4、任意角的三角函数与求值计算
高中数学必修4三角函数知识点归纳总结【经典】
《三角函数》【知识网络】一、任意角的概念与弧度制1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角2、同终边的角可表示为{}()360k k Z ααβ︒=+∈gx 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o gy 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα︒︒+<<+∈o g g第二象限角：{}()90360180360k k k Z αα︒︒+<<+∈o o g g第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα︒︒+<<+∈oo g g第四象限角：{}()270360360360k k k Z αα︒︒+<<+∈oo g g4、区分第一象限角、锐角以及小于90o的角 第一象限角：{}()036090360k k k Z αα︒︒+<<+∈o g g锐角：{}090αα<<o小于90o的角：{}90αα<o5、若α为第二象限角，那么2α为第几象限角？ ππαππk k 222+≤≤+ππαππk k +≤≤+224,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k 所以2α在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.01801≈=︒π815730.571801'︒=︒≈︒=π9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=⨯；面积：21122S l R R α=⨯=⨯，注意：这里的α均为弧度制.二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan yxα= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r =2、三角函数值对应表：3、三角函数在各象限中的符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c ”）sin α tan α cos α 第一象限：0,0.>>y x sin >0,cos >0,tan >0, 第二象限：0,0.><y x sin >0,cos<0,tan<0,第三象限：0,0.<<y x sin <0,cos <0,tan >0, 第四象限：0,0.<>y x sin<0,cos>0,tan<0,4、三角函数线设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P (,)x y ， 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向 延长线交于点T.由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====， cos 1x xx OM r α====， tan y MP ATAT x OM OAα====．我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。
高中数学 三角函数
高中数学：三角函数一、概述三角函数是高中数学的一个重要组成部分，是解决许多数学问题的关键工具。
它涉及的角度、边长、面积等，都是几何和代数的核心元素。
通过学习三角函数，我们可以更好地理解图形的关系，掌握数学的基本概念。
二、三角函数的定义三角函数是以角度为自变量，角度对应的边长为因变量的函数。
常用的三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）和正切函数（tangent）。
这些函数的定义如下：1、正弦函数：sine（θ） = y边长 / r （其中，θ是角度，r是从原点到点的距离）2、余弦函数：cosine（θ） = x边长 / r3、正切函数：tangent（θ） = y边长 / x边长三、三角函数的基本性质1、周期性：正弦函数和余弦函数都具有周期性，周期为 2π。
正切函数的周期性稍有不同，为π。
2、振幅：三角函数的振幅随着角度的变化而变化。
例如，当角度增加时，正弦函数的值也会增加。
3、相位：不同的三角函数具有不同的相位。
例如，正弦函数的相位落后余弦函数相位π/2。
4、奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
5、导数：三角函数的导数与其自身函数有关。
例如，正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是负的正弦函数。
四、三角函数的实际应用三角函数在现实生活中有着广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1、物理：在物理学中，三角函数被广泛应用于描述波动、振动、电磁场等物理现象。
例如，简谐振动可以用正弦或余弦函数来描述。
2、工程：在土木工程和机械工程中，三角函数被用于计算角度、长度等物理量。
例如，在桥梁设计、建筑设计等过程中，需要使用三角函数来计算最佳的角度和长度。
3、计算机科学：在计算机图形学中，三角函数被用于生成二维和三维图形。
例如，使用正弦和余弦函数可以生成平滑的渐变效果。
4、金融：在金融学中，三角函数被用于衍生品定价和风险管理。
例如，Black-Scholes定价模型就使用了正态分布（一种特殊的三角函数）。
任意角的三角函数数学总结
第一章 三角函数（内容总结）设计人：丁大牛1.1任意角和弧度制1.1.1 任意角1.任意角的两种分类2.和角α 终边相同的角的规律等式是3.等分角)3,2(=n n α的象限规律4.用角度的形式写出终边落在每个象限的角1.1.2 弧度制1.角的两种度量方式： 和2.角的两种度量单位及其规定：角度制弧度制3.换算公式4.角度和弧度转化时候需要注意5.扇形公式1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数锐角三角形中=αsin =αcos =αtan终边上一点),(y x P 的三角函数公式=αsin=αcos=αtan终边和单位圆交点),(y x P 的三角函数=αsin=αcos=αtan单位圆上的三角函数线：正弦线、余弦线、正切线各个象限角的三角函数值的符号规律α 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限αsinαcosαtan终边相同的角的同一三角函数的值相等：=+)2sin(παk公式 =+)2c o s(παk 公式一的功能： =+)2tan(παk 1.2.2 同角三角函数的基本关系1. 平方和关系：2. 商数关系：3.变化应用：4.正弦、余弦化正切5. ααcos sin ±、ααcos sin ⋅和αtan 的关系6. 求值、化简、证明1.3三角函数的诱导公式公式二 公式二的功能：公式三 公式三的功能：公式四 公式四的功能：公式五 公式五的功能：公式六 公式六的功能：公式一至四可以概括为：公式五、六可以概括为：理解公式记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限1.4三角函数的图像与性质正弦函数x y sin 的图像和性质定义域值域周期性性质 单调性 图像最值奇偶性对称性余弦函数x y cos =的图像和性质定义域值域周期性性质 单调性最值 图像奇偶性对称性正切函数x y tan =的性质与图像定义域值域周期性性质 单调性 图像最值奇偶性对称性1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像一、由函数x y sin =的图像变化到)sin(ϕω+=x A y 的图像1.先平移后伸缩2.先伸缩后平移二、由图像来确定)sin(ϕω+=x A y 中的ϕω,,A1、由图像中的最高点和最低点求A 和b2、由横坐标确定周期进而确定ω的值3、由起始点的坐标进而确定ϕ的值/起始点、最高点、第三点、最低点、起始点。
