离散数学-第七章-图论

a
k3
b e
c
d
k5
20
离
散 数
定义1.4’
设D为n阶有向简单图，若D中每个结
学 点都邻接到其余的n-1个结点，又邻接于其余
的n-1个结点，则称D为n阶有向完全图。
k1 k2
k3
第 七 章
图
论
12/22/2019 9:31 PM
21
离 定理1.3 n阶无向完全图Kn的边数为n(n-1)/2；
散
数 n阶有向完全图的边数为？n(。n-1)
v3
章 图
degv+3 (v1)=3
degv+4(v2)= deg+(v4)=1 dve2g+(v3)=0
论 ddeegg-1((2vv/2112/))2==019dd9e:3eg1gP(M-v(4v)2=)=2ddeegg-((vv42))==1deg(dve3g)=-(3v3)=2
14
离 散 数
第七章
图论
离
图论的起源
散
数
Konigsberg(哥尼斯堡)七桥问题
学
A
D C
B
第 问题：能否从河岸或小岛出发，不重复地经过所 七 有的桥回到原地。
章
图
论
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2
离 Euler (欧拉) 1736年对这个问题给出了否定的回答。
散 数 学
A
D C
B
第
Euler将河岸和小岛作为图的结点，七座桥为
viV1
viV2
偶数
e1 v1
偶数 v2
偶数
第 七 章
e3
e2
e4
因此|V2 |为偶数
图
v3
v4
论
12/22/2019 9:31 PM
18
离 例4、已知无向图G中结点数n与边数m相等，2度
散 数 学
结点与3度结点各2个，其余结点的度数均为1，试 求G的边数m。
解：由握手定理
n
2m deg(vi) =22+ 32+ 1(n-4)
七 章
边，构成一个无向重图，问题化为图论中简单道路
的问题。
图
论
12/22/2019 9:31 PM
3
离 一、图的基本概念
散 数 学
旧金山
丹佛
洛杉矶
第 七 章
图
论
12/22/2019 9:31 PM
底特律
芝加哥
纽约 华盛顿
4
离
散 设A、B是两个集合，称
数
学
A&B={{a,b}|aA, bB}
为A与B的无序积。
35
有向图中，路、回路等概念与无向图类似
离
散
b
数
学
e1
e4
a
e2
d
e5 e3
c
（ｅ ，ｅ ，ｅ ，ｅ ，ｅ ）是迹，不是通路，因
5
1
2
3
4
第 为（ｃ，ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｂ）中ｂ，ｃ均出现了
七 章
两次。（c，d，b，c）是圈。
图
论
12/22/2019 9:31 PM
36
离
散
数 学
定理2.1 在n阶图中，若从结点vi到vj（vivj） 存在一条路，则从vi到vj存在长度不大于n-1的路。
为方便起见，常将无序对{a,b}记为(a,b)
定义1.1 一个无向图是一个有序的二元组<V,E>，
记为G，其中
（1）Ｖ≠称为结点集，元素称为结点或顶点；
第 （2）Ｅ称为边集，它是无序积V&V的多重子集，
七 其元素称为无向边，简称为边。
章
图
常把无向图记为G=<V,E>
论
12/22/2019 9:31 PM
图
论
12/22/2019 9:31 PM
9
离
散 数
例3、 D=<V,E>, 其中
学 V={v1，v2 ，v3 ，v4 }
E={<v1,v1>,<v1,v2>,<v2,v3>,<v2,v4>,<v3,v4>,
<v3,v4>,<v2,v1>}
v1
v2
第
七
v3
v4
章
图
平行边
论
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华盛顿
11
离
散 数
e0
学
v1
v5
v3
孤立点
标定图
非标定图
e1 e3
v2
在无向图G=<V,E>中，若ek= （vi，vj） ∈Ｅ，则称vi，vj 为
e2 边ek的端点,
e4
ek与vi或ek与vj是彼此关联的；
(v3e，5 v4) v4
关联次数 邻接点、邻接边
第 七 章
图
论
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1
5
6
10 7 8
9
4Baidu Nhomakorabea
30
离 散 数 学

第 七 章
图
论
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31
离 散 数 学
两个图同构必有： （1）结点数相同；
但不是充分条件
（满足这三个条件的两图 不一定同构）
第 （2）边数相同；
七
章 （3）度数列相同
图
论
