新人教版高一数学下学期期中考试试卷(附答案)
新高一数学下期中模拟试卷及答案
新高一数学下期中模拟试卷及答案一、选择题1．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ）A ．4330x y --=B ．3430x y --=C ．3440x y --=D ．4340x y --= 2．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 3．已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（ ）A ．48πB ．24πC ．16πD ．4．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为3，则球O 的半径为( )A ．3B ．1C ．2D ．45．设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//； ②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③ 6．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．B ．CD ．7．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形8．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面1202ABC BAC AP AB ∠=︒==，，，M 是线段BC 上一动点，线段PM P ABC -的外接球的表面积是（ ）A ．92πB ．C ．18πD ．40π9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A．1763B．1603C．1283D．3210．若方程21424x kx k+-=-+有两个相异的实根，则实数k的取值范围是（）A．13,34⎛⎤⎥⎝⎦B．13,34⎛⎫⎪⎝⎭C．53,124⎛⎫⎪⎝⎭D．53,12411．如图，平面四边形ABCD中，1AB AD CD===，2BD=，BD CD⊥，将其沿对角线BD折成四面体A BCD'-，使平面A BD'⊥平面BCD，若四面体A BCD'-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πB．3πC．4πD．3π12．如图，在三棱柱111ABC A B C-中，1CC⊥平面ABC，ABC是等腰三角形，BA BC=，123AC CC==，，D是AC的中点，点F在侧棱1A上，若要使1C F⊥平面BDF，则1AFFA的值为( )A ．1B ．12或2C ．22或2D ．13或3 二、填空题13．已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是_________．14．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为B 1C 1中点，连接A 1B ，D 1M ，则异面直线A 1B 和D 1M 所成角的余弦值为________________________．15．直线与圆交于两点，则________．16．三棱锥P ABC -中，5PA PB ==，2AC BC ==，AC BC ⊥，3PC =，则该三棱锥的外接球面积为________. 17．若直线l ：-3y kx =与直线23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.18．正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上.若163P ABCD V ，则球O 的体积是______． 19．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且三棱锥的最长的棱长为2，则此三棱锥的外接球体积为_____________.20．已知四面体ABCD 的外接球球心O 在棱CD 上，AB=3，CD=2，则A 、B 两点在四面体ABCD 的外接球上的球面距离是________.三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，//AB CD ，且22,22CD AB BC ===，90ABC ∠=︒，M 为BC 的中点．（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ；（2）若二面角P DM A --为30，求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值．22．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ,,E F 是线段AB 上的两点,且DE AB ⊥,CF AB ⊥,12AB =,5AD =,42BC =,4DE =.现将△ADE ,△CFB 分别沿DE ,CF 折起,使两点,A B 重合于点G ,得到多面体CDEFG （1）求证：平面DEG ⊥平面CFG ;（2）求多面体CDEFG 的体积23．如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24=-l y x ，设圆C 的半径为1， 圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.24．在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点.（1）求证：1A C //面1AB D ；（2）设M 是棱1CC 上的点，且满足1BM B D ⊥.求证：面1AB D ⊥面ABM .25．如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，点为的中点.（1）求证：∥平面；（2）求证：. 26．已知以点C （1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y ﹣1=0相切．（1）求圆C 的标准方程；（2）求过圆内一点P （2，﹣）的最短弦所在直线的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01tan 2k α==，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα===-，又经过点（1,0），所以直线方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=，选D.2．B解析：B【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内.【考点定位】点线面的位置关系3．D解析：D【解析】【分析】根据球的性质可知球心O 与ABC ∆外接圆圆心O '连线垂直于平面ABC ；在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中利用勾股定理构造出关于半径R 和OO '的方程组，解方程组求得R ，代入球的体积公式可得结果.设O '为ABC ∆的外心，如下图所示：由球的性质可知，球心O 与O '连线垂直于平面ABC ，作OE AD ⊥于E设球的半径为R ，OO x '=ABC ∆为等边三角形，且3AB = 3AO '∴=OO '⊥平面ABC ，AD ⊥平面ABC ，OE AD ⊥OO AE x '∴==，3OE AO '==在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中，由勾股定理得：22222OE PE O O O A R ''+=+=，即()222363x x R +-=+= 解得：3x =，3R =∴球的体积为：343233V R ππ== 本题正确选项：D【点睛】本题考查棱锥外接球的体积求解问题，关键是能够确定棱锥外接球球心的位置，从而在直角三角形中利用勾股定理构造方程求得半径.4．C解析：C【解析】【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题．【详解】解：根据题意作出图形：设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和．2343123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥，故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．5．B解析：B【解析】【分析】【详解】①a ∥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故①错误；②若a ∥b ，a ⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得b ⊥α，故②正确；③a ⊥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故③错误；④若a ⊥α，b ⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a ∥b ，故④正确．故选B ．6．B解析：B【解析】【分析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -, 所以圆心为()0,0.()222m m m +-=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=. 又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值. 2223416m,故32m =故选：B【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型.7．A解析：A【解析】【分析】【详解】画出截面图形如图显然A正三角形C正方形：D正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选A．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．故可选A．8．C解析：C【分析】首先确定三角形ABC 为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积．【详解】解：如图所示：三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面2,2ABC AP AB ==，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 3则：当AM BC ⊥时，线段PM 达到最小值，由于：PA ⊥平面ABC ，所以：222PA AM PM +=，解得：1AM =， 所以：3BM =，则：60BAM ∠=︒，由于：120BAC ∠=︒，所以：60MAC ∠=︒则：ABC 为等腰三角形． 所以：23BC =在ABC 中，设外接圆的直径为2324r ==， 则：2r =， 所以：外接球的半径2229222R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 则：94182S ππ=⋅⋅=， 故选：C ．【点睛】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用． 9．B【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是32116042433-⨯⨯=，选B. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．10．D解析：D【解析】【分析】由题意可得，曲线22(1)4(1)x y y +-=与直线4(2)y k x -=-有2个交点，数形结合求得k 的范围.【详解】如图所示，化简曲线得到22(1)4(1)x y y +-=，表示以(0,1)为圆心，以2为半径的上半圆，直线化为4(2)y k x -=-，过定点(2,4)A ，设直线与半圆的切线为AD ，半圆的左端点为(2,1)B -，当AD AB k k k <，直线与半圆有两个交点，AD 221k =+，解得512AD k =， 4132(2)4AB k -==--，所以53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.11．A解析：A【解析】【分析】设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径.【详解】设BC 的中点是E ，连接DE ，A′E，因为AB ＝AD ＝1，BD 由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD 为直角三角形所以DE 为球体的半径2DE =243S ππ== 故选A【点睛】 求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.12．B解析：B【解析】【分析】易证1BD C F ⊥，故要使1C F ⊥平面BDF ，只需1C F DF ⊥，然后转化到平面11AAC C 中，根据勾股定理计算，即可得结果.【详解】1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD CC ⊥，又BA BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥，又1AC CC C =，所以BD ⊥平面11AAC C ，1C F 平面11AAC C ，所以1C F BD ⊥，因为DF BD D =，故要使1C F 平面BDF ，只需1C F DF ⊥，在四边形11AAC C 中，1231AC CC AD CD ====，，， 设AF x =，则13FA x =-，由22211C D DF C F =+得()()2219143x x ⎡⎤+=+++-⎣⎦， 即2320x x -+=，解得1x =或2x =，所以112AF FA =或者12AF FA =， 故选：B.【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．二、填空题13．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个 解析：相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a 的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：圆的标准方程为222:()(0)M x y a a a +-=>，则圆心为(0,)a ，半径R a =， 圆心到直线0x y +=的距离2d =，圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22222222a a ∴-即24a =，2a =，则圆心为(0,2)M ，半径2R =，圆22:(1)(1)1N x y -+-=的圆心为(1,1)N ，半径1r =，则2MN =3R r +=，1R r -=，R r MN R r ∴-<<+，即两个圆相交．故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a 的值是解决本题的关键．14．【解析】【分析】连接取的中点连接可知且是以为腰的等腰三角形然后利用锐角三角函数可求出的值作为所求的答案【详解】如下图所示：连接取的中点连接在正方体中则四边形为平行四边形所以则异面直线和所成的角为或其 解析：10. 【解析】【分析】 连接1CD 、CM ，取1CD 的中点N ，连接MN ，可知11//A B CD ，且1CD M ∆是以1CD 为腰的等腰三角形，然后利用锐角三角函数可求出1cos CD M ∠的值作为所求的答案．【详解】如下图所示：连接1CD 、CM ，取1CD 的中点N ，连接MN ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D BC ，则四边形11A BCD 为平行四边形， 所以11//A B C D ，则异面直线1A B 和1D M 所成的角为1CD M ∠或其补角，易知1111190B C D BC C CDD ∠=∠=∠=，由勾股定理可得15CM D M ==12CDN 为1CD 的中点，则1MN CD ⊥，在1Rt D MN ∆中，11110cos 5D N CD M D M ∠==， 因此，异面直线1A B 和1D M 所成角的余弦值为105，故答案为105．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，求解异面直线所成的角一般利用平移直线法求解，遵循“一作、二证、三计算”，在计算时，一般利用锐角三角函数的定义或余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．15．22【解析】【分析】首先将圆的一般方程转化为标准方程得到圆心坐标和圆的半径的大小之后应用点到直线的距离求得弦心距借助于圆中特殊三角形半弦长弦心距和圆的半径构成直角三角形利用勾股定理求得弦长【详解】根 解析：【解析】【分析】首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长.【详解】 根据题意，圆的方程可化为， 所以圆的圆心为，且半径是， 根据点到直线的距离公式可以求得， 结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为. 【点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.16．【解析】【分析】由已知数据得两两垂直因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和【详解】∵∴∴又以作长方体则长方体的外接球就是三棱锥的外接球设外接球半径为则球表面积为故答案为：【点睛】本题考查球 解析：7π【解析】【分析】由已知数据得,,CA CB CP 两两垂直，因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和．【详解】 ∵5PA PB ==2AC BC ==3PC =，∴222222,PC CB PB PC CA PA +=+=，∴,PC CB PC CA ⊥⊥，又CA CB ⊥，以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．设外接球半径为R ，则2222(2)7R CA CB CP =++=，7R =，球表面积为22744()7.2S R πππ==⨯= 故答案为：7π．【点睛】 本题考查球的表面积，解题关键是确定,,CA CB CP 两两垂直，以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球． 17．【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示：则两直线的交点应在线段上（不包含点）当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为解析：(,)62ππ 【解析】 若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角为2π，当交点为()3,0B 时，斜率(03330k -==-l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 18．【解析】【分析】正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上则棱锥的高等于球的半径由此可由棱锥体积求得球的半径从而得球体积【详解】∵正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上∴球心是正方形对角线交点是棱锥 解析：323π 【解析】【分析】正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，则棱锥的高等于球的半径，由此可由棱锥体积求得球的半径，从而得球体积．【详解】∵正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，∴球心O 是正方形ABCD 对角线交点，PO 是棱锥的高，设球半径为R ，则AB =，22)2ABCD S R ==，211162333P ABCD ABCD V S PO R R -==⨯⨯=，2R =， ∴3344322333V R πππ==⨯=球． 