复变函数与积分变换A综合练习二

复变函数综合测试题（二）

一、填空题

1、设b a z a z =++−||||，其中b a ,为正常数，则点z 的轨迹曲线是______。

2、设6

cos

6

sin

π

π

i z −−=，则z 的三角表示式为__________________。

3、若函数()f z 在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内_________。

4、设函数)(z f 在单连通区域D 内解析，则)(z f 在D 内沿任意一条简单闭曲线C 的积分_______)(=∫dz z f C

。

5、若z 0是()f z 的m 阶零点且m >1，则z 0是)('z f 的______零点。

6、函数2

11

)(z

z f +=

的幂级数展开式为__________。7、函数)6(sin 6)(633−+=z z z z f 的零点0=z 的阶数为______。8、设a 为函数)

()

()(z z z f ψϕ=

的一阶极点，且0)(,0)(,0)(≠′=≠a a a ψψϕ，则_________

__________)(Re ==z f s a

z 9、设1

()sin f z z

=

，则)(z f 的定义域为__________。10、设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，00iv u A +=，000iy x z +=，则A

z f z z =→)(lim 0

的充要条件是___________________________。二、选择题

1、函数()f z z =在z 平面上（）

A．不连续B．连续且可导C．连续但处处不可导D．以上答案都不对

2、下列点集哪些是区域（）

A．Im Re(1)

z i >+B．0arg 4

z π

<≤

C．1Im 2

z <

（

）

A．若()f z 在0z 解析，则00Re [(),]()

s f z z f z =B．若0z 是()f z 的n 级极点，则01

01

1Re [(),]lim ()

(1)!n n z z d s f z z f z n dz −−→=−C．若0z 是()f z 的可去奇点，则0

0Re [(),]lim ()

z z s f z z f z →=D．若(),()P z Q z 在0z 解析，且000()0,()0,'()0P z Q z Q z ≠=≠，则

000()()

Re [,]()'()P z P z s z Q z Q z =4、2

()(1)

z z

f z e =−以0z =为（）A．可去奇点B．本性奇点C．一阶极点D．二阶极点

5、变换1i z i

w e i z

θ−=+⋅（θ为实常数）把单位圆1z <保形映射成（

）

A．上半平面Im 0z >B．下半平面Im 0z

w >三、判断题

1、若}{n z 收敛，则{Re }n z 与} {Im n z 都收敛。(

)

2、若()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 处满足柯西-黎曼条件。（）

3、如z 0是函数()f z 的本性奇点，则)(lim 0

z f z z →一定不存在。(

)

4、在复数范围内，31z =的充要条件是1z =。（）

5、函数()f z 在0z 的某邻域内可展成幂级数的充要条件是()f z 在0z 的某邻域内连续且在此邻域内沿任一简单闭曲线的积分为零。（）

四、计算题1、计算下列各题。(1)

)43(i Ln +−;

(2)16

i e

π−+

;(3)

i

i +−1)1(2、计算积分。(1)∫+C

dz iy x

)(2

，其中C 是沿2x y =由原点到点i z +=1的曲线。

(2)

∫

++−i

dz ix y x 10

2])[(。积分路径为自原点沿虚轴到i ，再由i 沿水平方向向

3、求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）。

（1）z 2

tan ；

（2）1

1

1−−z z e e

。

4、试将函数)

2)(1(1

)(−−=z z z f 分别在圆环域1||0<

级数。

5、求一个单叶函数，去将z 平面上的上半单位圆盘{:||1,Im 0}z z z <>保形映射为w 平面的单位圆盘{:||1}w w <。

五、证明题

1、方程0169367=−++z z z 在单位圆内的根的个数为6。

2、设()f z 在闭圆域1z ≤上解析，且在圆域1z <内，恒有1()

1f d z

ζζζζ==−∫，证明：在闭圆域1z ≤上，()f z c ≡，且12i c e θ

π

=

⋅，θ为实常数。