选修2-2合情推理课时作业
高中数学 课时跟踪检测(十二)合情推理(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试
课时跟踪检测（十二） 合情推理一、题组对点训练对点练一 数(式)中的归纳推理1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，且a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n等于( )A ．2(n ＋1)2B ．2n (n ＋1)C ．22n －1D ．22n －1解析：选B 由a 1＝1，S 2＝22·a 2＝a 1＋a 2得a 2＝13，由a 1＋a 2＋a 3＝9×a 3得a 3＝16，由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝42·a 4得a 4＝110，…，猜想a n ＝2n (n ＋1)，故选B.2．将正整数排列如下图： 12 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 …则2 018出现在 A ．第44行第81列 B ．第45行第81列 C ．第44行第82列D ．第45行第82列解析：选D 由题意可知第n 行有2n －1个数，则前n 行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，因为442＝1 936，452＝2 025，且1 936<2 018<2 025，所以2 018在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2018－1 936＝82，故2 018在第45行第82列，选D.3．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般结论是( )A ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝n 2B ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2C ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝n 2D ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝(2n －1)2解析：选B 观察各等式的构成规律可以发现，各等式的左边是2n －1(n ∈N *)项的和，其首项为n ，右边是项数的平方，故第n 个等式首项为n ，共有2n －1项，右边是(2n －1)2，即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，故选B.4．设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳出一个一般结论，并给出证明．解：f(0)＋f(1)＝130＋3＋13＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33.同理f(－1)＋f(2)＝33，f(－2)＋f(3)＝33.由此猜想：当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝33.证明：设x1＋x2＝1，则f(x1)＋f(x2)＝13x1＋3＋13x2＋3＝3x1＋3x2＋233x1＋x2＋3(3x1＋3x2)＋3＝3x1＋3x2＋233(3x1＋3x2)＋2×3＝3x1＋3x2＋233(3x1＋3x2＋23)＝33.故猜想成立．对点练二归纳推理在几何中的应用5．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大解析：选A 由图，知三白二黑周期性排列，36＝5×7＋1，故第36颗珠子的颜色为白色．6．如图所示，第n个图形是由正n＋2边形拓展而来(n＝1,2，…)，则第n－2个图形共有________个顶点．解析：第一个图有3＋3×3＝4×3个顶点；第二个图有4＋4×4＝5×4个顶点；第三个图有5＋5×5＝6×5个顶点；第四个图有6＋6×6＝7×6个顶点；……；第n 个图有(n ＋3)×(n ＋2)个顶点． 第n －2个图有(n ＋1)×n ＝(n 2＋n )个顶点． 答案：n 2＋n7．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮. 现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值． 解：(1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4，…由上面规律，得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ⇒f (n ＋1)＝f (n )＋4n ⇒f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n .所以1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n .对点练三 类比推理8．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，且b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：选D 等比数列中的积(乘方)类比等差数列中的和(积)，得a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9. 9．在平面中，△ABC 的∠ACB 的平分线CE 分△ABC 面积所成的比S △AEC S △BEC ＝ACBC，将这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD 中，平面DEC 平分二面角A CD B 且与AB 交于E ，则类比的结论为________．解析：平面中的面积类比到空间为体积，故S △AEC S △BEC 类比成V A CDEV B CDE.平面中的线段长类比到空间为面积，故ACBC 类比成S △ACD S △BDC .故有V A CDE V B CDE ＝S △ACDS △BDC. 答案：V A CDE V B CDE ＝S △ACDS △BDC10．在矩形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明．解：如图①，在矩形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1，证明如下：如图②，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.二、综合过关训练1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 018的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．49解析：选D 因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401，75＝16 807,76＝117 649，…， 所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T ＝4.又2 018＝4×504＋2， 所以72 018的末两位数字与72的末两位数字相同，为49.2．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *B 依次对应下列4个图形：那么下列4个图形中，可以表示A *D ，A *C 的分别是( ) A ．(1)，(2) B ．(1)，(3) C ．(2)，(4)D ．(1)，(4)解析：选C 由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A 代表竖线，字母B 代表大矩形，字母C 代表横线，字母D 代表小矩形，∴A *D 是(2)，A *C 是(4)．3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 378解析：选C 记三角形数构成的数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝3＝1＋2，a 3＝6＝1＋2＋3，a 4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.同理可得正方形数构成的数列的通项公式为b n ＝n 2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有1 225.4．将正偶数2,4,6,8，…按下表的方式进行排列，记a ij 表示第i 行和第j 列的数，若a ij＝2 018，则i ＋j 的值为( )第1 列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行2 4 6 8 第2行 1614 12 10 第3行18 20 22 24 第4行 3230 28 26 第5行34 36 38 40 ………………A ．257B ．256C ．255D ．254解析：选C 由表所反映的信息来看，第n 行的最大偶数为S n ＝8n (n ∈N *)，则8(i －1)<2 018≤8i ，由于i ∈N *，解得i ＝253；另一方面，奇数行的最大数位于第5列，偶数行的最大数位于第1列，第252行最大数为8×252＝2 016，此数位于第252行第1列，因此2 018位于第253行第2列，所以i ＝253，j ＝2，故i ＋j ＝253＋2＝255，故选C.5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列． 解析：等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 答案：T 8T 4T 12T 86．如图(1)，在三角形ABC 中，AB ⊥AC ，若AD ⊥BC ，则AB 2＝BD ·BC .若类比该命题，如图(2)，三棱锥A BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有什么结论？命题是不是真命题．解：命题是：三棱锥A BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有S 2△ABC ＝S △BCM ·S △BCD .此命题是一个真命题．证明如下：在图(2)中，延长DM 交BC 于E ，连接AE ，则有DE ⊥BC . 因为AD ⊥平面ABC ， 所以AD ⊥AE .又AM ⊥DE ，所以AE 2＝EM ·ED .于是S 2△ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·EM ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·ED ＝S △BCM ·S △BCD .7．如图所示为m 行m ＋1列的士兵方阵(m ∈N *，m ≥2)．(1)写出一个数列，用它表示当m 分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数； (2)若把(1)中的数列记为{a n }，归纳该数列的通项公式； (3)求a 10，并说明a 10表示的实际意义； (4)已知a n ＝9 900，问a n 是数列第几项？解：(1)当m ＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m ＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….(2)因为a 1＝2×3，a 2＝3×4，a 3＝4×5，…，所以猜想a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，n ∈N *. (3)a 10＝11×12＝132.a 10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n ＋1)(n ＋2)＝9 900，所以n ＝98，即a n 是数列的第98项，此时方阵为99行100列．。
【人教A版高中数学复习精练及解析】选修2-2 第二章 2.1.1 合情推理 复习练习
选修2-2 第二章 2.1.1 合情推理 复习练习[A 基础达标]1．观察数列1，5，14，30，x ，…，则x 的值为( ) A ．22 B ．33 C ．44D ．552．如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为( )3．把下列在平面内成立的结论类比到空间，结论不成立的是( ) A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交 B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直 C ．如果两条直线与第三条直线都不相交，则这两条直线不相交 D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行4．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…. 按照以上规律，若88n ＝88n具有“穿墙术”，则n ＝( ) A ．7 B ．35 C ．48D ．635. 如图，椭圆的中心在坐标原点，F 为其左焦点，当FB →⊥AB →时，椭圆的离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可得“黄金双曲线”的离心率为( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋16．在平面直角坐标系xOy 中，二元一次方程Ax ＋By ＝0(A ，B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地，在空间直角坐标系Oxyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示________．7．观察下列等式： 1＋1＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， …照此规律，第n 个等式可为________________________．8．根据图(1)的面积关系：S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′PA ·PB ′PB ，可猜想图(2)有体积关系：V P A ′B ′C ′V P ABC＝________．9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n .10．在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也是等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明．[B能力提升]11．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为()135791113151719212325272931…A．809 B．853C．785 D．89312．如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝22，过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，以此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________．13．如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N*，m≥2)．(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2，3，4，5，…时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为{a n}，①归纳猜想该数列的通项公式；②求a10，并说明a10表示的实际意义；③若a m＝9 900，求a m是数列{a n}的第几项，此时的方阵为几行几列．14．(选做题)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin2 13°＋cos2 17°－sin 13°cos 17°；②sin2 15°＋cos2 15°－sin 15°cos 15°；③sin2 18°＋cos2 12°－sin 18°cos 12°；④sin2 (－18°)＋cos2 48°－sin (－18°)cos 48°；⑤sin2 (－25°)＋cos2 55°－sin (－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．选修2-2 第二章 2．1.1 合情推理 复习练习[A 基础达标]1．解析：选D.观察归纳得出，从第2项起，每一项都等于它的前一项与它本身项数的平方的和，即a n ＝a n －1＋n 2，所以x ＝30＋52＝55. 2．解析：选 A.观察题图中每一行、每一列的规律，从形状和颜色入手，每一行、每一列中三种图形都有，故填长方形；又每一行、每一列中的图形的颜色应有二黑一白，故选A.3．解析：选D.类比A 的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．类比B 的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立． 类比C 的结论为：如果两个平面与第三个平面都不相交，则这两个平面不相交，成立． 类比D 的结论为：如果两个平面同时与第三个平面垂直，则这两个平面平行，不成立． 4． 解析：选D.223＝2222－1＝223，338＝3 332－1＝338，4415＝4442－1＝4415，5524＝5 552－1＝5524，…，按照以上规律可得n ＝82－1＝63. 5.解析：选A.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F (－c ，0)，B (0，b )，A (a ，0)，则FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )．因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝－ac ＋b 2＝0.又b 2＝c 2－a 2，所以c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0，解得e ＝1±52.又e >1，所以e ＝1＋52.故选A. 6．解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系Oxyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示过原点的平面．答案：过原点的平面 7．解析：观察规律可知，左边为n 项的积，最小项和最大项依次为(n ＋1)，(n ＋n )，右边为连续奇数之积乘以2n ，则第n 个等式为：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)．答案：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1) 8．解析：题干两图中，与△PAB ，△PA ′B ′相对应的是三棱锥P -ABC ，P A ′B ′C ′；与△PA ′B ′两边PA ′，PB ′相对应的是三棱锥P -A ′B ′C ′的三条侧棱PA ′，PB ′，PC ′.与△PAB 的两条边PA ，PB 相对应的是三棱锥P -ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC .由此，类比题图(1)的面积关系，得到题图(2)的体积关系为V P A ′B ′C ′V P ABC＝PA ′PA ·PB ′PB ·PC ′PC . 答案：PA ′PA ·PB ′PB ·PC ′PC9．解：因为S n ＝n 2·a n (n ≥2)，a 1＝1， 所以S 2＝4·a 2＝a 1＋a 2，a 2＝13＝23×2.S 3＝9a 3＝a 1＋a 2＋a 3，a 3＝a 1＋a 28＝16＝24×3. S 4＝16a 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4，a 4＝a 1＋a 2＋a 315＝110＝25×4.所以猜想a n ＝2n （n ＋1）. 10．解：结论：S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列且公差为300.此结论是正确的，证明如下： 因为数列{a n }的公差d ＝3.所以(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝＝100d ＝300.同理：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列且公差为300.[B 能力提升]11．解析：选A.前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.12．解析：根据题意易得a 1＝2，a 2＝2，a 3＝1， 所以{a n }构成以a 1＝2，q ＝22的等比数列， 所以a 7＝a 1q 6＝2×⎝⎛⎭⎫226＝14.答案：1413．解：(1)当m ＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，同理可以得到当m ＝3，4，5，…时的士兵人数分别为12，20，30，…，故所求数列为6，12，20，30，….(2)①因为a 1＝2×3，a 2＝3×4，a 3＝4×5，…， 所以猜想a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，n ∈N *. ②a 10＝11×12＝132.a 10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.③令(m ＋1)(m ＋2)＝9 900，所以m ＝98，即a m 是数列{a n }的第98项，此时的方阵为99行100列． 14．解：(1)选择②式，计算如下：sin 2 15°＋cos 2 15°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2 α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2 α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2 α＋(cos 30°cos α＋sin 30° sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2 α＋34cos 2 α＋32sin αcos α＋14sin 2 α－32sin αcos α－12sin 2 α＝sin 2 α＋34cos 2 α－14sin 2 α ＝34sin 2 α＋34cos 2 α＝34.。