如何计算任意角的三角函数值
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一
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第 三 或 第 四 象 限 ， 它 是 十ａ或 ２ － ｎ⑤ 若 要 求 适 合 条 件 的一 切 则 ｒ ； ｔ
角 ． 利 用 终 沩 相 同 的 角 的 表 式 写 出 一 切 角 再
三角函 ｌ（ ｎ ｌ 数 Ｉ ＋ｒ 数 一） ： 角萌 （ ２ ｏ ）
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特 举 几 种 类 型 的例 子 ：
例 １ 求 下 列 各 三 角 函 数 的值 ．
一
从例２ 可见， 知ａ 弓 的一个 角函 数值求角ａ实质上是要解 ，
个 最 简 单 的 ｉ 角 方 程 ， 的 一 般解 法 步 骤 是 ： 决 定 角 ｎ 在 的 它 ① 所
象 限 ； 如 函数 值 为 正 ， 求 出对 应 锐 角 一③ 如 函 数值 为 负 ， ② 先 ； 先求
④ａ一５） 一锄 ５一 ｔ（ 一 一 （ｔ 号一 ｔ（了 一 ｔ了 一ａ２ 号） 一 一ａ ｎ ｎｎ ｎ
３ 解①ｃｓ － １１ 一ｃｓｌ ｏ（ １ ） ｏ ｌｌ 一ｃｓ３０ ×３ ） ｏ３Ｏ ｆ ｏ（６￣ ＋３ 一ｃｓＯ ￣
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任意角的三角函数
《任意角三角函数的定义》问题导读—评价单【学习目标】掌握简单三角函数的计算方法再具体点【学习重点】三角函数线的理解与掌握【学习难点】利用三角函数线解决具体问题。
【学法指导】初中学习过的在直角三角形中三角函数的定义【预习评价】问题探究一单位圆中三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：①y叫做α的，记作sinα，即sinα＝y；②x叫做α的，记作，即cosα＝x；③yx叫做α的，记作，即tanα＝yx(x≠0)．问题探究二（1）三角函数值的大小与点P在终边的位置是否有关？（2）三角函数在各象限内的符号怎样。
问题探究三终边相同的角的同名三角函数值间的关系问题探究四请表示出终边落在四个象限的三角函数线。
《任意角的三角函数定义》问题解决—评价单【教师生成的问题】问题1、已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sinα，cosα，tanα.（课本例一）注明出处问题2、化简：sin x|sin x|＋|cos x|cos x＋tan x|tan x|⎝⎛⎭⎪⎫其中x≠kπ2，k∈Z.（）例三求值：(1)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°；(2)sin(－116π)＋cos12π5·tan4π.例四利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围：(1)sinθ≥32；(2)－12≤cosθ<32.《任意角的三角函数定义》问题拓展—评价单一、选择题1．(点P(tan2009°，cos2009°)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设a＝sin 2π7，b＝cos2π7，c＝tan2π7，则()A．a<b<c B．a<c<b C．b<c<a D．b<a<c3．若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cosα＝35，则tanα＝()A．－34 B.34C.43 D．－434．设0≤α<2π，若sinα>3cosα，则α的取值范围是()A ．(π3，π2)B ．(π3，π)C ．(π3，4π3)D ．(π3，π2)∪(4π3，32π)二、填空题5．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则a 的取值范围是________．6．sin390°－2cos765°＋3cos(－660°)－3tan(－330°)＝________. 三、解答题7．求下列三角函数值：(1)cos(－1 050°)； (2)tan 8π3.8．求下列函数的定义域：(1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x ) 【多元评价】。
6262任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系式
任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系式 一．知识点（1）任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，α的终边上任意一点P （除端点外）的坐标是（),y x ，它与原点的距离是22(y x r r +=0>），那么：比值y r x r y x x y r x r y,,,,,分别叫α的正弦，余弦，正切，余切，正割，余割，记作：sin α,.csc ,sec ,cot ,tan ,cos ααααα（2）正弦线，余弦线，正切线的定义（3）三角函数符号的判断口诀记忆法： 一全正，二正弦，三正切，四余弦 （4）公式一：终边相同的角的同一三角函数值相等ααααααααααααcsc )360csc(;sec )360sec(;cot )360cot(tan )360tan(;cos )360cos(;sin )360sin(=⋅+=⋅+=⋅+=⋅+=⋅+=⋅+k k k k k k ()z k ∈(5) 同角三角函数的关系式：1cos sin 22=+αα；;tan cossin ααα=1c o t t a n =⋅αα ; αα22sec tan 1=+ αα22csc cot 1=+,αααcot sin cos =, 1csc sin =αα ; 1sec cos =αα二：任意角的三角函数的方法总结1：用定义法求三角函数值 2．用转化法求终边相同的交的三角函数值 例题：求2π的六个三角函数值 例如：求值1470cos )1740sin(-3．用分类讨论的方法解题例如：已知角α的终边在直线x y 3=上，求角α的六种三角函数值 4．用数形结合的方法解三角不等式 例如：已知23cos <θ，求角θ的取值范围三．同角三角函数的基本关系式的方法总结1． 用方程的思想指导解题 2. 用整体的思想指导解题例如：已知,,tan 23παπα<<=m 求αsin 例如：已知,cos sin a =+αα 求ααcos sin3． 分类讨论的思想解题 4. 用转化的思想指导解题例如：已知51sin =α，求ααtan ,cos 。
任意角的三角函数与求值计算资料
解： Q x 3, y 4,
r (3)2 （-4)2 5.
sin 4 ,
5
cos 3 ,
5
tan 4 .
3
y o
x
r
P(3, 4)
讨论 讨论正弦、余弦和正切函数的定义域、
值域？
三角函数
定义域
y sin x y cos x y tan x
r
cos x ;
r
tan y .
x
一、任意角的三角函数定义
y
r
的终边 P(x, y)
y 的终边
P(x, y)
r
o
x
ox
sin y r
cos x
r
tan y
x
P(x, y)
y o
x
r
的终边
y o
x
r
P(x, y) 的终边
范例1 已知角α的终边上一点P(-3,-4),
第4章 任意角的三角函数
与求值计算
4.1 角的概念的推广与弧度制
引言
1.初中所学角是如何定义的？
具有公共顶点的两条射线组成的图形。
2.初中学习过哪些角？
锐角、直角、钝角、平角、和周角
3.初中学习的角的范围？
0o 360o
引言
时钟慢了10分钟，应如何校？ 分针应转多少度？
一、任意角
(2)5cos 3sin 4sin 3 4 tan 0 3cot
2
2
2
4
范例4 判断下列三角函数值的符号.
