十四种空间格子
第2章 晶体结构
A4
B4
A4′
A1
B1
A1′
A B AB
A3
A2
B2
B3
A3′
A2′
P1
E1
ED P2
ED
P1、P2是对称面，AD不是 24
注意：晶体可以没有对称面， 也可以有一个或几个P，但 最多有9个，有n个对称面记 为nP。
三角形有1P
(2)因为晶体外形为有限、封闭凸多多面体，晶体的 宏观对称性还有以下特点：(1)不存在平移对称性，(2)如 果同时包含几种宏观对称要素，它们必定交于一点。
31
2.1.2.4 晶体的对称型与晶体分类
(1) 对称(类)型(点群)
对称型：一个晶体中全部宏观对称要素的组合。
特点：①它包含了晶体中全部对称要素的总和以及它们
但由于提高了轴次，一般用（L3+P）代替它。
27
Li1=C
Li2=P
Li3= L3+C
Li4(独立)
Li6=L3+P
对称反轴示意图
28
四次对称反轴 L4i
L4i
A
B
C
D
29
六次对称反轴
L6i
L 6i
三方柱
30
小结： (1)晶体宏观对称性只包含8种独立对称要素：
L1、L2、L3、L4、L6 、P、C、 Li4
33
32个点群的意义在于不管晶体形状如何多 样复杂，但它的宏观对称性必属于32个点群中 的某一个，绝不会找不到它的对称类型。 32个 点群是研究晶体宏观对称性的依据，也是晶体 宏观对称性可靠性的系统总结。
晶体构造的几何理论
同于对应的单位平行六面体参数。
▪一般未加说明的晶胞一词是指单位晶胞。
例如：NaCl晶体的晶胞，对应的是立方面心格子， a=b=c=0.5628nm，α=β=γ=90°。许许多多该晶 胞在三维空间无间隙的排列就构成了NaCl晶体。（一 个晶胞含有4个NaCl分子）
例如，下图为具有L44P的平面格子。显然，4、5、6 与对称不符，3的轮廓虽然符合对称性，但结合其内 部结点的分布一起来考虑时，就与对称不符了。在1 和2中，则以1的面积最小，故应选1作为基本单位。
平行六面体的三根棱长a、b、c及其夹角α、 β、γ是表示它本身的形状、大小的一组参数， 称为单位平行六面体参数或格子常数。
四方体心格子
三
方
与本晶系
晶 系
对称不符
三方菱面体格子(标记为R)
三 、 六 方 晶 系
六方和三方原始格子
不符合六 方对称
等 轴
与本晶系
晶 系
对称不符
立方原始格子
I＝R 与空间格子 条件不符
立方体心格子
F＝I
F胞的概念
▪晶胞：是指晶体结构中的平行六面体单位，
代表格子类型（P、C、I、F）。后一部分与对称型国际符
号基本相同，只是将宏观对称要素符号换成相应的内部结 构对称要素的符号。
Cl－ Na＋
Cl- Na+
三、晶体内部构造的对称要素
❖晶体内部构造的对称属于微观的无限图形的对称， 不同于晶体外形的对称，外形的对称取决于内部构造 的对称，而且是宏观的有限图形的对称。
晶体的微观对称的主要特点如下： ⑴在晶体构造中，平行任何一个对称要素都有无穷多 的和它相同的对称要素。
⑵在晶体构造中出现了一种在晶体外形上不可能有的 对称操作——平移操作。
第一章结晶学基础-1.3.1十四种布拉维点阵_6.14ZSQ
材料科学基础第1 章1.3.1 十四种布拉维点阵十四种布拉维点阵一、单位平行六面体的选取二、十四种布拉维点阵三、晶胞空间点阵的划分 空间点阵是一个由无限多结点在三维空间作有规则排列的图形。
整个空间点阵就被这些平行线分割成多个紧紧地排列在一起的平行六面体有缘学习更多驾卫星ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）单位平行六面体的 选取原则 3.大小原则体积最小 1 对称性原则应能反映空间点阵对称性 2 角度原则 直角关系尽可能多4 对称性规定夹角不为直角 结点间距最小的行列做棱，夹角最接近直角的平行六面体二维平面点阵的划分(A)具有L44P的平面点阵；(B)具有L22P的平面点阵单位平行六面体在空间点阵中，选取出来的能够符合这几条原则的平行六面体称为单位平行六面体；可以用三条互不平行的棱a、b、c和棱间夹角α、β、γ来描述，如下图所示。
点阵常数棱a、b、c和棱间夹角α、β、γ的大小称为点阵常数。
晶体的点阵常数十四种布拉维点阵（格子）简单（原始）点阵（格子）(P) 结点分布在角顶，每个点阵包含一个结点体心点阵（格子）（I）结点分布在角顶和体心，每个点阵包含二个结点十四种布拉维点阵（格子）面心点阵（格子）(F) 结点分布在角顶和面心，每个点阵包含四个结点单面心点阵（格子）(A/B/C) 结点分布在角顶和一对面心，每个点阵包含2个结点根据布拉维推导，从一切晶体结构中抽象出来的空间点阵，按上述原则来选取平行六面体，只能有14种类型，称为14种布拉维点阵。