高中数学 2.1《合情推理与演绎推理》测试(1) 新人教B版选修2-2
合情推理与演绎推理一、归纳推理 例1．（1）观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？变式1.设平面内有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f ．（用n 表示）变式2.在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将圆分割成7部分.那么 (1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?(2)猜想:圆内两两相交的n (n ≥2)条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?强化训练1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 .2.由107＞85,119＞108,2513＞219,…若a ＞b ＞0,m ＞0，则m a m b ++与a b 之间的大小关系为 .3.下列推理是归纳推理的是 （填序号）.①A ，B 为定点，动点P 满足|PA |+|PB |=2a ＞|AB |，得P 的轨迹为椭圆 ②由a 1=1，a n =3n -1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式 ③由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2，猜想出椭圆2222b y a x +=1的面积S =πab④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第60个数对是 .二、类比推理（一）数列中的类比例1.在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式n a a a +⋅⋅⋅++21),19(1921+-∈<+⋅⋅⋅++=N n n a a a n 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有等式 成立.强化练习1.定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
【人教B版】选修2-2：2.1.1《合情推理》课时作业及答案
【成才之路】高中数学 第2章 2.1第1课时 合情推理课时作业 新人教B 版选修2-2一、选择题1．下面使用类比推理正确的是( )A ．“若a ·4＝b ·4，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)” D ．“(ab )n＝a n b n”类比推出“(a ＋b )n＝a n＋b n” [答案] C2．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 20＝( ) A ．0 B ．－ 3 C. 3 D ．32[答案] B[解析] ∵a 1＝0，∴a 2＝－3，a 3＝－3－3－2＝3，a 4＝0，…，由此可以看出周期为3，∴a 20＝a 3×6＋2＝a 2＝－ 3.3．下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°.A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．②④[答案] C[解析] ①是合情推理中的类比法，排除D ；②是归纳推理，排除B ；④是归纳推理．故选C.4．已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝2a n －1＋1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n的一个表达式是( )A．n2－1 B．(n－1)2＋1C．2n－1 D．2n－1＋1[答案] C[解析]a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想a n＝2n－1，故选C.5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( ) A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)[答案] D[解析]本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的考查．6．我们把4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如下图)，则第n－1个正方形数是( )A．n(n－1) B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2[答案] C[解析]第n－1个正方形数的数目点子可排成n行n列，即每边n个点子的正方形，∴点数为n2.故选C.7．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( )1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111…A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113[答案] B[解析]由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1111111.8.观察图所示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. B．△C. D ．○[答案] A[解析] 由每行或每列均有2个黑色图形知，本题选A. 二、填空题9．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为________． [答案] A[解析] 利用逻辑推理的知识求解．由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A .10．对于等差数列{a n }有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1＝0，s 、t 是互不相等的正整数，则有(s －1)a t －(t －1)a s ＝0”．类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题是________．[答案] 若{b n }是等比数列，b 1＝1，s 、t 是互不相等的正整数，则有b s －1tb t －1s＝1[解析] 这是一个从等差数列到等比数列的平行类比，等差数列中的加、减、乘、除类比到等比数列经常是乘、除、乘方、开方，类比方法的关键在于善于发现不同对象之间的“相似”，“相似”是类比的基础．∴b s －1t b t －1s ＝b 1·q t －1s －1b 1·q s －1t －1＝1.11．观察下列等式： (1＋1)＝2×1；(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5； ……照此规律，第n 个等式可为______________________． [答案] (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)[解析] 观察规律，等号左侧第n 个等式共有n 项相乘，从n ＋1到n ＋n ，等式右端是2n与等差数列{2n －1}前n 项的乘积，故第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)．三、解答题12．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，有如下的性质： (1)通项a n ＝a m ＋(n －m )·d (n >m ，n ，m ∈N *)(2)若m ＋n ＝p ＋q ，其中，m 、n 、p 、q ∈N *，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (3)若m ＋n ＝2p ，m ，n ，p ∈N *，则a m ＋a n ＝2a p . (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质． [解析] 等比数列{b n }中，设公比为q ，前n 项和为S n . (1)a n ＝a m ·qn －m(n >m ，n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *， 则a m ·a n ＝a p ·a q .(3)若m ＋n ＝2p ，其中，m ，n ，p ∈N *，则a 2p ＝a m ·a n . (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n (各项均不为零)构成等比数列．一、选择题1．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，则猜想a n ＝( )A ．2cos θ2nB ．2cos θ2n －1 C ．2cos θ2n ＋1D ．2sin θ2n[答案] B[解析] ∵a 1＝2cos θ，a 2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cos θ2，a 3＝2＋2a 2＝21＋cos θ22＝2cos θ4……，猜想a n ＝2cos θ2n －1.故选B.2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等． A ．① B ．①② C ．①②③ D ．③[答案] C[解析] 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．故选C.3．把3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第六个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30[答案] B[解析] 观察归纳可知第n －1个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋12个，∴第六个三角形数为7×7＋12＝28.故选B. 4．(2015·甘肃省会宁一中高二期中)如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率为( )A.5＋12B ．5－12C.5＋1 D ．5－1[答案] A[解析] 类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，|OA |＝a ，|OB |＝b ，|OF |＝c ， 当FB →⊥AB →时，|BF |2＋|AB |2＝|AF |2， ∴b 2＋c 2＋c 2＝a 2＋c 2＋2ac ， ∵b 2＝c 2－a 2，整理得c 2＝a 2＋ac ， ∴e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12，或e ＝－5＋12(舍去)． 故黄金双曲线的离心率e ＝5＋12. 二、填空题5．在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为________．[答案] 18[解析] V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.6．(2015·陕西文，16)观察下列等式 1－12＝121－12＋13－14＝13＋141－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16 ……据此规律，第n 个等式可为_________________________________． [答案] 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n[解析] 观察等式知：第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数，等式的右边是 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n.故答案为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n三、解答题7．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有怎样的不等式成立？[解析] 根据已知特殊的数值：9π、162π、253π，…，总结归纳出一般性的规律：n2n －2π(n ≥3且n ∈N *)．∴在n 边形A 1A 2…A n 中：1A 1＋1A 2＋…＋1A n≥n 2n －2π(n ≥3且n ∈N *)．8．已知等式sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34，sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明结论的正确性．[解析] 等式为sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝sin 2α＋1＋cos 60°＋2a2＋sin α(cos30°·cos α－sin30°·sin α)＝12＋sin 2α＋cos60°＋2α2＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋12(12cos2α－32sin2α)＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋14cos2α－34sin2α＋34sin2α－12sin 2α＝12＋12sin 2α＋14(1－2sin 2α)＝34.。
人教版新课标A版高中选修2-2数学2.1合情推理与演绎推理同步练习A卷
人教版新课标A版选修2-2数学2.1合情推理与演绎推理同步练习A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）下列命题中正确的是（）A . 类比推理是一般到特殊的推理B . 演绎推理的结论一定是正确的C . 合情推理的结论一定是正确的D . 演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定是正确的2. （2分）下图是某光缆的结构图,其中数字为某段的最大信息量,则从M到N的最大信息量为（）A . 6B . 7C . 12D . 213. （2分） (2016高二上·衡阳期中) 在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：①对任意a∈R，a*0=a；②对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．则函数f（x）=（ex）* 的最小值为（）A . 2B . 3C . 6D . 84. （2分）我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值a，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（）A . aB . aC . aD . a5. （2分）观察下列各式：，则的末四位数为（）A . 3125B . 5624C . 0625D . 81256. （2分）北京市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策，每辆机动车周一到周五都要限行一天，周末不限行．某公司有A、B、C、D、E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知：E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A、C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路．由此可知，下列推测一定正确的是（）A . 今天是周六B . 今天是周四C . A车周三限行D . C车周五限行7. （2分）根据下边给出的数塔猜测1234569+8=（）19+2=11129+3=1111239+4=111112349+5=11111A . 1111110B . 1111111C . 1111112D . 11111138. （2分） (2016高二下·钦州期末) “因为偶函数的图象关于y轴对称，而函数f（x）=x2+x是偶函数，所以f（x）=x2+x的图象关于y轴对称”，在上述演绎推理中，所得结论错误的原因是（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 大前提与推理形式都错误9. （2分）下面说法正确的有（）（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。
高中数学2.1.1合情推理课时作业(含解析)新人教A版选修22