故答案为：323π． 【点睛】本题考查球的体积，考查正四棱锥与半球的截接问题．解题关键是确定球半径与正四棱锥中的线段长之间的关系．19．【解析】【分析】根据题意可得平面所以得出为三棱锥的最长边根据直角三角形的性质边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等所以为球心球直径即为【详解】平面平面平面所以三棱锥中最长边为设中点为在中所以三棱锥的外接 解析：43π 【解析】【分析】根据题意可得，BC ⊥平面PAC ，所以BC PC ⊥，得出PB 为三棱锥的最长边，PA AB ⊥，根据直角三角形的性质，PB 边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等，所以为球心，球直径即为PB .【详解】PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥,,,AC BC PA AC A BC ⊥=∴⊥平面PAC ，BC PC ⊥，,,,,PB BC PB PC PA AC PC AC PC PA ∴>>⊥∴>>，所以三棱锥中最长边为2PB =，设PB 中点为O ，在,Rt PAB Pt PBC ∆∆中，12AO CO PB ==，所以三棱锥的外接球的球心为O ， 半径为41,3V π∴=. 故答案为:43π. 【点睛】 本题考查几何体的“切”“接”球问题，确定球心是解题的关键，考查空间垂直的应用，属于中档题.20．【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点且OA ＝OB ＝OC ＝OD 进而在△A0B 中利用余弦定理求得cos ∠AOB 的值则∠AOB 可求进而根据弧长的计算方法求得答案【详解】解：球心 解析：23π 【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点，且OA ＝OB ＝OC ＝OD ，进而在△A 0B 中，利用余弦定理求得cos ∠AOB 的值，则∠AOB 可求，进而根据弧长的计算方法求得答案．【详解】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O 在CD 中点，则OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝1，再由AB =A 0B 中，利用余弦定理cos ∠AOB 11312112+-==-⨯⨯， 则∠AOB 23π=，则弧AB 23π=•123π=． 故答案为：23π． 【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等，考查了学生观察分析和基本的运算能力． 三、解答题21．（1）详见解析；（2． 【解析】【分析】（1）在直角梯形ABCD 中，由条件可得222AD AM DM =+，即DM AM ⊥．再由PA ⊥面ABCD ，得DM PA ⊥，利用线面垂直的判定可得DM ⊥平面PAM ，进一步得到平面PDM ⊥平面PAM ；（2）由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30，求得tan301PA AM =⋅︒=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出PC 的坐标及平面PDM 的一个法向量，由PC 与n 所成角的余弦值可得直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值．【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，由已知可得，1,2,2AB CD BM CM ==== 可得223,6AM DM ==，过A 作AE CD ⊥，垂足为E ，则1,22DE AE ==29AD =，则222AD AM DM =+，∴DM AM ⊥．∵PA ⊥面ABCD ，∴DM PA ⊥，又PA AM A =，∴DM ⊥平面PAM ，∵DM ⊂平面PDM ，∴平面PDM ⊥平面PAM ；（2）解：由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30，则tan301PA AM =⋅︒=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,1P ，(22,1,0)D -，(22,1,0)C ，(2,1,0)M ，(22,1,1),(22,1,1),(2,1,1)PC PD PM =-=--=-． 设平面PDM 的一个法向量为(,,)n x y z =， 由22020n PD y z n PM x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1x =，得2321,,22n ⎛= ⎝⎭． ∴直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值为：||230|cos ,|30||||106PC n PC n PC n ⋅<>===⋅⋅． 【点睛】 向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法.22．：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）16【解析】【分析】【详解】（Ⅰ）证明：因为,DE EF CF EF ⊥⊥，所以四边形平面CDEF 为矩形，由5,4GD DE ==，42,4GC CF==得223GE GD CF =-=224GF GC CF =-=，所以5EF =，在EFG 中 ，有222EF GE FG =+，所以EG GF ⊥又因为,CF EF CF FG ⊥⊥，得CF ⊥平面EFG ， 所以CF EG ⊥，所以EG ⊥平面CFG ，即平面DEG ⊥平面CFG ;（Ⅱ）：在平面EGF 中，过点G 作GH EF ⊥于点H ，则125EG GF GH EF ⋅== 因为平面CDEF ⊥平面EFG ， 得GH ⊥平面CDEF ，1163CDEF CDEF V S GH =⋅=23．（1）3y =或34120x y +-=；（2）12[0,]5. 【解析】 【分析】 （1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆C 的半径为1，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆C 的圆心在直线l ：24y x =-上可设圆C 的方程为[]22()(24)1x a y a -+--=，由2MA MO =，可得M 的轨迹方程为22(1)4x y ++=，若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，只需两圆有公共点即可.【详解】 （1）由24,{1,y x y x =-=-得圆心()3,2C ， ∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为：22(3)(2)1x y -+-=，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为3y kx =+，即30kx y -+=． 232311k k -+=+，∴2(43)0k k +=，∴0k =或34k =-． ∴所求圆C 的切线方程为3y =或34120x y +-=． （2）∵圆C 的圆心在直线l ：24y x =-上，所以，设圆心C 为(,24)a a -， 则圆C 的方程为[]22()(24)1x a y a -+--=．又∵2MA MO =，∴设M 为(,)x y =22(1)4x y ++=，设为圆D ． 所以点M 应该既在圆C 上又在圆D 上，即圆C 和圆D 有交点，∴2121-≤+，由251280a a -+≥，得a R ∈， 由25120a a -≤，得1205a ≤≤． 综上所述，a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 考点：1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.【方法点睛】本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆C 上存在点M ，使2MA MO =问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在.24．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）记1A B 与1B A 交于O ，先证明OD //1A C ，根据线面平行的判定定理即可证明A 1C ∥平面AB 1D ；（2）先证明BM ⊥面1AB D ，即可根据面面垂直的判定定理进行证明即可．【详解】（1）设11A B AB O ⋂=，连OD .因为四边形11AA B B 是矩形，∴O 是1A B 的中点. 又D 是BC 的中点，∴1A C //OD .又1AC ⊄面1AB D ，OD ⊂面1AB D ， ∴1A C //面1AB D .（2）因为ABC ∆是正三角形，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥.∵平面ABC ⊥面11BB C C ，又平面ABC ⊥面11BB C C BC =，AD ⊂面ABC . ∴AD ⊥面11BB C C ，∵BM ⊂面11BB C C ，∴AD BM ⊥. 又∵1BM B D ⊥，1AD B D D ⋂=，AD ，1B D ⊂面1AB D ， ∴BM ⊥面1AB D ，又BM ⊂面ABM ， ∴面1AB D ⊥面ABM . 【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 25．（1）详见解析；（2）详见解析。
(完整word版)高一数学期中考试试卷及答案
高一数学期中考试试卷及答案（考试时间：120分钟）一、 选择题（10⨯5分）1． 下列四个集合中，是空集的是（ ）A ． }33|{=+x xB ． },,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ． }0|{2≤x xD ． },01|{2R x x x x ∈=+- 2． 下面有四个命题：（1）集合N 中最小的数是1；（2）若a -不属于N ，则a 属于N ； （3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212=+的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ）A ． 0个B ． 1个C ． 2个D ． 3个 3． 若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长， 则△ABC 一定不是（ ）A ． 锐角三角形B ． 直角三角形C ． 钝角三角形D ． 等腰三角形4． 若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A ． )2()1()23(f f f <-<-B ． )2()23()1(f f f <-<-C ． )23()1()2(-<-<f f fD ． )1()23()2(-<-<f f f5． 下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是（ ） A ． x y = B ． x y -=3C ．xy 1=D ． 42+-=x y 6． 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x ()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f ．A ． ⑴、⑵B ． ⑵、⑶C ． ⑷D ． ⑶、⑸ 7 . 以下说法正确的是( ).A.正数的n 次方根是正数B.负数的n 次方根是负数C.0的n 次方根是0(其中n>1且n ∈N *) D .负数没有n 次方根8. 若n<m<0,则错误!未找到引用源。
【高一】2021―2021学年新课标人教版高一数学第二学期期中考试试卷及答案
【高一】2021―2021学年新课标人教版高一数学第二学期期中考试试卷及答案2021―2021学年第二学期期中考试高一年级数学科试卷第i卷（选择题,共48分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分后，共48分后）1、数列0，0，0，0…，0，…（）.a、就是等差数列但不是等比数列b、就是等比数列但不是等差数列c、既是等差数列又是等比数列d、既不是等差数列又不是等比数列2、若，则以下不等式中恰当的就是（）.（a）b2＜a2（b）＞（c）b＜a（d）ab＞a+b3、△中，，，的对边，则的对边等同于（）.（a）2（b）（c）（d）14、不等式的边值问题就是（）.a．b．c．d．5、在等比数列{an}中，若a3a5=4，则a2a6=（）.a、2b、2c、4d、46、等差数列{an}中，首项a1=4，a3=3，则该数列中第一次发生负值的项为（）.a、第9项b、第10项c、第11项d、第12项7、若关于x的不等式的边值问题就是，则对任一常数k，总存有（）.abcd8、在中，未知a=6,b=8,a=30°,谋角b则（）.a有两个解b有一个解c无解d有无数个解9、等差数列{an}中，未知前13项和s13=65,则a7=（）.a、10b、c、5d、1510、在中，，若则角c的度数就是（）.a120°b60°c60或120°d45°11、未知ab>0,且恒设立，则的值域范围就是（）.a{2}bcd12、等比数列中，未知对任一正整数，，则等同于（）.a、(2n－1)2b、(2n－1)c、(4n－1)d、4n－1第ii卷（非选择题,共72分后）二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）13、在2与32中间填入7个实数，并使这9个实数成等比数列，该数列的第7项是.14、已知的三个内角所对的边分别是，且，则．15、未知子集则=.16、设．三、答疑题（本大题共4小题，共56分后，求解应允写下字表明，证明过程或编程语言步骤）17.如图，海中有一小岛b，周围3.8海里内有暗礁。
2022-2023学年全国高中高一下数学人教A版期中试卷(含解析)
2022-2023学年全国高一下数学期中试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知为虚数单位，且，则复数的虚部为( )A.B.C.D.2. 已知集合，，则( )A.B.C.D.3.设关于的方程有解；关于的不等式对于恒成立，则是的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件i (1−i)z =i 3z −i 12−1212i 12A ={x|−2+7x +4>0}x 2B ={x|x ≥1}A ∪B =(−,+∞)12[1,4)[1,+∞)(−,1)∪(1,+∞)12p :x −−a =04x 2x q :x (x +a −2)>0log 2∀x >0p q =−1|x +a|4. 若函数在上有三个零点，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.5. 已知，且，则 A.B.C.D.6. 若，，，则的形状是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形7. 若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）A.B.C.D.8. 若 满足， ，则 的最大值为（）A.B.y =−1|x +a|1+e x x ∈[−5,+∞)a (2,4−]e −5(2,3−]e −5(1,2−]e −5(1,3−]e −5cos α=23−<α<0π2=tan(−α−π)sin(2π−α)cos(−α)tan(π+α)()−5–√2235–√35–√2A(1,−2,1)B(4,2,3)C(6,−1,4)△ABC f(x)(0,+∞)f(3)=0xf(x)<0{x |−3<x <0或x >3}{x |x <−3或0<x <3}{x |x <−3或x >3}{x |−3<x <0或0<x <3},,a →b →c →||=||=2|=2a →b →c →(−)⋅(−)a →b →c →b →101253–√C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是( )A.B.C.D.10. 设向量，，则（ ）A.B.C.D.与的夹角为11. 已知函数则下列结论正确的是( )A.是偶函数B.C.是增函数D.的值域为12. 如图，已知点为正六边形的中心，下列结论正确的是( )53–√62–√a >0b >0a +b =4a b ≤2ab −−√+≤2a −√b √≤1+a 2b 218+≥11a 1b =(2,0)a →=(1,1)b →||a →=||b →(−)//a →b →b→(−)⊥a →b →b→a →b →π4f (x)={+1，x ≥0，x 2cos x ，x <0，f (x)f (f (−π))=132f (x)f (x)[−1,+∞)O ABCDEF −→−−→−A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 设是定义在上的周期为的函数，当）时， 则________.14. 函数的最大值为________．15. 直角三角形中，，，，点是三角形外接圆上任意一点，则的最大值为________．16. 设 且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且求；若，，求的周长． 18. 已知，复数.若为纯虚数，求的值；在复平面内，若对应的点位于第二象限，求的取值范围.19. 中，角，，的对边分别为，，， ．求的大小；若，且， ，求的面积．=CB −→−EF−→−++=OA −→−OC −→−OB −→−0→⋅=⋅OA −→−FA −→−ED −→−BC−→−|+|=|−|OF −→−OD −→−OC −→−OB −→−f (x)R 3x ∈[−2,1f (x)={|x|,(−2≤x ≤0)x −1,(0<x <1)f (f ())=214y =x +cos x sin 2ABC AB =3AC =4BC =5M ABC ⋅AB −→−AM −→−f (x)={(−3x +1)，x <0，log 2x 22−|2−x|，x ≥0，x f (x)=m(m ∈R)x 1x 2x 3x 1x 2x 3△ABC A B C a b c c =a cos B +b sin A.3–√3(1)A (2)BC =2sin B +sin C ≥3–√△ABC a ∈R z =a −i 1+i(1)z a (2)z ¯¯¯a △ABC A B C a b c a cos C +c cos A =−2b cos B (1)B (2)a =3+=2BA −→−BC −→−BD −→−=∣∣∣BD −→−∣∣∣37−−√2△ABC f (x)=(0)+−(f (0)−1)xf ′x 220. 已知函数．求函数的解析式；若函数在上单调递增，求的取值范围．21. 随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔（单位：分钟）满足： ， ，平均每趟地铁的载客人数()（单位：人）与发车时间间隔近似地满足下列函数关系：其中 .若平均每趟地铁的裁客人数不超过人，试求发车时间间隔的值；若平均每趟地铁每分钟的净收益为 (单位：元），问当发车时间间隔 为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益 22. 如图，与在同一个平面内，，，.求；若，且的面积为，求的长．f (x)=(0)+−(f (0)−1)xf ′e x x 2(1)f (x)(2)g(x)=f (x)−mx [1,2]m t 4≤t ≤15t ∈N p t t p(t)={1800−15(9−t ,4≤t <9,)21800,9≤t ≤15,t ∈N (1)1500t (2)Q =−1006p(t)−7920t t .