异方差与自相关问题

a
与 b 。 a 与 b 的线性相关系数，称为
q
z
的等级相关系数 。
(ai a )(bi b ) rs (ai a ) 2 (bi b ) 2
6 (ai bi ) 2 rs 1 n(n 2 1)
§5.2
等级相关检验
异方差问题
(ａ) 完成模型的OLS估计，获取残差数据
X 11 f ( X j1 ) X 12 f ( X j2 ) X 1n f ( X jn )

X k1 f ( X j1 ) X k2 f ( X j2 ) X kn f ( X jn )
~ Y
Y f (X j )
~ Xi
Xi f (X j )
1 1 1
X 11 X 12 X 1n

Y1 X k 1 f ( X j1 ) Y2 X k2 f ( X j2 ) Y n X kn f ( X jn )
1 f ( X j1 ) 1 f ( X j2 ) 1 f ( X jn )
第五章
异方差与自相关问题
除了本章讨论所涉及的同方差性与不自相关性以外，
关于线性回归模型的其它假定在本章中都成立。 ——广义最小平方估计； ——异方差模型及其估计； ——自相关模型及其估计； ——异方差模型、自相关模型的预测。
§5.1
广义最小平方法
同方差且不自相关
cov(U ) 2 I cov(U ) 2
ei ；
(ｂ) 选择可能与异方差有关的解释变量 rs ( j )，计算变量 X j与变
量
e 的等级相关系数
(ｃ) 计算统计量
X
j
；
；
1 rs2 ( j ) （ｄ）T j 近似服从自由度为n 2 的 t 分布。根据显著性水平
2

2
Tj
rs ( j ) n 2

及自由度 n 2，查取 t 分布临界值 t 。如果 T j t ，则判定
（一）异方差概念
异方差问题
var(U i ) EU i2 i
2
i2
(i 1,2,, n)不全相同
var(Yi ) var(U i )
异方差概念理解 （二）异方差的检测
U i Yi ( 0 1 X 1i k X ki )
ˆ ˆ X ˆ X ) ei Yi ( 0 1 1i k ki
2 n ）的观测值。再对模型中的其余变量，以 c 4
的观测值，并使剩余的
ei2
A
A
ei2
B
2 F e i （ｃ）构造统计量
ei2或 F ei2 ei2 ； B
B A
（d）根据显著性水平 ，以及双自由度 n c (k 1) ，查取 F 分布临 界值 F 。若经比较 F F ，则接受模型存在单调形式的异方差，否 则拒绝异方差。
对于与具有较小方差相应的残差，给以较大的权数，使其在确定回 归函数时，起较为重要的作用。或者说使回归函数主要参照那些对应 较小方差的样本点而被决定。
§5.3
（二）参数
异方差模型的估计
1 d1 P 1 dn
d i 的估计

散点图（ X , e ji i
） e f (X j) V
e 0 1 X j
1 e 0 1 X j
几种常见的可供参考的函数形式：
e 0 1 X j
取 d 为函数 f ( X j ) 中的可变部分 ： X j
1 X j
Xj
§5.3
异方差模型的估计
（三）异方差模型的广义最小平方估计
Y1 Y2 Y n
三个所谓协方差矩阵
（ａ）OLS估计 ˆ 的协方差矩阵
ˆ ) 2 ( X X ) 1 X X ( X X ) 1 cov(
（ｂ）广义最小平方估计
的协方差矩阵
~
cov( ) 2 ( X 1 X )1
（ｃ）伪协方差矩阵
~
2 ( X X ) 1
§5.2
1. 图示法
( X ji , Yi )
( X ji , ei )
§5.2
2. 等级相关检验 :
设变量
异方差问题
等级相关系数
q
}
i 1, , n
按照某种性能，同方向分别指定各观测值的等级：
{ai , bi }
并由此产生等级变量 与
i 1, , n
ˆ 0.5160 0.0668 X Y
模型存在单调形式的异方差，否则拒绝异方差。
§5.2
3. F 检验
异方差问题
（ａ）选择可能与异方差有关的解释变量 X j 。将 X j的样本观测值由小到
大进行排列，然后从这一排列的中心删去约 n c
两个子列具有相同数目（
的观测值序号为准，进行相应的删与留，形成Ａ、Ｂ两个子样本； （ｂ）两个子样本分别进行OLS估计，获取两个残差平方和：
2
§5.3
异方差模型的估计
（一）广义最小平方估计对于异方差模型的意义
1 2 d 1 1 2 dn
1

~ 1 ~ 1 2 ~ ~~ ~ ~~ (Y X ) (Y X ) (Y X ) (Y X ) 2 ei di
PP I
异方差或自相关
正定
（~）
Y X U

~ ~ ~ Y X U
——（~）模型满足关于线性回归模型的全部基本假定，（~）模型
的普通最小平方估计将给出系数 的线性无偏最小方差估计。
( X 1 X ) 1 X 1Y
~
§5.1
广义最小平方法
~ X0
1 f (X j )
i 1, , k
~ ~ ~ ~ ~ Y 0 X 0 1 X 1 k X k U
§5.3
异方差模型的估计
（四）异方差模型示例5.1 设 Y 表示商场利润总额，X表示商场销售收入。北京市20家最大 的百货商店的销售资料 ,商场按照销售收入规模从大到小排序。