四计量经济学回归方程的其他函数形式

Durbin-Watson stat 0.183588 Prob(F-statistic)
0.018120
估计如下： Y 194.7766 1.958872X
t=(6.03)
(-2.61)
p=(0.0000)
(0.0181)
F=6.8366 R2=0.2868 Adj R2=0.24886
结论：无论从t, R2值还是散点图，回归曲线不能很 好拟合实际值，模型选择有偏差
1）回归中因变量不同。
2）残差不同，则 R2 不同。
3）对于同一变量，需要其他选择标准：变量之 间的相关性、解释变量符号、统计显著性和弹 性系数等一些因素。
4.多元对数线性回归模型
解释变量多于两个，是多元对数线性回归模型。 三变量回归模型：
ln Yi B1 B2 ln X 2i B3 ln X 3i ui
三. 线性-对数模型
线性对数模型是被解释变量
保持不变，而解释变量取对数，
即： Yt B1 B2 ln X 2t ut
表示：X的相对变动（每变动一个百分点），引起Y的绝对 变动量。
X Y B2 ( X )
表示Y的绝对变化量=B2乘以X的相对变 化量
即 X X
每变动0.01个单位（1%），则Y的绝对变化量为0.01
B2
例3：美国GNP(Y)与货币供应量(X)(1973-1987)的数 据，得出回归结果：
Y 16329 2584ln X
t (23.494) (27.549)
R2 0.9832
斜率2584表示： 通俗来说，由上述公式，货币供给每增加一个百分点，平 均而言，GNP将增长25.84亿美元（将估计斜率值B2乘以 0.01，或除以100）
ln Y 1.6524 0.3397 ln X 2 0.864 ln X 3
Se (0.6062) (0.1857)
(0.09343)
t (2.73)
(1.83)
(9.06)
p值 （0.014） （0.085） （0.000 ）
R 2 0.995 F 1688 ( p 0.000) , 表示值很
P
C
194.7766
32.30657
6.029009 0.0000
X
-1.958872
0.749175
-2.614704
0.0181
R-squared 0.286813
Mean dependent var 113.9474
Adjusted R-squared 0.244861
S.D. dependent var 47.07615
表示为：
ln Yt B1 B2t
经济计量学模型： ln Yt B1 B2t ut
如果满足 OLS 假设条件，则用 OLS 进行估计。
Y0-Y的初始值，Yt-第t期的Y值，r-Y的增长率（复利率）
如给出美国1973-1987年间未偿付 消费者信贷的数据，求其增长率Y
OLS估计结果:
LOG(Y) = 12.1 + 0.09464*t
t=(20.24901) ( -15.81134)
(14.71099)
p=(0.0000)
(0.0000)
(0.0000)
F= 154.9399 R2=0.9538 Adj R2=0.94836
不同函数形式小结
模
形式
边际 dY
弹性
型
dX dY X
线
性
Y B1 B2 X
dX Y
B2
B2
X Y
本例G=1.1857>1，表示墨西哥经济特征是规模报酬递增的
4）两系数t统计量显著：劳动力和资本对产出都 有显著的正影响，但资本的影响 >劳动力的影响。
5）F值很大（p很小）:因此能够拒绝零假设。从 而劳动力与资本对产出有影响。
6）R2=0.995表示:（对数）劳动力和资本解释了约 99.5%的（对数）产出的变动，很高的解释程度表 明模型很好地拟合了样本数据。
该模型称为双对数模型（对数线性模型）。
经济意义：斜率B2度量的是价格弹性-价格Xi每变动1% 所引起需求量Yi变动的百分比（B2*100%）
2、弹性E的定义：
平均弹性系数 E Y Y Y X
X X X Y
在本模型中
ln
Yi
ln
Yi1
ln
Yi Yi1
Yi 1 Yi Yi1 Yi
Yi1
Prob.