必修四任意角的三角函数(附规范标准答案)
任意角的三角函数(一)[学习目标] 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等．知识点一 三角函数的概念1．利用单位圆定义任意角的三角函数如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：(1)y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ；(2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0)．对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r，cosα＝x r ，tan α＝yx.思考 角α三角函数值的大小与角α终边上的点P 离原点距离的远近有关吗？答案 角α的三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关． 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．思考三角函数在各象限的符号由什么决定？答案三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．知识点三诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin(α＋k·2π)＝sin α，cos(α＋k·2π)＝cos α，tan(α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z.题型一三角函数定义的应用例1 已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝1010x，求sin θ，tan θ.解由题意知r＝|OP|＝x2＋9，由三角函数定义得cos θ＝xr＝xx2＋9.又∵cos θ＝1010x，∴xx2＋9＝1010x.∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1,3)，此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x＝－1时，P(－1,3)，此时sin θ＝3－12＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.跟踪训练1 (1)已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值； (2)已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α，tan α的值．解 (1)r ＝－4a2＋3a2＝5|a |.若a >0，则r ＝5a ，α是第二象限角，则 sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a－4a ＝－34，若a <0，则r ＝－5a ，α是第四象限角，则 sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.(2)因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点． 则r ＝a 2＋3a2＝2|a |(a ≠0)．若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a2a ＝12，tan α＝3a a＝3.若a <0，则α为第三象限，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3a a＝3.题型二 三角函数值符号的判断 例2 判断下列三角函数值的符号： (1)sin 3，cos 4，tan 5； (2)sin(cos θ)(θ为第二象限角)． 解 (1)∵π2<3<π<4<3π2<5<2π，∴3,4,5分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵θ是第二象限角， ∴－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0.跟踪训练2 若sin θ<0且tan θ<0，则θ是第 象限的角． 答案 四解析 ∵sin θ<0，∴θ是第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上的角，又tan θ<0，∴θ是第四象限的角．题型三 诱导公式一的应用 例3 求下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. 解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64.(2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.跟踪训练3 求下列各式的值：(1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.解 (1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32；(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.利用任意角的三角函数的定义求值，忽略对参数的讨论而致错例4 已知角α的终边上有一点P (24k,7k )，k ≠0，求sin α，cos α，tan α的值． 错解 令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝24k 2＋7k 2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724.错因分析 点P (24k,7k )中参数k 只告诉了k ≠0，而没有告诉k 的符号，需分k >0与k <0讨论，而上述解法错在默认为k >0. 正解 当k >0时，令x ＝24k ，y ＝7k ， 则有r ＝24k2＋7k 2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724. 当k <0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝－25k ， ∴sin α＝y r ＝－725，cos α＝xr ＝－2425，tan α＝y x ＝724.1．cos(－11π6)等于( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 2．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－2 3．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于( ) A.12 B ．－12 C ．－32 D.324．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α＝ .5．已知角α的终边经过点P (2，－3)，求α的三个函数值．一、选择题1．若sin θcos θ>0，则θ在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限D ．第二、四象限2．sin(－1 380°)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.323．设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为( ) A.25 B.25或－25 C ．－25D ．与a 有关 4．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限5．已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π6 D.11π6 6．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D ．5 二、填空题7．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角．8．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为 ． 9．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝ .10．函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x 的值域是 ．三、解答题11．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．12．求下列各式的值．(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)； (2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°.当堂检测答案1．答案 C解析 cos(－116π)＝cos(－2π＋π6)＝cos π6＝32.2．答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2. 3．答案 A解析 ∵2sin 30°＝1，－2cos 30°＝－3，∴r ＝2，∴cos α＝12.4．答案 －43解析 ∵cos α＝332＋y 2＝35，∴32＋y 2＝5，∴y 2＝16，∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43. 5．解 因为x ＝2，y ＝－3， 所以r ＝22＋－32＝13.于是sin α＝y r＝－313＝－31313，cos α＝x r＝213＝21313，tan α＝y x ＝－32.课时精练答案一、选择题 1．答案 B 2．答案 D解析 sin(－1 380°)＝sin(－360°×4＋60°)＝sin 60°＝32.3．答案 C 解析 ∵a <0，∴r ＝－4a2＋3a 2＝5|a |＝－5a ，∴cos α＝x r ＝45，sin α＝yr ＝－35，∴2sin α＋cos α＝－25.4．答案 D解析 ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限， 又sin x －cos x <0，∴角x 的终边在第四象限．故选D. 5．答案 D解析 ∵sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12.∴角α的终边在第四象限，且tan α＝cos 2π3sin 2π3＝－33， ∴角α的最小正角为2π－π6＝11π6. 6．答案 A解析 ∵r ＝b 2＋16，cos α＝－b r ＝－b b 2＋16＝－35. ∴b ＝3.二、填空题7．答案 一或二解析 要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角．8．答案 －2<a ≤3解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上，∴3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.9．答案 2解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0，n ＝3m .∵|OP |＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10.∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.10．