2019-2020学年高中数学 1.1 集合的概念与运算教案 新人教版必修1.doc

2019-2020学年高中数学 1.1 集合的概念与运算教案新人教版必修1【考点透视】1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.2．了解空集和全集的意义.3．了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．4．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.5．注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A⊆B,则有A=∅或A≠∅两种可能，此时应分类讨论.【例题解析】题型1．正确理解和运用集合概念理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.例1.已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}思路启迪：集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D．点评：①本题求M∩N，经常发生解方程组21,1.y xy x⎧=+⎨=+⎩0,1,xy=⎧⎨=⎩得1,2.xy=⎧⎨=⎩或从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x ∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．例2.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（）A．P B．Q C． D．不知道思路启迪：类似上题知P集合是y=x2（x∈R）的值域集合，同样Q集合是y= x2＋1（x∈R）的值域集合，这样P∩Q意义就明确了．解：事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y= x2＋1的值域，由P={y|y ≥0},Q={y|y≥1}，知Q P，即P∩Q=Q．∴应选B．例3. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（）A．P∩Q=∅ B．P Q C．P=Q D．P Q例4若}032|{}1|{22=--===x x x B x x A ，，则B A ⋂= （ ）A ．{3}B ．{1}C ．∅D ．{－1} 思路启迪：{}{|1,1}{|1,3},1.A x x x B x x x A B ==-===-=∴⋂=-， 解：应选D ．点评：解此类题应先确定已知集合．题型2．集合元素的互异性集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．例5. 若A={2，4, a 3－2a 2－a ＋7},B={1, a ＋1, a 2－2a ＋2,－12 (a 2－3a －8), a 3＋a 2＋3a ＋7}，且A ∩B={2，5}，则实数a 的值是________．解答启迪：∵A ∩B={2，5}，∴a 3－2a 2－a ＋7=5,由此求得a =2或a =±1． A={2,4,5}，集合B 中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．当a =1时，a 2－2a ＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去a =1．当a =－1时，B={1,0,5,2,4}，与A ∩B={2，5}相矛盾，故又舍去a =－1．当a =2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A ∩B={2，5}，满足题设．故a =2为所求．例6. 已知集合A={a ,a ＋b, a ＋2b}，B={a ,a c, a c2}．若A=B ，则c 的值是______． 思路启迪：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a ＋b=a c 且a ＋2b=a c2，消去b 得：a ＋a c2－2a c=0，a =0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a ≠0．∴c2－2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解．（2）若a ＋b=a c2且a ＋2b=a c ，消去b 得：2a c2－a c －a =0，∵a ≠0，∴2c2－c －1=0，即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－12．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正． 例7.已知集合A={x|x2－3x ＋2=0},B={x|x2－a x ＋a －1=0}，且A ∪B=A ，则a 的值为______． 思路启迪：由A ∪B=A B A ⇒⊆而推出B 有四种可能，进而求出a 的值．解： ∵ A ∪B=A ， ,B A ∴⊆∵ A={1，2}，∴ B=∅或B={1}或B={2}或B={1，2}．若B=∅，则令△<0得a ∈∅；若B={1}，则令△=0得a =2，此时1是方程的根；若B={2}，则令△=0得a =2，此时2不是方程的根，∴a ∈∅；若B={1，2}则令△>0得a ∈R 且a ≠2，把x=1代入方程得a ∈R ，把x=2代入方程得a =3． 综上a 的值为2或3．点评：本题不能直接写出B={1，a －1}，因为a －1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B 有可能是空集，还有可能是单元素集的情况．题型3．要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．例8.设集合A={a |a =3n ＋2,n ∈Z}，集合B={b|b=3k －1,k ∈Z}，则集合A 、B 的关系是________．解：任设a ∈A ，则a =3n ＋2=3(n ＋1)－1(n ∈Z)，∴ n ∈Z,∴n ＋1∈Z.∴ a ∈B,故A B ⊆． ①又任设 b ∈B ，则 b=3k －1=3(k －1)＋2(k ∈Z),∵ k ∈Z,∴k －1∈Z.∴ b ∈A ，故B A ⊆ ②由①、②知A=B ．点评：这里说明a ∈B 或b ∈A 的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理． 例9若A 、B 、C 为三个集合，C B B A ⋂=⋃，则一定有（ ）A . C A ⊆B .AC ⊆ C .C A ≠D . A =∅[考查目的]本题主要考查集合间关系的运算.解：由A B B C =知，,A B B A B C A B C ⊆⊆∴⊆⊆，故选A.例10．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）A . 1B .3C .4D . 8[考查目的] 本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想. 解：{1,2}A =，{1,2,3}A B ⋃=，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合{1,2}A =的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个.故选C.例11． 记关于x 的不等式01x a x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ．（错误！未找到引用源。

