湘教版高中数学必修四知识点总结
湘教版高中数学必修4：基本不等式及其应用
解： 0 x 1 ,1 2x 0
因为
y
1 2
2 2x(1
2x)
1 2
2x
1
2
2x2
1 8
所以y的最大值是 1 。当且仅当x=1-2x时，即x=
1
8
3
取等号
解题反思：根据需要配凑“和”或“积”为 定值。
【题型3.不具备“相等”的条件】
例3.若 x
x
2
9 6（当且仅当 loga x 3 时取等号）
log a
x
9 loga
x
6
f (x) 4
解题反思：把握条件， 从检验是否正数开始。
即f(x)的最大值是-4。
【题型2.不具备“定值”】
例2.若0 x 1，求 y x1 2x的最大值。
2
变式：求 y x 1 (x 1) 的最大值。 x 1
基本不等式及其应用
复习导入
1. a、b R，a2 b2 2ab (当且仅当a b时取等号）
a, b R, ab a2 b2（当且仅当a=b时取等号） 2
a,b R,a b2 2(a2 b2)（当且仅当a=b时取等号）
2. a、b R , a b ab (当且仅当a b时取等号） 2
的最小值。
3：求 f (x) 2 9 (0 x 1)的最小值，并解： 0 x 1 ,2x 0,1 2x 0
f
x
4 2x
2
9
1 2
x
4 2x
高中数学必修四知识点总结
高中数学必修四知识点总结1.函数与方程-函数的概念与性质：自变量、函数值、定义域、值域、奇偶性、周期性等。
-一次函数与二次函数：函数的图象、零点、最值、单调性、对称性等。
-一元二次方程：解的性质、根与系数的关系、因式分解、配方法、二次函数图象与系数的关系等。
-一元二次不等式：解的性质、图像法求解、根与系数的关系等。
-平面直角坐标系与直线：坐标轴、斜率、截距、直线方程等。
2.三角函数-三角函数的定义与性质：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
-三角函数的图象与性质：周期、奇偶性、单调性、最值等。
-三角函数的基本关系式：正弦定理、余弦定理、正切定理等。
-三角函数的诱导公式与化简：和差化积、倍角公式、半角公式等。
-三角函数解三角形问题：解直角三角形、解一般三角形等。
3.数列和数列的极限-数列的概念与性质：通项公式、前n项和、等差数列、等比数列等。
-数列的收敛性：有界性、单调性，数列的极限的概念与性质等。
-数列极限的计算：夹逼定理、四则运算、等比数列的性质等。
-数列和数列的极限的应用：等差数列求和、等差数列求项数、等比数列求和等。
4.空间几何与立体几何-空间中的位置与运动：空间坐标系、点的坐标、向量、平面、直线等基本概念。
-空间几何图形的性质与判定：平行、垂直、重合、共面等基本性质。
-立体几何的体积与表面积：长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、球体等的体积与表面积计算。
-立体几何的相似性与全等性：相似三角形、全等三角形、角平分线等相关定理与性质。
以上是高中数学必修四的主要知识点，通过学习这些知识点，可以帮助我们建立数学思维、提高数学解题的能力，并为后续高等数学打下良好的基础。
数学必修4知识点总结
数学必修4知识点总结1.三角函数与单位圆(1)三角函数的定义：正弦函数、余弦函数、正切函数等(2)单位圆：单位圆的性质、角度的弧度制转化、三角函数与单位圆上坐标的关系2.三角函数的基本关系与恒等变换(1)三角函数的基本关系：同角三角函数的关系、余弦函数与正弦函数的关系、正切函数与余切函数的关系等(2)三角函数的恒等变换：和差化积公式、积化和差公式等3.三角函数的图像与性质(1)正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质：振幅、周期、对称轴等(2)变换后的三角函数图像：三角函数的图像平移、伸缩、翻折等变换4.三角函数的应用(1)三角函数在解直角三角形问题中的应用：利用三角函数解决角度、边长等问题(2)三角函数在解一般三角形问题中的应用：利用正弦定理、余弦定理、正切定理等解决角度和边长等问题5.平面向量(1)平面向量的定义：向量的表示方法、向量加法、向量减法等(2)向量的数量积：数量积的定义、数量积的性质、数量积的应用等6.空间直角坐标系与空间向量(1)空间直角坐标系的建立：坐标轴的方向、坐标轴的位置、坐标点的表示等(2)空间向量的定义：向量的表示方法、向量加法、向量减法等(3)空间向量的数量积：数量积的定义、数量积的性质、数量积的应用等7.平面解析几何(1)平面方程的一般式与一般参数方程：直线的一般式方程、直线的一般参数方程、直线的斜截式方程等(2)平面的点、直线与圆的位置关系：点到直线的距离、点到平面的距离、直线与直线的夹角等(3)直线与平面的位置关系：直线与平面的交点、直线垂直于平面的条件、直线与平面的位置关系等8.函数与导数(1)函数的基本概念：函数的定义、函数的定义域、函数的值域等(2)函数的运算：函数的和、差、积、商等(3)导数的概念：导数的定义、导数与函数的关系、导数的几何意义等(4)常见函数的导数公式：常数函数、一次函数、幂函数、指数函数、对数函数等的导数公式以上是数学必修4的主要知识点总结，希望能对你的学习有所帮助。
高中数学必修4知识总结(完整版)
高中数学必修四知识点总结⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lr α=．7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+， 21122S lr r α==．9、（一）设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=；（2）x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=；（3）yx叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)yx xα=≠。
高中数学必修4知识点
高中数学必修4知识点一、函数：1.函数与映射：介绍函数的定义、自变量与因变量的关系，以及函数的图像和性质。
2.常函数与恒等函数：讨论常函数和恒等函数的特点，以及与其他函数的关系。
3.一次函数与二次函数：介绍一次函数和二次函数的定义、性质以及在实际问题中的应用。
4.反比例函数与幂函数：讨论反比例函数和幂函数的特点，以及对应的图像和性质。
5.指数函数与对数函数：介绍指数函数和对数函数的定义、性质，以及与幂函数的关系。
6.三角函数与三角恒等变换：介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的定义、图像和性质，以及三角恒等变换的应用。
二、导数与微分：1.函数的导数：讨论导数的定义、几何意义和计算方法，以及导数与函数的关系。
2.导数与函数的性质：介绍导数的可导性、导数的和差积商法则以及与函数图像的关系。
3.高阶导数与导数的应用：讨论高阶导数的定义，以及导数在曲线的拐点、极值和曲率等问题中的应用。
4.微分与微分中值定理：介绍微分的定义、微分中值定理和导数的应用，包括泰勒公式等。
三、立体几何：1.空间向量与坐标系：讨论空间向量的定义、线性运算和坐标系的建立。
2.空间几何关系和性质：介绍点、直线、平面在空间中的相对位置和几何性质。
3.平面与直线的位置关系：讨论平面与直线的垂直、平行、相交等几何关系。
4.空间中的位置关系：介绍空间中的位置关系，如两条直线的距离、点到平面的距离等。
5.球和立体的性质：讨论球的性质及球内外的点与球的关系，以及常见立体的体积、表面积的计算。
四、概率与统计：1.概率的基本概念：介绍概率的基本概念，包括事件、样本空间和概率的计算方法。
2.概率的运算：讨论概率的加法定理、乘法定理和全概率定理，以及条件概率和独立事件的计算。
3.随机变量和概率分布：介绍随机变量的定义、离散型和连续型随机变量的概率分布，以及期望和方差的计算。
4.统计与抽样：讨论统计的概念、参数与统计量的关系，以及样本的抽取方法和估计的方法。
数学必修四知识点归纳
数学必修四知识点归纳一、函数与导数1. 函数的概念- 函数的定义- 函数的表示方法：解析式、图像、表格- 函数的域与值域- 函数的奇偶性2. 函数的运算- 函数的四则运算- 复合函数- 反函数3. 常见函数类型- 一次函数、二次函数- 幂函数、指数函数、对数函数- 三角函数4. 导数的概念- 导数的定义- 导数的几何意义- 导数的物理意义5. 导数的运算- 导数的四则运算- 复合函数的导数- 反函数的导数6. 导数的应用- 函数的单调性- 函数的极值与最值 - 曲线的切线与法线二、极限与连续1. 极限的概念- 数列极限的定义 - 函数极限的定义 - 无穷小与无穷大2. 极限的性质- 唯一性、有界性 - 四则运算性质- 夹逼定理3. 连续函数- 连续性的定义- 函数的间断点- 连续函数的性质三、不等式与方程1. 不等式的性质- 不等式的基本性质 - 不等式的解集表示2. 解不等式- 一次不等式- 二次不等式- 绝对值不等式3. 方程的解法- 一元一次方程- 一元二次方程- 高次方程与降次解法四、数列1. 数列的概念- 数列的定义- 数列的通项公式2. 等差数列与等比数列- 等差数列的通项公式与求和公式 - 等比数列的通项公式与求和公式3. 数列的极限- 数列极限的概念- 无穷等比数列的和五、空间几何1. 平面与直线- 平面的方程- 直线的方程- 平面与直线的位置关系2. 空间直线与平面- 空间直角坐标系- 空间向量及其运算- 直线与平面的方程推导3. 空间几何体- 多面体- 旋转体- 空间几何体的表面积与体积计算六、概率与统计1. 随机事件与概率- 随机事件的概念- 概率的定义与性质- 条件概率与独立事件2. 随机变量及其分布- 随机变量的概念- 离散型分布与连续型分布- 期望值与方差3. 统计量与抽样分布- 常见的统计量- 抽样分布的概念- 正态分布的特点与应用七、数学归纳法1. 数学归纳法的原理- 归纳法的基本步骤- 归纳假设与归纳步骤的正确性2. 应用数学归纳法证明- 证明数学命题- 证明与自然数相关的命题以上是数学必修四的知识点归纳，每个部分都包含了该章节的核心概念、性质、公式和应用。
必修4 数学最全 知识点梳理(完整版)