高中数学2.1.1合情推理课时作业（含解析）新人教A版选修22知识点一归纳推理1.观察下列不等式：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，……照此规律，第五个不等式为( )A．1＋122＋132＋142＋152＜95B．1＋122＋132＋142＋152＜116C．1＋122＋132＋142＋152＋162＜95D．1＋122＋132＋142＋152＋162＜116答案 D解析观察每行不等式的特点，知第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.2．如图所示，图1是棱长为1的小正方体，图2、图3是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，……，第n层，第n层的小正方体的个数记为S n.解答下列问题：(1)按照要求填表：n 1234…S n136…(2)S10＝________答案(1)10 (2)55解析 S 1＝1，S 2＝3＝1＋2，S 3＝6＝1＋2＋3， 推测S 4＝1＋2＋3＋4＝10，S 10＝1＋2＋3＋…＋10＝55.知识点二 类比推理3.在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．可类比得到的结论是______________________．答案 数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300 解析 因为等差数列{a n }的公差d ＝3， 所以(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝100d ＝300，同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300. 即结论为：数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300. 4．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD2＝1AB2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解 如图①所示，由射影定理得AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝CD ·BC ，所以1AD2＝1BD ·DC＝BC 2BC ·BC ·BD ·DC ＝BC 2AB 2·AC 2.又BC 2＝AB 2＋AC 2， 所以1AD2＝1AB2＋1AC 2.类比猜想：四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.如图②，连接BE 交CD 于F ，连接AF ，因为AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， 所以AB ⊥平面ACD ，而AF ⊂平面ACD ，所以AB ⊥AF ， 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， 所以1AE2＝1AB2＋1AF 2，易知在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， 所以1AF 2＝1AC2＋1AD 2， 所以1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2，猜想正确．知识点三 归纳和类比推理的应用5.鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )A ．归纳推理B ．类比推理C ．胡乱推理D ．没有推理 答案 B解析 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．6．若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n(n ∈N *)也是等差数列．类比上述性质，相应地：若数列{c n }(n ∈N *)是等比数列，且c n ＞0，则数列d n ＝________(n ∈N *)也是等比数列． 答案nc 1·c 2·c 3·…·c n解析 由等差、等比数列之间运算的相似特征知， “和――→类比积，商――→类比开方”．容易得出d n ＝nc 1·c 2·c 3·…·c n 也是等比数列．一、选择题1．归纳推理和类比推理的相似之处为( ) A ．都是从一般到一般 B ．都是从一般到特殊 C ．都是从特殊到特殊 D ．所得结论都不一定正确 答案 D解析 归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论不一定正确．类比推理是从特殊到特殊的推理，结论具有推测性，不一定可靠，故选D.2．下列平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比较合适的是( ) A ．三角形 B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形答案 C解析 由类比推理的定义和特点判断，易知选C.3．观察下列事实|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为 ( )A ．76B ．80C ．86D ．92 答案 B解析 由已知条件得，|x |＋|y |＝n (n ∈N *)的整数解(x ，y )个数为4n ，故|x |＋|y |＝20的整数解(x ，y )的个数为80.4．如图，在所给的四个选项中，最适合填入问号处，使之呈现一定的规律性的为( )答案 A解析 观察第一组中的三个图，可知每一个黑色方块都从右向左循环移动，每次移动一格，由第二组图的前两个图，可知选A.5．把下列在平面内成立的结论类比到空间，结论不成立的是( ) A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交 B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直 C ．如果两条直线与第三条直线都不相交，则这两条直线不相交 D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行 答案 D解析 类比A 的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交．成立．类比B 的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直．成立．类比C 的结论为：如果两个平面与第三个平面都不相交，则这两个平面不相交．成立．类比D 的结论为：如果两个平面同时与第三个平面垂直，则这两个平面平行．不成立．二、填空题 6．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，若 6＋a b＝6ab(a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________. 答案 41解析 根据题意，由于2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…那么可知 6＋a b ＝6ab，a ＝6，b ＝6×6－1＝35，所以a ＋b ＝41. 7．如图，直角坐标系中每个单元格的边长为1，由下往上的6个点1,2,3,4,5,6的横纵坐标(x i ，y i )(i ＝1,2,3,4,5,6)分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项，如下表所示：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 x 1y 1x 2y 2x 3y 3x 4y 4x 5y 5x 6y 6按如此规律下去，则a 2013＋a 2014＋a 2015的值为______． 答案 1007解析 由题图知a 1＝x 1＝1，a 3＝x 2＝－1，a 5＝x 3＝2，a 7＝x 4＝－2，…，则a 1＋a 3＝a 5＋a 7＝…＝a 2013＋a 2015＝0.又a 2＝y 1＝1，a 4＝y 2＝2，a 6＝y 3＝3，…，则a 2014＝1007，所以a 2013＋a 2014＋a 2015＝1007.答案sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22解析 运用类比推理与数形结合，可知y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象是上凸的，因此线段AB 的中点的纵坐标sin x 1＋sin x 22总是小于函数y ＝sin x (x ∈(0，π))图象上的点⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，sin x 1＋x 22的纵坐标，即有sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22成立． 三、解答题9．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15° ＝1－12sin30°＝34.(2)sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°·sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.10．已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似特征的性质，并加以证明．解 类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )， 则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知的双曲线上，所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2，同理，y 2＝b 2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试题(包含答案解析)(3)
一、选择题1．数学归纳法证明*1111(1,)n 1n 2n 2n n N n +++>>∈+++，过程中由n k =到1n k =+时，左边增加的代数式为（ ）A ．122k +B ．121k + C ．11+2122++k k D ．112k 12k 2++－ 2．正四面体ABCD 的棱AD 与平面α所成角为θ，其中02πθ<<，点D 在平面α内，则当四面体ABCD 转动时（ ）A ．存在某个位置使得BC α，也存在某个位置使得BC α⊥B ．存在某个位置使得BC α，但不存在某个位置使得BC α⊥ C ．不存在某个位置使得BC α，但存在某个位置使得BC α⊥D ．既不存在某个位置使得BC α，也不存在某个位置使得BC α⊥ 3．用反证法证明某命题时，对其结论“a ，b 都是正实数”的假设应为（ ） A ．a ，b 都是负实数B ．a ，b 都不是正实数C ．a ，b 中至少有一个不是正实数D ．a ，b 中至多有一个不是正实数4．给出下面四个推理：①由“若a b 、是实数，则+≤+a b a b ”推广到复数中，则有“若12z z 、是复数，则1212z z z z +≤+”；②由“在半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”；③以半径R 为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”；④由“直角坐标系中两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++”类比推出“极坐标系中两点11(,)C ρθ、22(,)D ρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”．其中，推理得到的结论是正确的个数有（ ）个 A ．1B ．2C ．3D ．45．“杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，则411a a +的值为A ．528B ．1032C ．1040D ．20646．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．圆有6条弦，两两相交，这6条弦将圆最多分割成( )个部分 A ．16 B ．21 C ．22 D ．238．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应下面图中的⑴，⑵，⑶，⑷，则图中⑸，⑹对应的运算是( )A ．*B D ，*A D B ．*B D ，*AC C ．*B C ，*AD D ．*C D ，*A D10．由圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦，想到球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面，用的是（ ）A ．类比推理B ．三段论推理C ．归纳推理D ．传递性推理 11．根据给出的数塔猜测12345697⨯+（ ）19211⨯+=1293111⨯+= 123941111⨯+= 12349511111⨯+= 1234596111111⨯+=…A ．1111111B ．1111110C ．1111112D ．111111312．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变二、填空题13．观察如图等式，照此规律，第n 个等式为______.11234934567254567891049=++=++++=++++++=14．在圆中：半径为r 的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为22r .类比到球中：半径为R 的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为__________． 15．某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：1 2 3 4 5 得分甲 4 乙 3 丙2则甲同学答错的题目的题号是__________．16．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖 块.17．在探究实系数一元二次方程的根与系数的关系时，可按下述方法进行： 设实系数一元二次方程22100a x a x a ++=……①在复数集C 内的根为1x ，2x ，则方程①可变形为()()2120a x x x x --=， 展开得()222122120a x a x x x a x x -++=.……②比较①②可以得到：11220122a x x a a x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩类比上述方法，设实系数一元n 次方程11100nn n n a x a xa x a --++++=（2n ≥且*N n ∈）在复数集C 内的根为1x ，2x ，…，n x ，则这n 个根的积1ni i x ==∏ __________．18．观察下列等式： （1）24sin sin 033ππ+= （2）2468sin sin sin sin 05555ππππ+++= （3）2468sinsin sin sin 7777ππππ+++1012sin sin 077ππ++= …… …… …… …… …… ……由以上规律推测，第n 个等式为：__________．19．小明在做一道数学题目时发现：若复数111cos i?sin ?,z αα=+222 cos i?sin ,z αα=+，333cos i?sin z αα=+(其中123,,R ααα∈), 则121212cos()i?sin(+)z z αααα⋅=++，232323cos()i?sin(+)z z αααα⋅=++ ，根据上面的结论，可以提出猜想: z 1·z 2·z 3=__________________． 20．观察下列各式：0014C =011334C C +=01225554;C C C ++=0123377774C C C C +++=……照此规律，当n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++=______________.三、解答题21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N 都有2132n n S n a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记*4()n n b a n N =+∈*1)nn N b ++<∈ 22．已知数列{}n a 满足11a =,1(5)5n n n a a a ++=. （1）计算234,,a a a 的值,猜想数列{}n a 的通项公式; （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. 23．已知数列1111,,,,,112123123n+++++++，其前n 项和为n S ；（1）计算1234,,,S S S S ；（2）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明.24．（1）当1x >时，求2()1x f x x =-的最小值.（2）用数学归纳法证明：11111222n n n +++≥++*()n N ∈. 25．在数列{}n a 中，111,21nn n a a a a +==+，其中1,2,3,n =.（Ⅰ）计算234,,a a a 的值；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 26．已知()()()()20121111nnn x a a x a x a x +=+-+-++-（2,*n n N ≥∈），（1）当5n =时，求12345a a a a a ++++的值； （2）设2233,2n n n n a b T b b b -==+++，试用数学归纳法证明：当2n ≥时，()()113n n n n T +-=。
人教a版数学【选修2-2】备选练习：2.1.1 合情推理(含答案)
选修2-2第二章 2.1 2.1.1第1课时1．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是()A．白色B．黑色C．白色的可能性大D．黑色的可能性大[答案] A[解析]由图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．2．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位子上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2011次互换座位后，小兔的座位对应的是()A．编号1 B．编号2C．编号3 D．编号4[答案] D[解析]归纳得，四个小动物在换座过程中，每换座四次与原来的一样，即以4为周期，因此在2011次换座后，四个小动物的位置应该和第三次换座后的位置一样，即小兔的座位对应的编号为4，故选D.3．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{a n}，则下列结论正确的是()①a5＝15；②数列{a n}是一个等差数列；③数列{a n}是一个等比数列；④数列{a n}的递推关系是a n＝a n－1＋n(n∈N*)．A．①②④B．①③④C．①②D．①④[答案] D[解析] 由于a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，所以有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4.因此必有a 5－a 4＝5，即a 5＝15，故①正确．同时④正确，而{a n }显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D.4．在一容器内装有浓度为r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n (每次注入的溶液浓度都是p %)，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出b n 的计算公式．[解析] b 1＝a ·r 100＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎝⎛⎭⎫45r ＋15p ，b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫452r ＋15p ＋452p . b 3＝a ·b 2＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫453r ＋15p ＋452p ＋4253p ， ∴归纳得b n ＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫45n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n p .5．(2014·洛阳市高二期中)观察等式： sin50°＋sin20°＝2sin35°cos15° sin66°＋sin32°＝2sin49°cos17°猜想符合以上两式规律的一般结论，并进行证明． [解析] 猜想：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.下面证明：左边＝sin(α＋β2＋α－β2)＋sin(α＋β2－α－β2)＝(sin α＋β2cos α－β2＋cos α＋β2sin α－β2)＋(sin α＋β2cos α－β2－cos α＋β2sin α－β2)＝2sin α＋β2cos α－β2＝右边．所以原等式成立．。
