华东理工线性代数5-5(15)

实对称矩阵 A为 正定矩阵 . ( 2) f ( x ) < 0, 则称 f 是负定二次型，对应的 实对称矩阵 A为 负定矩阵 . ( 3) f ( x ) ≥ 0, 则称 f 是正半定二次型，对应 的实对称矩阵 A为正半定矩阵 . (4) f ( x ) ≤ 0, 则称 f 是负半定二次型，对应
的实对称矩阵 A为负半定矩阵 .
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = −886 x1 − 2003 x2 为负半定二次型
三、正(负)定二次型的判别
定理 2 实二次型 f = x T Ax为正定的充分必要条 件是它的正惯性指数 π 等于变量个数 n.
推论 n阶实对称矩阵A正定 ⇔ A有n个正的特征值
定理 3 实二次型 f = x T Ax , 则下面的结论等价： （1）对任意的 n 维非零向量 x , 有 f = x T Ax > 0; ( 2) 二次型 f 的实对称矩阵的特征值 全为正数； ( 3) 存在可逆矩阵 P , 使得A = P P ;
n1 nn
说明
a11 a11 < 0, a21
a12 < 0, a22
L,
M M < 0; an1 L ann
a11 L a1n
决不是矩阵 A负定的充要条件 . 而应是
推论 对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇 A 数阶顺序主子式为负，而偶数阶主子式为正，即
a11 L a1k
( − 1) M
k
ak 1
判别二次型 2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 + 4 x2 + 5 x3 − 4 x1 x3 是否正定. 解 用特征值判别法.
⎛ 2 0 − 2⎞ ⎜ ⎟ 二次型的矩阵为 A = ⎜ 0 4 0 ⎟ , ⎜− 2 0 5 ⎟ ⎠ ⎝ 令 A − λI = 0 ⇒ λ1 = 1, λ2 = 4, λ3 = 6.均为正数 ,
( 5)
f ( x )可正可负, 则称 f 为不定型二次型 .
例如
f ( x , y , z ) = x 2 + 4 y 2 + 16 z 2
2 2 f ( x1 , x2 ) = − x1 − 3 x2 2 2 f ( x1 , x2 ) = − x1 + 3 x2
为正定二次型 为负定二次型 为不定型二次型
2 2 2
且必存在正交变换将二 次型 f 化为标准形
q = 2 y1 + 2 y2 − 7 y3
2 2
2
同时，由正交变换保持 向量长度的不变性，即
∑ xi i =1
3
2
= ∑ yi ，知该正交变换将 f 化为标准形
2 i =1
3
f = 2 y1 + 2 y2 − 7 y3 + k( y + y + y )
a11 = 1 > 0,
a11 a12 = 1 a21 a22 t
t = 4 − t 2 > 0, 4
1 t
1
2
解得
A = t 4 0 = −2 t + 4 > 0 1 0 2
− 2<t< 2
特征值问题与二次型
第二节
正定二次型与正定矩阵
一、惯性定理
二、正（负）定二次型 的概念 三、正（负）定二次型 的判别
定理1(惯性定理 ) 设有实二次型 f = x T Ax , 它的秩 为r , 有两个实的可逆变换 x = Cy 及 使 及 x = Pz
2 f = k1 y12 + k2 y2 + L + kr yr2 2 2 f = λ1 z1 + λ2 z2 + L + λr zr2
M > 0, L akk
(k = 1,2,L, n ).
例3 判别二次型 2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 5 x1 + x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 − 8 x1 x3 − 4 x2 x3 是否正定.
2 − 4⎞ ⎛ 5 ⎜ ⎟ 1 − 2 ⎟, 解 f ( x1 , x2 , x3 )的矩阵为 A = ⎜ 2 ⎜− 4 − 2 5 ⎟ ⎠ ⎝ 它的顺序主子式 5 2 −4 5 2 2 1 − 2 = 1 > 0, 5 > 0, = 1 > 0, 2 1 −4 −2 5 故上述二次型是正定的.
2 2 2 2 1 2 2 2 3
= (2 + k) y1 + (2 + k) y2 + (−7 + k) y3
2 2
2
为使二次型正定，按定 理 2，必有 ⎧ 2+ k > 0 ⎪ ⎨ 2+ k > 0 ⎪− 7 + k > 0 ⎩
即
k >7
定理4 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是： A 的各阶顺序主子式为正，即 a11 L a1n a11 a12 M > 0; a11 > 0, > 0, L , M a21 a22 a L a
T
(4) 实二次型 f = x T ( − A) x为负定二次型 .
性质1 若A为正定矩阵,则 aii > 0; A为负定,则aii < 0
性质 2 实对称矩阵A正定,则 AT , A−1 , A*也正定
性质 3 若A, B均为正定矩阵, 则A + B也是 正定矩阵
例1
2
试问 k 取何值时 ,
2 2 2 2 2
( ki ≠ 0 ) , ( λi ≠ 0 ) ,
则k1 ,L , kr中正（负）数的个数与λ1 ,L , λr中正 （负）数的个数相等 .
( i = 1, 2,L , r )
且标准形中正系数个数 称为 正惯性指数， 负系数个数称为 负惯性指数， 分别记作 π，υ .
Hale Waihona Puke Baidu
规范形：
f = y1 + L + y p − y p+1 − L − yr
f = x1 − 4x1 x2 − 2x2 + 4x1 x3 − 2x3 + 8x2 x3 + k( x1 + x2 + x3 )
为正定二次型 . 解 二次型 q = x1 − 4 x1 x2 − 2 x2 + 4 x1 x3 − 2 x3 + 8 x2 x3 ⎡ 1 −2 2 ⎤ A = ⎢− 2 − 2 4 ⎥ ⎢ ⎥ 4 − 2⎥ ⎢ ⎦ ⎣ 2 令 A − λI = 0，可求出三个特征值为 2，， 7， 2 −
2 2 2 2
它的系数分别为 1， ， − 1， ， 1，， ， 0可以没有） L 1， L − 0 L 0 （ ,
二次型的规范形是唯一的.
二、正(负)定二次型的概念
定义 1 设有实二次型 f ( x ) = x T Ax , 如果对任何 x ≠ 0, (1) f ( x ) > 0, 则称 f 是正定二次型，对应的
例4
即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例5
若二次型
2 2 2 f = x1 + 4 x2 + 2 x3 + 2tx1 x2 + 2 x1 x3
正定，求参数 t 应满足的条件. ⎛1 t 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ t 4 0 ⎟, 解 f 的矩阵为 ⎜1 0 2⎟ ⎠ ⎝ 根据定理 4，应有 A的各阶顺序主子式均为 正，由