高中数学必修4 知识点总结第一章：三角函数§1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角α终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ.§1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 rl =α. 3、弧长公式：R Rn l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 213602==π.§1.2.1、任意角的三角函数1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y为角α终边上任意一点，那么：（设r =sin y r α=，cos x r α=，tan y xα= 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 4、 特殊角0°，30°，45°，60°，§1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：1cos sin 22=+αα. 2、 商数关系：αααcos sin tan =. §1.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈）1、 诱导公式一： ()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈） 2、 诱导公式二： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+3、诱导公式三： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=- 4、诱导公式四： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=-5、诱导公式五： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛- 6、诱导公式六： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.§1.4.3、正切函数的图象与性质12、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质§1.5、函数()ϕω+=x A y sin 的图象 1、对于函数：()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T πω=，初相ϕ，相位ϕω+x ，频率πω21==Tf .2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系.① 先平移后伸缩：sin y x = 平移||ϕ个单位 ()sin y x ϕ=+（左加右减） 横坐标不变 ()sin y A x ϕ=+纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变 ()sin y A x ωϕ=+横坐标变为原来的1||ω倍平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）② 先伸缩后平移：sin y x = 横坐标不变 sin y A x =纵坐标变为原来的A 倍 纵坐标不变 sin y A x ω=横坐标变为原来的1||ω倍()sin y A x ωϕ=+平移||B 个单位()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 对于sin()y A x ωϕ=+和cos()y A x ωϕ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ωϕ=+图像的对称轴与对称中心，只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈与()x k k Z ωϕπ+=∈解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征：max min 2A =，max min2y y B +=. ω要根据周期来求,ϕ要用图像的关键点来求.§1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题.第三章、三角恒等变换§3.1.1、两角差的余弦公式记住15°的三角函数值：§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ 2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- 3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ 4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-5、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=. 6、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=.§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、αααcos sin 22sin =， 变形： 12sin cos sin 2ααα=. 2、ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=α α2sin 21-=. 变形如下：升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩ 3、ααα2tan 1tan 22tan -=.4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+ §3.2、简单的三角恒等变换1、 注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y（其中辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).第二章：平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、 向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作AB ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.2++.§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、 与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下：⑴= ⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反. 2、 平面向量共线定理：向量()≠与 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使λ=. §2.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ()y x y x ,=+=. §2.3.3、平面向量的坐标运算1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴()2121,y y x x b a ++=+，⑵()2121,y y x x --=-， ⑶()11,y x λλλ=， ⑷1221//y x y x =⇔. 2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x AB --=. §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++.§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 θ=⋅.2、 在θcos .3、 2=.4、=.5、 0=⋅⇔⊥.§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设()()2211,,,y x y x ==，则：⑴2121y y x x b a +=⋅2121y x +=⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= ⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-= 2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()()212212y y x x -+-=.3、 两向量的夹角公式 2cos a b a bx θ⋅==+4、点的平移公式平移前的点为(,)P x y （原坐标），平移后的对应点为(,)P x y '''（新坐标），平移向量为(,)PP h k '=，则.x x hy y k '=+⎧⎨'=+⎩函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =平移后的图像的解析式为().y k f x h -=-§2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==． ④根据法向量定义建立方程组00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量. （如图）2 用向量方法判定空间中的平行关系设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈. 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线.⑵线面平行①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=. 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可. ⑶面面平行若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=. 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线. 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥，即0a b ⋅=. 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直.⑵线面垂直①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明a ∥u ，即a u λ=.②（法二）设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、，若0,.0a m l a n α⎧⋅=⎪⊥⎨⋅=⎪⎩则 即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直. ⑶面面垂直若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证αβ⊥，只需证u v ⊥，即证0u v ⋅=. 即：两平面垂直两平面的法向量垂直. 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，则cos .AC BD AC BDθ⋅=⑵求直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角②求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ， 则θ为ϕ的余角或ϕ的补角 的余角.即有：cos s .ina ua uϕθ⋅==①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角.如图：②求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n 、，再设m n 、的夹角为ϕ，二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n 、的夹角ϕ或其补角.πϕ- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角： ◆如果θ是锐角，则cos cos m n m nθϕ⋅==；◆ 如果θ是钝角，则cos cos m n m nθϕ⋅=-=-.5、利用法向量求空间距离⑴点Q 到直线l 距离若Q 为直线l 外的一点,P 在直线l 上，a 为直线l 的方向向量，b =PQ ，则点Q 到直线l 距离为1(||||h a b a =⑵点A 到平面α的距离若点P 为平面α外一点，点M 为平面α内任一点，平面α的法向量为n ，则P 到平面α的距离就等于MP 在法向量n 方向上的投影的绝对值.