△ABC △ACD ∠CAD =π4AB =BC 2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√(1)∠ACB (2)AB =2−23–√△ACD 3CD参考答案与试题解析2022-2023学年全国高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】复数的基本概念复数代数形式的乘除运算【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念得答案．【解答】解：由，得，复数的虚部为．故选．2.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法并集及其运算【解析】化简集合，根据并集的定义即可得解.【解答】(1−i)z ==−ii 3z ==−i 1−i −i (1+i)(1−i)(1+i)==−i 1−i +12(−1)21212∴z −12B A {x|−<x <4}1解：因为，，所以，故选.3.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：若成立，则，所以，若成立，则成立，所以对恒成立，所以.则，所以是的必要不充分条件.故选.4.【答案】A【考点】由函数零点求参数取值范围问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由得，若函数在上有三个零点，A ={x|−2+7x +4>0}x 2={x|−<x <4}12B ={x|x ≥1}A ∪B ={x|x >−}12A p a =−=−4x 2x (−)2x 12214a ≥−14q x +a −2>1a >3−x ∀x >0a ≥3q ⇒p,p ≠q p q B y =−1=0|x +a|1+e x|x +a|=1+e x y =−1|x +a|1+e xx ∈[−5,+∞)y =|x +a|f(x)=1+x则函数与的图象在时有三个交点，从而与的图象在 时，有个交点，与 的图象有个交点，将 代入得，由，得曲线 的斜率为的切线方程为： ，由条件知 故 .故选.5.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】根据的值及的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，进而求出的值，原式利用诱导公式化简，约分后将的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵ ，且，∴,，则原式.故选.6.【答案】A【考点】向量在几何中的应用平面向量数量积的运算【解析】求出各边对应的向量，求出各边对应向量的数量积，判断数量积的正负，得出各角为锐角．【解答】y =|x +a|f(x)=1+e x x ≥−5y =−x −a(x ≤−a)y =f(x)x ≥−51y =x +a(x ≥−a)y =f(x)2(−5,1+)e −5y =−x −a a =4−e −5(x)==1,x =0f ′e x y =f(x)1y −2=x,y =x +2a >2.a ∈(2,4−]e −5A cos ααsin αtan αtan αcos α=23−<α<0π2sin α=−=−1−αcos 2−−−−−−−−√5–√3tan α==sin αcos α−5–√2==tan α=−−tan α(−sin α)cos αtan α5–√2A (3,4,2)，=(5,1,3)，=(2,−3,1)−→−−→−−→−解：，，得为锐角；，得为锐角；，得为锐角；所以为锐角三角形.故选.7.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】易判断在上的单调性及图象所过特殊点，作出的草图，根据图象可解不等式．【解答】解：∵在上是奇函数，且在上是增函数，∴在上也是增函数，由，得，即，由，得，故或解得或，∴的解集为：，故选．8.【答案】B【考点】平面向量数量积的运算【解析】先化简，根据式子分析即可得到答案。
高一数学第二学期期中考试试卷含答案(共5套)
高一下学期期中考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．某质检人员从编号为1～100这100件产品中，依次抽出号码为3,13,23，…，93的产品进行检验，则这样的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．系统抽样C ．分层抽样D ．以上都不对 2．将八进制数135(8)化为二进制数为( ) A ．1 110 101(2) B ．1 010 101(2) C ．1 111 001(2)D ．1 011 101(2)3．某产品在某零售摊位上的零售价x (元)与每天的销售量y (个)统计如下表：据上表可得回归直线方程a ˆx b ˆy ˆ+=中的b ˆ＝－4，据此模型预计零售价定为16元时，销售量为( )A ．48B ．45C ．50D ．514．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A ．55.2,3.6B ．55.2,56.4C ．64.8,63.6D ．64.8,3.65．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )A ．8B ．11C ．16D ．106.如图是一算法的程序框图，若输出结果为S ＝720，则在判断框中应填入的条件是( )A ．k ≤6B ．k ≤7C ．k ≤8D ．k ≤97.两人的各科成绩如茎叶图所示，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲、乙两人的各科平均分相同B ．甲的中位数是83，乙的中位数是85C ．甲各科成绩比乙各科成绩稳定D ．甲的众数是89，乙的众数为878.sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( ) A ．1 B ．2sin 2α C ．0 D ．29.利用秦九韶算法求f (x )＝x 5＋x 3＋x 2＋x ＋1当x ＝3时的值为( ) A ．121 B ．283 C ．321 D ．23910．如图，矩形长为8，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为( ) A ．7.68 B ．8.68 C ．16.32D ．17.3211.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b ∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )A. 91B. 92C. 187D.9412.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=21（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为32π，弦长为m 340的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3≈π，73.13≈） A ． 15 B ． 16 C ． 17 D ． 18第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归方程：y ∧＝0.234x ＋0.521.由回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元． 14．已知sin(π4＋α)＝32，则sin(3π4－α)的值为________． 15.在抛掷一颗骰子的试验中，事件A 表示“不大于4的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件B A Y 发生的概率为________．(B 表示B 的对立事件)16．设函数y ＝f (x )在区间[0,1]上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y ＝f (x )及直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成部分的面积S .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得到S 的近似值为________． 二、解答题（17题10分，其余均12分）17.(10分) 已知|x|≤2，|y|≤2，点P 的坐标为(x ，y)，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．18．(12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y 关于x 的线性回归方程a ˆx b ˆyˆ+= (3)试预测加工10个零件需要多少小时？(注：b ∧＝∑ni ＝1x i y i －n x － y －∑n i ＝1x i 2－n x －2，a ∧＝y －－b ∧ x －)零件的个数x(个)2345加工的时间y(小时) 2.5 3 4 4.519．(12分)已知α是第三象限角，f (α)＝()()()α-π-•α-π-α-•α-π•α-πsin tan tan )2cos()sin((1)化简f (α)；(2)若⎪⎭⎫ ⎝⎛π-α23cos ＝15，求f (α)的值；20．(12分)某校为了解高三年级学生的数学学习情况，在一次数学考试后随机抽取n 名学生的数学成绩，制成如下所示的频率分布表.(1)求a ，b ，n 的值；(2)若从第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名与老师面谈，求第三组中至少有1名学生被抽到与老师面谈的概率．21．（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m,将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求n≥m+2的概率.22．（12分）在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是40.(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)求这两个班参赛的学生人数是多少？(3)求这两个班参赛学生的成绩的中位数.高一下期期中考试数学试题答案一、选择题B D B D A B D D BCD B二、填空题13. 0.234 14.3215.32 16.N1N三、解答题（17题10分，其余均12分）17.解：如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤9的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P1＝14π×224×4＝π16.18.解：(1)散点图如图．(2)由表中数据得∑4i＝1x i y i＝52.5，x －＝3.5，y －＝3.5，∑4i ＝1x i 2＝54. ∴b ∧＝0.7，∴a ∧＝1.05. ∴y ∧＝0.7x ＋1.05.(3)将x ＝10代入回归直线方程，得y ∧＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)． ∴预测加工10个零件需要8.05小时．19．解：(1)f (α)＝＝－sin α·cos α·tan α－tan α·sin α＝cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－sin α，又cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－32π＝15，∴sin α＝－15.又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－265.20.解：(1)由表中数据，得5n ＝0.05，a n ＝0.35，20n＝b ，解得n ＝100，a ＝35，b＝0.20.(2)由题意，得第三、四、五组分别抽取的学生人数为3060×6＝3，2060×6＝2，1060×6＝1.第三组的3名学生记为a 1，a 2，a 3，第四组的2名学生记为b 1，b 2，第五组的1名学生记为c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同情况，分别为{a 1，a 2}，{a 1，a 3}，{a 1，b 1}，{a 1，b 2}，{a 1，c }，{a 2，a 3}，{a 2，b 1}，{a 2，b 2}，{a 2，c }，{a 3，b 1}，{a 3，b 2}，{a 3，c }，{b 1，b 2}，{b 1，c }，{b 2，c }．其中第三组的3名学生均未被抽到的情况共有3种，分别为{b 1，b 2}，{b 1，c }，{b 2，c }． 故第三组中至少有1名学生被抽到与老师面谈的概率为1－315＝45.21解：（1）p=3162(2)先从袋中随机取一个球，记下编号m,放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号n,可能的结果为（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）共16个，满足条件的事件为（1,3）（1,4）（2,4）共3个所以n ≥m+2的概率为p=16322．解：(1)各小组的频率之和为 1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05.∴第二小组的频率为：1．00－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40. ∴落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高＝频率组距＝0.4010＝0.04.则补全的直方图如图所示．(2)设九年级两个班参赛的学生人数为x 人．∵第二小组的频数为40人，频率为0.40，∴40x＝0.40，解得x＝100(人)．所以九年级两个班参赛的学生人数为100人．(3)∵（0.03+0.04）×10>0.5所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内．设中位数为x则0.03×10+（x-59.5）×0.04=0.5得x=64.5高一下学期期中数学考试试卷(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合，，则( )A． B． C． D．2．( )A．0 B．1 C．2 D.43．若，则下列结论正确的是( )A． B．C． D．4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A．B．C．D．5．函数的定义域是( )A． B． C． D．6．函数过定点( )A． B． C． D．7．已知，，，则＝( )A． B． C． D．8．已知函数为幂函数，则实数的值为( )A．或 B．或 C． D．9．已知函数，若，则实数等于( )A ．2 B. 45 C ．12 D ．910．若，则函数与的图象可能是下列四个选项中的( )11．已知是定义在上的奇函数，当时，,则当时，( )AB ．C ．D ．12．若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使得的的取值范围是( ) A ．B ． C. D ．第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．设集合，集合，若，则实数14．若，则＝15．如果函数，的增减性相同，则的取值范围是.16．已知是方程的两个根，则的值是.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)计算下列各式的值（式中字母都是正数）： （1）；（2）已知，求的值.18．(本小题满分12分)已知集合，．（1）若，求；（2）⊆，求的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数+2.（1）求在区间上的最大值和最小值；（2）若在上是单调函数，求的取值范围.20．(本小题满分12分)已知函数是R上的奇函数，(1)求的值；(2)先判断的单调性，再证明．21．(本小题满分12分)已知函数，．(1)求函数的定义域；(2)讨论不等式中的取值范围．22．(本小题满分12分)若二次函数满足且. （1）求的解析式；（2）若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围.高一下学期期中考试试卷数学时量：120分钟 总分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．3x cos y =是( )A ．周期为π6的奇函数B ．周期为3π的奇函数C ．周期为π6的偶函数D ．周期为3π的偶函数2.已知sin α＝41，则cos 2α的值为( )A ．21B ．87- C.21- D.873．已知平面向量()()3,2,4,1==→→b a ，则向量=+→→b a 5251（ ）A ．()1,2B ．()5,3 C.()3,5 D.()2,14.已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－4，m )，且a ⊥b ，则m ＝( )A ．4B ．2C ．－4D ．－25．为得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=33sin πx y 的图象，只需将函数y ＝sin 3x 的图象( )A ．向左平移9π个长度单位B ．向右平移9π个长度单位C ．向左平移3π个长度单位D ．向右平移3π个长度单位6.设a ＝(8，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(2,3)，则(a ＋2b )·c 等于( )A ．(4,18)B ．22C ．－6 D.(18,4)7.已知a ·b ＝122，|a |＝4，a 与b 的夹角为45°，则|b |为( )A ．12 A ．3 C ．6 D ．98.若－π2＜α＜0，则点P (sin α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9.已知α∠的终边经过点()31P ，，则=αsin ( )A ．21 B ．10103C ．31D ．3310．若=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+2,32032sin ππππx x f x x ，，求)32(πf =（ ） A.0 B.23C.21 D.1 11．已知2tan -=α，则αααα22cos sin cos sin 3-的值是( ) A ．2- B ． 3 C ．2 D ．3- 12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，则AB →·AC→等于( )A ．－3B ．－6C ．9D ．6 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知AB →＝(2，7)，AC →＝(－5,8)，则BC →＝__________________.14．函数()()()R x x x x f ∈-=cos sin 2的最小正周期为________，最大值为________． 15．设a ＝(5,-2)，b ＝(6,2)，则2|a |2－12a ·b ＝______________.16．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝5，则tan β的值为________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（10分）已知()ππθθ2,,53cos ∈=，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin πθ以及⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πθ的值．18.（10分）设函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin 2πωx x f ，0>ω，最小正周期为2π. (1)求()0f .(2)求()x f 的解析式.(3)求()x f 的单调递增区间．19.（12分）已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,3)，c ＝(5,2)．(1)求6a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)若(a ＋k c )//(2b －a )，求实数k . 20. （12分）已知23παπ<<，211-tan tan -=αα.(1)求αtan 的值。
