4、任意角的三角函数与求值计算
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o
角度和弧度的换算为： rad 180
所以有
1 rad
1
180
180
57 18
rad 0.01745 rad
范例3 把角度、弧度相互转化.
(1)180 (
(2)67 30 (
7 (3) ( 8
)rad
)rad
)
熟记特殊角弧度制表示，P74.
范例4 把下列角转换成弧度制.
第4章 任意角的三角函数
与求值计算
4.1 角的概念的推广与弧度制
引言
1.初中所学角是如何定义的？
具有公共顶点的两条射线组成的图形。
2.初中学习过哪些角？
锐角、直角、钝角、平角、和周角
3.初中学习的角的范围？
0 360
引言
时钟慢了10分钟，应如何校？ 分针应转多少度？
一、任意角
终边
60
90 180 270 360
sin a
0
2 2 2 2
cos a
tan a
1
0
3 2 3 3
3 2 1 2
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
3
范例3 计算
(1)3sin 900 2cos00 5sin 2700 2 tan 450 tan180 0
3 (2)5cos 3sin 4sin 4 tan 0 3cot 2 2 2 4
余弦
o
r = x2 y 2
x
正切
y sin ; r x cos ; r y tan . x
范例1
已知角α的终边上一点P(-3,-4), 求α的正弦、余弦和正切值.
解： 因为x 3, y 4,
r (3) （-4) 5.
2 2
o
r
P(3, 4)
(1)sin 250
0
(2) tan( ) 4
(3)cos8500
(4)sin(6720 )
范例5 根据下列条件，确定角 α 所在的象限.
(1)sin 0且 cos 0
(2)sin tan 0
y
x
4 sin , 5 3 cos , 5 4 tan . 3
讨论
讨论正弦、余弦和正切函数的定义域、 值域？
三角函数
定义域
值域
y sin x
y cos x
R R
{ x | x k
[ 1,1]
2
[ 1,1]
, k Z}
y tan x
R
一、任意角的三角函数定义
y
r
的终边
正割 余割
P ( x, y )
o
r = x2 y 2
x
余切
r sec ; x r csc ; y x tan . y
范例2 求下列各角的正弦、余弦和正切值.
(1) 0
(2)
2
讨论
角
讨论特殊角的三角函数值.
0
函数值
30
1 2
45
范例1 在0 ~360 范围内，找出与下列角终边相
同的角，并判断它们是第几象限角.
0
0
(1) 950 25
(2) 500
范例2 写出终边在 y 轴上的角的集合.
作业布置
书本 P72 练习4.1.1
二、弧度制
衡量角度大小以前我们用的是度 ( ) ，亦即角度制,
我们现在引入另一种衡量单位：弧度 (rad).
一、任意角的三角函数定义
y
r
的终边
P ( x, y )
的终边
P ( x, y )
y
o
r
P ( x, y )
y
x
o
y
x
r
P ( x, y )
r
o
x
o
x
y sin r x cos r y tan x
的终边
的终边
范例4 判断下列三角函数值的符号.
试一试wk.baidu.com
说出下列角分别是第几象限角
60 ,135 , 240 ,300 ,127 ,195 , 40 , 315 . I II III IV II III IV I y
(90 ,180 )
O
(0 ,90 )
x
(270 ,360 )
(180 , 270 )
范围在 0 ,360 内
想一想
(1)135
(2)240
(3)330
(3)765
范例5 把下列角转换成角度制.
5 (1) 4 5 (2) 3 17 (3) 6
范例6 求公路弯道部分的弧MN的长(精确到1m).
80 45m
l r
4.2 任意角的三角函数
一、任意角的三角函数定义
y
r
的终边
正弦
P ( x, y )
B
O
顶点
始边
A
角：一条射线绕着它的端点在平面内旋转形成的图 形.
一、任意角
正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不旋转时形成的角
120
60
240
420
一、任意角
y
I II
O
x
III
IV
象限角：以角的顶点为原点，角的始边为 x 轴，终边 落在第几象限，就说这个角是第几象限角.
30 ,390 ,750 , 330 分别是第几象限角？
它们有何关系？ (终边相同) 你能写出与30 角终边相同的角的集合吗？
y
O
x
一、任意角
一般地，所有与 α 角终边相同的角有无数个，
它们可以表示为 360 k
(k Z )
用集合可表示为 | 360 k , k Z
角度和弧度的换算为： rad 180
所以有
1 rad
1
180
180
57 18
rad 0.01745 rad
范例3 把角度、弧度相互转化.
