欧几里得空间习题课
欧几里得空间
第九章-欧几里得空间复习题一、判断题1、欧氏空间中两两正交的向量组是线性无关的.2、欧氏空间中保持向量夹角不变的线性变换一定是正交变换.3、两个正交矩阵的乘积一定是正交矩阵.4、n 维欧氏空间n R 的恒等变换，既是正交变换，也是对称变换.5、有限维欧氏空间不同的基的度量矩阵是合同的.6、欧氏空间中保持向量长度不变的变换必是正交变换.7、任意一个(1)n n ≥维欧氏空间都存在标准正交基.8、n 维欧氏空间V 的正交变换在V 的任一组基下的矩阵必是正交矩阵.9、设V 为欧氏空间，βαβα⊥∈,,V ，则222βαβα+=+.10、设V 为有限维欧氏空间，是V 上对称线性变换，1V 为的不变子空间，则⊥1V 也为的不变子空间.11、设1V ，2V 是欧氏空间V 的两个正交子空间，则{}021=V V .12、实对称矩阵A 的任意两个特征向量都正交.13.欧氏空间是定义了内积的线性空间.14.若实对称矩阵A 的特征值全不等于零，则A 必正定.15.若A 是实对称矩阵，则必存在正交矩阵P ，使B =P -1AP =P T AP 为以A 的特征值为对角元的对角矩阵.16.n 阶矩阵A 是正交矩阵的充要条件是||=1A .17.欧氏空间中的正交变换是保持向量内积不变的线性变换.18.与任意向量都正交的向量不一定是零向量.19.同构的两个欧氏空间具有相同的维数.20.对n 维欧氏空间V 中任意两个向量α，β，必有|(α,β)|≤|α|⋅|β|.21.任一n 维欧氏空间V 与R n 同构.22.n 维欧氏空间V 中一定存在某组基的度量矩阵是非正定的.23.设n 维欧氏空间V 的一组基的度量矩阵为A,则在这组基下向量的内积由A 完全确定.24.同一个线性空间对于不同内积构成不同欧氏空间.25.n 维欧氏空间V 中向量α与β正交当且仅当α与β的夹角为π/2.26.设V 为有限维欧氏空间,则V 中任意两个向量在标准正交基下的内积等于它们的对应分量的乘积之和.27.欧氏空间V 的正交变换是V 到自身的同构映射.28.对称变换在标准正交基下的矩阵一定是实对称矩阵.29.实对称矩阵A 的正、负惯性指数分别为正、负特征值的个数.30.任意n 元实二次型都可经过正交线性替换化为标准形.二、选择题1、设21,V V 是欧氏空间V 的两个子空间，则下列推断正确的是.A 、11)(V V =⊥⊥；B 、⊥⊥⊥=)(2121V V V V ；C 、121)(V V V =+⊥⊥⊥+2V ；D 、若21V V ⊂，则⊥⊥⊂21V V .2、设A 是一个n 级实对称矩阵，则下列结论正确的有.A 、A 的特征根都大于零；B 、A 的特征向量都正交；C 、A 一定有n 个不同的特征值；D 、一定存在正交矩阵T ，使AT T '为对角矩阵.3、设A 是n 级实对称矩阵，则下列结论正确是.A 、A 的特征值都是实数；B 、A 的特征向量都正交；C 、A 必有n 个不同的特征值；D 、A 的特征值必不为0.4、设{}R b a b a V ∈=,),(，V b b a a ∈==),(),,(2121βα，则下列定义的内积中使V 为欧氏空间.A 、1221),(b a b a +=βα；B 、1),(2211++=b a b a βα；C 、2211),(b a b a -=βα；D 、221153),(b a b a +=βα.5、设是n 维欧氏空间V 的一个线性变换，则是正交变换的充分必要条件是.A 、在任一组基下的矩阵是正交矩阵；B 、保持V 中元素的正交关系，即⇒⊥∈∀βαβα,,V ⊥αβ；C 、保持V 中的非零元素的夹角不变，即>=<<∈∀βαβα,,,V ,α>β；D 、如果n εεε,,,21 是标准正交基，那么,1ε,,2 εn ε也是标准正交基.6、)1(≥n n 维欧氏空间的标准正交基.A 、不存在；B 、存在不唯一；C 、存在且唯一；D 、不一定存在.7.设V 是n 维欧氏空间，则对V 的同一内积而言，不同基的度量矩阵之间的关系是.A 、等价；B 、相似；C 、合同；D 、以上说法都不对.8.以下关于正交变换说法错误的是.A 、正交变换保持n 维欧氏空间中的标准正交基不变；B 、正交变换保持向量间的距离不变；C 、正交变换在标准正交基下的矩阵为正交矩阵；D 、正交变换的逆变换不一定是正交变换.9.下列关于欧氏空间同构的说法正确的是.A 、设V ，V′都是n 维欧氏空间，则V 与V′同构；B 、数乘变换是欧氏空间V 到自身的同构映射；C 、若是线性空间V 到V′的同构映射，则也是欧氏空间V 到V′的同构映射；D 、若是欧氏空间V 到V′的一个映射，且保持线性运算，则是V 到V′的同构映射.10.设V 是n 维欧氏空间，则下列关于V 的标准正交基的说法错误的是.A 、标准正交基的度量矩阵是单位矩阵；B 、任意两组标准正交基之间的过渡矩阵是单位矩阵；C 、若ε1，ε2，…，εn 是V 的一组标准正交基，A 是正交矩阵，若(η1，η2，…，ηn)=(ε1，ε2，…εn)A ，则η1，η2，…，ηn 也是V 的一组标准正交基；D 、V 的标准正交基与它的任意一组基等价.11.设V 是n 维欧氏空间，α1，α2，…，αm 是V 中的正交向量组，则m 和n 满足.A 、m<n ；B 、m=n ；C 、m ≥n ；D 、m ≤n.12.若A,B 是正交矩阵，下列说法中错误的是.A.T A A =-1； B.11或－=A ；C.AB 不是正交阵； D.A 的列向量都是单位向量，且两两正交．13．设A 是n 阶正交阵，①1-A 也是正交阵；②1-=A ；③A 的列向量都是单位向量且两两正交；④A 的行向量组都是单位向量且两两正交.则以上说法正确的有.A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．三、综合题1.在R 4中求一单位向量与()()()3,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1---正交。
第九章 欧几里德空间
第九章 欧几里德空间§1基本知识§1. 1 基本概念 1、欧式空间： 2、向量的长度：3、向量之间的夹角：4、单位向量：5、向量的正交：6、度量矩阵：7、正交向量组：8、正交基与标准正交基： 9、正交矩阵：10、欧式空间的同构： 11、正交变换：12、子空间、子空间的正交与正交补： 13、内射影或正射影： 14、对称变换：15、向量之间的距离： 16、最小二乘法：§1. 2 基本定理定理1（正交组的性质定理）正交向量组一定是线性无关组.定理2 （标准正交基的存在性定理）对于n 维欧式空间中任意一组基n ααα,,,21 ，都可以找到一组标准正交基n εεε,,,21 ，使得：n r L L r r ,,2,1),,,,(),,,(2121 ==αααεεε定理3（有限维欧式空间同构的条件）两个有限维欧式空间同构的充分必要条件是：它们的维数相等.定理4（正交变换的等价条件）设σ是n 维欧式空间V 的一个线性变换，则如下条件等价（1）σ是正交变换；（2）σ保持向量的长度不变，即：V ∈∀=ααασ|,||)(|；（3）如果n εεε,,,21 是V 的一组标准正交基，则)(,),(),(21n εσεσεσ 也是V 的一组标准正交基；（4）σ在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
定理5如果子空间s V V V ,,,21 两两正交，那么：s V V V +++ 21是直和。
定理6（正交补存在性定理）n 维欧式空间V 的任何一个子空间1V 都有唯一的正交补。
定理7（实对称矩阵的性质定理）对于任意一个n 阶实对称矩阵A ，都存在一个n 阶正交矩阵P ，使得：AP P T 为对角矩阵。
§1. 3 基本性质1、欧式空间的性质：（1）零向量且仅有零向量与任何向量的内积为零；（2）对任何R a V ∈∈,,,ζηξ，有：),(),(),(ηζξζηξζ+=+；),(),(ηξηξa a =；（3）s j r i R b a V j i j i ,,2,1;,,2,1,,,, ==∈∈∀ηξ，有：∑∑∑∑=====r i sj j i j i j s j j i r i i b a b a 1111),(),(ηξηξ；（4）V ∈∀βα,，有：),)(,(),(2ββααβα≤，当且仅当βα,线性相关时，等号成立。
欧式空间练习题
欧式空间练习题欧式空间（Euclidean space）是指以欧几里德几何学为基础的一种空间，其中包含了平面和三维空间。
在欧式空间中，我们可以进行各种几何运算和推理，探索数学中的各种定理和性质。
为了加深对欧式空间的理解和应用，以下将给出一些欧式空间的练习题，并解答相关问题。
题目一：平面上两点坐标求距离已知平面上两点坐标分别为A（2，3）和B（-1，5），求AB两点之间的距离。
解答一：根据两点之间的距离公式，我们可以得出AB两点之间的距离为：d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)其中，(x₁, y₁)表示A点坐标，(x₂, y₂)表示B点坐标。
代入A（2，3）和B（-1，5）的坐标，计算得：d = √((-1-2)² + (5-3)²)= √((-3)² + 2²)= √(9 + 4)= √13所以，AB两点之间的距离为√13。
题目二：三维空间两点坐标求距离已知三维空间中，点A坐标为（1，2，3），点B坐标为（4，5，6），求AB两点之间的距离。
