等差数列前n项和的性质及应用张PPT
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答案：(1)130 (2)225
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
类型二 两个等差数列前n项和之比问题 [例2] 若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和An和Bn满 足关系式ABnn＝47nn＋＋217(n∈N*)，求bann. [分析] 条件是前n项和的比值，而结论是通项的比 值．所以，需要将通项的比值转化为前n项和的比值．
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
[点评] 恰当的应用等差中项可以简化解题过程．
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
变式训练2 设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5＝ 5a3，则SS59＝________.
9a1＋a9 解析：SS95＝5a12＋a5＝95·aa35＝95×5＝9.
2．理解等差数列的性质，等差数列前n项和公式的应 用．
3．掌握等差数列及前n项和最值问题.
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
课前 自 主 预 习
课 前 预 习 ········································· 明 确 目 标
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
[解]
方法1：
a1＝25， S17＝S9.
则17a1＋
17×16 2
d＝9a1＋
9×2 8d，d＝－2.
从而Sn＝25n＋nn－ 2 1(－2)＝－(n－13)2＋169.
故前13项之和最大，最大值是169.
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系列丛书
一般地，等差数列{an}中，若a1>0，且Sp＝Sq(p≠q)，
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则①当p＋q为偶数时，则n＝
p＋q 2
时，Sn最大；②当p＋q为
奇数时，则n＝p＋q2－1或n＝p＋q2＋1时，Sn最大．
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
变式训练4 已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝ －5.
⇒SS偶 奇＝ ＝119622， ，
∴S偶－S奇＝6d＝30，∴d＝5.
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
变式训练3 (1)等差数列{an}中，S10＝120，在这10项
中，SS奇 偶＝1113，求公差d.
(2)含2n＋1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的
和之比为( )
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
4．如果等差数列{bn}的前n项和为Tn，则有 2n－1a1＋a2n－1
abnn＝22bann＝ab11＋＋ab22nn－－11＝2n－1b21＋b2n－1＝TS22nn－－11. 2
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第二章 2.3 第2课时
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第二章 2.3 第2课时
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当a1>0，d<0时，满足
an≥0， an＋1≤0
的项数n，使Sn取最大
值；
当a1<0，d>0时，满足
an≤0， an＋1≥0
的项数n，使Sn取最小
值．
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第二章 2.3 第2课时
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课堂 互 动 探 究
[点评] 综合上面的方法我们可以得到求数列前n项和 的最值问题的方法：(1)运用配方法转化为二次函数，借助 函数的单调性以及数形结合，从而使问题得解；(2)通项公 式法：求使an≥0(或an≤0)成立的最大n即可．这是因为： 当an<0时，Sn<Sn－1，即单调递减．
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第二章 2.3 第2课时
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(2)Sn＝25，S2n＝100.设S3n＝x. 由于Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列， ∴25,100－25，x－100成等差数列． ∴(x－100)＋25＝2(100－25)． ∴x－100＋25＝150. ∴x＝225，∴S3n＝225.
2n＋1 A. n
n＋1 B. n
n－1 C. n
n＋1 D. 2n
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
S奇＋S偶＝120， 解析：(1)SS奇 偶＝1113，
⇒SS奇 偶＝ ＝5655， ，
∴S偶－S奇＝5d.
∴65－55＝5d.∴10＝5d.
∴d＝2.
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
[点评] 巧用性质解题，使计算化繁为简．
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第二章 2.3 第2课时
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变式训练1 (1)等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＝ 30，a5＋a6＋a7＋a8＝80，则a9＋a10＋a11＋a12＝________.
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
自我纠错 易错点：等差数列前n项和Sn中忽视n的取值范围． [错题展示] 已知等差数列{an}，a2＝3，a4＝－5，求 等差数列{an}的前n项和Sn的最大值．
第二章 2.3 第2课时
系列丛书
3．若项数为2n－1，则
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－2＝
n－1 2
(a2＋a2n－2)＝
n－1 2
×2an＝(n－1)an，
S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝n2×2an＝nan，
S奇－S偶＝nan－(n－1)an＝an(这里an＝a中)，
SS奇偶＝n－na1nan＝n－n 1.
方法2：∵项数为奇数， ∴SS奇 偶＝项 项数 数＋ －11＝22nn＋ ＋11＋ －11＝2n2＋n 2＝n＋n 1，选B.
