高中物理模型-子弹打木块模型

模型组合讲解——子弹打木块模型
赵胜华
［模型概述］
子弹打木块模型：包括一物块在木板上滑动等。

Q E s F k N =∆=系统相μ，Q 为摩擦在系统中产生的热量；小球在置于光滑水平面上的竖直平面内弧形光滑轨道上滑动；一静一动的同种电荷追碰运动等。

［模型讲解］
例. 如图1所示，一个长为L 、质量为M 的长方形木块，静止在光滑水平面上，一个质量为m 的物块（可视为质点），以水平初速度0v 从木块的左端滑向右端，设物块与木块间的动摩擦因数为μ，当物块与木块达到相对静止时，物块仍在长木块上，求系统机械能转化成内能的量Q 。

图1
解析：可先根据动量守恒定律求出m 和M 的共同速度，再根据动能定理或能量守恒求出转化为内能的量Q 。

对物块，滑动摩擦力f F 做负功，由动能定理得：
2022
121)(mv mv s d F t f -=
+- 即f F 对物块做负功，使物块动能减少。

对木块，滑动摩擦力f F 对木块做正功，由动能定理得22
1
Mv s F f =，即f F 对木块做正功，使木块动能增加，系统减少的机械能为：
><=-+=--1)(2
1
21212220d F s F s d F Mv mv mv f f f t
本题中mg F f μ=，物块与木块相对静止时，v v t =，则上式可简化为：
><+-=2)(2
121
2
20t v M m mv mgd μ
又以物块、木块为系统，系统在水平方向不受外力，动量守恒，则：
><+=3)(0t
v M m mv
联立式<2>、<3>得：
)
(220
m M g Mv d +=μ
故系统机械能转化为内能的量为：
)
(2)(220
20m M Mmv m M g Mv mg d F Q f +=+⋅==μμ
点评：系统内一对滑动摩擦力做功之和（净功）为负值，在数值上等于滑动摩擦力与相对位移的乘积，其绝对值等于系统机械能的减少量，即E s F f ∆=。

从牛顿运动定律和运动学公式出发，也可以得出同样的结论。

由于子弹和木块都在恒力作用下做匀变速运动，位移与平均速度成正比：
v
v
v v v v s d s +=+=+00222/2/)( 所以
d m
M m
s m m M v v s d +=+==202， 一般情况下m M >>，所以d s <<2，这说明，在子弹射入木块过程中，木块的位移很
小，可以忽略不计。

这就为分阶段处理问题提供了依据。

象这种运动物体与静止物体相互作用，动量守恒，最后共同运动的类型，全过程动能的损失量可用公式：
2
0)
(2v m M Mm E k +=
∆
［模型要点］
子弹打木块的两种常见类型：
①木块放在光滑的水平面上，子弹以初速度v 0射击木块。

运动性质：子弹对地在滑动摩擦力作用下做匀减速直线运动；木块在滑动摩擦力作用下做匀加速运动。

图象描述：从子弹击中木块时刻开始，在同一个v —t 坐标中，两者的速度图线如下图中甲（子弹穿出木块）或乙（子弹停留在木块中）
图2
图中，图线的纵坐标给出各时刻两者的速度，图线的斜率反映了两者的加速度。

两图线间阴影部分面积则对应了两者间的相对位移。

方法：把子弹和木块看成一个系统，利用A ：系统水平方向动量守恒；B ：系统的能量守恒（机械能不守恒）；C ：对木块和子弹分别利用动能定理。

推论：系统损失的机械能等于阻力乘以相对位移，即ΔE ＝F f d
②物块固定在水平面，子弹以初速度v 0射击木块，对子弹利用动能定理，可得：
2
022
121mv mv d F t f -=
- 两种类型的共同点：
A 、系统内相互作用的两物体间的一对摩擦力做功的总和恒为负值。

（因为有一部分机械
能转化为内能）。

B 、摩擦生热的条件：必须存在滑动摩擦力和相对滑行的路程。

大小为Q ＝F f ·s ，其中F f 是滑动摩擦力的大小，s 是两个物体的相对位移（在一段时间内“子弹”射入“木块”的深度，就是这段时间内两者相对位移的大小，所以说是一个相对运动问题）。

C 、静摩擦力可对物体做功，但不能产生内能（因为两物体的相对位移为零）。

［误区点拨］
静摩擦力即使对物体做功，由于相对位移为零而没有内能产生，系统内相互作用的两物体间的一对静摩擦力做功的总和恒等于零。

不明确动量守恒的条件性与阶段性，如图3所示，不明确动量守恒的瞬间性如速度问题。

图3
［模型演练］
如图4所示，电容器固定在一个绝缘座上，绝缘座放在光滑水平面上，平行板电容器板
间的距离为d ，右极板上有一小孔，通过孔有一左端固定在电容器左极板上的水平绝缘光滑细杆，电容器极板以及底座、绝缘杆总质量为M ，给电容器充电后，有一质量为m 的带正电小环恰套在杆上以某一初速度v 0对准小孔向左运动，并从小孔进入电容器，设带电环不影响电容器板间电场分布。

带电环进入电容器后距左板的最小距离为0.5d ，试求：
图4
（1）带电环与左极板相距最近时的速度v ； （2）此过程中电容器移动的距离s 。

（3）此过程中能量如何变化？
答案：（1）带电环进入电容器后在电场力的作用下做初速度为v 0的匀减速直线运动，而电容器则在电场力的作用下做匀加速直线运动，当它们的速度相等时，带电环与电容器的左极板相距最近，由系统动量守恒定律可得： 动量观点：
m
M mv v v m M mv +=
+=0
0)(，
力与运动观点： 设电场力为F
m
M mv v v t M F
t m F v +===-
00， （2）能量观点（在第（1）问基础上）： 对m ：2
22
121)2(mv mv d s Eq -=+⋅- 对M ：02
1
2-=
Mv Eqs 2
221)(212mv v M m d Eq
-+=- 所以2
d
m M m s ⋅+=
运动学观点： 对M ：
s t v
=2
，对m ：'20s t v v =+
2
'd
s s =
-，解得：)(2m M md s +=
带电环与电容器的速度图像如图5所示。

由三角形面积可得：
图5
0002
1
212vt s t v d ==， 解得：)
(2m M md
s +=
（3）在此过程，系统中，带电小环动能减少，电势能增加，同时电容器等的动能增加，系统中减少的动能全部转化为电势能。