人教B版高中数学选修22第2章21第1课时《合情推理》课时作业
【成才之路】2015—2016学年高中数学第2章 2、1第1课时合情推理课时作业新人教B版选修2—2一、选择题1。
下面使用类比推理正确的是( ）A.“若a·4＝b·4,则a＝b"类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b"B。
“（a＋b）c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C.“(a＋b）c＝ac＋bc"类比推出“错误!＝错误!＋错误!（c≠0）”D.“(ab)n＝a n b n"类比推出“（a＋b）n＝a n＋b n”[答案］ C2。
已知数列{a n｝满足a1＝0，a n＋1＝错误!(n∈N＋）,则a20＝( )A.0 B。
－错误!C、错误!D。
错误![答案] B[解析］∵a1＝0，∴a2＝－3,a3＝错误!＝错误!,a4＝0，…,由此可以看出周期为3,∴a20＝a3×6＋2＝a2＝－错误!、3.下面几种推理是合情推理的是( ）①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°;③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°,由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°、A。
①②B。
①③④C。
①②④D。
②④[答案] C［解析]①是合情推理中的类比法，排除D；②是归纳推理,排除B;④是归纳推理.故选C、4。
已知数列{a n｝中，a1＝1,当n≥2时，a n＝2a n－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的一个表达式是( ）A.n2－1 B。
（n－1)2＋1C.2n－1D.2n－1＋1[答案］ C［解析］a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3,a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想a n＝2n－1,故选C、5.观察（x2）′＝2x,(x4）′＝4x3，(cos x)′＝－sin x,由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f(x）满足f（－x）＝f(x），记g(x）为f(x)的导函数,则g（－x)＝( ）A。
选修2-2合情推理练习
合情推理练习（45分钟，满分100分)姓名 学号 班级 1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式n a 等于（） A ．n 2B ．12+nC ．12-nD ．12+n2．数列2，5，9，14，20，x ，35，…中的x 等于（ ） A ．25 B 。
26 C 。
27 D 。
283.下面使用类比推理正确的是 （ ） A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅” C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b cc c+=+ （c ≠0）”D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n na ab +=+n （b ）” 4、当=n 1，2，3，4，5，6时，比较n 2和2n 的大小并猜想（ ）A.1≥n 时，22n n >B. 3≥n 时，22n n >C. 4≥n 时，22n n >D. 5≥n 时，22n n >5、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n a n S a 21,1== *N n ∈，试归纳猜想出n S 的表达式为（ ）6.设)()(,sin )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x = '1()()n n f x f x +=，n ∈N ，则2007()f x =（ ） A.sin x B.－sin xC.cos xD.－cos x7． 数列1，12，11111111,,,,,,2,3334444，。
前100项的和等于（ ） A . 91314 B. 1113141.1414C 3.1414D8．在等差数列{}n a 中，122n n n a a a ++=+成立。
类比上述性质，在等比数列{}n b 中，有（ ） A ．122n n n b b b ++=+ B 。
(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试题(含答案解析)(4)
一、选择题1．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D 四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A ．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B ．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C ．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D ．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种2．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是 ( )A ．B ．C ．D ．3．某地铁换乘站设有编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 A ，BB ，CC ，DD ，EA ，E疏散乘客时间（s ）186125160175145则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ） A ．AB ．BC ．CD ．D4．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l 可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为 A ．4B ．6C ．8D ．325．设实数a,b,c 满足a+b+c=1,则a,b,c 中至少有一个数不小于 ( ) A ．0B ．13C ．12D ．16．利用数学归纳法证明不等式()()1111++++,2,232n f n n n N +<≥∈的过程中，由n k =变成1n k =+时，左边增加了（ ）A ．1项B ．k 项C ．12k -项D ．2k 项7．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）A ．201620172⨯B ．201501822⨯C ．201520172⨯D ．201601822⨯8．用数学归纳法证明“11112321n++++- ”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数是（ ）A ．12k -B ．21k -C ．2kD ．21k +9．一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a ，b ，c ，d 四件奖品（每扇门里仅放一件）.甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ；乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c .如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（ ） A ．aB ．bC ．cD ．d10．如果把一个多边形的所有便中的任意一条边向两方无限延长称为一直线时,其他个边都在此直线的同旁,那么这个多边形就叫凸多边形.平行内凸四边形由2条对角线,凸五边形有5条对角线,以此类推,凸16变形的对角线条为( ) A ．65B ．96C ．104D ．11211．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n ax n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2nB ．n nC ．2nD ．222n -12．已知 222233+=，333388+=,44441515+=，m m m mt t+=()*,2m t N m ∈≥且，若不等式30m t λ--<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．)22,⎡+∞⎣B ．(),22-∞C ．(),3-∞D ．[1,3]二、填空题13．观察如图等式，照此规律，第n 个等式为______.11234934567254567891049=++=++++=++++++=14．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为223623=⨯，所以36的所有正约数之和为22(133)(22323)++++⨯+⨯22222(22323)(122)++⨯+⨯=++2(133)91++=，参照上述方法，可得100的所有正约数之和为__________．15．平面上画n 条直线，且满足任何2条直线都相交，任何3条直线不共点，则这n 条直线将平面分成__________个部分． 16．利用数学归纳法证明不等式“()*11112,23212n n n n N +++⋯+>≥∈-”的过程中，由“n k =”变到“1n k =+”时，左边增加了_____项．17．将正整数对作如下分组，第1组为()(){}1,2,2,1，第2组为()(){}1,3,3,1，第3组为()()()(){}1,4,2,3,3,2,4,1，第4组为()()()(){}1,5,2,44,25,1⋅⋅⋅⋅⋅⋅则第30组第16个数对为__________．18．甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1,2,3,4,的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球.现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大.则丁取出的小球编号是________. 19．观察下面的数阵，则第40行最左边的数是__________．20．观察下列式子：，，，，…，根据以上规律，第个不等式是_________.三、解答题21．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，()211324222n n S S n n n -=+-+≥. （1）求2a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 22．若10a >，11a ≠，121+=+nn na a a （n ＝1，2，…）． （1）求证：1+≠n n a a ； （2）令112a =，写出2a ，3a ，4a ，5a 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式n a ，并用数学归纳法证明．23．已知数列11111,,,,,12233445(1)n n ⨯⨯⨯⨯⨯+，…的前n 项和为n S .（1）计算1234,,,S S S S 的值，根据计算结果，猜想n S 的表达式； （2）用数学归纳法证明（1）中猜想的n S 表达式.24．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n 个图形包含()f n 个小正方形.（Ⅰ）求出()5f ；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出()1f n +与()f n 的关系式，并根据你得到的关系式求()f n 的表达式. 25．依次计算数列114⎛⎫-⎪⎝⎭，111149⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1111114916⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11111111491625⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，的前4项的值，由此猜想21111111111491625(1)n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（n *∈N ）的结果，并用数学归纳法加以证明.26．设a ，b 均为正数，且ab ．证明：（1）664224a b a b a b +>+（2）a b a b b a+>+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解． 【详解】（1）A→D 调5辆，D→C 调1辆，B→C 调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次， （2）A→D 调4辆，A→B 调1辆，B→C 调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次， 故选D【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．2．C解析：C 【分析】 结合题意可知,代入数据,即可.【详解】A 选项,13不满足某个数的平方,故错误;B 选项,,故错误;C 选项,故正确;D 选项,,故错误.故选C. 【点睛】本道题考查了归纳推理，关键抓住利用边长点数计算总点数,难度中等.3．C解析：C 【解析】分析：根据疏散1000名乘客所需的时间，两两对比，即可求出结果. 详解：同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客，所需时间对比：开方AB 、出口时间为186s ，开方BC 、出口时间为125s ，得C 比A 快； 开方CD 、出口时间为160s ，开方DE 、出口时间为175s ，得C 比E 快；开方AB 、出口时间为186s ，开方A E 、出口时间为145s ，得E 比B 快； 开方BC 、出口时间为125s ，开方CD 、出口时间为160s ，得B 比D 快； 综上，疏散乘客最快的安全出口的编号是C. 故选C.点睛：本题考查简单的合情推理，考查学生推理论证能力.4．B解析：B 【解析】分析：利用第八项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求解n 的所有可能的取值. 详解：如果正整数n 按照上述规则施行变换后第八项为1， 则变换中的第7项一定为2， 变换中的第6项一定为4，变换中的第5项可能为1，也可能是8， 变换中的第4项可能是2，也可能是16，变换中的第4项为2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或6，变换中的第4项为16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128或21或20，或3，则n 的所有可能的取值为2,3,16,20,21,128，共6个，故选B.点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中正确理解题意，利用变换规则，进行逆向逐项推理、验证是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，试题有一定的难度，属于中档试题.5．B解析：B 【解析】∵三个数a ，b ，c 的和为1，其平均数为13∴三个数中至少有一个大于或等于13假设a ，b ，c 都小于13，则1a b c ++<∴a ，b ，c 中至少有一个数不小于13故选B.6．D解析：D 【分析】分别写出n k =、1n k =+时，不等式左边的式子，从而可得结果. 【详解】当n k =时，不等式左边为1111232k++++，当1n k =+时，不等式左边为1111111232212k k k +++++++++，则增加了112(21)1222k k k k k ++-++=-=项，故选D. 【点睛】项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.7．B解析：B 【详解】由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列，且第一行公差为1,第二行公差为2,第三行公差为4,…,第2015行公差为20142， 故第1行的从右往左第一个数为：122-⨯， 第2行的从右往左第一个数为：032⨯， 第3行的从右往左第一个数为：142⨯， …第n 行的从右往左第一个数为：2(1)2n n -+⨯ ， 表中最后一行仅有一个数，则这个数是201501822⨯.8．C解析：C 【解析】左边的特点：分母逐渐增加1，末项为121n -； 由n=k ，末项为121k-到n=k+1，末项为11121212k k k+=--+， ∴应增加的项数为2k ． 故选C ．9．A解析：A【解析】由题意得，甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ，乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是cc ，若他们每人猜对了一半，则可判断甲同学中1号门中是b 是正确的；乙同学说的2号门中有d 是正确的；并同学说的3号门中有c 是正确的；丁同学说的4号门中有a 是正确的，则可判断在1,2,3,4四扇门中，分别存有,,,b d c a ，所以4号门里是a ，故选A. 点睛：本题主要考查了归纳推理问题，通过具体事例，根据各位同学的说法给出判断，其中正确理解题意，合理作出推理是解答此类问题的关键，同时注意仔细审题，认真梳理．10．C解析：C 【解析】可以通过列表归纳分析得到；16边形有2+3+4+…+14=2=104条对角线． 故选C ．11．B解析：B 【分析】由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为111=； 当分母的指数为2时，分子为224=； 当分母的指数为3时，分子为3327=； 据此归纳可得：1n ax n x+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．12．C解析：C 【解析】分析：由等式归纳得出m 和t 的关系，从而得出关于m 的恒等式，利用函数单调性得出最小值即可得出λ的范围.=21t m =-， 30m t λ--<恒成立，即220m m λ--<恒成立，m N *∈且2m ≥，222m m m mλ+∴<=+.令()2f m m m =+，()221f m m ='-，2m ≥，()0f m ∴'>，()f m ∴单调递增，∴当2m =时，()f m 取得最小值()23f =，3λ∴<.故选：C.点睛：若f (x )≥a 或g (x )≤a 恒成立，只需满足f (x )min ≥a 或g (x )max ≤a 即可，利用导数方法求出f (x )的最小值或g (x )的最大值，从而问题得解．二、填空题13．【解析】分析：由题意结合所给等式的规律归纳出第个等式即可详解：首先观察等式左侧的特点：第1个等式开头为1第2个等式开头为2第3个等式开头为3第4个等式开头为4则第n 个等式开头为n 第1个等式左侧有1个解析：2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-.【解析】分析：由题意结合所给等式的规律归纳出第n 个等式即可. 详解：首先观察等式左侧的特点： 第1个等式开头为1，第2个等式开头为2， 第3个等式开头为3，第4个等式开头为4， 则第n 个等式开头为n ，第1个等式左侧有1个数，第2个等式左侧有3个数， 第3个等式左侧有5个数，第4个等式左侧有7个数， 则第n 个等式左侧有2n -1个数， 据此可知第n 个等式左侧为：()()132n n n ++++-，第1个等式右侧为1，第2个等式右侧为9， 第3个等式右侧为25，第4个等式右侧为49， 则第n 个等式右侧为()221n -， 据此可得第n 个等式为()()()213221n n n n ++++-=-.点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．14．217【分析】根据题意类比36的所有正约数之和的方法分析100的所有正约数之和为（1+2+221+5+52）计算可得答案【详解】根据题意由36的所有正约数之和的方法：100的所有正约数之和可按如下方解析：217 【分析】根据题意，类比36的所有正约数之和的方法，分析100的所有正约数之和为（1+2+22)(1+5+52），计算可得答案． 【详解】根据题意，由36的所有正约数之和的方法：100的所有正约数之和可按如下方法得到：因为100=22×52， 所以100的所有正约数之和为（1+2+22)(1+5+52）=217． 可求得100的所有正约数之和为217； 故答案为：217. 【点睛】本题考查简单的合情推理应用，关键是认真分析36的所有正约数之和的求法，并应用到100的正约数之和的计算．15．【解析】分析：根据几何图形列出前面几项根据归纳推理和数列中的累加法即可得到结果详解：1条直线将平面分成2个部分即2条直线将平面分成4个部分即3条直线将平面分为7个部分即4条直线将平面分为11个部分即解析：(1)12n n ++ 【解析】分析：根据几何图形，列出前面几项，根据归纳推理和数列中的累加法即可得到结果。
