华东理工线性代数5-5(15)
线性代数知识点总结(第5章)
线性代数知识点总结（第5章）（一）矩阵的特征值与特征向量1、特征值、特征向量的定义：设A为n阶矩阵，如果存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。
2、特征多项式、特征方程的定义：|λE-A|称为矩阵A的特征多项式（λ的n次多项式）。
|λE-A |=0称为矩阵A的特征方程（λ的n次方程）。
注:特征方程可以写为|A-λE|=03、重要结论：（1）若α为齐次方程Ax=0的非零解，则Aα=0·α，即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量（2）A的各行元素和为k，则(1，1，…，1)T为特征值为k的特征向量。
（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。
△4、总结：特征值与特征向量的求法（1）A为抽象的：由定义或性质凑（2）A为数字的：由特征方程法求解5、特征方程法：（1）解特征方程|λE-A|=0，得矩阵A的n个特征值λ1，λ2，…，λn注：n次方程必须有n个根(可有多重根，写作λ1=λ2=…=λs=实数，不能省略)（2）解齐次方程（λi E-A）=0，得属于特征值λi的线性无关的特征向量，即其基础解系（共n-r（λi E-A）个解）6、性质：（1）不同特征值的特征向量线性无关（2）k重特征值最多k个线性无关的特征向量1≤n-r（λi E-A）≤k i（3）设A的特征值为λ1，λ2，…，λn，则|A|=Πλi，Σλi=Σa ii（4）当r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均为n维非零列向量，则A的特征值为λ1=Σa ii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0（5）设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则（二）相似矩阵7、相似矩阵的定义：设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作A~B8、相似矩阵的性质（1）若A与B相似，则f（A）与f（B）相似（2）若A与B相似，B与C相似，则A与C相似（3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和）【推广】（4）若A与B相似，则AB与BA相似，A T与B T相似，A-1与B-1相似，A*与B*也相似（三）矩阵的相似对角化9、相似对角化定义：如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ=，称A可相似对角化。
资料：华东理工大学本科生线性代数第二册
华东理工大学线性代数 作业簿（第二册）学 院____________专 业____________班 级____________学 号____________姓 名____________任课教师____________1.4 矩阵的分块1．设002000030400100A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1_____________________________________A -=. 解： 1211112001100041000210003A A A A A A ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⇒==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.2. 已知分块矩阵111221W W W W O ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则TW =( ).(A) 112112W W W O ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (B) 121121W O W W ⎛⎫ ⎪⎝⎭；(C) 111221TT TW W W O ⎛⎫⎪⎝⎭； (D) 112112T T T W W W O ⎛⎫⎪⎝⎭.解：D .3. (1) 设10a A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求nA ；(2)设2100020000310003C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求n C . 解：(1) 10100aA aI a ⎡⎤⎡⎤==+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，而 2010101,000000B B O ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以110()nn nni in inn nni a n a A C B aI a I n a B a ---=⎡⎤⋅==+⋅=⎢⎥⎣⎦∑， (2)将C 分块得：12C C C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中122131,,0203C C ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 于是由(1)得11122200020003303n n n nn n n n n n CC C n --⎡⎤⋅⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⋅⎣⎦⎢⎥⎣⎦.4. 求满足2AX X I A -+=的矩阵X ，其中101020101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解：由原式，整理得))(()(2I A I A I A X I A +-=-=-，而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-001010100I A 可逆，故由上式可得201030.102X A I ⎡⎤⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦5. 设n 阶矩阵A ，B 满足A B AB +=.(1) 证明A I -可逆，且AB BA =；(2) 若已知130210002B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵A . 解：（1）由,AB B A =+移项得O B A AB =--，即I I B A AB =+--，亦即,))((I I B I A =--从而得到I A -可逆；且由上式可得I I A I B =--))((，展开得,O B A BA =--即B A BA +=，结合条件知BA AB =.（2）由（1）知1)(--=-I B I A ，即,)(1I I B A +-=-而,1000031021010*******)(11⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=---I B 故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=20001310211A . 6. 设()ij A a =是一个m n ⨯矩阵，(1)计算,,i j i j e A Ae e Ae T T，其中i e 为m 阶单位矩阵的第i 列，j e 为n 阶单位矩阵的第j 列；(2)试证：对任一m 维列向量,0x x A A O T =⇔=；(3)试证：对任一m 维列向量x 和任一n 维列向量y ，0x A y A O T =⇔=. 解：（1）[]1212,,,,,,,,Ti i i in j j j mj i j ij e A a a a Ae a a a e Ae a TT⎡⎤===⎣⎦(2)“⇐”显然；“⇒” 由向量x 的任意性，取(1,2,...,i x e i m ==且i e 为m 阶单位矩阵的第i 列），则由(1)得[]12,,...,0i i i im e A a a a ==T ，即A 的第i 行为零向量，取遍1,2,...,i m = 知A 的每一行均为零向量，即O A =. (3) “⇐”显然；“⇒” 由x 与y 的任意性，取,i j x e y e ==i e n j m i ;,...2,1,,...2,1(==与j e 分别为n m ,阶单位阵的第j i ,列），则由(1)得0==T ij j i a Ae e ，即A 的每一个元素都为零，亦即O A =. 7．设n 阶矩阵[]ij A a =，n 维向量T [1,1,,1]=α，(1)计算A α； (2)若A 可逆，其每一行元素之和都等于常数c ，试证：1A -的每一行元素之和也都相等，且等于1c .解：（1）设i e 为n 阶单位矩阵的第i 列，则有T 12[1,1,,1]n e e e ==+++α又设i α为A 的第i 列，则有A α＝112112121n k k n kk n n n nkk a a Ae Ae Ae a ===⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++=+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑ααα(2)由题设及(1)的结论可得：11A c A c-=⇒=αααα，即1A -的每一行元素之和都等于1c.1.5初等变换与初等矩阵1. 用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵.（1）1234⎡⎤⎢⎥-⎣⎦；（2）1122401611-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 解：（1）构造分块矩阵12103401⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，并对其进行初等行变换2121()(3)1010121012101231340101031011010r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦21(2)4210101001311010r -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即得112421;343110--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ （2）11122102401213611418--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦.2. 已知211123120204212015A B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，,且有XA X B =+，求X . 