即cos ,d MP n MP =n MP MP n MP⋅=⋅n MP n⋅=⑶直线a 与平面α之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离.即.n MP d n⋅=⑷两平行平面,αβ之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.即.n MP d n⋅=⑸异面直线间的距离高中数学必修四 知识梳理 10设向量n 与两异面直线,a b 都垂直，,,M a P b ∈∈则两异面直线,a b 间的距离d 就是MP 在向量n 方向上投影的绝对值.即.n MP d n⋅=6、三垂线定理及其逆定理⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直推理模式：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于射影就垂直于斜线.⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直推理模式：,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设AC 是平面α内的任一条直线，AD 是α的一条斜线AB 在α内的射影，且BD ⊥AD ，垂足为D.设AB 与α (AD)所成的角为1θ， AD 与AC 所成的角为2θ， AB 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.8、 面积射影定理已知平面β内一个多边形的面积为()S S 原，它在平面α内的射影图形的面积为()S S '射，平面α与平面β所成的二面角的大小为锐二面角θ，则'cos =.S S S S θ=射原9、一个结论长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++= 222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.。
高中数学必修4第一章知识点总结
高中数学必修4第一章知识点总结一、数列的定义与表示方法：1.数列的定义：由一列按照一定规律排列的有序数构成的集合称为数列。
2.数列的表示方法：可以通过用元素的代号表示每一项，如a₁,a₂,a₃,...,aₙ表示数列的前n项；或者使用通项公式表示数列的一般项。
二、数列的分类：1.根据数列的前后项之间的关系，可以将数列分为等差数列、等比数列和等差数列的和。
2.等差数列：若一个数列中任意两项之差都相等，则称该数列为等差数列。
等差数列的通项公式为aₙ=a₁+(n-1)d，其中a₁为首项，d为公差，n为项数。
3.等比数列：若一个数列中任意两项之比都相等，则称该数列为等比数列。
等比数列的通项公式为aₙ=a₁*q^(n-1)，其中a₁为首项，q为公比，n为项数。
4.等差数列的和：等差数列的和是等差数列前n项和，记为Sₙ，可由通项公式推导出来。
三、常用的数列公式：1.前n项和公式：-等差数列的前n项和公式为Sₙ=(a₁+aₙ)*n/2-等比数列的前n项和公式为Sₙ=a₁*(1-q^n)/(1-q)，其中q≠12.末项公式：-等差数列的末项公式为aₙ=a₁+(n-1)d。
-等比数列的末项公式为aₙ=a₁*q^(n-1)。
四、数列的性质：1.数列的递增和递减性：若数列的相邻两项之差为正数，称该数列为递增数列；若相邻两项之差为负数，称该数列为递减数列。
2.数列的有界性：若数列的所有项都不小于一个常数M，称该数列是下有界的；若数列的所有项都不大于一个常数N，称该数列是上有界的。
3.数列的单调性：若数列的前后项之间的关系始终保持一致，称该数列是单调数列。
4.数列的极限：如果数列中的项无限增大或无限逼近一些常数，那么这个常数称为该数列的极限。
五、常见的数列应用问题：1.求等差数列的前n项和、末项或项数的方法。
2.求等比数列的前n项和、末项或项数的方法。
3.判断数列的递增性、递减性、有界性或单调性。
4.使用数列的公式解决实际问题，如等差电费问题、等比人口增长问题等。
新湘教版必修4高中数学 第9章 章末小结
一、等差、等比数列的通项公式数列的通项公式是数列的核心内容之一，它如同函数的解析式一样，有解析式便可研究其性质等，而有了数列的通项公式，便可以研究数列的性质及前n 项和等，所以求数列的通项公式是研究数列的重中之重，现将求数列的通项公式几种常见的方法总结如下 ：1. 观察归纳法求数列的通项公式就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与序号n 的内在联系，结合常见数列的通项公式，归纳出所求数列的通项公式．2．利用公式法求数列的通项公式数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出a 1与d 或a 1与q ，再带入公式a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a 1q n－1中即可．3．利用a n 与S n 的关系求数列的通项公式如果给出的条件是a n 与S n 的关系式，可利用⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝S 1 (n ＝1)a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)先求出a 1＝S 1，再通过计算求出a n (n ≥2)的关系式，检验当n ＝1时，a 1是否满足该式．若不满足该式，则a n 要分段表示．4．利用累加法、累乘法求数列的通项公式形如：已知a 1，且a n ＋1－a n ＝f (n )(f (n )是可求和数列)的形式均可用累加法； 形如：已知a 1，且a n ＋1a n＝f (n )(f (n )是可求积数列)的形式均可用累乘法． 5．构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式)若由已知条件直接求a n 较难，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项．二、等差、等比数列性质的应用等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式及前n 项和公式的引申．应用等差、等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到解决，能够在运算时达到灵活、便捷的目的．1．在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．2．“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻关注解题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果．三、求数列前n 项和的方法数列的求和是数列运算中的重要内容，对于等差数列和等比数列可直接利用公式计算，对于有具体特征的非等差、等比数列可转化为等差数列或等比数列的前n 项和的求法．常用的求和方法有公式法、分组法、裂项法、倒序相加法、错位相减法等，解题时要认真研究数列通项的特点，从而确定恰当的求和方法．(1)已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64(2)在等比数列{a n }中a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2nD ．3n －1[解析] (1)∵a 7＋a 9＝2a 8＝16， 又∵a 4＋a 12＝2a 8，∴a 12＝2a 8－a 4＝15. (2)设a n ＝2q n －1，由(a 2＋1)2＝(a 1＋1)·(a 3＋1)，即(2q ＋1)2＝(2＋1)(2q 2＋1)， 解得q ＝1，∴a n ＝2，S n ＝2n . [答案] (1)A (2)C已知递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28, 且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项，求{a n }的通项公式a n .[解] 设等比数列的公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝28，a 1q ＋a 1q 3＝2(a 1q 2＋2). 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2.或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12.∵数列是递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12，舍去．∴a n ＝2·2n －1＝2n .1．等差数列的通项公式中有两个基本量a1，d，等比数列的通项公式中有两个基本量a1，q，在解时，要涉及两个量的方程或方程组．2．要注意解题技巧和运算技巧的选择和运用，例如“整体”代入等．1．设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于()A．120 B．105C．90 D．75解析：选B设等差数列的公差为d，且d>0，∵a1＋a2＋a3＝15，∴a2－d＋a2＋a2＋d＝15，∴a2＝5，又a1a2a3＝80，∴(a2－d)a2·(a2＋d)＝80，∴d2＝9.又∵d>0，∴d＝3.则a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105.2．若正数a，b，c成公比大于1的等比数列，则当x＞1时，log a x，log b x，log c x() A．成等差数列B．成等比数列C．各项倒数成等差数列D．各项倒数成等比数列解析：选C a，b，c成等比数列，则b2＝ac,2log x b＝log x a＋log x c，即2log b x＝1log a x＋1log c x，即1log a x，1log b x，1log c x成等差数列.各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2，S3n＝14，则S4n等于()A．80 B．30C．26 D．16[解析]法一：设等比数列的公比为q，因为S3n＝14≠3×2＝3S n，所以q≠1.由已知得S n＝a1(1－q n)1－q＝2，①，S3n＝a1(1－q3n)1－q＝14.②，用②除以①，得q2n＋q n＋1＝7，即q2n＋q n－6＝0，即(q n＋3)(q n－2)＝0，由于数列各项均为正数，所以q n＋3>0，所以q n－2＝0，即q n＝2，解得q＝n 2.所以a 1＝S n (1－q )1－q n ＝2(n2－1)，所以S 4n ＝a 1(1－q 4n )1－q ＝2(n2－1)(1－24)1－n2＝2×15＝30.法二：注意到四个选项都是具体的数值，所以S 4n 是一个与n 无关的定值，则取n ＝1，则S 4也应取这个值．由于a 1＝S 1＝2，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝14，即q 2＋q －6＝0，因为a n >0，所以q ＝2，所以S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝2×15＝30.