度的瞬时关系。某些情况下， 并不需要考虑中间过程，可以由几个 状态求解问题。这时候，采用积分形 式的牛顿第二定律更有效。这就是动 量定理与动能定理。
航天飞机
1
一、 动量定理
重写牛顿F第d二t 定律d的p微分形式 考虑一tt12过F程d，t 时间从pp12dt1-pt2， 两p端2 积分p1
此式为动量原理的微分形式。两边积分后得 到动量原理的积分形式：
∫t2 t1
F
dt
∫ =
v2 v1
d ( mv )= mv 2
mv 1
3
动量定理的几点说明：
(1)冲量的方向：
所有冲元量冲量的I 方向F 一d的t般合不矢是量某一tt1瞬2 F时 d力的t 方向F的i。方向，而是
4
动量定理
a. 常力的冲量
解:设在某极短的时间△t内落在传送带上矿砂的质量为 m，即m=k△t，这些矿砂动量的增量为
16
(mv) mv2 mv1
其量值可用矢量差方法求得[参看图 (b)]
源自文库(mv) 3.98m 3.98kt m/s
设这些矿砂在△t时间内的平均作用力为F，根
据动量定理， Ft(mv)
于是
(mv)
F
79.6N
t
作用力F的方向与△(mv)的方向相同，图(b)中
的θ角可由下式求得：
(mv) mv2
sin75 sin
29
17
二、变质量物体的运动方程
物体m与质元dm在t时刻的速度以及在t+dt时刻
合并后的共同速度如图所示：
把物体与质元作为系统考虑，初始时刻与末时
刻的动量分别为：
初始时刻
m
mv d mu
图线与坐标轴所围的面积。
7
(2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程
Ix
t2 t1
Fx
dt
mv2 x
mv1x
Iy
t2 t1
Fy d t
mv2 y
mv1y
Iz
t2 t1
Fz d t
mv2 z
mv1z
8
(3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。
打击或碰撞，力 的F 方向保持 不变，曲线与t轴所包围的面积就 是t1到t2这段时间内力 F 的冲量的
在竖直方向利用动量定理，取竖直 向上为正。
FN
(FN mg)t mv mv0
初状态动量为 m 2gh
末状态动量为0
mg
11
得到 (FN mg)t m 2gh 解得 FN mg m 2gh / t
代入m、h、t的值，求得：
(1) FN =1.92? 105 N
(2) FN =1.9? 106 N
解：以物体A和B为系统作为 研究对象，采用隔离法分析受 力，作出绳拉紧时的受力图：
T2 T1
绳子刚好拉紧前的瞬间， 物体A的速度为：
v 2gh
Am h
取竖直向上为正方向。 m’ B
BA
mg
m'g
14
绳子拉紧后，经过短暂时间的作用，两物体速率 相等，对两个物体分别应用动量定理，得到：
(T1 mg)t mV (mv)
10
例题2-2 质量m=3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落 到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间
(1)t=0.1s， (2)t=0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。
解：以重锤为研究对象，分析受力，作受力图：
解法一：锤对工件的冲力变化 范围很大，采用平均冲力计算，其 反作用力用平均支持力代替。
(T2 m' g)t m'V 0 忽略重力，考虑到绳不可伸长，有： T1 T2
解得： V m 2gh m ' m
当物体B上升速度为零时，达到最大高度
2aH V 2 0 a M mg
M m
H
m2h M 2 m2
15
例题2-4 矿砂从传送带A落到另一传送带B，其速度 v1=4m/s，方向与竖直方向成30°角，而传送带B与水 平成15°角，其速度v2=2 m/s．如传送带的运送量恒 定，设为k=20 kg/s，求落到传送带B上的矿砂在落上 时所受到的力．
I = FΔ t
F2Δ t 2 F1Δ t 1
FiΔ t i FnΔ tn
b. 变力的冲量
I = F1Δ t1 +F2Δ t 2 + = Σ FiΔ t i
I + FnΔ tn
注意：冲量 I 的方向和瞬时力 F 的方向不同!