答案：(1)2 (2)B
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第二章 2.3 第2课时
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类型四 等差数列前n项和的最值问题 [例4] 等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，问数列前 多少项之和最大，并求此最大值．
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第二章 2.3 第2课时
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新知初探
等差数列前n项和的性质 数列{an}是公差为d的等差数列，其前n项和具有下列 性质： 1．Sn＝a1＋a2＋…＋an， S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n，
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系列丛书
S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n， 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n是公差为n2d的等差数列，且有 Sn＋S3n－S2n＝2(S2n－Sn)．
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系列丛书
[解] 由等差数列性质：
an＝a1＋2a2n－1，bn＝b1＋2b2n－1，
a1＋a2n－1 2n－1a1＋a2n－1
∴abnn＝b1＋2b2n－1＝2n－1b21＋b2n－1＝AB22nn－－11
2
2
＝4722nn－－11＋＋217＝184nn＋－263.
(2)一个等差数列前n项和为25，前2n项和为100，求其 前3n项的和．
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
解析：(1)由题意知S4＝30，S8－S4＝80. ∵S4，S8－S4，S12－S8成等差数列， ∴30、80、S12－S8成等差数列． ∴S12－S8＝130. 而S12－S8＝a9＋a10＋a11＋a12， ∴a9＋a10＋a11＋a12＝130.
系列丛书
思考感悟 等差数列前n项和Sn在什么情况下取得最值？如何求Sn 的最值？
提示：(1)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn必有 最大值；若a1<0，d>0，则Sn必有最小值．
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
(2)Sn的最值的求法 ①用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝An2＋Bn，通 过配方或求二次函数最值的方法求得． ②在等差数列中有关Sn的最值问题除了借助二次函数 图象求解，还常用邻项变号法来求解．
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2．若项数为2n，则 S偶－S奇＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－a1－a3－a5－…－a2n－1 ＝d＋d＋…＋d＝nd， SS奇偶＝n2n2aa1＋2＋aa2n2－n1＝22aan＋n 1＝aan＋n 1.
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2
答案：9
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
类型三 等差数列的奇数项和与偶数项和问题 [例3] 在等差数列{an}中，S12＝354，在这12项中S 偶∶S奇＝32∶27，求公差d. [分析] 可以通过a1与d来求；也可以考虑奇数项和与 偶数项和的性质．
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第二章 2.3 第2课时
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方法4：先求出d＝－2，∵a1＝25>0， 由aann＝ ＋1＝252－5－2n2n－≤10≥. 0， 得nn≤ ≥11321212， . ∴ 当n＝13时，Sn有最大值169.
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
[解] 方法1：设等差数列的首项和公差分别为a1和d， 则12a1＋12×2 11d＝354， 6a61a＋1＋d6＋×265×22d52d＝3227，∴d＝5.
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
S奇＋S偶＝354， 方法2：SS偶 奇＝3227，
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
(2)方法1：∵S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1 ＝n＋1a21＋a2n＋1， S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝na2＋2 a2n， 又∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n， ∴SS奇偶＝n＋n 1，选B.
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第二章 2.3 第2课时
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系列丛书
第二章 数列
第二章 数列
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系列丛书
2.3 等差数列的前n项和
第二章 数列
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系列丛书
第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
课前自主预习
课堂互动探究
随堂知能训练
课时作业
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.进一步了解等差数列的定义，通项公式及前n项和公 式．
第二章 2.3 第2课时
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方法2：Sn＝d2n2＋(a1－d2)n(d<0)， Sn的图象是开口向下的抛物线上一群离散的点，最高 点的纵坐标为9＋217，即S13最大．如图所示，最大值为169.
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第二章 2.3 第2课时
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方法3：∵S17＝S9， ∴a10＋a11＋…＋a17＝0. ∴a10＋a17＝a11＋a16＝…＝a13＋a14＝0. ∵a1＝25>0，∴a13>0，a14<0. ∴S13最大，最大值为169.
例 练 结 合 ········································· 素 能 提 升
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第二章 2.3 第2课时
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典例导悟 类型一 等差数列的部分和Sn，S2n－Sn，S3n－Sn，… 仍成等差数列
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[例1]
若Sn表示等差数列的前n项和，
S4 S8
＝
1 3
，则
S8 S16
＝
________.
[分析]
可以设出首项a1与公差d，代入条件
S4 S8
，进一
步求
S8 S16
的值．但是，我们注意到序号为4、8、16，可以考
虑用性质来解．
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(1)求{an}的通项an； (2)求{an}前n项和Sn的最大值．
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解：(1)设{an}的公差为d， 由已知条件，aa11＋＋d4＝d＝1，－5， 解出a1＝3，d＝－2， 所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5. (2)Sn＝na1＋nn－ 2 1d ＝－n2＋4n＝4－(n－2)2. 所以n＝2时，Sn取到最大值4.