十四种空间点阵正交P(简单) C(底心) I(体心) F(面心) 点阵常数 a ≠ b ≠ cα= β= γ= 90°立方简单立方(P) 体心立方（I）面心立方（F）点阵常数 a =b =cα= β= γ= 90°如图立方为什么没有底心呢？假如有底心，将破坏立方的3L 4的对称性，只有1L 4。
立方三方（R ） 90120≠<====γβαc b a 点阵常数：六方（H ）12090===≠=γβαcb a 点阵常数： 四方（P ） 四方（I ）90===≠=γβαc b a 点阵常数：四方也不可能有底心，假如有，则破坏了“点阵点最少”的条件，还可画出只有一个点阵点的格子。
空间点阵[资料]
![空间点阵[资料]](https://img.taocdn.com/s3/m/086e9f5032687e21af45b307e87101f69e31fb68.png)
-空间点阵空间点阵到底有多少种排列形式？按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，在这样一个限定条件下，法国晶体学家布拉菲（A. Bravais）曾在1848年首先用数学方法证明，空间点阵只有14种类型。
这14种空间点阵以后就被称为布拉菲点阵。
空间点阵是一个三维空间的无限图形，为了研究方便，可以在空间点阵中取一个具有代表性的基本小单元，这个基本小单元通常是一个平行六面体，整个点阵可以看作是由这样一个平行六面体在空间堆砌而成，我们称此平行六面体为单胞。
当要研究某一类型的空间点阵时，只需选取其中一个单胞来研究即可。
在同一空间点阵中，可以选取多种不同形状和大小的平行六面体作为单胞，如图1-8所示。
一般情况下单胞的选取有以图1-8 空间点阵及晶胞的不同取法图1-9面心立方阵胞中的固体物理原胞图1-10晶体学选取晶胞的原则下两种选取方式：1．固体物理选法在固体物理学中，一般选取空间点阵中体积最小的平行六面体作为单胞，这样的单胞只能反映其空间点阵的周期性，但不能反映其对称性。
如面心立方点阵的固体物理单胞并不反映面心立方的特征，如图1-9所示。
2．晶体学选法由于固体物理单胞只能反映晶体结构的周期性，不能反映其对称性，所以在晶体学中，规定了选取单胞要满足以下几点原则（如图1-10所示）：①要能充分反映整个空间点阵的周期性和对称性；②在满足①的基础上，单胞要具有尽可能多的直角；③在满足①、②的基础上，所选取单胞的体积要最小。
根据以上原则，所选出的14种布拉菲点阵的单胞（见图1-12）可以分为两大类。
一类为简单单胞，即只在平行六面体的 8个顶点上有结点，而每个顶点处的结点又分属于 8个相邻单胞，故一个简单单胞只含有一个结点。
另一类为复合单胞(或称复杂单胞)，除在平行六面体顶点位置含有结点之外，尚在体心、面心、底心等位置上存在结点，整个单胞含有一个以上的结点。
14种布拉菲点阵中包括7个简单单胞，7个复合单胞。
图1-11 单晶胞及晶格常数根据单胞所反映出的对称性，可以选定合适的坐标系，一般以单胞中某一顶点为坐标原点，相交于原点的三个棱边为X、Y、Z三个坐标轴，定义X、Y轴之间夹角为γ，Y、Z之间夹角为α，Z、X轴之间夹角为β，如图1-11所示。
结晶学讲7-晶体内部结构的微观对称
• s：小于n的自然数
• 旋转的方向：左旋：左手系，顺时针 右旋：右手系，逆时针
• 移距
t= (s/n)T
• t为螺距(滑移距离），T为沿螺旋轴方向的 结点间距 • 当s=n 时，即为对称轴 • 举例： •
31 43
基转角为120°， 平移距离为t=1/3T 基转角为90 ° 平移距离t =3/4T
• 为什么只有14种空间格子的原因； • 会读懂内部对称要素的各种符号： 如：31，42，65，n, d, • 空间群及其国际符号：如：Pn3m, Cmcm,
2、空间群的国际符号
• 国际符号的优点：能直观地看出空间格子的型式和 什么方向上有什么对称要素； 缺点：同一种空间群由于不同的定向以及其它原因 可以写成不同的符号。 • 空间群国际符号的组成： ①格子类型(大写英文字母) + ② 内部结构对称型的国 际符号(与宏观对称型的国符书写方式基本相同) 如:金刚石的空间群为Fd3m,属m3m对称型 • 如何看懂空间群？
3c
43m
等 立方 轴 面心