人教A版选修2-2 合情推理 课时作业
一、选择题1．下列推理是归纳推理的是( )A ．F 1，F 2为定点，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a >|F 1F 2|，得P 的轨迹为椭圆B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：由归纳推理的定义知，B 项为归纳推理． 答案：B 2．已知2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，….若6＋a b ＝6ab(a ，b ∈R)，则( ) A ．a ＝5，b ＝24 B ．a ＝6，b ＝24 C ．a ＝6，b ＝35D ．a ＝5，b ＝35解析：观察式子的特点可知，分式a b的分子a 与根号外的数相同，而分母b 则为a 的平方减1.答案：C3．在数学解题中，常会碰到形如“x ＋y1－xy”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a ，b 是非零实数，且满足a sin π5＋b cosπ5a cos π5－b sinπ5＝tan 8π15，则ba 等于( )A ．4 B.15 C ．2D. 3解析：将已知式变形，则有a sin π5＋b cos π5a cos π5－b sin π5＝a tan π5＋ba －b tanπ5＝tan π5＋b a1－b a tanπ5＝tan8π15＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＋π3，类比正切的和角公式，即tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，可知只有当b a ＝tan π3＝3时，上式成立．答案：D4．设n 是自然数，则18(n 2－1)[1－(－1)n ]的值( )A ．一定是零B ．不一定是偶数C ．一定是偶数D ．是整数但不一定是偶数解析：当n 为偶数时，18(n 2－1)[1－(－1)n ]＝0为偶数；当n 为奇数时(n ＝2k ＋1，k ∈N)，18(n 2－1)[1－(－1)n ]＝18(4k 2＋4k )·2＝k (k ＋1)为偶数．所以18(n 2－1)[1－(－1)n ]的值一定为偶数．答案：C5．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n (n ≥2，n ∈N *)个圆点，第n 个图案中圆点的总数是S n .按此规律推断出S n 与n 的关系式为( ) A ．S n ＝2nB ．S n ＝4nC ．S n ＝2nD ．S n ＝4n －4解析：由n ＝2，n ＝3，n ＝4的图案，推断第n 个图案是这样构成的；各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n 个圆点，则圆点的个数为S n ＝4n －4.答案：D 二、填空题6．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列不等式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x2≥3，…，类比有x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________．解析：由类比推理可得x ＋a x n ＝x n ＋…＋x n ,\s \up 6(,n 个))＋axn ≥(n ＋1)·x n ·x n ·…·x n ·axn ＝n ＋1，此时a ＝n n . 答案：n n7．在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________．解析：正三角形内切圆半径与外接圆半径之比为1∶2，故面积之比为1∶4，正四面体中，内切球半径与外接球半径之比为1∶3，故体积之比为1∶27.答案：1278．观察下列各式：①(x 3)′＝3x 2；②(sin x )′＝cos x ；③(e x －e －x )′＝e x ＋e －x ；④(x cos x )′＝cos x －x sin x .根据其中函数f (x )及其导数f ′(x )的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是__________________________________________．解析：对于①，f (x )＝x 3为奇函数，f ′(x )＝3x 2为偶函数；对于②，g (x )＝sin x 为奇函数，f ′(x )＝cos x 为偶函数；对于③，p (x )＝e x －e －x 为奇函数，p ′(x )＝e x ＋e －x 为偶函数；对于④，q (x )＝x cos x 为奇函数，q ′(x )＝cos x －x sin x 为偶函数．归纳推理得结论：奇函数的导函数是偶函数．答案：奇函数的导函数是偶函数三、解答题9．如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N*，m≥2)．(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2，3，4，5，…时，方阵中士兵的人数．(2)若把(1)中的数列记为{a n}，归纳该数列的通项公式．(3)求a10，并说明a10表示的实际意义．(4)已知a n＝9 900，问：a n是数列第几项？解：(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3，4，5，…时的士兵人数分别为12，20，30，…，故所求数列为6，12，20，30，…，(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想a n＝(n＋1)(n＋2)，n∈N*.(3)a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n＋1)(n＋2)＝9 900，所以n＝98，则a n是数列的第98项，此时方阵为99行100列．10．如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC 所成二面角的大小．猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.B级能力提升1．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n ＋2.答案：C2．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则有S 2n －1＝(2n －1)a n ，类似地，若T n 是等比数列{b n }的前n 项积，则有T 2n －1＝________.解析：T 2n －1＝b 1·b 2·b 3·…·b 2n －1＝(b 1·b 2n －1)·(b 2·b 2n －2)·…·b n ＝b 2n －1n . 答案：b 2n －1n3．观察下列等式：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解：由①②知，两角相差30°，运算结果为34，猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.证明：左边＝1－cos 2α2＋1＋cos （2α＋60°）2＋sin αcos(α＋30°)＝1－cos 2α2＋cos 2αcos 60°－sin 2αsin 60°2＋sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－sin α2 ＝1－12cos 2α＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α－1－cos 2α4＝34＝右边 故sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.。
高中数学 2.1.1合情推理课时作业 新人教A版选修22
2.1.1 合情推理课时目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．1．归纳推理和类比推理定义特征归纳推理由某类事物的__________具有某些特征，推出该类事物的__________都具有这些特征的推理，或者由__________概括出__________的推理．归纳推理是由____________，由____________的推理．类比推理由两类对象具有某些____特征和其中一类对象的某些__________，推出另一类对象也具有这些特征的推理．类比推理是____________的推理.2.合情推理(1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过________、________、________、______，再进行________、________，然后提出________的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析比较、联想→归纳、类比→提出猜想一、选择题1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x的值为( )A．28 B．32 C．33 D．272．设n是自然数，则18(n2－1)[1－(－1)n]的值( )A．一定是零B．不一定是偶数C．一定是偶数D．是整数但不一定是偶数3．已知a 1＝1，a n ＋1>a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，计算a 2，a 3，猜想a n 等于( ) A ．n B ．n 2C ．n 3D .n ＋3－n4．当a ，b ，c∈(0，＋∞)时，由a ＋b 2≥ab ，a ＋b ＋c 3≥3abc ，运用归纳推理，可猜测出的合理结论是( )A .a 1＋a 2＋…＋a n2≥a 1a 2…a n (a i >0，i ＝1,2，…n)B .a 1＋a 2＋…＋a n 3≥3a 1a 2…a n (a i >0，i ＝1,2，…n)C .a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n (a i ∈R ，i ＝1,2，…n )D.a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n (a i >0，i ＝1,2，…n )5．已知函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (8)＝3，对任意的正实数x 1，x 2，f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，猜想f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝2xC ．f (x )＝log 2xD ．f (x )＝0 题 号 1 2 3 4 5 答 案二、填空题 6．观察下列等式：1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，由此推测第n 个等式为__________________________．7．设n ≥2，n ∈N ，(2x ＋12)n －(3x ＋13)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，将|a k |(0≤k ≤n )的最小值记为T n ，则T 2＝0，T 3＝123－133，T 4＝0，T 5＝125－135，…，T n ，…，其中T n ＝________.8．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“________________”；这个类比命题的真假性是__________． 三、解答题9．平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，若f (n )表示这n 个圆把平面分割的区域数，试求f (n )．10．观察①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1.②ta n 5°tan 10°＋tan 10°tan 75°＋tan 75°tan 5°＝1.由以上两式成立得到一个由特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广．能力提升11．观察下列等式：①cos 2α＝2cos2α－1；②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos 10α＝m cos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋n cos4α＋p cos2α－1.可以推测，m－n＋p＝________.12．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数．(1)求f(4)；(2)当n>4时，用n表示出f(n)．1．归纳推理的一般步骤(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质．(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．3．合情推理获得的结论未必可靠，但能帮助我们猜测，发现结论．答案知识梳理1.定义特征归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理.类比推理是特殊到特殊的推理.2.(1)观察分析比较联想归纳类比猜想作业设计1．B [∵5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，∴x－20＝12，∴x＝32.]2．C [(1)当n 为偶数时，18(n 2－1)[1－(－1)n]＝0为偶数．(2)当n 为奇数时(n ＝2k ＋1，k ∈N )，18(n 2－1)[1－(－1)n]＝18(4k 2＋4k )·2＝k (k ＋1)为偶数． 由①②知，18(n 2－1)[1－(－1)n]的值一定为偶数．]3．B [计算得a 2＝4，a 3＝9，∴猜想a n ＝n 2.] 4．D [a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n (a i >0，i ＝1,2，…n )是基本不等式的一般形式，这里等号当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时成立．结论的猜测没有定式，但合理的猜测是有目标的．] 5．C [由于log 28＝log 223＝3， 即满足f (8)＝3.log 2(x 1·x 2)＝log 2x 1＋log 2x 2， 即满足f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．] 6．12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1(1＋2＋3＋…＋n )7.⎩⎪⎨⎪⎧0 (n 为偶数)12n －13n (n 为奇数)解析 观察T n 表达式的特点可以看出T 2＝0，T 4＝0，……，∴当n 为偶数时，T n ＝0； 又∵T 3＝123－133，T 5＝125－135，……，∴当n 为奇数时，T n ＝12n －13n .8．夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题9．解 ∵f (n )表示n 个圆把平面分割成的区域数，如果再有一个圆和这n 个圆相交，则 增加2n 个交点，这些交点将增加的这个圆分成2n 段弧，且每一段弧又将原来的平面区 域一分为二，因此，增加一个圆后，平面分成的区域数增加2n 个，即f (n ＋1)＝f (n )＋2n ，亦即f (n ＋1)－f (n )＝2n ， 又f (1)＝2，由递推公式得f (2)－f (1)＝2×1， f (3)－f (2)＝2×2， f (4)－f (3)＝2×3，……，f (n )－f (n －1)＝2(n －1)．将以上n －1个等式累加得f (n )＝2＋2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝n 2－n ＋2.10．解 观察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋75°＋10°＝90°.猜想此推广为α＋β＋γ＝π2且α，β，γ都不为k π＋π2(k ∈Z )，则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1. 证明：①γ＝0时，等式显然成立． ②当γ≠0时，由α＋β＋γ＝π2，得α＋β＝π2－γ，所以tan(α＋β)＝1tan γ. 又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，所以tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan α·tan β) ＝1tan γ(1－tan α·tan β)， 所以tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α ＝tan αtan β＋tan γ(tan α＋tan β) ＝tan αtan β＋tan γ·1tan γ(1－tan αtan β)＝1. 综上所述，等式成立． 11．962解析 观察得：式子中所有项的系数和为1， ∴m －1 280＋1 120＋n ＋p －1＝1，∴m ＋n ＋p ＝162，又p ＝10×5＝50，m ＝29＝512， ∴n ＝－400，∴m －n ＋p ＝962. 12．解 (1)如图所示，可得f (4)＝5. (2)∵f (3)＝2；f (4)＝5＝f (3)＋3； f (5)＝9＝f (4)＋4； f (6)＝14＝f (5)＋5；……∴每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数． ∴f (n )＝f (n －1)＋n －1，累加得f (n )＝f (3)＋3＋4＋5＋…＋(n －1) ＝2＋3＋4＋5＋…＋(n －1)＝12(n ＋1)(n －2)．。
人教A版选修 2-2 合情推理 课时作业
