欧几里得空间习题课
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量 矩 阵 是 单 位 矩 阵 .
3. 标准正交基下基本度量的表达式
设 1,2, ,n是 欧 氏 空 间 V的 一 个 标 准 正 交 基 ,
n
n
xii, yii,
i1
i1
则
-- 精品--
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( 1 )x i (,i),( i 1 ,2 , ,n )
n
(2) (,) xi yi i1
等 号 成 立 ,线 性 相 关 .
关于标准正交基, 有:
(4) 正交向量组是线性无关的.
-- 精品--
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(5)1,2, ,n是 标 准 正 交 基 的 (i,j) 1 0,,当 当 ii jj (i,j1,2, ,n)
即 :1 ,2 , ,n 是 标 准 正 交 基 的 是 它 的 度
ai1aj1 ai2aj2 ainajn 0, i j A 是 正 交 矩 阵 A 的 列 向 量 组 和 行 向 量 组 都 构 成
R n 的 标 准 正 交 基 .
-- 精品--
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6. 对称变换与对称矩阵
设是n维欧氏空间V的一个线性变换. 是
对称变换的刻化:
1
1 |1
|1
m
m 1 m 1 ( m 1 , i ) i
i1
m 1
1 | m1
| m1
(m1,2, ,n1)
-- 精品--
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5. 正交变换与正交矩阵
设 是n维欧氏空间V的一个线性变换. 是正
交变换的刻化 :
1) 对 , V , ( ( ), ( )) ( , ); 2) 对 V , 都有 | ( ) || |; 3) 设1,2 , ,n是V的标准正交基, 是正交 变换 (1 ), ( 2 ), , ( n )也是V的标准正交基; 4) 是正交变换 在任意标准正交基下的
欧几里得空间习题课
基本内容 基本解题方法 例题选讲
-- 精品--
1
一、基本内容
1. 基本概念
(1) 内积与欧氏空间概念(4个条件) (2) 向量的长度、距离与夹角
长度： | | (,)
距离： d(,)||
夹角： ,arccos|( |,|)|,0,.
-- 精品--
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2
(3) 度量矩阵
n
(3) | |
xi 2
i 1
(4) , arccos
n
xi yi
i1
n
n
xi2
Fra Baidu bibliotekyi2
i1
i1
-- 精品--
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n
(5) d() (xi yi)2 i1
4. 标准正交基的存在性与正交化方法
设 1 ,2 ， ,n 是 一 组 基 . 正 交 化 过 程 如 下 :
3
(4) 标准正交基
由两两正交的单位向量组成的基.
(5) 正交子空间
V 1 V 1 ,恒 有 (,) 0 ,
V 1 V 2 V 1 , V 2 , 恒 有 (,) 0 ,
W 的 正 交 补 ： W {| V 且 (,W )0 }
(6) 欧氏空间的同构
V W W
基 1 ,2 , ,n 的 度 量 矩 阵
(1,1) (1,2)
A(
aij
)nn
(2,1)
(2,2)
(n,1) (n,2)
(1,n) (2,n)
(n,n)
与 的 内 积 可 用 矩 阵 表 示 :
(,)XAY
其 中 X和 Y分 别 是 与 在 基 1,2, ,n下 的 坐 标 .
-- 精品--
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2. 学习欧氏空间,要抓住“内积”这个概念. 内积实际上是定义在线性空间V 上的二元实函数.它满足对称性、线性性、非负性.
注:同一个线性空间对不同的内积,所作成的欧氏空间一般是不同的.
-- 精品--
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3.对有限维欧氏空间的讨论,标准正交基是核心,在标准正交基下,向量的度 量性质显得较为简单.
(4 ) 对 称 变 换 的 属 于 不 同 特 征 值 的 特 征 子 空 间 必 正 交 .
(5 )设 A 是 实 对 称 矩 阵 ,则 R n 中 属 于 A 的 不 同 特 征 值 的 特 征 向 量 必 正 交 .
(6 )设 是 对 称 变 换 ,则 存 在 标 准 正 交 基 ,使
在 这 个 基 下 的 矩 阵 是 对 角 矩 阵 .
4.用正交化方法求标准正交基,可以从一组基出发,先正交化,得正交基,再 单位化(即正交化与单位化分开进行).也可以在正交化过程中的每一步,将所得 的向量单位化(即标准化).
5.利用线性变换与矩阵的密切关系、内积、标准正交基来研究欧氏空间中 的两类重要的线性变换-正交变换和对称变换.
-- 精品--
1) 对,V,((),)(,()); 2) 是对称变换在标准正交基下的矩阵
是对称矩阵.
主要结论:
(1) 对称变换的特征值都是实数.
(2) 实对称矩阵的特征值都是实数.
-- 精品--
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(3 ) 对 称 变 换 的 属 于 不 同 特 征 值 的 特 征 向 量 必 正 交 .
同构映射保持运算(加法、数乘、内积)
-- 精品--
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4
2. 基本性质
设V为欧氏空间,对于V的内积,有:
( 1 )对 于 V ,(,) 0 0 .
s
t
st
(2)( kii, ljj) kilj(i,j).
i1
j1
i1j1
(3)(,)2(,)(,).即 |(,)| ||||.
矩阵是正交阵.
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n 级 实 数 矩 阵 A 是 正 交 矩 阵 A A E .
标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵;
设A (aij ),则A是正交矩阵 1, 当i j,
a1ia1j a2ia2j anianj 0, 当i j. 1, i j
(7 ) 对 n 级 实 对 称 阵 A , 都 存 在 n 级 正 交 矩 阵 T ，
使 T A T T 1 A T 为 对 角 阵 .