解答二：同样利用两点之间的距离公式，在三维空间中计算AB两点之间的距离：d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²)代入A（1，2，3）和B（4，5，6）的坐标，得：d = √((4-1)² + (5-2)² + (6-3)²)= √(3² + 3² + 3²)= √(9 + 9 + 9)= √27= 3√3所以，AB两点之间的距离为3√3。
题目三：欧式空间的垂直关系判断已知平面上的三个点A（1，2），B（-2，4），C（3，6），判断AB和AC两条线段是否垂直。
解答三：两条线段AB和AC垂直的条件是它们的斜率互为负倒数，即斜率乘积为-1。
我们可以分别计算AB和AC的斜率，然后判断其乘积是否为-1。
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(欧几里得空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品】
第9章欧几里得空间9.1复习笔记一、定义与基本性质1．欧几里得空间定义设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（α，β），它具有以下性质：（1）（α，β）＝（β，α）；（2）（kα，β）＝k（α，β）；（3）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）；（4）（α，α）≥0，当且仅当α＝0时（α，α）＝0.这里α，β，r是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间．2．长度（1）定义非负实数称为向量α的长度，记为|α|．（2）关于长度的性质①零向量的长度是零，②|kα|＝|k||α|，③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0，向量1αα就是一个单位向量，通常称此为把α单位化．3．向量的夹角（1）柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量α，β有|（α，β）|≤|α||β|当且仅当α，β线性相关时，等号才成立．（2）非零向量α，β的夹角＜α，β＞规定为（3）如果向量α，β的内积为零，即（α，β）＝0，那么α，β称为正交或互相垂直，记为α⊥β．零向量才与自己正交．（4）勾股定理，即当α，β正交时，|α＋β|2＝|α|2＋|β|2．4．有限维空间的讨论（1）度量矩阵设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意两个向量α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋x nεn，β＝y1ε1＋y2ε2＋…＋y nεn，由内积的性质得a ij＝（εi，εj）（i，j＝1，2，…，n），显然a ij＝a ji，于是利用矩阵，（α，β）还可以写成（α，β）＝X'AY，其中分别是α，β的坐标，而矩阵A＝（a ij）nn称为基ε1，ε2，…，εn的度量矩阵．（2）性质①设η1，η2，…，ηn是空间V的另外一组基，而由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为C，即（η1，η2，…，ηn）＝（ε1，ε2，…，εn）C，于是基η1，η2，…，ηn的度量矩阵B＝（b ij）＝（ηi，ηj）＝C'AC；表明不同基的度量矩阵是合同的．②对于非零向量α，即有（α，α）＝X'AX＞0．因此，度量矩阵是正定的．二、标准正交基1．正交向量组欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组．按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组．2．标准正交基（1）定义在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基．说明：①对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基．②一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵．（2）标准正交基的求法①定理1n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基．②定理2对于n维欧氏空间中任意一组基ε1，ε2，…，εn，都可以找到一组标准正交基η1，η2，…，ηn，使L（ε1，ε2，…，εi）＝L（η1，η2，…，ηi），i＝1，2，…，n．定理2中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法称做施密特正交化过程．例：把α1＝（1，1，0，0），α3＝（－1，0，0，1），α2＝（1，0，1，0），α4＝（1，－1，－1，1）变成单位正交的向量组．解：①先把它们正交化，得β1＝α1＝（1，1，0，0），②再单位化，得3．基变换公式设ε1，ε2，…，εn与η1，η2，…，ηn是欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是A＝（a ij），即因为η1，η2，…，ηn是标准正交基，所以矩阵A的各列就是η1，η2，…，ηn在标准正交基ε1，ε2，…，εn下的坐标．4．正交矩阵n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A＝E．由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基．三、同构1．同构定义实数域R上欧式空间V与V'称为同构的，如果由V到V'有一个双射σ，满足（1）σ（α＋β）＝σ（α）＋σ（β），（2）σ（kα）＝kσ（α），（3）（σ（α），σ（β））＝（α，β），这里α，β∈V，k∈R，这样的映射σ称为V到V'的同构映射．同构的欧氏空间必有相同的维数．每个n维的欧氏空间都与R n同构．2．同构的性质同构作为欧氏空间之间的关系具有（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性；（4）两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同．.四、正交变换1．定义欧氏空间V的线性变换A称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对于任意的α，β∈V，都有（Aα，Aβ）＝（α，β）．2．性质。
高等数学(高教版)第九章欧几里得空间第六节课件
实对称矩阵的标准形
主要内容
问题的提出 正交矩阵的求法
实对称矩阵的性质
主要结论
举例
正交的线性替换
一、问题的提出
在第五章我们得到，任意一个对称矩阵都合同
于一个对角矩阵，
使
换句话说，都有一个可逆矩阵 C
CTAC
成对角形. 在这一节，我们将利用欧氏空间的理论
把第五章中关于实对称矩阵的结果进行加强，这就 是这一节要解决的主要问题：
下的矩阵就是 A .
(2)
引理 2
设 A 是实对称矩阵，A 的定义如上
则对任意的 , Rn , 有 (A , ) = ( , A ) ， 或 (3)
T ( A ) = TA .
证明
只要证明后一等式即可.
实际上 = ( A )T
T ( A )
= TAT = T( A ) .
1 6 1 6 2 6 0
1 12 1 12 1 12 3 12
1 2 1 2 . 1 2 1 2
TTAT = diag(1, 1, 1, -3) .
例2 设
3 A 2 0
2 2 2
0 2 1
x1 x2 x n
满足
A = 0 . 令
x1 x2 , x n
其中
xi 是 xi 的共轭复数，则
考察等式
A = 0 .
T (A )
= TAT
= (A )T
T 是一个正交矩阵，而
T-1AT = TTAT 就是对角形. 根据上面的讨论，求正交矩阵 T 的步骤如下： STEP 1 求出 A 的特征值. 设 1 , …, r 是 A
高等代数欧几里得空间课件
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，可 以表示向量之间的关系和线性变换。
VS
矩阵的性质
矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、 标量乘法和乘法满足相应的运算规则，矩 阵的转置、行列式、逆等也具有相应的性 质和定义。
矩阵的运算规则
1 2 3
矩阵的加法 矩阵的加法满足交换律和结合律，即 $A+B=B+A$和$(A+B)+C=A+(B+C)$。
运算规则二
如果 $W_1$ 和 $W_2$ 是子空间，且 $W_1 cap W_2 = {0}$， 则 $W_1 + W_2$ 是子空间。
运算规则三
如果 $W$ 是子空间，且 $u in W$，则存在唯一的 $v in W$ 使得 $u + v = 0$。
欧几里得空的同
06
构与等价
同构的定义与性质
等价性质
等价的欧几里得空间具有相同的秩，且线性变换在等价 下是可逆的。
THANKS.