人教A版选修2-2 合情推理课时作业1.下列推理是归纳推理的是( )A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则点P的轨迹是椭圆B.由a1=1,a n=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想数列的前n项和S n的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积S=πr2,猜想出椭圆+=1的面积S=abπD.以上均不正确【解析】选B.归纳推理是由特殊到一般的推理,只有选项B符合.2.已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=(n∈N*),则可归纳猜想{a n}的通项公式为( ) A.a n= B.a n=C.a n=D.a n=【解析】选B.由已知a1=1,a2==,a3===,a4===,……由此猜想a n=.3.类比平面正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,在正四面体的下列性质中,你认为比较恰当的是( )①各棱长相等,同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等;②各面都是全等的正三角形,任意相邻的两个面所成的二面角都相等;③各面都是全等的正三角形.A.①B.①②C.①②③D.③【解析】选C.由平面几何与立体几何的类比特点可知,三条性质都是恰当的.4.观察下列各式:9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,……,这些等式反映了自然数间的某种规律,设n表示自然数,用关于n的等式表示为________.【解析】由已知四个式子可分析规律(n+2)2-n2=4n+4.答案:(n+2)2-n2=4n+45.在公比为4的等比数列{b n}中,若T n是数列{b n}的前n项积,则有,,也是等比数列,且公比为4100;类比上述结论,相应地在公差为3的等差数列{a n}中,若S n是{a n}的前n项和,写出相应的结论,判断该结论是否正确,并加以证明.【解析】结论:S20-S10,S30-S20,S40-S30也是等差数列且公差为300.此结论是正确的,证明如下:因为数列{a n}的公差d=3.所以(S30-S20)-(S20-S10)=(a21+a22+…+a30)-(a11+a12+…+a20)==100d=300.同理:(S40-S30)-(S30-S20)=300,所以S20-S10,S30-S20,S40-S30是等差数列且公差为300.关闭Word文档返回原板块。
数学北师大版高中选修2-2第一章 推理与证明练习题
第一章 推理与证明练习题1．“蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴等爬行动物是用肺呼吸的，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的．”此推理方法是： ；2．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25项为： ；3．证明n ＋22<1＋12＋13＋14＋…＋12n<n ＋1(n >1)，当n ＝2时，中间式等于： ；4．否定结论“至多有两个解”的说法是： ；5．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为： ；6．某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f (1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法……则他从平地上到第n 级(n ≥3)台阶时的走法f (n )等于： ；7．已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值一定： ；8．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则a 2 013等于： ；9．一个数列{a n }的前n 项为35，12，511，37，717，….则猜想它的一个通项公式为a n ＝________.10．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形，第n 个图中有________个小正方形．图111．用反证法证明命题“若x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时，应假设为________．12．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论：________________.13．已知a ＋b ＋c ＝0，比较ab ＋bc ＋ca 的大值与0的大小；14．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，….根据上述规律，第五个等式为________________________．15．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n(n ＝1,2，…)．(1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n .16．(2014·银川模拟)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”的第二步是( )A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(k ∈N ＋)B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(k ∈N ＋)C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(k ∈N ＋)D ．假设n ≤k (k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(k ∈N ＋)17．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72.推测：当n ≥2时，有____________．18．(2014·陕西文，14)已知f (x )＝x1＋x，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋， 则f 2014(x )的表达式为________．19．(本小题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图2为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．图2(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f ＋1f －1＋1f －1＋…＋1f n －1的值．20．(本小题满分14分)函数列{f n (x )}满足f 1(x )＝x1＋x2(x >0)，f n ＋1(x )＝f 1[f n (x )]．(1)求f 2(x )，f 3(x )；(2)猜想f n (x )的表达式，并证明．21．已知数列{a n }，a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式．22．(山东高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，证明：对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．[解析] (1)解：因为对任意n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b ，r均为常数)的图像上，所以S n ＝b n＋r .当n ＝1时，a 1＝S 1＝b ＋r ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝b n ＋r －(b n －1＋r )＝b n －b n －1＝(b －1)b n －1，又因为{a n }为等比数列，所以r ＝－1，公比为b ，a n ＝(b －1)b n －1.(2)证明：当b ＝2时，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1， b n ＝2(log 2a n ＋1)＝2(log 22n －1＋1)＝2n ， 则b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n.下面用数学归纳法证明不等式：32·54·76…·2n ＋12n>n ＋1.①当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立， 即32·54·76·…·2k ＋12k>k ＋1.则当n ＝k ＋1时， 左边＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2>k ＋1·2k ＋32k ＋2＝k ＋2k ＋＝k ＋2＋k ＋＋1k ＋＝k ＋＋1＋1k ＋>k ＋＋1， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可得，不等式对任何n ∈N ＋都成立， 即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1恒成立．【解】 (1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4，…由以上规律，可得出f (n ＋1)－f (n )＝4n ，因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ，所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n ，所以f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝…＝f [n －(n －1)]＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4[n －(n －1)]＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1f n －1＝12n n －＝12(1n －1－1n)，所以1f ＋1f －1＋1f －1＋…＋1f n －1＝1＋12(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n )＝1＋12(1－1n )＝32－12n.18．(本小题满分14分)函数列{f n (x )}满足f 1(x )＝x1＋x2(x >0)，f n ＋1(x )＝f 1[f n (x )]．(1)求f 2(x )，f 3(x )；(2)猜想f n (x )的表达式，并证明． 解：(1)f 1(x )＝x1＋x2(x >0)，f 2(x )＝x1＋x21＋x 21＋x 2＝x1＋2x 2，f 3(x )＝x1＋2x 21＋x 21＋2x2＝x 1＋2x 2＋x 2＝x1＋3x 2. (2)猜想f n (x )＝x1＋nx2，下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，命题显然成立．②假设当n ＝k 时，f k (x )＝x1＋kx2，那么f k ＋1(x )＝x1＋kx 21＋x21＋kx2＝x1＋kx 2＋x2＝x 1＋k ＋x 2.这就是说，当n ＝k ＋1时命题成立．由①②，可知f n (x )＝x1＋nx2对所有n ∈N ＋均成立．20．已知数列{a n }，a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式．[分析] 利用不完全归纳法猜想归纳出a n ，然后用数学归纳法证明．解题的关键是根据已知条件和假设寻找a k 与a k ＋1和S k 与S k ＋1之间的关系．[解析] (1)由已知，得a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a3＝5＋5＋10＝20，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝5×2n －2n .(2)①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，表达式成立．当n ＝1时显然成立，下面用数学归纳法证明n ≥2时结硫化亦成立．②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时表达式成立，即a k ＝5×2k －2， 则当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有 a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋…＋a k＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2＝5＋－2k －11－2＝5×2k －1＝5×2(k ＋1)－2.故当n ＝k ＋1时，表达式也成立．由①②可知，对一切n (n ≥2，n ∈N ＋)都有a n ＝5×2n －2.[点评] 本题先用不完全归纳法猜想出通项，然后用数学归纳法证明，考查了由特殊到一般的数学思想，也考查了数列知识，在高考中这类题往往是压轴题．解决方法是观察与分析法，也就是说解决这类题要注意观察数列中各项与其序号的变化关系，归纳出构成数列的规律，同时还要注意第一项与其他各项的差异，从而发现其中的规律．21．(山东高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，证明：对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．[解析] (1)解：因为对任意n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b ，r均为常数)的图像上，所以S n ＝b n＋r .当n ＝1时，a 1＝S 1＝b ＋r ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝b n ＋r －(b n －1＋r )＝b n －b n －1＝(b －1)b n －1，又因为{a n }为等比数列，所以r ＝－1，公比为b ，a n ＝(b －1)b n －1.(2)证明：当b ＝2时，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1， b n ＝2(log 2a n ＋1)＝2(log 22n －1＋1)＝2n ， 则b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n.下面用数学归纳法证明不等式：32·54·76…·2n ＋12n>n ＋1.①当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立， 即32·54·76·…·2k ＋12k>k ＋1.则当n ＝k ＋1时， 左边＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2>k ＋1·2k ＋32k ＋2＝k ＋2k ＋＝k ＋2＋k ＋＋1k ＋＝k ＋＋1＋1k ＋>k ＋＋1， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可得，不等式对任何n ∈N ＋都成立， 即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1恒成立．第一章 推理与证明 (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴等爬行动物是用肺呼吸的，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的．”此推理方法是( )A ．演绎推理B ．归纳推理C ．类比推理D ．以上都不对【解析】 由部分推断全体，是归纳推理． 【答案】 B2．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25项为( ) A ．25 B ．6 C ．7 D ．8【解析】 将数列分组得(1)，(2,2)，(3,3,3)，(4,4,4,4)，…，这样每一组的个数为1,2,3,4，…；其和为n n ＋2，令n ＝6，则有6×72＝21，所以第25项在第7组，因此第25项是7.【答案】 C3．证明n ＋22<1＋12＋13＋14＋…＋12n<n ＋1(n >1)，当n ＝2时，中间式等于( )A ．1B ．1＋12C ．1＋12＋13D ．1＋12＋13＋14【解析】 中间的式子共有2n 项，故n ＝2时，中间的式子等于1＋12＋13＋14.【答案】 D4．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( ) A ．有一个解 B ．有两个解C ．至少有三个解D ．至少有两个解【解析】 “至多有两个解”包含有两解，仅有一解，和无解，故其否定为至少有三个解．【答案】 C5．已知c >1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A ．a >b B ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 大小不定【解析】 a ＝1c ＋1＋c ，b ＝1c ＋c －1，显然a <b .【答案】 B6．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( )A ．V ＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1，S 2，S 3，S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)【解析】 设△ABC 的内心为O ，连接OA ，OB ，OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a ，b ，c ；类比：设四面体A －BCD 的内切球的球心为O ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r ，所以有V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .【答案】 C 7．某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f (1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法……则他从平地上到第n 级(n ≥3)台阶时的走法f (n )等于( )A ．f (n －1)＋1B ．f (n －2)＋2C ．f (n －2)＋1D ．f (n －1)＋f (n －2)【解析】 要到达第n 级台阶有两种走法：(1)在第n －2级的基础上到达；(2)在第n －1级的基础上到达．【答案】 D8．已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值一定( )A ．大于零B ．等于零C ．小于零D ．正负都可能【解析】 f (x )＝x 3＋x 是奇函数且在R 上是增函数，由a ＋b >0，得a >－b ，故f (a )>f (－b )，可得f (a )＋f (b )>0.同理f (a )＋f (c )>0，f (b )＋f (c )>0.所以f (a )＋f (b )＋f (c )>0.【答案】 A9．(2012·江西高考)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199【解析】 记a n ＋b n＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.【答案】 C10．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则a 2 013等于( )A.12B ．－1C ．2D ．3【解析】 ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *)∴a 2 013＝a 3＋3×670＝a 3＝2. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上)11．一个数列{a n }的前n 项为35，12，511，37，717，….