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二、基本解题方法
1. 欧氏空间是一个实数域上的线性空间, 对于线性空间的一些基本概念,比如 向量的线性相关性、基、维数、坐标、子空间以及有关性质,对欧氏空间都适用.
3. 标准正交基下基本度量的表达式
设 1,2, ,n是 欧 氏 空 间 V的 一 个 标 准 正 交 基 ,
n
n
xii, yii,
i1
i1
则
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( 1 )x i (,i),( i 1 ,2 , ,n )
n
(2) (,) xi yi i1
等 号 成 立 ,线 性 相 关 .
关于标准正交基, 有:
(4) 正交向量组是线性无关的.
-- 精品--
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(5)1,2, ,n是 标 准 正 交 基 的 (i,j) 1 0,,当 当 ii jj (i,j1,2, ,n)
即 :1 ,2 , ,n 是 标 准 正 交 基 的 是 它 的 度
ai1aj1 ai2aj2 ainajn 0, i j A 是 正 交 矩 阵 A 的 列 向 量 组 和 行 向 量 组 都 构 成
R n 的 标 准 正 交 基 .
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6. 对称变换与对称矩阵
设是n维欧氏空间V的一个线性变换. 是
对称变换的刻化:
1
1 |1
|1
m
m 1 m 1 ( m 1 , i ) i
i1
m 1
1 | m1
| m1
(m1,2, ,n1)
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5. 正交变换与正交矩阵
设 是n维欧氏空间V的一个线性变换. 是正
交变换的刻化 :
1) 对 , V , ( ( ), ( )) ( , ); 2) 对 V , 都有 | ( ) || |; 3) 设1,2 , ,n是V的标准正交基, 是正交 变换 (1 ), ( 2 ), , ( n )也是V的标准正交基; 4) 是正交变换 在任意标准正交基下的
欧几里得空间习题课
基本内容 基本解题方法 例题选讲
-- 精品--
1
一、基本内容
1. 基本概念
(1) 内积与欧氏空间概念(4个条件) (2) 向量的长度、距离与夹角
长度： | | (,)
距离： d(,)||
夹角： ,arccos|( |,|)|,0,.
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(3) 度量矩阵
n
(3) | |
xi 2
i 1
(4) , arccos
n
xi yi
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n
n
xi2
Fra Baidu bibliotekyi2
i1
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n
(5) d() (xi yi)2 i1
4. 标准正交基的存在性与正交化方法
设 1 ,2 ， ,n 是 一 组 基 . 正 交 化 过 程 如 下 :
3
(4) 标准正交基
由两两正交的单位向量组成的基.
(5) 正交子空间
V 1 V 1 ,恒 有 (,) 0 ,
V 1 V 2 V 1 , V 2 , 恒 有 (,) 0 ,
W 的 正 交 补 ： W {| V 且 (,W )0 }
(6) 欧氏空间的同构
V W W
基 1 ,2 , ,n 的 度 量 矩 阵
(1,1) (1,2)
A(
aij
)nn
(2,1)
(2,2)
(n,1) (n,2)
(1,n) (2,n)
(n,n)
与 的 内 积 可 用 矩 阵 表 示 :
(,)XAY
其 中 X和 Y分 别 是 与 在 基 1,2, ,n下 的 坐 标 .
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2. 学习欧氏空间,要抓住“内积”这个概念. 内积实际上是定义在线性空间V 上的二元实函数.它满足对称性、线性性、非负性.
注:同一个线性空间对不同的内积,所作成的欧氏空间一般是不同的.
-- 精品--
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3.对有限维欧氏空间的讨论,标准正交基是核心,在标准正交基下,向量的度 量性质显得较为简单.
(4 ) 对 称 变 换 的 属 于 不 同 特 征 值 的 特 征 子 空 间 必 正 交 .
(5 )设 A 是 实 对 称 矩 阵 ,则 R n 中 属 于 A 的 不 同 特 征 值 的 特 征 向 量 必 正 交 .
(6 )设 是 对 称 变 换 ,则 存 在 标 准 正 交 基 ,使
在 这 个 基 下 的 矩 阵 是 对 角 矩 阵 .
4.用正交化方法求标准正交基,可以从一组基出发,先正交化,得正交基,再 单位化(即正交化与单位化分开进行).也可以在正交化过程中的每一步,将所得 的向量单位化(即标准化).
5.利用线性变换与矩阵的密切关系、内积、标准正交基来研究欧氏空间中 的两类重要的线性变换-正交变换和对称变换.
-- 精品--
1) 对,V,((),)(,()); 2) 是对称变换在标准正交基下的矩阵
是对称矩阵.
主要结论:
(1) 对称变换的特征值都是实数.
(2) 实对称矩阵的特征值都是实数.
-- 精品--
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(3 ) 对 称 变 换 的 属 于 不 同 特 征 值 的 特 征 向 量 必 正 交 .
同构映射保持运算(加法、数乘、内积)
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2. 基本性质
设V为欧氏空间,对于V的内积,有:
( 1 )对 于 V ,(,) 0 0 .
s
t
st
(2)( kii, ljj) kilj(i,j).
i1
j1
i1j1
(3)(,)2(,)(,).即 |(,)| ||||.
矩阵是正交阵.
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n 级 实 数 矩 阵 A 是 正 交 矩 阵 A A E .
标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵;
设A (aij ),则A是正交矩阵 1, 当i j,
a1ia1j a2ia2j anianj 0, 当i j. 1, i j
(7 ) 对 n 级 实 对 称 阵 A , 都 存 在 n 级 正 交 矩 阵 T ，
使 T A T T 1 A T 为 对 角 阵 .
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二、基本解题方法
1. 欧氏空间是一个实数域上的线性空间, 对于线性空间的一些基本概念,比如 向量的线性相关性、基、维数、坐标、子空间以及有关性质,对欧氏空间都适用.