偏微分方程数值解(试题)
偏微分方程数值解期末试题及标准答案
偏微分方程数值解试题(０6B ）参考答案与评分标准信息与计算科学专业一(10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλϕ+=.若0)0('=ϕ，则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定)，求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点，对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, （3分)0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0，则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ，得到b Ax =0． (3分)反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (４分）评分标准：)(λϕ的展开式3分, 每问3分，推理逻辑性１分二（10分）、 对于两点边值问题:⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E为求解函数空间,检验函数空间．取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (３分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du p v u a b a ba ==+=⎰⎰,),(1b a H v E ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. （3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdu p u f u u a u J ])([21),(),(21)(22，则变分问题的Ritz 形式为求),(1*b a H u E ∈,使)(m in )(1*u J u J EH u ∈= （4分) 评分标准:空间描述与积分步骤３分，变分方程3分，极小函数及其变分问题４分,三(20分)、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧-====⨯=∈=∂∂+∂∂====x u u u u G y x y u x u y y x x 1||,0|,1|)1,0()1,0(),(,010102222 (１)建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点格式),推导截断误差的阶。
偏微分方程数值解法试题与答案
一．填空（1553=⨯分）1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差0→lmR ，则差分方程的解lm U 趋近于微分方程的解lm u . 此结论_______（错或对）； 2．一阶Sobolev 空间{})(,,),()(21Ω∈''=ΩL f f f y x f H y x关于内积=1),(g f _____________________是Hilbert 空间；3．对非线性（变系数）差分格式，常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性； 4．写出3x y =在区间]2,1[上的两个一阶广义导数：_________________________________， ________________________________________；5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______（错或对）。
二．（13分）设有椭圆型方程边值问题用1.0=h 作正方形网格剖分 。
（1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； （2）用截断误差为)(2h O 的差分法将第三边界条件离散化； （3）整理后的差分方程组为 三．（12）给定初值问题xut u ∂∂=∂∂ ， ()10,+=x x u 取时间步长1.0=τ，空间步长2.0=h 。
试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数),(t x u 在2.0,2.0=-=t x 处的近似值。
1．所选用的差分格式是： 2．计算所求近似值：四．（12分）试讨论差分方程()ha h a r u u r u u k l k l k l k l ττ+-=-+=++++11,1111逼近微分方程0=∂∂+∂∂xu a t u 的截断误差阶R 。
思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。
思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格式。
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a12 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 q1
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2 q3
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六章 q1
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L试讨论逼近对蘇程詈+若。
的差分沁1)2)q1 二：行口匚1）解：设点为（X ? ，/曲）屮则町=讥心厶）=班勺厶+J + °（工心）（Y ）+0（F ）.ot所以截断误差为：3E=丄 ------ + ---- 「 T h 啰_喟+竺护一 o （F ）T= 0（T + 力”2）解：设点为：（X y ，/林1 ） 3则町=讥勺,_）=以E ，_+1）+ （Y ） +o （巧卩 ot “；：；=班心+1 厶+i ）=叽厶+i ）+滋（ h ）+ * 臥工心）（为 2）+o ox (X)d心;=班心亠心）=班心，/+1）+敕:;D （一力）+ 3 役;D（血 2）+0（亥2）«截断误差为：2舟A 1 ” E= ------------ + ------------ — （―+ _） T h dt dx叭：=班％厶+i ）+敗？心）（_勿+0 @2）〜dx-(史+空八dt dx 呼1_吋】+竺丛Q —O （X ）-(叱 3 +dtdx 22・试用积分插值法推导知铁。
