4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法
第四章高阶线性微分方程
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an 1 (t ) an (t ) x 0 (4.2) n dt dt dt 定理2 （叠加原理）如果 x1 (t ), x2 (t ), , xk (t ) 是方程（4.2）
的k个解，则它们的线性组合
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) ck xk (t )
t 2 x1 (t ) 0
1 t 0 0 t 1
0 x2 (t ) 2 t
1 t 0 0 t 1
15
t 2 x1 (t ) 0
1 t 0 0 t 1
t2 2t W x1 (t ), x2 (t ) 0 0
n 阶线性微分方程一般形式：
(n)
)0
d nx d n1 x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
其中 ai (t )(i 1,2,, n) 及f (t )是区间 a t b 上的连续函数。
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an1 (t ) an (t ) x 0 n dt dt dt
齐次线性微分方程。
(4.2)
称它为 n 阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为 n 阶非
7
d nx d n1 x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
0 0 0 t2 0 2t
0 x2 (t ) 2 t
1 t 0 0 t 1
1 t 0 0 t 1
常微分课后答案第四章
第四章 高阶微分方程§4.1 线性微分方程的一般理论习题4．11．设)(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上的连续函数，证明：若在区间[]b a ,上有≠)()(t y t x 常数或≠)()(t x t y 常数，则)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．（提示：用反证法） 证明 )(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上线性相关，则存在不全为0的常数21,c c 使得0)()(21≡+t y c t x c ，[]b a t ,∈，若)0(,021≠≠c c 或得12)()(c c t y t x -≡（或21)()(c c t x t y -≡）[]b a t ,∈∀成立。
与假设矛盾，故)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．2．证明非齐次线性方程的叠加原理：设)(1t x ，)(2t x 分别是非齐次线性方程)()()(1111t f x t a dt xd t a dt x d n n n n n =+++-- （1） )()()(2111t f x t a dtxd t a dt x d n n n nn =+++-- （2） 的解，则)()(21t x t x +是方程)()()()(21111t f t f x t a dtxd t a dt x d n n n n n +=+++-- （3） 的解．证明 因为)(1t x ，)(2t x 分别是方程（1）、（2）的解，所以)()()(1111111t f x t a dt x d t a dt x d n n n n n =+++-- ， )()()(2212112t f x t a dtx d t a dt x d n n n nn =+++-- ， 二式相加得，)()())(()()()(21211211121t f t f x x t a dt x x d t a dt x x d n n n n n +=++++++-- ，即)()(21t x t x +是方程（3）的解．3.（1）．试验证022=-x dt x d 的基本解组为tt e e -,，并求方程t x dtx d cos 22=-的通解。
微分方程的级数解法
微分方程的级数解法微分方程是数学中的一门重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
在微分方程的解法中，级数解法是一种常见且有效的方法。
本文将介绍微分方程的级数解法，并通过具体的例子来说明其应用。
一、级数解法的基本思想级数解法是通过将微分方程的解表示为级数形式，然后利用级数的性质来求解微分方程。
其基本思想是将未知函数表示为幂级数的形式，然后将其代入微分方程中，通过比较系数的方法确定级数的各项。
二、级数解法的步骤级数解法的步骤可以概括为以下几个方面：1. 假设未知函数的级数解形式，通常选择幂级数形式，如y(x)=∑(n=0)^(∞)a_n(x-x_0)^n。
2. 将级数解代入微分方程中，得到方程的各项。
3. 比较方程两边各项的系数，得到递推关系式。
4. 解递推关系式，确定级数解中的各项系数。
5. 根据级数解的收敛性，确定级数解的有效区间。
三、例子：求解二阶常系数线性齐次微分方程考虑一个二阶常系数线性齐次微分方程：y''(x)+ay'(x)+by(x)=0，其中a、b为常数。
假设未知函数的级数解形式为y(x)=∑(n=0)^(∞) a_nx^n。
将级数解代入微分方程中，得到：∑(n=0)^(∞) a_n(n(n-1)x^(n-2)+anx^(n-1)+bx^n)=0。
比较方程两边各项的系数，得到递推关系式：a_0=0，a_1=0，(n(n-1)a_n+a(n+1)a_(n+1)+ba_n)=0。
解递推关系式，确定级数解中的各项系数：由a_0=0可知，a_n=0(n≥0)。
根据递推关系式，可得：a_2=-ba_0/(2(2-1))=-b/2，a_3=-ba_1/(3(3-1))=0，a_4=-ba_2/(4(4-1))=b^2/(2*4)，...根据级数解的收敛性，确定级数解的有效区间：根据级数解的收敛性定理，级数解的有效区间至少包含级数展开点x=0。
因此，级数解的有效区间为整个实数集。
高阶方程的降阶法和幂级数解法
y c1e
x
( 2)
1 dt t
c1t
x
( 4)
c1t
x
( 3)
c1 2 t c2 2
c1 3 c1 4 c2 2 t c 2 t c3 x t t c3t c4 24 2 6
5 3 2
9
t c2 t c3 t c4 t c5 x c1
7
2014-2-21
常微分方程-重庆科技学院-李可人
§4.3 Step-down Order Method and Series Method
特别，对于二阶方程
F (t , x, x) 0
x y,
x y
F (t , y, y) 0
y (t, c1 )
x (t , c1 )
2014-2-21 常微分方程-重庆科技学院-李可人
§4.3 Step-down Order Method and Series Method
2)不显含自变量
t 的方程
(4.59)
可降低一阶
( n) F ( x, x ,, x ) 0
方法
x y d d dy dx dy x ( x) y y dt dt dx dt dx
y xk y an2 x xk y 2 xk
a1
x
(n)
x
( n1)
(n)
xk y
( n1)
y xk y nxk
2014-2-21
( n 1)
n(n 1) (n) ( n2) xk y xk y 16 2
xk
( n2)
高阶线性微分方程的解法
高阶线性微分方程的解法实变量复值函数——预备知识常系数线性方程的解法求变系数齐线性方程特解的幂级数法要存在注意极限 ,) sin (cos )(t i t e e t t i b b a b a ±=± , )(21 t i t i e e t b b b -+=. )(21 sin t i t i e e t b b b --=; )()(lim 00t z t z t t =®)()()(t i t t z y j +=; )(lim )(lim )(lim 000t i t t z t t t t t t y j ®®®+=连续，若在0)(t t z 实变量复值函数——预备知识导数定义：; )()(lim )()(0000000dtt d i dt t d t t t z t z dt t dz t z t t )(+)(=--=º¢®y j,)()()]()([2121dt t dz dt t dz t z t z ＋=+,)()](dt t dz c t cz =.)()()()()]()(212121dt t dz t z t z dt t dz t z t ××=×＋,t k t k e =,)(2121t k t k t k k e e e ×=+,)3( t k tk ke .)( )4( tk n t k n n e k e dt d =的性质)( b i a k t k +=.(4.2)中所有系数都是),,2,1( )(n i t a i L =)()()( t i t t z x y j +==是它的复值解，则.)2.4( )( )(的解都是方程和共轭复值函数t z t y 非齐线性微分方程有复值解)( )(][ t V i t U x L +=、及解中的和这里)( )()(),,2,1( )(t u t 、V t U n i t a i L =分别是方程和虚部的实部都是实值函数，则该解)()( t v t u 的实)(t z , ))(][t U x L =)(][t V x L =和的解.变换法. 求常系数齐线性方程通解的特征根法(4.19)0][1111 =++++º---x a dtdx a dt x d a dt x d x n n n n n n L .,,2为实常数n a L 由希望它有指数函数形式的解,t e x l =, 0)( )(][111=º++++º--t t n n n n t e F ea a a e L l l l l l l l L 数方程(4.20) 0)(111 =++++º--n n n n a a a F l l l l L . 这个方程称为(4.19)对应的特征根.特征方程,它的根称为特征根是单根的情形.