解：1()()XA X B X A I B X B A I -=+⇒-=⇒=-111100111100[]110010~021110211001031201111100100121111~010~010111222001132113001222A I I --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥--⎣⎦1123121295()2041112860151324149X B A I ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴=-=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 3.已知123001100456,010,001789100010A P Q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则100101___________________________P AQ =.解： 132465798⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 4. 设111213212223212223111213313233311132123313,a a a a a a A a a a B a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦， 12010100100,010001101P P ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则有（ ）. (A ) 12APP B =；(B ) 21AP P B =；(C ) 12PP A B =；(D ) 21P PA B =. 解：C .5. 解矩阵方程：010100143100001201001010120X -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 解：X 左右的两个矩阵均为初等矩阵，故而可逆且其逆也是初等矩阵，于是有11010143100100201001001120010X ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦= 010143100100201001001120010-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦=210134102-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.6. 已知1231021001010,001,20010101P P P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，求1123()PP P -.解：1111123321110210010211()00101000.220100011010PP P P P P -----⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦7. 设矩阵A 可逆，且A~ijr B . 试证：（1）矩阵B 可逆；（2）求1AB -；（3）试证1A -交换i 、j 列后可得矩阵1B -.解：（1）依题意，有ij B R A =，其中ij R 为对应于初等变换ij r 的行初等矩阵，则由ij R 及A 均可逆知B 必可逆.（2）由（1），得11111()ij ij ij B R A A R A R -----===,故而11()ij ij AB A A R R --==.（3）由（1），得11ij B A R --=，而ij ij R C =，故11ij A C B --=，即11ijc A B --.。
华东理工大学线性代数册答案届版
华东理工大学线性代数作业簿（第一册）学院__________ 专业____________ 班级_______________ 学号__________ 姓名____________ 任课教师___________ 1.1 矩阵的概念1. 矩阵 A a ij 2i j 2 3.解：A2．设1 0 00 1 0 0 3 0 05 2A ,B 0 1 0 0 ,C 2 3 0, D0 3 00 40 0 10 0 4 1 0 0 3其中对角阵为___ ，三角阵有_解：对角阵为D；三角阵有A，C， D.1.2 矩阵的运算3 1 1 2 1 11. 已知2 3X O ，求矩阵X .2 0 23 1 1解：依题意，由3X 6422421311 4 3 3，1 1 1 5 ，41 1即得X 31 13 32. 如果矩阵A m n 与B t s 满足AB BA，试求m,n,t,s 之间的关系解：m nt s.3. 填空：4 3 1 7(1) 1 2 3 25 7 0 11(2) 1, 2, 3 23 ___________1(3) 2 1, 2 ;3__________________1 3 1214 0 0 1 2(4)1 1 3 4 1 3 14 0 235 1 2解：(1) 6 ；(2) 14；(3) 2 4 ；(4) 6 7820 5649 3 60104. 已知矩阵 A 0 0 1 ，试求与 A 可交换的所有矩阵 000解：由可交换矩阵的定义，知道所求矩阵必为 abc其为 B d e f ，于是有ghi010aAB 0 0 1 d000g abc0BA d e f 0ghi0def由 AB BA ，即得 g h i000由相应元素相等，则得 d gabc故 B 0 a b （a,b,c 均为任意常数） 为与 A 可交换的所有矩阵00a2a 33x 3 (a 12 a 21 )x 1x 2 (a 13 a 31) x 1 x 3 (a 23 a 32)x 2x 33 阶方阵，不妨设b c d e fe f = ghi ，h i 0 0 0 1 0 0 a b 0 1 0 d e ， 0 00 g h0ab0 d e ，0gh h 0,a e i,b f ,a 11 a 12 a 13 x 1(1)x 1, x 2, x 3 a 21a 22 a 23 x 2 ；a 31a 32a 33x 35. 计算下列各题：解：原式等于： 2 a11x1 2 a22x21 33(2) A，求A 2008解：记 A，则A 2A 3 ，Q 2008 3669(3) 解： A9 200820071,1,13)669A .A 9.1,1,1 23 1,1,1 2328A2561 26. 利用等式17 62 3 2 0 7 335 1257 0 3 5 273 2 31 0,5 2 5 70 1,计算 1756.3512 .55解： 176 2 3 2 0 73 3197 12663512 5 7 0 3 527385 29227. 某公司为了技术革新，计划对职工实行分批脱产轮训，已知该 公司现有 2000 人正在脱产轮训，而不脱产职工有 8000人，若每 年从不脱产职工中抽调 30%的人脱产轮训， 同时又有 60%脱产轮 训职工结业回到生产岗位， 设职工总数不变， 令资料个人收集整理，勿做 商业用途0.7 0.6 8000 A , X0.3 0.42000试用 A 与 X 通过矩阵运算表示一年后和两年后的职工状况， 并据 此计算届时不脱产职工与脱产职工各有多少人 . 解：一年后职工状况为： AX 3200不脱产职工 6800 人，轮训职工 3200 人.6800 2 6680 两年后职工状况为： A A 2 X3200 3320不脱产职工 6680 人，轮训职工 3320 人. 218. 设矩阵 A 24 12 ，B求:(1) A T B T B T A T ; (2) A 2 B 2.解： (1) A T B T B T A T10 20 0 0 10 20 5 10 0 0 5 10 (2) A 2 B 22 1 2 13 1 314 24 2 6 2 620 0 15 5 15 5.0 0301030 10 .9. 设 A 是对称矩阵， B 是反对称矩阵，则( )是反对称矩阵(A ) AB BA; (B ) AB BA; (C ) (AB)2 ; (D ) BAB . 解：B.1 2 110．试将矩阵 A 3 0 12 23 解：11. 设 A 是反对称矩阵， B 是对称矩阵，试证： AB 是反对称矩阵 的充分必要条件为 AB BA. 证：必要性 :由(AB)Τ AB 及(AB)Τ B ΤA Τ B( A) BA 即得 AB BA. 充分性: 若 AB BA ，则(AB)Τ B ΤA Τ B( A) BA AB ，知 AB 是反对称阵 .表示成对称矩阵与反对称矩阵之和11A 12(A A T ) 12(A A T )1 5 3 0 1 12 2 2 2 53 1 0122 223 331 12 22212. 设 f (x) a m x m项式，f (A)1)2) 设A解：(1)f(a mm1am 1 1m a m 1xm a m A1L a1xm1a m 1A L证明 f (证明f (A)a0，记 f (A) 为方阵A的多a1A a0If ( 1)f ( 2)Pf ( )Pf(1) 0f ( 2)2) A A kf(A) f(P 1)Pf ( )P 13．设矩阵A a 1a m Pm11m12a1a1001aam 1m12 a1 a0k P 1mP1ma m 1P1P1a1P a0PP 1T2 T ，其中I 为n 阶单位阵，为n 维列向量，试证 A 为对称矩阵，且A2 I .证：A T(I 2 T )T I T2( T )T T2(T)T I 2 T 故 A 是对称矩阵，且T 2A2（I 2 T ）（IT2T) 4T4 (( T T ))2 T I .(T)21.3 逆矩阵1. 设A为n 阶矩阵，且满足A2A ，则下列命题中正确的是（）.A) A O ；B) A I ；（C）若 A 不可逆，解：D.则A O ；（ D ）若 A 可逆，则A I.2. 设n阶矩阵A、（A）CA2B B、I；C 满足ABAC I ，则必有（）.（B）A T B T A T C T I ；（C）解：B.BA2C I；D)A2B2A2C2I .3．已知矩阵A 111111111111111，求A n及A 1（n是正整数）.11证：由A2 4I ，即可得nnA n (A 2)2(4I)2 2nI, n 为偶数 An 1A n 1A (4I) 2 A 2n 1A, n 为奇数及 A (1A ) I ，亦即 A 1 1A . 444. 已知 n 阶矩阵 A 满足 A 2 2A 3I O ，求: A 1, (A 2I) 1, (A 4I) 1.( A 2I ) 解：依题意，有 A (A 2I ) 3I ，即 A(A 2I)I ，故311A 1 (A 2I )；( A 2I )1A ，33再由已知凑出 (A 4I)(A 2I) 5I ，即得11(A 4I) 1 1(A 2I).55. 设 A 、 B、ABI 为同阶可逆阵， 试证： (1) A B 1 可逆；(2) AB 11A 1也可逆，且有AB1111A 1ABA 证：(1) AB 1ABB 1B 1(A B I)B1A B 1 可逆(2)证法 一：AB 11A 1A B11A B11A B 1 A 1AB11I IB1A 1AB A B 1(ABAA)1AB 11A 1可逆，且 AB 1 1A 11ABA A .证法二： 由（1）得 AB 11B(AB I） 1 ，因此1A B 1 A 1(ABA A) B(AB I) 1 A 1 (ABA A) 11B(AB I) 1(AB I)A A 1A(BA I) BA BA I I1 1 1 11A B 1 A 1可逆，且 A B 1 A 1 ABA A .。
线性代数5
所以 2 x , y
即
2
4 x , x y , y 0
（５．１）
x , y
2
x , x y , y
上式被称为许瓦兹（Schwarz）不等式.