逼近的差分裕式班勺厶叙）一班勺，乩i）+ ——-——£）dtTq2 “-” *\ | (— 4- —)dxdt = | (un t 4- un x)ds = 0* dt & \得-U] /J+U2 r+x^ A-u4 r = 0+JE (j-l? n)F (j,n)G (j^n+l)H (j-l,n+l)^% ~ 的=旳=竹“4 = W/-lMf MTh=h T-T-ll"h + LL r H + ll：4h —LL：N =Op第二章第三章第四章第五章第六章P781.如果①'（0）二0,则称工。
是』（0）的驻点（或稳定:点）-设矩阵A对称（不必正定），求证忑是』（工）的驻点.的充要条件是1心是方程加二&的解B 42・ 试用积分插值法推导知铁。
逼近的差分裕式证： 充分性：①⑻二J 缶)+ 乂(加° -b t ^+—(Ax r x)①'(Ji) = (Ax c - A, x) + A{Ax r x) aEff))S 宀沪若①0)二Q,即(山° 一氛对=0 心怎宀A X Q -h = ()目卩 Ax-b^则帀是方程Ax^b 的解卩 必要性*若心是芳程A^ = b^\解则 Ax a —h - 0 (J 4X 0 — Z?,x) = 0+^◎ (0)=(吐命-b t x) - 0+J所以町是』0)的驻点dpg%3：证明非齐次两点边值间题心現(&)二 e it (E)二 Qu与T 7面的变分间题等价：求血EH 】，认@) = G 使 J(w t ) = min J(y)其中心SiuHU (2)-d』(#) =壬仗站)-(7» —芒⑹戲(D) +而久込叭如(2.13)(提示；先把边值条件齐衩化)+d dxO 字)+梓二/ ax13页证明：令 = w(x) + v(x)其中 w(x) = Q + (x-a)0 w(a) = a yv @) = “v(a) = 0 v(^>) = 0®所以2S = 瞥+qu = j DX DX Pd r /w 血、《, 乂 、 f"丁〔P(T + ：F)]+Q(W + V )" ax dx ax* 丫 d z dv. 产 / d dw 、 豪 令 = - — O —) +(?v = /-(- —^> — +^w) = y;^ ax ax dx ax 所以(1)的等价的形式2厶” =一?0 字)= 卩ax axu(a) = a u\b) = 0a其中久=/-(-£■去字+0W )"ax ax 则由定理22知，讥是辺值间题（2）的解的充要条件是 且满定变分方程"ogf)-C/i 小 0 Vve^Pr (Zv> 一 /j )tdx + p @»： (b)f @) ① W = J(u) = J(u.+^)^— a （u^ + 兔，以.+ 无）一（/,功・ +加）［以・（E ）+加@）］ 2 □2=J(认)+ N[a@・,f)-(/,£)-+乙agd-Qfm 沁卜• Q dx dx 「（加•一/）加x +卩@加：（砂@）-卩@）戊@） Ja（3） => （4）所以可证得• 3必要性：若如 是边值间题（1）的解。
偏微分方程数值解期末试题及参考答案
《偏微分方程数值解》试卷参考答案与评分标准专业班级信息与计算科学开课系室考试日期 2006.4.14命题教师王子亭偏微分方程数值解试题(06A)参考答案与评分标准信息与计算科学专业一（10分）、设矩阵A 对称正定，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，证明下列两个问题等价：(1)求n R x ∈0使 )(min )(0x J x J nRx ∈=;(2)求下列方程组的解：b Ax =解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, (3分)因此0=λ是)(λϕ的极小值点,0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若nR x ∈0满足bAx =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分)评分标准:)(λϕ的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分二（10分）、 对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()(b u a u b a x f qu dxdu p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)()(),,(|{110==∈=b u a u b a H u u H 为求解函数空间,检验函数空间.取),(10b a H v ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du pv u a b a ba ==+=⎰⎰,),(10b a H v ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdup u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式为求),(10*b a H u ∈,使)(min )(1*u J u J H u ∈= (4分)评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20分）、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=∈-=∂∂+∂∂∂0|)1,0()1,0(),(,12222G u G y x yux u （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。
偏微分方程考试题
数学物理方程及数值解 复习提要一、偏微分方程的建立 CH1 典型方程和定解条件 【内容提要】1. 方程的建立(步骤:确定物理量;微元法建立等式;化简得方程)主要方法：微元法； 泛定方程:(1) 波动方程(双曲型)：弦振动方程：222222(,)(,)(),()u x t u x t F a a txρ∂∂==∂∂张力单位长度弦质量 传输线方程：222222222221,00i a LCi a a t x t x νν∂∂∂∂-=-=∂∂∂=∂；， 电磁场方程:22222211,,H E H E t t εμεμ∂∂=∇=∇∂∂22222222221(),με标量函数形式:∂∂∂∂=++∂∂∂=∂u u u z a u a t x y (2) 热传导方程/扩散方程（抛物型）:ρ，其中22u Fa u f f t c ∂=∇+=∂ 导热杆（无热源）222u u a t x ∂∂=∂∂， 导热片（无热源）22222()u u u a t x y ∂∂∂=+∂∂∂ (3) 稳恒方程(椭圆型):Poisson 方程：，2u f ∇= Laplace 方程：，20u ∇=2.