第8章 椭球面元素归算至高斯平面——高斯投影

（4）高斯平面投影的特点：
（5） 椭球面三角系化算到高斯投影面
将椭球面三角系归算到高斯投影面的主要内容是：
将起始点的大地坐标归算为高斯平面直角坐标；为了检核还 应进行反算，亦即根据反算。 通过计算该点的子午线收敛角及方向改正，将椭球面上起算 边大地方位角归算到高斯平面上相应边的坐标方位角。 通过计算各方向的曲率改正和方向改正，将椭球面上各三角 形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。 通过计算距离改正，将椭球面上起算边的长度归算到高斯平 面上的直线长度。 当控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换 算。
地图投影的方式
等角投影——投影前后的角度相等，但长度和面积有变形； 等距投影——投影前后的长度相等，但角度和面积有变形; 等积投影——投影前后的面积相等，但角度和长度有变形。
1 投影与变形 投影变形：椭球面是一个凸起的、不可展平的曲 面。将这个曲面上的元素（距离、角度、图形） 投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形 呈现差异，这一差异称为投影变形。
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8.2
正形投影的一般条件
高斯投影首先必须满足正形投影的一般条件。图a为椭球面，图b为它 在平面上的投影。在椭球面上有无限接近的两点P1和 P2，投影后为P1′ p2 dS 和 ，其坐标均已注在图上， 为大地线的微分弧长，其方位角为 。 A 在投影面上，建立如图 b所示的坐标系， 的投影弧长为 。 ds dS
[知识点及学习要求] 1．高斯投影的基本概念； 2．正形投影的一般条件； 3．高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换——高斯投影的正算与反 算 4．椭球面上观测成果（水平方向、距离）归化到高斯平面上的计算； 5．高斯投影的邻带换算； 6．工程测量投影面与投影带的选择。
[难点]在对本章的学习中，首先要理解和掌握高斯投影的
3 高斯投影的基本概念
（1）基本概念：
如下图所示，假想有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一 条子午线（此子午线称为中央子午线或轴子午线）相切，椭圆柱的中 心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一 定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影 面，此投影为高斯投影。高斯投影是正形投影的一种。
高斯投影 3 带：它的中央子午线一部分同 6 带中央子午线重合，一部 L表示 3 带中 分同 6 带的分界子午线重合，如用 n 表示3 带的带号， 下图所示。我国 3 带共计22带 央子午线经度，它们的关系L3 n （24～45带）。
（3）高斯平面直角坐标系
在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午 线和赤道的交点 O 作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标 x 轴，以赤道的投影为横坐标 y 轴。
图a
图b
椭球面到平面的正形投影一般公式——称柯西-黎曼条件：
x q x l y l y q
平面正形投影到椭球面上的一般条件：
q x l x

l y q y

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第 8章
椭球面元素归算至高斯平面—高斯投影
[本章提要] 8.1 高斯投影概述
8.2
8.3
正形投影的一般条件
高斯平面直角坐标系与大地坐标系
8.4
8.5
椭球面上观测成果归化到高斯平面上计算
工程测量投影面与ຫໍສະໝຸດ Baidu影带选择 [习题]
本章提要
本章介绍从椭球面上大地坐标系到平面上直角坐 标系的正形投影过程。研究如何将大地坐标、大地线 长度和方向以及大地方位角等向平面转化的问题。重 点讲述高斯投影的原理和方法，解决由球面到平面的 换算问题，解决相邻带的坐标坐标换算。讨论在工程 应用中，工程测量投影面与投影带选择。
投影变形的形式：角度变形、 长度变形和面积变形。
2 控制测量对地图投影的要求 应当采用等角投影（又称为正形投影） 采用正形投影时，在三角测量中大量的角度观测 元素在投影前后保持不变；在测制的地图时，采 用等角投影可以保证在有限的范围内使得地图上 图形同椭球上原形保持相似。 在采用的正形投影中，要求长度和面积变形不 大，并能够应用简单公式计算由于这些变形而带 来的改正数。 能按分带投影
（2）分带投影
高斯投影 6 带：自 0 子午线起每隔经差 6 自西向东分带，依次编号 1,2,3,…。我国 6 带中央子午线的经度，由75 起每隔 6 而至135 , 共计 L 0 表示，它 11带（13～23带），带号用 n表示，中央子午线的经度用 6 n 3,如下图所示。 们的关系是 L 0
8.3 高斯平面直角坐标系与大地坐标系
1 高斯投影坐标正算公式
（1）高斯投影正算：已知椭球面上某点的大地坐标 L, B ，求该点 L , B ( x , y )的坐标变换。 在高斯投影平面上的直角坐标 x, y ，即 （2）投影变换必须满足的条件： 中央子午线投影后为直线； 中央子午线投影后长度不变； 投影具有正形性质，即正形投影条件。 （3）投影过程 在椭球面上有对称于中央子午线的两点 P1 和 P2 ,它们的大地坐标 分别为（l ,B）及（-l ,B），式中 l为椭球面上 P点的经度与中央子 l LL 午线( L 0 ) 的经度差： , P点在中央子午线之东, l 为正，在 0 , y) 和 P 西则为负，则投影后的平面坐标一定 为 P x , y ) 。 1(x 2(
x
x
500Km
B
xA
xB
y
xB
xA
yB
yA
A
B
yB
yA
A
y
（3）高斯平面直角坐标系 在我国 x坐标都是正的，y 坐标的最大值（在赤 道上）约为330km。为了避免出现负的横坐标， 可在横坐标上加上500 000m。此外还应在坐标前 面再冠以带号。这种坐标称为国家统一坐标。例 如，有一点 Y =19 123 456.789m，该点位于19带 内，其相对于中央子午线而言的横坐标则是：首 先去掉带号，再减去500000m,最后得 y =-376 543.211m。
概念。高斯正算和反算计算；方向改化和距离改化计算； 高斯投影带的换算与应用；工程测量中投影面与投影带的 选择。
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8.1 高斯投影概述
1 投影与变形
地图投影：就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一 定的数学法则投影到平面上。研究这个问题的专门学科叫地图投影 学。可用下面两个方程式（坐标投影公式）表示： x F1 ( L , B ) y F2 ( L , B ) 式中L,B是椭球面上某点的大地坐标，而x ,y是该点投影后的平面直角 坐标。