西安建大
二．正交向量组与正交化方法
１．正交向量组
１．正交向量组
当 x
y 0 时，定义向量
cos
２．施密特正交化方法
西安建大
三．正交矩阵与正交变化
1. 正交矩阵 定义５．２ 定理５．３
1.正交矩阵
2.正交变换
如果 n阶方阵 A 满足 AT A 则称 A 为正交矩阵．
I
如果 A , B均为 n阶正交矩阵，
T
1
那么：⑴ A1 AT ⑵ A 即 A 为正交矩阵
1 A A ⑶ 2 A A 为 2n 阶正交矩阵
量两两正交，从而这 n 个向量就构成了向量空 间 R n的一组正交基．
西安建大
例５．１
T 已知 R 3的一个向量 1 1 ,1 ,1， 求 R 3的一组正交基． T T 解：求 2 x21 , x22 , x23 ，使 1 2 0
即： x21 x22 x23 0
bi ( i 1 ,2 , , r ) 再取 i bi
显然 1 , 2 , , r为正交规范化的向量组， 且与 1 , 2 , , r 等价．
西安建大
T T T 例5.2：已知 1 1 ,1 ,1 , 2 1, 2 ,1 , 3 1 ,1 ,2
西安建大
定义５．１
设n 维向量 1 , 2 , , r是向量空间 V ( V R n )的一组正交基，如果它们均为单位向 量，则称 1 , 2 , , r 为V 的一组正交规范基 或标准正交基．
华东理工大学线性代数习题答案-第二章
第二章 行列式一、习题解答2．1（1）解：逆序数(4132)4τ= （2）解：(36195)4τ= （3）解：(3)(2)(21(1)...3)12n n n n τ---=+2．2解：根据行列式的定义，每个乘积均由来自不同行不同列的元素组成，当来自不同行不同列的元素的行标为自然排列时，其列标的逆序数决定了该乘积项的符号，根据观察，出现4x 的只有主对角线上的四个元素的相乘项11223344a a a a ，该项为(1234)(1)236x x x x x τ-⋅⋅⋅⋅=，故4x 的系数为6，而可以出现3x 的乘积项有两项，它们是1221334414223341,,a a a a a a a a 即分别为3)4231(3)1234(33)1(,331)1(x x x x x x x x -=⋅⋅⋅⋅--=⋅⋅⋅⋅-ττ两项相加，即知3x 的系数为6-。
2．3（1）解：将行列式的2，3，4列全加到第一列后，再提公因子，得原式=121314(1)(1)(1)3111111111113011101101003331(1)(1)(1)3310111010010311011100001r r r ----===⋅⋅-⋅-⋅-=--- （2）解：原式=5514000100200275(1)51(1)036036941011410115++⋅-=⋅⋅--=130352(1)10(01043)120410+-⋅⋅-=-⋅⋅-⋅=（3）解：原式=1213142112312311(1)359(1)(1)3293(1)32581752418252212215+++⋅-+-⋅-+⋅-=--=-----（4）解：原式=342312222222222222(1)22222222(1)(1)222222221234213243543243546543546576r r r -------=--------=14916149163579357905791122227911132222==（5）解：原式=12312312456133310025789333=⋅=⋅= 2．4（1）解：原式=2()12()2()12()1x y yx y yx y x y x yxx y x yx x y xyxy+++++=+++=12()02()10yx yx yx y xy x y x y xx yx+-+-=+⋅⋅----=22332()()2()x y x xy y x y ⎡⎤+--+=-+⎣⎦（2）解：原式=1411(1)0a b cb ac b a cb ac b a cc a a b b c c a a b b c b c ab c a+------=⋅------- =1()11ab c a b cbcc aa b b c c a b a b c a b bc a b c a c a -------==++ =21()0()()()()0bca b c a b b c a b c a b a c b c c b a c⎡⎤++--=++--+-⎣⎦--=3333a b c abc ++-（3）解：原式2143(1)(1)0011001111111100001111111111r r x x x xxyy y y y----==--= 22111111111100110000110011y x y x xy yx xy=--=--2．5（1）证：将左端行列式的底2，3列加到第一列，则第一列元素全为零，由行列式性质， 得证。
华东理工大学本科生线性代数第三册
1 1 1 1 0, 0 1 1 1 0 1 0, 0 0
A21 1, A22 1, A23 0, A24 0, A31 0, A32 1, A33 1, A34 0, A41 0, A42 0, A43 1, A44 1.
.
x
解：原式
r21 ( 1)
1 1 x 1 0 1
r43 ( 1)
1 1 y
1 1 y
1
= xy
1 1 x 0 0 0
1 1 y
2.4 行列式的计算 1. 计算下列 n 阶行列式 1 3 3 3
1 1
1 n n 1
.
3 2 3 （1） 3 3 3 3 3 3
3 1 1 3 ； （2） Dn n 1 n n 1
1 x 1 1 x 1 1 0 y 0 1 0 0 1 xy 1 1 1 1 1 1 x 1 1 y x2 y2 . 0 1 y xy 1 1 1 y 1 1 0 1 1 1 1 1y 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 x 1
8. 计算行列式
1 1 1 x 0 1 1 0 0
a b
c c
d a a c
3. 设 4 阶行列式 D4
c d
b d b
，则 A13 A23 A33 A43 ____.
a b d
解：0 4. 设 A 1,2 , 1 , B 1,2 , 2 均 为 3 阶 矩 阵 ， 若 已 知
| A | 2, | B | 3 ，求 2 A 5B 的值.