定解条件：初始条件及边界条件边界条件(1)第一类边界条件(Dirichlet 条件): 1(,)(,)D u M t f M t ∂=(2) 第二类边界条件(Neumann 条件):2Duf n ∂∂=∂ (3) 第三类边界条件(Robin 条件): 3()Duu f n σ∂∂+=∂ 3.定解问题的提法：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩偏微分方程(泛定方程)定解问题初始条件定解条件边界条件()Cauchy ⎧⎨⎩泛定方程(1)初始问题初始条件 ⎧⎨⎩泛定方程(2)边界问题(第一,二,三)边界条件⎧⎪⎨⎪⎩泛定方程(3)混合问题初始条件边界条件4.线性偏微分方程的基本性质（1）.线性迭加原理212,11,,,,,,,:nnij i ij i n i j i i j iL a b c a b c f x x x x x x ==∂∂=++∂∂∂∑∑其中是算子的函数111(1,2)(),nnni i ii ii i i i i i L u f in L c u c L u c f=====⇒==∑∑∑命题：21110(1,2),,()0,nnii i i i i i i i i i k j u Lu i c u c L c u x x ∞===∂==⇒=∂∂∑∑∑一致敛命收题：(2.) 齐次化原理（冲量原理）Duhamel 原理：设(,,)x t ωτ是方程22222,,(,)(,)0,(,),a x t t x x x f x x t ωτωτωττω⎧∂∂=-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解，⇒0(,,)d ,()t x t u x t ωττ=⎰是方程22222(,),,0(,0)(,0)0,0,u u a f x t x t tx u x u x x t ⎧∂∂=+-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解。
偏微分方程数值解法题解
偏微分方程数值解法（带程序）例1 求解初边值问题22,(0,1),012,(0,]2(,0)12(1),[,1)2(0,)(1,)0,0u ux t t x x x u x x x u t u t t ⎧⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩∂∂=∈>∂∂∈=-∈==>要求采用树脂格式 111(2)n n n n nj j j j j u u u u u λ++-=+-+，2()tx λ∆=∆，完成下列计算： （1） 取0.1,0.1,x λ∆==分别计算0.01,0.02,0.1,t =时刻的数值解。
（2） 取0.1,0.5,x λ∆==分别计算0.01,0.02,0.1,t =时刻的数值解。
（3） 取0.1, 1.0,x λ∆==分别计算0.01,0.02,0.1,t =时刻的数值解。
并与解析解22()22181(,)sin()sin()2n t n u n x t n x e n ππππ∞-==∑进行比较。
解：程序function A=zhongxinchafen(x,y,la) U=zeros(length(x),length(y)); for i=1:size(x,2)if x(i)>0&x(i)<=0.5 U(i,1)=2*x(i); elseif x(i)>0.5&x(i)<1 U(i,1)=2*(1-x(i)); end endfor j=1:length(y)-1for i=1:length(x)-2U(i+1,j+1)=U(i+1,j)+la*(U(i+2,j)-2*U(i+1,j)+U(i,j)); end endA=U(:,size(U,2))function u=jiexijie1(x,t) for i=1:size(x,2) k=3;a1=(1/(1^2)*sin(1*pi/2)*sin(1*pi*x(i))*exp(-1^2*pi^2*t));a2=a1+(1/(2^2)*sin(2*pi/2)*sin(2*pi*x(i))*exp(-2^2*pi^2*t));while abs(a2-a1)>0.00001a1=a2;a2=a1+(1/(k^2)*sin(k*pi/2)*sin(k*pi*x(i))*exp(-k^2*pi^2*t));k=k+1;endu(i)=8/(pi^2)*a2;endclc; %第1题第1问clear;t1=0.01;t2=0.02;t3=0.1;x=[0:0.1:1];y1=[0:0.001:t1];y2=[0:0.001:t2];y3=[0:0.001:t3];la=0.1;subplot(131)A1=zhongxinchafen(x,y1,la);u1=jiexijie1(x,t1)line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);hold online(x,u1,'color','b','linewidth',1);A2=zhongxinchafen(x,y2,la);u2=jiexijie1(x,t2)line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,u2,'color','b','linewidth',1);A3=zhongxinchafen(x,y3,la);u3=jiexijie1(x,t3)line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,u3,'color','b','linewidth',1); title('例1(1)');subplot(132);line(x,u1,'color','b','linewidth',1);line(x,u2,'color','b','linewidth',1);line(x,u3,'color','b','linewidth',1);title('解析解');subplot(133);line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);title('数值解');clc; %第1题第2问clear;t1=0.01;t2=0.02;t3=0.1;x=[0:0.1:1];y1=[0:0.005:t1];y2=[0:0.005:t2];y3=[0:0.005:t3];la=0.5;subplot(131);A1=zhongxinchafen(x,y1,la);u1=jiexijie1(x,t1)line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);hold