二次根式的四则混合运算
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算
本文介绍了二次根式的混合运算，其中重点剖析了有理化因式和分母有理化的方法，以及二次根式混合运算的注意事项。
在计算中，需要注意运算顺序和最简二次根式的表示。
文章提供了典型例题，通过运用相关知识点进行计算。
二次根式的混合运算包括加、减、乘、除和整式的加、减、乘。
在实数范围内，过去学过的运算律仍然适用。
分母有理化的一般方法是用分母的有理化因式同时乘以分子和分母。
二次根式混合运算顺序与实数运算类似，先乘方、再乘除，最后加减，整式与分式的运算法则在根式中仍然适用。
每一个根式可看作是一个“单项式”，多个不是同类二次根式之和可以看成一个多项式，因此多项式乘法法则及乘法公式在根式运算中，仍然适用，以简便计算。
在二次根式的综合运算中，除按运算顺序进行以外，还要注意分式性质的灵活运用。
有理化因式不是唯一的，它可以相差一个常数。
例如，3
的有理化因式可以是3,23,33……但在一般情况下，我们所找
的有理化因式应是最简单的。
一般常见的互为有理化的两个代
数式有如下几种情形：a和a，a+b和a-b，a-b和a+b，ma+nb
和ma-nb。
二次根式的除法一般是先写成分式的形式，然后通
过分母有理化来进行。
典型例题中，例1的计算包括四个部分，分别是(1)、(2)、(3)和(4)。
在计算中，需要注意运用a-b=(a+b)(a-b)、分母有理化、最简二次根式的表示和整式除法法则等知识点。
通过对例题的计算，可以更好地理解二次根式的混合运算。
二次根式混合计算
二次根式混合计算二次根式，也叫做二次方根，是指一个数的平方等于给定数的根。
在数学中，二次根式是一个被开方的数，根号下面是一个整数或分数。
二次根式的运算主要包括加法、减法、乘法和除法。
下面我们分别来看一下这四种运算。
1.二次根式的加法和减法：当两个二次根式具有相同的根指数，并且根数相同，可以进行加法和减法运算。
例如，√2+√3=√2+√3(二次根式不能进行化简，所以直接相加)√2+√2=2√2(相同数的根数相加)√2+√8=√2+2√2=3√2(相似的根数相加)2.二次根式的乘法：二次根式的乘法需要使用到公式：(a + b) × (c + d) = ac + ad + bc + bd例如，(√3+√2)×(√3+√2)=(√3)²+√3×√2+√3×√2+(√2)²=3+2√6+2√6+2=5+4√63.二次根式的除法：二次根式的除法需要使用到有理化的方法。
具体步骤如下：Step 1: 计算除数和被除数的积Step 2: 将除数和被除数的积化简为一个二次根式Step 3: 用化简后的积除以除数，得到结果例如，计算(√6+√2)÷√2Step 1: (√6 + √2) ×√2 = 2√3 + 2Step 2: 化简为2√3 + 2Step 3: (2√3 + 2) ÷√2 = (2√3 ÷√2) + (2 ÷√2)=2√2+√2=3√2这就是二次根式的加法、减法、乘法和除法的基本运算方法。
除此之外，二次根式还有很多特殊的性质和运算规律，如指数法则、化简法则、合并根的法则等。
在实际的数学问题中，需要根据具体的题目来运用这些性质和规律进行计算。
北师大版八年级数学上册第二章 二次根式的计算
18
解：(1)
＝
3
(3)
1
35÷
3
15；
18
＝
6.
3
32
32
(2)
＝
＝
4＝2.
8
8
1
3
16 5
(3) 35÷ 15＝
5 ×8＝ 2.
3 ab3 3
(4)
2＝
2 ab 2
ab3 3
ab2＝2 b.
3 ab3
(4)
.
2 ab2
题型二
二次根式的加减
5 2
例 2：计算 8＋ 18的结果是________．
1
－ 2
变式 1：计算 8－6
的结果是__________．
2
变式 2：计算：(1)( 3＋ 2)－ 2； (2)2 3＋3 2－5 3－3 2；
(3)( 8＋ 12)－(2 3－ 2)．
解：(1)原式＝ 3＋ 2－ 2＝ 3.
(2)原式＝(2 3－5 3)＋(3 2－3 2)＝－3 3.