矩阵运算对应线性变换运 算
矩阵的加法、标量乘法和乘法分别对应线性 变换的加法、标量乘法和复合运算。
特征与特征向量
04
特征值与特征向量的定义
特征值
对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零的数λ和相应的非零向量x，使得Ax=λx成立， 则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A的对应于λ的特征向量。
特征向量
与特征值λ对应的非零向量x称为矩阵A的对应于λ的特征向量。
助于学生更好地理解和掌握这一概念。
04
复数域上的全体二维向量构成的集合是一个二维复数 欧几里得空间。
向量与向量的运算
ห้องสมุดไป่ตู้02
向量的定义与表示
欧几里得空间习题
2)因为 A 正定，所以存在可逆矩阵 C 使 A CEC CC, 由1）知 C QT , 故 A T QQT T T
9.证明：正交矩阵旳实特征值为±1. 证：设 A为正交矩阵， 为 A 旳实特征值，
即 A , 取共轭转置得 A , 再右乘 A 有 AA 2 , 利用 AA E 得 2 , 因为 0, 所以 2 1,
i1 j1
nn
nn
aij xi x j ,
aij yi y j
i1 j1
i1 j1
故柯西—布涅科夫斯基不等式为
nn
nn
nn
aij xi yj
aij xi x j
aij yi y j
i1 j1
i1 j1
i1 j1
2. 设 1,2, ,n 是欧式空间旳一组基，证明： 1）假如 V 使 ( ,i ) 0(i 1, 2, , n), 那么 0 2）假如 1, 2 V 使对任一 V 有 (1, ) ( 2, )
A (1,2, ,n ) QT 若还有Q1,T1,使 A Q1T1 是 A 旳另一种分解，则 Q1T1 QT , 于是 Q11Q T1T 1 因为Q1,Q 为正交阵, 所以 Q11Q 也是正交阵, 从而 T1T 1 也是正交阵, 另一方面, T1T 1是上三角阵, 由7题知 T1T 1 是主对角线上元素为1或-1旳对角阵, 而 T1,T 旳主对角线元素为正，故 T1T 1 E 即 T1 T , 从而 Q1 Q.
3) 详细写出这个空间中旳柯西—布涅科夫斯基 不等式.
解：1)
(a).(, ) A A ( , )
(b).(k, ) (k ) A k( A ) k(, )
(c).( , ) ( ) A A A (, ) ( , )
欧几里得空间复习
(7) 对n级实对称阵A, 都存在n级正交矩阵T， 使T AT T 1 AT 为对角阵.
9
二、基本题型
1. 欧氏空间的判定（内积是否满足4条） 2. 向量的内积，长度，距离，夹角的计算 欧氏空间中度量矩阵的计算 3.标准正交基的求法（重点） 4.子空间正交补（内射影）的计算
5.实对称矩阵对角化方法（重点）
n级实数矩阵A是正交矩阵 AA E .
标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵;
A是正交矩阵 A的列向量组和行向量组都构成 R 的标准正交基.
n
4.2. 对称变换与对称矩阵
设 是n维欧氏空间V 的一个线性变换. 是 对称变换的刻化 : 1) 对 , V ,( ( ), ) ( , ( )); 2) 是对称变换 在标准正交基下的矩阵 是对称矩阵.
内射影
4. 欧氏空间的线性变换 4.1. 正交变换与正交矩阵 设 是n维欧氏空间V 的一个线性变换. 是正
交变换的刻化 : 1) 对 , V ,( ( ), ( )) ( , ); 2) 对 V , 都有 | ( ) || |; 3) 设 1 , 2 , , n 是V 的标准正交基, 是正交 变换 ( 1 ), ( 2 ), , ( n )也是V 的标准正交基; 4) 是正交变换 在任意标准正交基下的 矩阵是正交阵.
解得基础解系1 (2, 2,1,0), 2 (5, 4,0, 3)
于是 W L(1 ,2 ).
注 : 当已知 W 的基向量时, 求正交补W 的过 程就是求一个相应的齐次线性方程组的解空间的 过程.
1 1 例 2 设1 2 , 求一个 3阶正交矩阵T , 3 2 使得T的第一列是 1 .
习题解答 第九章 欧氏空间(定稿)
当且仅当 与 线性相关时，等号成立. 2. 标准正交基
定义 6 称欧氏空间 V 中一组两两正交的非零向量组1,2 , ,m 为一个正交向量组. 定义 7 设1,2,L ,n 是 n 维欧氏空间 V 中的一组基，若它们两两正交，则称 1,2,L ,n 为 V 的一组正交基；若正交基中的向量1,2,L ,n 都为单位向量，则称为标
n
( A, A) 0 ai2j 0 A 0 i, j1
此即证V是欧式空间。
(1)证：Eij是(i, j)元为1，其余一元皆为0的n阶方阵，那么可证 B11 E11, B12 E12 E21,L , B1n E1n En1 B22 E22 , B2n E2n En2 ,L , Bnn Enn 为V的一组基，于是
故○1 成立，且
V =S (S )
故S和(S)是同一子空间S的正交补，由正交补的唯一性，即证 ○2 .
4.设 是欧式空间V的线性变换，设 是V的一个变换，且, V ,都有(( ), )=(,( )). 证明：
(1) 是V的线性变换 (2)的值域 Im 等于的核ker的正交补。
四、典型题解析
例1.设A, B是n阶实对称阵，定义
(A, B) trAB
○1
证明：所有n阶实对称阵V 关于( A, B)成一欧式空间。 (1)求V的维数。 (2)求使trA=0的空间S的维数。 (3)求S的维数。
证 首先可证V {A Rnn | A A}是R上的一个线性空间。 再证○1 是V 的内积，从而得证V 是关于内积○1 的欧式空间. 事实上A,B,CV ,k R,有
高等代数欧几里得空间习题
4. 将特征向量1 , 2 ,,n正交化,单位化,得
1 ,2 ,,n ,记C 1 ,2 ,,n ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
f
1
y12
n
y
2 n
.
§6 向量到子空间旳距离，最小二乘法
一. 向量到子空间旳距离
欧氏空间V旳两个向量和旳距离定义为:
d(, ) = -
距离旳性质:
d(, )=d(, ); d(, )0, 而且仅当=时等号成立; d(, )d(, ) + d(, ) (三角不等式)
§2 原则正交基旳定义与求法
一. 正交向量组
定义 设1,2,…,s是一组非零实向量,
假如它们两两正交,则称为正交向量组; 假如其中每个向量旳长度都是1,则称 为正交单位向量组(或原则正交向量组).
事实 向量组1, 2, …, s是一种
原则正交向量组, 当且仅当
(
i
,
j
)
1 0
i j, i j.
定理 设1, 2, , m是欧氏空间
V中一组线性无关旳向量,则一定存在
一种正交单位向量组1, 2, , m,
使得
1, 2, , i
与
1, 2, , i
等价( i = 1, 2, …, m )．
令1=1, 若已构作出正交向量组1,2,,j-1,
则令
j
j
( j , 1 ) (1, 1)
1
( j , 2 ) (2 , 2 )
(2)正交变换作为欧氏空间旳自同构,其 乘积和逆也是正交变换.
(3)在原则正交基下,正交变换与正交矩 阵相应，对称变换与对称矩阵相应。
引理 设A是欧氏空间V上旳一种对称 变换, W是A-子空间, 则W也是A-子 空间.