online(x,u1,'color','b','linewidth',1);A2=zhongxinchafen(x,y2,la);u2=jiexijie1(x,t2)line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,u2,'color','b','linewidth',1);A3=zhongxinchafen(x,y3,la);u3=jiexijie1(x,t3)line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5); line(x,u3,'color','b','linewidth',1);title('例1(2)'); subplot(132);line(x,u1,'color','b','linewidth',1); line(x,u2,'color','b','linewidth',1);line(x,u3,'color','b','linewidth',1);title('解析解'); subplot(133);line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5); line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);title('数值解');clc; %第1题第3问 clear;t1=0.01;t2=0.02;t3=0.1;x=[0:0.1:1];y1=[0:0.01:t1];y2=[0:0.01:t2];y3=[0:0.01:t3];la=1.0; subplot(131);A1=zhongxinchafen(x,y1,la);u1=jiexijie1(x,t1)line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);hold on line(x,u1,'color','b','linewidth',1);A2=zhongxinchafen(x,y2,la);u2=jiexijie1(x,t2) line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5); line(x,u2,'color','b','linewidth',1);A3=zhongxinchafen(x,y3,la);u3=jiexijie1(x,t3) line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5); line(x,u3,'color','b','linewidth',1);title('例1(3)'); subplot(132);line(x,u1,'color','b','linewidth',1); line(x,u2,'color','b','linewidth',1);line(x,u3,'color','b','linewidth',1);title('解析解'); subplot(133);line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5); line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);title('数值解'); 运行结果：表1：取0.1,0.1,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解表2：取0.1,0.5,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解表3：取0.1, 1.0,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解图1：取0.1,0.1,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解图2：取0.1,0.5,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解图3：取0.1, 1.0,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解例2 用Crank-Nicolson 格式完成例1的所有任务。
偏微分方程考试题及答案
偏微分方程考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 偏微分方程的一般形式是什么？A. \( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partialu}{\partial y} = 0 \)B. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \)C. \( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 0 \)D. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partialu}{\partial y} = 0 \)答案：B2. 以下哪个方程不是线性偏微分方程？A. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 3u = 0 \)B. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 1 \)C. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2\frac{\partial u}{\partial y} = 0 \)D. \( u^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \)答案：D3. 波动方程的解通常表示为两个函数的和，这两个函数分别是？A. \( f(x+ct) \) 和 \( g(x-ct) \)B. \( f(x+ct) \) 和 \( g(x+ct) \)C. \( f(x-ct) \) 和 \( g(x+ct) \)D. \( f(x+ct) \) 和 \( h(x-ct) \)答案：A4. 拉普拉斯方程的解是调和函数，以下哪个条件不是调和函数必须满足的？A. \( \Delta u = 0 \)B. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 0 \)C. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0 \) D. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 1 \)答案：D5. 以下哪个条件不是偏微分方程解的存在性和唯一性定理所要求的？A. 初始条件B. 边界条件C. 系数的连续性D. 变量的离散性答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 偏微分方程 \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} -\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \) 是一个 ________ 方程。
