2014版高考数学一轮总复习 第49讲 空间中的垂直关系课件 文 新人教A版

直线和平面垂直的判定和性质
【例 1】如图，已知 PA 垂直于矩形 ABCD
所在的平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点，若 ∠PDA＝45° ，求证：MN⊥平面 PCD.
【分析】可考虑用线面垂直的判定定理来证明．
又因为 CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A， 所以 CD⊥平面 PAD，而 AE⊂平面 PAD， 所以 CD⊥AE. 又 CD∩PD＝D，所以 AE⊥平面 PCD， 所以 MN⊥平面 PCD.
连结 MC，由 Rt△BCM≌RtAPM 知，MC＝MP，所以 MN⊥PC. 因为 AB⊥MN，所以 MN⊥CD，所以 MN⊥平面 PCD， 所以平面 MNO⊥平面 PCD.
1.证明线面垂直的方法
1 线面垂直的定义：a与内任何直线
都垂直 a ； m、n ，m n A l ； l m，l n 3 判定定理2： ，a ；
以立体几何的定义、公理和定理为出 发点，认识和理解空间中线面垂直的 有关性质与判定定理；能运用公理、 定理和已获得的结论证明一些有关空 间图形的垂直关系的简单命题．
1．直线与平面垂直
1 定义：如果直线l与平面内的每一条直线都垂
直，就说直线l与平面 互相垂直，记作① _____ . 特别提醒：若已知l ，则l垂直于平面内的所 有直线，即“线 面 线 线”．
判定
判定
5．面面垂直的性质定理是作辅助线 的一个重要依据，我们要作一个平面 的一条垂线，通常是先找这个平面的 一个垂面，在这个垂面中，作交形， PA⊥平面 ABCD， 且 下列结论中不正确的是( C ) A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PB⊥BD D．PA⊥BD
5.如图所示，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝AB， ∠BCD＝45° ，∠BAD＝90° ，将△ABD 沿 BD 折起，使 平面 ABD⊥平面 BCD，构成三棱锥 A—BCD，则在三棱 锥 A—BCD 中，下列命题正确的是( A．平面 ABD⊥平面 ABC B．平面 ADC⊥平面 BDC C．平面 ABC⊥平面 BDC D．平面 ADC⊥平面 ABC )
4 面面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们交线的 直线与另一个平面⑨ __________.用符号表示为：
， l，a ，a l ⑩ __________. 归纳拓展：两个平面、 都垂直于平面 ，则 与 可能平行也可能相交，若 l，则l .
定义
2 判定定理：一条直线与一个平面内的② _____
直线都垂直，则该直线与此平面垂直．用符号表 示为：l l b，a ，b ，③ _____ l .
3 性质定理：垂直于同一平面的两条直线④ ___ .
用符号表示：a ，b ⑤ __________ .
2．平面与平面垂直
1 定义：如果两个平面相交，且它们所成的二
面角是⑥ _______ ，就说这两个平面互相垂直．
2 画法：
记作 .
3 面面垂直的判定定理
若一个平面过另一个平面的⑦ ______ ，则这两 a 个平面垂直．符号表示： ⑧ .
三
垂直中的探究问题
【例 3】 如图，已知直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，
AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋ 3.过点 A 作 AE⊥CD， 垂足为 E，现将△AED 沿 AE 折起，使得 DE⊥EC.
(1)求证：BC⊥平面 CED； (2)在线段 AE 上找一点 R，使得平面 BDR⊥平 面 DCB，并说明理由．
3．证明面面垂直的方法 判定定理：a ，a .
4．垂直关系的转化
线线垂直 线面垂直 面面垂直 性质 性质 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻 找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则 可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一 般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线， 使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线 垂直，故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直” 间的转化条件是解决这类问题的关键．
3.关于直线 m，n 与平面 α，β，有以下四个命题： ①若 m∥α，n⊥β 且 α⊥β，则 m∥n； ②若 m⊥α，n⊥β 且 α⊥β，则 m⊥n； ③若 m⊥α，n∥β 且 α∥β，则 m⊥n； ④若 m∥α，n∥β 且 α⊥β，则 m∥n. 其中真命题的序号是( D ) A．①② C．①④ B．③④ D．②③
【点评】面面垂直的证明综合性强，需要一连串 的转化，而这些转化中，线线垂直是基础，线面垂直 是核心， 解决此类问题时要善于挖掘题目中隐含着的 关于线线垂直、线面垂直的条件．
素材2
已知 α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，求证：a⊥α.
【证明】 如图所示，设 α∩β＝b，α∩γ＝c，过平面 α 内一点 P 作 PA⊥b 于点 A，作 PB⊥c 于点 B. 因为 α⊥β，所以 PA⊥β. 又 β∩γ＝a，所以 PA⊥a.同理可证 PB⊥a. 因为 PB∩PA＝P，PA⊂α，PB⊂α，所以 a⊥α.
2.(2012· 浙江卷)设 l 是直线，α ，β 是两个不同的平 面( ) A．若 l∥α，l∥β ，则 α∥β B．若 l∥α，l⊥β ，则 α⊥β C．若 α⊥β，l⊥α ，则 l⊥β D．若 α⊥β， l∥α ，则 l⊥β
【解析】利用排除法可得选项 B 是正确的．如选项 A：l∥α，l∥β时，α∥β或 α∩β；选项 C：若 α⊥β， l⊥α，l∥β或 l⊂β；选项 D：若 α⊥β，l∥α，l∥β 或 l∩β 或 l⊂β.
