1.1正弦定理(第2课时)正弦定理的应用 学案(含答案)

1.1正弦定理（第2课时）正弦定理的应用学

案（含答案）

第2课时正弦定理的应用学习目标

1.了解正弦定理及其变式的结构特征和功能.

2.理解三角形面积公式及解斜三角形.

3.能用正弦定理解决简单的实际问题知识点一正弦定理的变形公式若ABC的外接圆的半径为R，有

2R.1abcsin_Asin_Bsin_C；2，，；3；4a2RsinA，b2RsinB，

c2Rsin

C.知识点二边角互化1正弦定理的本质是三角形的边与对角的正弦之间的联系2正弦定理的主要功能是把边化为对角的正弦或者反过来，简称边角互化3使用正弦定理进行边角互化的前提是已知外接圆半径R或能消掉R.知识点三三角形面积公式在ABC 中，内角A，B，C的对边为a，b，c，则ABC的面积SABCabsinCbcsinAcasin

B.思考在SABCabsinC中，bsinC的几何意义是什么答案BC边上的高知识点四仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示1仰角和俯角都是视线与铅垂线所成的角2在ABC中，若b22acosB，则

sin2B2sinAcosB3平行四边形ABCD的面积等于ABADsinA4SABCR为

ABC外接圆半径题型一边角互化例1在ABC中，若

sinA2sinBcosC，且sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状解方法一由正弦定理，得2RR为ABC外接圆半径，sinA，sinB，sinC，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角，BC90，

2sinBcosC2sinBcos90B2sin2BsinA1，sin

B.0B90，B45，C45，ABC是等腰直角三角形方法二由正弦定理，得2RR为ABC外接圆半径，sinA，sinB，sinC，

sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角A180BC，sinA2sinBcosC，sinBCsinBcosCcosBsinC2sinBcosC，sinBC0.又90BC90，BC，ABC 是等腰直角三角形反思感悟1

化边为角转化公式为a2RsinA，b2RsinB，c2RsinCR为ABC外接圆半径2化角为边转化公式为sinA，sinB，sinCR为ABC外接圆半径3当等号两端为边的齐次式或角的正弦齐次式时，2R可以消掉跟踪训练1若将题设中的“sinA2sinBcosC”改为“bsinBcsinC”，其余不变，试解答本题解由正弦定理，设2RR 为ABC外接圆半径，从而得sinA，sinB，sin

C.bsinBcsinC，sin2Asin2Bsin2C，bc，222，b2c2，

a2b2c2，bc，A

90.ABC为等腰直角三角形题型二三角形面积公式及其应用命题角度1已知边角求面积例2在ABC中，已知B30，AB2，AC

2.求ABC的面积解由正弦定理，得sinC，又ABsinBACAB，故该三角形有两解，所以C60或120，当C60时，A90，SABCABAC2；当C120时，A30，SABCABACsin

A.所以ABC的面积为2或.反思感悟对于面积公式SabsinCacsinBbcsinA，总的概括为两边与夹角正弦乘积的一半一般是已知角A就选SbcsinA，但也要结合具体条件，如已知a，c，就以选SacsinB为宜跟踪训练2在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若tanA3，cosC，1求角B的大小；2若c4，求ABC的面积解1cosC，C，sinC，tanC

2.又tanBtanAC1，且0B，

B.2由正弦定理，得b，由sinAsinBCsin，得sinA，ABC的面积SABCbcsinA

6.命题角度2已知面积求边角例3在ABC中，角A60，b1，SABC，则sinBsinC________.答案14解析因为SABCbcsinA，所以c4，由正弦定理，得sinBsinCbc

14.反思感悟条件中涉及面积，要根据解题目标和其他条件选取对解题有利的面积公式跟踪训练3在ABC中，B60，a1，b，SABC，则C________.答案90解析SABCacsinB1c，c2，B60，b，

2.sinC1，C

90.题型三用正弦定理解决简单实际问题例4如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC10m，从D，C两地测得A点的仰角

分别为30和45，则A点离地面的高AB为____m.答案51解析方法一设ABxm，则BCxm.BD10xmtanAD

B.解得x51mA点离地面的高AB等于51m.方法二ACB45，ACD135，CAD18013530

15.由正弦定理，得ACsinADCsin30.ABACsin4551m.反思感悟在运用正弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解跟踪训练4如图，某河段的两岸可视为平行的，为了测量该河段的宽度，在河岸的一边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得CAB75，

CBA45，且AB100m求该河段的宽度解CAB75，CBA45，

ACB180CABCBA

60.由正弦定理得，B

C.如图，过点B作BD垂直于河岸，垂足为D，则BD的长就是该河段的宽度在RtBDC中，BCDCBA45，sinBC

D.BDBCsin45sin45m，即该河段的宽度为m.学会有逻辑地思考问题典例在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知tan

2.若B，a3，求ABC的面积解由tan2，得tanA，又因为

A0，，所以sinA，cos

A.又由a3，B及正弦定理，得b

3.由sinCsinABsin得sinC，设ABC的面积为S，则SabsinC