有理数及其运算
第二章 有理数及其运算(知识归纳+题型突破)(解析版)
第二章有理数1.了解具有相反意义的量，正负数的概念；2.理解有理数、相反数、绝对值、倒数的概念，能正确解题；3.理解数轴的概念，并能正确画出数轴,，在数轴上表示数；4.理解有理数加法、减法、乘法、除法法则、；5.理解有理数乘方定义及运算；6.能掌握加法、减法的运算定律和运算技巧，熟练计算；能掌握乘法的运算定律和运算技巧，熟练计算；7.通过将减法转化成加法和将除法转化成乘法，初步培养学生数学的归一思想8.进一步掌握有理数的五则混合运算；9.理解科学记数法，了解近似数；10.能运用科学记数法表示较大的数.知识点1 正数和负数1.概念正数：大于0的数叫做正数。
负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。
注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。
（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。
）2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。
知识点2：有理数1.概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。
分数：正分数、负分数统称分数。
（有限小数与无限循环小数都是有理数。
）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。
2.分类：两种⑴按正、负性质分类：⑵按整数、分数分类：正有理数正整数正整数有理数正分数整数0零有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数知识点3：数轴1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
三要素：原点、正方向、单位长度2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。
比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。
3.应用求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。
（注意不带“+”“—”号）知识点3 ：相反数1.概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。
（0的相反数是0）几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。
2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。
(完整版)有理数的性质及其运算知识点汇总
(完整版)有理数的性质及其运算知识点汇总有理数的性质及其运算知识点汇总一、有理数性质有理数是可用两个整数的比表示的数，包括正整数、负整数和零。
有理数的性质如下：1. 有理数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
2. 有理数的加法和乘法满足交换律和结合律。
3. 有理数的乘法满足分配律。
4. 有理数的加法、减法和乘法仍然是有理数。
5. 有理数可以用小数形式表示。
二、有理数运算知识点1. 有理数的加法有理数的加法满足以下规则：- 两个正有理数相加，结果仍为正有理数。
- 两个负有理数相加，结果仍为负有理数。
- 正有理数和负有理数相加，结果为它们的差的绝对值的符号与较大绝对值的符号相同。
2. 有理数的减法有理数的减法可以转化为加法运算，规则如下：- 减去一个有理数等于加上这个有理数的相反数。
3. 有理数的乘法有理数的乘法满足以下规则：- 正有理数乘以正有理数，结果仍为正有理数。
- 负有理数乘以负有理数，结果仍为正有理数。
- 正有理数乘以负有理数，结果为它们的积的符号为负。
- 任何数乘以零，结果为零。
4. 有理数的除法有理数的除法可以转化为乘法运算，规则如下：- 除以一个有理数等于乘以这个有理数的倒数（除数不为零）。
5. 有理数的运算顺序有理数的运算顺序遵循以下规则：1. 先计算括号中的内容。
2. 然后按照先乘除，后加减的顺序计算。
3. 如果有多个乘法或除法，按照从左到右的顺序进行。
6. 有理数的小数形式表示有理数可以用小数形式表示，其中：- 有限小数是按照小数位数为限的。
- 循环小数是具有重复循环数字的。
以上是有理数的性质及其运算知识点的汇总，希望对你有所帮助。
有理数及其运算要点整理
有理数及其运算要点整理1. 有理数的定义有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，它们可以是正数、负数或零。
有理数包括整数、分数和小数。
2. 有理数的运算2.1 加法与减法有理数的加法和减法遵循以下规则：- 同号相加：两个正数相加，结果仍为正数；两个负数相加，结果仍为负数。
- 异号相减：一个正数减去一个负数，相当于两个正数相加；一个负数减去一个正数，相当于两个负数相加。
- 异号相减取相反数：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
2.2 乘法与除法有理数的乘法和除法遵循以下规则：- 同号相乘：两个正数相乘，结果仍为正数；两个负数相乘，结果仍为正数。
- 异号相乘：两个不相等的有理数相乘，结果为负数。
- 除法是乘法的逆运算：一个数除以另一个数，等于将被除数乘以除数的倒数。
3. 有理数运算的要点3.1 加法与减法的要点- 将有理数按照同号、异号分类进行计算，遵循同号相加、留号不变；异号相减，取相反数相加的原则。
- 确保有理数的运算过程中，将同种类型的数进行运算，如整数与整数相加，分数与分数相加，小数与小数相加。
3.2 乘法与除法的要点- 乘法的结果符号由乘数和被乘数决定，同号得正，异号得负。
- 除法的结果符号由被除数和除数决定，同号得正，异号得负。
- 乘法和除法都要注意化简分数，使结果尽量简化。
4. 示例4.1 加法与减法示例例1：计算 -5 + (-3)。
解：两个负数相加，结果仍为负数，所以 -5 + (-3) = -8。
例2：计算 -4 - 2。
解：一个负数减去一个正数，相当于两个负数相加，所以 -4 -2 = -6。
4.2 乘法与除法示例例3：计算 -2 × 3。
解：两个不相等的有理数相乘，结果为负数，所以-2 ×3 = -6。
例4：计算 12 ÷ (-4)。
解：一个正数除以一个负数，结果为负数，所以 12 ÷ (-4) = -3。
以上是有理数及其运算的要点整理，希望对你理解有理数的运算有所帮助。
《有理数及其运算》知识要点