[答案] B设S n 是等差数列{a n }前n 项的和，已知13S 3与14S 4的等比中项为15S 5，13S 3与14S 4的等差中项为1，求等差数列{a n }的通项a n .[解] 法一：设等差数列{a n }的首项a 1＝a ，公差为d ，则通项公式为a n ＝a ＋(n －1)d ，前n 项和为S n ＝na ＋n (n －1)d2. 依题意有⎩⎨⎧13S 3·14S 4＝⎝⎛⎭⎫15S 52，S 5≠0，13S 3＋14S 4＝2，由此可得⎩⎨⎧13⎝⎛⎭⎫3a ＋3×22d ×14⎝⎛⎭⎫4a ＋4×32d ＝125⎝⎛⎭⎫5a ＋5×42d 2，13⎝⎛⎭⎫3a ＋3×22d ＋14⎝⎛⎭⎫4a ＋4×32d ＝2，整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 3ad ＋5d 2＝0，2a ＋52d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝0，a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－125，a ＝4. ∴a n ＝1或a n ＝4－125(n －1)＝325－125n . 经验证，知a n ＝1时，S 5＝5；a n ＝325－125n 时，S 5＝－4均适合题意，故所求等差数列的通项为a n ＝1或a n ＝325－125n . 法二：因S n 是等差数列的前n 项和，故可设S n ＝an 2＋bn ，依题意得⎩⎨⎧13(a ×32＋b ×3)×14(a ×42＋b ×4)＝⎣⎡⎦⎤15(a ×52＋b ×5)2，13(a ×32＋b ×3)＋14(a ×42＋b ×4)＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－65，b ＝265，则S n ＝n 或S n ＝－65n 2＋265n .在等差数列中，a n ＝S n －S n －1，∴a n ＝1或a n ＝325－125n .1．等差、等比数列的前n 项和中有五个变量，a 1，d ，n ，a n ，S n 和a 1，q ，n ，a n ，S n ，一般是知三求二．2．两个公式都可进行变形(1)等差数列S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝An 2＋Bn 是一个无常数项的二次二项式． (2)等比数列：S n ＝a 11－q －a 11－q·q n (q ≠1) ＝A －A ·q n (q ≠1)．(3)两个公式都可以用函数的观点理解和应用．一个是二次函数，一个是指数型函数．3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6＝36，S n ＝324，S n －6＝144(n ＞6)，则n 等于( )A ．18B ．17C ．16D ．15解析：选A ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝36，① S n －S n －6＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＋a n －5＝180.② ①＋②得180＋36＝6(a 1＋a n )． ∴a 1＋a n ＝36＋1806＝36， ∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝18n ＝324，∴n ＝18. 4．等比数列{a n }中，S 2＝7，S 6＝91，则S 4等于( ) A ．28 B ．32 C ．35D ．49解析：选A 由等比数列的性质可知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列．所以S 2(S 6－S 4)＝(S 4－S 2)2，即7(91－S 4)＝(S 4－7)2.解得S 4＝28或S 4＝－21.又因为S 4＝S 2＋q 2S 2＝S 2(1＋q 2)>0，所以S 4＝28.5．已知等比数列{a n }中，若q ＝2，S 4＝1，求S 8. 解：法一：设首项为a 1，由公比q ＝2，S 4＝1，得a 1(1－24)1－2＝1，即a 1＝115，∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝115(1－28)1－2＝17.法二：设首项为a 1，∵S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1，且q ＝2，∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝a 1(1－q 4)1－q (1＋q 4)＝S 4·(1＋q 4)＝1×(1＋24)＝17.设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足5a n ，5b n ，5a n ＋1成等比数列，lg b n ，lg a n＋1，lg b n ＋1成等差数列，且a 1＝1，b 1＝2，a 2＝3，求通项a n ，b n . [解] ∵5a n ，5b n ，5a n ＋1成等比数列， ∴(5b n )2＝5a n ·5a n ＋1，即2b n ＝a n ＋a n ＋1.① 又∵lg b n ，lg a n ＋1，lg b n ＋1成等差数列， ∴2lg a n ＋1＝lg b n ＋lg b n ＋1，即a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1.② 由②及a i ＞0，b j ＞0(i ，j ∈N ＋)可得 a n ＋1＝b n b n ＋1.③ ∴a n ＝b n －1b n (n ≥2)．④将③④代入①可得2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1(n ≥2)， ∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2)． ∴数列{b n }为等差数列．∵b 1＝2，a 2＝3，a 22＝b 1b 2，∴b 2＝92. ∴b n ＝2＋(n －1)⎝⎛⎭⎫ 92－2＝12(n ＋1)(n ＝1也成立)． ∴b n ＝(n ＋1)22.∴a n ＝b n －1·b n ＝n 22·(n ＋1)22＝n (n ＋1)2(n ≥2)． 又当n＝1时，a 1＝1也成立．∴a n ＝n (n ＋1)2.本题考查了等差中项、等比中项及由递推公式求通项公式的方法．由递推公式求通项公式时，要注意将非特殊数列向特殊(等差、等比)数列转化的方法，如本题得到2b n ＝b n －1＋b n ＋1后，即说明数列{b n }为等差数列，这是等差中项的定义用于判断数列是等差数列的典例．6．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1为等差数列，则a 11＝( )A.14 B.12 C.23D ．2解析：选B 由已知可得1a 3＋1＝13，1a 7＋1＝12是等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1的第3项和第7项，其公差d ＝12－137－3＝124，由此可得1a 11＋1＝1a 7＋1＋(11－7)d ＝12＋4×124＝23.解之得a 11＝12.7．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2018？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 018，则1－(－2)n ≥2 018，即(－2)n ≤－2 017. 当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 017，即2n ≥2 017，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}．(1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n (1－na n ＋1)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝n 2－n ＋22B ．a n ＝n 2－n ＋12C ．a n ＝2n 2－n ＋1D ．a n ＝2n 2－n ＋2(2)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，n ∈N ＋.①求数列{a n }的通项公式；②设b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和S n .[解析] (1)原数列递推公式可化为1a n ＋1－1a n＝n ，令b n ＝1a n ，则b n ＋1－b n ＝n ，因此b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 3－b 2)＋(b 2－b 1)＋b 1＝(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＋1＝n 2－n ＋22.从而a n ＝2n 2－n ＋2.故选D. [答案] D(2)解：①因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，(ⅰ)所以当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，(ⅱ) (ⅰ)－(ⅱ)得3n －1a n ＝13，所以a n ＝13n (n ≥2)．在(ⅰ)中，令n ＝1，得a 1＝13，满足a n ＝13n ，所以a n ＝13n (n ∈N ＋)．②由①知a n ＝13n ，故b n ＝n a n＝n ×3n .则S n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n ， 3S n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ×3n ＋1，两式相减得－2S n ＝3＋32＋33＋34＋…＋3n －n ×3n ＋1＝3(1－3n )1－3－n ×3n ＋1，所以S n ＝34＋(2n －1)×3n ＋14.(1)由递推公式求数列通项公式时，一是要注意判别类型与方法．二是要注意a n 的完整表达式，易忽视n ＝1的情况．(2)数列求和时，根据数列通项公式特征选择求和法，尤其是涉及到等比数列求和时要注意公比q 对S n 的影响．8．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和．解：(1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)． 两式相减得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1(n ≥2)． 又由题设可得a 1＝2，满足上式， 从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)记⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n .由(1)知a n 2n ＋1＝2(2n ＋1)(2n －1)＝12n －1－12n ＋1. 则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n 2n ＋1.。
数学必修4知识点总结