答案 {－4,0,2}解析 由sin x ≠0，cos x ≠0知x 的终边不能落在坐标轴上，当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，sin x cos x >0，y ＝0；当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，sin x cos x <0，y ＝2；当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0， sin x cos x >0，y ＝－4；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，sin x cos x <0，y ＝2，故函数y ＝|sin x |cos x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域为{－4,0,2}． 三、解答题11．解 当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P (1,2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5， 得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2； 当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q (－1，－2)，由r ＝|OQ |＝－12＋－22＝5， 得sin α＝－25＝－255， cos α＝－15＝－55， tan α＝2.12．解 (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0°＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32.。
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点及例题讲解
任意角和弧度制及任意角的三角函数考纲解读 1.通过角的变换，判断角所在象限；2.常见的角度与弧度之间的转化；3.已知角的终边求正弦、余弦、正切值；4.利用三角函数线求角的大小或角的范围；5.利用扇形面积公式和弧长公式进行相关计算．[基础梳理]1．任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角． ①正角：按逆时针方向旋转形成的角； ②负角：按顺时针方向旋转形成的角；③零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角． (2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 2．弧度与角度的互化(1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． (2)角α的弧度数公式：|α|＝lr .(3)角度与弧度的换算：360°＝2π rad,1°＝π180 rad,1 rad ＝(180π)°≈57°18′.(4)扇形的弧长及面积公式： 弧长公式：l ＝α·r . 面积公式：S ＝12l ·r ＝12α·r 2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫作角α的正弦线、余弦线和正切线．4．终边相同的角的三角函数 sin(α＋k ·2π)＝sin α， cos(α＋k ·2π)＝cos α，tan(α＋k ·2π)＝tan α(其中k ∈Z )，即终边相同的角的同一三角函数的值相等．[三基自测]1．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( ) A ．10π B ．9π C.9π10 D.10π9答案：D2．若角θ满足tan θ＞0，sin θ＜0，则角θ所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：C3．弧长为3π、圆心角为34π的扇形半径为________．答案：44．(必修4·4.1例题改编)α终边上一点P (－3,4)．则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.答案：45 －35 －435．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)若α的终边过点(3,4)，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝__________. 答案：7210[考点例题]考点一 终边相同的角及象限角|易错突破高考总复习·数学(理)第三章 三角函数、解三角形[例1] (1)若角α满足α＝2k π3＋π6(k∈Z )，则α的终边一定在( )A ．第一象限或第二象限或第三象限B ．第一象限或第二象限或第四象限C ．第一象限或第二象限或x 轴非正半轴上D ．第一象限或第二象限或y 轴非正半轴上(2)已知sin α＞0，cos α＜0，则12α所在的象限是( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限(3)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )[解析] (1)由α＝2k π3＋π6，k ∈Z ，当k ＝0时，α＝π6，终边在第一象限．当k ＝1时，α＝2π3＋π6＝5π6，终边在第二象限．当k ＝－1时，α＝－2π3＋π6＝－π2，终边在y 轴的非正半轴上，故选D.(2)因为sin α＞0，cos α＜0，所以α为第二象限角，即π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，则π4＋k π＜12α＜π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，12α为第一象限角；当k 为奇数时，12α为第三象限角，故选C.(3)由定义知终边相同的角中不能同时出现角度和弧度，应为π4＋2k π或k ·360°＋45°(k ∈Z )．[答案] (1)D (2)C (3)C [易错提醒][纠错训练]1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )， 则令－720°<45°＋k ×360°＜0°， 得－765°<k ×360°＜－45°， 解得－765360<k ＜－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°2．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为__________． 解析：在坐标系中画出直线y ＝3x ， 可以发现它与x 轴正半轴的夹角是π3，终边在直线y ＝3x 上的角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π3，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π3，k ∈Z考点二 扇形弧长、面积公式的应用|方法突破[例2] (1)(2018·合肥模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，问这块田的面积是多少(平方步)？( )A ．120B ．240C ．360D ．480(2)(2018·太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2 sin 1[解析] (1)由题意可得：S ＝12×8×30＝120(平方步)．(2)如图：∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交弧AB 于D .则∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度，且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中，AO ＝AC sin ∠AOC ＝1sin 1，即r ＝1sin 1，从而弧AB 的长为l ＝α·r ＝2sin 1.[答案] (1)A (2)C [方法提升][母题变式]将本例(1)改为已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．4 B ．2 C ．8D ．1解析：设半径为r ，圆心角的弧度数为θ， 由S ＝12θr 2，得8＝12×θ×4，∴θ＝4.答案：A考点三 三角函数的定义|模型突破角度1 用三角函数的定义求值[例3] (1)(2018·大同模拟)已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则x的值为________．(2)已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sin α＋3cos α的值为________． [解析] (1)∵cos α＝－x(－x )2＋(－6)2＝－x x 2＋36＝－513，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2x 2＋36＝25169，解得x ＝52.(2)设α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |. 当k ＞0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10kk＝10， ∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k ＜0时，r ＝－10k ， ∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.[答案] (1)52 (2)0[模型解法]角度2 三角函数值符号的判断[例4] (1)(2018·怀化模拟)sin 2·cos 3·tan 4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0D ．不存在(2)已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)∵π2<2<3<π<4<32π.∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0. ∴sin 2·cos 3·tan 4<0.(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ cos α<0，tan α<0，则⎩⎪⎨⎪⎧sin α>0，cos α<0，所以角α的终边在第二象限，故选B.[答案] (1)A (2)B [模型解法]角度3 利用三角函数线比较大小，解不等式[例5] (1)(2018·石家庄模拟)若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α[解析] 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可得，AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.[答案] C (2)y ＝sin x －32的定义域为________． [解析] ∵sin x ≥32，作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角x 的终边的范围，故满足条件的角x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z[模型解法]形如sin α≥a 或sin α≤a ()a ∈[－1，1]的解，其关键点为： (1)作出sin α＝a 的函数线；(2)根据不等式，确定α的转动方向； (3)写出α的区域．[高考类题](2014·高考大纲全国卷)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b解析：∵b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°＝a ，∴b >a . 又∵c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°>sin 35°＝cos 55°＝b ，∴c >b .∴c >b >a .故选C. 答案：C[真题感悟]1.[考点一、二] (2014·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )答案：C2.[考点二、三](2017·高考北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝__________.解析：由已知可得，sin β＝sin(2k π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝13(k ∈Z )．1答案：3。