和. 解：解法一：直接计算各代数余子式
1 1 1 0 1 2 A11 (1) 0 1 1 1, A12 (1) 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 3 1 4 A13 (1) 0 0 1 0, A14 (1) 0 0 0 1 0
线性代数5-习题课
设有实二次型 f xT Ax ,它的秩为 r ,有两个
实的可逆变换
x Cy 及 x Pz
使
f
k1
y
2 1
k
2
y
2 2
k
r
y
2 r
(k i 0),
及
f
1
z
2 1
2
z
2 2
r
z
2 r
( i 0),
则 k 1 , k 2 ,, k r中正数的个数与 1 , 2 ,, r中正
数的个数相等 .
注意 k 1 , k 2 , , k r中正数的个数 p称为正惯性指 数;
r p N称为负惯性指数 ; s p N p (r p) 2 p r称为 f的符号 差. 它们是二次型对于非退 化线性变换的不变
量.
(1)实二次型 f xT Ax为正定的充分必要条件 是 :它的标准形的 n个系数全为正 ,即正惯性指数 p n;
a11 a1r
(1)r
0,(r 1,2,, n).
a r1 a rr
一、证明所给矩阵为正交矩阵
二、将线性无关向量组化为正 交单位向量组
三、特征值与特征向量的求法
四、已知 A的特征值，求与 A
相关矩阵的特征值
五、求方阵 A 的特征多项式
六、关于特征值的其它问题
七、判断方阵 A可否对角化
若 e1 , e2 ,, er 是V的一个规范正交基 ,那么V
中任一向量 a都可表为
a 1e1 2e2 r er ,
其中
i
e
T i
a
[a,
e i ],
(i
1,2, ,
r ).
施密特正交化方法
华东理工大学线性代数作业答案（第五册）
华东理⼯⼤学线性代数作业答案（第五册）华东理⼯⼤学线性代数作业簿（第五册）学院____________专业____________班级____________学号____________姓名____________任课教师____________4.1 向量组的线性相关与线性⽆关1.向量[]11,3,3,5,T α=[]21,3,5,7,Tα=满⾜1223,x αα+=则x = . 解：x =[]1,3,6,8T.2. 选择题：（1）下列命题正确的是（）.（A ）若向量组1α，2α，，m α是线性相关的，则1α可由2α，3α，，m α线性表⽰；（B ）若向量组1α，2α， m α线性⽆关，1α，2α，，m α，1m α+线性相关，则1m α+可以由1α，2α，，m α唯⼀线性表⽰；（C ）若1α，2α，，m α线性相关，1β，2β， ,m β亦线性相关，则1α+1β，2α+2β， m α+m β也线性相关；（D ）若1α，2α，，m α线性⽆关，则1α，2α，，1+m α也线性⽆关.解：(B).（2）向量β可由12,,...,s ααα线性表出的充分必要条件为( ) . （A ）存在不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122k k βαα=++s s k α+ ；（B ）12,,...,,s αααβ线性相关；（C ）12(,,...,)s x αααβ=有唯⼀解；（D ）1212(,,...,)(,,...,,)s s r r ααααααβ=. 解：(D).3. 向量[]1,1,1Tβ=能否由下列向量组线性表⽰？若能，请表⽰出来.（1）[]T0,3,21=α，[]T0,1,12-=α，[]T0,5,73=α；（2）[]T0,2,11=α，[]T0,3,22=α，[]T1,0,03=α.解：（1）若记矩阵[]321,,ααα=A ，则问题转变为⾮齐次线性⽅程组β=Ax 是否有解，故只需判断()r A 是否等于()r A β.⽽[]β|A =-10031712 ，显然()r A =2≠3=()r A β，故β=Ax ⽆解，即β不能由321,,ααα线性表⽰.（2）由[]β|A =11010321021~-11010101001得()r A = ()r A β，故β能由321,,ααα线性表⽰，且321αααβ++-=.4.已知向量[]Tλλλα,,1=，[]Tλλλα,12,2-=，[]T 3,3,23+=λα，[]T 12,1,1-=λβ，问λ取何值时，（1）β可由1α，2α，3α线性表⽰，且表达式唯⼀？（2）β可由1α，2α，3α线性表⽰，且表达式不唯⼀？（3）β不可由1α，2α，3α线性表⽰？解: 记[]321,,ααα=A ，则问题转变为判断⾮齐次⽅程组β=Ax 是否有唯⼀解，有⽆穷多个解以及⽆解.由[]β|A =??-+-123131212λλλλλλλλ及A 是含参⽅阵，知可通过A 来讨论β=Ax 解的情况.A =22133λλλλλλλ-+=)1)(1(+-λλλ①当0≠λ且1-≠λ且1≠λ时，由克拉默法则知β=Ax 有唯⼀解，即β可由321,,ααα唯⼀线性表⽰；②当0=λ时，[]β|A =--13131120001311~0012500---?即()r A ≠()r A β，亦即β=Ax ⽆解，故β不能由321,,ααα线性表⽰；③1=λ时，[]β|A =11211131~11410001001211即()r A =()r A β=2 ＜3, 亦即β=Ax 有⽆穷多个解，故β可由321,,ααα不唯⼀地线性表⽰；④1-=λ时，[]β|A =11211331~1123-------??----4001201211即()r A ≠()r A β，故β不能由321,,ααα线性表⽰；综合上述得：（1）当0≠λ且1-≠λ且1≠λ时，即β可由321,,ααα唯⼀线性表⽰（2）当1=λ时，β可由321,,ααα线性表⽰，且表达式不唯⼀；（3）当0=λ或1-=λ时，β不可由321,,ααα线性表⽰。
东华理工大学线性代数练习册答案
班级:学号:姓名:序号:
3
2512
3714
5927
4612
?
??
?
?
43
21
1331
41
32
24
42
251215221522
371417340216
2
592729570113
461216420120
152215221522
012001200120
..............................
......1......
nn
nn
nn
n
nnnnn
?
?
?
=×××?
换页
班级:学号:姓名:序号:
7
1
!()!(1)!2!1!
ijn
njinn
≤
=?=?
∏
?
3.