2022-2023学年人教A版高一下数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 复数的共轭复数（ ）A.B.C.D.2. 如图，点是圆上的一个动点，点是直线上的一个动点，为坐标原点，则向量在向量上的射影的数量的最大值是（ ）A.B.C.D.3. 已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，，则实数的值为( )A.B.C.D.4. 在中，若，则等于（ ）z =i +1=z ¯1+i i −11−i −i −1P C :+(y −2=1x 22–√)2Q l :x −y =0O OP −→−OQ −→−32+2–√232–√1x +y =a +=4x 2y 2A B O |+|=|−|OA −→−OB −→−3–√OA −→−OB −→−a ±2±2–√±3–√±6–√△ABC =2BD −→−DC −→−AD −→−1−→−2−→−A.B.C.D.5. 已知在极坐标系中，点，，，则为（ ）A.正三角形B.直角三角形C.等腰锐角三角形D.等腰直角三角形6. 已知，，均为锐角，则( )A.B.C.D.7. 函数在上的最小值为( )A.B.C.D.8. 在中，，，点，分别为，的中点，与相交于点，且满足，则( )+13AB −→−23AC −→−+23AB −→−13AC −→−+2AB −→−AC −→−2+AB −→−AC −→−A(2,)π2B(,)2–√3π4O(0,0)△ABO cos α=，sin(β−α)=−5–√510−−√10αβsin 2β=122–√23–√21f (x)=2sin x −3x −cos x −2sin 2x +3cos 2[0,]π2−32−3–√2−54−1△ABC AB =5–√CB =1M N CA CB AN BM G 3⋅AG −→−MB −→−=+CA −→−2CB −→−2cos B =2–√A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列关于平面向量的说法中正确的是( )A.已知，均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得B.已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是C.若且，则D.若点为的重心，则10. 已知复数，是的共轭复数，则（ ）A.B.C.复数在复平面内所对应的点在第一象限D.11. 已知函数的图象的一条对称轴方程为，其中，则以下结论正确的是（ ）A.函数的最小正周期为B.将函数的图象向左平移所得图象关于原点对称C.函数在区间上单调递增25–√5−25–√55–√5−5–√5a →b →//a →b →λ=λa →b→=(1,2)a →=(1,1)b →a →+λa →b →λ(−,+∞)53⋅=⋅a →c →b →c →≠c →0→=a →b →G △ABC ++=GA −→−GB −→−GC −→−0→z =2+1−i 1+i z ¯¯¯z =+i z¯¯¯z 3545z =3z ¯¯¯z¯¯¯zz ≥4z ¯¯¯f (x)=2sin(ωx −)π6x =πω∈(0,1)f (x)3πf (x)π6f (x)[−,]π6π2,]5πD.函数在区间上的最小值为12. 已知为所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ）A.若，则在直线上B.若，则为的垂心C.若，，，则的最小值为D.若，则，，的面积比为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若复数是纯虚数，则________.14. 已知向量，，若，则向量与的夹角为________．15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则两点的距离为________．16. 如图，在中，，，，，则________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）f (x)[,]π25π43–√P △ABC =−+AP −→−13AB −→−23AC −→−P BC ⋅=⋅=⋅PA −→−PB −→−PB −→−PC −→−PC −→−PA −→−P △ABC ⊥AB −→−AP −→−=λBC −→−BP −→−||=AP −→−λ+2−−−−−√⋅AC −→−AP −→−−1+3+2=PA −→−PB −→−PC −→−0→△APB △APC △BPC 2∶3∶1(a ∈R)3−ai1−2i|2a +i|==(−1,3)a =(1,t)b (−2)⊥a b a a b A B C D CD =450m ∠ADB =135∘∠BDC =∠DCA =15∘∠ACB =120∘AB m △ABC 3BD =DC AB =3AC =2∠BAC =60∘⋅=AD −→−BC −→−17.已知复数在复平面内对应的点在第二象限，，且，求；已知复数为纯虚数，求实数的值．18. 如图，在平行四边形中，点，，分别在边，，上，且满足，，，设，用，表示，；若，，求角的值． 19. 计算：；；．20. 已知函数＝的部分图象如图所示．Ⅰ求，的值；Ⅱ求函数在上的单调区间；Ⅲ若对任意，都有，求实数的取值范围．21. 在中，，，分别是内角，，的对边，且．求角的大小；若，且，求的面积．22. 已知函数．（1）求的单调递增区间(1)z |z|=2z +=−2z¯¯¯z (2)z =−(1+2i)m −3(2+i)2m 21−i m ABCD E F G AB AD BC AE =AB 13AF =AD 13BG =BC 23=AB −→−a →=.AD −→−b →(1)a →b →EF −→−EG −→−(2)EF ⊥EG ⋅=2⋅AB −→−EG −→−a →b →A (1)⋅a 2a 8(2)−a ⋅(−a)3(3)⋅x n−1x 2n+1(4)⋅(a −b)2(b −a)3f(x)2sin(ωx +φ)(ω>0,−<φ<)π2π2()ωφ()f(x)[0,π]()x 1∈[0,π]x 2|f()−f()|<m x 1x 2m △ABC a b c A B C (a +c)2=+3ac b 2(1)B (2)b=2sin B +sin(C −A)=2sin 2A △ABC f(x)=2x −sin(2x −π)cos 276f(x)(A)=3（2）已知的外接圆半径为，，，的对边分别为，，，若，，求的取值范围．△ABC R A B C a b c f(A)=32sin B +sin C =2Ra参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】共轭复数【解析】运用共轭复数的定义求解即可.【解答】解：∵复数 ，∴其共轭复数 .故选2.【答案】A【考点】向量的投影【解析】设夹角为，则向量上的投影等于．分析出应为锐角，设，不妨取，转化为求的最小值问题，可以用圆的参数方程或线性规划的方法求解．【解答】解：设夹角为，则向量上的投影等于，若取得最大值则首先为锐角．设，不妨取，则根据向量数量积的运算得出①由于是圆上的一个动点，设②z =i +1=1−i z¯¯¯C.，OP −→−OQ −→−θ在向量OP −→−OQ −→−|cos θ=OP |−→−−||OQ −→−˙θP(x,y)Q(1,1)x +y ，OP −→−OQ −→−θ在向量OP −→−OQ −→−|cos θOP |−→−−θP(x,y)Q(1,1)|cos θ==OP |−→−−||OQ −→−˙x +y2–√P C ：+(y −2=1x 22–√)2{x =cos αy =2+sin α2–√cos θ=(cos α+sin α+2)−→−−–√将②代入①得出，而的最大值为，所以故选．3.【答案】D【考点】直线和圆的方程的应用向量的模数量积表示两个向量的夹角【解析】根据已知条件得到为等边三角形，进而求得到直线的距离，即可求解结论．【解答】解：已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，所以，因为，所以，整理得，所以，所以，此时为等边三角形，则到直线的距离为：，解得.故选．4.【答案】A【考点】向量在几何中的应用向量的线性运算性质及几何意义【解析】|cos θ=(cos α+sin α+2)OP |−→−−2–√22–√cos α+sin α2–√|cos θ≥×3=3OP |−→−−2–√22–√A △AOB O AB x +y =a +=4x 2y 2A B O ||=||=2OA −→−OB −→−|+|=|−|OA −→−OB −→−3–√OA −→−OB −→−++2⋅=3(+−2⋅)OA −→−2OB −→−2OA −→−OB −→−OA −→−2OB −→−2OA −→−OB −→−⋅=2OA −→−OB −→−cos ∠AOB =12∠AOB =60∘△AOB O AB d =|OA|==3–√23–√|0−0+a|2–√a =±6–√D无【解答】解：．故选．5.【答案】D【考点】三角形的形状判断【解析】利用余弦定理可得，再利用勾股定理的逆定理即可得出．【解答】解：，可得，∴．又，∴为等腰直角三角形．故选．6.【答案】D【考点】二倍角的正弦公式两角和与差的正弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解： ，因为，均为锐角，所以，所以，=+=+(−)=+AD −→−AB −→−23BC −→−AB −→−23AC −→−AB −→−13AB −→−23AC −→−A |AB ||AB |==+(−2××2×cos 222–√)22–√π4−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√2–√|AB +|OB =|OA |2|2|2AB ⊥OB ∠AOB =π4△ABO D sin β=sin[α+(β−α)]=sin αcos(β−α)+cos αsin(β−α)αββ−α∈(−,)π2π2cos(β−α)=,sin α=310−−√1025–√5β=，cos β=–√–√所以，所以．故选．7.【答案】C【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式三角函数的最值三角函数的恒等变换及化简求值【解析】本题考查三角函数的性质与函数的最值．【解答】解：依题意,．令，因为时，是增函数，所以．因为，所以，故最小值为．故选．8.【答案】C【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用sin β=，cos β=2–√22–√2sin 2β=2sin βcos β=1D f(x)=2sin x −3(1−x)−cos x −4sin x cos x +3sin 2=2sin x +3x −cos x −4sin x cos xsin 2=2sin x −cos x +4x −4sin x cos x +x −1sin 2cos 2=+(2sin x −cos x)−1(2sin x −cos x)22sin x −cos x =t x ∈[0,]π2g(x)=2sin x −cos x t ∈[−1,2]y =+t −1=−t 2(t +)12254y ∈[−,5]54−54C利用向量关系列式求得，即得，求得，再利用余弦定理求解即可.【解答】解：由题可得，点是三条中线的交点，∴点是的重心，∵重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，，.∵，，∴.∵，∴,∴，即，则，∴，在中，.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,D【考点】三角形五心向量的共线定理平面向量数量积的性质及其运算律数量积的坐标表达式数量积表示两个向量的夹角【解析】由向量共线定理可判断选项；由向量夹角的的坐标表示可判断选项；由数量积的运算性质可判断选项；由三角形的重心性质即可判断选项．⋅=0CB −→−CA −→−∠C =90∘AC G △ABC G △ABC 2:1∴AG :GN =2:1AG =AN 23=−AB −→−CB−→−CA −→−∴=−AN −→−AB −→−12CB −→−=−12CB −→−CA −→−==−AG −→−23AN −→−13CB −→−23CA −→−=−MB −→−CB −→−CM −→−=−CB −→−12CA −→−3⋅=(−2)(−)AG −→−MB −→−CB −→−CA −→−CB −→−12CA −→−=+−⋅=+CB −→−2CA −→−252CB −→−CA −→−CB −→−2CA −→−2⋅=0CB −→−CA −→−CB ⊥CA ∠C =90∘AC ==2A −B B 2C 2−−−−−−−−−−√Rt △ABC cos B ==BC AB 5–√5C A B C D解：，由向量共线定理知正确；，，因为与的夹角为锐角，所以，解得，当与共线时，，解得，此时，此时与夹角为，不符合题意，所以实数的取值范围是，故错误；，若，则，因为，则或与垂直，故错误；，若点为的重心，如图，延长交于，则为的中点，所以，所以，故正确．故选.10.【答案】A,C,D【考点】复数代数形式的乘除运算复数的运算复数的代数表示法及其几何意义复数代数形式的混合运算共轭复数【解析】无【解答】A AB +λ=(1,2)+λ(1,1)=(1+λ,2+λ)a ¯¯¯b ¯¯a →+λa →b →⋅(+λ)=1+λ+2(2+λ)=5+3λ>0a →a →b →λ>−53a →+λa →b →2+λ=2(1+λ)λ=0+λ=(1,2)a →b →a →+λa →b →0λ(−,0)∪(0,+∞)53BC ⋅=⋅a →c →b →c →⋅(−)=0c →a →b →≠c →0→−=a →b →0→c →−a →b →CD G △ABC AG BC M M BC =2=2××(+)=+AG −→−GM −→−12GB −→−GC −→−GB −→−GC −→−++=GA −→−GB −→−GC −→−0→D AD =2+=2+=2−i2解：因为，所以，则，，则，，正确，错误．故选．11.【答案】A,C【考点】正弦函数的单调性正弦函数的周期性正弦函数的对称性函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】先由条件得，从而求得，再逐项验证即可.【解答】解：由函数的图象的一条对称轴为，得，因为，所以，，则.所以周期，项正确；将函数的图象向左平移，得，显然的图象不关于原点对称，项错误；由．取，得，即函数的一个单调递增区间，又所以函数在区间单调递增，项正确；z =2+=2+=2−i 1−i 1+i (1−i)22=2+i z ¯¯¯==z ¯¯¯z 2+i 2−i 3+4i 5z =(2−i)(2+i)=4−=5z ¯¯¯i 2A C D B ABD ωπ−=kπ+(k ∈Z)π6π2ω=23f (x)=2sin(ωx −)π6x =πωπ−=kπ+(k ∈Z)π6π2ω∈(0,1)k =0ω=23f (x)=2sin(x −)23π6T ==3π2π23A f(x)π6g(x)=f (x +)π6=2sin[(x +)−]=23π6π62sin(x −)23π18g(x)B 2kπ−≤x −≤2kπ+(k ∈Z)π223π6π2k =0−≤x ≤ππ2[−,π]π2f(x)[−,]⊆[−,π],π6π2π2f(x)[−,]π6π2C ∈[,]5π−∈[,]22π，则，所以，所以，故在区间的最小值为，选项错误.故选.12.【答案】B,C,D【考点】向量在几何中的应用平面向量数量积的运算直线与平面垂直的判定向量的线性运算性质及几何意义【解析】无【解答】解：．∵，∴、、三点不共线，即不在直线上，故选项错误；．∵，∴，∴，同理，，∴为的垂心，故选项正确；．∵，又且，即且，∴当时，取得最小值，故选项正确；x ∈[,]π25π4x −∈[,]23π6π62π3sin(x −)∈[,1]23π6122sin(x −)∈[1,2]23π6f(x)[,]π25π41D AC A −+≠11323P B C P BC A B ⋅=⋅PA −→−PB −→−PB −→−PC −→−⋅−⋅PA −→−PB −→−PB −→−PC −→−=⋅(−)=⋅=0PB −→−PA −→−PC −→−PB −→−CA −→−PB ⊥CA PC ⊥AB PA ⊥CB P △ABC B C ⋅=(+)⋅AC −→−AP −→−AB −→−BC −→−AP −→−=(+λ)⋅AB −→−BP −→−AP−→−=[+λ(−)]⋅AB −→−AP −→−AB −→−AP −→−=[(1−λ)+λ]⋅AB −→−AP −→−AP−→−=(1−λ)⋅AB −→−+λAP −→−AP −→−2=λ(λ+2)=(λ+1−1)2λ+2>0λ≠0λ>−2λ≠0λ=−1⋅AC −→−AP −→−−1C 3+2=0−→−−→−−→−．∵，∴，∴，即．如图可知，，，∴，∴，故选项正确.故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】复数的模复数代数形式的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为为纯虚数，则，，即，所以故答案为：.14.D +3+2=0PA −→−PB −→−PC −→−+3(−)+PA −→−AB −→−AP −→−2(−)=AC −→−AP −→−0→+3+2−5=0PA −→−AB −→−AC −→−AP −→−=+AP −→−12AB −→−13AC −→−=S △APB 13S △ABC =S △APC 12S △ABC =S △BPC 16S △ABC ∶∶=∶∶S △APBS △APC S △BPC 131216=2∶3∶1D BCD 10−−√=3−ai 1−2i (3−ai)(1+2i)5=3+2a +(6−a)i 53+2a =06−a ≠0a =−32|2a +i|=|−3+i|=.10−−√10−−√【答案】【考点】数量积表示两个向量的夹角数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】利用向量的坐标运算，通过向量垂直，然后求解，即可求解向量的夹角．【解答】向量，，．，，解得所以向量，，则向量与的夹角为，．所以：向量与的夹角为：．15.【答案】【考点】解三角形正弦定理余弦定理【解析】【解答】解：由题知，在中， ，得，在中，，得，在中，，即 .故答案为：.16.【答案】π4t =(−1,3)a =(1,t)b −2=(−3,3−2t)a b (−2)⊥a b a3+3(3−2t)=0t=(2)=(−1,3)a =(1,2)b a b θcos θ==−1+6∗10−−√5–√2–√2a b π44505–√△ADC ∠ADC =150∘AD =DC =450=a △DCB =BD sin 135∘450sin 30∘BD =450=a 2–√2–√△ADB A =+2−2cos =5B 2a 2a 22–√a 2135∘a 2AB =a =4505–√5–√4505–√17【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用【解析】无【解答】解：由图可得，，，.，，，．故答案为： ．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：设，由题意得解得，．复数在复平面内对应的点在第二象限，．．．由题意得解得．【考点】复数的模复数代数形式的混合运算复数的代数表示法及其几何意义−174=−BC −→−AC −→−AB −→−=+=+AD −→−AB −→−14BC −→−34AB −→−14AC−→−∴⋅AD −→−BC−→−=(+)⋅(−)34AB −→−14AC −→−AC −→−AB −→−=+⋅−14AC −→−212AC −→−AB −→−34AB −→−2∵AB =3AC =2∠BAC =60∘∴⋅=×4+×2×3×−×9=−AD −→−BC −→−14121234174−174(1)z =a +bi(a,b ∈R){+=4，a 2b 22a =−2，a =−1b =±3–√∵z ∴b =3–√∴z =−1+i 3–√(2)z =−(1+2i)m −3(2+i)2m 21−i =(−m −6)+(−2m −3)i m 2m 2{−m −6=0，m 2−2m −3≠0，m 2m =−2复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：设，由题意得解得，．复数在复平面内对应的点在第二象限，．．．由题意得解得．18.【答案】解：因为，.若，则，即，即，所以．，即,所以，所以.