函数的周期性及其应用解题方法

函数的周期性及其应用解题方法

方法提炼

抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出，常见的有以下几种情形：

(1)若函数满足f(x＋T)＝f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；

(2)若满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a是函数的一个周期；

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(3)若满足f(x＋a)＝1/f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝1/f(x＋a)＝f(x)，所以2a是函数的一个周期；

(4)若函数满足f(x＋a)＝－1/f(x)，同理可得2a是函数的一个周期；

(5)如果T是函数y＝f(x)的周期，则①kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)；

②若已知区间[m，n](m＜n)的图象，则可画出区间[m＋kT，n＋kT](k∈Z且k≠0)上的图象．

没有等价变形而致误

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【典例】函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性，并证明；

(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．

错解：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.

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(2)f(x)为偶函数，证明如下：

令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.

令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，

∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．

(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，

》

f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3，

由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，

得f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．

又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

∴(3x＋1)(2x－6)≤64.

《

∴－7/3≤x≤5.

分析：(1)从f(1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x1＝x2＝1.(2)判断f(x)的奇偶性，就是研究f(x)，f(－x)的关系，从而想到赋值x1＝－1，x2＝x.即f(－x)＝f(－1)＋f(x)．(3)就是要出现f(M)＜f(N)的形式，再结合单调性转化为M＜N或M＞N的形式求解．正解：(1)令x1＝x2＝1，

有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.

(2)f(x)为偶函数，证明如下：

…

令x1＝x2＝－1，

有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，

解得f(－1)＝0.

令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，

∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．

~

(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，

f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3.

由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，

变形为f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．(*)

∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．

！

∴不等式(*)等价于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)．

又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

∴|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.

解得－7/3≤x＜－1/3或－1/3＜x＜3或3＜x≤5.

∴x的取值范围是

答题指导：

等价转化要做到规范，应注意以下几点：

(1)要有明确的语言表示．如“M”等价于“N”、“M”变形为“N”．

(2)要写明转化的条件．如本例中：∵f(x)为偶函数，∴不等式(*)等价于f[|(3x＋1)(2x －6)|]≤f(64)．

(3)转化的结果要等价．如本例：由于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64) |(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.若漏掉(3x＋1)(2x－6)≠0，则这个转化就不等价了．