c
滑移
空间群
点群
晶 格子 对称要素方向 系 类型 及名称
1、平行Z轴有 63 螺旋轴， 垂直Z有对称面 m
2、垂直于xyu有c 滑移面 3、垂直于相邻两水平晶 轴（y u）角平分线有对称 面
P63/mc m
6/mmm 六 六方 方 原始
Abm2
mm 2
斜 斜方 1、垂直于X轴有滑移 方 底心 面 b 格子 2、垂直于y 轴有对称 面m 3、平行于 Z 轴有L2
四、 等效点系
• 等效点系（equivalent point-system）： 是 指晶体结构中由一原始点经空间群中所有 对称要素操作所推导出来的规则点系。 • 晶体结构中的空间群，对应于晶体几何外 形的对称型 ；而等效点系的概念则类似于 单形的概念。
中科大《结晶化学导论》第3章——唐凯斌2015
金刚石结构沿[001]方向的投影 滑移面在宏观尺度表现为反映面 同一方向上滑移面等距离无穷分布
滑移面
名称 对称面 轴滑移
对角滑 移 金刚石 滑移
符号
方向
m
a [010]/[001]
b [100]/[001]
c [100]/[010]/[110]
n [001]; [010]; [100]
[1-10]
e 滑移面 （double glide plane）
一个滑移面同时具有两个互相垂直的滑移分量，它只存 在于复格子中。
[100]方向
[010]方向
螺旋轴(screw axis)：晶体结构围绕一条直线旋转一定角度后， 再沿着该直线方向平移一定距离，结构中的每个质点均与相同 质点重复。相应的对称操作为旋转和平移的复合操作。
第三章 晶体的微观对称性
第一节 十四种空间格子 第二节 晶体的微观对称元素 第三节 微观对称元素组合原理 第四节 空间群 第五节 等效点系
第一节 十四种空间格子
微观晶体对称性与宏观晶体的根本区别是增加了平移对称性， 描述微观对称性首先是要表征平移对称性，这可以通过选取合 适的空间格子来反映。
• 点阵周期重复单位可能的选取方式
I格子：(a + b + c)/2
F格子：(a + b)/2, (a + c)/2, (b + c)/2
在满足布拉威法则的前提下，附加平移类型是格子类型的充要条件。
滑移面(glide plane)：晶体结构沿着某一平面进行反映，再平 行于该平面平移一定距离，结构中的每个质点均与相同的质 点重复。相应的对称操作为反映和平移的复合操作。
为什么六方平面点阵平移可以得到三方空间点阵？
晶体常识
12 简单立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
13 体心立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
14 面心立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
2.1.2 晶向指数和晶面指数
晶面（crystal plane）——晶体结构一系列原子所 构成的平面。
晶向（crystal directions）——通过晶体中任意两 个原子中心连成直线来表示晶体结构的空间的各个 方向。
距为负数则在指数上加一负号。
立方晶系中晶面指数示意图
立方晶系中两个晶面指数
晶面指数还有如下规律：
（1）某一晶面指数代表了在原点同一侧的一组想互平行且 无限大的晶面。
(2) 若晶面指数相同，但正负符号相反，则两晶面是以点 为对称中心，且相互平行的晶面。如（110）和（TT0）互相 平行。
(3) 凡晶面间距和晶面上原子分布完全相同，只是空间取 向 不 同 的 晶 面 ， 可 归 为 同 一 晶 面 族 （ crystal plane group），用{hkl}表示。如{100}包括（100）、（010）、 （001）、（T00）、（0T0）、（00T）。
的
七大晶系和十四种空间格子
七大晶系：
1.三斜晶系（triclinic system）：a≠b≠c，α≠β≠γ≠ 90° 2.单斜晶系（monoclinic system ）：a≠b≠c，α＝γ＝90°≠β 3.正交(斜方)晶系（orthogonal system ）：a≠b≠c，α＝β＝γ＝ 90° 4.四(正)方晶系（tetragonal system ）：a＝b ≠ c，α＝β＝γ＝90° 5.立方晶系（cubic system ）：a＝b＝c，α＝β＝γ＝90° 6.六方晶系（hexagonal system ）：a＝b ≠ c，α＝β＝90°，γ＝120° 7.菱形晶系（rhombohedral system）：a＝b＝c， α＝β＝γ≠90°