(3)原式＝(2 2＋2 3)－(2 3－ 2)＝2 2＋2 3－2
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
知识点1：二次根式的乘除(重点)
1．乘法法则： a· b＝ ab
(a≥0，b≥0)，即两个二次根式相乘，
根指数不变，只把被开方数相乘．
注意：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要
注意：公式中a，b都必须是非负数；
(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
8＋ 18
8
18
(5)
＝ ＋＝ 4＋ 9＝2＋源自＝5222
问题1：你能直接写出下列式子的结果吗？
二次根式四则运算
二次根式的四则运算同学们，我们已经学习了实数、整式、分式的混合运算，掌握了它们的运算顺序及运算法则。
本节课我们将一起来学习二次根式的四则运算。
（PPT1）二次根式的四则运算顺序与实数、整式、分式的混合运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，但对于二次根式运算的最后结果一定要化成最简二次根式。
下面我们来看几个具体的例子例1计算下列各式：（1；（2）最后把它化成最简二次根式得.通过本小题的运算，我们要注意乘法分配律在二次根式的运算中都是适用的。
，然后把它化成最简二次根式得5．通过例1的学习，我们在做二次根式的四则运算的时首先要注意运算的顺序，其次是要注意运算律的应用，最后的结果若有二次根式的话一定要化成最简二次根式。
我们一起来看例2例2 计算：我们要做这个运算，方法1可以利用多项式的乘法法则进行展开，-所以最后结得1848果为－30多项式的乘法法则在二次根式的运算中仍然适用方法2：所以可利用整式乘法公式进行计算得22-＝18－48＝－30所以特别对具有整式乘法公式形式的二次根式的四则运算可灵活运用乘法公式，这样能达到简便运算的效果。
拓展提高（1）通过本题的运算我们发现在做二次根式的运算时，有时要合理巧妙的使用乘法公式。
总结：通过本节课的学习我们可以发现：（1）以前学过的运算法则在二次根式的四则运算中依然成立；（2）二次根式的四则运算与整式的运算非常类似，即运算性质和运算律是一致的，体现了数式通性的特点； （3）计算结果最后一定要化成最简二次根式。
知识点1 利用运算律进行二次根式的四则运算几种常见的类型：（1000)a b c ，，≥≥≥型，可类比单项式乘多项式运算法则进行运算； 2015201622)(3)-（2）0000)a b c d ，，，≥≥≥≥型，可类比多项式乘以多项式运算法则进行运算；（3）000)a b c >，，≥≥型，可类比多项式除以单项式运算法则进行运算．知识点2 利用整式乘法公式进行二次根式的四则运算几种常见的类型：（1）a b ≥0，≥0)型，类比平方差公式进行运算；（2）2(00a b ≥≥，）型，类比完全平方公式进行运算．（2）；（2）34+-＝1；（1）(5；（2）2；解：（1）(5＝225- ＝25－7＝18；（2）2＝222-⨯＝122-＝14-。
二次根式的混合运算法则
二次根式的混合运算法则二次根式是数学中的一个重要概念，也是数学中常见的运算形式。
在二次根式的混合运算中，我们需要遵循一定的法则和步骤，以确保运算结果的准确性。
本文将介绍二次根式的混合运算法则，并通过实例进行说明。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。
在二次根式中，根号内的数称为被开方数，根号外的数称为系数。
二次根式可以进行加、减、乘、除等运算，但需要遵循一定的法则和步骤。
二、二次根式的混合运算法则1. 加法运算当二次根式相加时，要求被开方数相同，系数相加即可。
例如，√2 + √2 = 2√2。
2. 减法运算当二次根式相减时，同样要求被开方数相同，系数相减即可。
例如，√3 - √2 = √3 - √2。
3. 乘法运算当二次根式相乘时，可以将系数相乘，被开方数相乘并合并为一个二次根式。
例如，2√3 * 3√2 = 6√6。
4. 除法运算当二次根式相除时，可以将系数相除，被开方数相除并合并为一个二次根式。
例如，6√6 / 3√2 = 2√3。
5. 混合运算在二次根式的混合运算中，可以按照运算法则依次进行加、减、乘、除等运算。
需要注意的是，乘法和除法运算的优先级高于加法和减法运算。
三、实例分析为了更好地理解二次根式的混合运算法则，我们来看几个实例。
1. 实例一：计算√5 + √3 - √2的值。
根据加法运算法则，√5 + √3 = √5 + √3，再根据减法运算法则，√5 + √3 - √2 = √5 + √3 - √2。
2. 实例二：计算(2√6 - √2) * √3的值。
根据减法运算法则，2√6 - √2 = 2√6 - √2，再根据乘法运算法则，(2√6 - √2) * √3 = 2√18 - √6。
3. 实例三：计算(3√10 + 2√5) / √2的值。
根据加法运算法则，3√10 + 2√5 = 3√10 + 2√5，再根据除法运算法则，(3√10 + 2√5) / √2 = (3√10 + 2√5) / √2。
二次根式的计算方法
添加标题
乘法运算的应用：二次根式的乘法运算在解决实际问题中具有广泛的应用，例如在计算面积、 体积、长度等物理量时，常常需要进行二次根式的乘法运算。
除法运算
公式：a√b/c√d = (a/c)√(b/d) 例题：(2√3)/(3√2) = (2/3)√(3/2) 注意事项：除法运算中，分母不能为0 应用：二次根式的除法运算在解决实际问题中具有广泛应用
二次根式的定义
概念：二次根式是形如√a（a≥0）的代数式，其中a称为被开方数，√a称为根号。
性质：二次根式具有非负性，即√a≥0（a≥0）。
运算：二次根式的运算包括加法、减法、乘法和除法，遵循一定的运算法则。
应用：二次根式在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，如求解方程、计算面积、体积 等。
二次根式的性质
转化为同类二次根式
概念：非同类二次根式是指 根号下含有不同字母的二次 根式
加减运算：将转化后的同类 二次根式进行加减运算，得
到结果
加减法运算规则
二次根式与有理数相加减， 先化成最简二次根式，再相 加减
不同底二次根式相加减，先 化成同底二次根式，再相加 减
同底二次根式相加减，底数 不变，被开方数相加减
03
二次根式的乘除法
乘法运算
添加标题
乘法运算的定义：二次根式的乘法运算是将两个二次根式相乘，得到一个新的二次根式。
添加标题
乘法运算的法则：二次根式的乘法运算法则是：(a√b)(c√d)=(ac)√(bd)。
添加标题
乘法运算的步骤：首先，将两个二次根式相乘，得到新的二次根式；然后，将新的二次根式的 被开方数相乘，得到新的被开方数；最后，将新的二次根式的系数相乘，得到新的系数。