1
2
3
11111
11111
11111(012)
()
()
A
行列式主对角线的元素全为零
()
B
三角形行列式主对角线有一个元素为零
()
C
行列式零元素的个数多于n个
()
D
行列式非零元素的个数小于n个
4．如果
()
()()
()()
30
40
50
A0B1
C1D3
xkyz
yz
kxyz
kk
kk
+?=
华东理工大学线性代数习题答案-第五章
5.1 （1）0)1)(4(43,23212=+-=--=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-λλλλλλλλI A I A 由得特征值为4,121=-=λλ;以11-=λ代入方程（I A λ-）x=0，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-0011~33221I A λ解得)0(1121≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡c c x x 亦即对应于11-=λ的全体特征向量。
以42=λ代入方程（I A λ-）x=0，由⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-00321~23232I A λ解得)0(32132'''21≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡c c c x x 亦即对应于41=λ的全体特征向量。
（2）20)2(,2001210023213====-=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-λλλλλλλλλ得特征值为由I A I A ,以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=-=000000101~0001010002,023,2,1I A x I A 由）代入方程（λλ得解为()01010102121321≠⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c c c c x x x ，它即对应于2321===λλλ的全体特征向量。
（3）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=-111111111111,111111111111λλλλλλλλλλI A I A 由0)3()1()3)(1(0001100101011111101100101011132=+-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-------=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=λλλλλλλλλλλλλλλλλ得1,34,3,21=-=λλ。
由⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=-0000110010101001~8440440040403111~31111311113111131I A λ 得对应于31-=λ的全部特征向量为[])0(,1,1,1,11≠--=c c Tη。
华东理工大学线性代数习题答案-第一章
第一章 矩阵 一、习题解答1．1解：由矩阵相等即对应元素相等，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===xz u y u x 28122即得2,1,1,4-==-=-=u z y x 1．2解：依题意，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3113341131124042263X ，即得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=131311134X 1． 3（1）解：原式=10132231=⨯+⨯+⨯（2）解：原式=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---933162 （3）解：原式=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----916144102281010 （4）解：原式=323223313113212112233322222111)()()(x x a a x x a a x x a a x a x a x a ++++++++1．4解：由可交换矩阵的定义，知道所求矩阵必为3阶方阵，不妨设其为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=i hg f e d c b aB ，于是有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=i hgf e d c b aAB 000100010=,00⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡i h g f e d⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=h ge d b ai hgf edc b a BA 000000100010，由BA AB =，即得=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00i h g f e d ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡h g e d b a 000，由相应元素相等，则得,,,0f b i e a h g d ====== 于是c b a a b a c b a B ,,(000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=均为任意常数）即为与A 可交换的所有矩阵。
1． 5证：依题意，可设两上三角形矩阵分别为[][]nn ijnn ijb B a A ⨯⨯==,，则当j i >时，成立0=ij a 及0=ij b ，若记乘积矩阵C AB ==[]nn ij c ⨯，则由矩阵乘法定义，有kj nik ik i k kj ik kjnk ik ij b a b a b ac ∑∑∑=-==+==111，因为B A ,均为上三角形矩阵，故当j i >时，上式右端第一项中的ik a 及第二项中的kj b 均为零，进而知0=ij c ，即乘积矩阵AB C =亦为上三角形矩阵。
线性代数第五章习题答案
习 题 5-11．把下列二次型化为矩阵形式：（1）322121321255),,(x x x x x x x x f +-=；（2）),,(321x x x f 323121233284434x x x x x x x x +-+-=； （3）4332312143212),,,(x x x x x x x x x x x x f ++-=；（4）433231232121432142232),,,(x x x x x x x x x x x x x x f ++-++=．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=321321*********50255),,(),,(x x x x x x x x x f （2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=321321321342442220),,(),,(x x x x x x x x x f （3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4321432143210210021012101021021210),,,(),,,(x x x x x x x x x x x x f （4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4321432143210200231101010111),,,(),,,(x x x x x x x x x x x x f 2．写出下列二次型的矩阵，并求二次型矩阵的秩： （1）2221212124),(x x x x x x f ++=；（2）3222312121321664),,(x x x x x x x x x x x f --++=．解：（1）二次型),(21x x f 的矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2221A ∵02≠-=A ，∴∵02≠-=A ，2)(=A R（2）二次型),,(321x x x f 的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=033312321A∵036≠-=A ，∴3)(=A R3．写出下列矩阵所代表的二次型：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=510142021A ； （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0111101111011110A ．4．已知二次型32312123222132166255),,(x x x x x x ax x x x x x f -+-++= 的秩为2，求参数a 及此二次型对应的矩阵．解：二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=a A 33351315对应的行列式722445459925-=---++=a a a A有由于矩阵2)(=A R ，所以0=A ，即3=a∴二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=333351315A习 题 5-21．用配方法化下列二次型为标准形，并写出所作的可逆线性变换： （1）31212221321222),,(x x x x x x x x x f -++=；（2）32312123222132162252),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=； （3）213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f -+-+-=．解：（1）31212221321222),,(x x x x x x x x x f -++=312221222122x x x x x x x -+++=222332233212212])(2)[(x x x x x x x x x x +-+++-+= 23233222232122)(x x x x x x x x -+++-+=2323223212)()(x x x x x x -++-+=令 333223211x y x x y x x x y =+=++= 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=33322211yx y y x y y x二次型化标准型 232221y y y f ++= 可逆线性变换为 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=33322211yx y y x y y x（2）32312123222132162252),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=2332222332312221214422)2(x x x x x x x x x x x x x ++++++++= 232332321233222233212210)2()(44])(2)[(xx x x x x x x x x x x x x x x ⋅+++++=+++++++=令 3332232112x y x x y x x x y =+=++= 二次型化标准型 2221y y f +=可逆线性变换为 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=3332232112yx y y x y y y x（3）213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f -+-+-=233132222121222222x x x x x x x x x +--+-=()2332222332122212123313222222121223412121241222223)41(2x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--++-=()23223321221232121212212x x x x x x x x -+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=()23223212321212x x x x x -+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=令 3332232112121x y x x y x x x y =-=--= 则二次型化标准型 2221232y y f += 可逆线性变换为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=33322321121yx y y x y y y x2．