数学必修4知识点总结一、函数与导数1. 函数的概念与性质- 函数定义：描述变量间依赖关系的一种数学表达方式。
- 函数的域与范围：自变量的取值集合称为函数的定义域，因变量的取值集合称为函数的值域。
- 函数的奇偶性：奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。
2. 函数的极限与连续性- 极限定义：描述函数值趋近某一点的行为。
- 连续函数：在定义域内任意一点都连续的函数。
3. 导数与微分- 导数定义：描述函数在某一点处的变化率。
- 微分：函数在某一点的线性主部，用于近似计算函数值的变化。
- 常见函数的导数公式：如多项式、指数函数、对数函数、三角函数的导数。
4. 高阶导数- 高阶导数：对一阶导数再次求导得到的导数。
- 常见高阶导数的计算方法。
二、一元函数微积分1. 不定积分- 不定积分的概念：求函数原函数的过程。
- 基本积分表：掌握常见的积分公式。
- 积分技巧：换元积分法、分部积分法等。
2. 定积分- 定积分的概念：计算曲线与x轴之间的有界区域的面积。
- 定积分的性质：对称性、可加性等。
- 定积分的应用：物理、几何问题中的计算。
3. 微分方程- 微分方程的概念：含有未知函数及其导数的方程。
- 常微分方程的解法：分离变量法、常数变易法等。
- 偏微分方程简介：涉及多个自变量的函数的导数问题。
三、向量代数与空间解析几何1. 向量的运算- 向量的加法、数乘、数量积（点积）和向量积（叉积）。
- 向量的坐标表示与线性运算。
2. 平面解析几何- 平面直角坐标系中的曲线方程：圆、椭圆、双曲线、抛物线等。
- 圆锥曲线的性质和方程。
3. 空间解析几何- 空间直角坐标系与向量表示。
- 直线与平面的方程。
- 常见立体图形的体积与表面积计算。
四、概率论与数理统计1. 随机事件与概率- 随机事件的定义与分类。
- 概率的计算：加法公式、条件概率、独立事件等。
- 贝叶斯定理。
2. 随机变量及其分布- 随机变量的定义：将随机事件映射到实数轴上的变量。
高中数学必修四知识点总结
高中数学必修四知识点总结高中数学必修四知识点总结如下：
1. 极限与连续
- 无穷小和无穷大的概念与性质
- 函数的极限与连续
- 极限运算的性质
- 利用极限计算函数的极限值
2. 导数与微分
- 导数的定义与性质
- 微分的定义与性质
- 导数的运算法则与应用
- 函数的单调性与最值
3. 不等式与降幂解法
- 二次函数与一元二次不等式
- 绝对值与绝对值不等式
- 分式不等式与整式不等式- 降幂解法与根、次方的性质
4. 三角函数
- 弧度制与角度制
- 基本三角函数及其性质
- 三角函数的和差与倍角公式- 三角函数的图像与性质
5. 三角恒等变换
- 三角函数的基本关系式
- 三角恒等变换的基本公式- 三角方程及其解法
- 三角函数的复合与反函数
6. 平面向量
- 平面向量的定义与运算
- 坐标表示与线性运算
- 平面向量的数量积与几何应用- 平面向量的叉乘与坐标表示
7. 解析几何
- 平面直角坐标系
- 点、线、圆、抛物线方程
- 二次曲线的性质与直线判定- 三角形与圆的性质
8. 数列与数学归纳法
- 数列的概念与表示
- 等差数列与等比数列
- 数列的通项公式与前n项和- 数学归纳法与应用
9. 概率与统计
- 随机事件与概率
- 条件概率与乘法定理
- 独立事件与加法定理
- 统计图表的分析与应用
这些是高中数学必修四的主要知识点，通过学习这些知识点，可以帮助学生建立扎实的数学基础，为高级数学学习打下坚实的基础。
必修四数学知识点全总结
必修四数学知识点全总结一、代数1. 多项式与因式分解多项式是由一系列单项式相加或相减而成的代数表达式。
它有一个变量，并且变量的次数可以为整数，多项式的常数项不等于零。
多项式通常写成单项式中各项的和：其中，a0、a1、a2、……、an是常数，n是非负整数，a0、a1、a2、……、an称为多项式的系数，x称为变量，an称为多项式的最高次项系数，n称为多项式的次数。
因式分解是指将一个复杂的代数式分解成若干个简单的乘积的过程。
例如，将多项式a×b+c×b分解成(b×a+c×b)的形式。
2. 函数与方程函数是自变量和因变量之间的一种特殊关系。
在数学领域中，函数是一种映射关系，它可以用一个表达式（或关系式）来表示。
函数是数学中的一个基本概念，它在各个领域中都有着重要的应用。
方程是数学中的一个基本概念，它表示某种等于关系。
在数学中，方程是一种等式，它将一个或多个未知数（变量）与已知数（常数）以及运算符号相结合，其中能使等式成立的未知数的取值称为方程的解。
3. 不等式与相关性不等式是指两个数之间的大小关系，通常用符号“<”、“>”、“≤”、“≥”等来表示。
不等式在数学中有着重要的应用，它可以用来表示数值之间的大小比较，以及实际问题中的约束条件等。
相关性是指两个或多个变量之间的关系。
在数学中，相关性通常用相关系数来表示，它可以评价两个变量之间的相关程度。
相关性分析在统计学中有着广泛的应用，它可以帮助我们了解变量之间的关系，提取有效的信息。
4. 集合与映射集合是指具有某种共同属性的事物的总体，可以通过符号“{}”来表示。
在数学中，集合是研究对象的基本概念，它可以用来表示各种数学对象的集合，如自然数集、整数集、有理数集、实数集等。
映射是一种函数关系，它使得一个集合中的每一个元素都有且只有一个对应的元素。
在数学中，映射是一种重要的概念，它可以用来描述不同集合之间的对应关系，以及实际问题中的映射关系。
高中数学必修四知识点总结归纳
高中数学必修四第一章：三角函数1.1任意角和弧度制考点1：任意角的概念考点2：终边相同的角考点3：象限角与轴线角1.1.2弧度制考点1：弧度制考点2：弧度制与角度制考点3：用弧度表示有关角考点4：扇形的弧长与面积1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数考点1：任意角的三角函数的定义考点2：三角函数值的符号考点3：诱导公式（一）考点4：三角函数式的化简与证明考点5：三角函数线考点6：三角函数的定义域与值域1.2.2同角三角函数的基本关系考点1：同角三角函数的基本关系考点2：三角函数式的化简考点3：利用sinα，cosα，sinαcos α之间的关系求值考点4：三角函数恒等式的证明1.3三角函数的诱导公式考点1：诱导公式考点2：运用诱导公式化简、求值考点3：诱导公式的综合运用1.4三角函数的图像与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图像1.4.2正弦函数。
余弦函数的性质考点1：函数的周期性考点2:正弦函数与余弦函数的图像考点3：正弦函数与余弦函数的定义域和值域考点4：正弦函数与余弦函数的奇偶性考点5：正弦函数与余弦函数的单调性考点6：正弦函数与余弦函数的对称性1.4.3正切函数的性质与图像考点1：正切函数的图像考点2：正切函数的性质考点3：正切函数的综合问题1.5函数y=Asin（ωx+φ）的综合应用考点1：用“五点法”作函数y=Asin（ωx+φ）的图像考点2：用变换作图法作函数y=Asin（ωx+φ）的图像考点3：由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图像确定其解析式考点4：简谐运动的有关概念考点5：函数y=Asin（ωx+φ）的综合应用1.6三角函数模型的简单应用考点1：利用三角函数定义建立三角函数模型考点2：用拟合法建立三角函数模型考点3：三角函数模型应用的综合问题考法整合：考法1：任意角三角函数定义的灵活运用考法2：山脚函数图像的对称性考法3：三角函数的值域与最值问题考法4：利用图像解题第二章：平面向量2.1平面向量的事件背景及基本概念考点1：平面向量的概念考点2：平行向量（共线向量）、相等向量与相反向量考点3：平面向量的应用2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义2.2.2向量减法运算及其集合意义考点1：向量的加法考点2：向量的减法考点3：向量的化简考点4：响亮的加减法应用2.2.3向量数乘运算及其集合意义考点1：向量的数乘运算考点2：向量的线性运算考点3：向量的共线问题考点4：利用向量解决平面几个问题2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量的基本定理考点1：平面向量的基本定理考点2：平面向量基本定理的应用考点3：两个平面向量的夹角2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算2.3.4平面向量共线的坐标表示考点1：平面向量的坐标表示考点2：平面向量的坐标运算考点3：平面向量贡献的坐标表示考点4：线段的定比分点考点5：平面向量坐标表示的应用2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义考点1：平面向量的数量积考点2：数量积的性质及其运算律考点3：两向量的夹角考点4：数量积的应用2.4.2平面向量数量积的坐标表示。
新湘教版必修4高中数学 第10章 章末小结
一、不等式的基本性质及应用不等式的基本性质既是不等式知识的理论基础，也是求解与不等式有关问题的重要工具，比较不等式的大小、证明不等式和解不等式等问题的求解，都离不开不等式性质的正确应用．在应用不等式的基本性质解决问题时，以下几个方面需引起我们的注意：1．a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a <b 是作差比较法的理论依据，常常用来比较两个实数或两个整式之间的大小关系．具体步骤是：作差——变形——定号——判断．要注意作差比较法中第二步变形的技巧与彻底性，达到能够真正定号而作出判断的目的．有时也采用作商比较法加以此较：“若ab >1，当b >0时，a >b ；当b <0时，a <b ”，主要适用于一些不方便作差(如无理式)或作差时计算量比较大的情况．运用作商比较法，一定要注意分母的符号对结论的影响，以避免作出错误的判断．2．运用不等式的基本性质解答不等式问题时，要注意不等式成立的前提条件，否则将会出现一些不必要的错误．比如要考虑性质4(乘法单调性)中所乘的数或整式的正负情况．3．判断不等式是否成立，一般可以采用以下三种最基本的方法：第一是利用不等式的基本性质加以判断，第二是利用函数的单调性进行推理，第三是结合特殊值法对命题加以否定后再作出正确的判断．二、不等式的解法 1．一元二次不等式的解法解一元二次不等式首先要将所给不等式标准化，然后看对应的方程是否有实根，能求出两实根的(包括两相等的实根)求出根，并由此去想不等式对应的二次函数的图像，根据图像在x 轴上方和下方的部分，求出不等式的解集，这也是数形结合思想的一种体现．2．含参数不等式的解法对于含参数不等式的求解，要注意按参数的取值情况进行分类讨论，分类时要做到不重、不漏．三、基本不等式的应用 1．a 2＋b 2≥2ab 和ab ≤a ＋b2时，是利用不等式的意义、性质及比较法推出的，因此，凡是用这两个不等式解答的问题，也都是由不等式的意义、性质及比较法来解决．2．在运用基本不等式求最值时，必须具备三个条件：(1)在所求最值的代数式中，各变数均应是正数(如不是，则需进行变号转换)； (2)各变数的和或积必须为常数，以确保不等式一边为定值，如不是，则要进行拆项或分解，务必使不等式一边的和或积为常数；(3)各变数有相等的可能，即相等时，变量字母有实数解，且在定义域内，如无，则需拆项、分解以使其满足上述条件或改用其他方法．这就是我们通常所说的“一正、二定、三相等”，即：一要考虑定理使用的条件(两数都为正)；二要考虑必须使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．