《晶体结构分析》实验
实验一、晶体结构分析一一、实验目的掌握14种空间格子的几何特征与球体密堆积理论，了解配位多面体的配置。
二、实验仪器十四种空间点阵结构模型，球形模型三、实验内容1．了解14种空间格子的几何形态，分析空间格子类型；2．熟悉密堆积理论，注意观察球体堆积时，周围空隙的类型、位置与数量情况；3．了解几种配位多面体的配置情况。
四、实验方法1．观察14种空间格子模型表征14种空间格子，用晶格常数α、β、γ和a、b、c；并判断其所属晶系。
2．观察球体密堆积模型用球体模型进行面心立方紧密堆积、六方紧密堆积和体心立方近似密堆积，分析球体周围空隙的类型、数目和位置分布。
观察分析面心立方紧密堆积、六方紧密堆积和体心立方近似密堆积的单位晶胞，注意其四、八面体空隙分布，判断其数量。
3．观察配位多面体模型模型五、实验报告1．绘制14种空间格子的几何形态，并用注明晶格常数的形式表示出所有14种空间格子；2．分析三种常见的球体堆积情况，绘制出其单位晶胞，画出其（111）、（110）（100）晶面原子排布图[ 密排六方需画出（0001）晶面 ]；3．分析体心立方与面心立方单位晶胞中四、八面体空隙的位置分布与数量，并绘图；4．对不同配位多面体绘图，讨论其临界半径比。
（注：在预习报告中要将14种空间格子的几何图形画好）六、思考题面心立方结构中四面体空隙的数目有几个？他们都是如何分布的？八面体空隙有几个？如何分布？实验二、典型晶体结构分析一、实验目的掌握几种典型矿物的结构，了解晶胞的几何特征。
二、实验仪器晶体结构模型，球和短棒三、实验内容1．对照实际具体结构模型，熟悉金刚石、石墨、氯化钠、氯化铯、闪锌矿、纤锌矿、金红石、碘化镉、萤石、钙钛矿、尖晶石的晶体结构特征；2．观察层状和架状硅酸盐矿物的晶体结构模型的特点，注意观察高岭土、方石英的结构；3．标定萤石模型中所有质点的几何位置；4．组装一个晶体结构模型。
四、实验方法1．分析晶胞模型金刚石、石墨、氯化钠、氯化铯、闪锌矿、纤锌矿、金红石、碘化镉、萤石、钙钛矿、尖晶石均为一个单位晶胞，通过一个单位晶胞，分析晶胞所属空间格子类型及正负离子或原子所处的空间位置，对照模型，分析正负离子的配位数。
-晶体结构的几何理论
若行列经过坐标原点， 把该行列上距原点最近 的结点坐标x，y，z放在 “[ ]”内， [xyz]即为该行列的行 列符号。
X
[111]
Y
Crystallography
点的坐标 coordinates of point
空间格子中结点、行列符号的表示方法
图中粗实线及箭头表示行列方向，圆圈代表结点
质点
结点 （相当点）
立方面心格子
质点
NaCl晶胞
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
a
b
在一个晶胞中，反映了晶体结构中对称要素和 质点的种类及分布规律。 对一个晶胞进行分析，就可以知道整个晶体结 构中对称要素和质点分布规律。
第8章 晶体结构的几何理论
⑶各晶系单位平行六面体的形状
③斜方晶系 a≠b≠c α=β=γ=90°
c
β α a γ
b
斜方格子
CrystallographyΒιβλιοθήκη 第8章 晶体结构的几何理论
⑶各晶系单位平行六面体的形状
④单斜晶系 a≠b≠c α=γ=90° β ≠ 90°
c
β α γ a
b
单斜格子
Crystallography
有些格子类型与所在晶系的对称不符。 有些格子类型与空间格子的条件不符。 有些格子类型可以被改划为其它格子。
因此，只有14种空间格子，也叫14种布拉维格子。 （A.Bravis于1848年最先推导出来的）
十四种空间格子
举例说明：
1、四方底心格子可转变为体积更小的四方原
始格子 ；
2、在等轴晶系中，若在立方格子中的一对面
晶体结构基本知识
Wyckoff符号可以在 《International Tables for X－Ray Crystallography》Vol.1，1952
书中查询，也可以在网上数据库中查询。
5.4533 5.4533 5.4533 90 90 90
c a a ＋b
-42m, 4/mmm 晶胞形状： a＝b<>c
α＝ ＝＝90
六方晶系－Hexagonal
点群符号 各符号的方位
6，6
－62m，62，6/m
c a 2a＋b
6mm，6/mmm 晶胞形状： a＝b<>c
α＝ ＝90, ＝120