个解有 (4.19)n 个彼此不相等的的是特征方程 (4.20) ,,,21 n n l l L ,,,, 21t t t n e e e l l l L 无关的，从而组成方程的基本解组. 这时，若的通解为均为实根，方程(4.19)),,2,1(n i L =; 2121tn t t n e c e c e c x l l l +++=L 复也一定是特征根，则( b a l b a l i i -=+=)，它们对应方程(4.19)的两个实值解.sin ,cos t e t e t t b b a a 特征根有重根的情形.111(4.19)(4.20) k k 的重根，则它对应的是特征方程设 l 线性无关的解;,,,,1111112t k t t t e t e t te e l l l l -L;,,, ,,,3232m m k k k L L 的重数依次为l l l 则当 , )( , ),,,2,1 21j i n k k k n j i m ¹¹=+++l l L L 还有解;,,,,2222212t k t t t e te t te e l l l l -L .,,,,12tk t t t m m m m m e t e t te e l l l l -L L L L L n 个解, 是线性无关的, 构成了(4.19)的基本解组.b a l b a l l i i k -=+=则重复根是某个特征根,我们将用以下的2k 个实值解来替代：,cos ,,cos ,cos ,cos 12t e tt e t t te t e t k t t t b b b b a a a a -L . sin ,,sin ,sin ,sin 12 t e t t e t t te t e tk t t t b b b b a a a a -L. 0 44的通解=-x dtx d ,014=-l ., , 1, 14321i i -==-==l l l l .sin, cos , , t t e e t t -了4 个线性无关的解，故通解为.sin cos 4321t c t c e c e c x t t +++=-. 012167223的通解=-+x dtdx dt x d 出特征方程, 01216723=+－－l l l,0)1(2222246=+=++l l l l l , 0)2)(3(2=--l l ，2, 3321===l l l .)(23231t t e t c c e c x ++=. 02 224466的通解=++dt x d dt x d dt x d ., ,0654321i i -======l l l l l l 通解为.sin )(cos )(654321t t c c t t c c t c c x ++++=＋(4.32) )(]1111t f x a dtdx a dt x d a dt x d n n n n n n =++++º---L 最广泛而常见的右端函数是,]sin )(cos )([)( t t B t t A e t f t b b a +=次的实系数多项式，最高是t t B t A )(),(代数方程(4.20)仍然称为(4.32)对应的特征，)( )()(1110 m m m m t t b t b t b t b e t A e t f ++++==--L a a 时，即0=b 1.是单根的根时它的重数是特征方程a l a (0)(=F 是待定常数，将上是特征根m B B B k ,,, );0 10L =t 的同次项系数来确定.,]sin )(cos )([~ t k e t t Q t t P t x a b b +=),( ;0)(t P F i 的根时它的重数 是特征方程=+l b a .次实系数待定多项式. 13322的通解+=--t x dtdx dt 应的特征方程是, 0)1)(3( 0322=+-=--l l l l 或有形如下式的特解时，方程(4.32)0有如下形式的特解,)(~ 110t m m m k e B t B t B t x a +++=-L,0 13)( =+=b ，对应一般形式中的t t f ，故特解形式为不是特征根，因此00==k a .~Bt A x +=,13332+º---t Bt A B 系数，得îíì=--=-,132, 33A B B 特解为 ; 1 , 31-==B , 31~t x -=原方程通解为.31231+-+=-t e c e c x t t 的通解是因此对应的齐线性方程.1,321-==l l .231t t e c e c x -+=. 32 2的通解t e x dtdt -=--对应一，这里特征方程，特征根同上 ,)( t e t f -=确定正是单根，所以而, 11 , 1 , 0=-=-==k a a b .~ t Ate x -=一步，其余略.. )5(332233的通解-=+++-t e x dtdx dt x d dt x d t 特征方程为,0)1(133323=+=+++l l l l 形正是这三重根，故特解三重根 1; 1321-=-===a l l l ,)(~3 t e Bt A t x -+=其余步骤略.. 2cos 44 2的通解＋t x dtdt =+一特征方程为,0)2(4422=+=++l l l ，对应一般形右端函数 t t f 2cos )( , 2 21=-==l l 而; 0)(, 1)( , 2 ,ºº=t B t A b ii 2=+b a .故特解形式为2sin 2cos ~t B t A x +=化简得2sin 82cos 8t A t B º-从而特解是 同类项系数，得. 81,0==B A , 2sin 81~t x =.2sin 81)(221t e t c c x t ++=-二因为右端函数)Re(2cos )(2it e t t f ==的结论，先求方程itex dt dx dt x d 22244 =+＋再取其实部，就是原方程的解.不是特征根，故对应的右端函数i e it 22=a ,~2it Ae x =，得方程并消去因子 it e 2 , 8 18iA iA -==或为. 2sin 812cos 88~2t t i e i x it +-=-=原方程的实特解为{}, 2sin 81~Re t x =. 2sin 81)(221t e t c c x t ++=-。
4.3高阶微分方程的降价和幂级数解法
F (t, x(k) , x(k1) , , x(n) ) 0 (4.57)
解题步骤: 第一步: 令x(k) y,则方程化为
F (t, y, y', , y(nk) ) 0
第二步: 即
求以上方程的通解
y (t, c1, , cnk ) x(k) (t, c1, , cnk )
第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解
练习题：
谢谢观看！ 2020
§4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法
一、可降阶的一些方程类型
n阶微分方程的一般形式: F (t, x, x', , x(n) ) 0
1、 不显含未知函数 x
或更一般不显含未知函数及其直到 k 1 (k 1)
阶导数的方程：
F (t, x(k) , x(k1) , , x(n) ) 0 (4.57)
第三步: 解方程
dx dt
(x, c1,
, cn1)
即得原方程的通解。
例2
求方程x
d2x dt 2
( dx)2 dt
0的通解.
解：令 dx y,并以x作为新的自变量,
dt
则方程化为 xy dy y2 0
从而可得
dx y 0, 及
dy dx
y, x
这两方程的全部解是 y c1x,
再代回原来变量得到
2、 不显含自变量t的方程 一般形式:
F (x, x', , x(n) ) 0,
解题步骤:
(4.59)
第一步: 令y x',并以y为新的未知函数, x为新的 自变量,原方程化为
G(x,
y,
dy dx
,
,
d (n1) y dx(n1)
第四章 高阶微分方程 常微分方程课件 高教社 王高雄教材配套ppt
5/8/2021
第四章
10
x1
t 2 , 0,
1 t 0 0t 1
注 仅对函数而言 线性相关时W(t)≡0的
逆定理一般不成立。
例 函数
和
x1
t 2 , 0,
x2
0,
t
2
,
1 t 0 0t 1
1 t 0 0t 1
在区间-1≤t≤1上有W[x1(t),x2(t)]≡0 ,但却线性无 关。
证 5/8/2021 用反证法证。
第四章
12
(续)定理4 齐次线性微分方程的线性 无关解的伏朗斯基行列式恒不为零
dn x dtn
a1(t)
dn1 x d t n1
an1 (t )
d d
x t
an
(t ) x
0
证 用反证法证。设有t0 (a≤t0≤b) 使得W(t0)=0，则t = t0时 的 (6)、(7)组成的n个齐次线性代数方程组有非零解 c1 ,c2 ,…,cn。 根椐叠加原理，函数 x(t)=c1x1(t)+ c2x2(t)+…+ cnxn(t) 是方程(2)的解，
第四章
13
定理5 齐次线性方程(2)的基本 解组必存在且其伏朗斯基行列式 恒不为零。
证 根据定理1，线性 方程(2)的满足初值 条件:
的解x1(t),x2(t),…,xn(t)必 存在，且有
x1
(t0
)
1,
x1'
(t0
)
0,
x2
(t0
)
0,
x2'
(t0
)
1,
xn
(t0
)
0,
xn'
高阶微分方程求解
* 将 y , ( y ) , ( y ) 代入原方程比较系数得 * *
1 1 a , b , 6 2
[(C0 C1 x C k 1 x k 1 ) cos x ( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x ]e x
若是k重共轭 复根 j
4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x )
二阶常系数非齐次线性方程
y c1 cos x c2 sin x x
例4 设 f (x) 具有连续的二阶导数试确定f (x) 使曲线积分
( 常数) 与路径无关 解 由曲线积分与路径无关的条件得
f ( x ) e x 2 f ( x ) f ( x )
即
x f ( x) 2 f ( x) f ( x) e
1 x f ( x ) (c1 c2 x )e e ( 1)2
x
例5
解
1 求解方程 y 2 y y ( x cos 2 x ). 2 2 r 4 0, 特征方程
特征根
r1, 2 2i ,
对应的齐方的通解为 Y C1 cos 2 x C2 sin 2 x .