四、简单的线性规划问题解线性规划问题的关键步骤是在图(可行域)上完成的，所以作图时应尽可能精确，图上操作要尽可能规范，但考虑到作图时必然会有误差，假如图上的最优点并不十分明显易辨时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一进行校验，以确定整点最优解．值得指出的是，线性规划问题的核心就是数形结合的思想，通过挖掘问题的几何意义，借助直观图形使问题巧妙获解．抓住了这一思想，就抓住了解决线性规划问题的关键．利用这一思想，对一些非线性约束条件下有关最优解的问题，我们也可以通过尝试运用图解的方法使其获得解决．这样，我们的学习就能取得更大的收益．已知a >0，a 2－2ab ＋c 2＝0，bc >a 2，试比较a ，b ，c 的大小．[解] 法一：由a 2－2ab ＋c 2＝0， 得b ＝a 2＋c 22a ，a 2＋c 2＝2ab .∵a >0，∴b >0.又bc >a 2>0，∴c >0.∵(a －c )2≥0，即a 2＋c 2－2ac ≥0，∴2ab －2ac ≥0. 即2a (b －c )≥0.∴b －c ≥0. 若b －c ＝0，即b ＝c ，则由a 2－2ab ＋c 2＝0，得a ＝b ＝c ，∴bc ＝a 2. 这与bc >a 2矛盾，∴b －c >0，即b >c . 由b ＝a 2＋c 22a 及bc >a 2，得a 2＋c 22a ·c >a 2.∴(a －c )(2a 2＋ac ＋c 2)<0.∵a >0，b >0，c >0，∴a －c <0，即a <c . ∴a <c <b .法二：由a 2＋c 2＝2ab >0，a >0，得b >0. 由b >0，bc >a 2得c >0.又2ab ＝a 2＋c 2≥2ac ，当且仅当a ＝c 时，取等号． ∴b ≥c .若b ＝c ，则a ＝b ＝c ，∴bc ＝a 2，这与bc >a 2矛盾． ∴b >c .由b >c ，bc >a 2，得b 2>bc >a 2，∴b >a . 又a 2＋c 2＝2ab >2a 2，∴c 2>a 2，∴c >a . 综上可知：b >c >a .两种解法均综合应用不等式的性质，不等式性质在比较大小和判断不等关系中的应用很广泛．1．设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是( ) A ．a ＋c >b ＋d B ．a －c >b －d C ．ac >bdD.a d >bc解析：选A ∵a >b ，c >d ∴a ＋c >b ＋d .2．如果a >0>b 且a ＋b >0，那么以下不等式正确的个数是( ) ①1a >1b ；②a 3b <ab 3；③a 3<ab 2；④a 2b <b 3. A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ∵a >0>b ，∴1a >0，1b <0，a －b >0，ab <0，∴1a >1b ，①正确． ∵a 3b －ab 3＝ab (a 2－b 2)＝ab (a －b )(a ＋b )<0， ∴a 3b <ab 3，故②正确．∵a 3－ab 2＝a (a ＋b )(a －b )>0，∴a 3>ab 2，故③不正确． ∵a 2b －b 3＝b (a ＋b )(a －b )<0，∴a 2b <b 3，故④正确． 故①②④正确，共3个．3．已知f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围． 解：∵f (x )＝ax 2－c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a －c ，f (2)＝4a －c ，∴⎩⎨⎧a ＝13[f (2)－f (1)]，c ＝13f (2)－43f (1).∴f (3)＝9a －c ＝83f (2)－53f (1)．又∵－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5， ∴53≤－53f (1)≤203①， ∴－83≤83f (2)≤403②.把①②的两边分别相加得－1≤83f (2)－53f (1)≤20，即－1≤f (3)≤20.解下列不等式：(1)x 2＋2x ＋3>0；(2)2x 2－3x ＋1x －2>0.[解] (1)因为Δ＝(2)2－4×3＝－8<0， 故原不等式的解集是R.(2)法一：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x ＋1>0，x －2>0，或⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x ＋1<0，x －2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >1，或x <12，x >2，或⎩⎪⎨⎪⎧12<x <1，x <2，即x >2，或12<x <1.故原不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2，或12<x <1. 法二：原不等式等价于(2x 2－3x ＋1)(x －2)>0，即(x －1)(2x －1)(x －2)>0. 利用穿根法，如图所示，得12<x <1，或x >2，故原不等式解集为⎝⎛⎭⎫12，1∪(2，＋∞)．1．解一元二次不等式的一般步骤是： (1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ＝b 2－4ac 的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根；若Δ<0，则对应的二次方程无根；(4)联系二次函数的图像得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集(在两根之内或两根之外)．2．分式不等式的解法3．穿针引线法(1)指导思想：分析对应函数的图像．(2)函数图像的画法：①整理：化为(x －x 1)(x －x 2)·…·(x －x n )>0(或x <0)的形式． ②标根：把f (x )＝(x －x 1)(x －x 2)·…·(x －x n )＝0的n 个根x i (i ＝1,2，…，n )标在数轴上． ③穿线：从右至左，从上而下依次穿过(奇穿偶不穿)． (3)解集求法：大于(小于)零的不等式的解，对应着曲线在x 轴上方(下方)部分的点的横坐标x 的取值集合．4．解不等式：x 2>2x －1. 解：原不等式化为x 2－2x ＋1>0.∵Δ＝0，∴方程x 2－2x ＋1＝0有两相等实根x 1＝x 2＝1. 函数y ＝x 2－2x ＋1的图像是开口向上的抛物线，如图所示． 观察图像可得，原不等式的解集为{x |x ≠1}． 5．解不等式：5x ＋1x ＋3<3.解：原不等式可化为5x ＋1x ＋3－3<0，即2x －8x ＋3<0，因为两个数的商与这两个数的积同号，所以2x －8x ＋3<0可以化为一元二次不等式(2x －8)(x＋3)<0，所以－3<x <4.所以，原不等式的解集为(－3,4)． 6．解不等式：x 2－4x ＋13x 2－7x ＋2<1.解：法一：(等价转化法)原不等式可化为2x 2－3x ＋13x 2－7x ＋2>0⇔(2x 2－3x ＋1)(3x 2－7x ＋2)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x ＋1>0，3x 2－7x ＋2>0 或⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x ＋1<0，3x 2－7x ＋2<0. 解得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或12<x <1或x >2. 法二：(穿根法)将原不等式移项，因式分解得 (2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)>0⇔(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)>0，在数轴上标出因式的根并画出示意图(如图)，可见原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或12<x <1或x >2.若a ，b ，c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值为( )A.3－1 B ．3＋1 C ．23＋2D ．23－2[解析] 若a ，b ，c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23， 所以a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝4－2 3.∵4－23＝a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝14(4a 2＋4ab ＋4ac ＋2bc ＋2bc )≤14(4a 2＋4ab ＋4ac ＋2bc ＋b 2＋c 2)，∴(23－2)2≤(2a ＋b ＋c )2，∴2a ＋b ＋c ≥23－2. [答案] D设x >－1，求f (x )＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最值．[解] 因为x >－1，所以x ＋1>0， 所以f (x )＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1＋5≥2(x ＋1)·4x ＋1＋5＝4＋5＝9.当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时取等号． 故当x ＝1时，f (x )有最小值9，无最大值．7．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则1a ＋4b 的最小值是( )A ．4B ．6C ．8D ．9解析：选D ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ·(a ＋b ) ＝5＋b a ＋4ab ≥5＋2b a ·4a b ＝9.当且仅当b a ＝4ab ，即b ＝2a 时等号成立． 此时a ＝13，b ＝23.8．设a >0，b >0且a ＋b ＝2，若不等式a 2＋b 2≥k 恒成立，则k 的最大值为________． 解析：∵a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝1，∴a 2＋b 2≥2(当且仅当a ＝b ＝1，取“＝”)，使不等式a 2＋b 2≥k 恒成立，则k ≤2. 答案：29．设x >y >z ，n ∈N ＋，且1x －y ＋1y －z ≥n x －z 恒成立，则n 的最大值为________．解析：原不等式可变形为n ≤(x －z )·⎝⎛⎭⎫1x －y ＋1y －z 令a ＝x －y ，b ＝y －z ，则a >0，b >0且x －z ＝a ＋b ，∴(x －z )·⎝⎛⎭⎫1x －y ＋1y －z ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b＝2＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥4，要使不等式n ≤(x －z )·⎝⎛⎭⎫1x －y ＋1y －z 恒成立，只需n ≤4. 答案：4已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤53，5 B ．[0,5] C.⎣⎡⎭⎫53，5D.⎣⎡⎭⎫－53，5 [解析] 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是－53，5.[答案] D设z ＝2y －x ，式中变量x 、y 满足下列条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥－1，3x ＋2y ≤23，y ≥1，则z 的最大值为________．[解析] 可行域如图所示由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝－13x ＋2y ＝23解得A (3,7)，∴z max ＝2×7－3＝11.[答案] 11求线性规化的最值问题不但要准确画出可行域，还要明确z 的几何意义．10．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1解析：选D 由线性约束条件可得其图像如图所示，由图像可知直线z ＝y －ax 经过AB 或AC 时取得最大值的最优解不唯一，此时a ＝2或a ＝－1.11．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋3≥0，0≤x ≤3，则z ＝2x －y 的最大值为________．解析：如图，作出可行域，z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z .由图可知直线y ＝2x －z 经过点A (3，－3)时，z 有最大值，最大值为z ＝9. 答案：9。
