数学史(第2章古希腊数学)

第2章古代希腊数学

主题：

希腊文化与理论数学的起源

人类理性思维的形成

在唯理的社会气氛中，希腊人将埃及和美索不达米亚的数学经验算术和几何法则加工成具有初步逻辑结构的论证数学体系。

概述：

希腊数学分为三个阶段：一是从公元前6C到约公元前3C，这一时期以雅典为中心，形成了论证几何数学的思想基础和有关方法上的基础；二是从约公元前3C到约公元前30年，这一时期主要以亚历山大为中心，形成的系统的论证几何体系，建立理论方法，为数学的发展提供了一种基本的观点和方法。三是从约公元前30年到公元6C，这是希腊数学发展后期，主要发展带有实用特点的数学。同时也有对前人进行评述和整理工作。

主要成就：

1 论证数学的鼻祖及主要贡献：

泰勒斯（前625－前547）泰勒斯领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题论证之先河，并证明了四条定理和“泰勒斯定理”。

毕达哥拉斯（前580－前500）毕达哥拉斯创立了毕达哥拉斯学派，从事哲学和数学研究。普鲁克鲁斯在《评注》中论述了毕达哥拉斯学派的主要成就有：（1）证明了毕达哥拉斯定理，即勾股定理。其方法最著名的猜测是“面积剖分法”。（2）正多面体作图（包括正四、六、八、十二、二十面体）。以正十二面体的作图最为著名，它的每个面都是正五边形，并且和“黄金分割”相关（注：黄金分割这一名字并不是来源该学派，见书36页注）。（3）关于数的研究，毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数”（这里指整数），并讨论了许多数论的性质，如偶数与奇数，完全数等。该学派还有关于“形数”的研究，他们把数作为几何思维元素的精神，“形数”体现了数与形的结合。（4）发现了不可公度量。

评论：毕达哥拉斯学派把数看成是世界的基础，客观上形成对世界数量关系的认识，是人类认识上的一大进步。加强了数概念中的理论倾向，推动了几何学的抽象化倾向，这些研究使人类抽象思维能力达到了一个高的水平。不可公度量的发现，由此产生了“第一次数学危机”，这一问题的根本解决是人们对连续性有更精确的定义后才完全解决。

2 雅典时期的希腊学派活动

这一时期，雅典是希腊的政治经济文化中心，学派林立（这些学派有哪些？）。学派主要讨论哲学问题。但是一些讨论涉及到了无限性、连续性等深刻概念。讨论极大地强化了数学的理论色彩。这一时期的主要成就表现在下面的一些方面：一三大几何问题：

化圆为方倍立方体三等分任意角（你知道这些问题的具体含义吗？）

在化圆为方的研究中诡辩学派的代表人物安提丰产生了“穷竭法”的思想而被称为“穷竭法”的始祖。关于被倍立方体问题，柏拉图学派的梅内赫莫斯发现了圆锥曲线。但是，真正对问题的解决是到了19世纪，数学家才弄清三大问题是不可解的。

二无限的早期探索：

主要以芝诺悖论为代表，提出了四个悖论，（具体是什么？）揭示了无限性概念的矛盾（即：事物一方面需要无限可，另一方面又不可分无限小量）。这些问题的解决最终是借助极限、连续等抽象概念才解决。

三逻辑演绎结果的倡导

这一时期，数学中的演绎化倾向有了实质性的进展，主要归功于柏拉图、亚里斯多德和他们的学派。柏拉图认为数学是一切学问的基础（学院大门上写着“不懂几何者莫入”），这一学派对数学研究方法有颇多的贡献（分析法和归谬法）。亚里斯多德是柏拉图的学生，他发展和完善了柏拉图的方法，最大的贡献是将前人使用的数学推理规律规范化和系统化，独立创立了逻辑学，即形式逻辑。其中的矛盾律和排中律是数学间接证法（如反证法）的核心。为欧几里得的演绎几何体系奠定了方法论的基础。

3 亚历山大学派——希腊数学黄金时代（前338年－前30）（重点）

主要人物：欧几里得、阿基米德和阿波罗里奥斯

欧几里得

希腊论证几何学的集大成者。两个典故：“几何学无王者之道”；“不要希望从几何中捞点什么”。欧几里得写了很多著作，包括数学、天文、光学和音乐。最重要的是《原本》。

《原本》：用公理化方法对当时的数学知识作了系统化、理论化的总结，全书分为13卷，包括有5条公理、5条公设、119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系。（注：这里公理是指一切科学公有的真理（基本原理），公设是为某一学科所接受的第一性原理。）

《原本》包括了平面几何的基本内容，如全等形、平行线、多边形、圆、毕达哥

拉斯定理、初等作图及相似形等。“几何代数”内容，体现了数形结合的思想。“比例论”消除了部分当时对不可公度量认识上的危机（注：在对不可公度量的根本解决，到19世纪，出现在借助于极限过程对无理数作出严格定义之后）。还有数论内容，不可分度量的讨论，立体几何内容。详细陈述了“穷竭法”。

评论：《原本》是数学史上的一座丰碑，最大的功绩就在于数学中的演绎范式的确立，即公理化思想。

阿基米德（前287－前212）

阿基米德的成就涉及数学、力学和天文学，有流传于世的丰富文稿，其中数学著作集中探讨与面积和体积计算相关的问题，比如用穷竭法计算圆的周长和面积公式。求出了球的表面积和体积公式。阿基米德是数学工作的严格证明和创造技巧相结合的典范，用“平衡法”求球的体积公式，实质上是一种原始的积分法。发现与求证是阿基米德的独特思维方式。

阿波罗里奥斯（前262－前190）

主要贡献涉及几何学和天文学，最主要的是数学成就，创立了完美的圆锥曲线理论，直至17世纪笛卡儿和帕斯卡之前无人超越。

《圆锥曲线论》共8卷，有487各命题。阿波罗里奥斯第一次从一个对顶圆锥得到所有的圆锥曲线，并命名现在的椭圆（elipse）、双曲线（huperbola）和抛物线（parabola），还广泛讨论了圆锥曲线的性质，甚至包含了现代微分几何和射影几何的思想和萌芽。《圆锥曲线论》是希腊演绎几何的最高成就，阿波罗里奥斯用纯几何的形式，推出了今天解析几何的主要结论。

4 亚历山大后期（公元30年－公元6世纪）和希腊数学的衰落

从论证数学转向实用的数学

海伦：主要讨论几何图形的面积和体积计算，如海伦公式（阿基米德发现，命名是海伦公式）。

建立三角学：代表人物是托勒枚《大成》：弦表和托勒枚定理，他是第一个有明确的构造原理并流传于世系统的三角函数表。

突破了前期以几何学为中心的传统，算术和代数成为独立的学科。丢番图的《算术》，用纯分析的途径处理数论与代数问题，是希腊算术与代数成就的最高标志。

丢番图的《算术》是希腊算术与代数成就的最高标志。共10卷，含290个问题。主要对不定方程问题进行了广泛的讨论，最出名的一个不定方程是勾股定理的整数解问题。还创立了“简写代数”。局限是代数问题的解法缺乏一般性。