(1) ( 2) 设 y x k e x [ Rm ( x ) cos x Rm ( x ) sin x ],
m maxl , n 其中 R ( x ), R ( x )是m次多项式，
(1) m ( 2) m
; 0 j不是特征方程的根时 k . 1 j是特征方程的单根时
高阶微分方程的解法
描述经济系统的动态变化 分析经济政策的传导机制 预测经济周期和通货膨胀 研究市场供需关系和价格形成机制
物理：高阶微分 方程可以用来描 述各种物理现象， 如振动、波动、 电磁场等。
工程：高阶微分 方程在许多工程 领域都有应用， 如机械、航空航 天、电子等。
经济：高阶微分 方程可以用来描 述经济系统的动 态变化，如预测 股票价格、分析 市场供需等。
使用方法：通过输入数学公式和命令，可以快速得到问题的解决方案，操作简单方便。
Mathematica：提供符号计算、数值计算和图形可视化等功能，适用于高阶微分方程求解。 Maple：拥有强大的符号计算能力，支持高阶微分方程的符号求解和可视化。 Matlab：除了矩阵计算外，还具备符号计算功能，可以求解高阶微分方程。 Maxima：开源的符号计算软件，适用于高阶微分方程的符号求解和证明。
生物：高阶微分 方程在生物学中 也有应用，如描 述生态系统中的 种群动态、分析 生物体内的生理 过程等。
PART FIVE
MATL AB是一款强大的数学计算软 件，可用于求解高阶微分方程。
MATL AB/Simulink支持多种求解 器，可根据不同的方程类型选择合 适的求解方法。
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汇报人：XX
PART TWO
适用范围：常微 分方程中，当方 程中只有一个变 量时，可以考虑 使用分离变量法。
解题步骤：将方 程中的变量分离 到等号的两边， 然后对两边同时 积分，得到解的 表达式。
注意事项：在使 用分离变量法时， 需要注意初始条 件和边界条件， 以确保解的正确 性和完整性。
举例说明：例如， 对于一阶常微分 方程 dy/dx = y， 通过分离变量法 可以得到解为 y = Ce^x。
常微分方程高阶方程解法
常微分方程高阶方程解法常微分方程是描述变量关系的数学方程。
常微分方程可以分为一阶方程和高阶方程两种形式。
一阶方程是指方程中最高阶导数的阶数为一阶，高阶方程则是指方程中最高阶导数的阶数高于一阶。
高阶常微分方程解法较为复杂，需要借助一些特定的方法和技巧。
下面将介绍几种常见的高阶常微分方程解法。
1.常系数线性齐次方程的解法：齐次方程是指方程中没有出现自变量的项，且系数是常数的方程。
对于常系数线性齐次方程：a_n*y^n + a_(n-1)*y^(n-1) + ... + a_0*y = 0可以使用特征根法来求解。
假设y=e^(rx)是方程的解，代入方程可得：a_n*r^n*e^(rx) + a_(n-1)*r^(n-1)*e^(rx) + ... + a_0*e^(rx) = 0化简得到特征方程：a_n*r^n + a_(n-1)*r^(n-1) + ... + a_0 = 0解特征方程得到方程的特征根r1, r2, ..., rn，则方程的通解为：y = C1*e^(r1x) + C2*e^(r2x) + ... + Cn*e^(rnx)其中，C1, C2, ..., Cn为任意常数。
2.可降阶的高阶常微分方程的解法：可降阶的高阶常微分方程是指可以通过变量代换和符号分解等方法将高阶方程转化为一阶方程的形式。
例如，对于二阶常系数线性非齐次方程：a_2*y'' + a_1*y' + a_0*y = f(x)可以通过令z=y'代换变量，得到一阶常系数线性非齐次方程：a_2*z' + a_1*z + a_0*y = f(x)这样，高阶方程就转化为了一阶方程，可以采用一阶方程的解法来求解。
解出z后再求一次积分即可得到y的解。
3.常微分方程的级数解法：对于某些高阶常微分方程，可以采用级数展开的方法得到解的近似表达式。
假设方程的解可以表示为幂级数的形式：y = ∑(n=0 to ∞) a_n*x^n将该表达式代入方程，逐次求出各个系数a_n，即可得到解的级数表达式。
第4章_第8节_高阶微分方程的降阶法
y c1 x 5 c2 x 3 c3 x 2 c4 x c5 .
例2
求解方程： y( 2 y x ) 1.
解 令 p y，则原方程化为： dp (2 p x) 1 dx dx 即 x 2 p 关于x 的线性方程 dp 由常数变易公式，或常系数线性方程的解法，
事实上，若存在常数 C1 , C2 , , Ck 1 ，使
C1 p1 ( x ) C2 p2 ( x ) Ck 1 pk 1 ( x ) 0, x I
yk 1 ( x ) y1 ( x ) y2 ( x ) 即 C1[ ] C2[ ] Ck 1[ ] 0, yk ( x ) yk ( x ) yk ( x )
其中C1，C2为任意常数，C2 0.
例4
r
设 u u( r )具有连续的二阶导数，
x 2 y 2 . 若 u u( x 2 y 2 )满足： 2u 2u 2 y2 x x 2 y 2
求 u u( x 2 y 2 ).
解
x u r u( r ) u( r ) x x x 2 y2 u r y u( r ) u( r ) y y x 2 y2
xy 3 y xy y 0 1 的特解 y ，求此方程的通解. x 解 令 y 1 z，则 x 1 1 1 x y ( z 2 z )( x ) z z x x x 1 2 2 3 6 6 3 y ( z 2 z 3 z ) 3 z 2 z 3 z x x x x x x 1 3 6 6 3 6 6 x y ( z 2 z 3 z 4 z ) x z z 2 z 3 z x x x x x x x
常微分方程43高阶微分方程的降阶和幂级数解法
x' xky' xk' y x'' xky'' 2xk ' y' xk ''y
(4.70)
第三步: 令 c 1 0 ,c 2 = 1 得 与 x 1 线 性 无 关 一 个 解 :
第四步:
x2 x1 x112ep(t)dtdt,
(4.69)的通解为
xx1[c1c2 x 1 1 2ep(t)dtdt],
这 里 c1,c2是 任 常 数 .
(4.70)
( 不 失 一 般 性 , 可 设 x 0 0 )
常微分方程
定理10 若 方 程 ( 4 . 7 2 ) 中 系 数 p ( x ) 和 q ( x ) 都 可 展 成 x 的
幂 级 数 , 且 收 敛 区 间 为 x R ,则 方 程 (4 .7 2 )有 形 如
y= anxn,
(4.73)
且 z i (x x k i) ',i 1 ,2 , ,k 1 是 ( 4 .6 7 ) 的 k 1 个 线 性 无 关 的 解
事实上 由 x 1 ,x 2 ,,x k 1 为 ( 4 . 2 ) 的 解 及 以 上 变 换 知 ,
2019/11/11
z
( x xk
)'或常x微分方x程k
将这些表达式代入(4.59)可得:
F(x,y,ydy,y(dy)2y2d2y, )0 dx dx dx2
高阶微分方程的求解
微分方程是数学中一类重要的方程，它描述了变量之间的变化关系。
在实际问题中，许多物理、化学、生物等领域的问题都可以转化为微分方程来描述。
而高阶微分方程是其中一类更加复杂的微分方程，它包含了二阶、三阶甚至更高次数的导数。
高阶微分方程的求解需要掌握一系列的技巧和方法。
首先，最基本的方法是分离变量法。
这种方法适用于可以通过对方程两边同时积分来解出的微分方程。
其次，我们可以使用换元法来将一个高阶微分方程转化为一阶方程组，然后利用常微分方程的解法来求解。
此外，可以使用特殊函数的性质和解法来求解一些常见的高阶微分方程，例如Bessel函数、Legendre函数等。
在实际问题中，高阶微分方程的求解常常需要借助于一些特殊的数学技巧和工具。
例如，线性高阶微分方程可以通过特征方程的求解来得到其通解。
特征方程是通过将高阶微分方程转化为代数方程，并求解其根来得到的。
而对于非线性高阶微分方程，可能需要借助于变量的代换或者适当的变换来简化问题，从而求得其解。
高阶微分方程的求解往往需要运用到微分方程的基本理论和技巧。
我们需要了解微分方程的分类、性质和解法，掌握一些常用的变换和技巧，并且需要能够合理的选择适合问题的求解方法。
此外，数值解法也是高阶微分方程求解中重要的手段。
通过将微分方程转化为差分方程，可以使用数值计算方法来求得近似解。
为了更好地解决高阶微分方程的求解问题，我们需要不断拓展和深化我们的数学知识，不仅仅局限于微分方程的基本理论和技巧。
我们可以学习更多高级的数学方法和工具，例如变分法、分式行列式和复变函数等。
同时，了解一些实际问题中常见的高阶微分方程，了解其特性和求解思路，可以帮助我们更快更准确地求解问题。
总之，高阶微分方程的求解是数学中一个重要的课题，也是实际问题求解的关键。
通过学习和掌握微分方程的基本理论和解法，运用数学工具和技巧，我们可以有效地解决高阶微分方程的求解问题，并应用于实际问题的解决中。
这些方法和技巧的应用不仅在学术研究中有着重要的意义，也对于推动科学技术的发展有着重要的促进作用。
常微分方程(王高雄)第三版 4.3ppt课件
.
1
一、可降阶的一些方程类型
n阶微分方程的一般形式: F(t,x,x',,x(n))0
1 不显含未知函数x,
或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k>1)阶导数的方程是
F (t,x (k ),x (k 1 ), ,x (n )) 0 (4 .5)7
若令 x(k) y,则可把方 y的 程 nk化 阶为 方程
y,
则方程化为
dy1 y 0
dt t
这是一阶方程,其通解为 yct,
即有
d 4x dt 4 ct ,
对上式积分4次, 得原方程的通解为
x c 1 t5 c 2 t3 c 3 t2 c 4 t c 5 ,
.
4
2 不显含自变量t的方程,
一般形式:
F (x,x', ,x(n))0 , (4 .5)9
此时 y以 x'作为新的,而 未x把 知 作函 为数 新的 ,
代入(4.69)得
x'' x1y'' 2x1 'y' x1 ''y
x 1 y '' [ 2 x 1 ' p ( t ) x 1 ] y ' [ x 1 '' p ( t ) x 1 ' q ( t ) x 1 ] y 0
即
x1y''[2x1 ' p(t)x1]y' 0
.