则猜想它的一个通项公式为a n ＝________.【解析】 数列可写成35，48，511，614，717，….猜想通项公式a n ＝n ＋23n ＋2.【答案】 n ＋23n ＋212．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形，第n 个图中有________个小正方形．图1【解析】根据规律和第6个图形中有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.第n 个图形中有1＋2＋…＋(n ＋1)＝n ＋n ＋2.【答案】 28 n ＋n ＋213．用反证法证明命题“若x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时，应假设为________．【解析】 就x 是否等于a ，b 而言有四种情形：①x ＝a ，x ≠b ；②x ≠a ，x ＝b ；③x ＝a ，x ＝b ；④x ≠a ，x ≠b .故应假设x ＝a 或x ＝b . 【答案】 x ＝a 或x ＝b14．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论：________________.【解析】 根据等差、等比数列中运算的性质知： 在等比数列{b n }中会有10a 11·a 12·…·a 20＝30a 1·a 2·…·a 30.【答案】 10a 11·a 12·…·a 20＝30a 1·a 2·…·a 30三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)用反证法证明：如果x >12，那么x 2＋2x －1≠0.【证明】 假设x 2＋2x －1＝0， 则解得x 1＝2－1，x 2＝－2－1.又x 1<12，x 2<12，这与已知x >12矛盾．故假设不成立，x 2＋2x －1≠0成立．16．(本小题满分12分)试比较2n 与n 2(n ∈N *)的大小关系，并用数学归纳法证明．【证明】 当n ＝1时，21>12，即2n >n 2，当n ＝2时，22＝22，即2n ＝n 2，当n ＝3时，23<32，即2n <n 2，当n ＝4时，24＝42，即2n ＝n 2，当n ＝5时，25>52，即2n >n 2，当n ＝6时，26>62，即2n >n 2， …猜测，当n ≥5时，2n >n 2.下面用数学归纳法证明猜测成立． ①当n ＝5时，由上可知猜测成立．②设n ＝k (k ≥5)时，命题成立，即2k >k 2. ∴2k ＋1＝2·2k >2k 2＝k 2＋k 2>k 2＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2，即n ＝k ＋1时命题也成立．由①和②可得，n ≥5时，2n >n 2(n ∈N *)．17．(本小题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图2为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．图2(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f ＋1f －1＋1f －1＋…＋1f n －1的值．【解】 (1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， …由以上规律，可得出f (n ＋1)－f (n )＝4n ，因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ，所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n ，所以f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝…＝f [n －(n －1)]＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4[n －(n －1)]＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1f n －1＝12n n －＝12(1n －1－1n)，所以1f ＋1f －1＋1f －1＋…＋1f n －1＝1＋12(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1－1n)＝1＋12(1－1n)＝32－12n.18．(本小题满分14分)已知a、b、c＞0，求证：a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．【证明】∵a、b、c＞0，∴a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)，∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2，∴a3＋b3≥a2b＋ab2.同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2，将三式相加得，2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2.∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．∴a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．。
2020-2021学年人教A版数学选修2-2作业课件：2.1 第18课时 演绎推理
解：(1)错误．犯了偷换论题的错误．在证明过程中，把论题 中的四边形改为了矩形．
(2)错误．结论虽然正确，但证明是错误的，这里使用的论据 (即大前提)“无理数与无理数的和是无理数”是假命题．例如， － 3与 3都是无理数，但－ 3＋ 3＝0,0是有理数．
解析：演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即 “演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程，题目中所给的这种 推理符合演绎推理的形式，故选C.
2．下列推理过程属于演绎推理的为( D ) A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某药先在猴 子身上试验，试验成功后再用人体试验 B．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，…，得出1＋3＋5＋…＋ (2n－1)＝n2 C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四 面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点 D．通项公式形如an＝cqn(cq≠0)的数列{an}为等比数列，则 数列{－2n}为等比数列
解析：选项A中“两条直线平行，同旁内角互补”这是大前 提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B为类比推理，选项 C，D都是归纳推理．
4．推理“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边
形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是( B )
A．①
B．②
C．③
D．①和②
5．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相 等．”以上推理的大前提是( B )
B．小前提错误 D．非以上错误
解析：推理形式不符合三段论推理的形式，三段论的形式 是：M是P，S是M，则S是P，而上面的推理形式则是：M是P，S 是P，则S是M.故选C.
7．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的 结论，三边a，b，c应满足的条件是( C )
A．a2<b2＋c2 B．a2＝b2＋c2 C．a2>b2＋c2 D．a2≤b2＋c2
人教版高数选修2-2第6讲：合情推理与演绎推理(学生版)
合情推理与演绎推理____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.推理根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理.推理一般分为合情推理与演绎推理两类.2.合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由部分到整体、由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理一般步骤(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)(1)找出两类事物之间相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)3.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理；(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；(3)模式：三段论.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：“三段论”的结构①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.“三段论”的表示①大前提——M是P.②小前提——S是M.③结论——S是P.题型一归纳推理例1设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.(1)观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第五个等式应为________________________.(2)已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，经计算得f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，f(32)>72，则有______.题型二 类比推理例2 已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m .类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________.(1)给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r ＝a 2＋b 22(其中a ，b 为直角三角形两直角边长).类比此方法可得三条侧棱长分别为a ，b ，c 且两两垂直的三棱锥的外接球半径R ＝________.题型三 演绎推理例3 已知函数f (x )＝－aa x ＋a(a >0，且a ≠1).(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值.已知函数y ＝f (x )，满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确. ( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( )(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.( )(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n ＝n (n ∈N ＋).( )(6)2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…， 6＋b a ＝6ba(a ，b 均为实数)，则可以推测a ＝35，b ＝6. ( ) 2.数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( )A.28B.32C.33D.273.观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52 011的后四位数字为 ( )A.3 125B.5 625C.0 625D.8 1254.(2013·陕西)观察下列等式12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________.5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列.类比以上结论有设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列.答案T 8T 4 T 12T 8解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ， 则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12， T 16＝a 1a 2…a 16，因此T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1.(2012·江西)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于 ( )A.28B.76C.123D.199答案 C解析 观察规律，归纳推理.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10＋b 10＝123. 2.定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质： (1)1*1=1，（2）（n +1）*1=n *1+1，则n *1等于( )A.nB.n ＋1C.n －1D.n 2答案 A解析 由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得n *1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝…＝1*1+(n －1). 又∵1*1=1，∴n *1＝n 3.下列推理是归纳推理的是( )A.A ，B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆B.由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C.由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案 B解析 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理，故应选B.4.已知△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，求证：a <b . 证明：∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A <∠B . ∴a <b ，其中，画线部分是演绎推理的( )A.大前提B.小前提C.结论D.三段论答案 B解析 由三段论的组成可得画线部分为三段论的小前提.5.若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n )也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A.d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB.d n ＝c 1·c 2·…·c nnC.d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD.d n ＝n c 1·c 2·…·c n答案 D解析 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ， ∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q n (n －1)2， ∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D.二、填空题6.仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________. 答案 14解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……， 则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝n (n ＋3)2，易知f (14)＝119，f (15)＝135，故n ＝14.7.若函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，且f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f [f n －1(x )]，则f 3(x )＝________，猜想f n (x )(n ∈N *)的表达式为________. 答案x 7x ＋8 x (2n －1)x ＋2n解析 ∵f 1(x )＝xx ＋2，f n(x )＝f [f n －1(x )](n ≥2)， ∴f 2(x )＝f (x x ＋2)＝x x ＋2(x x ＋2＋2)＝x3x ＋4.f 3(x )＝f [f 2(x )]＝f (x 3x ＋4)＝x 3x ＋4(x 3x ＋4＋2)＝x7x ＋8.由所求等式知，分子都是x ，分母中常数项为2n ，x 的系数比常数项少1，为2n －1， 故f n (x )＝x(2n －1)x ＋2n.8.在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝ACBC ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图所示)，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于点E ，则类比得到的结论是________.答案BE EA ＝S △BCDS △ACD解析 易知点E 到平面BCD 与平面ACD 的距离相等， 故V E －BCD V E －ACD ＝BE EA ＝S △BCDS △ACD. 三、解答题9.已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律. 解 (1)由于a 1＝5，d ＝2， ∴S n ＝5n ＋n (n －1)2×2＝n (n ＋4).(2)∵T n ＝n (2a n －5)＝n [2(2n ＋3)－5]＝4n 2＋n . ∴T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39， T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105.S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21， S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45. 由此可知S 1＝T 1，当n ≥2时，S n <T n .归纳猜想：当n ＝1时，S n ＝T n ；当n ≥2，n ∈N 时，S n <T n .10.在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由. 解 如图所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ， ∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想，四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ， 则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 证明：如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面ACD .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2，∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1.