）若3a =，求P ；（错误！未找到引用源。

）若Q P ⊆，求正数a 的取值范围．思路启迪：先解不等式求得集合P 和Q ．解：（错误！未找到引用源。

）由301x x -<+，得{}13P x x =-<<．（错误！未找到引用源。

）{}{}1102Q x x x x =-=≤≤≤． 由0a >，得{}1P x x a =-<<，又Q P ⊆，所以0a >，即a 的取值范围是(2)+∞，． 题型4. 要注意空集的特殊性和特殊作用空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误．例12. 已知A={x|x2－3x ＋2=0},B={x|a x －2=0}且A ∪B=A ，则实数a 组成的集合C 是________．解：由x2－3x ＋2=0得x=1或2．当x=1时，a =2，当x=2时，a =1．这个结果是不完整的，上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B=∅时，仍满足A ∪B=A ，当a =0时，B=∅，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．例13．已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =∅，则实数a 的取值范围是 ．思路启迪：先确定已知集合A 和B ． 解：{}{}|111,A x x a x a x a =-=-≤≤≤+{}{}25404,1.B x x x x x x =-+=≤≥≥14,1 1.2 3.a a x ∴+<->∴<<故实数a 的取值范围是(23)，． 例14. 已知集合A={x|x2＋(m ＋2)x ＋1=0,x ∈R}，若A ∩R *=∅，则实数m 的取值范围是_________．思路启迪：从方程观点看，集合A 是关于x 的实系数一元二次方程x2＋(m ＋2)x ＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A ∩R *=∅可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m 的不等式，并解出m 的范围． 解：由A ∩R *=∅又方程x2＋(m ＋2)x ＋1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根， ()()2240,20,m m ⎧∆=+-≥⎪⎨-+<⎪⎩或△=(m ＋2)2－4<0．解得m≥0或－4<m<0，即m>－4．点评：此题容易发生的错误是由A ∩R *=∅只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因为方程无零根），而把A=∅漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言．例15.已知集合A={x|x2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x ≤2p －1}．若B A ，则实数p 的取值范围是________．解：由x2－3x －10≤0得－2≤x≤5． 欲使B A ，只须213 3.215p p p -≤+⎧⇒-≤≤⎨-≤⎩∴ p 的取值范围是－3≤p≤3．上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=∅时，符合题设．应有：①当B≠∅时，即p ＋1≤2p－1p≥2．由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5．由－3≤p≤3．∴ 2≤p≤3.②当B=∅时，即p ＋1>2p －1p ＜2．由①、②得：p≤3．点评：从以上解答应看到：解决有关A ∩B=∅、A ∪B=∅，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．题型5．要注意利用数形结合解集合问题集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．例16.设全集U={x|0<x<10,x∈N*}，若A∩B={3}，A∩CUB={1，5，7}，CUA∩CUB={9}，则集合A、B是________．思路启迪：本题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，由图不难看出．解：A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}．例17.集合A={x|x2＋5x－6≤0},B={x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B．解：∵ A={x|x2－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}，B={x|x2＋3x>0}={x|x<－3，或x>0}．如图所示，∴ A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3，或x>0}=R．A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3，或x>0}={x|－6≤x＜－3，或0<x≤1}．点评：本题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果．例18.设A={x|－2<x<－1，或x>1}，B={x|x2＋a x＋b≤0}，已知A∪B={x|x>－2}，A∩B={x|1<x≤3}，求a、b的值．思路启迪：可在数轴上画出图形，利用图形分析解答．解：如图所示，设想集合B所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B覆盖住集合{x|－1<x<3}，才能使A∪B={x|x>－2}，且A∩B={x|1<x≤3}．根据二次不等式与二次方程的关系，可知－1与3是方程x2＋a x＋b=0的两根，∴a=－(－1＋3)=－2， b=(－1)×3=－3．点评：类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果．。