偏微分方程数值解例题答案
yyy[y例11110.1[1(101)]0.9,10.1[0.9(10.10.9)]0.9019,1(0.90.9019)0.900952p c y y y ì=-´´+´=ïï=-´´+´=íïï=+=î20.900950.1[0.90095(10.10.90095)]0.80274,0.900950.1[0.80274(10.20.80274)]0.80779,1(0.802740.80779)0.805262p c y y yì=-´´+´=ïï=-´´+´=íïï=+=î 这样继续计算下去，其结果列于表9.1. 表9.1 Euler 方法方法改进的Euler 方法方法准确值准确值n xn yny)(n x y0.1 0.9000000 0.9009500 0.9006235 0.2 0.8019000 0.8052632 0.8046311 0.3 0.7088491 0.7153279 0.7144298 0.4 0.6228902 0.6325651 0.6314529 0.5 0.5450815 0.5576153 0.5563460 0.6 0.4757177 0.4905510 0.4891800 0.7 0.4145675 0.4310681 0.4296445 0.8 0.3610801 0.3786397 0.3772045 0.9 0.3145418 0.3326278 0.3312129 1.0 0.2741833 0.2923593 0.2909884 从表9.1可以看出,Euler 方法的计算结果只有2位有效数字,而改进的Euler 方法确有3位有效数字,这表明改进的Euler 方法的精度比Euler 方法高. 例2 试用Euler 方法、改进的Euler 方法及四阶经典R-K 方法在不同步长下计算初值问题ïîïíì=££+-=1)0(,10),1(d d y x xy y xy 在0.2、0.4、0.8、1.0处的近似值，并比较它们的数值结果. 解 对上述三种方法,每执行一步所需计算)1(),(xy y y x f +-=的次数分别为1、2、4。
偏微分方程数值解复习题(2013硕士)
偏微分方程数值解期末复习（2012硕士）一、考题类型本次试卷共六道题目，题型及其所占比例分别为：填空题20%；计算题80% 二、按章节复习内容第一章知识点：Euler法、向前差商、向后差商、中心差商、局部截断误差、整体截断误差、相容性、收敛性、阶、稳定性、显格式、隐格式、线性多步法、第一特征多项式、第二特征多项式、稳定多项式、绝对稳定等；要求: 熟练一元函数的数值微分公式；会辨认差分格式, 计算线性多步法的局部截断误差和阶;第二章知识点：矩形网格、(正则,非正则)内点、边界点、偏向前(向后,中心)差商、五点差分格式、增设虚点法、积分插值法、线性椭圆型差分格式、极值原理、比较定理、五点差分格式的相容、收敛和稳定性等；要求: 熟练多元函数的数值微分公式；会建立椭圆型方程边值问题的差分格式；计算局部截断误差；了解极值原理讨论格式的收敛性和稳定性;第四章知识点：最简显格式、最简隐格式、CN格式、双层加权格式、Richardson 格式、网格比、传播因子法(分离变量法) 、传播因子、传播矩阵、谱半径、von Neumann条件、跳点格式、ADI格式等；要求: 会建立抛物型方程边值问题的经典差分格式；计算局部截断误差;会计算格式的传播因子或传播矩阵；会讨论格式的稳定性；第五章知识点：依赖区域、左偏心格式、右偏心格式、中心格式、LF格式、LW 格式、Wendroff格式、跳蛙格式、特征线、CFL条件等；要求: 建立双曲型方程边值问题的差分格式；计算局部截断误差;会计算格式的传播因子或传播矩阵；讨论格式的稳定性；第七章知识点：单元、线性元、线性基、(单元)刚度矩阵、(单元)荷载向量等；要求: 会用线性元(线性基)建立常微分方程边值问题的有限元格式三 练习题1、 试建立Euler 法(向后Euler 法或梯形法)，并讨论格式的局部截断误差和阶。
P4，6，8+课件2、 已知一个线性二或三步法，试讨论格式的局部截断误差和阶。
偏微分方程数值习题解答(20210302221841)
李微分方程数值解习题解答1-1如果（P（0）= 0 ,则称X。
是丿（X）的驻点（或稳走点）•矩阵A对称（不必正走）, 求证兀0是丿（兀）的驻点的充要条件是：兀0是方程组= b的解证明:由恥）的走义与内积的性线性性质，得必要性:由0 （0） = 0,得，对于任何X w R",有（Ax Q-b,x） = 0r由线性代数结论知，充分性：由Ax0 = b,对于任何'G R",即兀是丿0）的驻点.§1-2补充：证明广（劝的不同的广义导数几乎处处相等. 证明:设f e L2（Z）,碍e E⑴为/（x）的广义导数，由广义导数的定义可知，对于任意0（劝《：（/）,有两式相减，得到由变分基本引理胡-&几乎处处为零间g理几乎处处相等•补充证明血巧的连续性条件（证明：设I p(x) \<M.\q{x) \<M ,^Sch warz不等式I tz(w,v) 1=1 ^\puv + quv)dx \< M II u II .11 v II II w II .11 v II< 2M*II u II, .11 v II*其中W = max{ M,M }习题:1设fg为/g的一阶广义导数,试用类似的方法走义f⑴的k阶导数伙=1,2,...）解:一阶广义导数的定义，主要是从经典导数经过分部积分得到的关系式来走义，因此可得到如下走义:对于/⑴e厶S若有g（x） e皿）,使得对于任意的^eC；（Z）f有则称/（X）有k阶广义导数,g（x）称为/（X）的k阶广义导数，并记gd）卑dx注:高阶广义导数不是通过递推走义的，可能有高阶导数而没有低阶导数.2.