第二章 《有理数及其运算》知识要点1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，a+b=0⇔a 、b 互为相反数. 零的相反数是零.2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，三要素缺一不可）。
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
3、倒数：乘积为1的两个有理数 互为倒数，即ab=1⇔a 、b 互为倒数.倒数等于本身的数是1和-1。
0没有倒数。
4、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值. 正数的绝对值是它本身； 负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0。
互为相反数的两个数的绝对值相等。
绝对值相等的两个数相等或互为相反数。
任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥05、有理数比较大小：正数大于0，负数小于0，正数大于负数； 数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
6、有理数的运算： （1）五种运算：加、减、乘、除、乘方有理数加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
越来越大 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(||a a a a a a ⎩⎨⎧<-≥)0()0(||a a a a a异号两数相加，绝对值值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
一个数同0相加，仍得这个数。
互为相反数的两个数相加和为0。
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数！有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与0相乘，积仍为0。
注：几个因式都不为零时，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。
有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何非0的数都得0。
注意：0不能作除数。
有理数的乘方：求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方。
正数的任何次幂都是正数,负数的偶次幂是正数, 负数的奇次幂是负数。
《有理数》有理数及其运算
《有理数》有理数及其运算汇报人：日期:contents •有理数的定义与分类•有理数的运算•有理数的混合运算•有理数的应用•有理数的数学史•有理数的实际应用案例目录01有理数的定义与分类有理数是一个数学术语，它表示为分数或整数。
有理数是由两个整数的商所得到的数，其中分子和分母都是整数。
有理数包括有限小数和无限循环小数，它们都可以表示为分数形式。
定义分类有理数可以分为正有理数、负有理数和零。
负有理数包括负整数和负分数。
正有理数包括正整数和正分数。
零是整数，它在有理数中起着特殊的作用，它是正有理数和负有理数的分界点。
02有理数的运算从低位到高位依次相加进位时，横线下面写几，下面用0顶替借位时，横线上面写几，同时下面减去一个相同数位的数相同数位对齐，是减法时，从高位到低位依次相减相同数位对齐进位时，横线下面写几，上面用0顶替相同数位对齐，是加法时，从低位到高位依次相加退位时，横线上面写几，同时下面加一个相同数位的数相同数位对齐从高位到低位依次相减乘法第一个数有几位数，积就有几位小数进位时，将进位点写在横线的上面，向高位进位从右向左，依次用第二个数的每一位去乘第一个数的每一位小数部分末尾有0，根据小数的基本性质，应该点上小数点除法商的小数点要和被除数的小数点对齐从高位除起，按照整数除法的法则进行计算如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除整数部分有余数，要在后面添0继续除03有理数的混合运算先算乘方或开方，再算乘除，最后算加减。
如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的。
在没有括号的不同级运算中，先算乘方或开方，再算乘除，最后算加减。
顺序结合律与分配律结合律：$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$分配律：$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$结合律与分配律是运算的基本性质，它们可以用于简化运算过程，提高运算效率。
有理数及其运算
有理数及其运算
有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数。
有理数可以用分数形式表示为p/q，其中p和q都是整数，且q不等于0。
有理数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面是有理数的四则运算规则：
1. 加法：将两个有理数的分子相加，分母保持不变。
例如：a/b + c/d = (ad + bc)/bd
2. 减法：将两个有理数的分子相减，分母保持不变。
例如：a/b - c/d = (ad - bc)/bd
3. 乘法：将两个有理数的分子相乘，分母相乘。
例如：(a/b) × (c/d) = (ac)/(bd)
4. 除法：将第一个有理数的分子乘以第二个有理数的分母，分母乘以第二个有理数的分子。
例如：(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = (ad)/(bc)
在进行有理数运算时，有时需要进行分数的约分和通分。
约分是将分子和分母的公因子约去，使分数最简形式。
通分是将两个分数的分母化为相同的公分母，以便进行加法和减法运算。
此外，有理数的比较大小也是常见的运算。
对于两个有理数a/b和c/d，可以比较它们的大小关系：
- 如果ad > bc，则a/b > c/d；
- 如果ad < bc，则a/b < c/d；
- 如果ad = bc，则a/b = c/d。
有理数的运算符合运算律和分配律，可以利用这些性质进行计算和简化。
有理数的运算在数学和实际生活中都具有广泛的应用，例如在金融、物流、测量等领域。
《有理数》有理数及其运算PPT课件
分数集合：{－0.314，25%，22，－4 1，0. 3，2 3，…}；
7
3
5
非正整数集合：{ －2， 0， …}.