湘教版高中数学必修四知识点总结
解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：180°；180°—()；2、三角形三边关系：>c; <c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ．5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）) 7、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 8、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．9、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac+-B =，222cos 2a b c C ab +-=．10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >．题型之一：求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．1. 在ABC ∆中，3，2，10，则AB AC ⋅= ( ) A ．23-B ．32-C ．32D ．23 【答案】D4(2005年全国高考江苏卷) ABC ∆中，3π=A ，＝3，则ABC ∆的周长为（ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷) 在Δ中，已知66cos ,364==B AB ，边上的中线5，求的值．分析：本题关键是利用余弦定理，求出及，再由正弦定理，即得． 解：设E 为的中点，连接，则，且36221==AB DE ，设＝x 在Δ中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 2222⋅-+=，x x 6636223852⨯⨯++=，解得1=x ，37-=x （舍去） 故2，从而328cos 2222=⋅-+=B BC AB BC AB AC ，即321=AC 630sin =B ，故2sin A =1470sin =A 在△中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A 。
数学必修四知识点总结
数学必修四知识点总结数学必修四是高中阶段的数学课程，涵盖了许多重要的数学知识点。
下面是数学必修四的知识点总结：一、数列与数列的应用1. 等差数列：计算公式、前n项和公式、求通项公式2. 等差数列的应用：时间、距离、速度等问题的解决3. 等比数列：计算公式、前n项和公式、求通项公式4. 等比数列的应用：指数函数、利率、货币贬值等问题的解决5. 递推数列：利用递推关系求数列的通项公式二、函数与导数1. 函数及其图像：定义域、值域、奇偶性、单调性、极值等概念2. 基本初等函数：常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等3. 函数的运算与复合：加减乘除、复合函数、反函数4. 导数的概念：导数的定义、几何意义、基本性质5. 导数的计算与应用：实数函数的求导法则、函数的极值、函数的最值、曲线的切线与法线三、数与数的应用1. 平面向量：向量的概念、向量的加减、数量积与向量积2. 向量的应用：平面向量的共线、垂直、平行、面积等问题的解决3. 三角函数与解三角形：正弦定理、余弦定理、解三角形等问题的解决4. 几何向量与垂直关系：点、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系等四、概率与统计1. 概率基本概念：样本空间、事件、概率、事件的关系与运算2. 基本统计量：平均数、中位数、众数、方差、标准差等3. 组织数据：频数、频率、频率分布表、直方图、折线图、条形图等4. 概率与统计的应用：事件的发生概率、数据的整理与分析、随机事件的概率计算五、数学证明1. 数学归纳法：基本思想、使用方法、证明过程的简化2. 数学论证：证明方法的选择、严密性与逻辑性的要求3. 数学应用问题的证明：几何问题、数列问题、函数问题的证明总结起来，数学必修四的主要知识点包括数列与数列的应用、函数与导数、数与数的应用、概率与统计、数学证明等。
通过学习这些知识点，可以提升数学思维能力和解决实际问题的能力。
(完整版)高中数学必修4知识总结(完整版),推荐文档
高中数学必修四知识点总结正角：按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角.第一象限角的集合为第二象限角的集合为k 360o90o k 360o 180o,k第三象限角的集合为k 360o o180 k 360o270o,k第四象限角的集合为k 360o270o k 360o360o,k终边在X轴上的角的集合为180o, k终边在y轴上的角的集合为180o 90o,k终边在坐标轴上的角的集合为k 90o,k3、与角终边相同的角的集合为k 360o4、已知是第几象限角，确定一n 半轴的上方起，依次将各区域标上-所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正三、四，则原来是第几象限对应的标号即为一终边n所落在的区域.5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.6半径为r的圆的圆心角所对弧的长为I，则角的弧度数的绝对值是7、弧度制与角度制的换算公式：2360o，1o180，1o型57.3。
.8、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为I，周长为C，面积为S，，C 2r I，9、(一)设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:(1) y叫做的正弦,记做sin ,即sin y ； (2) x叫做的余弦，记做cos ,即cos x ； (3) $叫做的正切，记做tan ,即xtan —(x 0) ox设是一个任意大小的角, 的终边上任意一点的坐标是x, y ,它与原点的距离是k 360o k 360o 90o,k的图象；再将函数y sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数y sin x 的图象0, 0 .（二）函数y sinx 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 丄倍（纵坐标不变），得到函 数y sinx 的图象；再将函数y sin x 的图象上所有点向左（右）平移 一个单位长度（＞0是 左移；＜0是右移）；得到函数y sin x 的图象；再将函数y sin x 的图象上所有点的 纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（横坐标不变），得到函数y sin x 的图象 0, 0 .一 2 1①振幅;②周期：一；③频率：f —;④相位：x ;⑤初相：10、 三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象 限余弦为正. 11、 三角函数线：sin ， cos 12、 同角三角函数的基本关系式： 1 sin 1 2 cos 2 1 sin 2 1 cos 2 ,tan ,cos 2 1 sin 2 2 竺 tan sin tan cos cos ,cossin tan 1 sin 2k si n ，cos 2k cos ， tan 2k tan k2 sin si n ，cos cos ，tantan3 sinsin ， cosco s，tantan- 4 sinsin ，coscos ， tantan口诀：函数名称不变， 付号看象限.5 sin — co s，cos —sin6 sin _ c os22213、三角函数的诱导公式: cos 一2sin口诀：函数名改变，符号看象限. 14、图像变换的两种方式： （一）函数y sin x 的图象上所有点向左（右）平移 （＞0是左移； ＜0是右移）；再将函数y sin x 个单位长度, 得到函数y sin x 的图象 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原函数y sin x0, 0的性质:2 函数y sin x，当x 为时，取得最小值为丫皿山；当x x ?时，取得最大值为y max ，则ymaxymin，ymaxymin ， x 2 % %X215、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:函ii图象y31/1\ ：L22 BJf3 鼻o1寻定义域值域最值周期 奇偶性单调性R 1,1 当x 2k k2 y max1 ；当 x 2k2k 时，y min2 奇函数 在 2k—,2kR 1,1 当x 2k k 时，y max 1 ；当 x 2kk 时，y min 1 • 2偶函数在 2k ,2k k 增函数；在2k ,2 k k上是减函数.上是x x k —, k2R既无最大值也无最小值奇函数在k , k2 2k上是增函数.数性质y sin xy cosx y tanx对称中心k ,0 k对称中心k ,0 k对称性对称轴x k k22对称轴x k k 对称中心—,0 k2无对称轴函数y A sin( x )为奇函数的条件为k ,k Z 16.三角函数奇偶性规律总结(A 0, 0 )规定：零向量与任一向量平行.18、向量加法：⑴三角形法则的特点：首尾相连.⑵平行四边形法则的特点：共起点.19、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向减向量的终点指向被减向量终点.（见上图）（2）坐标运算：设 a x 1,y , ， b x 2,y 2 ，贝U ab x 1 x 2,y 1 y 2 .uuur设、两点的坐标分别为 为，％ , x 2, y 2，贝Ux 1 x 2, y 1y 2 20、向量数乘运算： ⑴实数 与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a .21向量共线条件：（1）向量a a 0与b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使& a .