乘除法运算规则
二次根式的混合运算 公开课教学设计
第2课时 二次根式的混合运算1．会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力；(重点)2．正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简．(难点)一、情境导入如果梯形的上、下底边长分别为22cm ，43cm ，高为6cm ，那么它的面积是多少？毛毛是这样算的：梯形的面积：12(22＋43)×6＝(2＋23)×6＝2×6＋23×6＝2×6＋218＝23＋62(cm 2)．他的做法正确吗？ 二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算 【类型一】 二次根式的四则运算 计算：(1)12223×9145÷35； (2)⎝⎛⎭⎫312－213＋48÷23＋⎝⎛⎭⎫132；(3)2－(3＋2)÷3.解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．解：(1)原式＝12×9×83×145×53＝12×9×229＝2；(2)原式＝⎝⎛⎭⎫63－233＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13＝5； (3)原式＝2－(3＋2)÷13＝2－3＋23＝2－1－233.方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 探究点二：利用乘法公式及运算律进行二次根式混合运算计算：(1)(2＋3－6)(2－3＋6)； (2)(2－1)2＋22(3－2)(3＋2)； (3)⎝⎛⎭⎫6－1332－3424×(－26)．解析：(1)利用平方差公式展开然后合并即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式展开然后合并即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．解：(1)原式＝[2＋(3－6)][2－(3－6)]＝(2)2－(3－6)2＝2－(9－218)＝2－9＋62＝－7＋62；(2)原式＝2－22＋1＋22×(3－2)＝2－22＋1＋22＝3；(3)原式＝⎝⎛⎭⎫6－66－326×(－26)＝－236×(－26)＝8. 方法总结：利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．探究点三：二次根式混合运算的综合运用【类型一】 与二次根式的混合运算有关的新定义题型对于任意的正数m 、n 定义运算※为m ※n ＝⎩⎨⎧m －n （m ≥n ），m ＋n （m <n ）.计算(3※2)×(8※12)的结果为( )A ．2－46B ．2C ．25D ．20解析：∵3＞2，∴3※2＝3－ 2.∵8＜12，∴8※12＝8＋12＝2(2＋3)，∴(3※2)×(8※12)＝(3－2)×2(2＋3)＝2.故选B.方法总结：弄清新定义中的运算法则，转化为代数式的运算，正确运用运算律及公式是解题的关键．【类型二】 二次根式运算的拓展应用请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰似斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n 个数可以用15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n 表示(其中，n ≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．解析：分别把n ＝1、2代入式子化简即可．解：第1个数，当n ＝1时，15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n ＝15[1＋52－1－52]＝15×5＝1； 第2个数，当n ＝2时，15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋522－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－522＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52＋1－52⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52－1－52＝15×1×5＝1.方法总结：此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．三、板书设计1．二次根式的四则运算先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．2．运用乘法公式和运算律进行计算 在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．本节课以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆．同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.。
二次根式的混合运算
1 −1
2
应用练习
3.3 计算： − 2 × 6 +
3−2 −
1 −1
2
课 堂 小 结
−
− >0
− =0
绝对值的化简： − = ቐ 0
− − − <0
例题讲解四
4.计算： 12 −
1 −1
2
+
1
3−1
− − 3.14
0
+ 2 3−4
应用练习
4.1 计算：
2012 − 1
− − 2
0
+ −
1 −1
3
+ 3 − 12
课 堂 小 结
1. 完全平方公式： +
2
= 2 + 2 + 2 , (a − b)2 = 2 − 2 + 2
2. 平方差公式： + − = 2 − 2
课堂大总结
1.二次根式的混合运算依据：有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）、
3.二次根式的除法法则： ÷ =
4.二次根式除法法则的逆用：
5.完全平方公式： +
2
≥ 0, > 0
= ÷ ≥ 0, > 0
= 2 + 2 + 2 , (a − b)2 = 2 − 2 + 2
6.平方差公式： + − = 2 − 2
应用练习
5.2
2
计算：
3
9 − 6
4
+
1
例题讲解六
6. 计算：
二次根式的四则混合运算教案(浙教版)