三方晶系－Rhombohedral
一般在晶体结构描述时，按六方晶格进行 描述，在此略过。
99 P4mm 100 P4bm 101 P42cm 102P42nm 103 P4cc 104 P4nc 105 P42mc 106 P42bc 107 I4mm 108 I4cm 109 I41md 110 I41cd 111 P-42m 112 P-42c 113 P-421m 114P-421c 115 P-4m2 116 P-4c2 117 P-4b2 118 P-4n2 119 I-4m2 120 I-4c2 121 I-42m 122 I-42d P4/mmm 124P4/mcc 125 P4/nbm 126 P4/nnc P4/mbm 128 P4/mnc 129 P4/nmm 130 P4/ncc P42/mmc 132 P42/mcm 133 P42/nbc 134 P42/nnm P42/mbc 136 P42/mnm 137 P42/nm c 138 P42/ncm I4/mmm 140 I4/mcm 141 I41/amd 142 I41/acd
14种布拉维点阵的结构特征
14种布拉维点阵的结构特征布拉维点阵是描述晶体中原子、离子或分子排列方式的一种数学模型。
有14种布拉维点阵，也被称为14种布拉维格子或14种布拉维空间群。
这些点阵通过特定的对称性元素来定义。
以下是这些14种布拉维点阵的主要结构特征：1三立方格子（Triclinic）：没有垂直平面或轴的对称性。
所有晶胞边长和角度均可不同。
2单斜格子（Monoclinic）：有一个垂直平面。
一个轴有对称性。
3正交格子（Orthorhombic）：三个垂直的平面和三个垂直的轴。
所有晶胞角度均为90度。
4四方格子（Tetragonal）：一个垂直平面和一个垂直轴。
所有晶胞边长相等，两个轴长度相等。
5六方格子（Hexagonal）：六重对称性轴，垂直于平面。
六边形的基本晶胞。
6立方格子（Cubic）：三个垂直平面和三个垂直轴。
所有晶胞边长相等，所有角度均为90度。
7三斜半基心格子（Triclinic P）：没有垂直平面或轴的对称性。
所有晶胞边长和角度均可不同。
8单斜面心格子（Monoclinic P）：有一个垂直平面。
一个轴有对称性。
9正交面心格子（Orthorhombic P）：三个垂直的平面和三个垂直的轴。
所有晶胞角度均为90度。
10四方面心格子（Tetragonal P）：一个垂直平面和一个垂直轴。
所有晶胞边长相等，两个轴长度相等。
11六方面心格子（Hexagonal P）：六重对称性轴，垂直于平面。
六边形的基本晶胞。
12立方面心格子（Cubic P）：三个垂直平面和三个垂直轴。
所有晶胞边长相等，所有角度均为90度。
13三斜体心格子（Triclinic I）：没有垂直平面或轴的对称性。
所有晶胞边长和角度均可不同。
14正交体心格子（Orthorhombic I）：三个垂直的平面和三个垂直的轴。
所有晶胞角度均为90度。
这些布拉维点阵描述了晶体的结构特征，是研究材料科学和晶体学的重要工具。
结晶学基础教案
第一部分结晶学基础教案任课老师：许虹2002年2月第一章绪论一．晶体和非晶体 crystal and noncrystal晶体：具有格子构造的固体。
如SiO2:石英——晶体,玻璃——非晶体NaCl晶体二．空间格子 Space lattice晶格结点重复规律，抽象→ 几何图形—空间格子—相当点组成相当点条件：（1）性质相同，质点，空间任意一点（2）环境方位性同空间格子要素：空间格子最小重复单位。
实际晶体相应的是晶胞（形状，大小）三．晶体的基本性质 The ultimate properties of crystal自限性 property of self-confinement,均一性 homogeneity,各向异性 anisotropy,对称性symmetry,最小内能minimum internalenergy,稳定性 stability第二章晶体的形成 crystal formation （第一章和第二章共2学时）重点：晶体概念，空间格子，晶体的基本性质难点：空间格子←NaCl晶体←空间格子←NaCl, FeS2一．晶体形成的方式the way of crystal formation 二．晶核的形成三，晶体的生长 crystal growth介绍两种主要理论。
