偏微分方程数值解(试题)

偏微分方程数值解试题

1、考虑一维的抛物型方程：

2200, [0,], 0t T (,), (,)(,0)()

x x u u

x t x

u x t u u x t u u x x ππνπϕ==∂∂=∈≤≤∂∂=== （1）导出时间离散是一阶向前Euler 格式，空间离散是二阶精度的差分格式；

（2）讨论（1）中导出的格式的稳定性； （3）若时间离散为二阶精度的蛙跳格式，

11

2n n n t t u u u t t

+-=∂-=

∂∆ 空间离散是二阶精度的中心差分，问所导出的格式稳定吗？为什么？

2、考虑Poission 方程

2(,)1, (,)0, in AB and AD (,)0, in BC and CD

u x y x y u

n

u x y -∇=∈Ω

∂=∂= 其中Ω是图1中的梯形。

使用差分方法来离散该方程。由于梯形的对称性，可以考虑梯形的一半，如图2，

图2 从物理空间到计算区域的几何变换

图1 梯形

为了求解本问题，采用如下方法：将Ω的一半投影到正方形区域ˆΩ

，然后在ˆΩ上使用差分方法来离散该方程。在计算区域ˆΩ

上用N N ⨯个网格点，空间步长为1/(1)N ξη∆=∆=-。

（1）引入一个映射T 将原区域Ω（带有坐标,x y ）变换到单位正方形ˆΩ（带有坐标,ξη）。

同时导出在新区域上的方程和边界条件。

（2）在变换区域，使用泰勒展开导出各导数项在区域内部和边界点上的差分格式。

3、对线性对流方程0 constant >0u u a a t x

∂∂+=∂∂，其一阶迎风有限体积法离散格式为 1ˆn j u +=ˆn

j u a t x

∆-∆（ˆn j u 1ˆn j u --）

（1）写出0a <时的一阶迎风有限体积法的离散格式；

（2）写出a 为任意符号的常数的一阶迎风有限体积法的守恒形式。

（3）使用0 u u

u t x

∂∂+=∂∂说明一阶迎风有限体积法不是熵保持的格式。

4、对一维Poission 方程

, (0,1)

(0)(1)0

x xx u xe x u u ⎧-=∈⎨

==⎩ 将[]01，分成(1)n +等分，写出用中心差分离散上述方程的差分格式，并问： （1）该差分格式与原微分方程相容吗？为什么？ （2）该差分格式稳定吗？为什么？

（3）该差分格式是否收敛到原微分方程的解？为什么？ （4）取(1)6n +=，写出该差分格式的矩阵表示。

5、叙述二重网格方法的执行过程，并对一维常微分方程边值问题

2

25, (0,1)

(0)(1)0

xx u x x x u u πππ⎧-=∈⎨

==⎩（sin(5)+9sin(15)） 给出限制算子和延拓算子矩阵（以细网格h ：7n =，粗网格2h ：3n =为例）。 6、对一阶波动方程

01(,0)sin(), (0,1)2(0,)(1,)u u t x u x x x u t u t π∂∂⎧+=⎪∂∂⎪

⎪

=∈⎨⎪

=⎪⎪⎩

（1）写出用中心差分进行空间离散，用一阶向后Euler 进行时间离散的差分格式；

（2）使用线方法，分析上述格式的稳定性。

7、考虑散热片的设计问题。二维散热片如图3所示，是由一个中心柱和4个水平的子片构成；散热片从底部root Γ的均匀通量源通过大表面的子片散热到周围的空气中。散热片可由一个5维参数向量来表示，125(,,,)μμμμ=，

其中,1,,4i i

k i μ==，和5

Bi μ=；μ

可取给定设计集5

D ⊂

中的任意值。i

k 是第i 个子片热传导系数（0

1k ≡是中柱的热传导

系数）；Bi 是Biot 数，反映在散热片表面的对流输运的热传导系数（大的Bi 意味好的热传

导）。比如，假定我们选择散热片具有如下参数

12340.4,0.6,0.8, 1.2,0.1k k k k Bi =====，此时(0.4,0.6,0.8,1.2,0.1)μ=。中心柱的

宽度是1，高度是4；子片的厚度0.25t =，长度 2.5L =。我们将输出温度root T 看作是

125(,,,)μμμμ=的函数，其中输出温度root T 是散热片底部定常态温度的均值，输出温

度root T 越低，散热效果越好。

在散热片内定常态温度分布()u μ，由椭圆型方程控制

其中i u 是u 在i

Ω的限制，i Ω是热传导系数为,0,

,4i

k i =的散热片的区域：0Ω是中心柱，

,1,

,4i i Ω=对应4个子片。整个散热片区域记为Ω，Ω的边界记为Γ。为确保在传导系

数间断界面0int ,1,

,4i i

i Γ=∂Ω⋂∂Ω=上温度和热通量的连续性，我们有

这里ˆi

n

是i

∂Ω的外法线。在散热片的底部引入Neumann 边界条件

来刻画热源；一个Robin 边界条件

来刻画对流热损失，其中i

ext Γ是i

Ω暴露在流体流动中的边界部分，4

0\i

ext root i =Γ=ΓΓ。在底部的平均温度0

()(())

r o o t T l u μμ=，其中0

()root

l v v Γ=⎰

。在这个问题中，我们取

0()()l v l v =。

（1）证明1

()()u X H μ∈≡Ω满足弱形式