9-10章作业参考解答
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第9章 作业参考解答
第190页1. 试用平面直角坐标系把二维波动方程分离变数。
解：二维波动方程：
022=∆-u a u tt
（1） 分离时间变数t 和空间变数y ,x ，令：)y ,x (v )t (T )t ,y ,x (u = （2） 代入（1），得： 222
k v
v
T a ''T -≡∆= （3）
分解为两个方程：
022=+T a k ''T
（4） 022=+∆v k v
（5）
方程（4）的解为
kat sin D kat cos C )t (T +=
（6）
（5）式是亥姆霍兹（Helmholtz ）方程，它在直角坐标下的表示式为
02222
2=+∂∂+∂∂v k y
v
x v （7） 设：)y (Y )x (X )y ,x (v = （8）
代入上式，整理后有
λ≡-=+X
)
x ("X k Y )y (''Y 2 （9）
⎩
⎨
⎧=+两端齐次边界条件0
x )x (X )x (''X λ （10）
⎩⎨
⎧=-+两端齐次边界条件
2y )y (Y )k ()y (''Y λ （11）
第190页2. 试用平面极坐标系把二维输运方程分离变数。
解：二维输运方程：
022=∆-u a u t
（1） 分离时间变数t 和空间变数ϕρ,，令：),()(),,(ϕρϕρv t T t u = （2） 代入（1），得： 2
22
'k v v T
a T -≡∆= （3）
分解为两个方程：
0'22=+T a k T
（4） 022=+∆v k v
（5）
方程（4）的解为
()t ka Ce t T 2
)(-=
（6）
（5）式是亥姆霍兹（Helmholtz ）方程，它在极坐标下的表示式为
0112
2
2222=+∂∂+∂∂+∂∂v k v v v ϕρρρρ
（7） 将ϕρ,分离，设：)()(),(ϕρϕρΦ=R v （8）
代入上式，整理后有
λϕρρρρρ≡Φ
Φ-=++)(")(')("222
k R R R R （9）
得（考虑自然的周期条件）
⎩
⎨
⎧Φ=+Φ=Φ+Φ)()2(0
)()(''ϕπϕϕλϕ （10）
()
02222
22
=-++R m k d dR d R d ρρρρ
ρ （11）
解（10）得本征值与本征函数为
),2,1,0(,2 ==m m m λ
),2,1,0(sin cos )( =+=Φm m B m A m m m ϕϕϕ
令 ρk x =，则方程（11）化为m 阶贝塞尔（Bessel ）方程
()
02
22
22
=-++R m x dx dR x dx
R d x （12）
解得
)()()()()(ρρk N C k J C x N C x J C x R m m m m 2121+=+=
（13）
第194页 2. 在00=x 的邻域上求解0"=-xy y 。 解：0"=-xy y
（1）
这里0)(=x p ，x x q -=)(，所以00=x 是方程的常点。 设
∑∞
==0
)(k k k x a x y ，
（2）
代入（1），整理得
0)1)(2(0
10
2
=-++∑∑∞
=+∞
=+k k k k k
k x a x a
k k
即
0)1)(2(1
10
2
=-++∑∑∞
=-∞
=+k k k k k
k x a x a
k k
（3）
由0x 项系数，得02=a ；
由k x 项幂次的系数和为零，得系数递推公式
)1)(2(12++=
-+k k a a k k 或 )
1(3
-=-k k a a k k
（5）
由（5）得
085223=====+ a a a a k ，
032
31
a a ∙=
， 0036!641235656a a a a ∙=∙∙∙=∙=
，0069!
97
4123568989a a a a ∙∙=∙∙∙∙∙=∙= 03)!3()
23(41a k k a k -∙=
143
41a a ∙=
113)!
13()
13(52a k k a k +-∙=
+
)
()()!13()13(52)!3()23(41)(11000
1310300
1
3130
33x y a x y a x a k k x a k k x a x
a x y k k k k
k k k k k
k +=+-∙+-∙=+=∑∑∑∑∞
=+∞
=∞
=++∞
=
由递推公式)
1)(2(1
2++=
-+k k a a k k ，可求出幂级数)(0x y 和)(1x y 的收敛半径
∞=++==∞
→+-∞→)1)(2(lim lim
2
1
k k a a R k k k k
就是说，只要x 有限，级数解就收敛。
第212页 2. 在00=x 的邻域上求解0)1('2"2
=+-+y l l xy y x 。[这个方程即（9.1.2）] 解：0)1('2"2
=+-+y l l xy y x （1）
点00=x 是x x p 2)(=
的一阶奇点，2
)1()(x l l x q +-=的二阶奇点，即00=x 是方程的正则奇点。在00=x 的邻域内，解具有如下形式
∑∞
=+=0
)(k s k k x a x y ，00≠a
（2）