又，所以 ．【考点】(1)z =a +bi(a,b ∈R){+=4，a 2b 22a =−2，a =−1b =±3–√∵z ∴b =3–√∴z =−1+i 3–√(2)z =−(1+2i)m −3(2+i)2m 21−i =(−m −6)+(−2m −3)i m 2m 2{−m −6=0，m 2−2m −3≠0，m 2m =−2(1)=+EF −→−EA −→−AF −→−=−+=−+13AB −→−13AD −→−13a →13b →=+EG −→−EB −→−BG −→−=+=+23AB −→−23BC −→−23a →23b →(2)EF ⊥EG ⋅=0EF −→−EG −→−(−+)⋅(+)13a →13b →23a →23b →=−+=029a →229b →2=a →2b →2||=||a →b →⋅AB −→−EG −→−=⋅(+)=+⋅=2⋅a →23a →23b →23a →223a →b →a →b→=2⋅a →2a →b →|=2|⋅cos A a →|2a →|2cos A =12A ∈(0,π)A =π3向量加减混合运算及其几何意义向量的线性运算性质及几何意义数量积判断两个平面向量的垂直关系数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】解：因为，.若，则，即，即，所以．，即,所以，所以.又，所以 ．19.【答案】解：．．．．【考点】平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析(1)=+EF −→−EA −→−AF −→−=−+=−+13AB −→−13AD −→−13a →13b →=+EG −→−EB −→−BG −→−=+=+23AB −→−23BC −→−23a →23b →(2)EF ⊥EG ⋅=0EF −→−EG −→−(−+)⋅(+)13a →13b →23a →23b →=−+=029a →229b →2=a→2b →2||=||a →b →⋅AB −→−EG −→−=⋅(+)=+⋅=2⋅a →23a →23b →23a →223a →b →a →b→=2⋅a →2a →b →|=2|⋅cos A a →|2a →|2cos A =12A ∈(0,π)A =π3(1)⋅==a 2a 8a 2+8a 10(2)−a ⋅===(−a)3(−a)1+3(−a)4a 4(3)x n−1⋅==x 2n+1x n−1+2n+1x 3n (4)⋅=⋅=(a −b)2(b −a)3(b −a)2(b −a)3=(b −a)2+3(b −a)5【解答】解：．．．．20.【答案】（1）设函数的最小正周期为，由图可知，，所以＝；又，，所以；又，所以．因为，所以，所以，所以；（2）由Ⅰ知，，因为当时，，所以当，即时，单调递增；当，即时，单调递减；当，即时，单调递增；所以函数单调递增区间为和，单调递减区间为；Ⅲ由Ⅱ可知，函数在的最大值为，最小值为，所以对任意，，都有＝，且当，时，取到最大值．因为对任意，，都有成立，所以，即的取值范围是．【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】Ⅰ根据三角函数的部分图象求出、和的值；Ⅱ由Ⅰ写出函数的解析式，再求函数在上的单调递增区间和单调递减区间；Ⅲ由Ⅱ求出函数在的最大值和最小值，得出的最大值，从而求得的取值范围．(1)⋅==a 2a 8a 2+8a 10(2)−a ⋅===(−a)3(−a)1+3(−a)4a 4(3)x n−1⋅==x 2n+1x n−1+2n+1x 3n (4)⋅=⋅=(a −b)2(b −a)3(b −a)2(b −a)3=(b −a)2+3(b −a)5f(x)T T =−(−)=34π35π123π4T πT =2π|ω|ω>0ω==22πT f()=2π3sin(+φ)=12π3−<φ<π2π2<+φ<π62π37π6+φ=2π3π2φ=−π6()f(x)=2sin(2x −)π6x ∈[0,π]2x −∈[−,]π6π611π62x −∈[−,]π6π6π2x ∈[0,]π3f(x)2x −∈(,]π6π23π2x ∈(,]π35π6f(x)2x −∈(,]π63π211π6x ∈(,π]5π6f(x)f(x)[0,]π3(,π]5π6(,]π35π6()()f(x)[0,π]f()=2π3f()=−25π6x 1∈[0,π]x 2|f()−f()|≤|2−(−2)|x 1x 24=x 1π3=x 25π6|f()−f()|x 1x 24x 1∈[0,π]x 2|f()−f()|<m x 1x 2m >4m {m |m >4}()T ωφ()()f(x)x ∈[0,π]()()f(x)[0,π]|f()−f()|x 1x 2m【解答】（1）设函数的最小正周期为，由图可知，，所以＝；又，，所以；又，所以．因为，所以，所以，所以；（2）由Ⅰ知，，因为当时，，所以当，即时，单调递增；当，即时，单调递减；当，即时，单调递增；所以函数单调递增区间为和，单调递减区间为；Ⅲ由Ⅱ可知，函数在的最大值为，最小值为，所以对任意，，都有＝，且当，时，取到最大值．因为对任意，，都有成立，所以，即的取值范围是．21.【答案】解：∵，即，由余弦定理，得.又，∴．∵，∴，∴，即，∴或.当时，，∴，∴；f(x)T T =−(−)=34π35π123π4T πT =2π|ω|ω>0ω==22πT f()=2π3sin(+φ)=12π3−<φ<π2π2<+φ<π62π37π6+φ=2π3π2φ=−π6()f(x)=2sin(2x −)π6x ∈[0,π]2x −∈[−,]π6π611π62x −∈[−,]π6π6π2x ∈[0,]π3f(x)2x −∈(,]π6π23π2x ∈(,]π35π6f(x)2x −∈(,]π63π211π6x ∈(,π]5π6f(x)f(x)[0,]π3(,π]5π6(,]π35π6()()f(x)[0,π]f()=2π3f()=−25π6x 1∈[0,π]x 2|f()−f()|≤|2−(−2)|x 1x 24=x 1π3=x 25π6|f()−f()|x 1x 24x 1∈[0,π]x2|f()−f()|<m x1x 2m >4m {m |m >4}(1)(a +c)2=+3ac b 2+−a 2c 2b 2=ac cos B ===+−a 2c 2b 22ac ac 2ac 12B ∈(0,π)B =π3(2)sin B +sin(C −A)=2sin 2A sin(C +A)+sin(C −A)=2sin 2A sin C cos A +cos C sin A+sin C cos A −cos C sin A =4sin A cos A cos A(sin C −2sin A)=0cos A=0sin C =2sin Acos A=0A =π2c ==b tan B 23–√=b ⋅c =×2×=S △ABC 121223–√23–√3sin C 2sin A当时，由正弦定理，得，由余弦定理，得，解得，，∴．综上所述，的面积为．【考点】余弦定理正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值【解析】整理已知等式可得，由余弦定理可得，结合范围，可求的值；由三角函数恒等变换的应用化简已知可得：，可得，或，分类讨论，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵，即，由余弦定理，得.又，∴．∵，∴，∴，即，∴或.当时，，∴，∴；当时，由正弦定理，得，由余弦定理，得，解得，，∴．综上所述，的面积为．22.【答案】sin C =2sin A c=2a 4=+−ac a 2c 2=+4−2a 2a 2a 2=3a 2a =23–√3c =43–√3=ac sin B S △ABC 12=×××=1223–√343–√33–√223–√3△ABC 23–√3(1)+−a 2c 2b 2=ac cos B =12B ∈(0,π)B (2)cos A(sinC −2sin A)=0cos A=0sin C =2sin A (1)(a +c)2=+3ac b 2+−a 2c 2b 2=ac cos B ===+−a 2c 2b 22ac ac 2ac 12B ∈(0,π)B =π3(2)sin B +sin(C −A)=2sin 2A sin(C +A)+sin(C −A)=2sin 2A sin C cos A +cos C sin A+sin C cos A −cos C sin A =4sin A cos A cos A(sin C −2sin A)=0cos A=0sin C =2sin A cos A=0A =π2c ==b tan B 23–√=b ⋅c =×2×=S △ABC 121223–√23–√3sin C =2sin A c=2a 4=+−ac a 2c 2=+4−2a 2a 2a 2=3a 2a =23–√3c =43–√3=ac sin B S △ABC 12=×××=1223–√343–√33–√223–√3△ABC 23–√3(x)=2x −sin(2x −π)7函数．，令，解得，所以单调递增区间为．由（1）得：，则：，由于：，解得：，所以：．由于：，所以：，即：．所以：则：，解得：，因为故：的取值范围是：．【考点】正弦函数的单调性三角函数的恒等变换及化简求值【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦形函数，进一步求出函数的单调区间．（2）利用（1）的结论，首先求出的值，进一步利用正弦定理和余弦定理的应用，及基本关系式求出结果．【解答】函数．，f(x)=2x −sin(2x −π)cos 276=cos 2x +1+sin(2x −)π6=cos 2x +sin 2x +1123–√2=cos(2x −)+1π32kπ−π≤2x −≤2kπ(k ∈Z)π3kπ−≤x ≤kπ+(k ∈Z)π3π6[kπ−,kπ+](k ∈Z)π3π6f(A)=32cos(2A +)=π3120<A <π<2A +<π3π37π3A =2π3sin B +sin C =2R 2R sin B +2R sin C =4b +c =4bc ≤(=4b +c 2)2=+−2bc cos A =++bc ≥(b +−(a 2b 2c 2b 2c 2c)2b +c 2)2a ≥23–√a <b +c =4a [2,4)3–√A f(x)=2x −sin(2x −π)cos 276=cos 2x +1+sin(2x −)π6=cos 2x +sin 2x +1123–√2=cos(2x −)+1π3kπ−π≤2x −≤2kπ(k ∈Z)π令，解得，所以单调递增区间为．由（1）得：，则：，由于：，解得：，所以：．由于：，所以：，即：．所以：则：，解得：，因为故：的取值范围是：．2kπ−π≤2x −≤2kπ(k ∈Z)π3kπ−≤x ≤kπ+(k ∈Z)π3π6[kπ−,kπ+](k ∈Z)π3π6f(A)=32cos(2A +)=π3120<A <π<2A +<π3π37π3A =2π3sinB +sinC =2R 2R sin B +2R sin C =4b +c =4bc ≤(=4b +c 2)2=+−2bc cos A =++bc ≥(b +−(a 2b 2c 2b 2c 2c)2b +c 2)2a ≥23–√a <b +c =4a [2,4)3–√。
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，不是一次函数的是（）A. y = 2x + 1B. y = 3x^2 + 5C. y = 1/xD. y = -4x2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∪B等于（）A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}3. 若sinα=0.6，则cosα的值是（）A. 0.8B. -0.8C. -0.4D. 0.44. 函数f(x) = |x - 2| + |x + 3|的最小值是（）A. 5B. 2C. 1D. 45. 不等式x^2 - 4x + 3 ≤ 0的解集是（）A. (1, 3)B. (-∞, 3]C. [1, 3]D. (-∞, 1] ∪ [3, +∞)6. 已知数列1, 3, 5, 7, ...，其第n项an等于（）A. 2n - 1B. 2n + 1C. 2nD. n + 17. 若a + b + c = 0，则a^2 + b^2 + c^2 =（）A. 0B. 2abC. 2bcD. 2ac8. 函数y = x^3 - 6x^2 + 12x - 4的极大值点是（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 49. 已知tanθ = 2，求sin^2θ + cos^2θ的值是（）A. 1B. 5C. 3D. 410. 下列哪个选项是二元一次方程（）A. x^2 + y = 7B. 3x + 2y = 10C. x^2 - y = 0D. 2x/3 + y/4 = 1二、填空题（每题4分，共20分）11. 等差数列的首项是5，公差是3，则其第10项是_________。
12. 若函数f(x) = x^2 - 2x在区间[1, 4]上是增函数，则f(1) = ________。
13. 已知三角形ABC中，∠A = 90°，a = 3，b = 4，则c=_________。
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B的值。
A. {1,2,3}B. {1,2,3,4}C. {2,3}D. {1,4}2. 函数f(x)=2x^2-3x+1在区间[-1,2]上的最大值是多少？A. 1B. 5C. 7D. 93. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第10项的值。
A. 23B. 25C. 27D. 294. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π5. 已知直线y=-3x+5与x轴的交点坐标是什么？A. (0, 5)B. (1, 2)C. (5/3, 0)D. (0, 0)6. 已知sin(α)=3/5，α∈(0,π)，求cos(α)的值。
A. 4/5B. -4/5C. √(1-(3/5)^2)D. -√(1-(3/5)^2)7. 一个函数f(x)是奇函数，且f(1)=2，求f(-1)的值。
A. 2B. -2C. 0D. 18. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
A. 5B. 7C. 8D. 99. 已知一个函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f(2)的值。
A. -2B. 0C. 2D. 410. 已知一个等比数列的首项a1=2，公比q=3，求第5项的值。
A. 162B. 243C. 486D. 729二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求对称轴的方程。
___________________________12. 已知等比数列的前n项和为S_n=3^n-1，求首项a1。
___________________________13. 已知正弦定理公式为a/sinA=b/sinB=c/sinC，求三角形ABC的面积，已知a=5，sinA=3/5。
___________________________14. 已知某函数的导数f'(x)=6x^2-4x+1，求f'(1)的值。
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是实数集R的子集？A. 整数集ZB. 有理数集QC. 无理数集D. 复数集C2. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在区间[0, 2]上的最大值是：A. 1B. 5C. 7D. 93. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∩B的元素个数。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 若a > 0，b < 0，且|a| < |b|，则a + b的符号是：A. 正B. 负C. 零D. 不确定5. 下列哪个不等式是正确的？A. √2 < πB. e < 2.72C. √3 > √2D. log2(3) > log3(2)6. 已知等差数列的首项为a1 = 3，公差为d = 2，第5项a5的值是：A. 9B. 11C. 13D. 157. 函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 38. 已知f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值。
A. 0B. 4C. 8D. 169. 抛物线y = x^2 - 2x - 3与x轴的交点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知等比数列的首项为a1 = 2，公比为r = 3，求第4项a4的值。
A. 162B. 486C. 729D. 1458二、填空题（每题2分，共20分）11. 圆的一般方程为x^2 + y^2 + dx + ey + f = 0，其中d^2 + e^2 - 4f > 0时，表示______。
12. 若函数f(x) = 3x - 2在区间[1, 4]上是增函数，则f(1) =______。
13. 已知集合M = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，则M的补集∁_R M = {x | ______ }。
14. 函数y = log_2(x)的定义域是{x | x > ______ }。
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 函数f(x) = x^2 - 2x + 1的零点是：A. 1B. -1C. 0D. 23. 集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B等于：A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 2, 3, 4}4. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n = 2n + 1，那么a_5等于：A. 11B. 9C. 13D. 155. 若函数f(x) = 3x - 5，则f(2)等于：A. 1B. -1C. 7D. 36. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标是：A. (0, 3)B. (1, 5)C. (-3/2, 0)D. (3/2, 0)7. 圆的一般方程为x^2 + y^2 + 2x - 4y + 5 = 0，其圆心坐标是：A. (-1, 2)B. (1, -2)C. (-1, -2)D. (1, 2)8. 函数y = x^2 - 4x + 3的最小值是：A. -1B. 0C. 1D. 39. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么三角形ABC是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定10. 函数y = √(x - 2)的定义域是：A. x ≥ 2B. x > 2C. x < 2D. x ≠ 2二、填空题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的最大值为2，则x的值为______。
2. 已知数列{a_n}满足a_1 = 1，a_n = 2a_{n-1} + 1，那么a_3等于______。
3. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的对称轴方程是______。
4. 集合A = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，则A的元素个数为______。
人教版高一年级第二学期期中考试数学试卷与答案解析(共五套)
8．已知 ,且 ，则 （ ）
A．4B．3C． D．
9．在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为 、b、c.已知 ， ， ，则b=
A． B． C．2D．3
11．已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则 （ ）
解得 （ 舍去），故选D.