[解] ∵SS48＝13，故设S4＝x，则S8＝3x. 由于S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，且S4＝ x，S8－S4＝3x－x＝2x， ∴新数列公差为x. ∴S12－S8＝3x，S16－S12＝4x， ∴S12＝3x＋S8＝3x＋3x＝6x，而S16＝S12＋4x＝6x＋4x ＝10x. ∴SS186＝130xx＝130.
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类型二 两个等差数列前n项和之比问题 [例2] 若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和An和Bn满 足关系式ABnn＝47nn＋＋217(n∈N*)，求bann. [分析] 条件是前n项和的比值，而结论是通项的比 值．所以，需要将通项的比值转化为前n项和的比值．
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[点评] 恰当的应用等差中项可以简化解题过程．
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变式训练2 设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5＝ 5a3，则SS59＝________.
9a1＋a9 解析：SS95＝5a12＋a5＝95·aa35＝95×5＝9.
2．理解等差数列的性质，等差数列前n项和公式的应 用．
3．掌握等差数列及前n项和最值问题.
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[解]
方法1：
a1＝25， S17＝S9.
则17a1＋
17×16 2
d＝9a1＋
9×2 8d，d＝－2.
从而Sn＝25n＋nn－ 2 1(－2)＝－(n－13)2＋169.
故前13项之和最大，最大值是169.
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一般地，等差数列{an}中，若a1>0，且Sp＝Sq(p≠q)，
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则①当p＋q为偶数时，则n＝
p＋q 2
时，Sn最大；②当p＋q为
奇数时，则n＝p＋q2－1或n＝p＋q2＋1时，Sn最大．
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变式训练4 已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝ －5.
⇒SS偶 奇＝ ＝119622， ，
∴S偶－S奇＝6d＝30，∴d＝5.
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变式训练3 (1)等差数列{an}中，S10＝120，在这10项
中，SS奇 偶＝1113，求公差d.
(2)含2n＋1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的
和之比为( )
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4．如果等差数列{bn}的前n项和为Tn，则有 2n－1a1＋a2n－1
abnn＝22bann＝ab11＋＋ab22nn－－11＝2n－1b21＋b2n－1＝TS22nn－－11. 2
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当a1>0，d<0时，满足
an≥0， an＋1≤0
的项数n，使Sn取最大
值；
当a1<0，d>0时，满足
an≤0， an＋1≥0
的项数n，使Sn取最小
值．
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[点评] 综合上面的方法我们可以得到求数列前n项和 的最值问题的方法：(1)运用配方法转化为二次函数，借助 函数的单调性以及数形结合，从而使问题得解；(2)通项公 式法：求使an≥0(或an≤0)成立的最大n即可．这是因为： 当an<0时，Sn<Sn－1，即单调递减．
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(2)Sn＝25，S2n＝100.设S3n＝x. 由于Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列， ∴25,100－25，x－100成等差数列． ∴(x－100)＋25＝2(100－25)． ∴x－100＋25＝150. ∴x＝225，∴S3n＝225.
2n＋1 A. n
n＋1 B. n
n－1 C. n
n＋1 D. 2n
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S奇＋S偶＝120， 解析：(1)SS奇 偶＝1113，
⇒SS奇 偶＝ ＝5655， ，
∴S偶－S奇＝5d.
∴65－55＝5d.∴10＝5d.
∴d＝2.
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[点评] 巧用性质解题，使计算化繁为简．
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变式训练1 (1)等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＝ 30，a5＋a6＋a7＋a8＝80，则a9＋a10＋a11＋a12＝________.
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自我纠错 易错点：等差数列前n项和Sn中忽视n的取值范围． [错题展示] 已知等差数列{an}，a2＝3，a4＝－5，求 等差数列{an}的前n项和Sn的最大值．
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3．若项数为2n－1，则
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－2＝
n－1 2
(a2＋a2n－2)＝
n－1 2
×2an＝(n－1)an，
S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝n2×2an＝nan，
S奇－S偶＝nan－(n－1)an＝an(这里an＝a中)，
SS奇偶＝n－na1nan＝n－n 1.
方法2：∵项数为奇数， ∴SS奇 偶＝项 项数 数＋ －11＝22nn＋ ＋11＋ －11＝2n2＋n 2＝n＋n 1，选B.