1．层生长理论layer growth2．螺旋生长理论 BCF Buston-Cabresa-Frank三．晶面发育growth of crystal face三个主要理论。
1.布拉维法则law of Bravais实际晶体的晶面常常平行网面结点密度最大的面网。
2.居里—吴里夫原理就晶体的平衡形态而言，各晶面的生长速度与各晶面的比表面能成正比。
3.周期键链理论PBC Periodic Bond Chain晶体平行键链生长，键力最强的方向生长速度最快。
第三章、晶体的测量与投影一．面角恒等定律Law of constancy of angle 定律：同种晶体之间，对应晶面间的夹角恒等。
14种布拉维格子及堆积方式
2.3.4 思考题
• 1. 什么是布拉维格子？试指出14种布拉 维格子的特征。 • 2. 等大球体的紧密堆积有几种形式？并 指出相应的空隙情况。
最紧密堆积的方式有两种，一是六 方最紧密堆积（Cubic closest packing， 缩写为CCP），最紧密排列层平行于 {0001}，可以用ABABAB……顺序来表 示（图2-3-2）。另一种是立方最紧密堆 积（Hexagonal closest packing，缩写为 HCP），最紧密排列层平行于{111}，可 以用ABCABCABC……顺序来表示（图 2-3-3）。自然铜、自然金、自然铂等矿 物的晶体结构属立方最紧密堆积方式， 而锇铱矿以及金属锌等晶体的结构属六 方最紧密堆积方式。
符合对称特点和选择原则的格子共有7 种类型，共计14种不同型式的空间格子， 即通常所称的十四种布拉维格子（the fourteen Bravais space lattices），如图2-31所示。布拉维格子是空间格子的基本组成 单位，只要知道了格子形式和单位平行六 面体参数后，就能够确定整个空间格子的 一切特征。
2.3 14种布拉维格子和球体 紧密堆积
2.3.1 实验目的
• 加深对14种布拉维格子和球体紧密堆积 原理的理解。
2.3.2 基本原理
1. 布拉维格子 只在单位平行六面体的八个角顶上分布有 结点的空间格子，称为原始格子 （Primitive lattice,符号P），在单位平行 六面体的体中心还有一个结点时，则构 成体心格子（Body-centered lattice，符 号I）。
三方菱面体
C:与本晶系 对称不符
I=P F=P
简单四方
C=P
体心四方
F=I
简单立方
结晶矿物学 第一章 晶体和非晶体
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1.4 非晶质体（固体）
非晶质：琥珀、玻璃、塑料、树脂、沥青
炭黑：结构重复的周期很少，只有几个几 十个周期，称为微晶。介于晶体和非晶质 体之间的状态。
棉花、蚕丝、毛发、人造纤维： 具有不完整的一维周期性特征，并 沿纤维轴择优取向，称为纤维多晶 物质。
第一章 晶体和非晶体
D·平行六面体：空间格子的最小单位，又叫单位密度空间格 子。 平行六面体由六个两两平行的面网组成，结点分布于角顶上， 平行六面体的三个棱长，是三条相应行列的结点间距。
第一章 晶体和非晶体
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1.2.3 14种空间格子
法国学者A.布拉菲根据晶体结构的最高 点群对称和平移群（所有平移轴的组合）对 称及以上原则，将所有晶体结构的空间点阵 划分成十四种类型的空间格子，称14种空间 格子或布拉菲格子。
第一章 晶体和非晶体
1.4 非晶质体
第一章 晶体和非晶体
晶体与非晶质体在结构上的区别 有序的概念 如前述石英晶体中的硅、氧原子有严
格的周期性排列，具有某种重复规律，并 且在大范围内都呈周期性的规则排列，即 长程有序。
石英玻璃的结构特点： 石英玻璃结构内硅、氧原子的排列
和石英晶体不一样（研究图）。 一个硅原子周围也有四个氧原子，
上振动保持格子的平衡，晶体总是处于最稳定状态。
晶体的基本性质
·对称性 晶体中相等的晶面、晶棱、角顶以及 晶体的物理化学性质在不同方向或位置上有规律 地重复出现。
晶体的宏观对称是由晶体内部
格子构造的对称性所决定的。
金刚石的八面体对称结构
晶体的基本性质 玻璃体等非晶质体具有等向性
·异向性（各向异性）晶体的性质因方向不同而 有差异。这是因为晶体在不同的方向上质点的排 列方式不同而决定的。
-晶体结构的几何理论
单位平行六面体是空间格子的最小组成单位。
无数个平行并置的单位平行六面体构成空间格子.