二次根式的四则混合运算教案(浙教版) 本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址§1.3二次根式的四则混合运算（练习课）教案教学目标：1，会进行二次根式的四则混合运算2，会应用整式的运算法则进行二次根式的运算3，体验和掌握迁移、转化等数学思想与方法重点、难点：二次根式的四则混合运算是重点；整式的乘法公式和法则迁移到二次根式的运算是难点教学过程：教师活动教学内容设计意图学生活动回顾、二次根式有哪些性质①进一步梳理和巩固已生成的知识②纵览公式之间的区别与联系自由口答默写2、已学过的整式的乘法公式和法则有哪些同上同上3、怎样化简二次根式0、化简下列二次根式：，，，，体验性质与公式的准确运用自愿上来板演其他自己做教师书写新课标题二次根式的四则混合运算教师活动教学内容设计意图学生活动新课讲解例34、引导、帮助学生审题（屏幕显示题目）1：先化简，再求近似值（精确到0.01）领悟先化简再象合并同类项那样进行运算来计算这一题观察与思考5、本题共有哪几项组成？它们是二次根式吗？6、各项能否化简2、解：规范书写知道运算程序领悟与练习课堂练习7、学生完成解题后出示答案3、课本14页课内练习第1题领悟方法，会正迁移一位学生板演，其余自己做新课讲解例48、屏幕显示题目4、计算：整式的运算法则在二次根式计算时的应用观察与思考9、问：对于（1）先算什么后算什么第（2）（3）又该怎样呢5、对于第一题先乘除后加减，在后合并6、第2题先去括号，再计算较方便7、第3题先把除法转化为乘法，后去括较方便对具体的计算题会先设计计算程序，自由回答问题，练习，自愿上黑板计算教师活动教学内容设计意图学生活动课堂练习0、学生完成后出示答案并纠正错误8、课本14页，课内练习2会正迁移，领悟方法与步骤学生先做，后挑选部分屏幕展示新课讲解例51、屏幕显示题目9、例5：计算会用乘法公式和法则进行二次根式的计算2、教师问：对于（1）相当于哪一个乘法公式的形式；对于（2）相当于整式乘法中哪一种运算形式20、（1）用平方差公式（2）多项式与多项式相乘还有别的解法吗体验运算法则的互通观察思考，形成悱、愤状态3、分组交流，合作完成21、教师巡视，帮助学生完成培养合作意识讨论，练习，部分屏幕展示课堂练习4、学生完成后，出示答案22、课本14页，课内练习3，4理解数学的应用价值练习，自由到黑板上解题课堂小结5、问：这一节课学习了什么23、二次根式的四则混合运算中①能化简的先化简②当化简后被开方数相同时可象合并同类项那样合并③在二次根式的运算中要注意运用乘法公式和乘法法则，使运算简便学生自由回答布置作业完成课本作业（做在书上）和作业本（1）天天伴我学记录教学反思针对教案上的不足之处，可以在给出一系列的二次根式混合运算的例题，通过利用完全平方，分母有理化，整式乘法规律等来求解的这一过程中增加一组利用通过分母进行计算的方法，并将其与利用分母有理化的进行比较，让学生了解通过观察计算式的特点，选取最优的方法，降低计算的错误率。
二次根式的运算
二次根式的运算二次根式是数学中的一种特殊形式，它包括平方根、立方根等。
二次根式的运算是解决与这一数学概念相关的问题，涉及到简化、相加、相乘等操作。
本文将从这些角度进行讨论。
一、简化二次根式简化二次根式是将其转化为最简形式，即被开方数不包含平方数因子。
比如，√8可以简化为2√2。
下面以几个例子来说明简化操作：1. √12 = √(4 × 3) = 2√32. √18 = √(9 × 2) = 3√23. √75 = √(25 × 3) = 5√3需要注意的是，对于含有完全平方数因子的二次根式，可以直接提取出因子的平方根，并将其余部分保留在根号内。
二、相加与相减二次根式相加或相减二次根式时，需要满足被开方数相同，即根号内数字相同，才能进行合并。
比如，2√3 + 3√3 = 5√3。
下面是一些示例：1. 4√5 - 3√5 = √52. 2√6 + 5√6 = 7√63. 2√7 - √7 = √7可以看出，被开方数相同的二次根式可以直接相加或相减，而根号内的数字保持不变。
三、相乘二次根式相乘二次根式时，需要将根号内的数字相乘，然后提取出公因子。
下面是一些示例：1. 2√3 × 3√2 = 6√62. 4√5 × 2√5 = 8 × 5 = 403. √6 × √2 = √(6 × 2) = √12 = 2√3需要注意的是，如果根号内的数字是完全平方数，可以直接提取出平方根，并将其余部分保留在根号内。
四、二次根式的混合运算在实际问题中，常常需要进行多种运算的组合，例如简化后再相加、相乘等。
下面是一个综合例子：示例：简化3√12 + 4√27 的结果。
首先，简化被开方数：3√12 = 3√(4 × 3) = 6√34√27 = 4√(9 × 3) = 12√3然后，将结果相加：6√3 + 12√3 = 18√3所以，3√12 + 4√27 的结果为18√3。
二次根式的四则混合运算
二次根式的四则混合运算二次根式的四则混合运算，听起来是不是有点高大上？别急，让我带你一块儿轻松一下，聊聊这个看似复杂，其实充满趣味的数学话题。
二次根式就是那些看上去像是“√”开头的东西，比如说√2、√3什么的。
咱们可以想象一下，数学就像个神秘的宝箱，里面藏着各种各样的珍宝，二次根式就是其中一种。
不过，宝箱的打开需要一些小技巧，那就是四则运算啦，嘿嘿，听起来是不是觉得有点期待？想象一下，假如你在厨房里准备做饭，突然发现没有调料，这可真是“无米之炊”啊！所以说，做数学题的时候，四则运算就像是调味料，少了可不行。
加法、减法、乘法、除法，这四样东西是咱们进行运算的基本功。
比如说，√2 + √2，这个就简单了，答案就是2。
多简单呀，感觉像是在和朋友聊天，唠唠嗑，轻松愉快！可一旦进入到更复杂的运算，比如说√3 + √12，这时候就有点意思了。
√12其实可以分解成2√3，所以再加上√3，最终的结果就变成了3√3。
真的是“小马过河”，一层层揭开谜底，感觉特棒！运算的时候偶尔也会碰到一些让人哭笑不得的情况。
比如说，遇到减法的时候，你会发现√5 √5这简直就是“自相残杀”。
一减就是零，搞得人心里还觉得“唉，怎么就没了呢？”但没关系，这种事情在数学的世界里很常见。
就像你在生活中，有时候想着想着就把某个东西忘了，结果一转身，原来就在你身边！所以呀，数学里也有这样的小插曲，让人感到亲切。
而乘法这件事呢，就像是把两个朋友放在一起，化学反应就是不一样。
比如说√2 × √8，这里就可以直接把根号里的数字乘起来，变成√16。
你可能会想，“那√16是什么？”没错，答案就是4！这样的运算真是让人觉得简单得像是在跳舞，动动脚步，轻松愉快！不过，得注意，乘法的时候不能随便变形，要遵循规矩，这就像打篮球，不能随便走步，不然就犯规了。
再来说说除法，这可是个让人捉摸不透的家伙。
有时候就像在玩捉迷藏，找着找着就找到了。
有个例子，假设你有√18 ÷ √2，想要算出结果，先把根号里的数进行除法，√(18/2) = √9。
二次根式的四则运算
