湖南省第二届大学生力学竞赛理论力学试卷答案

2006年湖南省第二届大学生力学竞赛

理论力学试题

（竞赛时间：1２0分钟）

题 号 一 二

三

四

五

六

七

八

九

十

十一

十二 总分

应得分 8

18

１０

１2

１０

12

５

１０

５

10

12

8

120

实得分 评分

评卷人

请将答案写在相应横线上，答案正确给全分，答案不正确给零分，总共120分。

一、如图所示，边长为a ，b ，c 的长方体，顶点A 和C 处分别作用有大小均为P 的力1F 和2F ，

(1) 力2F 对AD 1轴的力矩大小为2

2

2pabc b c

-

+，

(2) 力1F 和2F 所构成的力螺旋中的力偶矩矢大小为2

2

pab b c

-+，

题一图 题二图

二、如图所示，半径为r 的圆轮和边长为2r 的方块用一根轻质杆12O O 铰接圆心和方块中心，两者重量均为G ，方块置于水平倾角为45o 的斜面上，圆轮置于水平面上，在圆轮上作

用一个力偶矩为M ，顺时针转向的力偶，已知杆与水平面夹角为30o ，两接触面的滑动摩擦系数均为μ，试求该系统可能出现的临界平衡状态，并求出每一状态摩擦因数满足的条件以及相应力偶矩M 的大小。（本题20分）

1μ>，圆轮左滚，方块绕A 翻转，10M =

1μ>，圆轮右滚，方块绕B 翻转，23M Gr =

137

123

μ+-<<-，圆轮左滚，方块下滑，33(1)3(1)(1)Gr M μμμ-=

++- 137

23

μ+-<

-，圆轮左滑，方块下滑，3M 同上

1232132μ--<<-，圆轮右滚，方块上滑，43(1)(1)3(1)

Gr

M μμμ+=

++- 123232μ--<

-，圆轮滑转，方块不动，533G r

M μμ

=-

三、如图所示，等长的AB ，BC ，CD 三直杆铰接后用铰链A ，DG 固定。若设三杆微小

转角1δϕ，2δϕ，3δϕ，为相应虚位移，则其大小关系为123::3:1:2δϕδϕδϕ=，设在三杆上分别作用图示力偶，其力偶矩大小分别为1M ，2M ，3M ，则平衡时三个力偶矩的大小关系为

123320M M M ++=。

题三图 题四图

四、如图所示半径为r 的行星齿轮以匀角速度ω沿半径为R 的固定齿轮纯滚动，槽杆AB 的A 端与行星齿轮铰接。在竖直滑道中运动的滑块C 通过固定其上的销钉与AB 杆相连，销钉C 可在AB 导槽中滑动，已知滑块以匀速度大小v =10cm/s 运动，行星轮半径r =5cm ，以匀角速度ω=2 rad/s 滚动，R =10cm ，图示瞬时AO 铅直， 30=θ，则AB 杆的角速度为

o

30o

452

O 1

O r M

2r

2r

C

A

B

姓名： 学校： 年级： 编号：

密 封 线

A r

R

v

ωO

C

B

θ

A a B

b c F 1F 2

x

y

z C D

A 1

B 1

C 1

D 1

310.46/6rad s +=（顺时针）；AB 杆的角加速度为213

0.081/9

rad s -=-（逆时针）。 五、图示半径为R 的圆环1O 绕轴O 以匀角速度ω转动，另一半径相同的圆环沿水平面滚动，其环心速度大小不变，且2O v R ω=。图示瞬时O 、1O 、2O 三点位于水平面的同一垂直线上，此时两圆环接触点M 的速度和加速度大小分别是。

M v ＝3R ω；

M a ＝2219

3

R ω。

x

r y

z

o α

ω (t =0) = ω[0,sin α,cos α]

T

题五图

题六图

六、如图所示，质薄圆盘质量为m ，半径为r ，在t=0时角速度矢量如图所示，圆盘可绕其质心Ｏ作定点转动，则

(1) 在t=0时圆盘对质心Ｏ的动量矩矢量为 22011

sin cos 42mR mR ωαωα=+L j k ，

(2) 圆盘相对过质心Ｏ且平行于t=0时角速度矢量方向轴的转动惯量为

221

(1cos )8

mR α+， 七、如图所示，弹性系数为k 的弹簧与质量为m ，半径为R 的均质轮中心C 相连，轮子在水平面作纯滚动；设初始时弹簧未伸长，轮心C 具有初始速度0v ；轮心的运动的规律为

x =0

32sin 23m k t k m

ν；

题七图 题八图

八、如图所示，位于铅直平面的双滑块机构，其中均质杆AB 受重力P ，长l ，在铅直拉力T F 作用下，滑块A 沿铅直以匀速v 向上运动，不计各处摩擦和滑块质量。则任意位置θ时，

杆质心的加速度大小C a =232cos v l θ；B 处法向约束力大小N B F =24

1sin 23g cos v P l θ

θ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

。 九、如图示圆轮半径为R ，重量为P ，在其铅垂直径的上端B 点处作用水平力Q ，轮与

水平面间的滚动摩阻因数为δ，轮与水平面间的滑动摩擦因数为μ。则轮子只滚不滑的条件是

23()23p Q p R R

δδμ≤≤+。

s

A ωA B

2m g

R

2R

h

B

ωv

题九图 题十图

十、图示系统中， A 、B 二轮质量皆为m 1，转动惯量皆为J ；大轮半径皆为R ，小轮半径皆为

2

R

。如B 轮的大轮上绕有细绳，挂一质量为m 2的重物；A 轮小轮上绕有细绳连一刚度为k 的无重弹簧。现于弹簧的原长处自由释放重物，试求重物下降h 时重物的加速度大小

为222

2(16)1620m g kh R m R J -+；齿轮间的切向啮合力大小为22222()(16)2810J m R m g kh m g m R J

+--+。 十一、如图所示长为2a ，质量为m 的均质细长杆，初始时直立于桌面的边缘，在A 端施加一个水平冲量'I ，使得杆AB 离开桌面，已知03sin =-x x 的正解为0.76，则 (1) 杆受冲击后角速度大小为

3I

ma

。 (2) 能够使杆的端点B 刚好碰上桌面角点的水平冲量大小为0.905m ag ，

ω

ω

O

1

O 2

O M

2

O v C

0v

k P

O Q

B