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32
离 例8、 画出K4的所有非同构的生成子图。
数 学
(结点上的环关联次数为2)
设D=<Ｖ，Ｅ>为有向图，以结点v（vV）作为始
点的边数称为v的出度，记作deg+(v)；以v作为终
点的边数称为v的入度，记作deg-(v)
称deg+(v)+deg-(v)为v的度数，记作deg(v)
e1
v1
v2
第
e5
e3
e2
七
e4
v1 e1
e5
e3 e4
v4 e2
W（G）=2
39
离 设G=<V,E>为无向图
散 数
(1)设eE，用G-e表示从G中去掉边e，称为删
i 1
i 1
第
七
n
章
deg(vi) 2m
图
i 1
论
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17
离 推论 任无何向图图中度数为奇数的结点个数是偶数。
散 数
证明：
学 设V1和V2分别是偶度结点和奇度结点的集合,则
2m deg(vi) deg(vi) deg(vi)
viV
c
d
G″´
d
G″
27
离 定义1.8 设G1=<V1,E1>,G2= <V2,E2>为两个无向
散 数
图，若存在一一映射
学
g： V1 V2
对于vi,vjV1，
(vi,vj)E1 当且仅当 (g(vi),g(vj))E2,
并且(vi,vj)与(g(vi),g(vj))的重数相同，
则称G1与G2是同构的，记作G1 G2
学 有向图中，所有结点的入度之和等于所有结点的出
度之和。
在无向图G中，
最大度
令△(G)=max{deg(v)|vV(G)}
(G)=min{deg(v)|vV(G)} 最小度
类似可定义有向图的最大出度和最小出度、最大入
第 七
度和最小入度。
章
图
论
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15
对图的所有顶点的度求和时，得出了什么？
8
定义1.2 一个有向图是一个有序的二元组<V,E>，记
离 为D，其中
散 数
（1）Ｖ同无向图；
学 （2）Ｅ称为边集，它是笛卡尔积V×V的多重子集，
其元素称为有向边，简称为边。
v0
v1
第 七
v2
章
D
D=<V,E>
V＝{v0, v1, v2}， E＝{<v0,v1>, <v1,v0>, <v1，v2>}
a e
b c 图G d
a
b e
c d
图 G3
23
离 散 数 学
k4
G
第 七 章
图
论
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G
24
离 定义1.6 设G=<V,E>，G’= <V’,E’>为两个图，
散 数
若V’ V且E’ E，则称Ｇ’为Ｇ的子图，G为
学 G’的母图，记作Ｇ’Ｇ；
又若V’V或E’ E，则称Ｇ’为Ｇ的真子图。
怎样定义有向图的同构？
第 七 章
图
论
12/22/2019 9:31 PM
28
离
散 例7、
数 学
a
d
第 七 章
图
论
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b

c
c' (a)
a' (b) d' (d)
b' (c)
29
离
散
数
学
1
2
6
10
7
9 8
2
5
3
第
3
4
七 章
彼得松图(petersen)
图
论
12/22/2019 9:31 PM
散 数
解： K4的所有非同构的生成子图如下图所示。
学
第 七 章
图
论
12/22/2019 9:31 PM
33
离
二、路与回路
散
数 定义2.1 设Ｇ为无向标定图，G中结点与边 学 的 交 替 序 列 =vi0ej1vi1ej2…ejlvil 称 为 vi0 到
vil的路。vi0，vil分别称为的始点和终点， 中边的条数称为它的长度。
i 1
=n+6
2m=n+6 m=n
m=6
第 七 章
图
论
12/22/2019 9:31 PM
19
离 定义1.4 设G为n阶无向简单图，若G中每一对
散 数 学
结点之间都有边，则称G为n阶无向完全图， 简称n阶完全图，记作Kn (n≥1)
k1
k2
第 七 章
图 论
k4
12/22/2019 9:31 PM
E＝{(v0,v3),(v1,v3),(v1,v3),(v2，v3),(v0,v0)}
环
v0
v1
第 七
G
v3
v2
G2
平行边
章
简单图
多重图
（ 图
论
不含平行边也不含环） 12/22/2019 9:31 PM
7
离 散 数 学
旧金山
丹佛
洛杉矶
第 七 章
图
论
12/22/2019 9:31 PM
底特律
芝加哥