9
引入新的未知函数 z y ' , x1 y'' [2x1' p(t)x1]y' 0
显 然 xi 0 ,i1 ,2 ,L,k,令xxky,则 x' xky' xk' y
常微分方程教案(王高雄)第四章
目录第四章高阶微分方程 0内容提要及其它 (1)4.1 线性微分方程的一般理论 (2)4.1.1 引言 (2)4.1.2 齐线性方程的解的性质与结构 (3)4.1.3 非齐线性方程与常数变易法 (4)4.2 常系数线性方程的解法 (7)4.2.1 复值函数和复值解 (7)4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程 (9)1、常系数齐线性方程 (9)2、欧拉（Euler）待定指数函数法 (9)3、应用 (14)4、欧拉方程 (15)4.2.3 非齐次线性方程：比较系数法和拉普拉斯变换法——求特解 (17)1. 比较系数法 (17)2. 拉普拉斯变换法 (22)4.2.4 质点振动 (25)1. 无阻尼自由振动 (25)2. 有阻尼自由振动 (26)3. 无阻尼强迫振动 (27)4. 有阻尼强迫振动 (29)4.3高阶方程的降阶和幂级数解法 (31)4.3.1可降阶的一些方程类型 (31)1.方程不显含未知函数x (31)t2.方程不显含自变量的方程 (32)3.齐线性方程 (34)4.3.2二阶线性方程的幂级数解法 (35)4.4.3 第二宇宙速度计算 (39)本章小结及其它 (41)第四章高阶微分方程内容提要及其它授课题目（章、节）第四章：高阶微分方程教材及主要参考书（注明页数）教材：常微分方程（第三版），王高雄等，高等教育出版社，2006年,p120-185主要参考书[1]常微分方程，东北师范大学微分方程教研室编，高等教育出版社，2005，p164-223[2]高等代数，北京大学数学力学系几何与代数教研室代数小组编，人民教育出版社，1978，p102-156[3]常微分方程习题解，庄万主编，山东科学技术出版社，2003，p225-383[4]差分方程和常微分方程，阮炯编著，复旦大学出版社，2002，p149-164目的与要求掌握线性微分方程的解的性质和通解结构．掌握常系数齐次线性微分方程的解法和欧拉方程的解法．掌握常数变易法、比较系数法求特解．理解高阶常微分方程的降阶解法的思想，掌握二阶常微分方程的降阶解法．了解二阶齐线性微分方程的幂级数解法的思想．教学内容与时间安排、教学方法、教学手段教学内容第1节线性微分方程的一般理论；第2节常系数线性微分方程的解法；第3节高阶微分方程的降阶和幂级数解法时间安排：12学时教学方法：讲解方法教学手段：传统教学方法与多媒体教学相结合．教学重点分析方法上的重点：常数变易法、特征根法和比较系数法．内容上的重点：线性微分方程解的结构理论是一个重点，它是求解高阶线性微分方程的理论基础，并从理论上给出了高阶线性微分方程求解的一般方法．另一个重点是常系数线性微分方程的解法，它把微分方程求解问题转化为一个代数问题进行讨论．教学难点分析方法上的难点：常数变易法、特征根法和比较系数法．内容上的难点：第一个难点是非齐次线性微分方程的常数变易法，主要是学生理解上有一定难度，没有从理论上理解为何要构造这样一个方程组，从而求解．另一个难点是常系数线性微分方程的解法，因为把求解微分方程的问题转化为了一个代数方程来讨论，而代数方程的讨论相对来说要直观容易一些．在前面的讨论中已经看出，在实际问题中除了已讨论的一阶微分方程外，还将遇到一些其它类型的非一阶的微分方程，即高阶微分方程．而在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅因为线性微分方程的一般理论已被研究得十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术中也有着广泛的应用．所以本章着重讨论线性微分方程的基本理论和常系数微分方程的解法，对于高阶微分方程的降阶问题和二阶线性方程的幂级数解法也作适当地介绍和讨论．4.1 线性微分方程的一般理论4.1.1 引言如下的n 线性阶微分方程)()()()(1111t f x t a dt dx t a dtx d t a dt x d n n n n n n =++++−−−L （4.1） 其中b t a t f n i t a i ≤≤=都是区间及)(),,2,1)((L 上的连续函数．如果，则方程（4.1）变为0)(≡t f 0)()()(1111=++++−−−x t a dt dx t a dt x d t a dt x d n n n n n n L （4.2） 定义：（n 阶齐次线性微分方程，或齐线性方程）称（4.2）为n 阶齐线性微分方程，简称为齐线性方程定义：（n 阶非齐次线性微分方程，或非齐线性方程）而一般的方程（4.1）称为n 阶非齐线性微分方程，或简称为非齐线性方程，并且通常把方程（4.2）叫做对应于方程（4.1）的齐线性方程．对于高阶微分方程，同一阶微分方程一样，也存在着解的存在性和唯一性问题，即在什么条件下，高阶微分方程有解和唯一解．为此，先给出方程（4.1）的解存在唯一性定理． 定理 1 如果b t a t f n i t a i ≤≤=都是区间及)(),,2,1)((L 上的连续函数，则对于任一及任意的，方程（4.1）存在唯一解],[0b a t ∈)1(0)2(0)1(00,,,−n x x x x L )(t x ϕ=，定义在区间上，且满足初始条件：b x a ≤≤1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t d t t x x x dt dtϕϕϕ−−−===L （4.3） 证明（略，具体在下一章讨论．）注释；初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有()(1,2,,)i a t i n =L 及()f t 连续的整个区间上有定义．a tb ≤≤4.1.2 齐线性方程的解的性质与结构定理2（叠加原理）如果是方程（4.2）的k 个解，则它们的线性组合也是（4.2）的解，这里是任意常数． )(,),(),(21t x t x t x k L )()()(2211t x c t x c t x c k k +++L k c c c ,,,21L 证明：（详细过程略），基本思想：利用导数的性质进行简单的运算即可证明原命题．特别地，当k =n 时，即方程（4.2）有解)()()(2211t x c t x c t x c x n n +++=L （4.4）它含有n 个任意常数，现在问：在什么条件下，表达式（4.4）能构成为n 阶齐次线性方程（4.2）的通解？它将具有什么特性？为了讨论的方便，先引进基本概念：函数线性相关与线性无关及伏朗斯基（Wronsky ）行列式．考虑定义在区间上的函数，如果存在不全为零的常数使得恒等式b t a ≤≤)(,),(),(21t x t x t x k L kc c c ,,,21L 0)()()(2211≡+++t x c t x c t x c k k L对于所有都成立，则称这些函数是线性相关的，否则就称这些函数在所给区间上线性无关的．],[b a t ∈例：函数在任何区间上都是线性无关的；但函数在任何区间上都是线性相关的．又如函数在任何区间上都是线性无关的，因为恒等式t t sin cos 和1sin cos 22−t t 和nt t t ,,,,12L 02210≡++++n n t c t c t c c L （4.5）仅当所有时才成立．如果至少有一个),,2,1(0n i c i L ==0≠i c ，则（4.5）的的左端是一个不高于n 次的多项式，它最多可有n 个不同的根．因此，它在所考虑的区间上不能多于n 个零点，更不可能恒为零．由定义在区间],[b a t ∈上的k 个可微k-1次的函数所作成的行列式 )(,),(),(21t x t x t x k L )()()()()(')()()()()()](,),(),([)1()1(2)1(1'2'12121t x t x t x t x t x t x t x t x t x t W t x t x t x W k k k k k k k −−−≡≡L LL L L L L L 称为这些函数的伏朗斯基（Wronsky ）行列式．定理3 若函数在区间)(,),(),(21t x t x t x n L ],[b a t ∈上k-1次可微且线性相关，则在[a,b]上它们的伏朗斯基（Wronsky ）行列式为零，即有：0)(≡t W证明：（除教材上p123的证明方法外，还可以用反证法．注：该定理的逆命题不一定成立．构造函数如下，得到说明：)(),(21t x t x ⎩⎨⎧≤≤<≤−=10001)(21t t t t x 和． ⎩⎨⎧≤≤<≤−=10010)(22t t t t x 定理4如果方程（2）的解在区间)(,),(),(21t x t x t x n L ],[b a t ∈上线性无关，则在[,的任何点上都不等于零，即有：)](,),(),([21t x t x t x W k L ]a b )(0)(b t a t W ≤≤≠．证明：（反证方法）．定理5 n 阶奇线性方程（4.2）一定存在n 个线性无关的解．定理6（通解结构定理） 如果是方程（4.2）的n 个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为：)(,),(),(21t x t x t x n L )()()(2211t x c t x c t x c x n n +++=L （4.11）其中是任意常数．且通解（4.11）包括了方程（4.2）的所有解．n c c c ,,,21L 推论：方程（4.2）的线性无关解的最大个数等于n ．因此有：n 阶齐线性方程的所有解构成一个n 维线性空间．方程（4.2）的一组n 个线性无关解称为方程的一个基本解组，显然，基本解组不唯一．4.1.3 非齐线性方程与常数变易法知道了齐线性方程通解的结构，很容易得到非齐线性高阶微分方程的通解结构了． 考虑n 阶非齐线性方程（4.1）)()()()(1111t f x t a dt dx t a dt x d t a dt x d n n n n n n =++++−−−L （4.1） 易见方程（4.2）是它的特殊情形，仿照一阶非齐线性微分方程的解法，两者之间解的性质和结构有着十分密切的联系．性质 1 如果)(t x 是方程（4.1）的解，而是方程（4.2）的解，则也)(t x )()(t x t x +是方程（4.1）的解．性质2 方程（4.1）的任意两个解之差必为方程（4.2）的解．定理7 设为方程（4.2）的基本解组，而)(,),(),(21t x t x t x n L )(t x 是方程（4.1）的某一个解，则方程（4.1）的通解可表为)()()()(2211t x t x c t x c t x c x n n ++++=L （4.14）其中为任意常数，而且这个通解（4.14）包括了方程（1）的所有解．