二次根式的四则运算知识梳理一、二次根式的乘除（1）积的算术平方根性质： b a b a •=•（a ≥0，b ≥0） （2）二次根式的乘法法则： b a b a •=•（a ≥0，b ≥0） （3）商的算术平方根的性质：bab a =（a ≥0，b ＞0） （4）二次根式的除法法则：b aba = （a ≥0，b ＞0） 二、分母有理化分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 三、同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 四、二次根式的（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 五、二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．例题讲解例1.计算：（1）52⨯ （2）3221⨯ （3）8326⨯- （4）1052⨯⨯ 例2.化简（1）54⨯ （2）24 （3）()()4936-⨯- （4）()0,0424>>y x y x例3.计算下列各题 （1）312 （2）8123÷ （3）()72214-÷（4）531513÷（5）xyy 24针对练习1.已知()22-=-•a a a a 成立，则a 的取值范围是 .2.能使88-=-x xx x成立，则x 的取值范围是 . 3.化简下列二次根式：=90 =5.2=29 =3127a b ()=-≤++41682a a a 4.计算并化简（1）2863⨯ （2）6331227⨯⨯（3）322214÷- （4）()0113>÷a a bb a b a5.计算（1）6122÷⨯ （2）27121331⨯÷（3）32223513459⨯÷ （4）⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷b a b b a 16.若a =5，b =17，则85.0的值用a ，b 可以表示为 . 7．先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a 、b 使a +b ＝m ，ab ＝n ，这样（）2+（）2＝m ，•＝，那么便有＝()2ba ±＝±（a ＞b ）例如：化简解：首先把化为，这里m ＝7，n ＝12； 由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•＝，∴＝＝()234+＝2+由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）．例题讲解例4.计算 （1）2324+ （2）12273+-（3）x x x x 1246932-+ （4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6813225.024例5.计算（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--12814482 （2）()6342221⨯-例6.计算 （1）()62322+- （2）()()22322232---针对练习1．若最简二次根式与可以合并，则a＝．2．计算：2+++3﹣+（+5）﹣﹣+（+）（﹣）（）（2﹣3）÷（﹣）（+）+2 （）2﹣（2）（2）（1+）（）﹣（2）2 （）×﹣（）（）3.计算（1）()()322122-+ （2）()()201920182525+•-4.先化简，再求值：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+xy y x x xy y x y x 364363，其中23=x ，27=y .5.已知()3521+=a ，()3521-=b ，求22b ab a ++ .。
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算1. 引言在数学中，二次根式是一种形如√a的数，其中a为非负实数。
二次根式可以进行加减乘除等基本运算，也可以与整数、有理数等进行混合运算。
本文将介绍如何进行二次根式的混合运算，包括加减、乘法以及除法。
2. 二次根式的加减运算2.1 加法运算对于两个二次根式的加法运算，我们只需要将它们的根号内的数相加，并保持根号不变。
例如：√a + √b = √(a + b)2.2 减法运算对于两个二次根式的减法运算，我们也只需要将它们的根号内的数相减，并保持根号不变。
例如：√a - √b = √(a - b)3. 二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算稍微复杂一些，需要使用到一条性质，即：两个二次根式的乘积等于根号内两个数的乘积。
例如：√a * √b = √(a * b)4. 二次根式的除法运算二次根式的除法运算同样需要使用到一条性质，即：两个二次根式的除法等于根号内两个数的除法。
例如：√a / √b = √(a / b)5. 混合运算的例子为了更好地理解二次根式的混合运算，举个例子：假设有以下的运算：√8 + √2 - √18 * √3 / √4首先，我们可以将各个二次根式的根号内的数进行化简：√8 = √(4 * 2) = 2√2 √18 = √(9 * 2) = 3√2 √4 = 2然后，将化简后的结果带入原表达式中：2√2 + √2 - 3√2 * √3 / 2继续进行混合运算：2√2 + √2 - 3√6 / 2最后，将所有的二次根式及有理数进行合并得到最终结果：2√2 + √2 - (3 / 2)√66. 结论本文介绍了二次根式的混合运算，包括加减、乘法以及除法。
通过理解和应用这些运算规则，我们可以更方便地处理涉及二次根式的数学问题。
希望本文的内容能够帮助读者在学习和应用二次根式时更加得心应手。
初二数学二次根式的混合运算及根号下a平方的化简
(5) 运算结果可能是有理式，也可能是根式，如果是根式形式的，一定要化成最简
二次根式.
初二数学第八讲 二次根式的混合运算
四、练习
1、x为何值时，下列各式在实数范围内有意义：
x2 (1)
x2 2x 3
x 2 0, x2 +2x-3 0.
x -2, x 1 , x 3.
x -2且x 1
并化简；
= a( a b) - a b - a b(a-b) ( a b)2 b
=
a - 1 -a
b( a - b) a - b b
= a-b - a b( a - b) b
= a b- a
bห้องสมุดไป่ตู้
b
=b b
初二数学第八讲 二次根式的混合运算
例4、（1）当x= 1 , y 1时，求代数式 x y 的值；
a b
ab
= -b b a b a b
= a 1 b
a b
a b
= b- b 0 a b
= a b 1=11=0 a b
初二数学第八讲 二次根式的混合运算
b a b
解： Q a= 1 2 3 1 2+ 3
原式 （a 1)2 1 a 1 2 3 a(a 1) a(a 1) a
= 1 x
初二数学第八讲 二次根式的混合运算
技巧 : 若a 0, b 0时,
例3、