【点评】证明线面垂直，常用证法有两种： 一是利用面面垂直的性质，二是利用线面垂直的 判定定理，即证明直线 a 与平面 α 内的两条相交 直线都垂直．
素材1
已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，当矩 形 ABCD 满足什么条件时，有 PC⊥BD?
【解析】 若 PC⊥BD. 又 PA⊥BD，PA∩PC＝P， 所以 BD⊥平面 PAC，所以 BD⊥AC， 即矩形 ABCD 的对角线互相垂直． 所以矩形 ABCD 为正方形， 即当矩形 ABCD 为正方形时，PC⊥BD.
【要点指南】 ①l ；②两条相交；③a b A； ④互相平行；⑤a //b；⑥直角； ⑦垂线；⑧a ；⑨垂直； ⑩a
1.设 l、m、n 均为直线，其中 m、n 在平面 α 内， 则“l⊥α”是“l⊥m 且 l⊥n”的( A ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
二
平面和平面垂直的判定和性质
【例 2】 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中， AC＝BC，点 D 是 AB 的中点． (1)求证：BC1∥平面 CA1D； (2)求证：平面 CA1D⊥平面 AA1B1B.
【分析】用线面平行的判定定理证明(1)，可连 接 AC1， 利用中位线证明线线平行． 要证面面垂直需 要证线面垂直或线线垂直．
【证明】 (1)连接 AC1 交 A1C 于点 E，连结 DE. 因为 AA1C1C 为矩形，则 E 为 AC1 的中点， 又 D 是 AB 的中点， 所以在△ABC1 中， DE∥BC1. 又 DE⊂平面 CA1D，BC1⊄平面 CA1D， 所以 BC1∥平面 CA1D.
(2)因为 AC＝BC，D 为 AB 的中点， 所以△ABC 中，AB⊥CD. 又 AA1⊥平面 ABC，CD⊂平面 ABC， 所以 AA1⊥CD，又 AA1∩AB＝A，所以 CD⊥平 面 AA1B1B. 又 CD⊂平面 CA1D，所以平面 CA1D⊥平面 AA1B1B.
在 Rt△RCQ 中，RC＝ 1＋2－x2，CQ＝ 2， 所以 RQ＝ －1＋2－x2. 在△BAR 中，BR＝ 1＋x2， 在△DER 中，DR＝ 3＋2－x2，又 BD＝2 2，
BR2＋BQ2－RQ2 BR2＋BD2－RD2 cos∠RBQ＝ ＝ ， 2BR· BQ 2BR· BD 1 所以 BR ＋2BQ －2RQ ＝BD －RD ，解得 x＝2.
2 2 2 2 2
所以，当线段 AE 上的点 R 使得 3AR＝RE 时，平面 BDR⊥平面 DCB.
【点评】 对于第(2)问这种探索性问题， 一般是先 假设结论成立，再在结论成立的基础上，利用有关知 识进行分析．
备选例题
如图，四边形 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD， M、N 分别为 AB、PC 的中点． (1)证明：AB⊥MN； (2)若平面 PDC 与平面 ABCD 成 45° 连结 AC， 角， 取 AC 的中点 O，证明平面 MNO⊥平面 PDC.
2 判定定理1：
4 面面平行的性质： ，a ； 5 面面垂直的性质： ， l，
a ，a l a .
2．证明线线垂直的方法
1 平面几何中证明线线垂直的方法； 2 线面垂直的性质：a ，b a b； 3 线面垂直的性质：a ，b // a b.
【解析】(1)因为 N 为 PC 的中点， 所以 ON∥PA. 而 PA⊥平面 ABCD，所以 ON⊥平面 ABCD. 所以 ON⊥AB. 又四边形 ABCD 为矩形，M 为 AB 的中点， 所以 OM⊥AB，所以 AB⊥平面 OMN， 所以 AB⊥MN.
(2)PA⊥平面 ABCD，AD⊥DC，则 PD⊥DC. 故∠PDA 为平面 PDC 与平面 ABCD 所成锐二面角的 平面角，即∠PDA＝45° ，所以 PA＝AD＝BC.
【解析】 由题中知， 在四边形 ABCD 中， CD⊥BD， 在三棱锥 A—BCD 中， 平面 ABD⊥平面 BCD， 两平面的 交线为 BD，所以 CD⊥平面 ABD，因此有 AB⊥CD，又 因为 AB⊥AD，且 CD∩AD＝D，所以 AB⊥平面 ADC， 于是得到平面 ADC⊥平面 ABC.
一
【解析】(1)证明：由已知得 DE⊥AE，DE⊥EC， AE∩EC＝E，DE⊥平面 ABCE，所以 DE⊥BC. 又 BC⊥CE，CE∩DE＝E，所以 BC⊥平面 CED.
(2)不妨设 AR＝x，连接 DR，BR，取 DB 的中点 Q， 连接 CQ，RQ. 因为折叠后，CD＝BC＝2，所以 CQ⊥BD， 因为平面 BDR⊥平面 DCB，所以 CQ⊥平面 BDR. 又 RQ⊂平面 BDR，所以 CQ⊥RQ.