《随堂优化训练》九年级数学 第一章 4 角平分线 第1课时角平分线的性质与判定配套课件 北师大版

图 1－4－2
证明：过点 P 作 PM⊥AB 于 M，PN⊥CD 于 N，如图 10. 1 1 因为 S△PAB＝2AB· PM, S△PCD＝2CD· PN，
而 S△PAB＝S△PCD，AB＝CD，所以 PM＝PN. 所以 OP 平分∠AOD(角平分线的判定定理)．
图 10
用尺规作角的平分线 已知：∠AOB(如图 1－4－3)． 求作：射线 OC，使∠AOC＝∠BOC.
证明：如图 11，过 P 作 PN⊥AE，PM⊥BC，PF⊥AD.
图 11 ∵BP、CP 分别是△ABC 的外角平分线． ∴PM＝PN，PM＝PF.∴PN＝PF. 又∵PN⊥AE，PF⊥AD，∴AP 平分∠BAC.
4．角平分线
第 1 课时 角平分线的性质与判定
角平分线的性质定理(重点)
相等 ． 角平分线上的点到这个角的两边的距离________ 如图1－4－1， 条件：①OP平分∠AOB；②HM⊥OA，HN⊥OB. 结论：HM＝HN.
图 1－4－1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ随堂小练
1．两条小河相交成一个三角区，土壤肥沃，气候宜人，小 猪看中了这块宝地，想在这里建一个小房子，并使房子到两条 小河的距离相等，但它不知该如何选址，你能帮帮它吗？
图 1－4－3
作法： ①在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD＝OE； 1 ②分别以点D、E为圆心，大于__________ 的长为半径作 2DE 弧，在∠AOB内，两弧交于点C； ③作射线OC，则OC就是所求的射线．
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3．如图1－4－4，在直线MN上求作一点P，使点P到 ∠AOB的两边的距离相等(写出作法)．
图 1－4－4
略 点拨：作∠AOB的角平分线，它与MN的交点即为所 求作的点．
利用定理判定角平分线 【例题】如图1－4－5，BP、CP分别是△ABC的外角平 分线且相交于点P.求证：AP平分∠BAC.
图 1－4－5
思路点拨：过 P 作 PN⊥AE 于 N，PM⊥BC 于 M，PF⊥AD 于 F，证明 PN＝PM＝PF.
解：如图9，作∠AOB的角平分线OP，小猪建房建在OP
上任一点都能满足房子到两条小河距离相等．
图9
角平分线性质定理的逆定理(难点) 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角 平分线 上． 的________
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2．如图1－4－2，已知AB＝CD，△PAB的面积与△PCD 的面积相等．求证：OP平分∠AOD.