知3－讲
导引：要严格按照各类数的概念进行填写，非负有 理数包含正有理数和0；非正整数包含负整 数和0.
（来自《点拨》）
总结
知3－讲
(1)非负有理数一定是有理数，它包含正有理数和0， 不要误认为是除负有理数以外的任何数；
知2－讲
解：(1)沿顺时针方向转了 12圈记作－12圈； (2)－0.03 g表示乒乓球的质量低于标准质量0.03 g; (3)每袋大米的标准质量应为10 kg,但实际每袋大米 可能有150 g的误差，即每袋大米的净含量最多 是10 kg＋150 g，最少是10 kg－150 g.
（来自教材）
知2－练
C．－6，0.5，0
D．0，6，9
（来自《典中点》）
知识点 2 具有相反意义的量
知2－导
议一议 生活中你见过其他用负数表示的量吗？与同 伴进行交流.
知2－导
“加分与扣分” “上涨量与下 跌量” “零上温度与零下温度”等 都是具有相 反意义的量.为了表 示具有相反意义的量,我们可把 其中一个量规定为正的,用正数 来表示,而把与这个量意义相反 的量规定为负的,用负数来表示. 例如,把上涨3.3%记为＋3.3%, 那么下跌0.6%就记为－0.6%.
如果答对题所得的分数用正数表示，那么你 能写出每个队答题得分的情况吗？试完成下表：
答对题的得分 答错题的得分 未回答题的得分
第一队
＋6
第二队
－2
知识点 1 正数和负数
知1－讲
1.定义：大于0的数叫做正数，在正数前面加上 符号“－”(负)的数叫做负数．
有理数的意义及运算
有理数的意义及运算有理数是数学中一个重要的概念，是在数轴上广泛应用的基本数类之一。
它们不只是简单的数字，还在我们生活的方方面面扮演着重要角色。
从日常的购物算账到工程设计，有理数都显得尤为重要。
有理数的定义是非常明确的。
一个数如果可以表示为两个整数之比（即在形式上为a/b，a和b是整数且b不为零），那么这个数就属于有理数的范畴。
比如，3（可以写成3/1）、-1/2、0都是有理数。
而平方根2、π等则不属于有理数，因为它们无法用整数字表示。
在我们的学习中，对有理数的理解不仅限于其定义。
还需掌握它们的性质和运算。
有理数的集合不仅包括正数和负数，还涵盖了零。
在数轴上，有理数通过分数和小数的方式表现出来，令其在实际问题中更易于使用。
有理数自身具备几个重要的性质。
有理数是稠密的，这意味着在任意两个有理数之间，总是可以找到另一个有理数。
例如，在1和2之间，有1.5、1.25等；在-1和0之间，有-0.5、-0.75等。
这一性质使得有理数能够精准地表示一些功能的变化，尤其在科学和工程中，需对数据进行细致分析时，这一优势极为显著。
在我们实际应用有理数时，运算是不可或缺的一环。
加法、减法、乘法和除法四种基本的数学运算是处理有理数的主要方式。
对于两个有理数进行加法运算，首先需要找到共同的分母，然后再合并分子。
而减法运算与加法类似，通常也是需要统一分母后再进行操作。
乘法和除法相对简单，直接将分子乘以分子，分母乘以分母。
值得注意的是，当进行除法运算时，除数不能为零，因为零在数学中是无法作为分母的。
运算过程中的简化同样重要。
比如，当我们有一项表达式，例如(3/4)+(1/2)，要想简化成一个更直接的形式，需要把1/2转换成相同的分母。
1/2可以写成2/4，如此一来，两者相加后的结果就是5/4。
类似地，在减法和乘法时，简化步骤能够提高计算速度并减少错误。
当面对负数时，计算的过程同样适用。
有理数的负数与正数在运算中同样可以灵活应用。
《有理数的减法》有理数及其运算
减去一个数等于加上这个数的相反数。即ab=a+(-b)。
运算法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数。即把一 个数变为它的相反数。
运算顺序
与加法相同。
乘法
定义
把相同的数相加。
运算法则
交换律、结合律、分配律。
运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的 ，再进行下一步的运算。
结合律和交换律的应用
要点一
总结词
结合律和交换律的应用可以帮助我们在进行有理数减法运 算时，按照一定的顺序进行计算，避免出现错误的结果。
要点二
详细描述
结合律是指多个有理数相加时，可以任意改变加数的顺序 ，其和不变。交换律是指多个有理数相减时，可以任意改 变减数的顺序，其差不变。在进行有理数减法运算时，可 以利用结合律和交换律对被减数和减数进行组合和调整顺 序，以便更方便地进行计算。例如，在计算(-4)-(-6)+3时 ，可以先计算(-4)+3和(-6)+3，再利用结合律将它们组合 起来。
02
2. (-3) - (-7) = -3 + 7 = 4
练习题二
总结词
有理数减法与生活实际的结合
详细描述
本题结合生活实际，考察有理 数减法的应用能力。
题目内容
小华的妈妈买了10个苹果，小 华吃了2个，爸爸吃了3个，妈 妈吃了5个，问还剩下多少个苹 果？
答案及解析
10 - 2 - 3 - 5 = 0，所以还剩 下0个苹果。
05
有理数的减法例题解析
例题一：整数减法
总结词
整数减法规则简单，只需要从个位开始 逐位相减即可。
VS
详细描述
例如，计算123-45，首先从个位开始， 3-5不够减，需要从十位借1，然后2-4不 够减，再从百位借1，依次类推，直到借 无可借或相减结果为0为止。
《有理数》有理数及其运算PPT课件
+10分 +20分 0分 -10分
现在我们可以用带有“＋”号和“－”号的数表示各 队每道题的得分情况.试完成下表:
第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 合计 第一组 ＋10 －10 ＋10 ＋10 － 10 ＋10
第二组 － 10 ＋10
0 ＋10 ＋10 ＋20
第三组 ＋10 ＋10 － 10 － 10
做一做
随堂练习
3、某厂计划每天生产零件800个，第一天生产零 件850个，第二天生产零件800个，第三天生产零 件750个，
你能正、负数表示该厂每天的超产量吗？
解：第一天超产零件是50个. 第二天超产零件是0个. 第三天超产零件是－50个
关键：以800个零件为正、负数的标准（分界限）
必做题
１、在－２；＋1/2；－３.５；１１中，正数 是 ＋1/2、 １１ ；负数是－２、 －３。.５
对于比0分高的得分，可以在前面加上“＋”号， 如＋10（读作：正10）表示比0分高10的数。
加10分表示+10分 扣10分表示-10分 得0分表示0分
第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 最后得分
第一队 第二队 第三队 第四队
+10分 -10分 +10分 +10分 -10分 -10分 +10分 0分 +10分 +10分 +10分 +10分 -10分 -10分 0分 +10分 -10分 +10分 -10分 -10分
注意:小数≠分数
请你将到目前为止学过的数进行
分类，并与你的同伴进行交流。
正有理数
整数
有
0
理
数
正整数：如 1、2、3…… 零： 0 负整数：如－1、－2、－3…
有理数的四则运算及应用
有理数的四则运算及应用一、有理数的概念•定义：有理数是可以表示为两个整数比值的数，其中分母不为零。
•分类：正有理数、负有理数和零。
二、有理数的加法•定义：两个有理数相加，就是它们的比值相加。
•法则：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
三、有理数的减法•定义：减去一个有理数，相当于加上它的相反数。
•法则：同号相减，取相同符号，并把绝对值相减；异号相减，先取绝对值较大的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值。
四、有理数的乘法•定义：两个有理数相乘，就是它们的比值相乘。
•法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
五、有理数的除法•定义：除以一个有理数，相当于乘以它的倒数。
•法则：除以一个不等于零的有理数，等于乘以这个有理数的倒数。
六、混合运算•定义：含有加、减、乘、除四种运算的算式。
•法则：按照从左到右的顺序进行计算，先算乘除，再算加减。
•定义：运用有理数的四则运算解决实际问题。
•举例：计算购物时的找零、计算物体的高度、计算速度和时间等。
八、注意事项•定义：在进行有理数运算时需要注意的问题。
•举例：避免出现分母为零的情况，注意运算符号的运用等。
•总结：有理数的四则运算及应用是数学中的基本内容，掌握好这部分知识，对于解决实际问题和进一步学习数学都有很大的帮助。
习题及方法：1.习题：计算2/3 + 5/6方法：将两个分数的分母通分，得到4/6 + 5/6 = 9/6，化简得到答案为1 3/6，即1 1/2。
2.习题：计算-4/5 + 3/4方法：将两个分数的分母通分，得到-16/20 + 15/20 = -1/20。
3.习题：计算8/9 - 1/3方法：将两个分数的分母通分，得到8/9 - 3/9 = 5/9。
4.习题：计算-2/5 * 3/4方法：将两个分数相乘，得到-6/20，化简得到答案为-3/10。
5.习题：计算5/6 * 2/7方法：将两个分数相乘，得到10/42，化简得到答案为5/21。
七年级数学上册《有理数及其运算》知识点
七年级数学上册《有理数及其运算》知识点七年级数学上册《有理数及其运算》知识点1.有理数:有理数=整数+分数(包括有限小数+无限循环小数)整数=正整数+0+负整数分数=正分数+负分数有理数=正有理数+0+负有理数正有理数=正整数+正分数负有理数=负整数+负分数l 正数的概念：数轴上0右边的数即比0大的数叫正数，形如+1，+0.5，+10.1，0.001…l 负数的概念：数轴上0左边的数，形如-3，-0.2，-100…（负号不能省略）.l 0既不是正数也不是负数，0是整数也是偶数.① 正负数的表示方法：盈利，亏损；足球比赛胜，负；收入，支出；提高，降低；上升，下降；② 不投入不支出，不盈也不亏，海平面的海拔，某一个标准或基准….用0表示；2.数轴：概念：规定了原点，正方向和单位长度的直线数轴是一条可以向两端无限延伸的直线，数轴有三要素：原点，正方向，单位长度；画法：首先画一条直线；在这条直线上任取一点，作为原点；再确定正方向，一般规定向右为正，画上箭头，反方向为负方向；最后选取适应的长度作为单位长度；数轴上的点与有理数的关系：任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示。