求一个正交变换化下列二次型为标准形： （1）322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=；（2）3231212322213214844),,(x x x x x x x x x x x x f ---++=； （3）32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=； （4）4321432122),,,(x x x x x x x x f -=；（5）4342324131214321222222),,,(x x x x x x x x x x x x x x x x f ++-+=－．解：（1）二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230002A它的特征多项式为)1)(5)(2(32230002λλλλλλλ---=---=-E A于是A 的特征值为152321===λλλ当2=λ时⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0001000101202100002E A 得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011q ，已单位化11q p =当5=λ时⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-0001100012202200035E A 得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1102q ，将其单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110212p当1=λ时⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000110001220220001E A得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1103q ，将其单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110213p于是所求得正交变换为Py x =，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2121021210001P且标准型为23222152y y y f ++=。
华东理工大学线性代数习题答案-第三章
第三章 线性方程组一、习题解答3．1解：否，例如121250,()2,363A r A -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦却有12036=-- 3．2（1）解：利用初等行变换化成行阶梯形矩阵来求矩阵的秩。
由12311231015401540154000001540000A--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦知()2r A =，最高阶非零子式可取0112（2）由112112013013013000026000B--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦知()2r B =，且最高阶非零子式可取1112-- 3．3（1）解：由()()r A r A T =，故可转化为求()r A T ， 由211211222240112(1)33360112(1)k k A k k k k k k k k k T ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦1120112(1)00(2)(1)0k k k k k k -⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦，知①当 1k =时，()()1;r A r A T== ②当2k =-时，()()2;r A r A T== ③当1k ≠且2k ≠-时，()()3r A r A T==（2）解：由112301123001221012210162100800024400002Ba ab b --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+--+⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦知①当8a =-且2b =-时，()2;r B =②当8a =-且2b ≠-，或8a ≠-且2b =-时，()3;r B =③当8a ≠-且2b ≠-时，()4r B = 3．4解：因为[]A β比A 多了一列，但行数相同，假设()r A k =，那么[]A β也有k 阶子式非零，所以()();r Ar A β≥而假如()()1,r A r A β>+那么，删去增广列及某一行后的1k +阶子式中必有某个非零，与()r A k =矛盾。
线性代数5——平面方程与矩阵
线性代数5——平面方程与矩阵线性方程的几何意义二元线性方程该方程是一个二元线性方程组，包含两个方程，每个方程是一条直线，两条直线的交点就是该方程有唯一解，这就是二元线性方程的几何意义。
平面方程空间内不在同一直线上的三点构成一个平面，平面方程可表示为ax + by + cz = d。
平面方程也称为三元线性方程。
方程x + 4y + z = 8，在xyz三个坐标轴上的截距分别是(8,0,0),(0,2,0),(0,0,8)，下图是该函数在坐标轴上的示意图：需要注意的是，平面是无限延伸的。
根据法向量求平面方程现在需要找到一个过原点的平面，它有一个过原点的法向量是<1, 5, 10>。
如上图所示，P<x, y, z>是所求平面上的向量，法向量N⊥OP，因此：这就是平面方程。
再看一个稍微不同点的问题，一个平面的法向量是N<1, 5, 10>，该平面经过P0(2, 1, -1)，求该平面方程。
由于拥有同一个法向量，所以这是与上一个平面平行的平面：平面上的任意点P1是(x, y, z)，向量P0P1⊥N：上面两个方程唯一的不同点就是ax + by + cz = d 中的d，其它参数对应了穿过原点的法向量，实际上，d两个平行平面的距离。
根据这个特点，可以很快求得第二个平面方程：示例向量V = <1, 2, -1>与平面x + y + 3z = 5的关系？平面的法向量N = <1, 1, 3>，容易看出，V·N= 1×1 + 2×1 + (-1)×3 = 0，V⊥N，向量V与平面平行。
需要注意的是，向量不是点（实际上向量有无数点），<1, 2, -1>不同于(1, 2, -1)，在没有特殊说明的情况下，可以认为向量从原点出发。
如果向量V从原点出发，V经过点(1, 2, -1)，但该点并不在平面上。
平面方程组的解三元线性方程组，设三个平面分别是P1,P2,P3，该方程组有唯一解，即这三个平面相交于一点，三个方程两两相交于一条直线：平面方程组也可能出现无解的情况，一种典型的情况是三个平面平行。
线性代数第五章(答案)
第五章 相似矩阵及二次型一、 是非题（正确打√，错误打×）1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组kαα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. (√)2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. (√)3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. (√)4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. (√)5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. (√)6．若112⨯⨯⨯=n n n n x x A ，则2是n n A ⨯的一个特征值. (×) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. (×) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. (×) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . (√) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式).(√)11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. (×) 12. T A 与A 的特征值相同. (√)13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. (×) 14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B有相同的特征值. (√)15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. (√)16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. (√) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. (√)18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. (√)19. 实对称阵A 与对角阵 Λ相似：Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵 。
华理线性代数答案
(2)
⎡ 2 1 ⎤ ⎡ 2 1 ⎤ ⎡ 3 −1⎤ ⎡ 3 −1⎤ A2 − B 2 = ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ −4 −2 ⎦ ⎣ −4 −2 ⎦ ⎣ −6 2 ⎦ ⎣ −6 2 ⎦ ⎡ 0 0 ⎤ ⎡ 15 −5⎤ ⎡ −15 5 ⎤ =⎢ ⎥. ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎣ 0 0 ⎦ ⎣ −30 10 ⎦ ⎣ 30 −10⎦
⎡ 6 −2 2 ⎤ ⎡ −2 −1 1⎤ ⎡ 4 −3 3⎤ 3X = ⎢ ⎥+⎢ ⎥=⎢ ⎥， ⎣ −4 0 4 ⎦ ⎣ 3 1 1⎦ ⎣ −1 1 5⎦ ⎡ 4 ⎤ ⎢ 3 −1 1 ⎥ 即得 X = ⎢ ⎥. ⎢− 1 1 5 ⎥ ⎢ 3 3 3⎥ ⎣ ⎦ 2. 如果矩阵 Am × n 与 B t × s 满足 AB = BA ，试求 m, n, t , s 之间的关系. 解： m = n = t = s . 3. 填空： ⎡ 4 3 1 ⎤ ⎡7 ⎤ ⎥⎢ ⎥ (1) ⎢ ； ⎢1 −2 3⎥ ⎢ 2 ⎥ = ⎢ ⎣5 7 0⎥ ⎦⎢ ⎣1 ⎥ ⎦ __________
⎡ ⎢ 解：记 A = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
1 2 3 2
−
⎡ 1 3⎤ ⎢− ⎥ 2 ⎥ ，则 A 2 = ⎢ 2 1 ⎥ ⎢ 3 ⎢ ⎥ 2 ⎦ ⎣ 2
−
3⎤ ⎥ 2 ⎥， 1 − ⎥ 2 ⎥ ⎦
⎡ −1 0 ⎤ A3 = ⎢ ⎥ = − I ，∵ 2008 = 3 × 669 + 1 ⎣ 0 −1⎦
不脱产职工 6680 人，轮训职工 3320 人.
⎡2 1⎤ ⎡ 3 −1⎤ 8. 设矩阵 A = ⎢ ，B = ⎢ ⎥ ⎥， ⎣ −4 −2 ⎦ ⎣ −6 2 ⎦
求: (1) AT BT − BT AT ;
(2) A2 − B 2 .