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
⑴单位平行六面体的划分
Crystallography
⑴单位平行六面体的划分
对于每一种晶体结构而言，其结点的分布是客 观存在的，但平行六面体的选择是人为的。
第8章 晶体结构的几何理论
四 方
C=P
F=I
三 方
与本晶系对称 不符
I=F
F=P
六 方
与本晶系对称 不符
与空间格子 条件不符
与空间格子 条件不符
等 轴
与本晶系对称 不符
Crystallography
十四种空间格子
七个晶系—七套晶体常数—七种平行六面体形状。 每种形状有四种类型，那么就有7×4=28种空间格子？
可以全为正值：1，1，1 也可以有负值：-x，–x， 0
b
0,1,0,
Y
1/2,1/2,0
分数：1/2，1/2，1/2
小数：0.5，0.5，0.5 例：金红石中x＝0.33
Crystallography
X
1,0,0,
第8章 晶体结构的几何理论
③行列（晶向）符号(Crystal directions) 表示行列方向的符号，[x y z]
2hkabc2(cosαcosβ-cosγ)+2kla2bc(cosβcosγ-
cosα)+2hlab2c(cosαcosγ-cosβ)]-1/2
其中V＝abc(1-cos2α-cos2β-cos2γ+2cosαcosβcosγ)1/2
第8章 晶体结构的几何理论
第八章晶体内部结构的微观对称和空间群2015讲解
十四种空间格子
3．各晶系平行六面体的形状和大小
平行六面体的形状和大小用它的三根棱长（轴长）a、 b、c及棱间的夹角（轴角）、、表征。这组参数 （a、b、c；、、）即为晶胞参数。
在晶体宏观形态中我们可以得到各晶系的晶体常数特 点，是根据晶轴对称特点得出的。 宏观上的晶体常 数与微观的晶胞参数是对应的，但微观的晶体结构中 我们可以得到晶胞参数的具体数值。
斜方
四 方
C=P
F=I
与本晶系对称
三 方
不符
I=F
F=P
六
与本晶系对称
与空间格子
与空间格子方不符条件不符条件不符
等 轴
与本晶系对称 不符
十四种空间格子
请判断CsCl的格子类型 举例：金红石和石盐晶体模型
十四种空间格子
上述画格子的条件实质上与前面所讲的晶体定向的原则 是一致的（回忆晶体定向原则？），也就是说，我们在宏观 晶体上选出的晶轴就是内部晶体结构中空间格子三个方向的
空间格子中，结点、行列和面网可进行指 标。即通过一定的符号形式把它们的位置 或方法表示出来。
点的坐标 行列符号 面网符号
8.3 空间格子中点的坐标、行列及面网符号
① 空间格子中坐标系的建立 Z
坐标轴 单位平行六面体三条棱的方向。
坐标原点 单位平行六面体的角顶。
c
b
a
Y
坐标轴度量单位
一个空间群可看成是由两部分组成的，一部分是晶体结构中 所有平移轴的集合，称为平移群；另一部分就是点群, 即晶 体宏观对称要素的集合。
空间群是从对称型（点群）中推导出来的，每一对称型（点 群）可产生多个空间群，所以32个对称型（点群）可产生 230种空间群。
2. 晶体学
根据 a1 a2 a3 0 和 u v t 0 的关系，上两式合并为： Ua1 Va2 Wc ua1 va2 (u v)(a1 a2 ) wc (2u v)a1 (2v u)a2 wc 整理后得
2 4 8 16 48
晶体学平面
晶体各向异性，物理化学性质与点阵面有关 平行的点阵面是等价的
《高等数学》平面方程 平面与三坐标轴的交点分别为 平面方程为
x y z 1 (a , b , c 0) a b c
特殊情况
a(b或c)→∞
晶体学平面
米勒指数: 平面与坐标轴截距的倒数，消去分数与公因数。 所有平行平面具有相同的米勒指数.