有理数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大，正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.3. 相反数：（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数（在数轴上互为相反数的两点位于原点两侧，并且到原点的距离相等），0的相反数是0；a,b互为相反数 a+b=0;（2）求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即得原数的相反数，当原数是多个数的和差时，要用括号括起来再添“-”；下面的a,b即可以是数字，字母，也可以是代数式；（3）一般地，数a的相反数是-a,这里的a表示任意一个数，可以是正数、负数、0.4. 绝对值：（1）几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值；（2）代数定义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；互为相反数的两个数的绝对值相等.（3）对于任何有理数a，都有a的绝对值≥0 ,即绝对值非负性；若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数同时为0；（4）比较两个负数，绝对值大的反而小；5.倒数：（1）乘积为1的两个数互为倒数，所以数a(a≠0) 的倒数是 1/a，0没有倒数；（2）求一个整数的倒数，写成这个整数分之一；求一个小数的倒数，先将其化成分数，再求其倒数；求一个带分数的倒数，先将其化为假分数，再求出倒数.（3）用1除以一个非0数，商就是这个数的倒数.6. 有理数的四则运算：⑴ 加法法则：① 同号两数相加，符号不变，把绝对值相加；② 异号两数相加，绝对值相等时（即互为相反数的两个数）相加得0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③ 一个数同0相加，仍得这个数；有理数加法运算律：交换律和结合律（互为相反数的可先相加；相加可得整数的可先相加；同分母的分数可先相加；符号相同的可先相加；易于通分的可先相加）.⑵ 减法法则：① 减去一个数，等于加上这个数的相反数，依据加法法则② 加减混合运算，通过减法法则将减法转化为加法，统一成只含有加法运算的和式；减法没有交换律.⑶ 乘法法则：① 两数相乘，同号得正，异号得负，把绝对值相乘；② 任何数同0相乘，得0；（另外1乘任何数都等于这个数本身；-1乘以任何数都等于这个数的相反数.）③ 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积为负；当负因数的个数是偶数时，积为正.乘法的运算律：交换律、结合律、乘法对加法的分配律.⑷ 除法法则：① 两数相除，同号得正，异号得负，把绝对值相除；② 0除以任何非0的数都得0.③ 除以一个数，等于乘上这个数的倒数，即 .⑸ 乘方：① 求几个相同因数积的运算，叫做乘方；乘方的结果叫做幂；，表示n个相同因数乘积的`运算；② 负数乘方要用括号括起来；分数乘方要用括号括起来；当指数是1时，可省略不写；③ 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（奇次幂 2n+1,2n-1; 偶次幂 2n）；0的正整数次幂都是0.⑹ 混合运算：① 从左到右的顺序进行；② 先乘方，再乘除，后加减；如有括号，应先算括号里面的；7. 科学记数法（1）把一个大于10的数表示成的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数,它的值等于原数的整数位数减1，），这种记数方法叫科学记数法；（2）准确数与近似数：与实际完全相符的数是准确数；与实际相接近的数是近似数；（3）精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示；一般地，把一个数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到了那一位；所以，精确度是描述一个近似数的近似程度的量；（4）有效数字：在近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字；一共包含的数字的个数，叫做有效数字的个数；【七年级数学上册《有理数及其运算》知识点】。
《有理数的混合运算》有理数及其运算PPT课件 (共8张PPT)
=30+0.2
=30.2
注意运算顺律 进行运算较简单
这节课，我们学到了什么？ 有理数的混合运算中，先算乘方，再算乘除， 最后算加减。 如果有括号，必须先算括号里面的。 在运算过程中，应巧用运算律，简化计算。
习题2.15 知识技能 第1题
附加题：
11 2 12 ( 79 12 计算： 1 6 ) 36 5
运算过程中要注意 运算顺序和符号
计算
(1)1515 (1) 5 (0.2)
11 2
3
1 (2)( ) (2) ( 2 ) 3 3 3 4 3
1 解：原式= 15 15 25 ( 125 )
解：原式
2 1 3 ( 8 ) 4 33 23 3 ( 4 3)
第二章 有理数及其运算
做一做
1 1 4 (1) 2 2 5
3 (2)( 5 6 8 ) ( 24)
在这些题目中，我们运用到 了哪些运算？哪些运算律？
4 (3)8 ( 9 ) 18 5
( 4)
(
2) 3
3
计算：（1）
3 2 2 ( 1 5)
1 5
(2)18 6 (2) ( 1 3)
11 解：原式= 9 ( 9 )
5 解： 原式= 9 ( 2 ) 9 ( 3 9)
=
-11
=-6+（-5） =-11
讨论交流：你认为哪种 方法更好呢？
随堂练习
计算：
(1)8 ( 3) ( 2)
2
(2)100 ( 2) (2) ( )
2 2 3
有理数及其运算的公式
有理数及其运算的公式有理数这玩意儿，咱们从小学就开始接触，到了初中更是重点学习的内容。
那有理数及其运算都有哪些公式呢？咱们一起来瞅瞅。