任意角的三角函数
任意角的三角函数(总5页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除数学辅导讲义 年级： 高一授课类型 任意角的三角函数教学内容初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt ABC ∆中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b a sinA cosA tanA c c b=== ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为2222(||||0)r r x y x y =+=+>，那么（1）比值y r叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x rα=； （3）比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； （4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=； （5）比值r x 叫做α的正割，记作sec α，即sec r xα=； （6）比值r y 叫做α的余割，记作csc α，即csc r y α=． 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；知识讲同步导入②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y xα=与sec r xα=无意义；同理，当()k k Z απ=∈时，x coy y α=与csc r y α=无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y x 、x y 、r x 、r y 分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。
三角函数求值的八种常用方法
ʏ摆扬虎三角函数求值的常用方法有:巧用三角函数的定义,弦切互化,和积转换, 1 的变换,巧用三角公式,以及利用三角函数的图像等㊂下面举例分析,供同学们学习与参考㊂方法一:巧用三角函数的定义例1 已知角α的终边经过点(3,-4),则s i n α+1c o s α=㊂因为角α的终边经过点(3,-4),所以r =5㊂由三角函数的定义得s i n α=-45,c o s α=35,所以s i n α+1c o s α=-45+53=1315㊂评注:已知角α终边上一点P (x ,y ),且P (x ,y )不是单位圆上的点,可先求r =x 2+y 2,再求s i n α=y r ,c o s α=x r的值㊂方法二:巧用弦切互化例2 若s i n θ+2c o s θs i n θ-c o s θ=2,则s i n θ㊃c os θ=㊂由s i n θ+2c o s θs i n θ-c o s θ=2,整理可得t a n θ=4,所以s i n θc o s θ=s i n θc o s θs i n 2θ+c o s 2θ=t a n θ1+t a n 2θ=417㊂评注:解答本题的关键是利用公式t a n α=s i n αc o s α进行弦切互化㊂方法三:巧用和积转换例3 如果s i n x +c o s x =15,且0<x <π,那么ta n x 的值是㊂由已知等式两边平方得s i n x c o s x =-1225㊂因为0<x <π,所以s i n x >0,c o s x <0㊂结合s i n 2x +c o s 2x =1解得s i n x =45,c o s x =-35,所以t a n x =-43㊂评注:解答本题的关键是利用(s i n x ʃc o s x )2=1ʃ2s i n x c o s x 和s i n 2x +c o s 2x =1的关系进行变形和转化㊂方法四:巧用 1 的变换例4 化简s i n 2α+c o s 4α+s i n 2αc o s 2α的结果是㊂原式=s i n 2α+c o s 2α(c o s 2α+s i n 2α)=s i n 2α+c o s 2α=1㊂评注:解题时要灵活应用 1的变换,常见的 1 的变换有1=s i n 2θ+c o s 2θ=c o s 2θ㊃(1+t a n 2θ)=t a nπ4等㊂方法五:巧用诱导公式例5c o s (-585ʎ)s i n 495ʎ+s i n (-570)ʎ的值等于;s i n 585ʎc o s 1290ʎ+c o s (-30ʎ)s i n 210ʎ+t a n 135ʎ的值等于㊂结合诱导公式求值㊂原式=c o s (360ʎ+225ʎ)s i n (360ʎ+135ʎ)-s i n (360ʎ+210ʎ)=c o s (180ʎ+45ʎ)s i n (180ʎ-45ʎ)-s i n (180ʎ+30ʎ)=-c o s 45ʎs i n 45ʎ-(-s i n 30ʎ)=-2222+12=2-2㊂原式=s i n585ʎc o s1290ʎ+c o s30ʎ㊃s i n 210ʎ+t a n 135ʎ=s i n (360ʎ+225ʎ)c o s (3ˑ360ʎ+210ʎ)+c o s 30ʎs i n210ʎ+t a n (180ʎ-45ʎ)=s i n225ʎc o s 210ʎ+c o s 30ʎs i n210ʎ-t a n 45ʎ=s i n (180ʎ+45ʎ)c o s (180ʎ+30ʎ)+c o s 30ʎs i n (180ʎ+30ʎ)-t a n45ʎ=s i n45ʎ㊃c o s 30ʎ-c o s 30ʎs i n 30ʎ-t a n 45ʎ=22ˑ32-32ˑ12-1=6-3-44㊂评注:利用诱导公式求任意角的三角函数值的四个步骤: 负化正 ,即用三角公式转31知识结构与拓展高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.化; 大化小 ,即用三角公式将角化为0ʎ到360ʎ间的角; 小化锐 ,即用三角公式将大于90ʎ的角转化为锐角; 锐求值 ,即得到锐角三角函数后求值㊂方法六:巧用和差公式例6 若s i n 2α=55,s i n (β-α)=1010,且αɪπ4,π,βɪπ,3π2,则α+β的值是㊂因为αɪπ4,π,所以2αɪπ2,2π ㊂因为si n2α=55>0,所以2αɪπ2,π ,所以αɪπ4,π2 ,且c o s2α=-255㊂又因为s i n (β-α)=1010,βɪπ,3π2,所以β-αɪπ2,5π4,c o s (β-α)=-31010㊂故c o s (α+β)=c o s [(β-α)+2α]=c o s (β-α)c o s2α-s i n (β-α)s i n2α=-31010ˑ-255-1010ˑ55=22㊂又α+βɪ5π4,2π,所以α+β=7π4㊂评注:三角函数常见的角变换有:α=(α-β)+β,α=α+β2+α-β2,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β)等㊂方法七:巧用倍角公式例7 已知函数f (x )=s i n2x -c o s 2x -23s i n x c o s x (x ɪR ),则f 2π3的值为㊂因为f (x )=s i n 2x -c o s 2x-23s i n x c o s x =-c o s 2x -3s i n 2x =-2s i n 2x +π6 ,所以f 2π3=-2s i n4π3+π6=-2s i n 3π2=2㊂评注:三角函数的角变换的常见公式有:1ʃs i n2α=s i n 2α+c o s 2αʃ2s i n αc o s α=(s i n αʃc o s α)2,1+c o s2α=2c o s 2α,1-c o s 2α=2s i n 2α,c o s 2α=1+c o s 2α2,s i n 2α=1-c o s 2α2等㊂方法八:巧用三角函数的图像例8 图1是函数f (x )=A s i n (ωx +φ)A >0,ω>0,|φ|<π2的图像的一部分,对任意的x 1,x 2ɪ[a ,b ],且x 1ʂx 2,若f (x 1)=f (x 2),都有f (x1+x 2)=1,则φ的值为( )㊂图1A .π12B .π6C .π4D .π3由图得A =2㊂由题意知x 1,x 2关于函数f (x )图像的对称轴对称,直线x =x 1+x 22是函数f (x )图像的一条对称轴,且fx 1+x 22=2,所以2s i n ω㊃x 1+x 22+φ =2,所以ωx 1+x22 +φ=π2+2k π(k ɪZ )㊂因为f (x 1+x 2)=1,所以2s i n [ω(x 1+x 2)+φ]=1,所以ω(x 1+x 2)+φ=π6+2k π(k ɪZ )或ω(x 1+x 2)+φ=5π6+2k π(k ɪZ )㊂令k =0,据上消去ω(x 1+x 2),可得φ=π6或φ=5π6㊂又因为|φ|<π2,所以φ=π6㊂应选B ㊂评注:解答本题的关键是熟练掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质㊂作者单位:甘肃省临夏州积石山县积石中学(责任编辑 郭正华)41 知识结构与拓展 高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
三角函数的计算方法
三角函数的计算方法
三角函数的计算方法有以下几种：
1. 正弦函数（sin）的计算方法：首先确定所给角的弧度值或角度值，然后使用计算器或相关表格查找对应的正弦值。
2. 余弦函数（cos）的计算方法：与正弦函数类似，确定所给角的弧度值或角度值，使用计算器或相关表格查找对应的余弦值。
3. 正切函数（tan）的计算方法：确定所给角的弧度值或角度值，使用计算器或相关表格查找对应的正切值。
4. 正割函数（csc）的计算方法：正割函数的值是正弦函数值的倒数，可以通过求正弦函数值的倒数得到。
5. 余割函数（sec）的计算方法：余割函数的值是余弦函数值的倒数，可以通过求余弦函数值的倒数得到。
6. 积函数（cot）的计算方法：积函数的值是正切函数值的倒数，可以通过求正切函数值的倒数得到。
这些三角函数的计算方法可以通过计算器、相关表格或数学软件进行计算，也可以使用编程语言中的三角函数函数库进行计算。
任意角的三角函数
cos
4
3
sin
12
6
tan
6
3
cos sin tan 1 1 3 1 3
3
6
322
题目部分
1.（难度：易）若角 α 的终边经过点 P(－b,4)，且 cosα＝
A －35，则 b 的值为( )
A．3 B．－3 C．±3
D．5
解：因为 r＝ b2＋16，所以 b－2＋b16＝－53.所以 b＝3.
