利用matlab和数值方法实验三个案例

需要利用数据确定上式中系数 a，b。
四、演示实验
据统计，六十年代世界人口数据如下(单位：亿)
年 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 人 29.72 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.20 34.83 口
一、实验目的
三、水塔水流量的估计
了解建立数学模型的基本方法, 运用插值方法解决实际问题.
二、实验内容
美国某州的各公用水管理机构要求各社区提供各个时刻的用水率以及每天所用的总用 水量．但许多社区并没有测量流入或流出当地水塔的水量的设备，他们只能代之以每小时测 量水塔中的水位．更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位时， 水泵就启动向水塔重新充水直到某一最高水位，但也无法得到水泵的供水量的测量数据．因 此，在水泵正在工作时，人们不容易建立水塔中水位与水泵工作时的用水量之间的关系．水 泵每天向水塔充水两次．试估计在任何时候，甚至包括水泵正在工作的时间内，水从水塔流 出的流量，并估计一天的总用水量．
单位 i 产品作为纯产出，我们称这个纯产出 di 为 i 产品的最终需求或对 i 产品的外部需求量， 而称 n 阶矩阵T (tij ) R nn 为投入矩阵. 设 x (x1, x2 ,, xn )T 和 d (d1, d2 ,, dn )T 分别表示产出向量和最终需求向量， 则我
1936 年美国经济学家 W.Leontief 首先提出并成功地建立了研究国民经济的投入产出的 数学模型，他数次主持制定了美国的国民经济投入产出表，且由此对国民经济各部门的结构 和各种比例关系进行了定量分析. 这一方法即投入产出法以其重要的应用价值迅速为世界 各国经济学界和决策部门所采纳. W.Leontief 因此于 1973 年获得了 Nobel 经济学奖.
常数
设 xi (i 1,2,, n) 表示部门 i 在每个固定单位时期内生产 i 产品的产出，产出 xi 的一部分作
n
为个部门生产活动所需的投入而消耗掉， 即有 j1tij x j 单位的 i 产品在生产活动中被消耗
掉， 余下
di