欧氏空间练习题与测试题
欧⽒空间练习题与测试题第九章欧⽒空间练习题与测试题⼀、填空题1．设V 是⼀个欧⽒空间， V ξ∈，若对任意V η∈都有(,)0ξη=，则ξ＝_________．2．在欧⽒空间3R 中，向量(1,0,1)α=-，(0,1,0)β=，那么(,)αβ＝____ _____，α＝_________．3．在n 维欧⽒空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηη下的坐标是12(,,,)n x x x ，那么(,)i ξη＝_________，ξ＝_________．4．两个有限维欧⽒空间同构的充要条件是__________________．5．已知A 是⼀个正交矩阵，那么1A -＝_________，2A ＝_________．⼆、判断题1．在实线性空间2R 中，对于向量1212(,),(,)x x y y αβ==，定义1122(,)(1)x y x y αβ=++，那么2R 构成欧⽒空间。
( )2．在n 维实线性空间n R 中，对于向量1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ==，定义11(,)a b αβ=，则n R 构成欧⽒空间。
( ) 3．12,,,n εεε是n 维欧⽒空间V 的⼀组基，1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y 与分别是V 中的向量,αβ在这组基下的坐标，则1122(,)n n x y x y x y αβ=+++。
( ) 4．对于欧⽒空间V 中任意向量η，1η是V 中⼀个单位向量。
( )5．12,,,n εεε是n 维欧⽒空间的⼀组基，矩阵()ij n n A a ?=，其中(,)ij i j a εε=，则A 是正定矩阵。
( )6．设V 是⼀个欧⽒空间，,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ-正交。
( )7．设V 是⼀个欧⽒空间，,V αβ∈,并且(,)0αβ=，则,αβ线性⽆关。
( )8．若,στ都是欧⽒空间V 的对称变换，则στ也是对称变换。
欧几里得空间
第九章 欧几里得空间习题解答1、 设()ij a =A 是一个n 级正定矩阵，而12(,,,)n x x x α=，12(,,,)n y y y β=.在n R 中定义内积(,)αβ为'(,)αβαβ=A . 1）证明：在这个定义之下，n R 成一欧氏空间； 2）求单位向量1(1,0,,0)ε=，2(0,1,,0)ε=，，(0,0,,1)n ε=的度量矩阵；3）具体写出这个空间中的柯西-布涅柯夫斯基不等式。
解 1）只要证明按定义'(,)αβαβ=A （是数，等于其转置）的一个二元实函数是一个内积就可以了。
1 ''''(,)()(,)αβαβαββαβα====A A A ；2 ''(,)()()(,)k k k k αβαβαβαβ===A A ；3 '''(,)()(,)(,)αβγαβγαγβγαγβγ+=+=+=+A A A4 ',(,)ij i j i ja x x αααα==∑A .由于A 是正定矩阵，所以,ij i j i ja x x ∑是正定二次型，从而(,)0αα≥，并且仅当0α=时，(,)0αα=。
由此可见，n R 在这一定义之下成一欧式空间。
2）设单位向量的度量矩阵为()ij b =B .那么111()10(,)(010)(,1,2,,)10n ij i j ij i n nn a a b a i j n a a εε⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦，此即 =B A .3）,(,)ij i j i ja x x αβ=∑，α==β==，故柯西-布涅柯夫斯基不等式为,,ij i jiji i ji ja x yay y ≤∑∑2、 在4R 中，求,αβ之间的夹角,αβ<>（内积按通常定义），设 1）(2,1,3,2)α=，(1,2,2,1)β=-； 2）(1,2,2,3)α=，(3,1,5,1)β=； 3）(1,1,1,2)α=，(3,1,1,0)β=-；解 1）(,)21123(2)210αβ=⨯+⨯+-+⨯=，所以 .2αβπ<>=. 2）(,)18αβ=，(,)18αα=，(,)36ββ=，cos ,αβ<>==，所以.4αβπ<>=.3）(,)3αβ=，(,)7αα=，(,)11ββ=，cos ,αβ<>=，所以1.arccos αβ-<>=3、(,)d αβαβ=-通常称为α与β的距离，证明：(,)(,)(,)d d d αγαββγ≤+. 证 由文献[1]P.362的三角形不等式，有(,)()()(,)(,)d d d αγαγαββγαββγαββγ=-=-+-≤-+-=+. 4、在4R 中求一单位向量与(1,1,1,1)-，(1,1,1,1)--，(2,1,1,3)正交。
第九章欧几里得空间
第九章 欧几里得空间习题解答1、 设()ij a =A 是一个n 级正定矩阵，而12(,,,)n x x x α= ，12(,,,)n y y y β= .在n R 中定义内积(,)αβ为'(,)αβαβ=A .1）证明：在这个定义之下，n R 成一欧氏空间； 2）求单位向量1(1,0,,0)ε= ，2(0,1,,0)ε= ， ，(0,0,,1)nε= 的度量矩阵；3）具体写出这个空间中的柯西-布涅柯夫斯基不等式。
解 1）只要证明按定义'(,)αβαβ=A （是数，等于其转置）的一个二元实函数是一个内积就可以了。
1 ''''(,)()(,)αβαβαββαβα====A A A ；2''(,)()()(,)k k k k αβαβαβαβ===A A ；3'''(,)()(,)(,)αβγαβγαγβγαγβγ+=+=+=+A A A4',(,)ij i ji ja x x αααα==∑A .由于A 是正定矩阵，所以,ij i ji ja x x ∑是正定二次型，从而(,)0αα≥，并且仅当α=时，(,)αα=。
由此可见，n R 在这一定义之下成一欧式空间。
2）设单位向量的度量矩阵为()ij b =B .那么111()10(,)(010)(,1,2,,)10n iji j ij i n n n a a b a i j n a a εε⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦，此即=B A.3）,(,)ij i ji ja x x αβ=∑，α==β==，故柯西-布涅柯夫斯基不等式为,ij i j i ja x y ≤∑2、 在4R 中，求,αβ之间的夹角,αβ<>（内积按通常定义），设1）(2,1,3,2)α=，(1,2,2,1)β=-； 2）(1,2,2,3)α=，(3,1,5,1)β=； 3）(1,1,1,2)α=，(3,1,1,0)β=-；解 1）(,)21123(2)210αβ=⨯+⨯+-+⨯=，所以 .2αβπ<>=.2）(,)18αβ=，(,)18αα=，(,)36ββ=，c o s,2αβ<>==.4αβπ<>=. 3）(,)3αβ=，(,)7αα=，(,)11ββ=，3c o s ,αβ<>=，所以13.a rc c o sαβ-<>=3、(,)d αβαβ=-通常称为α与β的距离，证明：(,)(,)(,)d d d αγαββγ≤+.证 由文献[1]P.362的三角形不等式，有(,)()()(,)(,)d d d αγαγαββγαββγαββγ=-=-+-≤-+-=+.4、在4R 中求一单位向量与(1,1,1,1)-，(1,1,1,1)--，(2,1,1,3)正交。
欧几里得空间课件
不同类型的拓扑具有不同的性质和特点，例如离散拓扑中的点是孤立的，紧凑拓扑中的点是逐渐趋近于某个点的 ，线性拓扑中的点在直线上呈线性排列等。
拓扑的应用与实例
拓扑的应用
拓扑在数学、物理学、工程学和其他学 科中都有广泛的应用，例如在计算机科 学中，拓扑排序和图论中的问题解决需 要用到拓扑的性质。
。
立方体
立方体是一个三维的欧几里得空 间，其中两点之间的距离可以通 过连接这两点的线段的长度来定
义。
非欧几里得空间的例子
球面
球面是一个二维的曲面，其中两点之间的距 离可以通过连接这两点的最短线段的长度来 定义。球面不同于平面，因为球面的曲率是 变化的。
双曲几何
双曲几何是一种非欧几里得空间，其中两点 之间的距离可以通过连接这两点的线段的长 度来定义。双曲几何不同于欧氏空间，因为 它的角度和距离的定义与欧氏空间不同。
05
欧几里得空间的拓扑学
拓扑的定义与性质
拓扑的定义
拓扑是研究空间结构的一种数学分支，主要关注空间中点、线、面等基本元素之间的相互关系和性质 。
拓扑的性质
拓扑研究空间中的开集、闭集、连续性、紧致性、连通性等基本性质，这些性质在欧几里得空间和非 欧几里得空间中有所不同。
拓扑的分类与性质
拓扑的分类
根据空间中基本元素的性质和相互关系，可以将拓扑分为离散拓扑、紧凑拓扑、线性拓扑和微分拓扑等不同类型 。
子空间的定义与性质
01
02
子空间的定义：设E是域 P上的线性空间，F是E的 子集，如果F对于E的加 法和数量乘法构成域P上 的线性空间，则称F为E 的子空间。
子空间的性质
03
1. F是E的子集。
04
第九章 欧几里得空间 习题答案