5
例 动量定理解释了“逆风行舟”
前 进 方
0
风吹来 P0
P
向
IP
船
前 进 方 向
解法二：考虑从锤自由下落到静止的整个过 程，动量变化为零。
重力作用时间为 t 2h / g
支持力的作用时间为t
根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，
即 FNt mg(t 2h / g ) 0
得到解法一相同的结果
FN mg m 2gh / t
13
例题2-3 一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为m 及的m’物体A和B， m’大于m。B静止在地面上，当 A自由下落距离h后，绳子才被拉紧。求绳子刚被拉 紧时两物体的速度，以及能上升的最大高度。
末时刻
(m d m)(v d v)
F
dm u
v
m+dm
v d v
t
tdt
18
对系统利用动量定理
(mmddvm)d(vmddvv)dmmvvFd
mu dt
F
dt
略去二阶小量，两端除dt
d
(mv)
大小，根据改变动量的等效性，
得到平均力。
F
F
t1
t2 t
将积分用平
均力代替
t2 Fdt Ft
t1
动量定 理写为
FtP
平均力写为
F
P
t
t2 F d t
平均力大小： F t1
t2 t1
9
动量定理
(4)对于多个质点组成的质点系，不考虑内力。 (5)动量定理是牛顿第二定律的积分形式， 因此其使用范围是惯性系。 (6)动量定理在处理变质量问题时很方便。
左于侧是积得分到表积示分力形对式时II间的p累tt122积F量dp，t1 叫注S位做意I中是冲：，牛冲量冲.秒量量。是的矢单量
2
这就是质点的动量定理：物体在运动过程中所受
到的合外力的冲量，I等于该tt12物F体d动t 量的增量。
冲量的微分形式
F
=
m
dv dt
=d
(mv dt
)
F dt = d ( mv )
取一小块风dm为研究对象
初 末
P P 0 0d dm m
由牛顿第 三定律
IP
风对帆的冲量大小
I P
方向与 P 相反
P
F t
6
动量定理
当力连续变化时 （设冲力为平面冲力）
I
t
=∫t
2 1
F
dt
Fx
t2
I x =∫t1 F x dt
t2
+
0
t1
t2
t
Iy =∫t1 Fy dt
冲量的几何意义：x方向冲量的大小等于
§2-2 动量定理 动量守恒定律
微分形式的牛顿第二定律是关于力 与加速度的瞬时关系。某些情况下， 并不需要考虑中间过程，可以由几个 状态求解问题。这时候，采用积分形 式的牛顿第二定律更有效。这就是动 量定理与动能定理。
航天飞机
1
一、 动量定理
重写牛顿F第d二t 定律d的p微分形式 考虑一tt12过F程d，t 时间从pp12dt1-pt2， 两p端2 积分p1
此式为动量原理的微分形式。两边积分后得 到动量原理的积分形式：
∫t2 t1
F
dt
∫ =
v2 v1
d ( mv )= mv 2
mv 1
3
动量定理的几点说明：
(1)冲量的方向：
所有冲元量冲量的I 方向F 一d的t般合不矢是量某一tt1瞬2 F时 d力的t 方向F的i。方向，而是
4
动量定理
a. 常力的冲量
解:设在某极短的时间△t内落在传送带上矿砂的质量为 m，即m=k△t，这些矿砂动量的增量为
16
(mv) mv2 mv1
其量值可用矢量差方法求得[参看图 (b)]
源自文库(mv) 3.98m 3.98kt m/s
设这些矿砂在△t时间内的平均作用力为F，根
据动量定理， Ft(mv)
于是
(mv)
F
79.6N
t
作用力F的方向与△(mv)的方向相同，图(b)中
的θ角可由下式求得：
(mv) mv2
sin75 sin
29
17
二、变质量物体的运动方程
物体m与质元dm在t时刻的速度以及在t+dt时刻
合并后的共同速度如图所示：
把物体与质元作为系统考虑，初始时刻与末时
刻的动量分别为：
初始时刻
m
mv d mu
图线与坐标轴所围的面积。
7
(2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程
Ix
t2 t1
Fx
dt
mv2 x
mv1x
Iy
t2 t1
Fy d t
mv2 y
mv1y
Iz
t2 t1
Fz d t
mv2 z
mv1z
8
(3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。
打击或碰撞，力 的F 方向保持 不变，曲线与t轴所包围的面积就 是t1到t2这段时间内力 F 的冲量的
在竖直方向利用动量定理，取竖直 向上为正。
FN
(FN mg)t mv mv0
初状态动量为 m 2gh
末状态动量为0
mg
11
得到 (FN mg)t m 2gh 解得 FN mg m 2gh / t
代入m、h、t的值，求得：
(1) FN =1.92? 105 N
(2) FN =1.9? 106 N
解：以物体A和B为系统作为 研究对象，采用隔离法分析受 力，作出绳拉紧时的受力图：
T2 T1
绳子刚好拉紧前的瞬间， 物体A的速度为：
v 2gh
Am h
取竖直向上为正方向。 m’ B
BA
mg
m'g
14
绳子拉紧后，经过短暂时间的作用，两物体速率 相等，对两个物体分别应用动量定理，得到：
(T1 mg)t mV (mv)
10
例题2-2 质量m=3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落 到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间
(1)t=0.1s， (2)t=0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。
解：以重锤为研究对象，分析受力，作受力图：
解法一：锤对工件的冲力变化 范围很大，采用平均冲力计算，其 反作用力用平均支持力代替。
(T2 m' g)t m'V 0 忽略重力，考虑到绳不可伸长，有： T1 T2
解得： V m 2gh m ' m
当物体B上升速度为零时，达到最大高度
2aH V 2 0 a M mg
M m
H
m2h M 2 m2
15
例题2-4 矿砂从传送带A落到另一传送带B，其速度 v1=4m/s，方向与竖直方向成30°角，而传送带B与水 平成15°角，其速度v2=2 m/s．如传送带的运送量恒 定，设为k=20 kg/s，求落到传送带B上的矿砂在落上 时所受到的力．
I = FΔ t
F2Δ t 2 F1Δ t 1
FiΔ t i FnΔ tn
b. 变力的冲量
I = F1Δ t1 +F2Δ t 2 + = Σ FiΔ t i
I + FnΔ tn
注意：冲量 I 的方向和瞬时力 F 的方向不同!
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例 动量定理解释了“逆风行舟”
前 进 方
0
风吹来 P0
P
向
IP
船
前 进 方 向