【反思】：由于a ? 0，所以分a 0和a < 0两种情况 去掉绝对值符号，否则就会漏解。
例题+变式 任意角三角函数定义的应用
变式3.已知角的终边在直线y 2x上， 求角的sin, cos, tan的值.
解：1当角的终边在第一象限时，
在角的终边上取点1, 2，则r= 12 22 5
sin 2 2 5 , cos 1 5 , tan 2 2
y
（ -） （+）
o
（ +）
（
-
x ）
tan
思考和探究
3.几个特殊角的三角函数值
角α 0o
角α
的弧 度数
0
sinα 0
cosα 1
tanα 0
30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
6 4 32
3 2
2
0 1 1 1
2
3
2
2
2
0
0 3
21
2
2
2
1 0 1
31
3
3 不存在 0 不存在 0
例题+变式 任意角三角函数定义的应用
变式4.已知 在第二象限, 试确sin(cos)cos(sin)
任意角的三角函数及诱导公式
任意角的三角函数及诱导公式1．与角α终边相同的角的集合为．2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为．3．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x轴上的角的集合为，终边在y轴上的角的集合为，终边在坐标轴上的角的集合为．4．象限角是指：．5．区间角是指：．6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．7．弧度与角度互化：180º＝弧度，1º＝弧度，1弧度＝≈º．8．弧长公式：l ＝；扇形面积公式：S＝.二、任意角的三角函数9．定义：设P(x, y)是角α终边上任意一点，且|PO| ＝r，则sinα＝；cosα＝；tanα＝；10．三角函数的符号与角所在象限的关系：1213α的正弦线、余弦线、正切线．0°~90º角的三角函数值．例1. 若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α,3α的终边所在位置.－＋－+cos x,＋＋－－sin x,－＋＋－tan x,xyO xyO xyO例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:(1)sin α≥23; (2)cos α≤21-.例3 一扇形的周长为20 cm.当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．例4. 已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α,cos α,tan α的值.例5. 已知f(α)=)sin()tan()tan()2cos()sin(αππαπααπαπ-----+---;化简f(α);例6．求值： 已知53)7cos(,2-=-<<παπαπ，求)2cos(απ+的值．例7．已知tan α=2,求下列各式的值：（1）ααααcos 9sin 4cos 3sin 2--;（2） αααα2222cos 9sin 4cos 3sin 2--;课后练习1．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为( )A.π3B.2π3C. 3 D ．22．若α为第一象限角，那么sin2α，cos2α，sin α2，cos α2中必定为正值的有() A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个3．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为() A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π44．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( )A ．5B ．2C ．3D ．45．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n)是α终边上一点，且|OP|＝10，则m －n 等于( )A ．2B ．－2C ．4D ．－46.已知A ＝)(cos )cos(sin )sin(Z k k k ∈+++ααπααπ则A 构成的集合是 ( ) A ．{－1, 1, －2, 2} B ．{1, －1}C ．{2, －2}D ．{－2, －1, 01, 2}7．若角β的终边与60°角的终边相同，在[0°，360°)内，终边与角β3的终边相同的角为________．8.已知角α的终边经过点P(x ，－ 6)，且tan α＝－35，则x 的值为________． 9．已知点P(3r ，－4r)(r≠0)在角α的终边上，求sin α、cos α、tan α的值．10．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对弧长。
2022数学第4章三角函数解三角形第1节任意角蝗制及任意角的三角函数教案理
任意角、弧度制及任意角的三角函数全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式从高考题型、题量来看,一般有两种方式：二个小题或一个小题另加一个解答题，分值为10分或17分左右。
2。
考查内容（1)客观题主要考查三角函数的定义，图象与性质，同角三角函数关系，诱导公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等知识。
（2)解答题涉及知识点较为综合．涉及三角函数图象与性质、三角恒等变换与解三角形知识较为常见.任意角、弧度制及任意角的三角函数［考试要求] 1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2。
能进行弧度与角度的互化。
3。
理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切)的定义．1．角的概念的推广(1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2）分类错误!(3）终边相同的角:所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝｛β|β＝α＋k·360°，k∈Z｝．提醒：终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad。
（2）公式：提醒:有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致,不可混用．（2）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．3．任意角的三角函数（1)定义设角α终边与单位圆交于P（x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝错误!（x≠0)．拓展：任意角的三角函数的定义（推广）设P(x,y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r,则sin α＝错误!,cos α＝错误!，tan α＝错误!（x≠0）．（2）三角函数值在各象限内符号为正的口诀一全正，二正弦,三正切，四余弦．(3）几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0）．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．［常用结论］1．象限角2．轴线角一、易错易误辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)（1）锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．（）(2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．（)（3）不相等的角终边一定不相同．()（4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.()[答案］(1)×（2）√(3)×(4）√二、教材习题衍生1．若θ满足sin θ＜0，cos θ＞0，则θ的终边在（)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限D［∵sin θ＜0，cos θ＞0，∴θ的终边落在第四象限．] 2．下列与错误!的终边相同的角的表达式中正确的是(）A．2kπ＋45°(k∈Z）B．k·360°＋错误!π（k∈Z）C．k·360°－315°(k∈Z）D．kπ＋错误!（k∈Z）C［∵错误!＝2π＋错误!,∴错误!与错误!终边相同．又角度制与弧度制不可同时混用，故选C．]3．角－225°＝________弧度，这个角的终边落在第________象限．［答案]－5π4二4．设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________.错误!［由已知并结合三角函数的定义，得sin θ＝－错误!,cos θ＝错误!,所以2cos θ－sin θ＝2×错误!－错误!＝错误!。
高中数学第24讲(必修4)任意角的三角函数、同角公式与诱导公式
由同角公式得
sin x cos x 2sin x cos x
=
tan x 1 2 tan x 1
=
1 3
.