xi

n
j1tij x j
(i 1,2,, n)
a + tj b = yj (j= 1，2，…，9) 用最小二乘法求解超定方程组即可得拟合系数。
MATLAB 程序
t=1960:1968;t0=2000;
N=[29.72 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.20 34.83];
y=log(N);
A=[ ones(9,1), t' ];
2
(4) 水泵第一次供水时间段为[8.97,10.95], 第二次供水时间段为[20.84, 22.96].
利用水塔截面积是常熟, 得到不同时刻水塔中水的体积如表 2.
表 2 水塔中水的体积(单位: 时刻(小时), 体积(立方米))
时 0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 刻 t 体 2302 2254 2214 2171 2114 2095 2067 积 时 7.01 7.93 8.97 9.98 10.92 10.95 12.03 刻 t 水 2026 1995 1955 // // 2573 2497 位 时 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 刻 t 水 2428 2364 2295 2238 2183 2121 2059 位 时 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91 刻 t 水 2005 1955 // 2573 2518 2461 2421 位
六、思考题
(1) 设有 n 个部门, 已知投入系数, 给定外部需求, 建立求解各部门总产出的模型;
(2) 设投入产出如上表所给, 如果今年对农业、工业、服务业的外部需求分别为 50, 100, 150 亿元, 问这三个部门的总产出分别为多少?
(3) 如果三个部门的外部需求分别增加 1 个单位, 它们的总产出分别增加多少个单位? (4) 可行的投入产出模型的投入系数应满足什么条件?
水塔是一个高 12.2 米、直径 17.4 米的圆柱. 按照设计, 水塔水位降至约 8.2 米时, 水 泵自动启动加水; 当水位升高到约 10.8 米时, 水泵自动停止工作.
可以考虑采用用水率(单位时间的用水量)来反映用水规律, 并通过间隔一段时间测量 水塔里的水位来估算用水率.
表１给出了某个小镇某一天的真实数据, 试估计任何时刻从水塔流出的水流量, 及一 天的总用水量．
d=A\ y' ;a=d(1),b=d(2)
N0=exp(a+b*t0)
x=1960:2001;yy=exp(a+b*x);
plot(x,yy,t,N,'o',2000,N0,'o')
计算结果为
a －33.0383， b 0.0186
N(2000) = 63.2336
所以取五位有效数，可得人口数据的指数拟合函数
年九年的我国人口数量。
六、思考题 1、如果不对人口模型中的指数函数作变换，是否也可以求出待定系数 a，b ？ 2、用线性函数（或二次函数）代替人口模型中的指数函数作数据拟合，这样做有何利弊？ 3、如果用六十年代的人口统计数据预测 2060 年的世界人口，结果会怎样？
二、 投入产出模型
一、实验目的
了解投入产出模型的数学描述，从实际问题出发，建立线性代数方程组，应用求齐次方 程组通解方法，寻求符合实际情况的答案
位
上表给出了从第一次测量开始的以小时为单位的时刻，以及该时刻的高度单位为米的水塔中 水位的测量值．
三、实验原理
根据问题的要求, 关键在于确定用水率函数, 即单位时间内用水体积, 记为 f (t) . 如 果能够通过测量数据, 产生若干个时刻的用水率, 也就是 f (t) 在若干个点的函数值, 则 f (t) 的计算问题就转化为插值问题.
产 农业 出
工业
服务业
最终需求 总产出
投入
农业
15
20
30
35
100
工业
30
10
45
115
200
服务业
20
60
70
150
初始投入 35
110
75
总投入
100
200
150
表中每行表示投入的分配, 每列表示投入的来源.
一般说，在对一个国家或区域的经济用投入产出法进行分析和研究时，首先根据统计数 字制定投入产出表，进而计算出有关的技术系数. 对这些系数的分析，可以了解经济系统的 结构和各部门之间的数量关系，还可通过求解方程组来获知最终需求的变动对各部门生产的 影响
N (t ) e 33.03830.0186t
经计算得 2000 年人口预测值为：63.2336 (亿)。
70 60 50 40 30 20 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005
五、实验任务 设 N(t) = exp( a + b t )，利用数据拟合方法确定指数函数，并预测 2000 年到 2008
考虑 2008 年人口预测。
三、实验原理
设人口总数为 N(t)，根据人口理论的马尔萨斯模型，采用指数函数 N(t) = e a + b t
对人口数据进行拟合。为了计算方便，将上式两边同取对数，得 ln N a bt ，令
y = ln N
或
N=ey
变换后的拟合函数为
y(t) = a + b t
表 1 水位测量记录 (符号 // 表示水泵启动)
时
0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90
刻
t
水 9.68 9.48 9.31 9.13 8.98 8.81 8.69
位
时 7.01 7.93 8.97 9.98 10.92 10.95 12.03
刻
t
水 8.52 8.39 8.22 // // 10.82 10.50
们可得到投入－产出平衡方程组
(I T )x d 或 Ax d ， A I T . 投入－产出分析所要解决的问题是：对已知最终需求量 d ，求出产出向量 x ， 使平衡 方程组成立. 由最终需求向量 d 于产出向量 x 的经济意义知 d 0 ， x 0 ， 因此， 一个
经济模型是可行的等价于由它确定的平衡方程组对任意的非负右端都有非负解. 以上讨论的经济模型称为 Lenontief 开模型.
在给出问题解决方法之前, 需要做下面假设.
(1) 水塔中水流量是时间的连续光滑函数, 与水泵工作无关, 流量只取决于水位表, 与水位无关;
(2) 水泵工作与否完全取决于水塔内水位的高低, 且每次加水的工作时间大约为 2 小 时;
S (17.4)2 237.8
(3) 水塔为标准圆柱体, 水塔截面积是常数
利用 matlab 和数值方法实验三个案例
一、人口预测问题实验 一、实验目的
了解马尔萨斯人口模型的数学描述，熟悉数据处理的方法和技巧。
二、 实验内容
由中国人口数据资料（单位：亿）
年 1991 1992 1993 1994 1995 1996 t 数 11.58 11.72 11.85 11.98 12.11 12.24 量 N
三、实验原理
根据投入－产出平衡方程组
(I T )x d 或 Ax d ， A I T , 其中 x 和 d 分别表示产出向量和最终需求向量，矩阵 T 投入系数矩阵.
四、 实验任务
设整个经济由农业、工业、服务业三个部门组成, 分别生产农产品、工业品、提供服务 三种产品, 并不考虑政府干预和外来投资和输入等因素. 已知用货币计算的投入产出表如 下: (单位：亿元）
由人口数据取对数（y = ln N）计算，得下表
t 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 y 3.3918 3.4213 3.4503 3.4698 3.4763 3.4920 3.5133 3.5322 3.5505
根据表中数据及等式 a + b t k = y k ( k = 1，2，……，9)可列出关于两个未知数 a 、b 的 9 个方程的超定方程组（方程数多于未知数个数的方程组）
(2) 每个部门仅有一种生产方式， 生产意味着一定量的 n 种产品交换成一定数量的单种
产品， 而且这个投入－产出模式是稳定的；
(3) 部门 j 为生产一单位产品需要 tij 单位的产品投入其中 i n {1,2,, n}.
我们把 tij 称为投入系数，它通常被假设为不变的，用经济学的术语来说，就是投入比例是
五、演示实验
根据投入产出表, 则投入系数矩阵为
0.15 0.1 0.2
T


0.3
0.05
0.3

0.2 0.3 0 .
将投入系数矩阵和对三个部门的外部需求输入 MATLAB, 程序如下: T=[0.15 0.1 0.2; 0.3 0.05 0.3; 0.2 0.3 0]; d=[50 100 100]’; A=eye(3)-T; x=A\d 得到三个部门的总产出分别为 126.7606, 204.2254, 186.6197 亿元.
二、实验内容
一个国家或区域的经济系统中,各部门(或企业)既有消耗又有生产,或者说既有“投 入” 又有“产出”.生产的产品供给各部门和系统外的需求,同时也消耗系统各部门所提供 的产品,消耗的目的是为了生产；生产的结果必然要创造新价值. 显然对每一部门,物资消耗 和新创造的价值等于它生产的总产值. 这就是“投入”和“产出”之间的平衡关系.
Lenontief 投入产出法讨论如下特殊的经济问题：在某种特定的经济状态中， 几个产 业部门中的每一个为了满足社会各经济部门对产品的总需求， 应具有怎样的产出水平.
在 Lenontief 方法中， 一个经济体的生产活动被分散到几个产业部门，并且分析各部门之 间产品交易， 先作如下基本假设：
(1) n 个部门的每个仅生产各自特定的一种产品，即 n 个部门和 n 种产品存在一一对应关 系，不妨假设第 i 个部门生产第 i 种产品；
位
时 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04
刻
t
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水 10.21 9.94 9.65 9.41 9.18 8.92 8.66
位
时 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91
刻
t
水 8.43 8.22 // 10.82 10.59 10.35 10.18