利用必）的完全性证明是Hilbert空间• 证明:只证刃⑴的完全性•设｛/“｝为刃⑴的基本列间因此知｛九｝,｛/；｝都是厶（/）中的基本列（按厂（/）的范数）•由从/）的完全性，存在f,g € %）,使II f n -门0,11 f n - g ll°T 0,以下证明皿-门TO（关键证明防孚）ax由Schwarz不等式f有对于任意的0(兀)e C；(/)f成立由 f fn (x)(p(x)dx = -£ f n (x)(p (x)dx 取极限得到［g(x)0(x)Jx = -^f(x)(p(x)dx 即g(x) = f \即仔H'(D且故H (/)中的基本列是收敛的,H (/)是完全的.3•证明非齐次两点边值问题证明:边界条件齐次化令u0(x) = a + p(x — d)f则w = u—如满足齐次边界条件亠满足的方程为5 =Lu — Lu(} = f - Lu{} f即w对应的边值问题为f Lw = f-Lu0⑹[w(d) = 0, vv (/?) = 0由走理知，问题p与下列变分问题等价求哄cm；, J(w.) = rninJ\w) 其中丿(w) = |a(w,w)-(y- Lu0,w)・而而(Lu Q,u)-a(u Q9u) = -p(b)j3u(b) + C2从而J*(w) = 7(w)- p(b)陋b) + C则关于w的变分问题p等价于：求仏 e C2C\H l,u(a) = a使得其中丿(u) = - p(b)陋b)4就边值问题(解:令％ =& + J3(x-a)t w = u- u()t则"满足等价于:Vve/7；应用分部积分，还原"，于是，边值问题等价于:求"e H',u(a) = 使得VveH；,成立注:形式上与用i去乘方程两端，应用分部积分得到的相同.5试建立与边值问题 等价的变分问题.解:取解函数空间为比(D 对于任意「e 比(/)用v 乘方程两端,应用分部积分，得到rjz ,d 4u 、 z d'u - dhi lh c h u M 而加小【乔皿二乔以T 冇 上式为+ uv ^dx =(/' v)走义a(",y) = f ［丫 : : : +他］必, 为双线性形式. Ja dx- dx^变分问题为:求u e /7j(/)f Vv e &(/)1-41.•用Ritz - Galerkin 方法求边值问题(p t (x) = sin(iTZX ),/ = 1,2,…屮3 -bd u dv 1 2 •——dx ]il dx dx 次近似色(%) f 基解：(1)边界条件齐次化:令如=x,w = u-u0,则W 满足齐次边界条件，且第n次近似W”取为W” = £c,0 , M中 c.(z = l,2,...n)满足的叭 - Galerkin方程为由三角函数的正交性得到2而八®十（_ 25）心丙［―于是得到最后得到2•在题1中專（1）=0代替右边值条件川3是用Ritz - Galerkin方法求解相应问题的第斤次近似"证明色（兀）按厂（0,1）收敛至U叭x），并估计误差• 证明:他对应的级数绝对收敛，由｛血沁｝的完全性知极限就是解畑直误差估计为3•就边值问题（(p.(x) = (x-ay(i = 1,2,•・；)，写出Ritz - Galerkin方程解：边界条件齐次化，取竝=CC p(X _ 6Z)，W = U _ U() 9 W对应的微分方程为对应的变分方程为变分方程为d(w,y) = (/,*) + /3p(b)v(b)— £[/^?v(x) —qu^lx取0(x) = (x-ay9i= 1,2,…，心则Ritz ・GaleTkin方程为取P = 1,纟=0, / = 1，具体计算〃=1，d(0], 0]) = f \dx = (b _ a)£ =丄(b - a)2 + 0(b - a) - 0(b — a) = L (b - a)，，2 2C[ =q(b —%即解络=%0 + —(x — a)n = 2：d(%,0)= (b_a), Q(0,輕)=^2(x-a)dx = (b-a)2得到方程组为特别取a=oe=i z有求解得到* *=-詁=1其解为均=况（）+（X 一Cl）（X 一Q）~Ch2椭圆与抛物型方程有限元法§1.1用线性元求下列边值问题的数值解：此题改为一y + y = 1, y(0) = y(l) = 0/ = 1/4 解：取/i = l/2,x y. = = 0,1,2)』,儿为未知数.Galerkin形式的变分方程为(Lu.v) = (/», 其中龙2(Lu,v) = vdx + — ^uvdx,(/,v) = £2sin —xv{x)dx又一vdx = -uv Ijj ^uvdx =9因此a（u.v） = £（wv -^-—uv）dx在单元/. = [x,,兀]中，应用仿射变换侷部坐标）Eh节点基函数为取/7 = 1 / 2,则计算得G ®, %) = 4 +咅丄厶代数方程组为代如求值・取力= 1/4,未知节点值为坷上2，均，弘4方程为应用局部坐标f表示，系数矩阵为A =他{—4 + £ ,8 +壬,_4 + £} 取/=1, (/ ®)=町:磁+皿(1—§)込占2.就非齐次第三边值条件导出有限元方程.解:设方程为厶“ = -(pu) +qu=f则由变分形式为:V「记I IA(u,v) = (pu ) + (qu°) + a2p(b)u(b)v(b) - a l p(a)u(a)v(a) F(v) = (/» + p(b)/32v(b) — p(a)^v(a)则上述变分形式可表示为4仏巧= F(v)设节点基函数为03(丿=0,1,2, (7V)则有限元方程为具体计算使用标准坐标二。
偏微分方程习题及答案
偏微分方程习题及答案【篇一：偏微分方程数值解法期末考试题答案】题答案及评分标准学年学期：专业：班级：课程：教学大纲：使用教材：教材作者：出版社：数学与应用数学数学偏微分方程数值解法《偏微分方程数值解法》教学大纲（自编，2006）《偏微分方程数值解法》陆金甫、关治清华大学出版社一、判断题（每小题1分，共10分）1、（o）2、（o）3、（x）4、（x）5、（o）6、（o）7、（o）8、（x）9、（x） 10、（o）二、选择题（每小题2分，共10分） 11、（d） 12、（a） 13、（c） 14、（b）15、（c）三、填空题（每小题2分，共20分）?2?216、2?2??x1?x2?2?2 17、a=[4 5 9;23 5 17;11 23 1] 18、y=exp(-t/3)*sin(3*t) ?xn19、help 20、zeros(m,n)21、inva(a)*b或者a/b22、a=sym([cos(x-y),sin(x+y);exp(x-y),(x-1)^3])?(s)?1?(s)?c[??(s)]2?023、a[?2(s)]2?2b?224????v(?)ed? 25、i?xu(xj,tn?1)?u(xj,tn)?四、计算题：（每小题12分，共36分）?u?u?0（x?r,t?0）的有限差分方程（两层显示26、写成对流方程?a?t?x格式，用第n层计算第n+1层），并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式???/h为网格比。
解：在点(xj,tn)处，差分方程为?1un?unjj??anunj?1?ujh?0（j?0,?1,?2,，n?0,1,2,）（8分）便于计算的形式为?1nnn???/h （4分） un?u?a?(u?ujjj?1j)，?u?2u?a2的有限差分方程（中心差分格式，用第n层27、写出扩散方程?t?x计算第n+1层），并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式，???/h2为网格比。
最新偏微分方程数值解试题参考答案