第九章 欧几里得空间部分习题答案习 题（P393-P397）1．设()ij a =A 是一个n 级正定矩阵，而12(,,,)n x x x = α，12(,,,)n y y y = β．在nR 中定义内积(,)αβ为(,)'=A αβαβ．1）证明在这个定义之下，nR 成一欧氏空间；2）求单位向量1(1,0,,0)= ε，2(0,1,,0)= ε， ，(0,0,,1)n = ε的度量矩阵； 3）具体写出这个空间中的柯西－布涅柯夫斯基不等式． 解 1）显然(,)'=A αβαβ是n R 上的一个二元实函数，且 ①(,)()(,)''''''=====A A A A αβαβαββαβαβα； ②(,)()()(,)k k k k ''===A A αβαβαβαβ；③(,)()(,)(,)'''+=+=+=+A A A αβγαβγαγβγαγβγ；④由于A 是正定矩阵，故(,)0'=≥A αααα，并且，当且仅当=0α时，(,)0=αα． 因此，根据欧氏空间的定义，在这个定义之下，nR 成为欧氏空间．2）由于(,)i j i j ij a '==A εεεε，,1,2,,i j n = ，故12,,,n εεε的度量矩阵就是A ．3）根据11(,)n nij i j i j a x y =='==∑∑A αβαβ，其中12(,,,)n x x x = α，12(,,,)n y y y = β，所以这个空间中的柯西－布涅柯夫斯基不等式为11n nij iji j a x y==≤∑∑2．在4R 中，求,αβ之间的夹角,<>αβ（内积按通常定义）．设 1）(2,1,3,2)=α，(1,2,2,1)=-β； 2）(1,2,2,3)=α，(3,1,5,1)=β；3）(1,1,1,2)=α，(3,1,1,0)=-β．解 1）由于(,)21123(2)210=⨯+⨯+⨯-+⨯=αβ，故,2π<>=αβ．2）由于(,)1321253118=⨯+⨯+⨯+⨯=αβ，且(,)1122223318=⨯+⨯+⨯+⨯=αα，(,)3311551136=⨯+⨯+⨯+⨯=ββ，故,arccos 24παβ<>===．3）同样，直接计算得(,)3=αβ，(,)7=αα，(,)11=ββ，故,αβ<>==． 『方法技巧』首先判断(,)αβ是否为零，如果为零，那么α与β正交，即,2π<>=αβ；否则，计算(,)αα和(,)ββ，由定义(,),arccos||||αβ<>=αβαβ求α与β的夹角．4．在4R 中求一单位向量与(1,1,1,1),(1,1,1,1),(2,1,1,3)---正交． 解 设所求向量为1234(,,,)x x x x =α．由α与已知向量都正交，得方程组1234123412340,0,230.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--+=⎨⎪+++=⎩ 直接解得它的一个基础解系为(4,0,1,3)=-η．又因为α是单位向量，所以14,0,1,3)||=±=-αηη． 『特别提醒』要注意与η同向和反向的单位向量都满足要求． 5．设12,,,n ααα是欧氏空间V 的一组基，证明：1）如果V ∈γ使(,)0i =γα，1,2,,i n = ，那么=0γ；2）如果12,V ∈γγ使对任一V ∈α有12(,)(,)=γαγα，那么12=γγ．『解题提示』只需要说明(,)0=γγ和12(,)0i -=γγα，1,2,,i n = ． 证明 1）由于12,,,n ααα为欧氏空间V 的一组基，故存在12,,,n k k k ，使得1122n n k k k =++ γααα．于是，根据(,)0i =γα，1,2,,i n = ，得到11221122(,)(,)(,)(,)(,)0n n n n k k k k k k =++=++= γγγαααγαγαγα．因此=0γ．2）由于对任意的V ∈α有12(,)(,)=γαγα，故对任意的i α也有12(,)(,)i i =γαγα，即12(,)0i -=γγα，1,2,,i n = ．根据1）可知12-=0γγ，即12=γγ．6．设123,,εεε是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：()()()11232123312311122,22,22333=+-=-+=--αεεεαεεεαεεε 也是一组标准正交基．证法1 由于123,,εεε是标准正交基，故12222112(,)()()0333333=⨯+⨯-+-⨯=αα， 13212212(,)()()()0333333=⨯+⨯-+-⨯-=αα，23211222(,)()()()0333333=⨯+-⨯-+⨯-=αα， 11222211(,)()()1333333=⨯+⨯+-⨯-=αα，22221122(,)()()1333333=⨯+-⨯-+⨯=αα， 33112222(,)()()()()1333333=⨯+-⨯-+-⨯-=αα，即1,,(,)0.i j i j i j =⎧=⎨≠⎩αα 所以123,,ααα也是三维欧氏空间中的一组标准正交基．证法2 设从123,,εεε到123,,ααα的过渡矩阵为A ，即22112123122⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ．直接计算可知22122112122129122122-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪'=---= ⎪⎪ ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭A A E ，即A 是正交矩阵．从而123,,ααα也是三维欧氏空间中的一组标准正交基．『解题提示』方法1利用定义直接进行了证明；方法2则根据：如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基也是标准正交基．7．设12345,,,,εεεεε是五维欧氏空间V 的一组标准正交基，()1223,,V L =ααα，其中115=+αεε，2124=-+αεεε，31232=++αεεε，求1V 的一组标准正交基．解 首先说明123,,ααα线性无关．事实上，设112233k k k ++=0ααα，即1231232332415(2)()k k k k k k k k +++-++++=0εεεεε，根据12345,,,,εεεεε是线性无关的，得1230k k k ===，即123,,ααα线性无关．于是123,,ααα是1V 的一组基．下面，根据施密特正交化方法对它们标准正交化：正交化：1115==+βαεε，22221124511(,)11(,)22=-=-+-αββαβεεεεββ，3132331212351122(,)(,)(,)(,)=--=++-αβαββαββεεεεββββ；单位化：115()2=+ηεε，2124522)=-+-ηεεεε， 312351()2=++-ηεεεε．则123,,ηηη即为1V 的标准正交基．『方法技巧』这类求一个欧氏空间或其子空间的标准正交基的题目，首先确定该欧氏空间或子空间的一组基，然后再将这组基标准正交化即可求得．12．设12,,,m ααα是n 维欧氏空间V 中一组向量，而111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)m m m m m m ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭αααααααααααααααααα∆． 证明：当且仅当0≠∆时12,,,m ααα线性无关．证明 设有线性关系1122m m k k k +++=0 ααα，将其分别与i α取内积，可得方程组111212112122221122(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)0.m m m mm m m m m k k k k k k k k k +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ αααααααααααααααααα 由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式0≠∆，故当且仅当0≠∆时12,,,m ααα线性无关．『方法技巧』将∆构造成一个线性方程组的系数矩阵．题目中的矩阵∆称为向量组的格拉姆矩阵，当12,,,m ααα为一组基时，其格拉姆矩阵∆即为度量矩阵．16．证明：反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数．证明 设A 是反对称矩阵，ξ是属于特征值λ的特征向量，即λ=ξξA ，则用'ξ左乘两边得()()()()()λλ'''''''''==-=-=-=-=-ξξξξξξξξξξξξξξA A A A A ，由于≠0ξ，故λλ=-，从而λ为纯虚数或零．事实上，令a bi λ=+，可得0=a ，即bi =λ，因此或者0λ=或bi =λ（0b ≠）．『方法技巧』与证明实对称矩阵的特征值均为实数的方法类似． 17．求正交矩阵T 使'T AT 成对角形，其中A 为：1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022； 2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----542452222； 3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0041001441001400； 解 1）矩阵A 的特征多项式为()()()22021214202λλλλλλλ--=-=--+E A ， 则A 的特征值为2,4,1321-===λλλ，分别求解齐次方程组()i λ-0E A X =得对应的特征向量为123(2,1,2),(2,2,1),(1,2,2)'''=--=-=ααα．将其单位化得123111(2,1,2),(2,2,1),(1,2,2)333'''=--=-=ηηη．令1232211(,,)1223212-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭ηηηT ，则T 即为所求，且142⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪-⎝⎭T AT ．2）矩阵A 的特征多项式为()()2222254110245λλλλλλ---=--=---E A ，则A 的特征值为1210,1λλ==（二重）．分别求解齐次方程组()i λ-0E A X =得：110λ=的特征向量为1(1,2,1)'=--α，21λ=的特征向量为2(2,1,0)'=-α，3(2,1,1)'=α．将其正交单位化得1231(1,2,2),2,1,0),2,4,5)3'''=--=-=ηηη， 令123132(,,)3203⎛- ==-⎝ηηηT ， 则T 即为所求，且1011⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭T AT ．3）矩阵A 的特征多项式为()()()()0410145533410140λλλλλλλλλ-----==-+-+----E A ，则A 的特征值为12345,5,3,3λλλλ==-==-．分别求齐次方程组()i λ-0E A X =得相应的特征向量为1234(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)''''==--=--=--αααα，将其单位化得12341111(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)2222''''==--=--=--ηηηη，令1234111111111(,,,)111121111-⎛⎫ ⎪- ⎪==⎪--- ⎪-⎝⎭ηηηηT ， 则T 即为所求，且5533⎛⎫ ⎪- ⎪'= ⎪ ⎪-⎝⎭T AT ． 『方法技巧』实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的，如果属于某个特征值λ的特征向量只有一个时，则只需对它单位化即可，此时，它必与其它向量正交．18．