专题19 几何探究型问题

专题19 几何探究型问题

1．（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果DE上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称DE为△ABC的中内弧．例如，图1中DE是△ABC的一条中内弧．

（1）如图2，在Rt△ABC中，AB=AC22

=D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧DE，并直接写出此时DE的长；

（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t>0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．

①若t

1

2

=，求△ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；

②若在△ABC中存在一条中内弧DE，使得DE所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．

【解析】（1）如图2，以DE为直径的半圆弧DE，就是△ABC的最长的中内弧DE，连接DE，

∵∠A=90°，AB=AC22

=D，E分别是AB，AC的中点，

∴BC

22

sin sin45

AC

B

===

︒

4，DE

1

2

=BC

1

2

=⨯4=2，

∴弧

1

2

DE=⨯2π=π．

（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，

①当t

1

2

=时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（

1

2

，1），

设P（1

2

，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，

∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠ACO=45°，

∵DE∥OC，

∴∠AED=∠ACO=45°，

作EG⊥AC交直线FP于G，FG=EF

1

2 =，

根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求，

∴m

1

2≤，

综上所述，m

1

2

≤或m≥1．

②如图4，设圆心P在AC上，

∵P在DE中垂线上，

∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM

3

2 =，

∴P（t，3

2），

∵DE∥BC，

∴∠ADE =∠AOB =90°， ∴AE 222221(2)41AD DE t t =

+=+=+

∵PD =PE ， ∴∠AED =∠PDE ，

∵∠AED +∠DAE =∠PDE +∠ADP =90°， ∴∠DAE =∠ADP ， ∴AP =PD =PE 1

2

=

AE ， 由三角形中内弧定义知，PD ≤PM ， ∴

12AE 3

2

≤，AE ≤3241t +≤3，解得：t 2≤ ∵t >0， ∴0

【名师点睛】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．

2．（2019•天津）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （6，0），点B 在y 轴的正半轴上，∠ABO =30°．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在OA ，AB ，OB 上，OD =2． （Ⅰ）如图①，求点E 的坐标；

（Ⅱ）将矩形CODE 沿x 轴向右平移，得到矩形C ′O ′D ′E ′，点C ，O ，D ，E 的对应点分别为C ′，O ′，D ′，E ′．设OO ′=t ，矩形C ′O ′D ′E ′与△ABO 重叠部分的面积为S ．

①如图②，当矩形C ′O ′D ′E ′与△ABO 重叠部分为五边形时，C ′E ′，E ′D ′分别与AB 相交于点M ，F ，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围；

3≤S 3t 的取值范围（直接写出结果即可）．

【解析】（Ⅰ）∵点A （6，0），

∴OA =6， ∵OD =2，

∴AD =OA -OD =6-2=4， ∵四边形CODE 是矩形， ∴DE ∥OC ，

∴∠AED =∠ABO =30°，

在Rt △AED 中，AE =2AD =8，ED 222284AE AD =-=-=3

∵OD =2，

∴点E 的坐标为（2，3．

（Ⅱ）①由平移的性质得：O ′D ′=2，E ′D 3ME ′=OO ′=t ，D ′E ′∥O ′C ′∥OB ， ∴∠E ′FM =∠ABO =30°，

∴在Rt △MFE ′中，MF =2ME ′=2t ，FE ′2222'(2)3MF ME t t -=-=，

∴S △MFE ′12=ME ′·FE ′12=⨯t 3⨯23t =，

∵S 矩形C ′O ′D ′E ′=O ′D ′·E ′D 3=3

∴S =S 矩形C ′O ′D ′E ′-S △MFE ′2

332

t ，

∴S 3=t 2

3t 的取值范围是：0

O 'A =OA -OO '=6-t ，

∵∠AO 'F =90°，∠AFO '=∠ABO =30°，

∴O 'F 3='A 3=6-t ）， ∴S 1

2

=

（6-t ）3⨯（6-t ）3= 解得：t =62-，或t =62+（舍去）， ∴t =62-S 3

O 'A =6-t ，D 'A =6-t -2=4-t ，

∴O 'G 3=6-t ），D 'F 3=4-t ），

∴S 1

2

=

36-t ）3+4-t ）3 解得：t 5

2

=，

3≤S 3t 的取值范围为5

2

≤t ≤62-．

【名师点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质时是解题的关键． 3．（2019•陕西）问题提出：

（1）如图1，已知△ABC ，试确定一点D ，使得以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形； 问题探究：

（2）如图2，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC ，且使 ∠BPC =90°，求满足条件的点P 到点A 的距离； 问题解决：

（3）如图3，有一座塔A ，按规定，要以塔A 为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE ．根据实际情况，要求顶点B 是定点，点B 到塔A 的距离为50米，∠CBE =120°，那么，是