4.tan300°+
cos(450 ) sin 750
的值为 2 3
.
cos(45 ) =-tan60°+ sin(30 )
cos(360 45 ) 原式=tan(360°-60°)+ sin(720 30 )
4 C.-8π+3 4
B.-6πD.-9π+
5 4 7 4
分析 (1)先变形，再对整数k的奇、偶展
开讨论，找到角终边的具体位置，用数形 结合法求解；(2)先把角度化成弧度，再写 成2kπ+α的形式，满足α、k的限制条件.
(1)因为M={x|x=(2k+1)×45°，k∈Z} 表示终边落在四个象限的平分线上的角的 集合.同理N={x|x=(k+1)×45°，k∈Z}表示 终边落在坐标轴或四个象限的平分线上的 角的集合，所以M N. (2)因为1305°=1305×
1)(k′∈Z)完全讨论，角度与弧度的互化，
除满足限制条件外，还需注意结果的纯洁
性：角度、弧度要“分家”.
题型二 三角函数的化简、求值 例2
求
8 已知cosα=- 17 ，且 <α<π， 2 3
2 a)
sin(2 ) cos(
tan( ) cos( )sin(
3.运用诱导公式的关键在于函数名称
与符号的正确判断和使用.
课后再做好复习巩固.
谢谢！
再见！
王新敞 特级教师 源头学子小屋
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任意角的三角函数典型例题
任意角的三角函数典型例题例1 若角的终边经过点，试求的六个三角函数值和角的集合，并求出集合中绝对值最小的角．如图所示．例2 已知角的终边上一点，（）求角的六个三角函数值．说明：此类题目应用定义解，但若此类题目没有给出的取值范围，要分类讨论求解．例3 当为第二象限角，试求的值．分析：应先由为第二象限角这一条件求出绝对值再求值．解：当为第二象限角时，，，故．说明：此类题目旨在考查对符号的判定．例4 若，且，试确定所在的象限．分析：用不等式表示出，进而求解．说明：应注意在求此题的最终解答时，要找出所在有关集合的交集．例5 计算：（1）；（2）．说明：应对特殊角的三角函数值熟练掌握，以便准确应用．例6已知为锐角，试证：．同角三角函数的基本关系式典型例题例1已知，试用表示其他五种三角函数．分析：本题首先应注意对进行分类，再利用同角三角函数的关系求之．解：由于，且，所以其他五种三角函数都有意义．（1）当在第一、二象限时，……（2）当在第三、四象限时，……说明：解决此类问题时，应注意尽可能地确定所在的象限，以便确定三角函数的符号．另外，在用一个角的三角函数值表示其他几个三角函数值时，应尽可能少地使用平方关系．例2 若是锐角，，则．分析：本题的解题思路入口处较宽，下面给出一种化切为弦的求法．例3化简．分析：对本题一般可采取化切为弦的办法进行化简．解：原式说明：化简三角函数式所得的最后结果，应满足以下要求：①函数的种类要最少；②项数要最少；③函数次数要最低；④能求出数值的要求出数值；⑤尽量使分母不含三角函数；⑥尽量使分母不含根式．例5 (1) 设，则(2)若，求函数y=Asin(ωχ＋φ)的图象典型例题例．函数的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移个单位，所得到的曲线是的图像，试求函数的解析式．分析：这个问题有两种解法，一是考虑以上变换的“逆变换”，即将以上变换倒过来，由变换到；二是代换法，即设，然后按题设中的变换分两步得：，它就是，即可求得、、的值．解：解法一：问题即是将的图像先向右平移个单位，得到；再将横坐标压缩到原来的，得，即．这就是所求函数的解析式．解法二：设，将它的横坐标伸长到原来的两倍得到；再将其图像向左平移个单位，得．∴解之得：∴，即．小结：以上两种解法各有“千秋”，均为求解类似问题的好方法，注意熟练掌握．任意角的三角函数习题精选一、选择题3．若，，则的值是（）A．1 B．C．3 D．4．若角的终边上有一点，则的值是（）A． B． C． D．5．设，若且，则的范围是（）二、填空题9．函数的值域为__________．11．化简．同角三角函数的基本关系式习题精选一、选择题1．已知，，那么（）．A．B．C．D．2．已知，，那么的值是（）．A．B．C．D．3．若为锐角且，则的值为（）．A．B．C．6 D．44．若角的终边落在直线上，则的值等于（）．A．2 B．－2 C．－2或2 D．05．已知，，其中，则实数的取值范围是（）．A．B．C．或D．二、填空题6．若是锐角，，则．7．设，则，．9．已知，则．三、解答题11．已知，求与的值．12．已知，求的值．13．已知，求的值．14．（1）若，求；（2）若，求的值．15．若，求的值．。
求任意角三角函数值的一种简单方法
课程篇笔者在多年的高中数学教学过程中，发现学生按照人教版数学必修四中介绍的利用三角函数诱导公式求三角函数值时，容易混淆诱导公式，从而导致求值出错。
本文尝试结合三角函数的定义，给出一个求三角函数值的简单方法。
我们先回顾人教版数学必修四给出的任意角的三角函数的定义。
任意角三角函数的定义：如图1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Ρ（x ，y ），那么：P （x ，y ）xyα图1（1）y 叫做α的正弦（sine ），记做sin α，即sin α=y ；（2）x 叫做α的余弦（cosine ），记做cos α，即cos α=x ；（3）y x 叫做α的正切（tangent ），记做tan α，即tan α=y x （x ≠0）。
下面给出本文用到的命题并给以证明。
命题：设β是任意角，且β与x 轴的夹角为α（0≤α≤π2），则有：①sin β=±sin α；②cos β=±cos α；③tan β=±tan α；（此时β≠π2+k π，k ∈Z ）。
其中，“±”取决于β终边所在象限角（坐标轴）所对应原函数值的符号。
证明：下面只证明公式①（即正弦的情况），公式②、公式③可类似的证明。