线性代数主要内容与方法
工程数学主要内容与方法问答题集锦辽宁工学院应用数学教研室编二〇〇五年四月—I —前言为帮助学生更好地掌握《工程数学》（包括线性代数、概率论与数理统计）的主要内容与方法，根据我们多年的教学经验，总结编写了这本《工程数学主要内容与方法问答题集锦》，希望它能在学生的学习中起到答疑解惑的作用。
本书线性代数部分是按照同济大学应用数学系编写的《线性代数》（第四版）的章节顺序编写；概率论与数理统计部分是按照浙江大学盛骤等编写的《概率论与数理统计》（第三版）的章节顺序编写。
编者按篇章次序分别为：线性代数部分，第一、二章由阚永志编写，第三、四章由王贺元编写，第五章由石月岩编写；概率论与数理统计部分，第一章由朱振广编写，第二、三章由徐洪香编写，第四、五章由刘秀娟编写，第六、七、八章由徐美进编写；全书由石月岩统稿，佟绍成教授主审。
在本书的编写中得到辽宁工学院数理科学系的领导和老师的大力支持与帮助，在此表示衷心的感谢。
限于编者水平，加之编写时间仓促，书中不妥和疏漏之处在所难免，敬请读者批评指正。
编者2005年4月于辽宁工学院—II —目录线性代数部分Ⅰ．线性代数的研究对象是什么？ （1）Ⅱ．线性代数的主要内容有哪些？ （1）第一章行列式 （1）1．余子式与代数余子式有什么特点？它们之间有什么联系？ （1）2．行列式有哪些性质？ （1）3．对角线法则对四阶以上的行列式是否成立？ （1）4．计算行列式通常采用的方法是什么？ （2）5．克莱姆法则的适用条件是什么？ （2）第二章矩阵及其运算 （2）1．为什么要学习矩阵？ （2）2．什么是矩阵的代数运算？什么是矩阵的运算系统？ （2）3．为什么矩阵乘法不满足交换律？ （3）4．矩阵运算系统与我们熟悉的实数运算系统的本质区别是什么？ （3）5．矩阵与行列式有什么区别与联系？ （3）6．判断矩阵可逆的常用方法有哪些？ （4）7．什么是伴随矩阵？它有哪些主要性质？ （4）8．求方阵A的高次幂有哪些常用的方法？ （4）9．怎样解矩阵方程？ （5）10．什么是分块矩阵，为什么要对矩阵进行分块？ （5）第三章矩阵的初等变换与线性方程组 （5）1．一个非零矩阵的行最简形与行阶梯形有什么区别和联系？ （5）2．在求解有关矩阵的问题时，何时只须化为阶梯形，何时宜化为行最简形？或者，它们在功能上有什么不同？ （6）3．矩阵的初等变换与初等矩阵有什么关系？引入初等矩阵有什么意义？ （6）4．初等变换有哪些应用？ （7）5．求一个可逆矩阵的逆矩阵有哪些常用的方法？ （7）6．n阶矩阵A是可逆矩阵的特征刻画有哪些？ （7）7．用初等行变换法求解线性方程组的主要步骤是什么？ （8）—III —— IV —8．在求解带参数的线性方程组时，对系数矩阵或增广矩阵作初等行变换应注意些什么？ （8）9．在求解线性方程组的通解时，常与教材中给出的答案不一致，这是否可以？ （8）第四章 向量组的线性相关性 （9）1．线性相关与线性表示这两个概念有什么区别和联系？ （9）2．对于向量组的线性相关、线性无关的概念，能否给出一些几何上的解释？ （9）3．两个矩阵的等价与两个向量组的等价有什么区别和联系？ （10）4．矩阵的初等行（列）变换有哪些？它有什么重要应用？ （10）5．向量组的最大无关组有什么重要意义？ （10）6．求向量组的最大无关组有哪些方法？ （11）7．证明或判断一个向量组线性相关或线性无关的常用方法有哪些？ （11）8．求矩阵的秩有几种方法？ （11）9．矩阵的秩有哪些重要性质？ （12）10．矩阵的秩有哪些主要应用？ （12）11．如何求齐次线性方程组的基础解系？ （12）12．齐次线性方程组0=Ax 的通解结构是什么？ （13）13．非齐次线性方程组b Ax =的通解结构是什么？ （14）第五章 相似矩阵及二次型 （15）1．向量正交变换的几何意义是什么？ （15）2．矩阵的特征值有哪些主要性质？ （15）3．如何求方阵A 的特征值与特征向量？ （15）4．相似矩阵有哪些主要性质？ （15）5．n 阶矩阵A 可相似对角化的充分必要条件是什么？ （16）6．判断矩阵A 是否可对角化的基本方法有哪些？ （16）7．方阵可相似对角化有什么意义？ （16）8．实对称矩阵的特征值与特征向量有哪些性质？ （16）9．已知n 阶方阵A 可对角化, 如何求可逆矩阵P , 使得),,,(diag 211n AP P λλλ=- ? （17）10．实对称矩阵正交相似对角化的步骤是什么？ （17）11．化实二次型Ax x f T =为标准形的常用方法有哪些？ （17）12．用正交变换化二次型Ax x f T =为标准形的主要步骤是什么？ （17）13．如何判别二次型Ax x f T =的正定性？ （18）— V —概率论与数理统计部分Ⅰ．概率论与数理统计研究的对象是什么？ （19） Ⅱ．概率论与数理统计研究的主要内容是什么？ （19） Ⅲ．概率论与数理统计的主要任务是什么？ （19）第一章 概率论的基本概念 （19）1．随机事件的本质是什么？ （19）2．为什么把随机事件定义成样本空间的子集？ （19）3．事件之间有几种关系？ （19）4．事件间有几种运算？ （19）5．概率是什么？ （20）6．概率的古典定义、几何定义、统计定义和公理化定义有什么联系？ （20）7．随机事件有两次抽象，指的是什么？其意义何在？ （20）8．什么是古典概型？如何计算古典概型中事件的概率？ （21）9．计算概率的常用公式有哪些？ （21）10．什么是n 重贝努利试验，计算有关事件概率的方法是什么？ （22）11．如何使用全概率公式和贝叶斯公式？ （22）12．对立事件与互斥事件有何联系与区别？ （23）13．在实际应用中，如何判断两事件的独立性？ （23）14．两事件B A ,相互独立与B A ,互不相容（互斥）这两个概念有何关系？ （23）15．概率为0的事件与“不可能事件”有何区别？有何关系？ （24）16．什么是“1概事件”？ “1概事件”与“必然事件”的关系如何？ （24）17．什么是“实际推断原理”？它有什么作用？它与小概率事件有什么关系？ （24）第二章 随机变量及其分布 （24）1．为什么要引入随机变量？ （24）2．引入随机变量的分布函数有哪些作用？ （25）3．概率密度函数有哪些性质？ （25）4．对于概率密度)(x f 的不连续点，如何从分布函数)(x F 求得)(x f ？ （25）5．为什么说正态分布是概率论中最重要的分布？ （26）6．常见随机变量的概率分布有哪些？ （26）第三章 多维随机变量及其分布 （28）1．如何判定一个二元函数是某个随机变量) ,(Y X 的概率密度？ （28）2．边缘分布与联合分布的关系如何？ （28）3．由相互独立的随机变量构成的多维随机变量，它们的联合分布与边缘分布有何关系？ （28）4．如何由联合分布确定两个边缘分布？ （29）5．怎样判别随机变量X与Y相互独立？ （29）6．相互独立的正态随机变量的线性组合是否仍为正态随机变量？ （29）第四章随机变量的数字特征 （30）1．随机变量的数字特征有哪些？ （30）2．随机变量的分布与数字特征有何关系？ （30）3．随机变量的数学期望和方差，在随机变量的研究和实际应用中，有何重要意义？（30）4．数学期望有哪些性质？ （30）5．方差有哪些性质？ （31）6．常用分布的期望、方差是什么？ （31）ρ反映随机变量X和Y的什么特性？ （31）7．相关系数XY8．独立性与不相关有何关系？ （32）第五章大数定律及中心极限定理 （32）1．大数定律说明什么问题？ （32）2．中心极限定理的意义是什么？ （32）第六章样本及抽样分布 （33）1．什么是统计量？为什么要引进统计量？ （33）2．常用的统计量有哪些？ （33）3．正态总体的某些常用抽样分布有哪些？ （33）4．2χ分布、t分布、F分布及正态分布之间有哪些常见的关系？ （34）第七章参数估计 （34）1．常用的点估计方法有哪几种？ （34）2．矩估计法的步骤是什么？ （35）3．极大似然估计法的步骤是什么？ （35）4．未知参数的点估计和区间估计有何异同？ （35）5．用矩估计法和极大似然估计法所得的估计是否是一样的？ （35）6．评价估计量好坏的常用标准是什么？ （36）第八章假设检验 （36）1．假设检验的依据是什么？ （36）2．假设检验可能产生的两类错误是什么？ （36）3．假设检验的一般步骤是什么？ （36）—VI —— VII —《线性代数》主要内容与方法问答题集锦（部分内容）Ⅰ．线性代数研究的对象是什么？答：线性代数是数学的一门重要课程，它主要讨论矩阵理论，并以矩阵理论为工具研究有限维向量空间和线性变换理论。
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第二节
正定二次型与正定矩阵
一、惯性定理
二、正（负）定二次型 的概念 三、正（负）定二次型 的判别
定理1(惯性定理 ) 设有实二次型 f = x T Ax , 它的秩 为r , 有两个实的可逆变换 x = Cy 及 使 及 x = Pz
2 f = k1 y12 + k2 y2 + L + kr yr2 2 2 f = λ1 z1 + λ2 z2 + L + λr zr2
2 2 2
且必存在正交变换将二 次型 f 化为标准形
q = 2 y1 + 2 y2 − 7 y3
2 2
2
同时，由正交变换保持 向量长度的不变性，即
∑ xi i =1
3
2
= ∑ yi ，知该正交变换将 f 化为标准形
2 i =1
3
f = 2 y1 + 2 y2 − 7 y3 + k( y + y + y )
T
(4) 实二次型 f = x T ( − A) x为负定二次型 .