先来说说有理数的加法公式。
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
比如说，+5 + +3 就等于 +8 。
而异号两数相加，绝对值相等时和为 0 ；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
就像 +5 + -3 ，因为 5 的绝对值大于 3 的绝对值，所以结果就是 +2 。
有理数的减法公式呢，其实就是转化为加法来算。
减去一个数，等于加上这个数的相反数。
比如说 5 - 3 ，就等于 5 + （-3 ），结果还是2 。
再讲讲有理数的乘法公式。
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
零乘以任何数都得零。
像 2×3 就是 6 ， -2×3 就是 -6 。
有理数的除法公式，除以一个数等于乘以这个数的倒数。
比如说6÷3 ，就等于 6×1/3 ，结果是 2 。
我想起之前给学生们讲有理数运算公式的时候，发生过一件特别有意思的事儿。
有个小同学，叫明明，他特别聪明，就是有点马虎。
有一次做作业，有道题是 -5 + 3 ，他愣是给算成了 8 。
我就问他怎么算的，他还振振有词地说：“老师，负负得正，那负数加正数不也得正嘛！”把我和其他同学都逗乐了。
我耐心地给他解释：“明明啊，负数加正数可不能这么算。
你得先比较绝对值的大小，然后用大的绝对值减去小的绝对值，再根据符号规则确定结果的正负。
”明明这才恍然大悟，挠挠头不好意思地笑了。
从那以后，每次讲到有理数运算，明明都特别认真，还经常提醒其他同学别犯他之前的错误。
通过这件事我也明白了，教学啊，不能光讲公式，还得让同学们真正理解其中的道理，不然就容易闹笑话。
咱们再回到有理数的运算公式。
这些公式看起来简单，但是要真正熟练掌握，还得多做练习。
比如说，给你一道复杂的式子：-2×（-3 + 5 ）÷ 4 ，这就得先算括号里的加法，得到 2 ，然后再依次进行乘法和除法运算。
七年级数学有理数及其运算
负分数：如 -1/5、-3.5、-5/6、-2.8
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 1、数轴的特点
（1）数轴是一条直线 （2）数轴有原点（０点） （３）数轴有正方向（通常取向右为正方向）
（４）数轴有单位长度
２、数形结合
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
３、数轴的画法
(1)取原点 (2)规定正方向,通常取向右为正方向 (3)选取适当的长度为单位长度
3、确定和的绝对值—较大的绝对值 减去较小的绝对值 1、判断加法类型—异号相加
2、确定和的符号—取绝对值较大的 符号“+”
3、确定和的绝对值—较大的绝对值 减去较小的绝对值
（＋5）+（ －5）= 0 异号相加，绝对值相等，和为0
3、一个数同零相加，仍得这个数。
（ -5）+ 0 = -5
做一做
1、（-7.9） 4.3 2.9 （ 1.3）
有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。 任何数与0相乘，积仍未0。 当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数 个时，积为正；有因数为零时，积就为零。 倒数的概念
乘积为1的两个有理数互为倒数。 5 求 3、 、 6 、 0.5、 0.125的倒数 7
乘法的交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不
任何数的绝对值都是非负数。 １、一个数本身与它的绝对值的关系
正数的绝对值是它本身，｜＋３｜＝３ 负数的绝对值是它的相反数，｜－３｜＝３ 0的绝对值是0，｜０｜＝０
绝对值大于1而小于5的所有整数的和是______
２、利用绝对值比较两个负数的大小
两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
例、比较－５和－８的大小
有理数及其运算
有理数及其运算一．有理数的分类或1. 零既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界。
2. 数轴的意义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。
3. 数轴的建立使任何一个有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点，有的也可以表示有理数，而点是最基本的几何图形，从而就建立了数与几何图形之间的关系，我们称其为“数形结合”。
从而使有理数的大小直观化：数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
正数都大于0，负数都小于0；正数大于一切负数。
二.有理数的加减1．有理数的加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．（2）异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值．（3）一个数同0相加，仍得这个数．2．有理数加法的运算律（1）加法交换律：a+b=b+a ．（2）加法结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）．3．有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