11．已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，其中 ，则 .
由题意得 ，解得 ，即 .
故选：B.
12．若非零向量 满足 ，且 ，则 的夹角为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，所以 ，即 ，
即 ，∴
，又 ，故 ，故选A.
A．3B．2C． D．
【答案】D
【解析】点 是 所在平面上一点，过 作 ，如下图所示：
由 ，
故 ，
所以 与 的面积之比为 ，
故选：D．
7．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】题意， ，所以 .故选：C.
8．已知 ,且 ，则 （ ）
A．4B．3C． D．
（2）因为 为三角形内角，
所以 ，
，
由正弦定理得： ，
又∵ ．
，解得 或 （舍）．
．
22．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，∴ ，∴ ．
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
高一下学期期中数学试卷-(解析版)
高一下学期期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．2021°角是第象限角．2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为．3．已知tanθ＝2，则＝．4．函数y＝arcsin（2x﹣1）的定义域为．5．S n为数列{a n}的前n项的和，，则a n＝．6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，为其终边上一点，则＝．7．已知，若，则sinα＝．8．如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是米．（精确到0.1米）9．已知数列{a n}与{b n}都是等差数列，且a1＝1，b1＝4，a25+b25＝149，则数列{a n+b n}的前25项和等于．10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为．11．已知公式cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ，θ∈R，借助这个公式，我们可以求函数f（x）＝4x3﹣3x﹣2（x∈[0，]）的值域．则该函数的值域是．12．函数f（x）＝sin（ωx）（其中ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，A n，…，在点列{A n}中存在四个不同的点成为某菱形的四个顶点，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2020＝．二.选择题13．“tan x＝1”是“”成立的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要14．要得到函数y＝2sin（2x+）的图象，只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象（）A．向右平移π个长度单位B．向左平移π个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S15＞0，S16＞0，则中最大项为（）A．B．C．D．16．函数f（x）＝sin x在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得＝＝…＝，则n的最大值等于（）A．8 B．9 C．10 D．11三.解答题17．已知，，，求：（1）tanα和tanβ的值；（2）tan（α﹣2β）的值．18．已知函数f（x）＝sin n x+cos x（x∈R）．（1）当n＝1时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当n＝2时，求f（x）的最值并指出此时x的取值集合．19．在△ABC中，4sin B sin2（+）+cos2B＝1+．（1）求角B的度数；（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．20．在等差数列{a n}中，a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n的最小值；（3）设，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数．21．已知函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x+l，x∈R．（1）把f（x）表示为A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的形式，并写出函数f（x）的最小正周期、值域；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）定义：对下任意实数x1、x2，max{x1、x2}＝．设g（x）＝max{a sin x，a cos x}．x ∈R（常数a＞0），若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x1）＝f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一.填空题1．2021°角是第三象限角．解：2021°＝360°×5+221°，是第三象限角．故答案为：三．2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为2．解：设扇形的半径为r，则×2×r8＝2，∴扇形的弧长＝2×＝4．故答案为：2．3．已知tanθ＝2，则＝．解：∵tanθ＝2，∴＝＝．故答案为：．4．函数y＝arcsin（2x﹣1）的定义域为[0，1] ．解：设t＝2x﹣1，∵反正弦函数y＝arcsin t的定义域为[﹣1，1]，所以函数的定义域为：[0，7]．故答案为：[0，1]．5．S n为数列{a n}的前n项的和，，则a n＝．解：因为，所以a3＝S1＝2﹣3+1＝0，当n≥7时a n＝S n﹣S n﹣1＝（2n6﹣3n+1）﹣[2（n﹣1）2﹣3（n﹣5）+1]＝4n﹣5，∴a n＝．故答案为：．6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，为其终边上一点，则＝．解：由题意可得cosα＝，则sin（）＝cosα＝．故答案为：﹣7．已知，若，则sinα＝．解：，所以α+∈（，），又，所以sin（α+）＝＝；＝sin（α+）cos﹣cos（α+）sin＝．故答案为：．8．如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是236.6 米．（精确到0.1米）解：设电视塔的高度为x，则在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，则，解得．由于，整理得，解得x≈236.5．故答案为：236.69．已知数列{a n}与{b n}都是等差数列，且a1＝1，b1＝4，a25+b25＝149，则数列{a n+b n}的前25项和等于1925 ．解：∵等差数列{a n}、{b n}满足a1＝1，b6＝4，a25+b25＝149，∴数列{a n+b n}的前25项和＝+＝+（a25+b25）＝+×149＝1925．故答案为：1925．10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为134 ．解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余7的数，故a n＝15n﹣14．得n≤135，故此数列的项数为135﹣1＝134．故答案为：13411．已知公式cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ，θ∈R，借助这个公式，我们可以求函数f（x）＝4x3﹣3x﹣2（x∈[0，]）的值域．则该函数的值域是[﹣3，﹣2] ．解：设x＝cosθ，．则f（x）＝4x4﹣3x﹣2＝4cos6θ﹣3cosθ﹣2＝cos3θ﹣2．∴cos3θ﹣5．∈[﹣3，﹣2]故答案为：[﹣3，﹣2]12．函数f（x）＝sin（ωx）（其中ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，A n，…，在点列{A n}中存在四个不同的点成为某菱形的四个顶点，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2020＝．解：根据题意作出图象如下，设f（x）＝sin（ωx）的最小正周期为，所以，即，解得；若A1A4A5A7为菱形，则若A1A k﹣1A k A m为菱形，则，解得，故答案为：．二.选择题13．“tan x＝1”是“”成立的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要解：tan x＝1⇔x＝kπ+，k∈Z．∴“tan x＝1”是“”成立的必要不充分条件．故选：B．14．要得到函数y＝2sin（2x+）的图象，只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象（）A．向右平移π个长度单位B．向左平移π个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位解：只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象向左平移个长度单位，可得函数y＝3sin[2（x+）﹣]＝2sin（2x+）的图象，故选：D．15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S15＞0，S16＞0，则中最大项为（）A．B．C．D．解：∵等差数列前n项和S n＝•n2+（a1﹣）n，由S15＝15a8＞0，S16＝16×＜0可得：故Sn最大值为S8．故S n最大且a n取最小正值时，有最大值，故选：D．16．函数f（x）＝sin x在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得＝＝…＝，则n的最大值等于（）A．8 B．9 C．10 D．11解：设＝＝…＝＝k，则条件等价为f（x）＝kx，的根的个数，由图象可知y＝kx与函数f（x）最多有10个交点，故选：C．三.解答题17．已知，，，求：（1）tanα和tanβ的值；（2）tan（α﹣2β）的值．解：（1）∵，，∴cosα＝﹣＝﹣，∵，∴．∴tan（α﹣2β）＝＝＝．18．已知函数f（x）＝sin n x+cos x（x∈R）．（1）当n＝1时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当n＝2时，求f（x）的最值并指出此时x的取值集合．解：（1）当n＝1时，f（x）＝sin x+cos x＝（sin x+cos x）＝cos（x）．∴f（x）≠f（﹣x）≠﹣f（﹣x），∴f（x）为非奇非偶函数；当时，，此时x的取值集合是；当cos x＝﹣1时，f（x）min＝﹣1，此时x的取值集合是{x|x＝2kπ+π，k∈Z}．19．在△ABC中，4sin B sin2（+）+cos2B＝1+．（1）求角B的度数；（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．解：（1）由4sin B•sin2（+）+cos2B＝1+，得：2sin B•[7﹣cos（+B）]+1﹣2sin2B＝1+，可得sin B＝，∴B＝，或B＝；∴ac sin B＝×4×c×＝5，解之得c＝6，∴当B＝时，b＝＝；即边b的值等于或．20．在等差数列{a n}中，a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n的最小值；（3）设，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．∴2a1+5d＝﹣2，2a1+10d＝8，∴a n＝﹣6+2（n﹣1）＝2n﹣8．∴当n＝2或4时，S n取得最小值，（3），∴数列{b n}的前10项和＝﹣2﹣1﹣1+8+0+0+0+1+2+8＝2．21．已知函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x+l，x∈R．（1）把f（x）表示为A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的形式，并写出函数f（x）的最小正周期、值域；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）定义：对下任意实数x1、x2，max{x1、x2}＝．设g（x）＝max{a sin x，a cos x}．x ∈R（常数a＞0），若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x1）＝f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x+l＝cos2x+sin2x+1＝2sin（2x+）+6，x∈R；∴f（x）的最小正周期为T＝＝π，值域为[﹣1，3]；解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，（3）若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x2）＝f（x2）恒成立，由g（x）的值域为[﹣a，a]，f（x）的值域为[﹣1，8]，解得0＜a≤；所以实数a的取值范围是（0，]．。
人教版高一年级下学期期中考试数学试卷与答案解析(共三套)
人教版高一年级下学期期中考试数学试卷（一）（本卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A 版第二册：第六章 平面向量及其应用、第七章 复数、第八章 立体几何初步一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知平面向量)4(-=，m a ，)31(+-=m b ，，若存在实数0<λ，使得b a λ=，则实数m 的值为( )。
A 、4-B 、512- C 、1-D 、12．下列说法中错误的是( )。
A 、两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行B 、平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变C 、平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴D 、斜二测坐标系取的角可能是 1353．在下列命题中，正确命题的个数为( )。
①两个复数不能比较大小；②若i x x x )23()1(22+++-是纯虚数，则实数1±=x ；③z 是虚数的一个充要条件是R z z ∈+；④若a 、b 是两个相等的实数，则i b a b a )()(++-是纯虚数；⑤R z ∈的一个充要条件是z z =；⑥1||=z 的充要条件是z z 1=。
A 、1B 、2C 、3D 、4 4．设α、β是两个不同的平面，则β⊥α的充要条件是( )。
A 、平面α内任意一条直线与平面β垂直B 、平面α、β都垂直于同一条直线C 、平面α、β都垂直于同一平面D 、平面α内存在一条直线与平面β垂直5．如图，在长方体D C B A ABCD ''''-中，用截面截下一个棱锥D D A C ''-，则棱锥D D A C ''-的体积与剩余部分的体积之比为( )。
人教版高一数学期中试卷及答案
人教版高一数学期中试卷及答案高一数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前；考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时；选出每小题答案后；用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动；用橡皮擦干净后；再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时；将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教必修1。