用正交线性替换化下列二次型为标准形：1）32212322214432x x x x x x x --++； 2）22212312132322448x x x x x x x x x ---++；3）432122x x x x +；『解题提示』按照上一题的方法求出能够使得二次型的矩阵A 可对角化的T ，则=X TY 即为所求的正交线性替换．解 1）原二次型的矩阵120222023-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，且A 的特征多项式为(5)(2)(1)λλλλ-=--+E A ，则其特征值为1235,2,1λλλ===-．分别求齐次方程组()i λ-0E A X =得相应的特征向量为123(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)'''=-=--=ααα，单位化得123111(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)333'''=-=--=ηηη， 令1231221(,,)2123221⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪-⎝⎭ηηηT ，则T 是正交矩阵，且521⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪-⎝⎭T AT ．那么正交线性替换=X TY ，使得原二次型化为22212352y y y +-． 2）原二次型的矩阵122224242-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A ，且A 的特征多项式为2(7)(2)λλλ-=+-E A ，则其特征值为127,2λλ=-=（二重）．分别求齐次方程组()i λ-0E A X =得相应的特征向量为123(1,2,2),(2,1,0),(2,0,1)'''=-=-=ααα，正交单位化得1231(1,2,2),(2,1,0),(2,4,5)3515'''=-=-=ηηη， 令12351(,,)1015100⎛-== -⎝ηηηT ，则T 是正交矩阵，且722-⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭T AT ．那么正交线性替换=X TY ，使得原二次型化为222123722y y y -++． 3）原二次型的矩阵100100000010010⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ， 且A 的特征多项式为22(1)(1)λλλ-=+-E A ，则其特征值为11λ=（二重），21λ=-（二重）．分别求齐次方程组()i λ-0E A X =得相应的特征向量为1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,1,0,0),(0,0,1,1)''''===-=-αααα，正交单位化得1234(1,1,0,0),0,1,1),1,0,0),0,1,1)2222''''===-=-ηηηη， 令123410101010(,,,)010120101⎛⎫⎪-⎪==⎪⎪-⎝⎭T ηηηη，则T 是正交矩阵，且1111⎛⎫ ⎪⎪'= ⎪- ⎪-⎝⎭T AT ． 那么正交线性替换=X TY ，使得原二次型化为22221234y y y y +--． 19．设A 是n 级实对称矩阵，证明：A 正定的充分必要条件是A 的特征多项式的根全大于零． 证明 由于A 是实对称矩阵，根据教材中的定理7知，存在一个n 级正交矩阵T ，使得121n λλλ-⎛⎫⎪⎪'=== ⎪ ⎪⎝⎭ T AT T AT Λ． 又因为相似矩阵有相同的特征值，且对角形矩阵的特征值即为其对角线上的元素，所以12,,,n λλλ 为A 的全部的特征根，即A 的特征多项式的全部根．再根据合同的矩阵具有相同的正定性，故A 正定的充分必要条件是对角形矩阵Λ是正定的，而Λ正定当且仅当12,,,n λλλ 全大于零．因此A 正定的充分必要条件是A 的特征多项式的根全大于零． 『方法技巧』利用相似矩阵具有相同的特征值，合同的矩阵具有相同的正定性．。
第九章 欧氏空间
第八章 欧氏空间练习题1．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量ηξ,,以下等式成立:(1)2222||2||2||||ηξηξηξ+=-++； (2).||41||41,22ηξηξηξ--+=在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么? 2．在区氏空间n R 里,求向量)1,,1,1( =α与每一向量)0,,0,1,0,,0()( i i =ε,n i ,,2,1 =的夹角.3．在欧氏空间4R 里找出两个单位向量,使它们同时与向量)4,5,2,3()2,2,1,1()0,4,1,2(=--=-=γβα 中每一个正交.4．利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形．5．设ηξ,是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明:222||||||ηξηξ+=+(勾股定理)6．设βααα,,,,21n 都是一个欧氏空间的向量,且β是n ααα,,,21 的线性组合.证明：如果β与i α正交,n i ,,2,1 =,那么0=β. 7．设n ααα,,,21 是欧氏空间的n 个向量. 行列式><><><><><><><><><=n n n n n n n G ααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,),,,(21222121211121叫做n ααα,,,21 的格拉姆(Gram)行列式.证明),,,(21n G ααα =0,必要且只要n ααα,,,21 线性相关.8．设βα,是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件:><><ααβα,,2和><><βββα,,2都是0≤的整数.证明: βα,的夹角只可能是6543,32,2ππππ或. 9.证明:对于任意实数n a a a ,,,21 ,23322211(||nni ia a a a n a++++≤∑= ). 10．已知)0,1,2,0(1=α,)0,0,1,1(2-=α,)1,0,2,1(3-=α,)1,0,0,1(4=α是4R 的一个基.对这个基施行正交化方法,求出4R 的一个规范正交基．11．在欧氏空间]1,1[-C 里,对于线性无关的向量级{1,x ,2x ,3x }施行正交化方法,求出一个规范正交组．12．令},,,{21n ααα 是欧氏空间V 的一组线性无关的向量,},,,{21n βββ 是由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即><>><=<=n n n n G G βββββββββααα,,,),,,(),,,(22112121 13．令n γγγ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一个规范正交基,又令},2,1,10,|{1n i x x V K ni i i i =≤≤=∈=∑=γξξK 叫做一个n -方体.如果每一i x 都等于0或1,ξ就叫做K 的一个项点.K 的顶点间一切可能的距离是多少?14．设},,,{21m ααα 是欧氏空间V 的一个规范正交组.证明,对于任意V ∈ξ,以下等式成立:∑=≤mi i122||,ξα.15．设V 是一个n 维欧氏空间.证明)(i 如果W 是V 的一个子空间,那么W W =⊥⊥)(.)(ii 如果21,W W 都是V 的子空间,且21W W ⊆,那么⊥⊥⊆12W W )(iii 如果21,W W 都是V 的子空间,那么⊥⊥⊥+=+2121)(W W W W16．证明,3R 中向量),,(000z y x 到平面}0|),,{(3=++∈=cz by ax R z y x W的最短距离等于222000||cb a cz by ax ++++．17．证明,实系数线性方程组∑===nj i j ijn i b x a1,,2,1,有解的充分且必要条件是向量n n R b b b ∈=),,,(21 β与齐次线性方程组∑===nj j jin i x a1,,2,1,0的解空间正交.18．令α是n 维欧氏空间V 的一个非零向量．令}0,|{>=<∈=αξξαV P ． αP 称为垂直于α的超平面,它是V 的一个1-n 维子空间.V 中有两个向量ξ,η说是位于αP 的同侧,如果><><αηαξ,,与同时为正或同时为负.证明,V 中一组位于超平面αP 同侧,且两两夹角都2π≥的非零向量一定线性无关．[提示:设},,,{21r βββ 是满足题设条件的一组向量.则)(0,j i j i ≠>≤<ββ,并且不妨设)1(0,r i i ≤≤>><αβ.如果∑==ri i i c 10β,那么适当编号,可设0,,,0,,,121≤≥+r s s c c c c c ,)1(r s ≤≤,令∑∑+==-==rs j j j s i i i c c 11ββγ,证明0=γ.由此推出0=i c )1(r i ≤≤.] 19．设U 是一个正交矩阵.证明:)(i U 的行列式等于1或-1; )(ii U 的特征根的模等于1; )(iii 如果λ是U 的一个特征根,那么λ1也是U 的一个特征根;)(iv U 的伴随矩阵*U 也是正交矩阵.20.设02cos≠θ,且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθcos sin 0sin cos 0001U . 证明,U I +可逆,并且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+--010*******tan ))((1θU I U I21.证明:如果一个上三角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n a a a a a a a a a a A 000000333223221131211是正交矩阵,那么A 一定是对角形矩阵,且主对角线上元素ij a 是1或-1.22．证明:n 维欧氏空间的两个正交变换的乘积是一个正交变换;一个正交变换的逆变换还是一个正交变换.23．设σ是n 维欧氏空间V 的一个正交变换.证明:如果V 的一个子空间W 在σ之下不变,那么W 的正交补⊥W 也在σ下不变.24．设σ是欧氏空间V 到自身的一个映射,对ηξ,有,)(),(ηησξσ=证明σ是V 的一个线性变换,因而是一个正交变换. 25．设U 是一个三阶正交矩阵,且1det =U .