n c c c ,,,21L 证明：（略，仿定理6）根据性质1易知（14）是（4.1）的解，它包含n 个任意常数，可以证明这些常数是相互独立的，因此，它是方程（4.1）的通解．现设是方程（4.1）的任一解，则由性质2，)(~t x )()(~t x t x −是方程（4.2）的解，根据定理6，必有一组确定的常数，使得n c c c ,,,21L )(~)(~)(~)()(~2211t x c t x c t x c t x t x nn +++=−L 即)()(~)(~)(~)(~2211t x t x c t x c t x c t x nn ++++=L 这就是说，方程（4.1）的任一解可以由（4.14）表出，其中为相应的确定常数．由于地任意性，这就证明了通解表达式（14）包括了（4.1）的所有．定理7告诉我们要求一个非齐线性方程的解，只需要先求出对应的齐线性方程的一个基本解组，然后再求非齐线性方程的一个特解，然后按照定理7就可以写出非齐线性方程的通解．通过分析，特别是一阶微分方程的求解方法，进一步还可以指出，只要知道对应齐线性方程的基本解组就可以利用常数变易方法求得非齐线性方程的解．例1 求方程tx x cos 1"=+的通解，已知它的对应齐线性方程的基本解组为：． t t sin ,cos 解：（常数变易方法）．步骤：第一步，求对应齐线性方程的一个基本解组；已知对应齐线性方程的一个基本解组为：．t t sin ,cos 第二步，用常数变易法求非齐线性方程的通解．令：t t c t t c x sin )(cos )(21+=将它代入原方程，则可得有关的方程组：)(')('21t c t c 和⎪⎩⎪⎨⎧=+−=+t t tc t c t t t c t t c cos 1)('cos )('sin 0sin )('cos )('2121 解得：1)(',cos sin )('21=−=t c tt t c 由此 2211)(,cos ln )(r t t c r t t c +=+=然后求解得原方程的解t t t t t r t r x sin cos ln cos sin cos 21+++=其中是任意常数．21,r r例2 求方程于域2'"t x tx =−0≠t 上的所有解．解：第一步，求对应齐线性方程的基本解组．对应的齐线性方程为0'"=−x tx容易直接积分求得它的基本解组．事实上，将这个齐线性方程改写为tx x 1'"= 积分即得．所以At x ='B At x +=221，这里A ，B 为任意常数．易见有基本解组．为应用上面的结论（标准的非齐线性方程），也将原方程改写为：2,1t t x t x =−'1" 第二步，把原方程变为标准的非齐线性方程的形式．令：221)()(t t c t c x +=代入原方程有：0)(')('221=+t t c t c 及t t c t =)('22于是2221)(k t t c +=和13161)(k t t c +−= 故原方程的通解为 322131t t k k x ++=． 这里是任意常数．由定理知这个解包括了方程的所有解．作业：P131：2、3、4、5、64.2 常系数线性方程的解法通过前面的学习和讨论，关于线性微分方程的通解的结构问题，从理论上说，可以认为已经是完全解决了．但是，求方程通解的方法还没有具体给出．事实上，对于一般的线性微分方程是没有普遍的解法的．这里将介绍求解问题能够彻底解决的一类方程——常系数线性微分方程及可以化为这一类型的方程．同时将看到，为了求得常系数齐次线性方程的通解，只须解一个代数方程而不必通过积分运算．对于某些特殊的非齐线性方程也可以通过代数运算和微分运算求得它的通解．注：1、本节的内容可以用于解决实际问题：质点振动问题；2、在介绍求解方法时需要用到实变量的复值函数和复指数函数．4.2.1 复值函数和复值解如果对于区间中的每一实数t ，有复数b t a ≤≤)()()(t i t t z φϕ+=与它对应，其中)(t ϕ和)(t φ是在区间上定义的实函数，i 是虚单位，就说在区间b t a ≤≤上给定了一个复值函数．如果实函数)(t z )(t ϕ,)(t φ当趋于时有极限，就称复值函数当趋于时有极限，并且定义t 0t )(lim )(lim )(lim 000t i t t z t t t t t t φϕ→→→+= 如果，就称在连续．显然，在连续相当于)()(lim 00t z t z t t =→)(t z 0t )(t z 0t )(t ϕ，)(t φ在连续．当在区间上每一点都连续时，就称在区间0t )(t z b t a ≤≤)(t z b t a ≤≤上连续．如果极限00)()(lim 0t t t z t z t t −−→存在，就称在有导数（可微），且记此极限为)(t z 0t dtt dz )(0或者．显然在处有导数相当于)('0t z )(t z 0t )(t ϕ，)(t φ在处有导数，且0t dtt d i dt t d dt t dz )()()(000φ+ϕ= 如果在区间)(t z b t a ≤≤上每点都有导数，就称在区间)(t z b t a ≤≤上有导数，对于高阶导数可以类似地定义．设是定义在上的可微函数，c 是复值常数，容易证明下列等式成立（复值函数的微分运算性质）：)(,)(21t z t z b t a ≤≤dtt dz t z t z dt t dz t z t z dt dz dtt dz c t z c dt dz dtt dz dt t dz t z t z dt dz )()()()()]()([)()]([)()()]()([212121112121⋅+⋅=⋅=⋅+=+ 在讨论常系数线性方程时，函数将起着非常重要的作用，这里是t K e K 复值常数．下面讨论它的定义，并且讨论其一些性质．设是任一复数，而是实变量，于是定义：β+α=i K t )sin (cos )(t i t e e e t t i t K β+β==αβ+α于是有)(21sin )(21cos t i t i t i t i e e i t e e t β−ββ−β−=β+=β 如果以β−α=i K 表示复数K 的共轭复数，那么有：−=−t K Kt e e函数有下面的重要性质．t K e zt K t K t K K e e e 2121)(=+z Kt tK Ke dtde =，其中是实变量． t zKt n t K ne K e dt d =)( 定理8 如果方程（4.2）中所有系数),,2,1)((n i t a i L =都是实值函数，而)()()(t i t t z x φ+ϕ==是方程（4.2）的复值解，则的实部)(t z )(t ϕ、虚部和共轭复值函数)(t φ)t z 也是方程（4.2）的解．定理9 若方程)()()()()(1111t iv t u x t a dt dx t a dtx d t a dt x d n n n n n n +=++++−−−L 有复值解，这里)()(t iV t U x +=),,2,1)((n i t a i L =及都是实值函数，那么这个解的实部和虚部分别是)(),(t v t u )(t U )(t V )()()()(1111t u x t a dt dx t a dtx d t a dt x d n n n n n n =++++−−−L 和)()()()(1111t v x t a dt dx t a dtx d t a dt x d n n n n n n =++++−−−L 的解．4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程1、常系数齐线性方程若齐线性方程（4.2）的所有系数都是常数，即原方程可以写为如下形式：0][1111=++++=−−−x a dt dx a dtx d a dt x d x L n n n n n n L （4.15） 其中是常数．此时，称（4.15）为n 阶常系数齐线性方程．),,2,1(n i a i L =2、欧拉（Euler ）待定指数函数法通过前面的一阶常系数齐线性方程的解的指数形式可以启示，对于n 阶齐线性方程是否也有类似形式的解．于是用试探法讨论n 阶齐线性方程（4.15）的解，假设形如t a ce t e x λ= （4.16）其中是待定常数，可以是实数，也可以是复数．λ注意到：tt n n n n tnt n n t n n t n te F e a a a e a dt de a dt e d a dt e d e L λλ−−λλ−−λ−λλλ≡+λ++λ+λ=++++≡)()(][1111111L L 其中是n n n n a a a F +λ++λ+λ≡λ−−111)(L λ的n 次多项式．易知（4.16）为方程（4.15）的解的充要条件是：是代数方程λ0)(111=+λ++λ+λ≡λ−−n n n n a a a F L （4.17）的根．因此，方程（4.17）将起着预示方程（4.15）的解的特性的作用，被称为（4.15）的特征方程，它的根被称为特征根．于是，下面根据特征根的情况分别进行讨论（由代数知识知道，特征方程的根由两种情况：单根、重根）． z 特征根是单实根的情形设是特征方程（4.17）的n 个彼此不相等等根，则相应地方程（4.16）有如下n 个解：n λλλ,,,21L t t t n e e e λλλ,,,21L （4.18）可以证明这n 个解在区间b t a ≤≤上线性无关，从而组成方程（4.15）的基本解组．事实上，此时，有1121121)(1121121111][1212121−−−λ++λλ−λ−λ−λλλλλλλλλλλλ=λλλλλλ≡n n n n nttn n tn t n tn t t t tt n n n n e e e ee e e e e e t W L L L L L L L L L L L L L LL而最后一个行列式是著名的范德蒙（Vandermonde ）行列式，它等于．由于假设，故此行列式不等于零，从而∏≤<≤λ−λni j j i1)()(j i j i ≠λ≠λ0][≠x W ，于是解组（4.18）线性无关，这就是所要证明的．如果均为实数，则（4.18）是方程（4.15）的n 个线性无关的实值解，而方程（4.15）的通解可表示为),,2,1(n i i L =λt n t t n e c e c e c x λλλ+++=L 2121其中为任意常数．n c c c ,,,21L 例1 求方程0452244=+−x dtxd dt x d 的通解．解：（单根的情形）．特征方程为：0454=+λ−λ由此得到特征根：2,2,1,14321=λ−=λ=λ−=λ，其对应的基本解组为：t t t t e x e x e x e x 242321,,,====−−故通解为：t t t t e c e c e c e c x 242321+++=−−．