偏微分方程数值解一（10分）、设矩阵A 对称正定，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，证明下列两个问题等价：(1)求n R x ∈0使)(min )(0x J x J n Rx ∈=;(2)求下列方程组的解：b Ax = 解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, (3分)因此0=λ是)(λϕ的极小值点,0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若nR x ∈0满足bAx =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分)评分标准:)(λϕ的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分二（10分）、对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()(b u a u b a x f qu dxdu p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)()(),,(|{11==∈=b u a u b a H u u H 为求解函数空间,检验函数空间.取),(10b a H v ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du p v u a b a ba ==+=⎰⎰,),(1b a H v ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdup u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式为求),(1*b a H u ∈,使)(m in )(10*u J u J H u ∈= (4分) 评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20分）、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=∈-=∂∂+∂∂∂0|)1,0()1,0(),(,12222G u G y x yux u （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。
偏微分方程数值解（试题）
偏微分⽅程数值解（试题）偏微分⽅程数值解试题1、考虑⼀维的抛物型⽅程：2200, [0,], 0t T (,), (,)(,0)()x x u ux t xu x t u u x t u u x x ππνπ?==??=∈≤≤??=== （1）导出时间离散是⼀阶向前Euler 格式，空间离散是⼆阶精度的差分格式；（2）讨论（1）中导出的格式的稳定性；（3）若时间离散为⼆阶精度的蛙跳格式，112n n n t t u u u t t+-=?-=空间离散是⼆阶精度的中⼼差分，问所导出的格式稳定吗？为什么？2、考虑Poission ⽅程2(,)1, (,)0, in AB and AD (,)0, in BC and CDu x y x y unu x y -?=∈Ω== 其中Ω是图1中的梯形。
使⽤差分⽅法来离散该⽅程。
由于梯形的对称性，可以考虑梯形的⼀半，如图2，图2 从物理空间到计算区域的⼏何变换图1 梯形为了求解本问题，采⽤如下⽅法：将Ω的⼀半投影到正⽅形区域?Ω，然后在?Ω上使⽤差分⽅法来离散该⽅程。
在计算区域?Ω上⽤N N ?个⽹格点，空间步长为1/(1)N ξη?=?=-。
（1）引⼊⼀个映射T 将原区域Ω（带有坐标,x y ）变换到单位正⽅形?Ω（带有坐标,ξη）。
同时导出在新区域上的⽅程和边界条件。
（2）在变换区域，使⽤泰勒展开导出各导数项在区域内部和边界点上的差分格式。
3、对线性对流⽅程0 constant >0u u a a t x+=，其⼀阶迎风有限体积法离散格式为 1?n j u +=?nj u a t x-（?n j u 1?n j u --）（1）写出0a <时的⼀阶迎风有限体积法的离散格式；（2）写出a 为任意符号的常数的⼀阶迎风有限体积法的守恒形式。
（3）使⽤0 u uu t x+=说明⼀阶迎风有限体积法不是熵保持的格式。
4、对⼀维Poission ⽅程, (0,1)(0)(1)0x xx u xe x u u ?-=∈?==? 将[]01，分成(1)n +等分，写出⽤中⼼差分离散上述⽅程的差分格式，并问：（1）该差分格式与原微分⽅程相容吗？为什么？（2）该差分格式稳定吗？为什么？（3）该差分格式是否收敛到原微分⽅程的解？为什么？（4）取(1)6n +=，写出该差分格式的矩阵表⽰。
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偏微分方程数值解试题1、考虑一维的抛物型方程：2200, [0,], 0t T (,), (,)(,0)()x x u ux t xu x t u u x t u u x x ππνπϕ==∂∂=∈≤≤∂∂=== （1）导出时间离散是一阶向前Euler 格式，空间离散是二阶精度的差分格式；（2）讨论（1）中导出的格式的稳定性； （3）若时间离散为二阶精度的蛙跳格式，112n n n t t u u u t t+-=∂-=∂∆ 空间离散是二阶精度的中心差分，问所导出的格式稳定吗？为什么？2、考虑Poission 方程2(,)1, (,)0, in AB and AD (,)0, in BC and CDu x y x y unu x y -∇=∈Ω∂=∂= 其中Ω是图1中的梯形。
使用差分方法来离散该方程。
由于梯形的对称性，可以考虑梯形的一半，如图2，图2 从物理空间到计算区域的几何变换图1 梯形为了求解本问题，采用如下方法：将Ω的一半投影到正方形区域ˆΩ，然后在ˆΩ上使用差分方法来离散该方程。
在计算区域ˆΩ上用N N ⨯个网格点，空间步长为1/(1)N ξη∆=∆=-。
（1）引入一个映射T 将原区域Ω（带有坐标,x y ）变换到单位正方形ˆΩ（带有坐标,ξη）。
同时导出在新区域上的方程和边界条件。
（2）在变换区域，使用泰勒展开导出各导数项在区域内部和边界点上的差分格式。
3、对线性对流方程0 constant >0u u a a t x∂∂+=∂∂，其一阶迎风有限体积法离散格式为 1ˆn j u +=ˆnj u a t x∆-∆（ˆn j u 1ˆn j u --）（1）写出0a <时的一阶迎风有限体积法的离散格式；（2）写出a 为任意符号的常数的一阶迎风有限体积法的守恒形式。
（3）使用0 u uu t x∂∂+=∂∂说明一阶迎风有限体积法不是熵保持的格式。
