计算机控制系统第六章

（11）
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分离性原理的使用： 由分离性原理，LQG控制器的设计可以分为两个独立的部分： （1）最优控制规律的设计。在设计最优控制规律时，可以将系统看作
确定性系统而不考虑随机的过程干扰何测量噪声，同时认为全部 状态可用于反馈。 （2）状态最优估计的计算。考虑随机的过程干扰和测量噪声，状态 最优估计的计算与性能指标中加权矩阵的选择无关。
x(k)x(k)xˆ(k) (IKC)x(k|k1)Kw(k)
(IKC)[Fx(k1)(k1)]Kw(k) (FKCF)x(k1)(IKC)(k1)Kw(k)
显然 e (z) 为状态估计器的极点。
因此LQG系统的闭环极点由两部分组成： （1）LQ系统的极点； （2）状态估计器的极点。
（15）
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二、积分控制的引入（PI 控制器的设计）
第6章 基于状态空间模型的最优设计方法
1、最优控制规律的设计问题 （1）离散二次型函数的最优调节器设计 （2）连续二次型函数的最优调节器设计
2、Riccati 方程的求解及加权阵的选择 3、状态最优估计器的设计（Kalman 滤波器）
（1）Kalman 滤波方程 （2）推广 Kalman 滤波问题 （3）预报 Kalman 滤波问题
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LQ系统与LQG系统的区别：
（1）在LQ系统中，考虑的是系统对非零初始条件的响应性能，性能指标 Jd 由无穷多项相加，Jc 是在无穷大区间上积分，但 Jd 和Jc皆为 有限数； 在LQG系统中，考虑的是系统在平稳状态时抗随机干扰和测量噪声的
性能，由于随机干扰和测量噪声的影响，因此在性能指标中 J d 只取 k 时的一项，在 J c 中只取 k 时一个采样周期内积分的
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设控制百度文库象的离散状态方程为：
x(k1)F(x k)G(ku)(k)
y(k)C(kx)
其中 (k ) 为阶跃型干扰，即
(k)常 0 数
k 0 k 0
定义各量的差分为：
x(k ) x(k ) x(k 1) u(k ) u(k ) u(k 1) y(k ) y(k ) y(k 1)
(k ) (k ) (k 1)
u(k)Lxˆ(k)
（6）
问题：
（1）由上述对象和控制器组成的闭环控制系统是否仍是最优控制系统？ （2）如果仍是最优控制系统，使何种性能指标最优？
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可以证明，由（5）（6）两式组成的LQG系统仍然是最优控制系统，它 使如下的离散性能指标达到最优：
J d m k E [i x T ( n k )Q 1 x (k ) u T (k )Q 2 u (k )] （7） 其最小值为： Jdm itn[r V S L T (G T S G Q 2 )L]P （8）
（第二列加到第一列）
zI F GL
GL
zI F GL zI F GL KCF
（第二行减去第一行）
zI F GL
GL
0
zI F KCF
zI F GL zI F KCF c ( z ) e ( z )
（14）
其中 c (z) 为LQ系统的闭环极点。
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由上节公式（9）（12）得到
（21）
令
y(k) z(k) x(k)
，结合式（19）（21），得到关于z(k)的状态方程：
z(k 1 )F z(k)G u(k)
（22）
其中：
F 0I
CF F
GC GG
（23）
12
设取二次型性能指标为：
J [zT(k)Q 1z(k) uT(k)Q 2 u(k)] k 1
显然，当 k 1 时，有 (k)0。
（16） （17）
（18）
11
对式（16）两边取差分得到：
x (k 1 ) F x (k ) G u (k ) k 1 y(k 1 ) C x(k 1 )
（19） （20）
即：
y ( k 1 ) y ( k ) C x ( k F ) C u ( k G )
最优反馈控制规律（控制器）： u(k)L(xk)
（4）
2
2、LQG系统：随机性估计状态反馈的最优控制系统。
控制对象：x(k)F x(k1)G u(k1)(k1)
y(k)C x(k)w (k)
（5）
LQG系统控制器：
xˆ(k|k1)Fxˆ(k1)G(uk1)
xˆ(k)xˆ(k|k1)K[y(k)Cxˆ(k|k1)]
使如下的连续性能指标达到最优
Jcm k T 1 iE nk (k T 1 )T(xTQ 1xuTQ 2u)dt
（9）
其最小值为： J c m itn [ V r L S T ( G T S G Q 2 )L ] P J （10）
其中
JT 1tQ r10 T(Tt)eAV tceATtdt
上述便是著名的分离性原理。
问题的提出： 前面所设计的调节系统的控制器（r(k)=0），其目的在于使系统从非零
的初始条件回到零状态时具有满意的响应性能，即所设计的系统对脉冲型干 扰具有很好的抑制作用，但对于阶跃或常值干扰，将具有稳态误差。
原因分析： 控制规律为比例反馈（线性反馈），控制器中没有积分作用。
解决方法： 控制规律中引入积分作用，设计成PI控制器。
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第四节 控制器的设计
一、分离性原理
1、 LQ系统：确定性系统直接状态反馈的最优控制系统。
控制对象：
x(k)F(xk1)G(u k1) y(k)C(xk)
（1）
离散性能指标： Jd [xT(k)Q 1x(k)uT(k)Q 2u(k)] （2） k0
连续性能指标： Jc0 [xT(t)Q 1x(t) u T(t)Q 2 u (t)d ] t （3）
平均值。 （2）LQ系统考虑的是确定性系统，Jd 和 Jc 表达式中的各量均为确定量；
LQG系统考虑的是随机系统，系统中各量均为随机量，因此在性能
指标 J d 和 J c 均取数学期望。
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LQG 系统闭环极点的分布情况： 结合（5）（6）式并整理，得到整个系统的状态方程为：
x (k )F GL x (k 1 )
x ˆ(k ) KC F G F K L C x ˆ(k 1 F ) s(k 1 )（12）
其中
s(k1)KC(k(k1) 1)Kw(k)
（13）
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从而得到闭环系统的特征方程为：
(z)
zI
F
KCF
GL
F
GL
KCF
zI F
GL
KCF zI F GL KCF