函数y Asin( x）为偶函数的条件为 k,k 2 Z 函数 y Acos( x ）为奇函数的条件为 k —,k 2Z . 函数 y Acos( x ）为偶函数的条件为 k ,k Z函数y Ata n( x）为奇函数的条件为k 2-,k Z 它不可能是偶函数.17. 向量:既有大小， 又有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度. 零向量：长度为0的向量.单位向量：长度等于1个单位的向量.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量.相等向量：长度相等且方向相同的向量. 相反向量：长度相等且 方向相反的向量.⑷运算性质：①交换律：5bb②结合律：a b c a b c ； r a；r r r r r ③ a 0 0 a a .r r umr uuu uuura b CC⑸坐标运算：设ay1ra则y2X2①| a \ ||a ;②当o 时，a 的方向与a 的方向相同；当o 时，a 的方向与a 的方向相反; rr当 0时，a 0 . 0a = 0 ⑵运算律： ③ a b a b .⑶坐标运算：设a①r aa ；② a r a r a；x,y，则a x, yx, y .r LT a 0则a -表示与a 同方向的单位向量ar rx 2,y 2，其中b 0 ,则当且仅当x 1y 2 x 2y 1 0时，向量a 、 ,甘 LULT ULLT —「八、 ULUT ULULT十 LUUT UULT 亠一如图，OA 、OB 不共线，且AP t AB (t R),用OAOB 表示 UULTUULT UULTUUUTUULT UUUTUULTOPOA=t( OB OA),贝U OP=(1-t) OA tOB结论：已知0、A B 三点不共线， 若点P 在直线AB 上，则UULTUULT UULT OP mOA nOB,且 m n 1.IT UU22、平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任rr UT UTUT UU意向量a ，有且只有一对实数1> 2，使a 1e （2e 2 .（不共线的向量q 、e 2叫做这一平面内所有向量的一组基底）UT UULT UU UT UU小结论：（1）若e 、e 2是同一平面内的两个不共线向量，xq ye 2 mqnq,则x=m ，y=nUT UU IT UU IT（2）若e 、e 2是同一平面内的两个不共线向量，xe 1 ye 2 0则x=y=0luuluir 23、 分点坐标公式：设点是线段1 2上的一点，1、2的坐标分别是为，％ ， x 2, y 2 ，当1 2时，可推出点 的坐标是 冬空,上 上.（会写出向量坐标，会运算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：，，；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)7、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．8、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-．9、余弦定理的推论：，，．10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >．题型之一：求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．1. 在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅= ( ) A ．23- B ．32- C ．32 D ．23 【答案】D4(2005年全国高考江苏卷) ABC ∆中，，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ）A ．B ．C ．D ．分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．选(D)．5 （2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值． 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ．解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 2222⋅-+=，x x 6636223852⨯⨯++=，解得1=x ，（舍去） 故BC =2，从而328cos 2222=⋅-+=B BC AB BC AB AC ，即又， 故，在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A 。
答案：000018030B A A A ><<=∴，且，∴题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．1. (2005年北京春季高考题)在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形解法1：由C B A sin cos sin 2=＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，得sin(A －B )＝0，得A ＝B ．故选(B)．解法2：由题意，得cos B ＝，再由余弦定理，得cos B ＝． ∴ ＝2c a ，即a 2＝b 2，得a ＝b ，故选(B)． 评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)．2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2sin A cos B ＝sin （A ＋B ）＋sin （A －B ）又∵2sin A cos B ＝sin C ，∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B3.在△ABC 中，若a b A B 22=tan tan ，试判断△ABC 的形状。
答案：故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。
4. 在△ABC 中，αβcos cos A b =，判断△ABC 的形状。
答案：△ABC 为等腰三角形或直角三角形。
题型之三：解决及面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．1. (2005年全国高考上海卷) 在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝_________2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，AB =3，求A tan 的值和∆ABC的面积。
答案：S AC AB A ABC ∆=⨯=⨯⨯⨯+=+1212232643426sin () 3. （07浙江理18）已知ABC △的周长为1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为，求角C 的度数．解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=，BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =，得，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==， 所以60C =．题型之四：三角形中求值问题1. (2005年全国高考天津卷) 在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件222a bc c b =-+和，求A ∠和B tan 的值．分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．解：由余弦定理212cos 222=-+=bc a c b A ，因此，︒=∠60A 在△ABC 中，∠C=180°－∠A －∠B=120°－∠B.由已知条件，应用正弦定理B B B C b c sin )120sin(sin sin 321-︒===+ ,21cot 23sin sin 120cos cos 120sin +=︒-︒=B B B B 解得,2cot =B 从而 2．ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。
解析：由A+B+C=π，得B+C 2=π2 －A 2，所以有cos B+C 2 =sin A 2。
cosA+2cos B+C 2 =cosA+2sin A 2 =1－2sin 2A 2 + 2sin A 2=－2(sin A 2－ 12)2+ 32； 当sin A 2 = 12，即A=π3 时, cosA+2cos B+C 2取得最大值为32。
3．在锐角ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知，（1）求的值；（2）若2a =，2ABC S =△，求b 的值。
解析：（1）因为锐角△ABC 中，A ＋B ＋C ＝，，所以cosA ＝13， 则22222B Csin B C A A 2tan sin sin B C 222cos 21cos B C 11cos A 171cos A 1cos B C 21cosA 33＋＋＋＝＋＋－（＋）＋＝＋（－）＝＋＝＋（＋）－ （2）ABC ABC 1122S 2S bcsin A bc 22因为＝，又＝＝bc ＝3。
将a ＝2，cosA ＝13，c ＝3b代入余弦定理：222a b c 2bccos A ＝＋－中， 得42b 6b 90－＋＝解得b 3 点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。
4．在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，． （Ⅰ）若ABC △3，求a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分． 解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=，又因为ABC △4ab =． ····· 4分 联立方程组解得2a =，2b =． ············· 6分 （Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =， ··············· 8分 当cos 0A =时，，，，，当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立方程组解得，．所以ABC △的面积． ················ 12分 题型之五：正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一.）测量问题1. 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。
分析：求河的宽度，就是求△ABC 在AB 边上的高，而在河的图1 A B CD一边，已测出AB 长、∠CAB、∠CBA，这个三角形可确定。