纽约 华盛顿
七
个式子仍然成立
章
图
论
12/22/2019 9:31 PM
16
离
n=4
散
m=5
数
学
结点入度之和为5
结点出度之和为5
v1 e1
e5
e3 e4
v4 e2
v3
v2
定理1.2 设D=<V，E>为有向图， |V(D)|= n，
|E(D)|=m，则
n
n
deg (vi) m deg (vi) m
12
离 在有向图D=<V,E>中，若ek=<vi，vj> ∈Ｅ，则称vi
散 数 学
为ek 的起点， vj 为ek的终点 ；并称vi邻接到vj ， vj 邻接于vi 。
v1
v2
v3
v4
第
七
章
图
论
12/22/2019 9:31 PM
13
离 定义1.3 在图G=<Ｖ，Ｅ>中，与结点v（vV）关联的
散 边数称为结点v的度数，简称度，记为deg(v)。
5
离 例1、G1=<V,E>
散 数
V＝{v0, v1, v2,v3}
学 E＝{(v0,v2),(v0,v3),(v1,v2),(v1,v3),(v2，v3)}
v0
v3
v1
第
七
章
v2
图
论
12/22/2019 9:31 PM
G1
6
离 例2、
散 数 学
G2=<V,E> V＝{v0, v1, v2,v3}
d
e
G2
a
e4
e5
d
e
G3
26
离 定义1.7 设G´= <V´,E´>是Ｇ＝<Ｖ，Ｅ>的子
散 图，若给定另外一个图Ｇ″＝<Ｖ″，Ｅ″>，
数 学
使得Ｅ″=E-E´，且Ｖ″中仅包含Ｅ″的边所
关联的结点，则称为Ｇ″是子图相对于图G的
补图。
a
a
a
b
eb
e
b
e
第
c
d
七
G
章
图
论
12/22/2019 9:31 PM
若V’=V，则称Ｇ’为Ｇ的生成子图
第
G1
七 章
k4
图
论
12/22/2019 9:31 PM
G2
25
离
散
数 学
在下图中，G1，G2，G3均是G的真子图，其中G2、 G是G的生成子图。
a
a
a
e1
e2
e1
e2
b
e3
cb
e3
cb
e3
c
e4
e5
e4
e6
e7
e4 e6
d
e
第
G
七
章
d G1
图
论
12/22/2019 9:31 PM
10
有时用G泛指图（有向的或无向的）
离
散 |V(G)|表示G的结点数
数
学 |E(G)|表示G的边数
有限图—— |V(G)|和 |E(G)|均有限
n阶图——|V(G)|=n 零图—— E(G)=
底特律
旧平金凡山图——1阶零图 空图 ——V(G)=
纽约
第
芝加哥
七
丹佛
章
图 论
洛杉矶
12/22/2019 9:31 PM
学
定义1.5 设Ｇ＝<Ｖ，Ｅ>为n阶无向简单图， 以V为结点集，以所有使G成为完全图Kn的添加 边组成的集合为边集的图，称为Ｇ的相对于完 全图的补图，记作 G
第
七
章
图
k4
G
论
12/22/2019 9:31 PM
G
22
离
图 K5 a
散
数
学
b
e
c
d
a
b
e
第
七
c
d
章
图 G1
图
论
12/22/2019 9:31 PM
当vi0= vil时，该路称为回路。
e1
v1
v2
第 七
e5
e3
e2
章
e4
图 论
v3
12/22/2019 9:31 PM
v4
34
离
散 数
若路中没有重复的边，则称为迹。
学
若路中没有重复的点，则称为通路。
闭的通路称为圈。
e1
v1
v2
e5
e3
e2
第 七
e4
章
v3
v4
图
论
12/22/2019 9:31 PM
离
散 数 学
一个具n有=410个顶点，每 个结点m的=度45 都为6的图，
v1
有多少顶结条点边度？之和为810
e5
e1
e3 e4
v2 e2
v3
v4
定理1.1 设G=<V，E>为无向图， |V(G)|= n， |E(G)|=m，则
n
握手定理 deg(vi) 2m
第
i 1
即使出现多重边和环，这
第
任意一个连通无向图的任两个不同结
七 点都存在一条通路。
章
图
论
12/22/2019 9:31 PM
38
离
非连通图Ｇ可分为几个不相连通的子图，
散 每一子图本身都是连通的。称这几个子图为
数 学
Ｇ的连通分支,G的连通分支数记为W（G）。
k4
B A
第
七
W（G）=1
章
图
论
12/22/2019 9:31 PM
推论 在n阶图中，若从结点vi到vj（vivj）存在一 条路，则从vi到vj存在长度小于n的通路。
第 七 章
图
论
12/22/2019 9:31 PM
37
离
散 数
定义2.2
设无向图Ｇ＝<Ｖ，Ｅ>， u,vＶ，若
学 u,v之间存在路，则称u,v是连通的，记作uv 。
定义2.3 设无向图Ｇ是平凡图或G中任何两个结 点都是连通的，则称G为连通图，否则称G为非连 通图或分离图。