5．考试结束后；将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题；每小题5分；共60分．在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的）二、1．设全集,则等于A．B．C．D．2．函数的定义域是A．B．C．D．3．已知；则的值为A．B．C．3 D．4．已知函数；则A．−2 B．4 C．2 D．−15．下列关于函数的叙述正确的是A．奇函数；在上是增函数B．奇函数；在上是减函数C．偶函数；在上是增函数D．偶函数；在上是减函数6．已知；；则等于A．B．C．D．7．设a=lg 0.2；b=；c=；则A．B．C．D．8．设是方程的解；则在下列哪个区间内A．(0,1) B．(1,2) C．(2,e) D．(3,4)9．已知；且；则函数与函数在同一坐标系中的图象可能是10．已知函数；则的值为A．2 B．C．0 D．11．已知函数是上的单调增函数；则的取值范围是A．B．C．D．12．已知是上的偶函数；且在上是减函数；若；则不等式的解集是A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题；每小题5分；共20分）13．已知集合；集合满足；则集合有__________个.14．若；则__________．15．函数的单调增区间是__________．16．若函数无零点；则实数的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题；共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知集合；其中.（1）当时；求；（2）若；求实数的取值范围.18．（本小题满分12分）计算下列各式的值：（1）；（2）.19．（本小题满分12分）已知函数.（1）判断函数的奇偶性；并证明；（2）利用函数单调性的定义证明：是其定义域上的增函数.20．（本小题满分12分）已知是定义在R上的奇函数；当x≤0时；.（1）求x>0时；的解析式；（2）若关于x的方程有三个不同的解；求a的取值范围．21．（本小题满分12分）某租赁公司拥有汽车100辆；当每辆车的月租金为3000元时；可全部租出.若每辆车的月租金每增加50元；未租出的车将会增加一辆；租出的车每辆每月需要维护费150元；未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时；能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时；租赁公司的月收益最大；最大月收益是多少？22．（本小题满分12分）定义在非零实数集上的函数满足：；且在区间上为递增函数．（1）求、的值；（2）求证：是偶函数；（3）解不等式．。
2022-2023学年人教A版高一下数学期中试卷含答案及解析052623.pdf)
2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I（选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 已知集合A={x|log2x≤1},B={x|1x>1} ，则A∩(∁R B)=( )A.(−∞,2]B.(0,1]C.[1,2]D.(2,+∞)2. 若i是虚数单位，则i−123i=( )A.−13+4iB.13−4iC.13+4iD.−13−4i3. 关于x的方程4x+2x+1−m=0有正实数解的一个必要不充分条件是( )A.m≥0B.m≥5C.m>3D.m≥44. 已知一圆锥内接于球O，若球心O恰在圆锥的高的三等分点处，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为( )A.34B.910C.932D.9255. 用斜二测画法作出△ABC的水平放置的直观图△A′B′C′如图所示，其中A′C′=√32，A′B′=1，则△ABC绕AC所在直线旋转一周后所形成的几何体的表面积为（）A.53πB.2πC.3πD.103π6. 已知非零向量满足|→a+→b|=|→a−→b|=2|→a|，则→b与→a+→b的夹角为（ ）A.π6B.5π6C.π3D.2π37. 已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<π2)，A(13,0)为其图象的对称中心，B、C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC＝4，则f(x)的单调递增区间是（ ）A.(2k−23,2k+43)，k∈ZB.(2kπ−23π,2kπ+43π)，k∈ZC.(4k−23,4k+43)，k∈ZD.(4kπ−23π,4kπ+43π)，k∈Z8. 已知函数f(x)={−x−3a,x<0，log a(x+1)，x≥0(a>0)是R上的减函数，则a的取值范围是( )A.(0,1)B.[13,1)C.(0,13]D.(13,1)二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 如图，有一正四面体形状的木块，其棱长为a，点P是△ACD的中心．劳动课上，需过点P将该木块锯开，并使得截面平行于棱AB和CD，则下列关于截面的说法中正确的是（）A.截面与侧面ABC的交线平行于侧面ABDB.截面是一个三角形C.截面是一个四边形24D.截面的面积为a10. 已知向量→a，→b，→c满足→a+→b=(1,1)，→a−→b=(−3,1)，→c=(1,1)，设向量→a，→b的夹角为θ，则( )A.|→a|=|→b|B.→a⊥→cC.→b//→cD.θ=135∘11. 已知三角形有一个角是60∘，若这个角的两边长分别为8和5，则( )A.三角形另一边长为7B.三角形的周长为20C.三角形内切圆周长为3πD.三角形外接圆面积为49π312. 如图是函数y=sin(ωx+φ)，则sin(ωx+φ)=( )A.sin(x+π3)B.sin(π3−2x)C.cos(2x+π6)D.cos(5π6−2x)卷II（非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 若虚数z同时满足下列两个条件：①z+5z是实数；②z+3的实部与虚部互为相反数，则z=________，|z|=________.14. 若向量→a,→b满足|→a|=1，|→b|=2，→a与→b的夹角为60∘，则|→a+→b|=________．15. 已知函数f(x)={x2−4,x≤0，e x−5,x>0，若关于x的方程|f(x)|−ax−5=0恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a的取值集合为________.16. △ABC中，内角A，B，C对的边长分别为a，b，c，且满足2cosBcosC(tanB+tanC)=cosBtanB+cosCtanC，则cosA的最小值是________．四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17. 已知一扇形的周长为c，弧长为多少时，扇形面积最大，最大面积为多少？18. 已知m≠R，复数z=(m2−2m−3)+(m2−1)i．(1)实数m取什么值时，复数z为实数；(2)实数m取值范围是什么时，在复平面内复数z对应的点在第三象限．19. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足2bcosC=2a−c.(1)求B；(2)若△ABC的面积为√3，求b的取值范围．20.如图是一个缆车的示意图，该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，且缆车60s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB.设B点与地面间的距离为h，缆车从OA的位置开始转动．(1)试将h表示成关于θ的函数；(2)若经过ts后点A到达点B，试将h表示成关于t的函数；(3)试利用(1)或(2)的结论，说明缆车从最低点A到达最高点至少需要多长时间？21. 已知|→a|=3，|→b|=4，且|→a|与|→b|为不共线的平面向量．(1)若(→a+k→b)⊥(→a−k→b)，求k的值；(2)若(k→a−4→b)//(→a−k→b)，求k的值．22. 设函数f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)=x2−4x .(1)求f(x)的表达式；(2)用定义法证明f(x)在区间(0,+∞)上是减函数；(3)求函数f(x)在[−1,1]上的最值．参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，A =(0,2]，B =(0,1)，∴∁R B =(−∞,0]∪[1,+∞)，∴A ∩(∁R B)=[1,2].故选C.2.【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】无【解答】解：i−123i =(i−12)i3i 2=−1−12i−3=13+4i ．故选C ．3.【答案】A【考点】根据充分必要条件求参数取值问题【解析】【解答】解：因为m =4x +2x+1=(2x +1)2−1，当x >0时，(2x +1)2−1>3，故关于x 的方程4x +2x+1−m =0有正实数解的充要条件是m >3.故选A ．4.【答案】C【考点】球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算【解析】利用截面图得出两个半径的关系，代入公式即可.【解答】解：设球的半径为R ，圆锥的半径为r ，高为h ，由题意得，h =R +12R =32R ，r =√R 2−12R 2=√32R ，所以圆锥体积V 1=13Sh =13πr 2h =13π(√32R )232R =38πR 3，球的体积V 2=43πR 3，所以，比值为V 1V 2=932.故选C.5.【答案】C【考点】斜二测画法画直观图旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】根据斜二测画法可知：AB ＝1，AC ＝√3，根据圆锥的表面积公式进而即可求得结果.【解答】解：根据斜二测画法可知：AB =1，AC =√3，△ABC 为直角三角形，将△ABC 绕AC 所在直线旋转一周后形成的几何体为圆锥，底面半径为1，高为√3，侧面母线长为2，∴几何体的表面积为S =π×1×2+π×12=3π.故选C.6.【答案】A【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】根据向量模的性质，建立关于→a 、→b 的方程组，解出→a ⋅→b =0且→b 2=3→a 2．由此作出矩形OABC ，可得→OC =→OA +→OB =→a +→b ，且|→OB|=√3|→OA|．由此利用解三角形的知识，即可得到向量→b 与→a +→b 的夹角大小．【解答】由已知得{(→a +→b)2=(→a −→b)2(→a −→b)2=4→a 2 ，化简①得→a ⋅→b =0且→b 2=3→a 2．令→OA =→a ，→OB =→b ，→OC =→OA +→OB =→a +→b ，则由→a ⋅→b =0且→b 2=3→a 2，可得四边形OACB 为矩形，且|→OB|=√3|→OA|∠BOC 即为向量→b 与→a +→b 的夹角．令|→OA|=1，则|→OB|=√3Rt △OBC 中，tan ∠BOC =→|BC|→|OB|=√33，∴∠BOC =π6，即向量→b 与→a +→b 的夹角为π67.【答案】C【考点】正弦函数的单调性【解析】由题意可得(2√3)2+(T2)2=42，求得ω的值，再根据对称中心求得φ的值，可得函数f(x)的解析式，利用正弦函数的单调性，求得f(x)的单调递增区间．【解答】函数f(x)=√3sin(ωx +φ)(ω>0,−π2<φ<π2)，A(13,0)为f(x)图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC ＝4，∴(2√3)2+(T2)2=42，即12+π2ω2=16，求得ω=π2．再根据π2⋅13+φ＝kπ，k ∈Z ，可得φ=−π6，∴f(x)=√3sin(π2x −π6)．令2kπ−π2≤π2x −π6≤2kπ+π2，求得4k −23≤x ≤4k +43，故f(x)的单调递增区间为(4k −23,4k +43)，k ∈Z ，8.【答案】A【考点】函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵函数f(x)={−x −3a,x <0log a (x +1)，x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，∴{3a ≥log a (0+1)，0<a <1，∴0<a <1.故选A. 二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,C【考点】截面及其作法【解析】利用线面平行的判定与性质先完成截面，利用正四面体的性质得AB ⊥CD ，可得解.【解答】解：在△ACD 中，过点P 做EF//CD ，分别交AC ，AD 于E ，F ，由P 为△ACD 的中心，得EF =23CD ，在平面ABC ，平面ABD 内做EH//AB ，FG//AB 交BC ，BD 于H ，G ，连接HG ，则四边形EFGH 为所求做的截面，故EH//平面ABD ，故A 正确；由正四面体得AB ⊥CD 可得截面为长方形，故B 错误，C 正确；且EF =23a ，EH =13a ，所以截面面积为S =29a 2，故D 错误.故选AC.10.【答案】B,D【考点】平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角向量的模平面向量共线（平行）的坐标表示数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】根据题意，求出→a 、→b 的坐标，据此分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，→a +→b =(1,1)，→a −→b =(−3,1)，则→a =(−1,1)，→b =(2,0).A ，|→a|=√2，|→b|=2，则|→a|=|→b|不成立，故A 错误；B ，→a =(−1,1)，→c =(1,1)，则→a ⋅→c =0，即→a ⊥→c ，故B 正确；C ，→b =(2,0)，→c =(1,1)，→b//→c 不成立，故C 错误；D ，→a =(−1,1)，→b =(2,0)，则→a ⋅→b =−2，|→a|=√2，|→b|=2，则cosθ=−22√2=−√22，则θ=135∘，故D 正确.故选BD.11.【答案】A,B,D【考点】正弦定理余弦定理【解析】利用余弦定理求得第三边长，由此判断AB 选项的正确性；利用三角形面积列方程，解方程求得内切圆的半径，进而求得内切圆的周长，由此判断C 选项的正确性；利用正弦定理求得外接圆的半径，由此求得外接圆的面积，从而判断D 选项的正确性．【解答】解：可得另一边长为√82+52−2×8×5cos60∘=7三角形的周长为20，则A 正确，B 正确；设内切圆半径为r ，则12(8+7+5)r =12×8×5sin60∘则内切圆周长为2πr =2√3π，则C 不正确；设外接圆半径为R ，则2R =7sin60∘，R =7√33，其面积为πR 2=49π3，则D 正确．故选ABD ．12.【答案】B,C【考点】诱导公式由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的图象【解析】先用图像上两零点间的距离求出函数的周期，从而求得ω，而后利用五点对应法求得φ，进而求得图像的解析式.【解答】解：由函数y =sin(ωx +φ)的部分图像，可知，T2=2π3−π6=π2，∴T =π，∴ω=2ππ=2，∴y =sin(2x +φ).将点(π6,0)代入得，0=sin(π3+φ)，∴π3+φ=(k +1)π(k ∈Z).A ，当x =π6时，sin(x +π3)=sin π2=1，不符合题意，故A 选项错误；B ，当k =0时，φ=2π3，y =sin(2x +2π3)=sin(2x −π3+π3+2π3)=sin(2x −π3+π)=−sin(2x −π3)=sin(π3−2x)，故B 选项正确；C ，sin(2x +2π3)=sin(2x +π6+π2)=cos(2x +π6)，故C 选项正确；D ，cos(5π6−2x)=cos(2x −5π6)=cos(2x −π2−π3)=sin(2x −π3)=−sin(2x +2π3)，故D 选项错误.故选BC.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】−1−2i 或−2−i,√5【考点】复数的基本概念复数的模【解析】利用复数的定义和性质列出方程组能求出z ．【解答】解：设z =a +bi.∵z +5z 是实数，∴a +bi+5a +bi =(a +bi)+5(a −bi)a 2+b 2=(a +5aa 2+b 2)+(b −5ba 2+b 2)i ，∴b −5ba 2+b 2=0.又∵b ≠0，∴a 2+b 2=5. ①∵z +3的实数与虚部是相反数，∴a +3+b =0. ②联立①②解得{a =−1,b =−2或{a =−2,b =−1,故z =−1−2i 或z =−2−i ，|z|=√5.故答案为：−1−2i 或−2−i ；√5.14.【答案】√7【考点】向量的模【解析】利用向量的数量积运算法则和运算性质即可得出．【解答】解：∵|→a|=1，|→b|=2，→a 与→b 的夹角为60∘．∴|→a +→b|=√→a 2+→b 2+2→a ⋅→b =√12+22+2×1×2×cos60∘=√7．故答案为：√7．15.【答案】{−e ，−5ln5，2，52}【考点】函数的零点与方程根的关系函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：令f(x)=0得x =−2或x =ln5，∵f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞) 上单调递增，∴|f(x)|={x 2−4,x ≤−2，4−x 2,−2<x ≤0,5−e x ,0<x <ln5,e x−5,x >ln5.作出 y =|f(x)|的函数图象如图所示：∵关于x 的方程|f(x)|−ax −5=0恰有三个不同的实数解，∴直线y =ax +5与y =|f(x)|有3个交点，∴y =ax +5 过点 (−2,0) 或过点 (ln5,0)或y =ax +5与y =|f(x)| 的图象相切，(1)若 y =ax +5过点(−2,0) ，则a =52；(2)若 y =ax +5过点(ln5,0) ,则 a =−5ln5；(3)若 y =ax +5与y =|f(x)|在(−2,0) 上的图象相切，设切点为 (x 0,y 0)，则{−2x 0=a ，y 0=ax 0+5,y 0=4−x 20.