证明:)(i U 有一个特征根等于1; )(ii U 的特征多项式有形状1)(23-+-=tx tx x x f这里31≤≤-t .26．设},,,{21n ααα 和},,,{21n βββ 是n 维欧氏空间V 的两个规范正交基.)(i 证明:存在V 的一个正交变换σ,使n i i i ,,2,1,)( ==βασ.)(ii 如果V 的一个正交变换τ使得11)(βατ=,那么)(,),(2n ατατ 所生成的子空间与由n ββ,,2 所生成的子空间重合.27．设σ是n 维欧氏空间V 的一个线性变换.证明,如果σ满足下列三个条件的任意两个,那么它必然满足第三个:)(i σ是正交变换;)(ii σ是对称变换;)(iii ισ=2是单位变换.28．设σ是n 维欧氏空间V 的一个对称变换,且σσ=2.证明,存在V 的一个规范正交基,使得σ关于这个基的矩阵有形状⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00010129．证明:两个对称变换的和还是一个对称变换.两个对称变换的乘积是不是对称变换?找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件.30．n 维欧氏空间V 的一个线性变换σ说是斜对称的,如果对于任意向量V ∈βα,,)(,),(βσβασ-=.证明:)(i 斜对称变换关于V 的任意规范正交基的矩阵都是斜对称的实矩阵(满足条件A A -='的矩阵叫做斜对称矩阵))(ii 反之,如果线性变换σ关于V 的某一规范正交基的矩阵是斜对称的,那么σ一定是斜对称线性变换.)(iii 斜对称实矩阵的特征根或者是零,或者是纯虚数.31．令A 是一个斜对称实矩阵.证明,A I +可逆,并且1))((-+-=A I A I U 是一个正交矩阵.32．对于下列对称矩阵A,各求出一个正交矩阵U,使得AU U '是对角形式:)(i ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=510810228211A ; )(ii ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=114441784817A。
欧几里得空间习题解答
第九章欧几里得空间习题解答P394.1.1(,)'0(""0)'(')'''(,)A A A αααααβαβαβααβαβ∴=≥=⇔====正定非负性证得由矩阵失去,线性性成立,再由(,)=A A 对称性成立，是一个内积()1111161P394.1.2,(06);19,,P394.1.2|(,)|||||(,)|i ijiji j n nnij i ji j n n ij i j i j A a x y c s B a x y εεαεεεαβαβαβ====⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∴≤=∴--≤∑∑∑∑的度量矩阵即为A不等式为|()393.2P ①, α=(2,1,3,2), β=(1,2,-2,1)|||,)0,,2αβαβαβπαβ∴====∴⊥∴=〈〉393.2P ②, α=(1,2,2,3), β=(3,1,5,1)|||6,(,)18(,)(,)arc cos ||||4arc arc αβαβαβπαβαβ=====∴====393.2P ③, α=(1,1,1,2), β=(3,1,-1,0)||||(,)3,arc 700'30''38αβαβαβ===∴==︒〈〉P393. 3||||||αβαβ+≤+(,)|||()()||||(,)(,)d d d αγαγαββγαββγαββγ∴=-=-+-≤-+-+ =P393.4在4R 中求一单位向量与(1,1,-1),(1,-1,1-,1),(2,1,1,3)正交解设所求212341234123412344123(,,,)1,00230111111111111111020001003,2113013100314,0,14i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα==+-+=⎧⎫⎪⎪--+=⎨⎬⎪⎪+++=⎭⎩⎛⎫-⎛⎫⎛⎫--⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--→-→=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭===-=-∑则且与各向量的内积为0得令得,0,1,3),()-单位化393.5P ①证:因为12(,)0, 1.2,,i n i n γαααα==而是一个基11(,)(,)(,)0.0.nni i i i i i k k γγγαγαγ==∴====∑∑因此,必有393.5P ②证，12(,)(,), 1.2,i i i n γαγα==12(,)0, 1.2i i n γγα∴-==由第①小题：12120,γγγγ-==故P393.61231232211(,,)(,,)2123122αααεεε⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭而1232211212,,3122ααα⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭是正交矩阵,所以是标准正交基11212431231212121124512451131212351152124531235393.7,/2(,)1111(22)(,)222221210)22)1()2s P αεεαεεεεεεεβααββαβαβεεεεεεεεβββαββεεεεηεεηεεεεηεεεε==-+=++==-=-=-+-=-+-=--=++-=+=-+-=++-123解:再正交化称:P394.8，解：123452111310014001110101115X X X X X X ⎛⎫ ⎪ ⎪---⎛⎫⎛⎫ ⎪=→= ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭解出：123014115100010001ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Schmidt:1221331022711161151311116222105022130005ββηββηβ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==-=-=++-= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭单位化便得到解空间的标准正交基：123766135εεε⎛⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪⎪⎪⎪====⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭P394.9 11(,)()()f g f x g x d x-=⎰已知2312341,,,x x xαααα====解：111βα==21122111223132321211223434142441234112233111222(,)(,)*2(,)(,)1310(,)(,)232(,)(,)(,)352(,)(,)(,)532(,)2||(,)||3(xdxx xx xx x x αββαβββαβαββαββββββαβαβαββαβββαββββββββββββ--=-=-=--=---=-=---=--=-====⎰又142333116424441218,)()||3945698(,)()||525175x x dxx x x dxββββββ+--=-+===-+==⎰⎰单位化标准正交基312324,1),3)396.17.4133333333133333343313333333313333x x x xPA A Eγγγγ===-=-------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-----⎪ ⎪==⎪ ⎪-----⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭1123443() 4.840Acy Tr A x x λλλλχχ∴===-⇒==-+-=221-秩(A+4E)=1至少为重根,而-(4+4+4)+解(A+4E)x=o,即1111210311111110212003⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得正交基础体系1100单位化为28λ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解(A-8E)x=0.得解取自A+4E的一列3-33-31111121124124'1402812T T AT T AT -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭-⎛⎫- ⎪- ⎪=== ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭-单位化为令则112121211111111395.10.10(,,)(,)(,)0,.