给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”；②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③若“a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”.其中类比结论正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案 C解析 ①②正确，③错误.因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小. 2.设是R 的一个运算，A 是R 的非空子集.若对于任意a ，b ∈A ，有ab ∈A ，则称A 对运算封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( ) A.自然数集 B.整数集 C.有理数集D.无理数集答案 C解析 A 错：因为自然数集对减法、除法不封闭；B 错：因为整数集对除法不封闭；C 对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D 错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭.3.平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为________. 答案 n 2＋n ＋22解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域.4.数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *).证明：(1)数列{S nn}是等比数列；证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提) 故{S nn }是以2为公比，1为首项的等比数列.(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2).(小前提) 又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1， (小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)5.对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现，(1)求函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心；(2)计算f (12 013)＋f (22 013)＋f (32 013)＋f (42 013)＋…＋f (2 0122 013).解 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1， 由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12.f (12)＝13×(12)3－12×(12)2＋3×12－512＝1. 由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1).(2)由(1)，知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)，所以f (12＋x )＋f (12－x )＝2，即f (x )＋f (1－x )＝2.故f (12 013)＋f (2 0122 013)＝2，f (22 013)＋f (2 0112 013)＝2，11 f (32 013)＋f (2 0102 013)＝2， …f (2 0122 013)＋f (12 013)＝2. 所以f (12 013)＋f (22 013)＋f (32 013)＋f (42 013)＋…＋f (2 0122 013)＝12×2×2 012＝2 012.课程顾问签字： 教学主管签字：。
选修2-2合情推理课时作业
课时作业11合情推理时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形【答案】C【解析】只有平行四边形与平行六面体较为接近，故选C.2．下列类比推理恰当的是()A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有：log a(x＋y)＝log a x＋log a y B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有：sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把(ab)n与(a＋b)n类比，则有：(a＋b)n＝a n＋b nD．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有：a·(b＋c)＝a·b＋a·c【答案】 D【解析】A，B，C三个选项没有从本质上类比，是简单类比，从而出现错误．3．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列前n项的和为S(n)，则S(16)等于()A．128 B．144C．155 D．164【答案】 D【解析】由题意可知该数列的前16项为：1,2,3,3,6,4,10,5,15,6,21,7,28,8,36,9.故S(16)＝1＋2＋3＋…＋36＋9＝164.4．观察右图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A．■B．△C．□D．○【答案】 A【解析】每一行、每一列的图形都有两个黑色．5．观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4, |x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8, |x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为() A．76 B．80C．86 D．92【答案】 B【解析】由已知条件知|x|＋|y|＝n的不同整数解(x，y)个数为4n，所以|x|＋|y|＝20不同整数解(x，y)的个数为4×20＝80.归纳体现了由特殊到一般的思维过程．6．定义A*B、B*C、C*D、D*B分别对应下列图形那么下列图形中，可以表示A*D、A*C的分别是()A．(1)、(2) B．(2)、(3)C．(2)、(4) D．(1)、(4)【答案】 C【解析】由A*B、B*C、C*D、D*B的定义图形知A为，B为，C为——，D为.二、填空题(每小题10分，共30分)7．(2014·陕西理)观察分析下表中的数据：．【答案】F＋V－E＝2【解析】本题考查归纳推理．5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，∴F＋V－E＝2.8．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为__________________．【答案】13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)【解析】根据已知条件，第四个等式应为13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)．9．如图所示，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC 所成的角分别为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，写出类似的命题：________.【答案】 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若对角线BD 1与棱AB 、BB 1、BC 所成的角分别为α、β、γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1或sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝2(或：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若对角线BD 1与平面ABCD 、ABB 1A 1、BCC 1B 1所成的角分别为α、β、γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2或sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝1)三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)已知{a n }满足a 1＝1,4a n ＋1－a n ·a n ＋1＋2a n ＝9，写出a 1、a 2、a 3、a 4，试猜想出这个数列的通项公式．【解析】 由4a n ＋1－a n a n ＋1＋2a n ＝9得a n ＋1＝2－1a n －4， ∴a 2＝2－1a 1－4＝2＋13，a 3＝2－1a 2－4＝2＋35， a 4＝2－1a 3－4＝2＋57，猜想：a n ＝2＋2n －32n －1. 11．(13分)在平面几何里有勾股定理：“若三角形有两条边垂直，则这两条直角边的平方和等于第三边的平方．”拓展到空间中，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系，可以得出什么结论？请你证明．【分析】在平面上是线的关系，在空间就有可能是面的关系．类比一下：直角顶点所对的边的平方是另外两边的平方和，那么直角顶点所对的面的面积就可能具有类似的关系.【解析】“若三棱锥有三个面，两两互相垂直，则这三个面的面积的平方和等于这三个面相交的顶点所对面的面积的平方．”证明如下：如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABC，平面ACD，平面ABD两两垂直，则AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD.过点A作AE⊥CD于点E，连接BE.由题，易得BE⊥CD，AB⊥AE.∴S2△BCD＝12·BE24CD＝12(AB2＋AE2)4CD＝12＋AD2)AB2＋14CD2·AE24(AC＝S2△ABC＋S2△ADB＋S2△ACD.【规律方法】 类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法．类比推理时有可能出现错误，如：由命题“在平面内，已知直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ，c 平行．”类比推理得到“在空间，已知三个平面α，β，γ，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ.”但实际上，α，γ之间可能平行，也可能相交，所以这里类比推理得到的结论为假．12．(14分)把正整数排列成如图所示的数阵．12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15……(1)求数阵中前10行所有的数的个数；(2)求数阵中第n 行的第一个数；(3)2 007是数阵中第几行的第几个数？(从左向右数)【解析】 (1)数阵中第n 行有n 个数，所以前10行所有的数的个数为1＋2＋3＋…＋10＝55.(2)数阵中前n 行所有的数的个数为1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)，所以第n 行最后一个数为12n (n ＋1)，则第n 行第一个数为12n (n ＋1)－(n－1)＝12n 2－12n ＋1.(3)当n ＝63时，数阵中第63行最左边的数为12×63×64－62＝1954.数阵中第63行最右边的数为12×64×63＝2 016，所以2 007位于数阵中第63行．又因为2 007－1 954＝53，故2 007是数阵中第63行的第54个数．。
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课时作业11合情推理
时间：45分钟满分：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适()
A．三角形B．梯形
C．平行四边形D．矩形
【答案】C
【解析】只有平行四边形与平行六面体较为接近，故选C.
|
2．下列类比推理恰当的是()
A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有：log a(x＋y)＝log a x＋log a y B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有：sin(x＋y)＝sin x＋sin y
C．把(ab)n与(a＋b)n类比，则有：(a＋b)n＝a n＋b n
D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有：a·(b＋c)＝a·b＋a·c
【答案】D
【解析】A，B，C三个选项没有从本质上类比，是简单类比，从而出现错误．
3．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列前n项的和为S(n)，则S(16)等于()
?
A．128 B．144
C．155 D．164
【答案】D
【解析】由题意可知该数列的前16项为：1,2,3,3,6,4,10,5,15,6,21,7,28,8,36,9.故S(16)＝1＋2＋3＋…＋36＋9＝164.
4．观察右图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为
()
~
A．■B．△
C．□ D．○
【答案】A
【解析】每一行、每一列的图形都有两个黑色．
5．观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4, |x|
＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8, |x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为() A．76 B．80
C．86 D．92
【答案】B
…
【解析】由已知条件知|x|＋|y|＝n的不同整数解(x，y)个数为4n，所以|x|＋|y|＝20不同整数解(x，y)的个数为4×20＝80.归纳体现了由特殊到一般的思维过程．
6．定义A*B、B*C、C*D、D*B分别对应下列图形
那么下列图形中，
可以表示A*D、A*C的分别是()
A．(1)、(2) B．(2)、(3)
|
C．(2)、(4) D．(1)、(4)
【答案】C
【解析】由A*B、B*C、C*D、D*B的定义图形知A为，B为，
C为——，D为.
二、填空题(每小题10分，共30分)
7．(2014·陕西理)观察分析下表中的数据：
．【答案】F＋V－E＝2
【解析】本题考查归纳推理．
,
5＋6－9＝2，
6＋6－10＝2，
6＋8－12＝2，
∴F＋V－E＝2.
8．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为__________________．
【答案】13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)
【解析】根据已知条件，第四个等式应为13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)．
9．如图所示，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，则在长方体ABCD－A1B1C1D1中，写出类似的命题：________.
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【答案】 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若对角线BD 1与棱AB 、BB 1、BC 所成的角分别为α、β、γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1或sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝2
(或：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若对角线BD 1与平面ABCD 、ABB 1A 1、BCC 1B 1所成的角分别为α、β、γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2或sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝1)
三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
10．(13分)已知{a n }满足a 1＝1,4a n ＋1－a n ·a n ＋1＋2a n ＝9，写出a 1、a 2、a 3、a 4，试猜想出这个数列的通项公式．
【解析】 由4a n ＋1－a n a n ＋1＋2a n ＝9 得a n ＋1＝2－1a n －4
，
，
∴a 2＝2－1a 1－4＝2＋13，a 3＝2－1a 2－4＝2＋3
5，
a 4＝2－1a 3－4＝2＋5
7，猜想：a n ＝2＋2n －32n －1
.
11．(13分)在平面几何里有勾股定理：“若三角形有两条边垂直，
则这两条直角边的平方和等于第三边的平方．”拓展到空间中，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系，可以得出什么结论请你证明．
【分析】 在平面上是线的关系，在空间就有可能是面的关系．类
比一下：直角顶点所对的边的平方是另外两边的平方和，那么直角顶点所对的面的面积就可能具有类似的关系.
【解析】“若三棱锥有三个面，两两互相垂直，则这三个面的面积的平方和等于这三个面相交的顶点所对面的面积的平方．”
证明如下：如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABC，平面ACD，平面ABD两两垂直，则AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD.
过点A作AE⊥CD于点E，连接BE.
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由题，易得BE⊥CD，AB⊥AE.
∴S2△BCD＝1
4CD2·BE2
＝1
4CD2(AB2＋AE2)
＝1
4(AC2＋AD2)AB2＋
1
4CD2·AE2
＝S2△ABC＋S2△ADB＋S2△ACD.
【规律方法】类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法．类比推理时有可能出现错误，如：由命题“在平面内，已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a，c平行．”类比推理得到“在空间，已知三个平面α，β，γ，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ.”但实际上，α，γ之间可能平行，也可能相交，所以这里类比推理得到的结论为假．
12．(14分)把正整数排列成如图所示的数阵．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
……
(1)求数阵中前10行所有的数的个数； (2)求数阵中第n 行的第一个数；
(3)2 007是数阵中第几行的第几个数(从左向右数)
【解析】 (1)数阵中第n 行有n 个数，所以前10行所有的数的个数为1＋2＋3＋…＋10＝55.
(2)数阵中前n 行所有的数的个数为1＋2＋3＋…＋n ＝1
2n (n ＋1)，所以第n 行最后一个数为12n (n ＋1)，则第n 行第一个数为1
2n (n ＋1)－(n －1)＝12n 2－1
2n ＋1.
(3)当n ＝63时，数阵中第63行最左边的数为1
2×63×64－62＝1 954.数阵中第63行最右边的数为1
2×64×63＝2 016，所以2 007位于数阵中第63行．又因为2 007－1 954＝53，故2 007是数阵中第63行的第54个数．。