性质1 若A为正定矩阵,则 aii > 0; A为负定,则aii < 0
性质 2 实对称矩阵A正定,则 AT , A−1 , A*也正定
性质 3 若A, B均为正定矩阵, 则A + B也是 正定矩阵
例1
2
试问 k 取何值时 ,
2 2 2 2 2
f = x1 − 4x1 x2 − 2x2 + 4x1 x3 − 2x3 + 8x2 x3 + k( x1 + x2 + x3 )
为正定二次型 . 解 二次型 q = x1 − 4 x1 x2 − 2 x2 + 4 x1 x3 − 2 x3 + 8 x2 x3 ⎡ 1 −2 2 ⎤ A = ⎢− 2 − 2 4 ⎥ ⎢ ⎥ 4 − 2⎥ ⎢ ⎦ ⎣ 2 令 A − λI = 0，可求出三个特征值为 2，， 7， 2 −
例4
即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例5
若二次型
2 2 2 f = x1 + 4 x2 + 2 x3 + 2tx1 x2 + 2 x1 x3
正定，求参数 t 应满足的条件. ⎛1 t 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ t 4 0 ⎟, 解 f 的矩阵为 ⎜1 0 2⎟ ⎠ ⎝ 根据定理 4，应有 A的各阶顺序主子式均为 正，由
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = −886 x1 − 2003 x2 为负半定二次型
三、正(负)定二次型的判别
定理 2 实二次型 f = x T Ax为正定的充分必要条 件是它的正惯性指数 π 等于变量个数 n.
推论 n阶实对称矩阵A正定 ⇔ A有n个正的特征值
定理 3 实二次型 f = x T Ax , 则下面的结论等价： （1）对任意的 n 维非零向量 x , 有 f = x T Ax > 0; ( 2) 二次型 f 的实对称矩阵的特征值 全为正数； ( 3) 存在可逆矩阵 P , 使得A = P P ;
2 2 2 2
它的系数分别为 1， ， − 1， ， 1，， ， 0可以没有） L 1， L − 0 L 0 （ ,
二次型的规范形是唯一的.
二、正(负)定二次型的概念
定义 1 设有实二次型 f ( x ) = x T Ax , 如果对任何 x ≠ 0, (1) f ( x ) > 0, 则称 f 是正定二次型，对应的
判别二次型 2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 + 4 x2 + 5 x3 − 4 x1 x3 是否正定. 解 用特征值判别法.
⎛ 2 0 − 2⎞ ⎜ ⎟ 二次型的矩阵为 A = ⎜ 0 4 0 ⎟ , ⎜− 2 0 5 ⎟ ⎠ ⎝ 令 A − λI = 0 ⇒ λ1 = 1, λ2 = 4, λ3 = 6.均为正数 ,
( ki ≠ 0 ) , ( λi ≠ 0 ) ,
则k1 ,L , kr中正（负）数的个数与λ1 ,L , λr中正 （负）数的个数相等 .
( i = 1, 2,L , r )
且标准形中正系数个数 称为 正惯性指数， 负系数个数称为 负惯性指数， 分别记作 π，υ .
规范形：
f = y1 + L + y p − y p+1 − L − yr
M > 0, L akk
(k = 1,2,L, n ).
例3 判别二次型 2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 5 x1 + x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 − 8 x1 x3 − 4 x2 x3 是否正定.
2 − 4⎞ ⎛ 5 ⎜ ⎟ 1 − 2 ⎟, 解 f ( x1 , x2 , x3 )的矩阵为 A = ⎜ 2 ⎜− 4 − 2 5 ⎟ ⎠ ⎝ 它的顺序主子式 5 2 −4 5 2 2 1 − 2 = 1 > 0, 5 > 0, = 1 > 0, 2 1 −4 −2 5 故上述二次型是正定的.
( 5)
f ( x )可正可负, 则称 f 为不定型二次型 x 2 + 4 y 2 + 16 z 2
2 2 f ( x1 , x2 ) = − x1 − 3 x2 2 2 f ( x1 , x2 ) = − x1 + 3 x2
为正定二次型 为负定二次型 为不定型二次型
实对称矩阵 A为 正定矩阵 . ( 2) f ( x ) < 0, 则称 f 是负定二次型，对应的 实对称矩阵 A为 负定矩阵 . ( 3) f ( x ) ≥ 0, 则称 f 是正半定二次型，对应 的实对称矩阵 A为正半定矩阵 . (4) f ( x ) ≤ 0, 则称 f 是负半定二次型，对应
的实对称矩阵 A为负半定矩阵 .
n1 nn
说明
a11 a11 < 0, a21
a12 < 0, a22
L,
M M < 0; an1 L ann
a11 L a1n
决不是矩阵 A负定的充要条件 . 而应是
推论 对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇 A 数阶顺序主子式为负，而偶数阶主子式为正，即
a11 L a1k
( − 1) M
k
ak 1
2 2 2 2 1 2 2 2 3
= (2 + k) y1 + (2 + k) y2 + (−7 + k) y3
2 2
2
为使二次型正定，按定 理 2，必有 ⎧ 2+ k > 0 ⎪ ⎨ 2+ k > 0 ⎪− 7 + k > 0 ⎩
即
k >7
定理4 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是： A 的各阶顺序主子式为正，即 a11 L a1n a11 a12 M > 0; a11 > 0, > 0, L , M a21 a22 a L a
a11 = 1 > 0,
a11 a12 = 1 a21 a22 t
t = 4 − t 2 > 0, 4
1 t
1
2
解得
A = t 4 0 = −2 t + 4 > 0 1 0 2
− 2<t< 2