a a a b - a- b - a ab-b2 a-2 ab+b b
a 2 ab b ( a b)2, a b ( a b)( a b).
分式形式的根式计算问题，可以由三个 途径来进行： （1）可以先通分再化简； （2）可以先有理化分母、再通分、后化简； （3）可以先约分，再有理化分母，然后通分,
(文章)二次根式的混合运算要点精析
二次根式的混合运算要点精析一、要点精析1．二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，它的运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去掉括号）．在进行二次根式的混合运算时要注意三点：⑴在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”；⑵实数运算中的运算律(分配律、结合律、交换律)、运算法则及所有的乘法公式(平方差公式、完全平方公式等)，在二次根式的运算中仍然适用．⑶运算的结果可能是二次根式，也可能是有理式，如果是二次根式，要化为最简二次根式．⑷二次根式的混合运算，一般先将二次根式化为最简二次根式，再按运算计算。
2．在二次根式的混合运算中，常遇到两个二次根式相除，分母中含有根式，此时需要把分子、分母同乘以分母的有理化因式，去掉分母中的根号，使分母中的无理数变成有理数，这种运算过程，叫分母有理化．分母有理化的依据是分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以同一个不等于零的因式，分式的值不变．分母有理化应用了二次根式的加减和乘除四种运算，是二次根式混合运算过程中的重要环节．3．分母有理化的实质是两个含有根式的代数式相乘，使其积不含根式，这样的两个根式叫互为有理化因式，a b是互为有理化因式；是互为有理化因式．4．利用分母有理化，可以进行二次根式的除法运算．分母有理化的方法是多种多样的，应根据题目特点采用相应的方法．因此，分母的有理化因式是不唯一的，但以最简为宜，例如：⑴当分母是形如的式子，分母有理化时，可以乘 (b≠0)就可以达到化去分母中根号的目⑵当分母是形如＋的式子，分母有理化时，根据平方差公式特点，＋乘以c(－) (c≠0)就可以达到化去分母中根号的目的，但以－最简，所以只要分子、分母都乘以－就可以了．5．进行分母有理化的方法一般有两种：⑴将分母、分子都乘以分母的有理化因式；⑵在一定条件下，将分子分解因式后与分母进行约分，从而约去分母中含根号的式子．6．二次根式的一个重要性质(a)2= a (a≥0)可以写成a·a= a ，即两个相同的二次根式的积一定是有理数(式)，应用这一性质可以把分母有理化．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．在进行分母有理化时，只要分子、分母同乘以分母的有理化因式，即可实现分母有理化．二、典型例题解析例132010．评析：当分式的分母含有一个或两个根式时，一般选用分子与分母同时乘以分母的有理化因式的方法．解此题的关键是找出有理化因式，只有对(1-进行重新组合，才能找出其有理化因式．例2．12．评析：当分子或分母可分解因式时，可使用约分法改变式子结构，把问题简化．分母提取“公因式”后可直接约分，应用“分解因式”约简的方法，达到分母有理化，从而简化运算．例3．．评析：当分式的分子或分母含有多个根式，此时式子较复杂时，可通过拆项的方法把问题转化．此式分子正好是分母两因式之和，因此，可把分子拆成两项之和，然后用a bab+=1a＋1b来简化运算．裂项是解本题的关键，做题时要善于观察、分析，找到最佳解题途径．例432．，则a = x2，b = y2．32=34333()2x y x x yx y-+÷++＋2233xy yx y--=32222333()()x x y xyx y x xy y-++-+＋3yx y+=22223()()()x x xy yx y x xy y-++-+＋3yx y+=3xx y+＋3yx y+= 3评析：当根式多且无规律可寻时，通过换元的方法，以此达到调整分式中的结构，使新变量在解题过程中起到媒介和桥梁作用，使问题得到合理的转化．换元的实质是将原问题移至新对象的知识背景中去研究，达到化简数学式子，沟通已知与未知的联系，促使未知向已知转化，从而使问题获解．。
浙教版八年级下测试题1.3 第2课时 二次根式的四则混合运算
第2课时二次根式的四则混合运算1．[2013·泰州]下列计算正确的是(C) A．4 3－3 3＝1B.2＋3＝ 5C．2 12＝ 2D．3＋2 2＝5 22．[2012·宜昌]下列计算正确的是(A)A.2×12＝1 B.4－3＝1C.6÷3＝2D.4＝±23．[2013·荆州]计算4 12＋313－8的结果是(B)A.3＋ 2B. 3C.3 3D．－3－ 24．化简3－3(1－3)的结果是(A) A．3 B．－3C. 3 D．－ 3【解析】原式＝3－3＋3＝3，选A.5．计算3(75＋3－12)的结果是(D) A．6 B．4 3C．23＋6 D．12【解析】原式＝3×75＋3×3－3×12＝15＋3－6＝12.选D. 6．计算(10＋3)2×(10－3)的值是(D)A.10－3 B．3C ．－3 D.10＋3【解析】 原式＝(10＋3)(10－9)＝10＋3.选D. 7．计算(2－2)2－(2＋2)2的结果是( B )A ．0B ．－8 2C ．12D ．8 2【解析】 原式＝(4－42＋2)－(4＋42＋2) ＝(6－42)－(6＋42)＝－8 2.选B.8．计算：(1)[2013·长沙]8－2＝(2)[2013·哈尔滨]27－32＝2．(3)[2013·南京]32－12的结果是(4)[2013·包头] 8－312＋2＝2【解析】 (1)8－2＝22－2＝(2－1)2＝ 2.填 2. 9．(1)[2013·宿迁]计算2(2－3)＋6的值是__2__.(2)[2013·泰安]化简：3(2－3)－24－|6－3|＝__－6__．10．[2012·德阳]有下列计算：①(m 2)3＝m 6，②4a 2－4a ＋1＝2a －1，③m 6÷m 2＝m 3，④27×50÷6＝15，⑤212－23＋348＝143， 其中正确的运算有__①④⑤__． 11．计算：(1)⎝⎛⎭⎪⎫827－53× 6. (2)(5＋6)(52－23)． 解：(1)原式＝827×6－53×6 ＝169－518＝43－15 2.(2)原式＝252－103＋52×6－6×23＝ 252－103＋103－62＝192； 12．计算：(1)(1－23)(1＋23)－(23－1)2； (2)|3－4|－22＋12.解：(1)原式＝1－(23)2－[(23)2－43＋1] ＝1－12－(12－43＋1) ＝43－24.(2)原式＝4－3－4＋23＝ 3.13．已知a ＝1＋2，b ＝3，则a 2＋b 2－2a ＋1的值为( B )A.5 B ．5 C ．