(1)180 (
(2)67 30 (
7 (3) ( 8
)rad
)rad
)
熟记特殊角弧度制表示，P74.
范例4 把下列角转换成弧度制.
第4章 任意角的三角函数
与求值计算
4.1 角的概念的推广与弧度制
引言
1.初中所学角是如何定义的？
具有公共顶点的两条射线组成的图形。
2.初中学习过哪些角？
锐角、直角、钝角、平角、和周角
3.初中学习的角的范围？
0 360
引言
时钟慢了10分钟，应如何校？ 分针应转多少度？
一、任意角
终边
60
90 180 270 360
sin a
0
2 2 2 2
cos a
tan a
1
0
3 2 3 3
3 2 1 2
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
3
范例3 计算
(1)3sin 900 2cos00 5sin 2700 2 tan 450 tan180 0
3 (2)5cos 3sin 4sin 4 tan 0 3cot 2 2 2 4
余弦
o
r = x2 y 2
x
正切
y sin ; r x cos ; r y tan . x
范例1
已知角α的终边上一点P(-3,-4), 求α的正弦、余弦和正切值.
解： 因为x 3, y 4,
r (3) （-4) 5.
2 2
o
r
P(3, 4)
(1)sin 250
0
(2) tan( ) 4
(3)cos8500
(4)sin(6720 )
范例5 根据下列条件，确定角 α 所在的象限.
(1)sin 0且 cos 0
(2)sin tan 0
y
x
4 sin , 5 3 cos , 5 4 tan . 3
讨论
讨论正弦、余弦和正切函数的定义域、 值域？
三角函数
定义域
值域
y sin x
y cos x
R R
{ x | x k
[ 1,1]
2
[ 1,1]
, k Z}
y tan x
R
一、任意角的三角函数定义
y
r
的终边
正割 余割
P ( x, y )
o
r = x2 y 2
x
余切
r sec ; x r csc ; y x tan . y
范例2 求下列各角的正弦、余弦和正切值.
(1) 0
(2)
2
讨论
角
讨论特殊角的三角函数值.
0
函数值
30
1 2
45
范例1 在0 ~360 范围内，找出与下列角终边相
同的角，并判断它们是第几象限角.
0
0
(1) 950 25
(2) 500
范例2 写出终边在 y 轴上的角的集合.
作业布置
书本 P72 练习4.1.1
二、弧度制
衡量角度大小以前我们用的是度 ( ) ，亦即角度制,
我们现在引入另一种衡量单位：弧度 (rad).
一、任意角的三角函数定义
y
r
的终边
P ( x, y )
的终边
P ( x, y )
y
o
r
P ( x, y )
y
x
o
y
x
r
P ( x, y )
r
o
x
o
x
y sin r x cos r y tan x
的终边
的终边
范例4 判断下列三角函数值的符号.
试一试wk.baidu.com
说出下列角分别是第几象限角
60 ,135 , 240 ,300 ,127 ,195 , 40 , 315 . I II III IV II III IV I y
(90 ,180 )
O
(0 ,90 )
x
(270 ,360 )
(180 , 270 )
范围在 0 ,360 内
想一想
(1)135
(2)240
(3)330
(3)765
范例5 把下列角转换成角度制.
5 (1) 4 5 (2) 3 17 (3) 6
范例6 求公路弯道部分的弧MN的长(精确到1m).
80 45m
l r
4.2 任意角的三角函数
一、任意角的三角函数定义
y
r
的终边
正弦
P ( x, y )
B
O
顶点
始边
A
角：一条射线绕着它的端点在平面内旋转形成的图 形.
一、任意角
正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不旋转时形成的角
120
60
240
420
一、任意角
y
I II
O
x
III
IV
象限角：以角的顶点为原点，角的始边为 x 轴，终边 落在第几象限，就说这个角是第几象限角.
30 ,390 ,750 , 330 分别是第几象限角？
它们有何关系？ (终边相同) 你能写出与30 角终边相同的角的集合吗？
y
O
x
一、任意角
一般地，所有与 α 角终边相同的角有无数个，
它们可以表示为 360 k
(k Z )
用集合可表示为 | 360 k , k Z