大学生力学竞赛试题及答案

大学生力学竞赛模拟题 ------江苏技术师范学院

一、连日大雨，河水猛涨，一渡船被河水冲到河中央，摆渡人眼疾手快，立刻从岸上拉住船上的缆绳以便拖住渡船，可惜水流太急，渡船仍然向下游冲去。这时，摆渡人看到一木桩，并立刻将缆绳在木桩上绕了几圈，就拉住了冲向下游的渡船。 （1） 本问题与力学中的什么内容有关系 （2） 利用木桩拉住渡船，则摆渡人少使多少力？

（3） 如果水对渡船的推力为20kN ，而摆渡人的最大拉力为500N ，木桩与缆绳之间的摩擦系数

3.0=f ，则为了能使渡船停止运动至少将缆绳在木桩上绕几圈？若缆绳横截面面积为3002mm ，

木桩直径为20cm ，木桩至渡船的缆绳长10m ，弹性模量E=100GPa ，忽略木桩至手拉端绳的变形，试计算缆绳的总伸长量。

题1图

一、解：（1）、关键词：摩擦，轴向拉伸

（2）、设手拉端的拉力为人F ，船的拉力为船F ，缆绳和木桩接触的各处有径向压力和切向摩擦力作用，如图（1-a ）所示。任取一微段（图（1-b ）），由微段的平衡条件

（1-a ） （1-b ）

0=∑r F 02

sin 2sin )(=-+-θθd F d dF F dF r （1） 0=∑θF ()02

cos 2cos

=--+r fdF d F d dF F θθ （2） 对于微小角度θd ，可令 2

2sin

θθd d ≈，12cos ≈θd ，并略去高阶微量2θd dF ⨯，即得

fF d dF

=θ

（3） 分离变量，积分得

θ

f Ae F = （4）

其中积分常数由缆绳两端的边界条件确定，有

0=θ， 船F F =； 船F A =

所以，绕在木桩上缆绳任一截面的拉力为

θf e F F 船= （5）

所以

θf e F F =船

人，其中θ为缆绳绕过木桩的角度。

（3）、将N F 500=人，kN F 20=船，f = 0.3代入式（5），得θ3.031020500e ⨯=

解得 3.12≈θ rad 所以至少将缆绳绕两圈。

当πθ4=，考虑微段（图（1-b ））的伸长

()θθθ

d e EA

R F EA Rd F d f 船绕==

∆ （6） 则环绕部分的缆绳伸长量

)1(440

-==∆=∆⎰

⎰ππθθf f e EAf

R

F d e EA R F d 船船绕绕 （7） 代入已知数据计算的，mm 43.9=∆绕

木桩至船段的缆绳伸长量 mm EA

l F 7.6103001010010

200006

92=⨯⨯⨯⨯=

=∆-船 （8）

总变形量

mm 13.162=∆+∆=∆绕

二、一由钢板卷制的薄壁圆桶，高度为h ，在接头处存在一缝隙，在外力偶的作用下圆桶绕其轴线做旋转运动，内有一些边长为e 的轻质块体，当圆桶达到一定转速时，块体就从缝隙中滑出。 （1）试分析该薄壁圆桶在旋转时可能发生的变形和所涉及到的力学知识。

（2）取其圆环截面如图所示，质量为m ，平均半径为R ，横截面为矩形（t <

ω

题2图

二、解：（1）、该薄壁圆桶在旋转时，薄壁在离心力的作用下发生弯曲变形。关键词：惯性力，平面弯曲，能量法。

题（2-a ）

（2）、由对称性知，取半个圆环为研究对象（如图（2-a ）所示），当转动角速度为ω时，由惯性离心力引起的圆环内截面ϕ的弯矩为

()()()ϕπ

ωθωπθϕθϕϕϕ

cos 122sin sin 2

2220

-=-=-=⎰⎰

R m d R R m R dF R M （1）

变形后平面假设仍然成立，故有 ρ

εy

=

（2）

设 2

t

y =

时，1εε=

于是 ⎰⎰==⎰⎰=t

A

d

bB yhbdy dA y M 0

232

1

22εεε

ρσσ （3）

将ρ

ε21t

=代入上式，得 ()22

2

25

22cos 12501

ϕπωρ-⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=R m t B h （4） 由单位载荷法 ()θd x M l

⎰

=∆，其中 ()ϕcos 1-=R M

ρ

ϕ

ρ

θRd ds

d =

=

（5）

所以缝隙A 处的相对位移 ()5

224263

02

522426

2125cos 14502t B h m R d t B h m R

e πωϕϕπωδπ=-==⎰ （6） 所以解得 42

65221252m

R e

t B h πω= （7）

三． 四叶玫瑰线

你能一笔画出图示曲线吗？如图所示为一四叶玫瑰曲线，其极坐标表达式为θρ2cos a =。请你进行分析计算和设计：

（1）写出图示四叶玫瑰线的直角坐标表达式； （2）利用理论力学知识设计一种机构来画出这一曲线。

题3图

三、四叶玫瑰线

解：（1）对于四叶玫瑰曲线θρ2cos a =，在直角坐标系中可写成（图3-1）

⎩

⎨

⎧==θρθ

ρsin cos y x