C
646.6270
31.93375 20.24901
0.0000
X
-25.44016
1.608982 -15.81134
0.0000
X^2
0.278053
0.018901 14.71099
0.0000
R-squared 0.950902
Mean dependent var 113.9474
函数为参数线性，用 OLS 估计。 总成本最小的条件为：单数（即 1、3）阶导数
大于零，双阶导数小于零。并且 B32 3B2B4 。其经
济计量模型为 Yi
B1
B2 X i
B3
X
2 i
ui
例5.p49（黄少敏主编，北大出版）收集下列数据
X 63 60 58 57 50 48 47 47 45 42 38 37 32 30 29 28 25 24 24
t=(376.4) (26.03)
R2=0.9824
解释如下： 斜率0.09464表示，平均而言，LOGY的年增长 率为0.09464，即为Y的年增长率为9.464%。
注：在半对数模型中，斜率度量了解释变量的绝对变 化所引起Y的相对变动或百分比变化。将相对改变量 乘以100=增长率。
模型系数 B2 度量增加一年时，因变量增长率为
二. 半对数模型(对数-线性)---测度增长率
(1)只有一个因变量以对数形式出现
增长率模型形式为
ln Yt B1 B2 xt ut
表示当自变量变化一个单位时，因变量的百 分比变化，即增长率。
例2 ：偿付消费者信贷增长
Y-此期间未偿付消费者信贷，
复利计算公式：Yt Y0 1 r t
两边取对数： l nYt l nY0 t l n 1r
Yi1
Yi1
令 Yi*
ln Yi ,
X
* i
ln
Xi
，则模型写为
Yi*
B1
B2
X
* i
ui
此模型是参数线性的和变量线性的。
1）对于变量非线性模型，可以通过适当的变量 代换，如对数变换，从而得到线性模型。
2）如果模型满足古典线性回归模型的假设条件， 则用OLS进行估计。
3. 对数线性和线性比较
判决系数 R2 不能作为模型选择标准：
变量对时间 t 的回归。对上例数据回归
Y = 133373 + 35288.9*T t=(4.247) (13.89) R2=0.9369 p值=（0.000）
表明：未偿付信贷有随时间向上升（系数>0）的趋势,年 绝对增长率为35289（百万美元）（在样本区间）。 注意:时间趋势的长期发展问题一般要检验残差。即是否 存在条件异方差。另方面，通常人们更关注经济变量的 相对变化而不是绝对变化。
多少。 B2 ln 1 r ，
即 r eB2 1 =1.0922-1=0.0992=9.92%。 r 为连续复利增长率，系数 B2 称为瞬时增长率。
注：9.92%是复利（一段时期）,B2=9.46%是单利增长率
(2)半对数模型：线性趋势模型
为计算简便，常用形式： Yt B1 B2t ut
Yi
X X e 2
1 2i
3 ui
3i
对数变换，
ln Yi ln 1 2 ln X 2i 3 ln X3i ui 0 2 ln X 2i 3 ln X3i ui
得到三变量回归模型。
例1：根据资料，给出1955-1974年间的墨西哥的产出（用GDP度
量），劳动投入X2,(总就业人数)，资本投入X3（用固定资产） 数据，得到回归结果如下：
7.938314
Log likelihood
-70.99733 F-statistic
154.9399
Durbin-Watson stat 1.352605
Prob(F-statistic)
0.000000
根据散点图重新设定模型为二次曲线：
Y =B1+B2X+B3X 2
重新估计如下：
Y 646.6270- 25.44016X 0.278053X 2
Yt
0.2594
20.588
1
T = （-0.2572） （4.396）X t
R2=0.6594
X-失业率
-0.26
最低工资为-0.26%，不为0-不显著，表
明无论失业率有多高，工资增长率最多
为0
五. 多项式回归模型
Y 表示总成本，X 表示产出，则总成本函数为
Yi
B1
B2 X i
B3
X
2 i
散点图
Y
250
200
150
100
50
20
30
40
50
60
70
X
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 11/19/09 Time: 21:45
Sample: 1980 1998 Included observations: 19
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic
解释如下：1）偏弹性系数0.3397表示产出对劳动投入的弹性，即 在资本保持不变的前提下，劳动每增加1%（一个百分 点），产出将增加33.97%）（0.3397个百分点） 2）0.864表示：