解得a =2；(4)若 y =ax +5 y =|f(x)|在 (0,ln5) 上的图象相切，设切点为 (x 1,y 1)，则{−e x 1=a ，y 1=ax 1+5,y 1=5−e x 1.解得a =−e.综上所述，a 的取值集合为{−e ，−5ln5，2，52}.故答案为：{−e ，−5ln5，2，52}.16.【答案】12【考点】正弦定理余弦定理基本不等式在最值问题中的应用同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】解：2cosBcosC(tanB +tanC)=cosBtanB +cosCtanC 可化为2cosBcosC (sinBcosB +sinCcosC )=cosB ⋅sinBcosB +cosC ⋅sinCcosC即2(sinBcosC +cosBsinC)=2sin(B +C)=2sinA =sinB +sinC ，∴△ABC 中，a =b +c2，∴ cosA =b 2+c 2−a 22bc =b 2+c 2−(b +c2)22bc=3b 2+3c 2−2bc8bc ≥6bc −2bc8bc =12，当且仅当b =c =a 时取等号．故答案为：12.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ．∵C =2r +l ，∴r =C −l2，(0<l <C)．则S =12lr =12l ⋅C −l2=−14(l 2−Cl)=−14(l−C2)2+C 216，∴当l =C2时，S max =C 216．【考点】扇形面积公式弧长公式【解析】利用扇形的面积计算公式、弧长公式，可得S =12lr =12l ⋅C −l2=−14(l 2−Cl)=−14(l−C2)2+C 216，再利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ．∵C =2r +l ，∴r =C −l2，(0<l <C)．则S =12lr =12l ⋅C −l2=−14(l 2−Cl)=−14(l−C2)2+C 216，∴当l =C2时，S max =C 216．18.【答案】解：(1)当m 2−1=0，即m =±1时，复数z =(m 2−2m−3)+(m 2−1)i 为实数.(2)由题意，得{m 2−2m−3<0,m 2−1<0,解得−1<m <1，∴当m ∈(−1,1)时，复数z 对应的点在第三象限．【考点】复数的基本概念复数的代数表示法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当m 2−1=0，即m =±1时，复数z =(m 2−2m−3)+(m 2−1)i 为实数.(2)由题意，得{m 2−2m−3<0,m 2−1<0,解得−1<m <1，∴当m ∈(−1,1)时，复数z 对应的点在第三象限．19.解：(1)由正弦定理得，2sinBcosC=2sinA−sinC.∵在△ABC中，sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，∴2cosBsinC=sinC.又∵0<C<π，可得sinC>0，∴2cosB=1，可得cosB=12.∵0<B<π，∴B=π3．(2)∵S△ABC=12acsinB=√3，B=π3，√34ac=√3，解得ac=4.∴2=a2+c2−2accosB由余弦定理，得b=a2+c2−ac≥2ac−ac=ac=4，当且仅当a=c=2时，“=”成立，∴b的最小值为2，∴b的取值范围为[2,+∞).【考点】两角和与差的正弦公式基本不等式在最值问题中的应用余弦定理正弦定理【解析】（1）根据正弦定理结合sinA＝sin(B+C)，化简整理得2cosBsinC＝sinC，结合sinC>0解出cosB=12，从而可得B=π3．（2）由正弦定理的面积公式，得12acsinB=√3，从而解出ac＝4，再结合基本不等式求最值和三角形两边之和大于第三边，即可得到b的取值范围．【解答】解：(1)由正弦定理得，2sinBcosC=2sinA−sinC.∵在△ABC中，sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，∴2cosBsinC=sinC.又∵0<C<π，可得sinC>0，∴2cosB=1，可得cosB=12.∵0<B<π，∴B=π3．(2)∵S△ABC=12acsinB=√3，B=π3，√34ac=√3，解得ac=4.∴2=a2+c2−2accosB由余弦定理，得b=a2+c2−ac≥2ac−ac=ac=4，当且仅当a=c=2时，“=”成立，∴b的最小值为2，∴b的取值范围为[2,+∞).20.【答案】解：(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.则以Ox为始边，OB为终边的角为θ−π2，故点B的坐标为(4.8cos(θ−π2)，4.8sin(θ−π2))，∴h=4.8+0.8+4.8sin(θ−π2)，即h=5.6+4.8sin(θ−π2)(θ≥0).(2)点A在圆上转动的角速度是π30rad/s，故ts转过的弧度数为π30t，∴h=5.6+4.8sin(π30t−π2)，t∈[0，+∞).(3)缆车从最低点A到达最高点时，h=10.4m.令5.6+4.8sin(π30t−π2)=10.4，则sin(π30t−π2)=1，∴π30t−π2=π2，解得t=30s，∴缆车从最低点A到达最高点至少需要30s.【考点】已知三角函数模型的应用问题在实际问题中建立三角函数模型由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】（1）以圆心O为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为Y轴方向建立平面直角坐标系，则根据缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈，易得到到h与θ间的函数关系式；（2）由60秒转动一圈，易得点A在圆上转动的角速度是π30，故t秒转过的弧度数为π30t，根据（1）的结论，我们将π30t代入解析式，即可得到满足条件的t值．【解答】解：(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.则以Ox为始边，OB为终边的角为θ−π2，故点B的坐标为(4.8cos(θ−π2)，4.8sin(θ−π2))，∴h=4.8+0.8+4.8sin(θ−π2)，即h=5.6+4.8sin(θ−π2)(θ≥0).(2)点A在圆上转动的角速度是π30rad/s，故ts转过的弧度数为π30t，∴h=5.6+4.8sin(π30t−π2)，t∈[0，+∞).(3)缆车从最低点A 到达最高点时，h =10.4m.令5.6+4.8sin (π30t −π2)=10.4，则sin (π30t −π2)=1，∴π30t −π2=π2，解得t =30s ，∴缆车从最低点A 到达最高点至少需要30s.21.【答案】解：(1)因为(→a +k →b)⊥(→a −k →b)，所以(→a +k →b)(→a −k →b)=0，所以→a 2−k 2→b 2=0，因为|→a|=3，|→b|=4，所以9−16k 2=0，解得k =±34；(2)因为(k →a −4→b)//(→a −k →b)，且→a −k →b ≠0，所以存在实数λ，使得k →a −4→b =λ(→a −k →b)=λ→a −λk →b ，因为|→a|=3，|→b|=4，且→a 与→b 不共线，所以{k =λ−4=−λk ，解得k =±2．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平行向量的性质【解析】（1）根据两向量垂直数量积为0，列出方程求出k 的值；（2）利用向量的共线定理，列出方程求出k 的值．【解答】解：(1)因为(→a +k →b)⊥(→a −k →b)，所以(→a +k →b)(→a −k →b)=0，所以→a 2−k 2→b 2=0，因为|→a|=3，|→b|=4，所以9−16k 2=0，解得k =±34；(2)因为(k →a −4→b)//(→a −k →b)，且→a −k →b ≠0，所以存在实数λ，使得k →a −4→b =λ(→a −k →b)=λ→a −λk →b ，因为|→a|=3，|→b|=4，且→a 与→b 不共线，所以{k =λ−4=−λk ，解得k =±2．22.【答案】(1)解：当x >0时，−x <0，∴f(−x)=(−x)2−4(−x)=x 2+4x.∵f(x)是R 上的奇函数，∴f(−x)=−f(x)，f(0)=0，∴f(x)=−f(−x)=−(x 2+4x )=−x 2−4x(x >0)，∴f(x)={x 2−4x ，x <0，0，x =0，−x 2−4x ，x >0.(2)证明：设任意的x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(−x 21−4x 1)−(−x 22−4x 2)=x 22−x 21+4x 2−4x 1=(x 2−x 1)(x 2+x 1+4).∵0<x 1<x 2，∴x 2−x 1>0 ，x 2+x 1+4>0，∴f (x 1)−f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f(x)在(0,+∞)上是减函数．(3)解：根据题意作出函数在[−1,1]的图象如图，由上图可知，f(x)在[−1,1]上单调递减，故f(x)max =f(−1)=5，f(x)min =f(1)=−5.【考点】函数奇偶性的性质函数的最值及其几何意义函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：当x >0时，−x <0，∴f(−x)=(−x)2−4(−x)=x 2+4x.∵f(x)是R 上的奇函数，∴f(−x)=−f(x)，f(0)=0，∴f(x)=−f(−x)=−(x 2+4x )=−x 2−4x(x >0)，∴f(x)={x 2−4x ，x <0，0，x =0，−x 2−4x ，x >0.(2)证明：设任意的x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(−x 21−4x 1)−(−x 22−4x 2)=x 22−x 21+4x 2−4x 1=(x 2−x 1)(x 2+x 1+4).∵0<x1<x2，∴x2−x1>0 ，x2+x1+4>0，∴f(x1)−f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0,+∞)上是减函数．(3)解：根据题意作出函数在[−1,1]的图象如图，由上图可知，f(x)在[−1,1]上单调递减，故f(x)max=f(−1)=5，f(x)min=f(1)=−5.。
高一数学期中试卷及试卷分析人教版
高一数学期中试卷及试卷分析人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：期中试卷及试卷分析【模拟试题】（答题时间：90分钟）一. 选择题（每题3分，共30分）1. 角α的终边过点)60cos 6,8(︒--m p ，且54cos -=α，则m 的值为（ ） A.21 B. 21- C. 23- D. 232. 已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是（ ）A. )(x f 是周期为1的奇函数B. )(x f 是周期为2的偶函数C. )(x f 是周期为1的非奇非偶函数D. )(x f 是周期为2的非奇非偶函数3. 函数)23sin(3x y -=π的单调增区间是（ ）A. ]22,22[ππππ+-k kB. ]232,22[ππππ++k k C. ]1211,125[ππππ++k kD. ]125,12[ππππ+-k k 4. 已知αtan 和)4tan(απ-是方程02=++c bx ax 的两个根，则c b a ,,的关系（ ）A. c a b +=B. c a b +=2C. a b c +=D. ab c =5. 设α、β是第二象限的角，且βαsin sin <，则下列不等式能成立的是（ ） A. βαcos cos < B. βαtan tan < C. βαcot cot > D. βαsec sec <6. 若ABC ∆中，已知54sin =A ，135cos =B ，则C cos -的值是（ ） A. 6533- B. 6533± C. 6534- D. 65337. 将函数)(x f y =的图像上所有点的横坐标缩小为原来的21（纵坐标不变），再把所得图像向左平移6π个单位，得到函数x x y cos sin 3+=的图像，则)(x f 等于（ ）A. x sin 2B. )62sin(2π+xC. 2sin 2xD. )62sin(2π+x8. 设︒+︒=14cos 14sin a ，︒+︒=16cos 16sin b ，26=c ，则c b a ,,的大小关系为（ ）A. c b a <<B. b c a <<C. a c b <<D. c a b << 9. )(x f a x x ++=2sin 3cos 22（a 为实常数），在区间]2,0[π上的最小值为4-，那么a 的值等于（ ）A. 4B. 5-C. 4-D. 3-10. 定义在R 上的函数)(x f 满足)2()(+=x f x f ，当]5,3[∈x 时，42)(--=x x f ，则（ ）A. )6(cos )6(sinππf f < B. )1(cos )1(sin f f > C. )32(sin )32(cos ππf f <D. )2(sin )2(cos f f >二. 填空题（每题4分，共20分）11. 03tan ≥-x 的解集区间为 。
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新人教版高一数学下学期期中考试试卷（附答案）
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
） 1、cos24cos36cos66cos54︒
︒
︒
︒
-的值为（ ）
A 0 B
12 C
2
D 12- 2.由11a =，3d =确定的等差数列{}n a ，当298n a =时，序号n 等于 （ ）
Ａ．99 Ｂ．100
Ｃ．96
Ｄ．101
3. 在△ABC 中，若2cosAsinB=sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
4．已知等比数列{a n }中， 有 31174a a a ∙= ，数列 {}n b 是等差数列，且 77b a =，则 59b b +=( )
A ． 2
B ． 4
C ．6
D ． 8
5.在等差数列中，,则的前5项和= A.7 B.15 C.20 D.25
6. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ） A
18 B 47 C 4
7
- D 18- 7. 函数4
4
sin cos y x x =+的值域是（ ）
A []0,1
B []1,1-
C 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D 1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
8.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6 : S 3=1 : 2，则S 9 : S 3=
（ ）
A ．1 : 2
B ．1 : 3
C ．2 : 3
D ．3 : 4
9.由1，3，5，…，2n －1，…构成数列{}n a ，数列{}n b 满足1,2,21-=≥=n b n a b n b 时当，
}{n a 5,142==a a }{n a 5S
则b 5等于 A ．63 B ．33 C ．17
D ．15
10.已知等差数列的前项和为，则数列的前100项和为 A ． B ． C ． D ．
二、填空题（共5个小题，每小题5分，共25分）
11.已知等差数列{}n a 的前三项为32,1,1++-a a a ，则此数列的通项公式为______ .
12.在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A=3
π
，3=a ，1=b ，则边=c ________
13.数列{}n a 满足11=a ，()+-∈≥+=N n n n a a n n ,21 ，则=n a
14.已知
1cos sin 21cos sin x x
x x
-+=-++，则x tan 的值为 ____________
15.两等差数列}{n a 和}{n b ,前n 项和分别为n n T S ,,且
,3
2
7++=n n T S n n 则
15
7202b b a a ++等于 。
三．解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）
16. （本题12分）(1)求)
212cos 4(12sin 3
12tan 30200--的值
(2) 已知tan 2x =，求3sin 22cos 2cos 23sin 2x x
x x
+-的值
17. （本题12分）已知等比数列{}n a 中，4
5
,106431=+=+a a a a ，求其第4项及前5项和.
{}n a n 55,5,15n S a S ==11n n a a +⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭
10010199101
99100101
100。