例如：OA矢量 两轴坐标表示是唯一的：[-2,-1] 三轴表示： [-2,-1,0] [-1,0,1] [0,1,2] OB矢量 两轴的唯一表示是：[-4,-3] 怎样解决？ 一定要附加约束条件！ 三轴表示： [-4,-3,0] [-1,0,3] 等 [1,2,3] 等
怎样的约束条件才是合适的？
f ( u v t) = 0
★ ★ ★ 不可能 不可能
★ 同I点阵
★ 不可能 不可能
十 四 种 布 喇 菲 点 阵
坐标系
z z z p( x, y, z,) z
p(r, , z) z y
y x
p(r,, ) r
y
x
x
x
r
y
直角坐标系 ( x, y, z )
柱坐标系 (r, , z )
球坐标系 (r, , )
表达法则 1. 读取面与坐标轴的截距 a, b, c 2. 取截距的倒数 3. 约化成最小的整数 4. 放入括号内, (hkl) 例子 1. 截距 2. 倒数 a
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同学们，再见！
的平行六面体的体积力求最小。
十四种空间格子
空间格子的划分
划分7种平行六面体
对应于7个晶系
形状及参数？
4mm
十四种空间格子
十四种空间格子
2．平行六面体中结点的分布
1）原始格子（ primitive, P）：结点分布于平行六面体的八个角顶。 2）底心格子（ end-centered, C、A、B）：结点分布于平行六面体 的角顶及某一对面的中心。 3）体心格子（ body-centered, I）：结点分布于平行六面体的角顶和 体中心。
4）面心格子（ face-centered, F）：结点分布于平行六面体的角顶和
三对面的中心。
十四种空间格子
以下两个平面点阵图案，画出其空间格子：
mm2(L22P) 4mm(L44P)
十四种空间格子
4mm
十四种空间格子
mm2 引出问题：空间格子可以有带心的格子； 另外请思考：如果上面的图案对称为3m，该怎么画？
十四种空间格子
总结： 在四种格子类型当中，其中底心、
体心、面心格子称带心的格子，这是因为有 些晶体结构在符合其对称的前提下不能画出 原始格子，只能画出带心的格子。
十四种空间格子
七个晶系—七套晶体常数—七种平行六面体种形状。 每种形状有四种类型，那么就有7×4=28种空间格子？
但在这28种中，某些类型的格子彼此重复并可转换，还有
一些不符合某晶系的对称特点而不能在该晶系中存在，因 此，只有14种空间格子，也叫14种布拉维格子。（A.Bravis
于1848年最先推导出来的）
举例说明： 1、四方底心格子可转变为体积更小的四方原始格子 ； 2、在等轴晶系中，若在立方格子中的一对面的中心安置结点， 则完全不符合等轴晶系具有4L3的对称特点，故不可能存在立 方底心格子。
十四种空间格子
3．各晶系平行六面体的形状和大小
平行六面体的形状和大小用它的三根棱长（轴长）a、 b、c及棱间的夹角（轴角）、、表征。这组参数
（a、b、c；、、）即为晶胞参数。
在晶体宏观形态中我们可以得到各晶系的晶体常数特 点，是根据晶轴对称特点得出的。 宏观上的晶体常
数与微观的晶胞参数是对应的，但微观的晶体结构中
P
I
a1
Hexagonal Rhombohedral = = 90o = 120o = = 90o a1 = a2 = a3 a1 = a2 c
P
R
a2 a1
P
Isometric = = = 90o a1 = a2 = a3
F
I
十四种空间格子
还应指出的是：对于三、六方晶系的四轴 定向也可转换成三轴定向，变为菱面体格 子。我们一般都用四轴定向。
十四种空间格子
例1：四方底心格子 ＝ 四方原始格子
十四种空间格子
例2：立方底心格子不符合等轴晶系对称
思考：立方底心格子符合什么晶系的对称？
空间格子的划分
Why not 7 × 4 = 28 ??
十四种空间格子
请判断CsCl的格子类型
举例：金红石和石盐晶体模型
十四种空间格子
上述画格子的条件实质上与前面所讲的晶体定向的原则 是一致的（回忆晶体定向原则？），也就是说，我们在宏观 晶体上选出的晶轴就是内部晶体结构中空间格子三个方向的 行列。
我们可以得到晶胞参数的具体数值。
c
c
c
b a b Triclinic abc
c
b
P
a
P
a C Monoclinic = = 90o abc
a
b
P
C
F
I
Orthorhombic = = = 90o a b c
c
c
a2 a1
a2 Tetragonal = = = 90o a1 = a2 c a3
十四种空间格子
1．平行六面体的选择
对于每一种晶体结构而言，其结点的分布是客 观存在的，但平行六面体的选择是人为的。
十四种空间格子
平行六面体的选择原则：
所选取的平行六面体应能反映结点分 布固有的对称性； 在上述前提下，所选取的平行六面体 棱与棱之间的直角力求最多； 在满足以上两条件的基础上，所选取