设任意角β的终边与单位圆的交点为P 1（x ，y ），β与x 轴的夹角α的终边与单位圆的交点为P 2（x ′，y ′），根据三角函数单位圆的定义，则有：sin β=y ；cos β=x ；tan β=y x（x ≠0）sin α=y ′；cos α=x ′；tan α=y ′x ′（x ′≠0）①若β终边落在x 轴上，则β与x 轴的夹角α=0，此时y =y ′=0，则有：sin β=sin α；②若β终边落在y 轴上：若β终边落在y 轴正半轴上，此时β与x 轴的夹角α=π2，β终边与α终边重合，P 1（x ，y ）与P 2（x ′，y ′）重合，故有y =-y ′，即sin β=sin α；若β终边落在y 轴负半轴上，此时β与x 轴的夹角α=π2，β终边与α终边关于原点对称，P 1（x ，y ）与P 2（x ′，y ′）关于原点对称，故有y =-y ′，即sin β=-sin α；③若β终边落在第一象限上，此时β终边与α终边重合，P 1（x ，y ）与P 2（x ′，y ′）重合，故有y =y ′，即sin β=-sin α；④若β终边落在第二象限上，此时β终边与α终边关于y 轴对称，P 1（x ，y ）与P 2（x ′，y ′）关于y 轴对称，故有y =y ′，即sin β=sin α；⑤若β终边落在第三象限上，此时β终边与α终边关于原点对称，P 1（x ，y ）与P 2（x ′，y ′）关于原点对称，故有y =-y ′，即sin β=-sin α；⑥若β终边落在第四象限上，此时β终边与α终边关于x 轴对称，P 1（x ，y ）与P 2（x ′，y ′）关于x 轴对称，故有y =-y ′，即sin β=-sin α；综上所述，若β是任意角，且β与x 轴的夹角为α，则有sin β=±sin α，其中，“±”取决于β终边所在象限角（坐标轴）所对应原函数值的符号。
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范例1 在0 ~360 范围内，找出与下列角终边相
同的角，并判断它们是第几象限角.
0
0
(1) 950 25
(2) 500
范例2 写出终边在 y 轴上的角的集合.
作业布置
书本 P72 练习4.1.1
二、弧度制
衡量角度大小以前我们用的是度 ( ) ，亦即角度制,
我们现在引入另一种衡量单位：弧度 (rad).
60
90 180 270 360
sin a
0
2 2 2 2
cos a
tan a
1
0
3 2 3 3
3 2 1 2
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
3
范例3 计算
(1)3sin 900 2cos00 5sin 2700 2 tan 450 tan180 0
3 (2)5cos 3sin 4sin 4 tan 0 3cot 2 2 2 4
30 ,390 ,750 , 330 分别是第几象限角？
它们有何关系？ (终边相同) 你能写出与30 角终边相同的角的集合吗？
y
O
x
一、任意角
一般地，所有与 α 角终边相同的角有无数个，
它们可以表示为 360 k
(k Z )
用集合可表示为 | 360 k , k Z
第4章 任意角的三角函数
与求值计算
4.1 角的概念的推广与弧度制
引言
1.初中所学角是如何定义的？
具有公共顶点的两条射线组成的图形。
2.初中学习过哪些角？
锐角、直角、钝角、平角、和周角
3.初中学习的角的范围？
0 360
引言
时钟慢了10分钟，应如何校？ 分针应转多少度？
一、任意角
终边
y
x
4 sin , 5 3 cos , 5 4 tan . 3
讨论
讨论正弦、余弦和正切函数的定义域、 值域？
三角函数
定义域
值域
y sin x
y cos x
R R
{ x | x k
[ 1,1]
2
[ 1,1]
, k Z}
y tan x
一、任意角的三角函数定义
y
r
的终边
P ( x, y )
的终边
P ( x, y )
y
o
r
P ( x, y )
y
x
o
y
x
r
P ( x, y )
r
o
x
o
x
y sin r x cos r y tan x
的终边
的终边
范例4 判断下列三角函数值的符号.
o
角度和弧度的换算为： rad 180
所以有
1 rad
1
180
180
57 18
rad 0.01745 rad
范例3 把角度、弧度相互转化.
(1)180 (
(2)67 30 (
7 (3) ( 8
)rad
)rad
)
熟记特殊角弧度制表示，P74.
范例4 把下列角转换成弧度制.
R
一、任意角的三角函数定义
y
r
的终边
正割 余割
P ( x, y )
o
r = x2 y 2
x
余切
r sec ; x r csc ; y x tan . y
范例2 求下列各角的正弦、余弦和正切值.
(1) 0
(2)
2
讨论
角
讨论特殊角的三角函数值.
0
函数值
30
1 2
45
余弦
o
r = x2 y 2
x
正切
y sin ; r x cos ; r y tan . x
范例1
已知角α的终边上一点P(-3,-4), 求α的正弦、余弦和正切值.
解： 因为x 3, y 4,
r (3) （-4) 5.
2 2
o
r
P(3, 4)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一试
说出下列角分别是第几象限角
60 ,135 , 240 ,300 ,127 ,195 , 40 , 315 . I II III IV II III IV I y
(90 ,180 )
O
(0 ,90 )
x
(270 ,360 )
(180 , 270 )
范围在 0 ,360 内
想一想
(1)135
(2)240
(3)330
(3)765
范例5 把下列角转换成角度制.
5 (1) 4 5 (2) 3 17 (3) 6
范例6 求公路弯道部分的弧MN的长(精确到1m).
80 45m
l r
4.2 任意角的三角函数
一、任意角的三角函数定义
y
r
的终边
正弦
P ( x, y )
(1)sin 250
0
(2) tan( ) 4
(3)cos8500
(4)sin(6720 )
范例5 根据下列条件，确定角 α 所在的象限.
(1)sin 0且 cos 0
(2)sin tan 0
B
O
顶点
始边
A
角：一条射线绕着它的端点在平面内旋转形成的图 形.
一、任意角
正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不旋转时形成的角
120
60
240
420
一、任意角
y
I II
O
x
III
IV
象限角：以角的顶点为原点，角的始边为 x 轴，终边 落在第几象限，就说这个角是第几象限角.