4、对一维Poission 方程, (0,1)(0)(1)0x xx u xe x u u ⎧-=∈⎨==⎩ 将[]01，分成(1)n +等分，写出用中心差分离散上述方程的差分格式，并问： （1）该差分格式与原微分方程相容吗？为什么？ （2）该差分格式稳定吗？为什么？（3）该差分格式是否收敛到原微分方程的解？为什么？ （4）取(1)6n +=，写出该差分格式的矩阵表示。
5、叙述二重网格方法的执行过程，并对一维常微分方程边值问题225, (0,1)(0)(1)0xx u x x x u u πππ⎧-=∈⎨==⎩（sin(5)+9sin(15)） 给出限制算子和延拓算子矩阵（以细网格h ：7n =，粗网格2h ：3n =为例）。
6、对一阶波动方程01(,0)sin(), (0,1)2(0,)(1,)u u t x u x x x u t u t π∂∂⎧+=⎪∂∂⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎪⎩（1）写出用中心差分进行空间离散，用一阶向后Euler 进行时间离散的差分格式；（2）使用线方法，分析上述格式的稳定性。
7、考虑散热片的设计问题。
二维散热片如图3所示，是由一个中心柱和4个水平的子片构成；散热片从底部root Γ的均匀通量源通过大表面的子片散热到周围的空气中。
散热片可由一个5维参数向量来表示，125(,,,)μμμμ=，其中,1,,4i ik i μ==，和5Bi μ=；μ可取给定设计集5D ⊂中的任意值。
ik 是第i 个子片热传导系数（01k ≡是中柱的热传导系数）；Bi 是Biot 数，反映在散热片表面的对流输运的热传导系数（大的Bi 意味好的热传导）。
比如，假定我们选择散热片具有如下参数12340.4,0.6,0.8, 1.2,0.1k k k k Bi =====，此时(0.4,0.6,0.8,1.2,0.1)μ=。
中心柱的宽度是1，高度是4；子片的厚度0.25t =，长度 2.5L =。
我们将输出温度root T 看作是125(,,,)μμμμ=的函数，其中输出温度root T 是散热片底部定常态温度的均值，输出温度root T 越低，散热效果越好。
在散热片内定常态温度分布()u μ，由椭圆型方程控制其中i u 是u 在iΩ的限制，i Ω是热传导系数为,0,,4ik i =的散热片的区域：0Ω是中心柱，,1,,4i i Ω=对应4个子片。
整个散热片区域记为Ω，Ω的边界记为Γ。
为确保在传导系数间断界面0int ,1,,4i ii Γ=∂Ω⋂∂Ω=上温度和热通量的连续性，我们有这里ˆin是i∂Ω的外法线。
在散热片的底部引入Neumann 边界条件来刻画热源；一个Robin 边界条件来刻画对流热损失，其中iext Γ是iΩ暴露在流体流动中的边界部分，40\iext root i =Γ=ΓΓ。
在底部的平均温度0()(())r o o t T l u μμ=，其中0()rootl v v Γ=⎰。
在这个问题中，我们取0()()l v l v =。
（1）证明1()()u X H μ∈≡Ω满足弱形式其中（2）证明()u X μ∈是()J w 在X 中取得极小值的变量（3）考虑线性有限元空间找()h h u X μ∈，使得此时运用通常的节点基，我们得矩阵方程其中n 是有限元空间的维数。
请推导出单元矩阵33kh A ⨯∈，单元荷载向量3kh F ∈，单元输出向量3kh L ∈；并且描述从单元量获得总矩阵,,h h h A F L 的程序。
8、考虑Poisson 方程2(,)1, (,)(,)0u x y x y u x y ∂Ω-∇=∈Ω=其中Ω是单位正方形，定义空间和泛函{}110()()0X H v H v ∂Ω=Ω=∈Ω=(,)()a u v u vdAl v vdAΩΩ=∇⋅∇=⎰⎰若2()u C ∈Ω，且u 是上述Poisson 方程的解， （1）证明u 为()J w 在空间X 上的极小值点，其中 1()(,)()2J w a w w l w =- （2）证明u 满足弱形式(,)(), a u v l v v X =∀∈ （3）作图示均匀三角形剖分，步长13h =，写出下列节点编号所对应的刚度矩阵和荷载向量。
(a)节点编号顺序为11211222(,), (,), (,), (,) 33333333 (b) 节点编号顺序为12211122(,), (,), (,), (,) 33333333(4)假定基函数和节点有同样的编号，写出节点为22(,) 33的节点基函数。
9、考虑一维的poisson 方程2(3), (0,1)(0)(1)0x xx u x x e x u u -=+∈==将(0,1)区间分成1n +等份，用中心差分离散二阶导数，完成下列各题：（1） 写出该问题的矩阵形式的离散格式：ˆAuf =； （2） 记{}11,iji j n Aα-≤≤=，证明·非负性 0, 1,ij fori j n α≥≤≤·有界性 110, 18Nij j for i n α=≤≤≤≤∑10、交通流问题可用如下的非线性双曲型方程来刻划0ut xρρ∂∂+=∂∂ 其中(,)x t ρρ=是汽车密度（每公里汽车的辆数），(,)u u x t =是速度。
假定速度u 是密度ρ的函数：max max1u u ρρ⎛⎫=-⎪⎝⎭其中max u 是最大速度，max 0ρρ≤≤。
max max ()1f u u ρρρρρ⎛⎫==- ⎪⎝⎭用如下的Roe 格式11122n nn ni i i i t F F x ρρ++-⎛⎫∆=-- ⎪ ⎪∆⎝⎭其中[]11112211()()()22n i i i i i i F f f a ρρρρ++++=+-- 11max max2(1)i i i au ρρρ+++=-求解下列绿灯亮了问题： 此时初始条件为,0(0)0, 0L x x ρρ<⎧=⎨≥⎩一些参数如下：max max max40.81,0.8,1,,400L x u x t u ρρ∆===∆=∆=。
（1） 给出2t =时问题的解；（2） Roe 格式满足熵条件吗？为什么？11、考虑1D 常微分方程两点边值问题 1, (0)(1)0xx u u x u u -+=∈Ω==其中 (0,1)Ω=，定义空间和泛函{}110()()0X H v H v ∂Ω=Ω=∈Ω=(,)()a u v u vdA uvdAl v vdAΩΩΩ=∇⋅∇+=⎰⎰⎰若2()u C ∈Ω，且u 是上述1D 常微分方程两点边值问题的解， （1）证明u 为()J w 在空间X 上的极小值点，其中1()(,)()2J w a w w l w =- （2）证明u 满足弱形式(,)(), a u v l v v X =∀∈（3）将 (0,1)Ω=均匀剖分成1n +等份（比如9n =），,0,1,,1i x ih i n ==+，记第k个三角单元1(,),1,,1kh k k T x x k n -==+，写出节点编号为3所对应的节点基函数及第3个单元所对应的刚度矩阵和荷载向量。
（4）写出9n =时，该问题有限元离散所对应的线性方程组。