答案：(1)2 (2)B
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类型四 等差数列前n项和的最值问题 [例4] 等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，问数列前 多少项之和最大，并求此最大值．
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等差数列前n项和的性质 数列{an}是公差为d的等差数列，其前n项和具有下列 性质： 1．Sn＝a1＋a2＋…＋an， S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n，
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S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n， 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n是公差为n2d的等差数列，且有 Sn＋S3n－S2n＝2(S2n－Sn)．
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[解] 由等差数列性质：
an＝a1＋2a2n－1，bn＝b1＋2b2n－1，
a1＋a2n－1 2n－1a1＋a2n－1
∴abnn＝b1＋2b2n－1＝2n－1b21＋b2n－1＝AB22nn－－11
2
2
＝4722nn－－11＋＋217＝184nn＋－263.
(2)一个等差数列前n项和为25，前2n项和为100，求其 前3n项的和．
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解析：(1)由题意知S4＝30，S8－S4＝80. ∵S4，S8－S4，S12－S8成等差数列， ∴30、80、S12－S8成等差数列． ∴S12－S8＝130. 而S12－S8＝a9＋a10＋a11＋a12， ∴a9＋a10＋a11＋a12＝130.
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思考感悟 等差数列前n项和Sn在什么情况下取得最值？如何求Sn 的最值？
提示：(1)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn必有 最大值；若a1<0，d>0，则Sn必有最小值．
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(2)Sn的最值的求法 ①用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝An2＋Bn，通 过配方或求二次函数最值的方法求得． ②在等差数列中有关Sn的最值问题除了借助二次函数 图象求解，还常用邻项变号法来求解．
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2．若项数为2n，则 S偶－S奇＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－a1－a3－a5－…－a2n－1 ＝d＋d＋…＋d＝nd， SS奇偶＝n2n2aa1＋2＋aa2n2－n1＝22aan＋n 1＝aan＋n 1.
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2
答案：9
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第二章 2.3 第2课时
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类型三 等差数列的奇数项和与偶数项和问题 [例3] 在等差数列{an}中，S12＝354，在这12项中S 偶∶S奇＝32∶27，求公差d. [分析] 可以通过a1与d来求；也可以考虑奇数项和与 偶数项和的性质．
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方法4：先求出d＝－2，∵a1＝25>0， 由aann＝ ＋1＝252－5－2n2n－≤10≥. 0， 得nn≤ ≥11321212， . ∴ 当n＝13时，Sn有最大值169.
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[解] 方法1：设等差数列的首项和公差分别为a1和d， 则12a1＋12×2 11d＝354， 6a61a＋1＋d6＋×265×22d52d＝3227，∴d＝5.
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S奇＋S偶＝354， 方法2：SS偶 奇＝3227，
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(2)方法1：∵S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1 ＝n＋1a21＋a2n＋1， S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝na2＋2 a2n， 又∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n， ∴SS奇偶＝n＋n 1，选B.
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第二章 数列
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2.3 等差数列的前n项和
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第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
课前自主预习
课堂互动探究
随堂知能训练
课时作业
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目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.进一步了解等差数列的定义，通项公式及前n项和公 式．
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方法2：Sn＝d2n2＋(a1－d2)n(d<0)， Sn的图象是开口向下的抛物线上一群离散的点，最高 点的纵坐标为9＋217，即S13最大．如图所示，最大值为169.
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方法3：∵S17＝S9， ∴a10＋a11＋…＋a17＝0. ∴a10＋a17＝a11＋a16＝…＝a13＋a14＝0. ∵a1＝25>0，∴a13>0，a14<0. ∴S13最大，最大值为169.
例 练 结 合 ········································· 素 能 提 升
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典例导悟 类型一 等差数列的部分和Sn，S2n－Sn，S3n－Sn，… 仍成等差数列
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[例1]
若Sn表示等差数列的前n项和，
S4 S8
＝
1 3
，则
S8 S16
＝
________.
[分析]
可以设出首项a1与公差d，代入条件
S4 S8
，进一
步求
S8 S16
的值．但是，我们注意到序号为4、8、16，可以考
虑用性质来解．
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(1)求{an}的通项an； (2)求{an}前n项和Sn的最大值．
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解：(1)设{an}的公差为d， 由已知条件，aa11＋＋d4＝d＝1，－5， 解出a1＝3，d＝－2， 所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5. (2)Sn＝na1＋nn－ 2 1d ＝－n2＋4n＝4－(n－2)2. 所以n＝2时，Sn取到最大值4.
[解] ∵SS48＝13，故设S4＝x，则S8＝3x. 由于S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，且S4＝ x，S8－S4＝3x－x＝2x， ∴新数列公差为x. ∴S12－S8＝3x，S16－S12＝4x， ∴S12＝3x＋S8＝3x＋3x＝6x，而S16＝S12＋4x＝6x＋4x ＝10x. ∴SS186＝130xx＝130.