如果特征根有单复根的情形),,2,1(n i i L =λ如果特征根有复根，则因方程的系数是实常数，由代数学基本定理，复根将成对共轭的出现．设β+α=λi 1是一特征根，则β−α=λi 2也是特征根，因而与对共轭复根对应的，方程（15）有两个复值解)sin (cos )sin (cos )()(t i t e et i t e e tti t t i β−β=β+β=αβ−ααβ+α根据定理8，它们的实部和虚部也是方程的解．这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根，可求得方程（4.15）的两个实值解：β±α=λi t e t e t t ββααsin ,cos此时，方程（4.15）的基本解组为：t t t tn e e t e t e λλααββ,,,sin ,cos 3L 例2 求方程的通解010'18"156)3()4(=+−+−y y y y y解：（单复根的情形）．特征方程为：010********=+λ−λ+λ−λ由此得到特征根：i i i i −=λ+=λ−=λ+=λ2,2,1,14321，其对应的基本解组为：x e y x e y x e y x e y x x x x sin ,cos ,sin ,cos 242321====故通解为：)sin cos ()sin cos (43221x c x c e x c x c e y x x +++=．z 特征根是重根的情形设特征方程有k 重根，则由代数学知识有1λ=λ0)(,0)()(')(11)1(11≠λ=λ==λ=λ−k k F F F F L先设，即特征方程有因子，于是01=λk λ011====+−−k n n n a a a L也就是特征方程的形状为011=λ++λ+λ−−k k n n n a a L而对应的方程（4.15）变为0111=+++−−−k k k n n n n n dtxd a dt x d a dt x d L 易见它有个解，而且它们是线性无关的，这样一来，特征方程的k 重零根就对应于方程（4.15）的个线性无关的解．k 12,,,,1−k tt t L k 12,,,,1−k tt t L 如果这个k 重根，作变换，注意到0≠λtyex 1λ=]!2)1([)(1)2(21)1(1)()()(11y y m m y m y e ye x m m m m t m t m λ++λ−+λ+==−−λλL 可得t t n n n n n n te y L e y b dtdyb dt y d b dt y d ye L 121][)(][11111λλ−−−λ=++++=L于是方程（4.15）化为0][11111=++++≡−−−y b dt dyb dty d b dt y d y L n n n n n n L （4.19）其中仍为常数，而相应的特征方程为n b b b ,,,21L 0)(111=+μ++μ+μ≡μ−−n n n n b b b G L （4.20）直接计算易得t t t t t e G e e L e L e F )(1)()(11111)()()()(λ+μλμλ+μλ+μμ===λ+μ因此)()(1μ=λ+μG F从而)()()(1)(μ=λ+μj j G F可见（4.17）的根对应于（20）的根1λ=λ01=μ=μ，而且重数相同，这样，问题就化为前面已经讨论过的情形了．因为，方程（4.20）的重根1k 01=μ对应于方程（4.19）的个解，因而对应于特征方程（4.17）的重根1k 121,,,,1−=k t t t y L 1k 1λ，方程（4.15）有个解：1k t k t t t e t e t te e 11111,,,2λλλλL （4.21）同样，假设特征方程（4.17）其它根m λλλ,,,32L 重数依次为（单根相当于），而且1;,,,32≥i m k k k k L j λ1=j k i j m n k k k λ≠λ=+++,32L （当i j ≠），则方程（4.15）对应地有解：⎪⎩⎪⎨⎧λ−λλλλ−λλλt k t t t tk t t t m m m m m et e t te e e t e t te e 1212,,,,,,,,22222L LL L L L L L （4.22） 下面要证明（4.21）和（4.22）全体n 个解构成方程（4.15）的基本解组． 假若这些函数线性相关，则有0)()(2)(11)(1)(1)(01≡≡+++∑∑=λ−λ=λ−−mr t r mr tk r k r r r r r r e t P et At A AL （4.23）其中是常数，不全为零．不是一般性，假定多项式至少有一个系数不等于零，即．将恒等式（4.23）除以，然后对t 微分次，得到)(r j A )(t P m 0)(≠t P m t e 1λ1k 0)(2)(1≡∑=λ−λmr trr et Q （4.24）其中，为次数低于 的次数的多项式．因此，与次数相同，且)()()()(11t S t P t Q r r kr r +λ−λ≡)(t S r )(t P r )(t Q r )(t P r 0)(≠t Q m ．恒等式（4.24）与（4.23）类似，但项数减少了．如果对（4.24）施行同上的手续（这时除以而微分次），于是有项数更少的类似的恒等式（4.23）．如此继续下去，经过m-1次后，得到恒等式：te)(12λ−λ0)()(1≡−λ−λt m m m e t R这是不可能的，因为与有相同的次数，且)(t R m )(t P m 0)(≠t R m ．事实上，不难直接计算得到)()()()()()(121121t W t P t R m m k m m k m k m m m +λ−λλ−λλ−λ≡−−L其中是次数低于的次数的多项式．)(t W m )(t P m 于是证明了（4.21）和（4.22）全部个解线性无关，从而构成了（4.15）的基本解组． n 对于特征方程有复重根的情况，譬如假设β+α=λi 是k 重特征根，则β−α=λi 也是k 重特征根，仿1一样处理，将得到方程（4.15）的2k 个实值解：te tt e t t t e t e t e t t e t t t e t e tk tttt k t t t ββββββββα−αααα−αααsin ,,sin ,sin ,sin cos ,,cos ,cos ,cos 1212L L3、应用例3 求方程044=−x dtxd 的通解解：（单根的情形）．例4 求方程033=+x dtxd 的通解解：（单根、有复根的情形）．例5 求方程0332233=−+−x dt dx dtx d dt x d 的通解解：（重根的情形）．例6 求方程022244=++x dtxd dt x d 的通解解：（复重根的情形）． 特征方程为：01224=+λ+λ由此得到特征根：是2重根，其对应的基本解组为：i ±=λ21、t t x t x t t x t x sin ,sin ,cos ,cos 4321====故通解为：t t c c t t c c x sin )(cos )(4321+++=．4、欧拉方程定义：形如011111=++++−−−−y a dx dy x a dx y d x a dx y d x n n n n n n n n nL （4.25） 的方程被称为欧拉方程．其中),,2,1(n i a i L =是常数．此方程可以简单的变换变为常系数齐线性方程，因而求解问题很容易解决．事实上，引进变换：x t e x t ln ,==经计算得到：dtdy e dx dt dt dy dx dy t−== ()(22222dtdy dt y d edt dy e dt d e dx y d t t t −==−−− 用数学归纳法不难证明：对一切自然数k 均有关系式：(1111dt dy dt y d dt y d e dx y d k k k k kkt k k −−−−β++β+=L 其中都是常数．于是11,,−ββk Ldt dydty d dt y d dx y d x k k k k k k k k1111−−−β++β+=L 将上述关系式代入方程（4.25），就得到常系数齐线性方程11110n n n n n n d y d y dyb b b dt dt dt−−−++++L y = （4.26） 其中都是常数，因而可用上述讨论的方法求出（4.26）的通解，再带回原来的变量（注意：11,,−k b b L x t ln =）就可以求得方程（4.25）的通解．由上述推演过程，知道方程（4.26）有形如的解，从而方程（4.25）有形如的解，因此可以直接求欧拉方程的形如的解．以代入（4.25）并约去因子，就得到确定te y λ=λ=xy Kx y =Kx y =K x K 的代数方程：0)2()1()1()1(1=+++−−++−−n a n K K K a n K K K L L L （4.27）可以证明这正是（4.26）的特征方程．因此，方程（27）的m 重实根，对应于方程（4.25）的m 个解0K K =x x x x x x x m K K K K 12ln ,,ln ,ln ,0000−L而方程（27）的m 重复根β+α=i K ，对应于方程（4.25）的2m 个实值解)ln sin(ln,),ln sin(ln ),ln sin()ln cos(ln ,),ln cos(ln ),ln cos(11x x x x x x x x x x x x x x x x m m ββββββ−ααα−αααL L ．例5 求解方程0222=+−y dx dyx dxy d x 解： 寻找方程的形式解，得到确定Kx y =K 的代数方程：或，，因此方程的通解为01)1(=+−−K K K 0)1(2=−K 121==K K x x c c y )ln (21+=其中是任意常数．21,c c4.2.3 非齐次线性方程：比较系数法和拉普拉斯变换法——求特解现在讨论常系数非齐线性方程)(][1111t f x a dt dx a dtx d a dt x d x L n n n n n n =++++=−−−L （4.28）的求解问题．其中是常数，而为连续函数．),,2,1(n i a i L =)(t f 其实，方程（4.28）的求解问题已经解决，因为在前面已经解决了（4.1）的求解问题，即比（4.28）更一般的微分方程（4.1）的通解问题是这样解决的：（常数变易法）用先求出对应齐线性方程（4.2）的一个基本解组，然后找出（4.1）的某一个解，根据前面的定理7就可以写出（4.1）的通解．于是也就完成了（4.28）的求解问题，只是用常数变易法来求解，求解步骤比较繁琐，并且要用到积分运算．（注：大家必须掌握常数变易法求解高阶微分方程，因为它带有普遍性．）