2015年华南师范大学数学分析真题回忆版

2015年华南师范大学数学分析真题回忆版

一、计算

（1）求极限：⎪⎭⎫ ⎝

⎛++++++++∞→n n n n n n n n 22211lim 222 （2）求极限：()()()

2

23

30,0,sin lim y x y x y x ++→ （3）

（4）

二、设{}n a 满足：存在正常数M ，使得对所有的 ,2,1=n ，都有 M a a a a a a a b n n n ≤-++-+-+=-12121 3，

证明：数列{}n a 和{}n b 都收敛。

三、设()x f 在[)+∞,a 上连续，()x f n ∞

→lim 存在，证明：()x f 在[)+∞,a 上求得最大值或最小值。

四、讨论f 在[]b a ,上可积与f 和2f 在[]b a ,上可积的关系，若不可积请举出反例。

五、已知()()

()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,0,,00,0,,1sin ,2222y x y x y

x y x y x f 证明：()y x f ,在原点()0,0处可微，但偏导数在原点()0,0处不连续。

六、计算积分()()()()

dy m e y dx my e y x C x -+-⎰cos sin ，其中C 是从点()0,0O 到点()0,a A 的半圆弧，m 为常数。

七、设{}n na 是单调收敛0的数列，证明：nx a

n n sin 1∑∞=在[]()πδδπδ<<-02,上一致收敛。

八、已知二元函数()y x f ,关于偏导数y x ,连续，且()y x f ,关于x 单调，求证()y x f ,在点()y x ,连续。