10D.10【解析】 原式＝(a －1)2＋b 2 ＝(2)2＋(3)2＝5.选B. 14．已知a ＝2＋1，b ＝ 12－1，则a 与b 的关系是( A )A ．a ＝bB ．ab ＝1C ．a ＝－bD ．ab ＝－1【解析】 b ＝12－1＝2＋1＝a ，故选A. 15．计算：(1)(3＋25)2－(4＋5)(4－5)． (2)⎝⎛⎭⎪⎫312－213＋48÷2 3. (3)(3＋2)(3－2)－(3－2)2－126. (4)(5－3－1)×(5＋3－1)．解：(1)原式＝9＋125＋20－(16－5) ＝18＋125；(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫63－233＋43÷23＝143. (3)原式＝(3－2)－(3＋2－26)－26 ＝1－5＋26－26 ＝－4.(4)(5－3－1)×(5＋3－1) ＝[(5－1)－3]×[(5－1)＋3] ＝(5－1)2－(3)2 ＝5－25＋1－3 ＝3－2 5.16．已知a ＝2＋3，b ＝2－3，试求a b －ba 的值． 解：因为a ＋b ＝2＋3＋2－3＝4， a －b ＝2＋3－(2－3)＝2 3， ab ＝(2＋3)(2－3)＝1，所以a b －b a ＝a 2－b 2ab ＝（a ＋b ）（a －b ）ab＝4×231＝8 3.17．求当a ＝23－1时，代数式(a ＋1)2－(a －23)(a ＋1)的值． 解：∵a ＝23－1，∴a ＋1＝23，a －23＝－1， ∴原式＝(23)2－(－1)×23 ＝23＋23.18．如图1－3－3，一个长方形被分割成四部分，其中图形①②③都是正方形，且正方形①②的面积分别为4和3，求图中阴影部分的面积．图1－3－3解：由题意，可得正方形①的边长为2， 正方形②的边长为3， ∴正方形③的边长为2－3，∴阴影部分的面积＝(2－3)[3－(2－3)] ＝(2－3)(23－2) ＝63－10.19．已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为 ( C ) A ．9 B ．±3 C ．3 D ．5 【解析】m 2＋n 2－3mn ＝（m ＋n ）2－5mn＝[（1＋2）＋（1－2）]2－5（1＋2）（1－2） ＝4－（1－2）×5＝9＝3，选C. 20．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋22＝(1＋2)2，善于思考的小明进行了以下探索：设a ＋b 2＝(m ＋n 2)2(其中a ，b ，m ，n 均为正整数)，则有a ＋b 2＝m 2＋2n 2＋2mn 2，∴a ＝m 2＋2n 2，b ＝2mn .这样小明就找到了一种把部分a ＋b 2的式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a ，b ，m ，n 均为正整数时，若a ＋b 3＝(m ＋n 3)2，用含m ，n 的式子分别表示a ，b ，得a ＝__m 2＋3n 2__，b ＝__2mn __；(2)利用所探索的结论，找一组正整数a ，b ，m ，n 填空：__4__＋__2__ 3 ＝(__1__＋__1__3)2；(3)若a ＋43＝(m ＋n 3)2，且a ，m ，n 均为正整数，求a 的值．解：根据题意，得⎩⎨⎧a ＝m 2＋3n 2，4＝2mn ，∵2mn ＝4，且m ，n 均为正整数， ∴m ＝2，n ＝1或m ＝1，n ＝2， ∴a ＝7或13.。
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算一、混合运算的定义混合运算是指将不同类型的运算在同一个表达式中进行计算的过程。
在数学中，混合运算常常涉及到加法、减法、乘法、除法等基本运算规则。
二、二次根式的定义二次根式是指具有平方根的数学表达式。
一般情况下，二次根式的形式为√(a × b)或√(a / b)，其中a和b为实数。
需要注意的是，a和b不能是负数。
三、二次根式的混合运算规则在进行二次根式的混合运算时，需要按照以下规则进行计算：1.二次根式的加法运算：当两个二次根式具有相同的根数和次方数时，可以进行加法运算。
例如：√2 + √3 = √(2 + 3) = √52.二次根式的减法运算：当两个二次根式具有相同的根数和次方数时，可以进行减法运算。
例如：√5 - √3 = √(5 - 3) = √23.二次根式的乘法运算：可以将二次根式的根数和次方数相乘。
例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √64.二次根式的除法运算：可以将二次根式的根数和次方数相除。
例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √35.二次根式的乘方运算：可以将二次根式的根数和次方数进行乘方计算。
例如：(√2)² = √(2²) = √4 = 2四、二次根式混合运算的示例示例一：计算√3 + √5 - √2根据混合运算的规则，我们可以首先进行加法运算，然后再进行减法运算。
即：√3 + √5 - √2 = √(3 + 5) - √2 = √8 - √2由于√8不能继续简化，最后的结果为√8 - √2。
示例二：计算√2 × √3 ÷ √5根据混合运算的规则，我们可以先进行乘法运算，然后再进行除法运算。
即：√2 × √3 ÷ √5 = √(2 × 3) ÷ √5 = √6 ÷ √5由于√6不能被√5整除，所以最后的结果为√6÷ √5。
2.7二次根式的四则运算及混合运算 知识考点梳理(课件)北师大版数学八年级上册
二次根式的加减法
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化
方法
成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式
进行合并
实质
实质
将被开方数相同的二次根式进行合并，只是把系
数相加减，根指数和被开方数不变
二次根式的加减运算可类比合并同类项来进行，
合并的依据是分配律
第二课时 二次根式的四则运算
返回目录
归纳总结
考
破
思路点拨
返回目录
第三课时 二次根式的混合运算
返回目录
解题通法
解决此类问题，可以把给出的复杂式子通
重
难
题 过二次根式的混合运算进行化简，再把给出的字母的值代
型 入化简后的式子计算求解．
突
破
破
［答案］ C
第二课时 二次根式的四则运算
返回目录
重
变式衍生
一个圆柱的侧面积为 32π，底面半径为
难
）
题 ，那么圆柱的高为 （A
型
A. 8
B. 16
突
破
C. 8
D. 16
第二课时 二次根式的四则运算
返回目录
解题通法
解决此类应用问题，首先要审清题意 ，列
重
难
题 出算式，再应用运算法则求解.
读
［答案］ 解：（1）原式=2 +
（2）原式=
−
2
+
=
+ − = − .