(,)(,)0P V V V V V k k k V ββαβαβαβββββαβαβ∈≠∅=+=⇒+∈⎫∀∈∴≤⎬==⇒∈⎭11123123111P395.10.2 0dim 1.,,,(2)(,)dim 1.dim 1.n n V V n V i V i L V V n V n αααααααααααα≠∴∉≤-=∈≥∴≤⇒≥-∴≥-故将扩充为的一个正交基那么.P394，11①设两个基：12,12,,,n n εεεηηη及,它们的度量矩阵分别为A 和B,并设121211122111221212'''221122(,,,)(,,,),,(,,)(,,,)(,,)(,,,),(,)(')'()n n n n n n CV X X Y Y X CX Y CY X BY X AY X C AC Y C AC B ηηηεεεαβαεεηηηβεεηηηαβ=∈=========∴=任设所以合同P394.11②， 取V 的一个基12,,,,n A ααα其度量矩阵为因为A 正交,故存在矩阵C,使12121212',,,,,,',,,n n n n C AC E ηηηαααηηηηηη=C AC=E做基(,)=()C,那么,的度量矩阵为因此,为标准正交基.1212121212121212211111P394.12,,,,(,)(,,)()(,,),,|(,,)|,,,,(,,|0()0|()|||0,m ij i j m ij m mm m m m m m V G G G G G ααααααααααααααααααααααααααααααααα⨯∈==⇔≠⇔>⇔=≠记:，称，为，的Gram 矩阵称，为，的Gram 行列式证明，线性无关，）证:若m=1,线性无关，成立121211,|(,,)|0(,,)(,)(,,)0,0,1,2,.n m mj k k ij k ik k i k k k jk jk ji j k k k jm G A c c a c c i m αααβββββααααααγ=≠≠≠≠>==⇔=⇔==⇔-=∴⇔==∑∑∑∑若而，不妨设，1212(,,,),,,,j k k m k jj k m k jc L ck γαααααααααα≠≠=-∈⇔=⇔∑∑线性相关211212112121222122122222212122123|()|||||||||cos (,),(,)|(,)|(,),(,)||||cos ||||||(1cos )(||||cos )|(,,)|()G G G αααααθααααααααααααθαααθααθααα====-==类似地:平行六面体积P394，13，设：1222000n n n n nn A αααααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭因为A 正交，故A'A=E ，令A=12(,,)n βββ由第1行列，211111,1αα==±由β1与其余各列正交，β1⊥βj （j>1），（β1，βj ）=111100(1)j j a a j α=⇒=>1100A A ±⎛⎫∴= ⎪⎝⎭其中A 1仍为上三角正交矩阵，但阶数少1，故可用归纳法给出证明，且n=1时显然为真，由归纳法原理，证毕。
第九章 欧氏空间习题
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载第九章欧氏空间习题地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容第九章欧氏空间习题一、填空题1．设是一个欧氏空间，，若对任意，都有，则。
2．在维欧氏空间中，向量在标准正交基下的坐标是，那么，。
3．若是一个正交矩阵，则方程组的解为。
4.已知三维欧式空间中有一组基，其度量矩阵为，则向量的长度为。
5.设中的内积为，则在此内积之下的度量矩阵为。
6．设，，，若与正交，则。
7．若欧氏空间在某组基下的度量矩阵为，某向量在此组基下的坐标为,则它的长度为，在此基下向量与向量的夹角为。
8．在欧氏空间中，若线性相关，且，则。
9．是度量阵，则必须满足条件______________。
10．线性空间在不同基下的过渡阵、线性变换在某组基下的矩阵、欧氏空间的度量阵这三类矩阵中，可以为退化阵的是。
11. 在欧氏空间中，向量，，那么=___________，=___________。
12. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________。
13. 已知是一个正交矩阵，那么=__________，＝__________。
14. 已知为阶正交阵，且，则= 。
15. 实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此的。
16.设，则与的夹角。
17.在维欧氏空间中，级矩阵是某个基的度量矩阵的充要条件是。
二、判断题1．在实线性空间中，对向量，，定义，那么构成欧氏空间（）2．在实线性空间中，对于向量，，定义，则构成欧氏空间。
（）3．是欧氏空间的一组基，对于中任意向量，均有，（，分别是在此基下的坐标）），则此基必为标准正交基。
（）4．欧氏空间中的线性变换可以将椭圆映射成圆。
（）5．V与W均欧氏空间且同构，则它们作为线性空间也必同构。
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基本内容 基本解题方法 例题选讲
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1
一、基本内容
1. 基本概念
(1) 内积与欧氏空间概念(4个条件) (2) 向量的长度、距离与夹角
长度： | | (,)
距离： d(,)||
夹角： ,arccos|( |,|)|,0,.
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(4 ) 对 称 变 换 的 属 于 不 同 特 征 值 的 特 征 子 空 间 必 正 交 .
(5 )设 A 是 实 对 称 矩 阵 ,则 R n 中 属 于 A 的 不 同 特 征 值 的 特 征 向 量 必 正 交 .
(6 )设 是 对 称 变 换 ,则 存 在 标 准 正 交 基 ,使
在 这 个 基 下 的 矩 阵 是 对 角 矩 阵 .
矩阵是正交阵.
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9
n 级 实 数 矩 阵 A 是 正 交 矩 阵 A A E .
标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵;
设A (aij ),则A是正交矩阵 1, 当i j,
a1ia1j a2ia2j anianj 0, 当i j. 1, i j
ai1aj1 ai2aj2 ainajn 0, i j A 是 正 交 矩 阵 A 的 列 向 量 组 和 行 向 量 组 都 构 成
R n 的 标 准 正 交 基 .
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10
6. 对称变换与对称矩阵
设是n维欧氏空间V的一个线性变换. 是
对称变换的刻化:
2. 学习欧氏空间,要抓住“内积”这个概念. 内积实际上是定义在线性空间V 上的二元实函数.它满足对称性、线性性、非负性.
注:同一个线性空间对不同的内积,所作成的欧氏空间一般是不同的.
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13
3.对有限维欧氏空间的讨论,标准正交基是核心,在标准正交基下,向量的度 量性质显得较为简单.
n
(3) | |
xi 2
i 1
(4) , arccos
n
xi yi
i1
n
n
xi2
yi2
i1
i1
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7
n
(5) d() (xi yi)2 i1
4. 标准正交基的存在性与正交化方法
设 1 ,2 ， ,n 是 一 组 基 . 正 交 化 过 程 如 下 :
1) 对,V,((),)(,()); 2) 是对称变换在标准正交基下的矩阵
是对称矩阵.
主要结论:
(1) 对称变换的特征值都是实数.
(2) 实对称矩阵的特征值都是实数.
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11
(3 ) 对 称 变 换 的 属 于 不 同 特 征 值 的 特 征 向 量 必 正 交 .
3
(4) 标准正交基
由两两正交的单位向量组成的基.
(5) 正交子空间
V 1 V 1 ,恒 有 (,) 0 ,
V 1 V 2 V 1 , V 2 , 恒 有 (,) 0 ,
W 的 正 交 补 ： W {| V 且 (,W )0 }
(6) 欧氏空间的同构
V W W
1
1 |1
|1
m
m 1 m 1 ( m 1 , i ) i
i1
m 1
1 | m1
| m1
(m1,2, ,n1)
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8
5. 正交变换与正交矩阵
设 是n维欧氏空间V的一个线性变换. 是正
交变换的刻化 :
1) 对 , V , ( ( ), ( )) ( , ); 2) 对 V , 都有 | ( ) || |; 3) 设1,2 , ,n是V的标准正交基, 是正交 变换 (1 ), ( 2 ), , ( n )也是V的标准正交基; 4) 是正交变换 在任意标准正交基下的
基 1 ,2 , ,n 的 度 量 矩 阵
(1,1) (1,2)
A(
aij
)nn
(2,1)
(2,2)
(n,1) (n,2)
(1,n) (2,n)
(n,n)
与 的 内 积 可 用 矩 阵 表 示 :
(,)XAY
其 中 X和 Y分 别 是 与 在 基 1,2, ,n下 的 坐 标 .
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(7 ) 对 n 级 实 对 称 阵 A , 都 存 在 n 级 正 交 矩 阵 T ，
使 T A T T 1 A T 为 对 角 阵 .
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12
二、基本解题方法
1. 欧氏空间是一个实数域上的线性空间, 对于线性空间的一些基本概念,比如 向量的线性相关性、基、维数、坐标、子空间以及有关性质,对欧氏空间都适用.
等 号 成 立 ,线 性 相 关 .
关于标准正交基, 有:
(4) 正交向量组是线性无关的.
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5
(5)1,2, ,n是 标 准 正 交 基 的 (i,j) 1 0,,当 当 ii jj (i,j1,2, ,n)
即 :1 ,2 , ,n 是 标 准 正 交 基 的 是 它 的 度
量 矩 阵 是 单 位 矩 阵 .
3. 标准正交基下基本度量的表达式
设 1,2, ,n是 欧 氏 空 间 V的 一 个 标 准 正 交 基 ,
n
n
xii, yii,
i1
i1
则
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6
( 1 )x i (,i),( i 1 ,2 , ,n )
n
(2) (,) xi yi i1
4.用正交化方法求标准正交基,可以从一组基出发,先正交化,得正交基,再 单位化(即正交化与单位化分开进行).也可以在正交化过程中的每一步,将所得 的向量单位化(即标准化).
5.利用线性变换与矩阵的密切关系、内积、标准正交基来研究欧氏空间中 的两类重要的线性变换-正交变换和对称变换.
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同构映射保持运算(加法、数乘、内积)
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4
2. 基本性质
设V为欧氏空间,对于V的内积,有:
( 1 )对 于 V ,(,) 0 0 .
s
t
st
(2)( kii, ljj) kilj(i,j).
i1
j1
i1j1
(3)(,)2(,)(,).即 |(,)| ||||.