注意:有理数的加法运算及简化运算：在进行有理数的加法时，首先应判断相加两数的符号是同号还是异号，选定有理数的加法法则，然后确定和的符号，最后进行绝对值的计算． 异号两数的加法运算：关键应首先判断两加数的绝对值大小，确定和的符号．若正数的绝对值较大，则和取正；若负数的绝对值较大，则取负；然后判断用谁的绝对值减绝对值4、计算：（-1.25）+3.85+（+3.875）+（413-）+（21-）+1.15+（873-）．【解析】 简便运算时，应根据题目特点，把相加得0•的数结合在一起；把同分母的分数结合在一起；把相加得整数的数结合在一起；把同号的数结合在一起．答案是： 原式＝[（-1.25）+（413-）+（21-）]+（3.85+1.15）+[（+3.875）+（873-）]＝-5+5+0＝0．5、计算：（+1）+（-2）+（+3）+（-4）+…+（+9）+（-10）．【解析】 找出各加数间的内在规律，然后利用运算律，比较方便．答案是： 原式＝[（+1）+（-2）]+[（+3）+（-4）]+…+[（+9）+（-10）]＝（-1）+（-1）+…+（-1）＝-5．三.有理数的乘除1．有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘得0．2．几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；几个数相乘,有一个因数为0,积就为0．3．有理数乘法的运算律：交换律，结合律，分配律．4．有理数的除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。
《有理数的除法》有理数及其运算
在时间计算中的应用
秒
使用有理数来表示时间单位， 例如，1分钟等于60秒，1小 时等于3600秒等。
分钟
使用有理数来表示时间单位，例 如，1小时等于60分钟，1天等于 1440分钟等。
小时
使用有理数来表示时间单位，例如 ，1天等于24小时，1周等于7天等 。
在商业计算中的应用
货币
使用有理数来表示货币单位， 例如，使用元、角、分等单位
利用近似计算进行实际应用问题的解决。
05
有理数在实际生活中的应 用
在度量中的应用
长度
有理数可以用于度量物体 的长度，例如，使用米、 厘米等单位来表示长度。
面积
有理数可以用于计算面积 ，例如，使用平方米、平 方厘米等单位来表示面积 。
体积
有理数可以用于计算体积 ，例如，使用立方米、立 方厘米等单位来表示体积 。
分数和小数的互化
分数转小数
将分数转换成小数，使数值更加直观。
小数转分数
将小数转换成分数，以便进行分数运算。
实数的概念与表示
实数的定义
实数是有理数和无理数的总称，具有无限性、连续性和有序性等特征。
实数的表示方法
在数学中，实数可以用数轴上的点来表示，也可以用科学计数法、指数法等表示。
04
有理数运算技巧
通分法
当被除数和除数的分母不同时，采 用通分法将它们化成分母相同的分 数，再进行除法运算。
替代法
当被除数和除数都含有某些相同的 因式时，采用替代法进行除法运算 。
03
有理数除法的应用
约分与通分
约分
将一个分数化成多个相同分子的分数相加，从而使分数计算 更加简便。
通分
将多个分数化成相同分母的分数相加，从而使分数计算更加 直观。
有理数的概念和运算法则
有理数的概念和运算法则一、有理数的概念1.有理数的定义：有理数是可以表示为两个整数比的数，包括正整数、负整数、0、正分数和负分数。
2.整数：正整数、负整数和0。
3.分数：正分数和负分数，分子和分母都是整数，且分母不为0。
4.真分数：分子小于分母的分数。
5.假分数：分子大于或等于分母的分数。
6.带分数：由一个整数和一个真分数组成的数。
二、有理数的运算法则1.加法法则：a.同号相加，取相同符号，并把绝对值相加。
b.异号相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
c.0加任何数等于任何数。
d.任何数加0等于任何数。
2.减法法则：a.减去一个数等于加上这个数的相反数。
b.减法可以转化为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数。
3.乘法法则：a.同号相乘，取相同符号，并把绝对值相乘。
b.异号相乘，取相反符号，并把绝对值相乘。
c.0乘任何数等于0。
d.任何数乘0等于0。
4.除法法则：a.同号相除，取相同符号，并把绝对值相除。
b.异号相除，取相反符号，并把绝对值相除。
c.除以0没有意义，除数不能为0。
5.乘方法则：a.正数的任何正整数次幂都是正数。
b.负数的任何正整数次幂都是负数。
c.正数的任何负整数次幂都是正数。
d.负数的任何负整数次幂都是正数。
e.0的任何正整数次幂都是0。
f.0的任何负整数次幂都没有意义。
三、有理数的混合运算1.运算顺序：a.先算乘方。
b.再算乘除。
c.最后算加减。
d.同级运算，从左到右依次进行。
e.如果有括号，先算括号里面的。
2.运算律：a.加法结合律：三个数相加，可以先算任意两个数的和，结果不变。
b.乘法结合律：三个数相乘，可以先算任意两个数的积，结果不变。
c.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，结果不变。
d.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，结果不变。