但是，在解决实际问题时，往往要解决一些比较简单的微分方程，即带有特殊形式的微分方程，为此，在这里，我们介绍两种常用的比较系数法和拉普拉斯变换法，它们的共同特点是不需要通过积分而用代数运算方法即可求得非齐线性方程的特解．这个方法的特点：比较简单，把求解微分方程的问题转化为某一个代数问题来处理．1. 比较系数法类型Ⅰ设，其中t m m m m e b t b t b t b t f λ−−++++=)()(1110L λ及),,2,1(m i b i L =为实常数，那么方程（28）有形如t m m m m k e B t B t B t B t x λ−−++++=)(~1110L （4.29）的特解，其中k 为特征方程0)(=λF 的根λ的重数（单根相当于1=k ；当不是特征根时，取），而是待定常数，可以通过比较系数来确定． λ0=k m B B B ,,,10L ①如果，则此时，0=λm m m m b t b t b t b t f ++++=−−1110)(L现在再分两种情形讨论z 在不是特征根的情形，即0=λ0)0(≠F ，因而0≠n a ，这时，取，以0=k m m m m B t B t B t B x ++++=−−1110~L 代入方程（4.28），并比较t 的同次幂的系数，得到常数必须满足的方程：m m B B B B ,,,,110−L ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=−+−+=+−−−mn m n n n n n n b a B b a B m m b a B m a B b a mB a B b a B L L L 2200112110100)1()1( （4.30） 注意到，这些待定常数可以从方程（30）唯一地逐个确定出来． 0≠n a m m B B B B ,,,,110−L z 在是特征根的情形，即，也就是0=λ0)0(,0)0()0(')0()1(≠====−k k F FF F 而L 0,011≠====−+−−k n k n n n a a a a L ，这时相应地，方程（28）将为)(111t f dtxd a dt x d a dt x d k k k n n n n n =+++−−−L （4.31） k k dtxd z =，则方程（4.31）化为)(111t f z a dtzd a dt z d k n k n k n k n k n =+++−−−−−−−L （4.32） 对方程（4.32）来说，由于0,0=λ≠−k n a 已不是它的特征根．因此，由前一种情况，它有形如的特解，因而方程（31）有特解m m m mB t B t B t B z ~~~~~1110++++=−−L x ~满足：m m m m kk B t B t B t B z dtx d ~~~~~~1110++++==−−L 这表明x ~是t 的次多项式，其中的幂次k m +t 1−≤k 的项带有任意常数．但因只需要知道一个特解就够了．特别地取这些任意常数均为零，于是得到方程（4.31）（或方程（4.28））的一个特解)(~1110m m m m k t t t t x γ+γ++γ+γ=−−L这里m m γγγγ−,,,,110L 是已确定了的常数．②如果，则此时可象前面的讨论一样，作变量变换，将方程（4.28）化为0≠λtye x λ=m m n n n n n n b t b y A dt dyA dty d A dt y d ++=++++−−−L L 01111 （4.33） 其中都是常数．而且特征方程（4.17）的根n n A A A ,,,11−L λ对应于方程（4.33）的特征方程的零根，并且重数也相同．因此，利用上面的结果就有下面的结论：在不是特征方程（4.17）的根的情形，方程（4.33）有特解λm m m B t B t B y +++=−L 110~，从而方程（28）有特解t m m m e B t B t B x λ−+++=)(~110L在是特征方程（4.17）的重根的情形，方程（4.33）有特解λk )(~110m m m k B t B t B t y +++=−L ，从而方程（4.28）有特解t m m m k e B t B t B t x λ−+++=)(~110L例7 求方程133222+=−−t x dt dxdtdx 的通解． 解：先求对应的齐线性方程03222=−−x dt dxdtdx 的通解．这里特征方程有两个根0322=−λ−λ1,321−=λ=λ．因此，通解为：，其中为任意常数，再求非齐线性方程的一个特解．这里t t e c e c x −+=23121,c c 13)(+=t t f 0=λ，并且不是特征根，故可取特解形如Bt A x +=~，其中为待定常数．为了确定，将B A ,B A ,Bt A x +=~代入原方程，得到 13332+=−−−t Bt A B比较系数得⎩⎨⎧=−−=−13233A B B 由此得到1,31−==B A ，从而t x −=31~，因此，原方程的通解为 31231+−+=−t e c e c x t t例8 求方程t e x dt dxdtdx −=−−3222的通解． 解：从例7知道对应的齐线性方程的通解为：，其中为任意常数，这里，因为t te c ec x −+=23121,c c te tf −=)(1,321−=λ=λ刚好是特征方程的单根，故有特解形如，将它代入原方程得到，从而，t Ate x −=~t t e Ae −−=−441−=A ，于是，t te x −−=41~，因此，原方程的通解为t t t te e c e c x −−−+=41231类型Ⅱ设，其中te t t B t t A tf αβ+β=]sin )(cos )([)(βα,为常数，而是带实系数的t 的多项式，其中一个的次数为，而另一个的次数不超过，那么有如下结论：方程（28）有形如)(),(t B t A m m t k e t t Q t t P t x αβ+β=]sin )(cos )([~ （4.34）的特解，这里为特征方程k 0)(=λF （4.21）的根β+αi 的重数，而均为待定的带实系数的次数不高于的t 的多项式，可以通过比较系数的方法来确定．)(),(t Q t P m 事实上，分析类型Ⅰ的讨论过程，容易知道，当不是实数，而是复数时，有关结论仍然成立．现将表为指数形式)(t f ti t i et iB t A e t iB t A t f )()(2)()(2)()()(β−αβ+α++−=根据非齐线性方程的叠加原理，方程t i e t iB t A t f x L )(12)()()(][β−α+≡=与ti et iB t A t f x L )(22)()()(][β+α−≡= 的解之和必为方程（4.28）的解．注意到)()(21t f t f =，易知，若为1x )(][1t f x L =的解，则1x 必为的解．因此，直接利用类型Ⅰ的结果，可知方程（4.28）有解形如)(][2t f x L =t k k t i k t i k e t t Q t t t P t e t D t e t D t x αβ+αβ−αβ+β=+=]sin )(cos )([)()(~)()(其中为的的m 次多项式，而)(t D t )}(Im{2)()},(Re{2)(t D t Q t D t P ==．显然为带实系数的的多项式，其次数不高于m ．可见上述结论成立．)(),(t Q t P t 例9 求方程t x dt dx dtdx 2cos 4422=++的通解解：先求对应的齐线性方程04422=++x dt dxdt dx的通解．这里特征方程有重根0442=+λ+λ221−=λ=λ．因此，通解为：t e t c c x 221)(−+=其中为任意常数，再求非齐线性方程的一个特解．因为21,c c i 2±不是特征根，求形如t B t A x 2sin 2cos ~+=的特解，将它代入原方程并化简得到t t A t B 2cos 2sin 82cos 8=−比较同类项的系数得81,0==B A ，于是，t x 2sin 81~=，因此原方程的通解为t e t c c x t 2sin 81)(221++=−附注：类型Ⅱ的特殊情形t e t B t f t et A t f t tβ=β=ααsin )()(cos )()(或可用另一种简便方法求解：复数法求解． 例10 用复数法求解例9解：由例9已知对应齐线性方程的通解为t e t c c x 221)(−+=为求非齐线性方程的一个特解，先求方程ite x dt dx dtdx 22244=++ 的特解．这属于类型Ⅰ，而不是特征根，故可设特解为i 2it Ae x 2~=将它代入方程并消去因子得it e 218=iA ，因而，8iA −=，t t i e i x it 2sin 812cos 88~2+−=−=，t x 2sin 81}~Re{=由定理9这是原方程的特解，于是原方程的通解为t e t c c x t 2sin 81)(221++=−2. 拉普拉斯变换法常系数线性微分方程（组）还可以应用拉普拉斯变换法进行求解，有时显得比较简单． 拉普拉斯变换：由积分∫∞−=0)()(dt t f e s F st所定义的确定于复平面σ>s Re 上的复变数的函数，称为函数的拉普拉斯变换，其中于有定义，且满足不等式s )(s F )(t f )(t f 0≥t t Me t f σ<)(这里为某两个正常数，将称为原函数，而称为象函数．σ,M )(t f )(s F 拉普拉斯变换法主要目的是借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程（组）转换为复变数的代数方程（组），通过一些代数运算，一般地再利用拉普拉斯变换表，即可求出微分方程（组）的 解．虽然这种方法简单，但是有一定的局限性．而对有关拉普拉斯变换的基本概念和基本性质在附录1 中有介绍．设给定微分方程)(][1111t f x a dt dx a dtx d a dt x d x L n n n n n n =++++=−−−L （4.28）及初始条件。
高阶微分方程的降阶法PPT课件
y( dy )2 y2 d 2 y ,
dx
d x2
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用数学归纳法易得:
x ( k )可用y,
dy ,, dx
d (k 1) y dx(k 1)
(k
n)来表示
将这些表达式代入(4.49)可得:
G(
x,
y,
dy dx
,,
d (n1) y d x( n 1)
)
0
它比原方程降低一阶
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例1
求方程
d5x dt5
1 t
d4x dt4
0的通解.