返回目录
；
第二课时 二次根式的四则运算
返回目录
二次根式乘除法的应用
重 ■题型
二次根式的四则混合运算
乐学教育学员个性化教学辅导教案学科:数学任课教师：授课时间：年月日(星期)一、 知识回顾1,计算:（1）2）（）÷2．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y -（x 3．下列各等式成立的是（）．A ．．C ．．二，新课讲解二、探索新知二次根式加减乘除混合运算时，等同于整式的加减乘除混合运算可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．二次根式的运算：（1）二次根式混合运算的运算次序是：先乘除，后加减；（2）整式运算的运算法则和运算律对二次根式同样适用。
（3）二次根式的运算结果能化简的必须化简。
1.计算：15)32125(⨯+，)52)(103(-+，)23()23(-⨯+， 2)523(+，(＋2)×，12)323242731(⋅-- )32)(532(+-，()－5)·，(－＋1)×2(2－3)2011(2＋3)2012，，。
(＋3)－)1232127---1112-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，26)1(30--+-π 4b)+)-(3a)+)(a>0,b>0)，(2–5)(+)2,+)––b,)(a>0,b>0)])251()251[(5122--+，3232353135-+---+，)23)(36(23346++++ ◆【典型例题】2.（1）若x ＝－3，求代数式x 2＋6x ＋11的值.（2）若x ＝＋1，求代数式x 2－2x －3的值.3.下列何者是方程式（﹣1）x=12的解？（ ）A 、3B 、6C 、2﹣1D 、3+34.设12211=112S ++,22211=123S ++,32211=134S ++,…,2211=1(1)n S n n +++设...S =+S ＝_________(用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．5.已知a b 、为有理数，m n 、分别表示5且21amn bn +=，则2a b +=.6.先化简再求值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次根式的四则混合运
算
SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-
乐学教育学员个性化教学辅导教案学科:数学任课教师：授课时间：年月日(星期)
一、 知识回顾
1,计算:
（12）（）÷
2．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y -（x ）的值． 3．下列各等式成立的是（）．
A ．．
C ．．
二，新课讲解
二、探索新知
二次根式加减乘除混合运算时，等同于整式的加减乘除混合运算可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．
二次根式的运算：
（1）二次根式混合运算的运算次序是：先乘除，后加减；
（2）整式运算的运算法则和运算律对二次根式同样适用。
（3）二次根式的运算结果能化简的必须化简。
1.计算：
15)3212
5(⨯+，)52)(103(-+，)23()23(-⨯+， 2)523(+，(＋2)×，12)323242731(
⋅-- )32)(532(+-，()－5)·，(－＋1)×2
(2－3)2011(2＋3)2012，，。
(＋3)－)
12
32127---1112-⎛⎫ ⎪⎝⎭，2
6)1(30--+-π 4b)+)-(3a)+)(a>0,b>0)，(2–5)(+)2,+)––b,)(a>0,b>0)
])251()251[(5
122--+，3232353135-+---+，)23)(36(23346++++ ◆【典型例题】
2.（1）若x ＝－3，求代数式x 2＋6x ＋11的值.（2）若x ＝＋1，求代数式x 2－2x －3的值.
3.下列何者是方程式（
﹣1）x=12的解？（ ） A 、3
B 、6
C 、2﹣1
D 、3+3 4.设12211=112S ++,222
11=123S ++,32211=134S ++,…,2211=1(1)n S n n +++ 设12...n S S S S =+S ＝_________(用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．
5.已知a b 、为有理数，m n 、分别表示57-21amn bn +=，则2a b +=.
6.先化简再求值。
ab b a a b ab b a b a b a -÷-++-+])()
)((4
[，其中a=3，b=4 7、已知2323,232
3-+=+-=y x 求代数式22353y xy x +-的值
◆【变式训练】
8.设2611-的整数部分为x ，小数部分为y ，求y
y x 2++的值。
9.已知117-=a ，求19992345)1718172(-+--+a a a a a 的值
10.已知223-=x ，y 是x 的倒数，则22xy y x -的值为
11.已知232
3,232
3-+=+-=y x ，则22y x +的值为
12.已知75+的小数部分为a ，75-的小数部分为b ，则ab+5b=
13.若y
m y 1+=，则y y 2
1+的结果为 ◆【巩固练习】
14.若22+=a a ，则=+a
a 1
15.化简y
x y x xy x y y x 2)2(-+⋅⋅-= 16.已知351
,351
+=-=
y x ，求下列各式的值（1）225y xy x +-（2）y x y x y x y x +---+
随堂检测 18.已知23+=-b a ，23-=-c b 求ac bc ab c b a ---++222的值
19..已知1
54-=a ，求出122123---a a a 的值 20.已知222
2-=+=b a 求代数式b a b a b a ab a ab a b ab b +-⋅+÷-++)(的值
四、课堂小结 本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并
可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：
1．被开方数不含分母；
2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
二次根式的运算：
（1）二次根式混合运算的运算次序是：先乘除，后加减；
（2）整式运算的运算法则和运算律对二次根式同样适用。
（3）二次根式的运算结果能化简的必须化简。
课后巩固复习：作业_________题
1.下列计算正确的是（） A.256243=+ B.248=
C.()23-=-3
D.27÷3=3
2.下列计算正确的是（） 1.10220= B.632=•
C.224=-
D.()2233-=-
5.若a,b 为实数，且满足∣a-2∣+02=-b ，则b-a 的值为（）
A.2
B.0
C.-2
D.以上都不对
6.已知x 10182
22=++x x x ，则x 的值为（） A.2B.±2C.4D.±4
7.已知a>1，下列式子正确的是（） A.a a 〉1 B.a a 〉 C.a
a 11〈 D.a a -=-1)1(2 二、 填空题
8.已知实数a 、b 、c 满足0=+a a ，ab ab =，0=-c c ，那么代数式2222b bc c c a b a b +---++-化简后的结果为
9.满足不等式234
+＜x ＜354
-的整数x 的个数是 10、设5的整数部分为m ，小数部分为n ，则51⎪⎭⎫ ⎝
⎛-n m m 的值为 11．当a =______时，最简二次根式12-a 与73--a 可以合并． 12．若27+=a ，27-=b ，那么a ＋b =______，ab =______． 12．已知二次根式b a b +4与b a +3是同类二次根式，(a ＋b )a 的值是______．
13．383
2ab 与b a b 26无法合并，这种说法是______的．(填“正确”或“错误”) 14．已知二次根式b a b +4与b a +3是同类二次根式，(a ＋b )a 的值是______．
15．383
2ab 与b a b 26无法合并，这种说法是______的．(填“正确”或“错误”) 三、 计算题
16、化简：
)2(222
322>-++-++x x x x x ，3211
-+，
17、 已知c ＞1，1--=c c x ，c c y -+=1，12+-+=c c z ，比较x ，y ，z 的大小关
系。
18、 已知a=（2+5）2010（25-）2011-2（25+）0+
()22-，求a 2+4a 的值。
19、已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（32
932y x y x x +）-（x 2x y x x 51-）的值。
20.已知x,y 为实数，y=319922-+-+-x x x ，求5x+6y 的值。
预习布置：。