e.分配律：一个数乘以两个数的和，等于这个数分别乘以这两个加数，然后把乘积相加。
四、有理数的应用1.化简：将复杂的分数或带分数化为简化形式。
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有理数及其运算（2.7-2.9）
一、选择题
1．已知a ，b 在数轴上的位置如图所示，则a ×b 的结果是( )
A ．正数
B ．负数
C ．零
D ．无法确定 2．－12的倒数是( ) A ．－2 B.1
2 C ．2 D ．1
3．计算(1112－76＋34－13
24)×(－24)的结果是( ) A ．1 B ．－1 C ．10 D ．－10
4．两个数相除，商为正数，则两个数( ) A ．都为正 B ．都为负C ．同号 D ．异号 5．如图，数轴上A ，B 两点所表示的两数的商为( )
A ．1
B ．－1
C ．0
D ．2 6．下列计算中，正确的是( )
A ．3÷13＝1
B ．(－14)÷(－14)＝1
C ．0÷(－35)＝－3
5 D ．－2÷(－8)÷(－16)＝1
8．若－3，5，a 的积是一个负数，则a 的值可以是( ) A ．－15 B ．－2 C ．0 D ．15
9．下列计算正确的是( )
A ．－6÷32＝4
B ．7－0.5＋2－3＝5.5
C ．－8×(－2)÷(－14)＝64
D ．(－16)－(－12)＋4＝31
2
10．两个非零有理数的和为0，则它们的商是( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．不能确定
11．四个互不相等的整数的积为9，则和为( ) A ．9 B ．6 C ．0 D ．－3 12．有一个程序，当输入任意一个有理数时，显示屏上的结果总是1与输入的有理数的差的倒数．若第一次输入3，
并将显示的结果第二次输入，则此时显示的结果是( )
A ．3
B ．－12 C.2
3 D ．－3
13．下列运算中，正确的是( )
A ．(－3)2
＝－9 B ．－32
＝9 C ．32
＝6 D ．(－3)3
＝－27 14．下列各组数中，互为相反数的是( )
A ．－23
与(－2)3
B ．|－4|与－(－4)
C ．－34
与(－3)4
D ．102
与210
15．一个有理数的平方( )
A ．一定是正数
B ．一定是负数
C ．一定不是正数
D ．一定不是负数 二、填空题
16．从－3，3，4，－5这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是 ． 17．一个数与－2的乘积等于12
5
，则这个数是 ．
18．－52
的底数是 ，指数是 ，读作 ．
19．有理数a ，b ，c ，d 在数轴上对应的点的位置如图所示，则a ×b ×c 0，a ×b ×c ×d 0.(填“＞”或
“＜”)
21．将下列计算过程补充完整：
1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋…＋97＋98－99－100.
解：原式＝(1＋2－3－4)＋(5＋6－7－8)＋(9＋10－11－12)＋…＋(97＋98－99－100)
＝－4＋(－4)＋(－4)＋…＋(－4) ＝－4× ＝ ．
22．若定义一种新的运算，规定⎪⎪
⎪⎪⎪⎪a b c d ＝a ×d －b ×c ，则⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
1 24 －3＝ ． 23．一列数：－3，9，－27，81，则第10个数为 ，第n 个数为 (用含n 的式子表示)． 24．【类比思想】(1)根据已知条件填空：
①已知(－1.2)2
＝1.44，那么(－120)2
＝ ，(－0.012)2
＝ ； ②已知(－3)3
＝－27，那么(－30)3
＝ ，(－0.3)3
＝ ； (2)观察上述计算结果我们可以看出：
①当底数的小数点向左(右)每移动一位，它的平方的小数点向左(右)移动 位； ②当底数的小数点向左(右)每移动一位，它的立方的小数点向左(右)移动 位．
25．【规律探究】观察下列算式：21
＝2，22
＝4，23
＝8，24
＝16，25
＝32，26
＝64，27
＝128，28
＝256，…，通过观 察，用所发现的规律确定215
的个位数字是 ． 三、解答题 26.计算：
3×(－1)×(－13) (－3)×56×(－95)×(－1
4)
(－2 021)×2 020×0×(－2 019) (－10)×13×(－1
10)×6
(12－3－58＋56－112) ×（－48 ） 9978×(－4)－(12－13－5
6)×24.
－1÷13×(－3) －89×(－14)÷(－23)
27．计算：
(1)(－12)2 (2)(－112)4
(3)－(－15)2 (4)－(14)3
(5)－522 (6)－32
4
3
28．请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：
(1)999×(－15) (2)999×11845＋999×(－15)－999×183
5
29．已知|x|＝6，|y|＝3，且x ×y<0，求x
y 的值．
30．【类比思想】观察下列各式： 13＋23＝9＝14×4×9＝14×22×32
；
13＋23＋33＝36＝14×9×16＝14×32×42
；
13＋23＋33＋43
＝100＝14×16×25＝14×42×52；
…
(1)计算：13
＋23
＋33
＋43
＋…＋103
； (2)试猜想13＋23＋33＋43＋…＋n 3的值．。