解
令
d4x dt4
y,
则方程化为
dy 1 y 0
dt t
这是一阶方程,其通解为 y ct ,
即有
d4x dt4
ct,
对上式积分4次, 得原方程的通解为
x c1t5 c2t3 c3t2 c4t c5,
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2 不显含自变量t的方程,
d2x dt2
( dx)2 dt
0的通解.
解
令dx yຫໍສະໝຸດ 并以x作为新的自变量 , dt则方程化为 从而可得
xy dy y2 0
dx y 0,
及 dy y , dx x
这两方程的全部解是 y c1x,
再代回原来变量得到
dx dt
c1 x,
所以得原方程的通解为 x c2ec1t ,
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1（2）（3 ）
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一、可降阶的一些方程类型
n阶微分方程的一般形式: F(t, x, x',, x(n) ) 0
高数可降阶的高阶微分方程
高数可降阶的高阶微分方程
高数中的高阶微分方程是一种复杂的数学对象，通常包含许多未知函数及其各阶导数。
为了解决这些方程，数学家们发展了许多方法和技巧，其中最常用的是降阶法。
降阶法的基本思想是通过一系列代换将高阶微分方程转化为一
阶微分方程或更低阶的微分方程。
这样转化后的方程更容易求解，并且可以得到更多的信息。
降阶法的具体步骤包括：确定代换形式、求出代换后的微分方程、解方程并还原代换。
在这个过程中，需要运用一些基本的微积分知识，如链式法则、乘法法则等。
降阶法在高数中有广泛的应用，可以用来解决各种各样的高阶微分方程，如欧拉方程、高斯超几何方程等。
在工程、物理、天文学等领域中，也有许多实际问题可以通过降阶法来求解。
总之，降阶法是高数中一个非常重要的工具，掌握它可以帮助我们更好地理解微积分的基本概念和方法，也可以为我们解决实际问题提供便利。
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因为
dx y, dt
d2x dt 2
dy dt
dy dx
dx dt
dy y, dx
d3x d d2x
dt3 dt dt 2
d dt
( y dy) dx
d( y dy) dx
dx
dx dt
y( dy)2 dx
y2
d2y dx 2
,
用 数 学 归 纳 法 易 得, x(k)可 用y, dy ,, d (k1) y (k n)来 表 达
x (t, c1,, cn ),
c1
,,
c
为
n
任
意
常
数
F (t, x(k) , x(k1) ,, x(n) ) 0 (4.57)
解题步骤：
10 令x(k) y,则 方 程 化 为
F (t, y, y,, y (nk) ) 0
20 求上述方程的通解
y (t, c1,, cnk )
即
x(k) (t, c1,, cnk )
即有
d4x dt 4
ct,
对上式积分4次, 得原方程的通解为
x c1t 5 c2t 3 c3t 2 c4t c5 ,
这 里c1, c2 , c3 , c4 , c5为 任 意 常 数
2. 不显含自变量t
一般形式:
F (x, x,, x(n) ) 0
(4.59)
此时以y x作为新的未知函数,而把x作为新的自变量,
解 令 dx y,并以x作为新的自变量, dt
则方程化为 从而可得
xy dy y 2 0 dx
y 0,
及
dy y , dx x
这两方程的全部解是
y c1x,
再代回原来变量得到 所以得原方程的通解为
dx dt
c1 x,
x cec1t
3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶
(1) 设x x1 0是二阶齐次线性方程
1 e p(t)dt dt] x12
(4.70)
30 令c1 0, c2 1得与x1线性无关的一个解
x2 x1
40 即得原方程的通解.
1 e p(t)dt dt x12
x x1[c1 c2
1 e p(t)dt dt] x12
(4.70)
d 2 x p(t) dx q(t)x 0(4.69)
若 令x(k) y,则 可 把方 程 化 为y的n k阶 方 程
F (t, y, y,, y (nk) ) 0
若 能 求 得(4.58)的 通 解
y (t, c1,, cnk )
即
x(k) (t, c1,, cnk )
对 上 式 经 过k次 积 分,即 可 得(4.57 )的 通 解
(4.58)
t
e
2 dt t
dt
]
sin t
t
[c1
c2
t2 1 sin 2 t t 2 dt]
sin t
1t
[c1 c2 cot t]
t [c1 sin t c2 cos t]
解题步骤：
10 令y x,并令y为新的未知函数, x为新的自变量, 原方程化为
G(x, y, dy ,, d (n1) y ) 0
dx
dx ( n 1)
20 求上述方程的通解
y (t, c1,, cn1 )
30 解方程
dx dt
(t, c1,, cn1 )
即得原方程的通解.
例2 求 方 程x d 2 x ( dx)2 0的 通 解. dt 2 dt
引入新的未知函数 z y
方程变为
x1
dz dt
[2x1
p(t)x1 ]z
0
x1
dz dt
[2x1
p(t)x1 ]z
0
是一阶线性方程,解之得
则
y
z c2
c x12
e p(t)dt
1 e p(t)dt dt x12
c1
z
因而
x x1[c1 c2
1 e p(t)dt dt] x12
令c1 0, c2 1得(4.69)的一个解
dt 2
dt
x x1[c1 c2
1 e p(t)dt dt] (4.70) x12
例3 已 知x sin t 是 方 程d 2 x 2 dx x 0的解试求方程的通解.
t
dt 2 t dt
解 这里 由(4.70)得
p(t) 2 , t
x1
sin t
t
x
sin t
t
[c1
c2
t2 sin 2
dx
dx(k 1)
F (x, x,, x(n) ) 0 (4.59)
将这些表达式代入(4.59)可得
F (x, y, y dy , y( dy )2 y 2 d 2 y ,) 0
dx dx
dx 2
即有新方程
G(x, y, dy ,, d (n1) y ) 0
dx
dx ( n 1)
是关于x, y的n 1阶方程,比原方程(4.59)低一阶.
的非零解. 令
d 2 x p(t) dx q(t)x 0
dt 2
dt
x x1 y 则
x x1 y x1 y
代入(4.69)得
x x1 y 2x1 y x1y
(4.69)
x1 y [2x1 p(t)x1]y [x1 p(t)x1 q(t)x1]y 0
即
x1 y [2x1 p(t)x1]y 0
§4.3 高阶微分方程的降阶和幂级数 解法
4.3.1 可降阶的一些方程类型
n阶微分方程的一般形式：F (t, x, x,, x(n) ) 0
1. 不显含未知函数x
或更一般不显含未知函数及其直到k 1(k 0)阶导数的方程是
F (t, x(k) , x(k1) ,, x(n) ) 0
(4.57)
30 对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解
x (t, c1 ,, cn ), 这 里c1,, cn为 任意 常 数
例1 求 方 程d 5 x 1 d 4 x 0的 通 解. dt5 t dt 4
解令
d4x dt 4
y,
则方程化为
dy 1 y 0 dt t
这是一阶方程,其通解为 y ct,
y
x x1 y
(4.70)
这里c1, c2是常数
x2 x1
1 e p(t)dt dt x12
因
它
与x1之
比
不
等
于
常
数,பைடு நூலகம்
故x1
,
x
线
2
性
无
关
因此(4.69)的通解为
x x1[c1 c2
1 e p(t)dt dt]
(4.70)
x12
这里c1, c2是常数
d2x dt 2
p(t)
dx dt
q(t ) x
0(4.69)
解题步骤：
注:一般求(4.69)的解直接用公式(4.70)
10 令x x1 y, 原方程化为
x1 y [2x1 p(t)x1]y 0
20 令z y方程变为
解之得
x1
dz dt
[2x1
p(t)x1 ]z
0
z c e p(t)dt
即
x12
x x1[c1 c2